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第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
一·简答题1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。
（答案参考教材P7－8）（1）体心立方基矢：123()2()2()2ai j k a i j k ai j k ααα=+-=-++=-+，体积：312a ，最近邻格点数：8（2）面心立方基矢：123()2()2()2a i j a j k ak i ααα=+=+=+，体积：314a ，最近邻格点数：122.习题1.5、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
证明：因为33121323,a aa a CA CB h h h h =-=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ⋅=，容易证明12312300h h h h h h G CA G CB ⋅=⋅=所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
3.习题 1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak ===由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯，3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯，1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a aπππ=== 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G hi k j l k a a aπππ=++ 晶面族()hkl 的面间距：2d Gπ=2221()()()h k l a a a=++4.习题1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。
第一章晶体的结构习题解答1.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数目之比.[解答]设原子的半径为R,体心立方晶胞的空间对角线为4R,胞的边长为,晶胞的体积为,一个晶胞包含两个原子，一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为;面心立方晶胞的边长为 ,晶胞的体积为,一个晶胞包含四个原子，一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为 . 因此，同体积的体心和面心立方体晶体中原子数之比为：=0.909。
2．解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面？为什么？[解答]晶体容易沿解理面劈裂，说名平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大。
因为面间距大的晶体晶面族的指数低，所以解理面是面指数低的晶面。
3．与晶列垂直的倒格面的面指数是什么？[解答]正格子与倒格子互为倒格子。
正格子晶面与倒格式垂直,则倒格晶面与正格矢正交。
即晶列与倒格面垂直。
4．高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光弱？为什么？[解答]对于同级衍射，高指数的晶面族衍射光弱，低指数的晶面族衍射光强。
低指数的晶面族间距大，晶面上的原子密度大，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用强。
相反，高指数的晶面族面间距小，晶面上的原子密度小。
另外，由布拉格反射公式2dh k ls inθ=nλ可知,面间距dh k l 大的晶面，对应一个小的光的掠射角θ面间距dh k l小的晶面，对应一个大的光的掠射角θ。
θ越大，光的透射能力就越强，反射能力就越弱。
5．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：（1）简立方，π /6；（2）体心立方，；（3）面心立方，；（4）六角密积，；（5）金刚石结构，。
[解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成。
一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。
设n为一个晶胞中刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，表示晶胞体积，则致密度（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚球堆积，如图1·2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切。
1231．布喇菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都一样。
（Bravais 格子）氯化钠结构：面心立方Na +布氏格子和面心立方Cl -的布氏格子套构而成的复式格子。
金刚石晶胞中由于位于四面体中心的原子和顶角原子价键的取向各不相同（即中心原子和顶角原子周围的情况不同），所以是复式格子，这种复式格子是两个面心立方格子套构而成的。
2．倒格子：设一晶格的基矢为→1a ，→2a ，→3a ，若另一格子的基矢为→1b ，→2b ，→3b ，与→1a ，→2a ，→3a 存在关系：⎩⎨⎧≠===•ji j i a b ij j i 022ππδ (i,j=1,2,3)则称以→1b ，→2b ，→3b 为基矢的格子是以→1a ，→2a ，→3a 为基矢的格子的倒格子。
自原点O 引晶面族ABC 的法线ON ，在法线上截取一段OP=ρ，使ρd=2π，d 是晶面族ABC 的面间距，对于每一族晶面都有一点P ，使得OP 成为该方向的周期，把P 平移可以得出一个新的点阵，这个新格子称为原来晶格的倒格子。
设正格子基矢为→1a ，→2a ，→3a ，则→1a →2a ，→2a →3a ，→3a →1a 晶面族 的面间距分别为d 3，d 1，d 2。
分别作OP 垂直于三个晶面族，在三个垂线上截取33/2d b π=，11/2d b π=，22/2d b π=，这样得出的三个矢量→1b ，→2b ，→3b 就取为倒格子的基矢。
又因为正格子元胞的体积为：)()()(213132321→→→→→→⨯=⨯=⨯=Ωa a d a a d a a d ，即：Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯•==→→→323122a a d b ππ，Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯•==→→→132222a a d b ππ，Ω⎪⎭⎫⎝⎛⨯•==→→→211322a a d b ππ3．证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
面心立方格子基矢： )(2)(2)(2321→→→→→→→→→+=+=+=j i a a i k a a k j a aB 0 →1a→3a→2aAC NP利用公式：Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯•=→→→3212a a b π，Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯•=→→→1322a a b π，Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯•=→→→2132a a b π可求出其倒格子基矢为： )(2)(2)(2321→→→→→→→→→→→→-+=+-=++-=k j i ab k j i a b k j i a b πππ体心立方格子基矢： )(2)(2)(2'3'2'1→→→→→→→→→→→→-+=+-=++-=k j i a a k j i a a k j i a a 利用公式可求出其倒格子基矢为： )(2)(2)(2'3'2'1→→→→→→→→→+=+=+=j i a a i k a a k j a a πππ，所以体心立方格子与面心立方格子互为正倒格子。
固体物理第一次习题参考答案1．如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明结构 x简单立方 0.526x π=≈体心立方 30.688x π=≈ 面心立方 20.746x π=≈ 六角密排 20.746x π=≈ 金刚石 30.3416x π=≈解：设钢球半径为r ，立方晶系晶格常数为a ，六角密排晶格常数为a,c 钢球体积为V 1，总体积为V 2（1）简单立方单胞含一个原子，a r =2 52.06343321≈==ππa r V V（2）体心立方取惯用单胞，含两个原子，r a 43= 68.0833423321≈=⋅=ππar V V （3）面心立方取惯用单胞，含4个原子，r a =2 74.0623443321≈=⋅=ππar V V （4）六角密排与面心立方同为密堆积结构，可预期二者具有相同的空间占有率 取图示单胞，含两个原子，a r =2 单胞高度a c 38=（见第2题） 74.062233422321≈=⋅⋅=ππc a r V V （5）金刚石取惯用单胞，含8个原子，r a 2341= 34.01633483321≈=⋅=ππar V V2．试证六方密排密堆积结构中128() 1.6333c a =≈解： 六角密排，如图示，4个原子构成正四面体222)2332(2a a c =⋅+⎪⎭⎫⎝⎛ ⇒ a c 38=3．证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。
证：体心立方基矢取为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=++-=-+=)(2)(2)(2321k j i a a k j i a a k j i a a其中a 为晶格常数其倒格子基矢，按定义)(2)(21111114212)(223321j i b j i a kj ia a a a b+=+=--⋅=⨯Ω=πππ)(2)(2132k j b a a b +=⨯Ω=π)(2)(2213k i b a a b +=⨯Ω=π可见，体心立方的倒格子是晶格常数为a b π4=的面心立方。
