山东省各地2014届高三上学期期中考试试题分类汇编8：数列

2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,52. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 13. 已知．若，则（ ）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b=A.B.D. 4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件5.此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C.D.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A. B. C. 1D. 11e+e 1-e二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C 17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE V AE BD CD 4BD=（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,5【正确答案】B【分析】首先把集合用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.P 【详解】若，，则是的正因数，而的正因数有，，，，61y x =+y ∈N 1x +661236所以，{}6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N 因为，{}15Q x x =-≤<所以，{}0,1,2P Q ⋂=故选：B.2. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 1【正确答案】C【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模.z 【详解】由题意知，()()()i 22i i 22i 22i 22i z +==--+2i 28-=11i 44=-+所以，z ==故选：C.3. 已知．若，则（）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b =A.B.D. 【正确答案】B【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果.32a b ⋅=-【详解】因为，且，()2a b a+⊥1a = 则，可得，()2220a a a ab b +⋅=+⋅= 21322a b a⋅=-=-rr r 所以.cos ,a b a b a b⋅===⋅r r r r r r 故选：B.4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.【详解】设等比数列的公比为，{}n a q 由，得，()223123111111S a a a a a q a q a q q ma =++=++=++=21q q m ++=当时，，解得或，充分性不成立；7m =217q q ++=2q =3q =-当时，，必要性成立.2q =217q q m ++==所以“”是“的公比为2” 的必要不充分条件.7m ={}n a 故选：A5. 此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【正确答案】B【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，1111ABCD A B C D -1O ABCD -设底边边长，高AB a =1OO =则，1O E ==又正四棱柱的侧面积，114S AB OO =⋅=正四棱锥的侧面积，21142S AB O E a=⋅⋅=则，解得，a=a =所以正四棱锥体积，2113ABCD V S OO =⋅==故选：B.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对 B. 2对C. 3对D. 4对【正确答案】C【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭合判断即可.【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭22,0,y x x x =-+<图象上关于原点对称的点有3对.()fx故选：C7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π【正确答案】A【分析】先化简，根据图象变换求出，将方程转化为()f x ()g x ()21g x m -=，由函数图象的对称性求出答案.()12m g x +=()g x 【详解】根据题意可得，()1πcos sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，7π012x ≤≤ππ3π2332x ∴≤+≤所以在上单调递增，在上单调递减，关于对称，()g x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x π12x =且，，()π06g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方程等价于有两个不同的解，()21g x m -=()12m g x +=12,x x .12ππ2126x x ∴+=⨯=故选：A.8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A.B. C. 1D. 11e +e 1-e【正确答案】C【分析】构建，分析可知的定义域为，且在()()ln f x ax x b=--()f x (0,+∞)()0f x ≤内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建(0,+∞)ln 1a b ≤+1e ln ln b a a a +-≥-，利用导数求其最值即可.()1ln ,ee g a a a a =-≤≤【详解】设，()()ln f x ax x b=--因为，可知的定义域为，所以在内恒成立，1e e a ≤≤()f x (0,+∞)()0f x ≤(0,+∞)又因为，()111xf x x x -=-='令，解得；令，解得；f ′(x )>001x <<f ′(x )<01x >可知在内单调递增，在内单调递减，()f x (0,1)(1,+∞)则，可得，则，()()1ln 10f x f a b ≤=--≤ln 1a b ≤+1ln e e b aa +≥=可得，当且仅当时，等号成立，1e ln ln b a a a +-≥-ln 1a b =+令，则，()1ln ,e e g a a a a =-≤≤()111a g a a a '-=-=令，解得；令，解得；()0g a '>1e a <≤()0g a '<11e a <≤可知在内单调递增，在内单调递减，则，()g a (]1,e 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()11g a g ≥=即，当且仅当时，等号成立，1eln ln 1b a a a +-≥-≥1,1a b ==-所以的最小值为1.1eln b a +-故选：C.方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>【正确答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得，，33log 15log 310a =>=>55log 15log 510b =>=>，即，所以，1515110log 3log 5a b ∴<=<=110a b <<0a b >>对于A ，因为，所以，故A 正确；0a b >>lg lg a b >对于B ，，，故B 正确；15151511log 3log 5log 151a b +=+== a b ab ∴+=对于C ，因为，所以，故C 错误；0a b >>1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，因为，，0a b >>111a b +=所以，()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，故D 正4b aa b =2a b =35a b =49a b +>确.故选：ABD.10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 【正确答案】AC【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得，，，，，故A 正确；32a =43a =55a =68a =713a =对于B ，因为，又，21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+12n n n a a a --=+所以，即，故B 错误；21213n n n n n a a a a a +---++=+223n n n a a a +-=+对于C ，2024202320222023202120202023202132a a a a a a a a a a =+=++==++++ ，故C 正确；2023202131a a a a =++++ 对于D ，2025202420232024202220212024202243a a a a a a a a a a =+=++=++++ ，故D 错误.20242022421a a a a a =+++++ 故选：AC.11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π【正确答案】ACD【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，//BDNM CEF 求出长度即可判断；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断，A B 将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到CEF 1111D C B A PC EF Q PQ CQ +最小值，利用勾股定理求出即可判断，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求,PQ CQ C 出外接球的表面积即可判断.D 【详解】如图，取，的中点为，连接，，11A D 11A B ,N M ,,,,MN DN BD BM NE 11B D所以，又E ，F 分别是棱，的中点，11//MN B D 11B C 11C D 所以，所以，11//EF B D //MN EF 平面，平面，MN ⊄CEF EF ⊂CEF 平面，//MN ∴CEF 因为分别是棱，的中点，所以，且，,N E 11A D 11B C //NE CD NE CD =所以四边形为平行四边形，CDNE 所以，又平面，平面，//ND CE ND ⊄CEF CE ⊂CEF 平面，//ND ∴CEF 又，平面，MN ND N = ,MN ND ⊂BDNM 所以平面平面，//BDNM CEF点P 是正方形内的动点，且平面，1111D C B A //DP CEF 所以点P 的轨迹为线段，由勾股定理得，故正确；MN MN ==A 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，A 1,,AB AD AA x y z 由题意得，设，(0,0,0)A (,,4)P x y，AP ==所以，所以点的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，221x y +=P 1A 14所以点P 的轨迹长度为.故错误；1π2π42⋅=B 如图，将平面翻折到与平面共面，CEF 1111DC B A 连接，与交于点，此时取到最小值，PC EF Q PQ CQ+，且，CE CF === 2PE PF ==所以点为的中点，所以Q EFPQ EQ ===所以，CQ ===即的最小值为，故正确；PQ CQ +C如图，连接，交于点，连接，PF 11B D 1O PE 若P 是棱的中点，则，11A B 90FEP ∠= 所以是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，FP PEF !1O PEF !过点作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在该垂线上，1O ABCD P CEF -O 连接，设，则，OP 1OO t =2222t R +=连接，，所以，OC 12AC ==()(2224t R -+=所以，解得，()(222224t t +=-+52=t 所以，222541244R =+=所以三棱锥的外接球的表面积为，故正确.P CEF -24π41πS R ==D 故选.ACD方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++【正确答案】.430x y -+=【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.【详解】由题意，223673(1)4y x x x '=++=++所以时，，又时，，1x =-min4y '=1x =-1y =-所以所求切线的方程为，即．14(1)y x +=+430x y -+=故．430x y -+=13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =【正确答案】【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求PO h =Rt POA △Rt POB △Rt POC △出，最后利用余弦定理进行求解即可.,,OA OB OC 【详解】设塔的高，PO h =在中，，同理可得，，Rt POA △otan 30OP OA ==OB =OC h =在中，，则，OAC πOBA OBC ∠+∠=cos cos OBA OBC ∠=-∠，22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC +-+-∴=-⋅⋅.=h =所以塔的高度为米.故答案为.14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ【正确答案】23【分析】根据中点坐标公式可得，进而可得为等比数列，()*122n n n a a a n +++=∈N {}1n n a a +-即可利用累加法求解,由极限即可求解.121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】不妨设点、，设点，()10,0A ()21,0A ()(),0n n A a n *∈N 则数列满足，，，{a n }10a =21a =()*122n n n a a a n +++=∈N 所以，，1212n nn n a a a a +++--=-所以，数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n n a a +-211a a -=12-所以，，11111122n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当时，2n ≥()()()2121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，1111212113212n n --⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+也满足，故对任意的，.10a =121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n *∈N 121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，，故11212lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭23λ≥故答案为.23四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d 数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【正确答案】（1），，24a =2n n a =*N n ∈（2）332n nn T +=-【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算1n =12a =2n =出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可2a 2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；{}n a 22{}n a （2）先根据第题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，()1n a 1n a +()11n n n a a n d +-=+通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前项和．n n T 【小问1详解】由题意，当时，，解得，1n =111222S a a +=+=12a =当时，，即，解得，2n =2222S a +=12222a a a ++=24a =当时，由，可得，两式相减，可得，2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=122n n n a a a -=-整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a a -={}n a ∴，.1222n n n a -=⋅=*N n ∈【小问2详解】由（1）可得，，，2nn a =112n n a ++=在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，n a 1n a +n ()2+n n d 则有，()11n n na a n d +-=+∴，∴，1211nn n n a a d n n +-==++112n n n d +=∴，1231211123412222n n n n T d d d +=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，()2311111123122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得，2112311111121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=--∴.332n n n T +=-16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C【正确答案】（1）π3B =（2）18-【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小;B （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由22b ac =sin sin A C ，可得的值.cos cos()B A C =-+cos cos A C 【小问1详解】因为，π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭由正弦定理可得，12sin cos sin sin 2B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即，sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+在三角形中，，sin 0A >，cos 1B B -=即，因为，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)B π∈ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得，则.ππ66B -=π3B =【小问2详解】因为边上的高，AC h =所以①21122ABC S b h b =⋅==又②11sin 22ABC S ac B ac === 由①②可得，22b ac =由正弦定理可得，2sin 2sin sin B A C =结合（1）中可得，π3B =3sin sin 8A C =因为，()1cos cos cos cos sin sin 2B A C A C A C =-+=-+=所以.1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE VAE BD CD 4BD =（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定BE ,BE DE BE AE ⊥⊥理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；BE ⊥ADE （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.E【小问1详解】连接，BE 由题意，2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒则为等边三角形，ADE V 由余弦定理得，所以2144222122BE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BE =则，222222,DE BE BD AE BE BD +=+=所以，,BE DE BE AE ⊥⊥又平面，,,AE DE E AE DE ⋂=⊂ADE 所以平面，BE ⊥ADE 又平面，所以平面平面；BE ⊂ABCE ADE ⊥ABCE 【小问2详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，E 则，()()()(()2,0,0,0,,,,0,0,0A B CD E -设，()01DF DB λλ=≤≤故，()((,,1,EC ED DB=-==-，((()1,1,AD AD DF λλ=+=-+-=--因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，z ABCE ABCE ()0,0,1m =所以，cos ,m AF m AF m AF⋅===化简得，解得或（舍去），23830λλ+-=13λ=3λ=-所以，1133DF DB ⎛==- ⎝ 设平面的法向量为，DEC (),,n x y z =则有，可取，00n EC x n ED x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩)1n =- 所以点到平面FDEC18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=【正确答案】（1），最大值为0 2a =（2）证明见解析（3）2个，证明见解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用导数求出函数的单调(0)0f '=a ()f x 区间，从而求出函数的最大值；（2）依题意即证当时，记，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin ln(1)2x x ++>1()sin ln(1)2m x x x =++-，当时直接说明即可，当，利用导数说明函数的单调π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦性，即可得证；（3）设，，当时，由（1）知，()()h x f x x =+()1,x ∞∈-+(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=则，当时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函()0f x x +<π()0,x ∈数的零点，当时，，令，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥利用导数说明在区间上单调递减，即可得到，从而说明函数在()l x [π,)+∞()0l x <无零点，即可得解.[π,)+∞【小问1详解】由题意知，且，(0)0f =(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，解得，(0)20f a '∴=-=2a =，，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-()1,x ∞∈-+则，1()cos 21f x x x '=+-+当时，，．故，0x ≥cos 1≤x 111x ≤+()0f x '≤所以在区间上单调递减，所以．()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=当时，令，10x -<<1()cos 21g x x x =+-+则，21()sin (1)g x x x '=--+，，，sin (0,1)x -∈ 211(1)x >+()0g x '∴<在区间上单调递减，则，()f x '∴(1,0)-()(0)0f x f ''>=在区间上单调递增，则，则．()f x ∴(1,0)-()(0)0f x f <=()()max 00f x f ==综上所述，，的最大值为．2a =()f x 0【小问2详解】因为，()sin ln(1)2f x x x x =++-要证当时，即证，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>1sin ln(1)2x x ++>记，，1()sin ln(1)2m x x x =++-π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，，，π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 12x ≤≤ln(1)0x +>；1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->当时，，5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1()cos 1m x x x '=++记，则，1()()cos 1n x m x x x '==++21()sin 0(1)n x x x '=--<+在区间上单调递减，则，()m x '∴5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦5π6()065π6m x m ⎛⎫<=+< '+⎝'⎪⎭则在区间上单调递减，()m x 5π,π6⎛⎤⎥⎝⎦，()11()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-=+->综上所述，当时，．π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>【小问3详解】设，，()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-()1,x ∞∈-+，1()cos 11h x x x '∴=+-+当时，由（1）知，(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=故，()()0f x x f x +<<故在区间上无实数根．()0f x x +=(1,0)-当时，，因此为的一个实数根．0x =(0)0h =0()0f x x +=当时，单调递减，π()0,x ∈1()cos 11h x x x '=+-+又，，(0)10h '=>1(π)20π1h '=-<+存在，使得，∴0(0,π)x ∈()00h x '=所以当时，当时，00x x <<ℎ′(x )>00πx x <<ℎ′(x )<0在区间上单调递增，在区间上单调递减，()h x ∴()00,x ()0,πx ，又，()0(0)0h x h ∴>=(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．()0f x x ∴+=()0,πx (]00,x 当时，，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-令，()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++故在区间上单调递减，，()l x [π,)+∞()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<于是恒成立．故在区间上无实数根，()0f x x +<()0f x x +=[π,)+∞综上所述，有2个不相等的实数根．()0f x x +=方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈【正确答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18m（3）证明见解析【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；9m a m =-m （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】以内的质数为，202,3,5,7,11,13,17,19，故，所以为“理想数”；212=21a =2，而，故不是“理想数”；33110⨯+=1052=3，而，故是“理想数”；35116⨯+=41612=5，而，故不是“理想数”；37122⨯+=22112=7，而，故不是“理想数”；311134⨯+=34172=11，而，故不是“理想数”；313140⨯+=4058=13，而，故不是“理想数”；317152⨯+=52134=17，而，故不是“理想数”；319158⨯+=58292=19和5为两个质数“理想数”；2∴【小问2详解】由题设可知必为奇数，必为偶数，9m a m =-m ∴存在正整数，使得，即：∴p 92p m m =-9921p m =+-，且，921p ∈-Z211p-≥，或，或，解得，或，211p ∴-=213p -=219p-=1p =2p =，或，即的值为12或18．1991821m ∴=+=-2991221m =+=-m 【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如的整数，()*2k k ∈N 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，((((0224462222,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦若奇数，不妨设，1m >(2222,2k k m -⎤∈⎦若为"理想数"，则，且，即，且，m (*3112s m s +=∈N )2s >(*213s m s -=∈N )2s >①当，且时，；(*2s t t =∈N )1t >41(31)133t t m -+-==∈Z ②当时，；()*21s t t =+∈N 2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ，且，(*413t m t -∴=∈N )1t >又，即，22241223t k k--<<1344134k t k-⨯<-≤⨯易知为上述不等式的唯一整数解，t k =区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，(2222,2k k -(*413k m k -=∈N )1k >显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，()*413k m k -=∈N 所有的奇数"理想数"的倒数为，∴()*341kk ∈-N 1133134144441k k k ++<=⨯---1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即．21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯=⎪⎝⎭-- ()*73n S n <∈N 知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。

山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考 理科数学 Word版含答案本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟，第I 卷（选择题共60分）注意事项：l ．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号．一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2，3，4），集合A={1，2，3），B={2，4}，则()U C A B 为 A.{1,2,4) B.{2,3,4) C.{0,2,4) D.{0,2,3,4) 2．设z ∈R ，则x=l 是21x =的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()f x 为奇函数，且当x>0时，21()f x x x=+,则(1)f -= A. 2 B.0 C ．1 D ．-2 4．函数ln x xy x=的图像可能是5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-则2a 等于 A ．4 B ．2 C ．1 D ．-26．为了得到函数sin 2y x =的图象，只需把函数sin(2)6y x π=+的图象A. 向左平移6π个单位 B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移12π个单位7．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1237895,10a a a a a a ==，则456a a a =-A.52 B ．7 C ．6 D.28．已知角x 的终边上一点坐标为55(sin,cos )66ππ，则角x 的最小正值为 A ．56π B ．116π C ．53π D ．23π9．设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则A. c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD. a>b>c10.已知向量(2,8),(8,16)a b a b +=--=-,则a 与b 夹角的余弦值为 A ．6365 B ．6365- C ．6365± D ．51311．若，则123,,S S S 的大小关系为A. 123S S S <<B. 213S S S <<C. 231S S S <<D. 321S S S <<12.设定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，'()f x 是()f x 的导函数，当[]0,1x ∈时，0()1f x ≤≤；当(0,2)x ∈且1x ≠时，(1)'()0x x f x -<．则方程()lg f x x =根的个数为A ．12B ．1 6C ．18D ．20第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上． 2．答卷将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（本题共4小题，共1 6分）13．若向量(2,3),(4,7)BA CA ==，则BC =___________．14．在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a =__________． 15.已知集合{}{}{}22,3,23,21,2,5U U a a A a C A =+-=-=，则实数a 的值为___________. 16.已知函数()ln(1)f x x =+，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是____________. 三、解答题（本题共6小题，共74分） 17.（本小题满分12分）命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>，对一切x R ∈恒成立；命题q ：函()(32)xf x a =-是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）设递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31a =，4a 是3a 和7a 的等比中项． (l)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试理科数学Word版含答案高三数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分4页，本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题．5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一个符合题目要求的选项．）1．设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：x∈Z ，2x∈A,则pA．x∈Z ，2x A C．x∈Z ，2x∈AB．x Z ，2x∈A D．x∈Z ，2x A2．设集合A={1,2,3}，B={4,5}，C={x|x=b a,a A,b B}，则C 中元素的个数是A．3B．4C．5D．63．已知幂函数y f(x)的图像过点（A．21，），则log2f(2)的值为22D．112B．－1C．－1 24．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若A．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形|x|cosAb，则△ABC为cosBaB．直角三角形D．等腰直角三角形5．若当x∈R时，函数f(x) a(a 0且a 1）满足f(x)≤1，则函数y loga(x 1)的图像大致为6．已知110，给出下列四个结论：①a b ②a b ab ③|a| |b| ab④ab b2 其中正确结论的序号是A．①②B．②④C．②③D．③④7．等差数列{an}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于A．60B．80 C．90 D．1202x a,x 08．已知函数f(x) （a R），若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值2x 1,x 0范围是A．( , 1)B．( ,1]C．[ 1,0)*D．(0,1]9．已知数列{an}的前n项和为sn，且sn+an=2n（n∈N），则下列数列中一定是等比数列的是A．{an}B．{an－1}C．{an－2}D．{an+2}10．已知函数f(x) sin( x3)（0）的最小正周期为，将函数y f(x)的图像向5 5D．126右平移m（m0）个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则m的最小值为A．62B．3C．11．设函数f(x) x xsinx，对任意x1,x2 ( , )，若f(x1) f(x2)，则下列式子成立的是A．x1 x222B．x1 x2 C．x1 |x2|22D．|x1| |x2|12．不等式2x axy y≤0对于任意x [1,2]及y [1,3]恒成立，则实数a的取值范围是A．a≤22B．a≥22C．a≥113D．a≥9 2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．213t2dt 1，则sin cos .421x15．已知一元二次不等式f(x) 0的解集为{x| x 2}，则f(2) 0的解集为。

2023-2024学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ={x|0＜x ＜5}，B ={x|x+1x−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣1，4]B ．[﹣1，5）C ．（0，4]D ．（0，4）2．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣1，2），则cos （π﹣α）＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．−√55D ．−2√553．设复数z 满足2z +z =3+i ，则z i=（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i4．定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝f （﹣x ），且在（﹣∞，0]为增函数，则（ ） A ．f(cos2023π)＜f(log120232022)＜f(212023)B ．f(212023)＜f(cos2023π)＜f(log 120232022) C ．f(212023)＜f(log 120232022)＜f(cos2023π)D ．f(log 120232022)＜f(cos2023π)＜f(212023)5．已知命题p ：∃x ∈[1，4]，log 12x ＜2x +a ，则p 为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a ＞﹣11C ．a ＜﹣1D ．a ＜﹣116．函数f(x)=sin(2x +π6)向右平移m （m ＞0）个单位后，所得函数g （x ）是偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．−π6B ．π6C ．π3D ．2π37．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则3x +9y 的最小值为（ ） A ．2√3B ．3√2C ．3√3D ．2√28．已知0＜α＜π2，2sin β﹣cos α＝1，sinα+2cosβ=√3，则cos(α+π3)=（ ） A ．14B ．−14C ．13D ．−13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省潍坊市昌邑市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}|(1)(2)0A x x x =-+=，{}|3213B x x =-<-<，则A B = （）A ．{}2,1-B ．()2,1-C ．{}1D ．()1,2-2．命题“所有能被3整除的整数都是质数”的否定是（）A ．存在一个能被3整除的整数不是质数B ．所有能被3整除的整数都不是质数C ．存在一个能被3整除的整数是质数D ．不能被3整除的整数不是质数3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321523,1S S S a =+=，则{}n a 的公差等于（）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品浓度C 随时间t 的变化关系为22040Ct t C -+=，则C 的最大值为（）A ．1B ．2C ．4D ．55．如图，,,A B C 是圆O 上的三点，且60,90AOB BOC ∠∠=︒=︒，则OA =（）A ．1322OB -B ．1322OB +C ．3122OB OC-D ．3122OB OC+6．已知一个圆锥的底面圆半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（）A ．B ．2π3C ．3D ．37．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()11f x y f x y f x f y -+-++=，且()12f =，则()()()234f f f ++=（）A ．2B ．0C ．2-D ．4-8．已知函数()()πsin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论：甲：函数()f x 的图象关于π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称；乙：函数()f x 在5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；丙：函数()f x 在区间()0,π上有3个零点；丁：函数()f x 的图象向左平移π2个单位之后与()f x 的图象关于x 轴对称.若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、多选题9．已知直线,m n 是平面α外两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A ．若m //,n α//α，则m //nB ．若m //,n n //α，则m //αC ．若m //,n m α⊥，则n α⊥D ．若m //,n αα⊥，则m n ⊥10．已知03a b <<<，则（）A ．(1)1b a +>B ．()log 11a b +>C ．()()cos πcos πa b +<+D ．ππcos cos 22a b ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．设函数()2cosπ2xf x x ax =-+，则（）A ．存在实数a ，使得()f x 为偶函数B ．函数()f x 的图象关于()2ax a =∈Z 对称C ．当2a =时，142f x x⎛⎫-< ⎪⎝⎭D ．当4a =时，函数()f x 在()2,3上单调递增三、填空题12．已知向量a ，b满足1a = ，()1,1b = ，()a ab ⊥- ，则,a b = .13．已知点π,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()sin (03)2f x x ωω=-<<的图象上，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为.14．已知数列{}n a 满足11a =，且对于任意2n ≥，都存在{}1,2,,1k n ∈-L ，使得4n k a a =+，则4a 的所有可能取值构成的集合M =；若{}n a 的各项均不相等，把半径为123,,a a a （单位：cm ）的三个小球放入一个正方体容器（容器壁厚度忽略不计），则该正方体容器的棱长最小值为cm .四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b csin cos C c c A -=.(1)求A ；(2)若6a b c +=，求ABC V 的面积.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3212321212121n n n a a a a ++++=---- .(1)求n S ；(2)设3642n n nS b +=，若数列{}n b 的最小项为m b ，求m .17．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，2AB =，AC BD O = ，11A AB A AD ∠=∠.(1)证明：1AA BD ⊥；(2)若1122AA AO ==，π3BAD ∠=，点P 在平面1AB C 内，且BP ⊥平面1AB C ，求BP 与平面ABCD 所成角的正弦值.18．已知函数()()()2ln 1f x ax x x a =-++∈R .(1)当0a ≥时，讨论()f x 的单调性；(2)()()()1e 21xg x f x x x =++--.（i ）当0a =时，求()g x 的最小值；（ii ）若()0g x ≥在[)0,+∞上恒成立，求a 的取值范围.19．已知()f x 为定义域M 内的连续函数，()f x '为其导函数，常数a M ∈，若各项不相等的数列{}n a 满足n a M ∈，1a a >，()()()1n n n f a f a f a a a+'-=-，则称{}n a 为()f x 的“拉格朗日数列”，简记为“()L a -数列”.(1)若函数()ln g x x =，数列{}n b 是()g x 的“()1L -数列”，且1e b =.（i ）求2b ，3b ；（ii ）证明：{}n b 是递减数列；(2)正项数列{}n c 是函数()36sin h x x x =+的“()L c -数列”，已知()1,n n c c c +∈，记{}n c 的前n 项和为n S ，证明：0c >时，()112n n S c n c c +≥-+.。

2024-2025学年度第一学期期中考试解析-高三上数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，i 为虚数单位，为z 的共轭复数，则（ ）A.B. 4C.D.2. 已知集合，，则（ ）A. B.C. D. 3. （ ）A.B.D.24.已知向量，，其中，若，则（ ）A. 40B. 48C.D. 625. 已知的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，则的最大值为（ ）A.B.C.D.6. 若定义在上的偶函数在上单调递增，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.7. 已知a ，且，，，则（ ）A.B. C.D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.44i z =+z z i -=5(){}2024log 20250M x y x ==-<{}2026x N y y ==M N = (2024,2025)(,2025)-∞(0,)+∞(2025,)+∞4log 50.5=1215-()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ 0λ≥a b ∥ ()b a b ⋅-=34-ABC △B 6π3π2π23πR ()f x [)0,+∞1πf ⎛⎫- ⎪⎝⎭31f ⎛⎫- ⎪⎝⎭127f -⎛⎫⎪⎝⎭12117π3f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->-> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121173πf f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b ∈R 0b ≠1a b ≠-1sin 21a b a bα-=+ab =1cos 1cos αα-+πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 1sin αα-+2πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >ln e ln x x ex x a -≥(],0-∞(20,e ⎤⎦(],1-∞[)e,+∞9. 已知且，则（ ）A. B. C.2D.10. 已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（ ）A. B.是偶函数C. D.若，则11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）A. 的定义域为B. 有解C. 不存在极值点D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线在点处的切线方程为______.13. 数列共有5项，前三项成等比数列，公比为q . 后三项成等差数列，公差为d ，且若第5项为1，第2项与第4项的和为18，第1项与第3项的和为35，则____________.14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O ，称为密克点.在梯形ABCD 中，，，M 为CD 的中点，动点P 在BC 边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q （异于点P ），则BQ 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知单位向量，满足．（1）求；（2）求在上的投影向量（用表示）．16.（15分）0xy >21x y +=0y <102x <<42xy+≥22log log 0x y +<()f x 14,16⎛⎫⎪⎝⎭()00f =()f x ()12f '-=()()321f x f x ->+233,,4322x ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()(1)log x f x x +=()f x ()0,+∞()2f x =()f x ()()()11f x f x x <+>21e x y x x -=-()1,0{}n a dq +=111A B C △1M 1N 1P 11A B 11B C 11C A 111A M P △111B M N △111C N P △60B C ∠=∠=︒22AB AD ==ABP △CMP △1e 2e121()23e e e ⋅+= 1232e e -125e e - 1e1e定义三阶行列式运算：，其中（i ，）.关于x 的不等式的解集为M .（1）求M ；（2）已知函数在实数集单调递增，求a 的取值范围.17．（15分）函数（，，）的部分图象如图，和均在函数的图象上，且Q 是图象上的最低点．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值．18. （15分）已知数列是首项为2，公比为4的等比数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n 项和.19.（17分）已知函数（1）求的值；111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---ij a ∈R {}1,2,3j ∈10100001x x x->()()241,,e 22,x x a x x Mf x a x M⎧-+∈=⎨--∈⎩R ðR ()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<()1,0P ()4,2Q -()f x ()f x ()056f x =058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos x π{}2na {}nb 321212222n n b b b b n -++++= {}n a {}n b n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S ()3f x x x =-()0f（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.高三期中考试题 数学参考答案1. D 【解析】由，可得.故选D.2. C 【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3. C 【解析】由题意得.故选C 项.4. D 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选D.5. B 【解析】由题意可得，由余弦定理可得，，，.故选B.6. .B 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，，又()()()ln 0g x a x x f f x =-+-(]1,3a ∈-()g x []1,e Mm -44i z =+45i z i -==-=()2024log 20250x -<020241x <-<()2024,2025M =20260x y =>()0,N =+∞()2024,2025M N = 444222log 5111log loglog log 5log 552510.522222-⎛⎫======⎪⎝⎭()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ a b ∥ ()()54218λλ++=⨯0λ=145-0λ=a b ∥ ()()()2,81,4124834b a b ⋅-=⋅--=-⨯-⨯=-2b ac =2222221cos 2222a cb ac b ac ac B ac ac ac +---=≥==0B π<< 03B π∴<≤()f x R 3113f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭127-=，在上单调递增，所以.故选B 项.7. D 【解析】由题意可得，解得.故选D.8. A 【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9. BCD 【解析】由且，得，解得，同理得，故A 项错误，B 项正确；对于C 项，，当且仅当时，取等，故C项正确；对于D项，，故D 项正确.故选BCD 113π>>()f x [)0,+∞1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 21a b a bα-=+22221sin 2sin cos 2sin cos 1sin 2sin cos 2sin cos a b αααααααααα+++==-+-()()()()22222sin cos 1tan πtan 4sin cos 1tan ααααααα++⎛⎫==+ ⎝--=⎪⎭ln e ln x x x x a -≥0x >()ln f x x x =()ln 1f x x ='+()0f x '=1ex =10e x <<()0f x '<1e x >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()11e ef x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭1ln ex x ≥-ln tx x =()1e et g t et t ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭()e t g t e '=-11e t -≤<()0g t '<1t >()0g t '>()g t 1,1e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()1,+∞()()min 01g t g ==0a ≤0xy >210x y +=>(12)0x x ->102x <<01y <<422x y +==>…14x =12y =()22222222121log log log log log log 302822x y x y x y xy ⎡⎤⋅+⎛⎫+====-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…项.10. BCD 【解析】设幂函数，由，得，所以，所以无意义，故A 项错误；，所以是偶函数，故B 项正确；由，得，故C 项正确；因为是偶函数，且在上单调递减，所以由，得，即且解得且，故D 项正确.故选BCD 项.11. ACD 【解析】对于A 选项，由函数的定义知的定义域为，故A 正确.对于B 选项，令，则，即，判别式，无实数解，故B 错误.对于C 选项，，可知，设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C 正确.对于D 选项，方法一：由的单调性可知，D 正确.方法二：作差有，且，故，D 正确.故选ACD.12. 【解析】，故时，，故曲线在点处()a f x x =()14416af ==2α=-()2f x x -==()0f ()()f x f x -=()f x ()32f x x -=-'()12f '-=()f x ()0,+∞()()321f x f x ->+321x x -<+22(32)(1)x x -<+320,10,x x -≠⎧⎨+≠⎩243x <<32x ≠()f x ()0,+∞(1)log 2x x +=2(1)x x +=2403x x +=+70∆=-<()(1)ln log ln(1)x x xf x x +==+()2211ln(1)ln (1)ln(1)ln 1ln 1)(1)ln )((1x xx x x x x x f x x x x x +-++-+==+++'()ln g x x x =()ln 1g x x ='+()0g x '=1e x =()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1()0g x <()()1ln 1y x x =++()g x ()f x '()f x ()f x ()()()(1)21lo (1)g log x x x f x x f x ++-+=+-()()()2ln ln 2ln 1ln(2)ln 1x x x x x ⋅+-++⋅+=()()()()222ln ln 22ln 1ln ln 2ln 122x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⋅+<<=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()11f x f x x <+>22y x =-()212e 1x y x x -'+-=1x =2y '=21e x y x x -=-()1,0的切线方程为.13. 5【解析】由题意得该数列的项可设为，，，，1，又即从而，即，即，解得所以.14.【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q 在线段BD 上，且时，BQ 取得最小值.15. 解：（1）．……6分（2）在上的投影向量为．……13分16．（15分）解：（1），（3分）所以，所以原不等式的解集.（6分）（2）由（1）知，所以（7分）22y x =-()212d q +()12d q +12d +1d +()()211218,121235,d d q d d q ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩()()221217,2234,q d q q d q ⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩()()()()2212341722q q q q +-=-+232334682343422q q q q q q -+-=+--235700q q -=2,3,q d =⎧⎨=⎩5q d +=1-EBC △ABP △CMP △AME △AME △120BAD ∠=︒90BAM ∠=︒AME △1R AD ==ABD △BD ==1QD =11232e e -==125e e -1e ()121111352e e e e e e -⋅⋅=-()()1010110001x x x x x xx x x=-=->-1x >{|1}M x x =>{|1}M x x =>()()241,1e 22,1xx a x x f x a x ⎧-+>=⎨--⎩…在实数集上单调递增，，又因为当时，是单调增函数，所以当时，，解得（10分）综上，a 的取值范围是.17. 解：（1）由题得，，故，．由，得，，故，，，故，故．，即单调递增区间为，．……9分（2）由，即，又，则，故，．……15分18.解：（1）由题意得，（2分）所以.（3分）由，得当时，，（5分）所以，即.（6分）又当时，也符合，()f x R 4112a +∴≤14a ∴≤1x ≤()f x 1x =224e a a --≤-12ea ≤-,1(]2e -∞-2A =334T =4T =π2ω=2113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π113π2π232k ϕ⨯+=+k Z ∈π2π3k ϕ=-+k Z ∈π2ϕ<π3ϕ=-()ππ2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππππ152π2π44223233k x k k x k -+≤-≤+⇒-+≤≤+()f x 154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k Z ∈()056f x =0ππsin 2335x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭04ππcos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭0000ππππππ1ππcos cos cos sin 223323223x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()22000ππcos cos(2c )2)1os (2(122x x x π=-∴=⨯=⨯-=1212422na n n --=⨯=21n a n =-32122222n b b b b n ++++= 2n …()31212222122n n b b b b n --++++=- 122nn b -=2n n b =1n =12b =所以.（7分）（2）设，则，（8分）（9分）两式作差得，（10分）即，（12分）所以.19.（17分）已知函数（1）求的值；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.解：（1）由，（2分）所以，所以，（4分）所以.（5分）（2）由（1）可得，（6分）2nn b =()1212nn n n a c n b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()21221111()32221nn n S c c c n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()231111132112222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231111112211222222221nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1121722222212111272111n n n n n S n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+--=- ⎪⎝⎭-2277n nn S +=-()3f x x x =-+()0f ()()()ln 0g x a x x f f x =-++-(]1,3a ∈-()g x []1,e Mm -()3f x x x =-+()()332223031()2e f f x x e x -'-'=-+()()30012f f =-+''()02f '=()3f x x x =-()206f e =()32ln 6g x x a x e =-++，（7分）①当时，，， 在区间上单调递减， （8分）所以的最小值.（9分）的最大值，（10分），（11分）这时的取值范围为.（12分）②当时，，，在区间上，， 在区间上单调递减，（13分）所以的最小值.（14分）的最大值，（15分），这时的取值范围为.（16分）综上所述，当时，取值范围为；当时，取值范围为.（17分）变式：已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.()32333x a x a g x x x '⎛⎫- ⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭10a -<≤03a ->()0g x '≤()g x [1,]e ()g x ()326m g e a e e ==-++()g x ()2161M g e ==-()232333(1)6161(1,]M m g g e e a e e a e e e -=-=-+--=--∈-Mm -33(1,]e e -03a <≤013a<≤01<≤[1,]e ()0g x '≤()g x [1,]e ()g x ()326m g e a e e ==-++()g x ()2161M g e ==-()232333(1)6161[4,1)M m g g e e a e e a e e e -=-=-+--=--∈--Mm -33[4,1)e e --10a -<≤M m -33(1,]e e -03a <≤Mm -33[4,1)e e --()3f x x x =-+()y f x =0x =()()()20g x ax x f f x =+--10a -<<()g x []1,0-M m -解：（1）由，（2分）所以，所以，（4分）所以，所以.（5分）所以在处的切线方程为（6分）化为.（7分）（2）由（1）可得，（8分）所以，，两零点为 （9分）-+单调递减单调递增（11分）因为，（12分）所以时，，（13分）()3f x x x =-+()()3223031(1)2f f x x x -'-'=-+()()30012f f =-+''()02f '=()3f x x x =-+()06f =()y f x =0x =()620y x -=-260x y -+=()()()()22332006g x ax x f f x ax x f x x x ax =-++-⎛=-+--+ ⎝=-++()22323()3a g x x ax x x =-+=--'10a -<<1222,0,033a x x ⎛⎫=∈-= ⎪⎝⎭x 21,3a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2,03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x '()g x ()60g =()()7106g a g =+>=-[]1,0x ∈-()()max 17M g x g a==-=+（14分）所以设，（15分）（16分）所以在上单调递增，因为，所以的取值范围为.（17分）()n 33mi 3238462742769a m g x g a a a ⎛⎫== ⎪⎝=-++=+⎭()33472741276h a M m a a a a -=-==+--++10a -<<()22449433'1()()()0994922h a a a a a =-+=--=-+->()h a 10a -<<()4127h -=()01h =M m -4,127⎛⎫⎪⎝⎭。

山东省各地2014届高三上学期期中考试试题分类汇编应用题1、（德州市2014高三期中）统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数为3138(0120)12800080y x x x =-+<<。

（1）当64x =千米/小时时，要行驶100千米耗油量多少升？（2）若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？解：（1）当64x =千米/小时时，要行驶100千米需要100256416=小时 要耗油(313256464811.95()1280008016⨯-⨯+⨯=）升 （2）设22.5升油该型号汽车可行驶a 千米，由题意得313(822.512800080a x x x -⨯+⨯=） 222.518312800080a x x ∴=+- 设2183()12800080h x x x =+-则当()h x 最小时，a 取最大值， 由332221880()6400064000x h x x x x -'=-=令()080h x x '=⇒= 当(0,80)x ∈时，()0h x '<，当(80,120)x ∈时，()0h x '>故当(0,80)x ∈时，函数()h x 为减函数，当(80,120)x ∈时，函数()h x 为增函数所以当80x =时，()h x 取得最小值，此时a 取最大值为222.5200183801280008080a ∴==⨯+-答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米。

2、（临沂市2014高三期中）某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是310041x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元. （I ）要使生产该产品1小时获得的利润不低于1200元，求x 的取值范围；（II ）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.3、（青岛市2014高三期中）某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ;（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值． 解: （Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈. ……………………………3分（Ⅱ）2()(10)2(4)(10)L x x x a x '=-----(10)(1823),x a x =-+- …………………………………………6分令'()0L x =，得263x a =+或10x = ……………………………8分 20213,6833a a ≤≤∴≤+≤Q . ①当2673a +≤，即312a ≤≤时， [7,9]x ∴∈时，()0L x '≤，()L x 在[7,9]x ∈上单调递减，故max ()(7)279L x L a ==- ……………10分 ②当2673a +>，即332a <≤时， 2[7,6]3x a ∴∈+时，'()0L x >；2[6,9]3x a ∈+时，()0L x '< ()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2[6,9]3x a ∈+上单调递减， 故3max 2()(6)4(2)33a L x L a =+=- ……………12分答:当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a -万元； 当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a -万元. ……………13分4、（潍坊市2014高三期中）如图，某广场要划定一矩形区域ABCD ，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道。

山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编18：数列 一、选择题 ．（山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）观察下列等式: 照此规律, 第n个等式可为__________________________ 【答案】 ．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在等差数列,则此数列前10项的和45B．60C．75D．90 【答案】A ．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）在等差数列中,,则的前5项和15B．7C．20D．25 【答案】A ．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）已知数列{ an }的前n项和为Sn,且Sn=2(an—1),则a2等于（ ） A．4B．2C．1D．-2 【答案】A ．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn表示数列{an}的前n项的和,若a1=3,a2a4=144,则S5的值为B．69C．93D．189 【答案】C ．（山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）设S是等差数列{a}的前n项和,若,则等于（ ） A．B．C． D．【答案】C ．（山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）在各项均为正数的等比数列{a}中,若aa=9,则loga+loga++loga=（ ） A．12B．2+log5C．8D．10 【答案】D ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知等差数列的公差,若(),则B．C．D． 【答案】C ．（山东省济南外国语学校2014届高三上学期质量检测数学（理）试题）各项都是正数的等比数列的公比,且成等差数列,则的值为（ ） A．B．C．D．或 【答案】C ．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知数列的前n项和为,且则等于4B．2C．1D．-2 【答案】A ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）若数列的前项和,则数列的通项公式B．C．D． 【答案】D ．（山东省聊城市堂邑中学2014届高三上学期9月假期自主学习反馈检测数学（理）试题）若数列的通项为,则其前项和为（ ） A．B． C．D． 【答案】D根据题意,由于数列的通项为可以变形为,那么可知数列的前n项和为可知结论为,故选D ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）等差数列{}的前20项和为300,则+++++等于60B．80C．90D．120 【答案】C ．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知等差数列的前项和为B．C．D． 【答案】A ．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知,把数列的各项排列成如下的三角形状, 记表示第行的第个数,则=（ ） A．B．C．D． 【答案】A ．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知是首项为1的等差数列,是的前项和,且,则数列的前五项和为B．C．D． 【答案】B ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知数列{}的前项和为,且+=2(∈N*),则下列数列中一定是等比数列的是{}B．{-1}C．{-2}D．{+2} 【答案】C．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）等差数列中,则（ ） A．B．C．D． 【答案】B ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）设是等差数列的前项和,若,则=（ ） A．1B．-1 C．2D． 【答案】A ．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）数列中,前项和为,且 , 则=（ ） A．2600B．2601C．2602D．2603 【答案】A ．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）设等比数列中,前n项和为,已知,则（ ） A．B．C．D． 【答案】A ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在正项等比数列中,,则的值是（ ） A．B．C． D． 【答案】A ．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知各项均为正数的等比数列中,,则-B．7C．6D． 【答案】A ．（山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）如果等差数列中,,那么a+a++a的值为（ ） A．18B．27C．54D．36 【答案】D 二、填空题 ．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）公比为的等比数列前项和为15,前项和为________________. 【答案】 ．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）已知递增的等差数列满足,则_________ . 【答案】 ．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）在等比数列中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式__________. 【答案】 ．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）正项数列的前n项和满足,则数列的通项公式=_________. 【答案】 ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）______. 【答案】 三、解答题 ．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知各项均为正数的数列前n项和为,首项为,且等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若,设,求数列的前n项和.【答案】解(1)由题意知 当时, 当时, 两式相减得 整理得: ∴数列是以为首项,2为公比的等比数列. (2) ∴, ① ② ①-②得 ．（山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）已知数列{a}的首项a=5,前n项和为S,且S=2S+n+5, 且n∈N. (I)证明数列{a+1}是等比数列; (II) 令f(x)=ax+ax++ax,求函数f(x)在点x=1处的导数f((1),并比较2f((1)与23n13n的大小. 【答案】(II)由(I)知因为所以从而=．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）下面四个图案,都是由小正三角形构成,设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为. 图1 图2 图3 图4 (1)求出,,,; (2)找出与的关系,并求出的表达式; (3)求证:() 【答案】(1)由题意有 , , , , (2)由题意及(1)知,, 即, 所以, , , , 将上面个式子相加,得: 又,所以 (3) ∴ 当时,,原不等式成立 当时,,原不等式成立 当时, , 原不等式成立 综上所述,对于任意,原不等式成立 ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.(Ⅰ)若,求数列的通项公式;(Ⅱ) 记,,且成等比数列,证明:().【答案】解(Ⅰ)因为是等差数列,由性质知, 所以是方程的两个实数根,解得, ∴或即或 (Ⅱ)证明:由题意知∴ ∴ ∵成等比数列,∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴左边=右边=∴左边=右边∴()成立 ．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）,且. (Ⅰ)求数列的通项公式及其前项和 (Ⅱ)若数列满足求 【答案】解(Ⅰ)设等差数列的首项和公差分别为,则,解得 ∴, (Ⅱ)① ② ①-②得 ∴, ∴ ．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知等差数列{an}满足:an+1>an(nN*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.(Ⅰ)求数列{an}.{bn}的通项公式an.bn;(Ⅱ)设,求数列{cn}的前n项和Sn .【答案】解(Ⅰ)设d.q分别为数列{an}.{bn}的公差与公比.由题知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后得2,2+d,4+2d是等比数列{bn}的前三项,∴(2+d)2=2(4+2 d) 得:d=±2. 由此可得b1=2, b2=4,q=2, ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知公比为的等比数列{}是递减数列,且满足++=,=(I)求数列{}的通项公式;(II)求数列{}的前项和为;(Ⅲ)若,证明:≥.【答案】解:由=,及等比数列性质得=,即=, 由++=得+=由得所以,即32-10+3=0解得=3,或=因为{}是递减数列,故=3舍去,∴=,由=,得=1故数列{}的通项公式为=(∈N*) (II)由(I)知=,所以=1++++ ①=+++++ ② ①-② 得:=1+++++-=1+2(++++)-=1+2-=2-- 所以=3- (Ⅲ)因为=+=, 所以=+++=2[()+()++()]=2(-) 因为≥1,-≥=,所以≥ ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知数列满足,等比数列为递增数列,且,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)令,不等式的解集为,求所有的和.【答案】解:(Ⅰ)设的首项为,公比为,所以,解得 又因为,所以则,,解得(舍)或所以 (Ⅱ)则, 当为偶数,,即,不成立当为奇数,,即,因为,所以 则组成首项为,公差为的等差数列组成首项为,公比为的等比数列则所有的和为 ．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）已知数列满足:,数列满足.(1)证明数列是等比数列,并求其通项公式: (2)求数列的前项和;(3)在(2)的条件下,若集合,求实数的取值范围.【答案】 ．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）(本小题满分12分)设递增等差数列的前n项和为,已知,是和的等比中项.(l)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和. 【答案】解:(1)在递增等差数列中,设公差为, 解得 , ------------- (2) 所求, ．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）已知递增的等比数列满足:,且是的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)若,,求.【答案】解:(1)设等比数列首项为,公比为.由已知得 代入可得 于是.故,解得或 又数列为递增数列,故,∴ (2)∵ ∴ 两式相减得 ∴ ．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知数列的前n项和为,且(I)求的通项公式;(II)设恰有4个元素,求实数的取值范围.【答案】 ．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知是等差数列,其前项和为,是等比数列(),且,.(1)求数列与的通项公式; (2)记为数列的前项和,求.【答案】解:(1)设数列的公差为,数列的公比为,由已知,由已知可得 因此(2) 两式相减得 故 ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）设曲线在点处的切线与轴的定点的横坐标为,令. (1)当处的切线方程;(2)求的值.【答案】 ．（山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）已知数列{a}中,a=1,a=a+2n+1,且n∈N.(1)求数列{a}的通项公式;(2)令b=,数列{b}的前n项和为T.如果对于任意的n∈N,都有T>m,求实数m的取值范围.【答案】解:(1)∵ a=a+2n+1, ∴ aa=2n1, 而 a=1,∴ a=a+(aa)+ (aa)++(aa)=1+3+5++(2n1)==n (2) 由(1)知:b=== ∴ T=()+ ()+......+ ()=1 ∴数列{b}是递增数列,∴最小值为1=只需要 >m ∴ m的取值范围是(,+∞) ．（山东省济南外国语学校2014届高三上学期质量检测数学（理）试题）设数列的前n项和为,已知,,数列是公差为d的等差数列,. (1)求d的值; (2)求数列的通项公式;(3)求证:. 【答案】 ．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=. (Ⅰ) 求证:{}是等差数列;(Ⅱ)求an表达式;(Ⅲ)若bn=2(1-n)an (n≥2),求证:b22+b32++bn2<1.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) (Ⅲ), ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）(本小题满分12分)设等差数列的前项和为,且(是常数,),. (Ⅰ)求的值及数列的通项公式;(Ⅱ)证明:. 【答案】(Ⅰ)解:因为, 所以当时,,解得, 当时,,即,解得, 所以,解得; 则,数列的公差, 所以. --- (Ⅱ)因为 . 因为所以 ．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）已知数列的前项和为,且.(1)证明:数列为等比数列;(2)若数列满足,且,求数列的通项公式.【答案】解:(1)由已知当时,有 两式相减得整理得 当时, 故数列是首项为,公比为等比数列 (2)由(1)可知, 由可得 累加得 又,于是。

山东省泰安市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}110,U x x x =<<∈N ，{}3,5,8U A =ð，则（）A ．4A∈B ．6A∉C ．8A∈D ．9A∉2．命题2:3,2x p x x ∃>≥的否定为（）A ．23,2x x x ∃><B ．23,2x x x ∀><C ．23,2xx x ∃≤≥D ．23,2x x x ∀≤<3．已知2x a =，log 6a y =，0a >，且1a ≠，则x y a +=（）A ．5B ．6C ．7D ．124．函数1e ()cos 21e xxf x x -=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，388a a +=，53a =，则20S =（）A ．220B ．240C ．260D ．2806πsin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2cos 2cos αα+=（）A ．34B ．12C ．14-D ．12-7．“函数tan 2x y ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称”是“ππ8k ϕ=+，k ∈Z ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件8．已知()2ππsin 0()606x ax bx c a ⎛⎫-++≥ ⎭≠⎪⎝对任意[]0,8x ∈恒成立，则20cx ax b ++>的解集为（）A ．81,7⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()8,1,7⎛⎫-∞-+∞ ⎝⎭ C ．8,17⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()8,1,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知a ，b ，x ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若11a b<，则a b >B ．若a b >，则e e x x a b >C ．若0a b >>，则11b ba a+>+D ．若ln0ab>，则a b >10．已知函数()πsin cos 4f x x x x =+++，则下列选项正确的是（）A ．()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭B ．将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度，得到的函数图象关于原点对称C ．π2x =是函数()f x 的极大值点D ．当[]0,2πx ∈时，函数()f x 的值域为π9π1,144⎡⎤++⎢⎥⎣⎦11．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和()2114n n S n a +=+-，*n ∈N ，12a =，则下列选项正确的是（）A ．23a =B ．数列{}n a 是递减数列C ．1n a >D ．2n ∀≥，*n ∈N ，22232222223n a a a n+++< 三、填空题12．函数()1ln f x x x=的定义域为.13．已知数列{}n a 满足11,4,44n n n n n a a a a a ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，设{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，则50S =.14．已知函数()()()222ln 24a x x ax a a x f x =----，若存在()0,x ∈+∞，使得()1f x ≥，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.(1)若π6ϕ=，()f x 的最小正周期为π，求()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x的部分图象如图所示，其中(0,A，(B ，求()f x 的解析式.16．已知函数()22e xf x x =.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)讨论方程()f x m =（m ∈R ）解的个数.17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，ABC ∆的面积为S ，且()22tan 4b c A S +=+22sin 2aA.(1)求A ；(2)若1a =，求S 的最大值.18．已知函数()()211ln e 22xf x a x x =+--.(1)若()g x ，()t x 是定义在R 上的函数，()()40g x g x ++-=，()()()(),2,22,2t x x g x f x x t x x ⎧<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩.证明：当1a =时，()g x 为周期函数.(2)若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为210x y +-=，设()()()1ln h x f x mx x =++（m ∈R ），()h x '为()h x 的导函数，且()h x '有两个极值点1x ，2x （12x x <）.证明：.()()11221222h x x h x x mx x +---'<'19．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1.证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；2.假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有自然数n 都成立.已知有穷递增数列{}n a ，11a =-，20a >，*n ∈N 且3n ≥.定义：集合(){}*,,,1,,,ijA x y x a y a i j n i j ===≤≤∈N ，若对()11,x y A ∀∈，()22,x y A ∃∈，使得12120x x y y +=，则称{}n a 具有性质T .(1)若数列1-，1，2，m （2m >）具有性质T ，求实数m 的值；(2)若{}n a 具有性质T ，且21a =，32a =，（ⅰ）猜想当2n ≥时{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想；（ⅱ）求()234325123121nn a a a n n a +++++- （2n ≥）.。

山东省各地2014届高三上学期期中考试试题分类汇编不等式一、选择题1、（德州市2014高三期中）设偶函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x+->的解集为A ．(1,0)(1,)-⋃+∞B ．(,1)(0,1)-∞-⋃C ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞D ．(1,0)(0,1)-⋃ 答案：A2、（威海市2014高三期中）已知正数,x y 满足20x y xy +-=，则2x y +的最小值为 （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）0 答案：A3、（潍坊市2014高三期中）已知011<<ba ，给出下列四个结论：①b a < ②ab b a <+ ③||||b a > ④2b ab < 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④答案：B4、（济南外国语学校2014高三期中）设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(222--≥+b a b a ，③2>+abb a 。

上述三个式子恒成立的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：B5、（青岛市2014高三期中）下列命题中正确的是A .1y x x =+的最小值是2 B .()4230y x x x=-->的最大值是243- C .224sin sin y x x=+的最小值是4D .()4230y x x x =--<的最小值是243- 答案：B6、（临沂市2014高三期中）下列命题中的假命题是 A.0,32xxx ∀>>B.()0,,1xx e x ∀∈+∞>+C.()0000,,sin x x x ∃∈+∞<D.00,lg 0x R x ∃∈<答案：C7、（青岛市2014高三期中）.设x ，y 满足约束条件0023x y x y a≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数11y z x +=+的最小值为12，则a 的值为 A ．2B ．4C ．6D ．8答案：A8、（山东师大附中2014高三期中）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--≥-+,03,02,063y y x y x 则目标函数xy z 2-=的最小值为（ ） A.-7B.-4C.1D.2答案：A9、（威海市2014高三期中）已知变量,x y 满足约束条件1124x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则yz x =的最大值为（A ）32 （B ）23 （C ）52 （D ）25答案：B10、（潍坊市2014高三期中）不等式222y axy x +-≤0对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ≤22B ．a ≥22C ．a ≥311D ．a ≥29 答案：D11、（文登市2014高三期中）已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为32，则a = A.14 B.12C.1D.2答案：A二、填空题1、（威海市2014高三期中）不等式534x x --+≥的解集为_______________. 答案：{|1}x x ≤-2、（潍坊市2014高三期中）已知一元二次不等式0)(<x f 的解集为{}221|<<x x ，则0)2(>x f 的解集为 。