4.1.1圆的标准方程(公开课教案 )

《4.1.1圆的标准方程》教学设计本课时编写：成都市第二十小学付江平设计思路说明：圆是解析几何中一类重要的曲线，对圆锥曲线的学习有着重耍的意义。

学生在初中对圆的平血几何性质己有了 i定的了解和研究，因此本节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。

类比前面确定直线的方法得到圆心与半径大小确定后，圆就确定下来，再利用圆心和圆上任意一点间的距离公式得到圆的标准方程，培养学生的理性思维，引导学生剖析方程的基本元素，辅之以练习加以巩固，以变式循序渐进的开展教学。

问题的设计中，由易到难，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神。

本节课以问题为纽带设计环节，使学生在问题的引导下，以探究活动为载体，层层展开、步步深入，以求发挥学生的主体作用，凸显教师的主导地位。

多媒体的参与使课堂容量加大,有利于课堂效率的提髙。

应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，充分体现重视教学过程的新课程理念。

在解决问题的同时锻炼了思维.提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。

一、讲什么1.教学内容（1）概念原理：圆的标准方程、圆心在原点的标准方程、点与圆的位置关系;（2）思想方法：类比法;（3）能力素养：数学抽象、数学建模、逻辑推理。

2.内容解析：解析儿何的本质是用代数方法研究图形的儿何性质，体现了数形结合的重要数学思想。

圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续, 在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义°另外，本节课的学习是通过由特殊到一般逐步展开的，可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及灵活处理问题的能力。

《4.1.1 圆的标准方程》教案授课时间：2017.6.9 授课地点：尤溪晨光中学高一(5) 授课教师：朱兴炬一、教材分析:圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义.二、教学目标：1、知识与技能：①掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;反之，会根据圆的标方程，求圆心和半径;②会判断点和圆的位置关系;③会用待定系数法和几何法求圆的标准方程;2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.3、情感态度和价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.三、内容分析：重点：圆的标准方程的求法及其应用难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程四、教具学具的选择：多媒体、圆规、直尺、课件.五、教学方法：采用“问题－探究”教学法.六、教学过程教教师活师生交设计意环节已知隧道的截面是半径1. 为4米的半圆，车辆只能在道路从实际问题出发激2.7引入中心线一侧行驶，一辆宽为学生学生阅起学生学习数学的热新课米，高为3米的货车能不能驶入读思考. . 情和兴趣这个隧道？确定直 2. 在直角坐标系中，线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何复习、回忆一条直线都可用一个二元一次通过师生合作交方程来表示，那么，圆是否也可学过的知识，思引出复习旧知识，流，用一个方程来表示呢？如果能，考、回答问题 . .新知识这个方程又有什么特征呢？课件显示本节课的学习目学生阅读.让学生清楚本节.标课要学习的内容.确定圆的基本条件为圆心教师引导学和半径，设圆的圆心坐标为培养学生独立思A(a,b)，半径为r。

§4.1.1 圆的标准方程教学目标(一)知识目标1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

(二)能力目标1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

(三)情感目标通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

教学重、难点(一)教学重点圆的标准方程的理解、掌握。

(二)教学难点圆的标准方程的应用。

教学方法选用引导―探究式的教学方法。

教学过程一、温故知新：1、回忆圆的定义是什么？2、在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线，那么在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？二、新知探究：设M （x ，y ）是圆上任意一点，圆心坐标为A （a,b ），半径为r ，则M 点到A 点的距离|MA|=_____________由两点间的距离公式得：______________________两边平方得：______________________三、归纳知识点（一）：圆的标准方程：__________________ 其中圆心是______，半径是_____圆心在坐标原点，则圆的方程是_______________四、小试牛刀：例1、（1）圆C ：22(1)(2)4x y ++-=的圆心和半径分别是什么？（2）写出圆心为A （2，-3），半径长等于5的圆的方程，并判断点1M （5，-7），2M （5-，-1），3M （-2,1）与圆的位置关系。

知识点（二）点与圆的位置关系：圆C 的标准方程为222()()x a y b r -+-= 点00(,)P x y 在圆C 上⇒22200()()x a y b r -+-=点00(,)P x y 在圆C 内⇒22200()()___x a y b r -+-点00(,)P x y 在圆C 外⇒22200()()___x a y b r -+-五、夯实基础：例2、求满足下列条件的圆的标准方程（1）圆心在点C （3，－2），半径为３（2）圆心在点C （8，－3），经过点P(5,1)（3）以线段12P P 为直径，其中1(4,9)P ，2(6,3)P（4）A （5,1）、B （7，-3）、C （2，-8）三点在圆上跟踪训练：1、 求满足下列各条件的圆的标准方程（1）圆心在点C （3，－4），经过点P(2,0)（2）以线段12P P 为直径，其中1(4,5)P --，2(6,1)P -2、若点（1,1）在圆22()()4x a y a -++=的内部，求实数a 的取值范围。

4.1.1 圆的标准方程学科：数学年级：高一班级【学习目标】1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．2.能根据所给条件求圆的标准方程．3.掌握点与圆的位置关系．【学习重难点】重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

【预习指导】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就惟一确定．( )(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2，3)半径是9.( )(4)点(3，4)在圆x2＋y2＝16外．( )2．以点(0，1)为圆心2为半径的圆的方程是( )A．x2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋y2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝43．下列曲线中经过坐标原点的是( )A．(x－1)2＋(y－2)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－2)2＝3 D．(x－3)2＋(y－2)2＝44．已知△AOB的顶点坐标分别为A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则△AOB外接圆的方程为________【合作探究】圆的标准方程确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。

（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

1 y x 0B A 2.74xy 0r M(x,y)C 圆的方程（第1课时）——圆的标准方程1．教学目标（1）知识目标： 1．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；2．会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程.（2）能力目标： 1．进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；2．使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；3．增强学生用数学的意识.（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣2．教学重点．难点（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用.（2）教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.3．教学过程（一）创设情境（启迪思维）问题一：已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？[引导] 画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习） 解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x 2＋y 2＝16（y ≥0） 将x ＝2.7代入，得 38.712.716y 2<==－．即在离隧道中心线2.7m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

（二）深入探究（获得新知） 问题二：1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为r 的圆2的方程？答：x 2＋y 2＝r 22．如果圆心在),(b a ，半径为r 时又如何呢？[学生活动] 探究圆的方程。

[教师预设] 方法一：坐标法如图，设M （x,y ）是圆上任意一点，根据定义点M 到圆心C 的距离等于r,所以圆C 就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示r b y a x =-+-22)()( ①把①式两边平方，得(x ―a)2＋(y ―b)2＝r 2方法二：图形变换法方法三：向量平移法（三）应用举例（巩固提高）I ．直接应用（内化新知）问题三：1．写出下列各圆的方程（课本P77练习1）（1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在)4,3(C ，半径为5；（3）经过点)1,5(P ，圆心在点)3,8(-C ．2．根据圆的方程写出圆心和半径（1）5)3()2(22=-+-y x ； （2）222)2()2(-=++y x ．II ．灵活应用（提升能力）问题四：1．求以)3,1(C 为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程.[教师引导]由问题三知：圆心与半径可以确定圆.2．已知圆的方程为2522=+y x ，求过圆上一点)3,4(-A 的切线方程．[学生活动]探究方法[教师预设]方法一：待定系数法（利用几何关系求斜率—垂直）方法二：待定系数法（利用代数关系求斜率—联立方程）方法三：轨迹法（利用勾股定理列关系式） [多媒体课件演示] 方法四：轨迹法（利用向量垂直列关系式）3．你能归纳出具有一般性的结论吗？已知圆的方程是222r y x =+，经过圆上一点),(00y x M 的切线的方程是：200r y y x x =+．3III ．实际应用（回归自然）问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m ，拱高OP=4m ，在建造时每隔4m 需用一个支柱支撑，求支柱22P A 的长度（精确到0.01m ）．[多媒体课件演示创设实际问题情境]（四）反馈训练（形成方法）问题六：1．求以C （－1，－5）为圆心，并且和y 轴相切的圆的方程.2．已知点A （－4，－5），B （6，－1），求以AB 为直径的圆的方程.3．求圆x 2＋y 2＝13过点（-2，3）的切线方程.4．已知圆的方程为2522=+y x ，求过点)2,5(-B 的切线方程.（五）小结反思（拓展引申）1．课堂小结：(1)圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：222)()(r a y a x =-+-当圆心在原点时，圆的标准方程为：222r y x =+(2) 求圆的方程的方法：①找出圆心和半径；②待定系数法(3) 已知圆的方程是222r y x =+，经过圆上一点),(00y x M 的切线的方程是：200r y y x x =+(4) 求解应用问题的一般方法2．分层作业：（A ）巩固型作业：课本P81-82：（习题7.6）1．2．4（B ）思维拓展型作业：试推导过圆222)()(r a y a x =-+-上一点),(00y x M 的切线方程.3．激发新疑：问题七：1．把圆的标准方程展开后是什么形式？2．方程：0208622=++-+y x y x 的曲线是什么图形？教学设计说明圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。

4.1.1圆的标准方程教学目标1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.知识梳理知识点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法教学案例题型一求圆的标准方程例1(1)圆心在原点，半径长是5的圆的标准方程为________________.(2)圆心在点C(2,1)，半径长是3的圆的标准方程为________________.(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)的圆的标准方程为________________.【答案】(1)x2＋y2＝25(2)(x－2)2＋(y－1)2＝3(3)(x－8)2＋(y＋3)2＝25反思感悟(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.跟踪训练1(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________.【答案】(x＋5)2＋(y＋3)2＝25【解析】∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25.(2)以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝100B.(x －1)2＋(y －2)2＝100C.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25D.(x －1)2＋(y －2)2＝25【答案】D【解析】∵AB 为直径，∴AB 的中点(1,2)为圆心，12|AB |＝12(5＋3)2＋(5＋1)2＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.题型二 点与圆的位置关系例2 (1)点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A.点P 在圆内B.点P 在圆外C.点P 在圆上D.不确定【答案】B【解析】由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24，得点P 在圆外. (2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围为________________.【答案】[0,1)【解析】由题意知⎩⎨⎧ a ≥0，(5a ＋1－1)2＋(a )2<26，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，26a <26，解得0≤a <1. 反思感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可.②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.(2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.跟踪训练2 已知点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，则a 的取值范围为____________.【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】由题意知，(1－a )2＋(1＋a )2>4，2a 2－2>0，即a <－1或a >1.待定系数法与几何法求圆的标准方程典例 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程. 解 方法一 (待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.方法二 (几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3， 即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.[素养评析] (1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程.(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果.充分体现数学运算的数学核心素养.课堂小结1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.达标检测1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为()A.(－1,5)， 3B.(1，－5)，3C.(－1,5)，3D.(1，－5)，3【答案】B2.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定【答案】B3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是()A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝1【答案】A【解析】方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则(0－1)2＋(b－2)2＝1，∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.4.经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径为2的圆的标准方程是________________.【答案】(x ＋2)2＋y 2＝4【解析】设圆心为(a ,0)(a <0)，则|a |＝2，即a ＝－2，∴(x ＋2)2＋y 2＝4.5．求过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程． 解 方法一 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，根据已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r ＝2，所以所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.方法二 设C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上，∴可设点C 的坐标为(a ,2－a )，又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |， ∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2∴a ＝1，∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.。

4.1.1《圆的标准方程（第1课时）》教学设计教材分析：圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。

学情分析：圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。

再者，经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。

通过五种直线方程的学习，对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。

教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.启发学生思考问题，理解问题，解决问题。

教学目标：1．知识与技能（1）会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;（2）能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

3．情感态度与价值观通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。

教学重点与难点：1.重点:圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

2.难点： (1)由已知条件求圆的标准方程(2)判定点和圆的位置关系教学过程（一） 创设情景，引入新课用多媒体播放实际生活中圆的模型，引导学生从中抽象出圆的几何图形 “ 圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式。

4.1.1 圆的标准方程整体设计教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，它与其他图形的位置关系及其应用.同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题.三维目标1.使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线，从圆外一点引切线，已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则，培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，欣赏和体验圆的对称性，感受数学美.重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术，名称是《日出》，所以还缺少一个太阳，请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题①已知两点A(2，－5)，B(6，9)，如何求它们之间的距离?若已知C(3，－8)，D(x，y)，又如何求它们之间的距离?②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？④我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么，决定圆的条件是什么?⑤如果已知圆心坐标为C(a，b)，圆的半径为r，我们如何写出圆的方程?⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-，得|AB |=212)59()62(22=++-，|CD |=22)8()3(++-y x .②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C 是定点，圆周上的点M 是动点，它们到圆心距离等于定长|MC |=r ，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径，设圆的圆心坐标为C (a ，b )，半径为r (其中a 、b 、r 都是常数，r ＞0).设M (x ，y )为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是(引导学生自己列 出)P ={M ||MA |=r }，由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r .①将上式两边平方得(x －a )2+(y －b )2=r 2.化简可得(x －a )2+(y －b )2=r 2.②若点M (x ，y )在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标满足方程②，反之若点M 的坐标满足方程②，这就说明点M 与圆心C 的距离为r ，即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C (a ，b )，半径长为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程，展开后没有xy 项，括号内变数x ，y 的系数都是1.点(a ，b )、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C (0，0)时，方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?②确定圆的方程的方法和步骤是什么?③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：①圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2=r 2中，有三个参数a 、b 、r ，只要求出a 、b 、r 且r ＞0，这时圆的方程就被确定，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r ，一般步骤为：1°根据题意，设所求的圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2=r 2；2°根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；3°解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. ③点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2+(y －b )2=r 2的关系的判断方法：当点M (x 0，y 0)在圆(x －a )2+(y －b )2=r 2上时，点M 的坐标满足方程(x －a )2+(y －b )2=r 2. 当点M (x 0，y 0)不在圆(x －a )2+(y －b )2=r 2上时，点M 的坐标不满足方程(x －a )2+(y －b )2=r 2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径，点在圆外⇔(x 0－a )2+(y 0－b )2＞r 2，点在圆外;2°点到圆心的距离等于半径，点在圆上⇔(x 0－a )2+(y 0－b )2=r 2，点在圆上;3°点到圆心的距离小于半径，点在圆内⇔(x 0－a )2+(y 0－b )2＜r 2，点在圆内.[合 作 探 究·攻 重 难] 类型1求圆的标准方程例1 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程.[解] 法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝r 2，(a －1)2＋(b －1)2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.法二：(几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.[规律方法] 求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.[跟踪训练]1．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为A (0,5)，B (1,－2)，C (－3,－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有⎩⎨⎧ (0－a )2＋(5－b )2＝r 2，(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(－4－b )2＝r 2.解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝1，r ＝5.故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.法二：因为A (0,5)，B (1,－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －7y ＋10＝0.同理可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0. 由⎩⎨⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0得圆心的坐标为(－3,1)， 又圆的半径长r ＝(－3－0)2＋(1－5)2＝5，故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.类型2点与圆的位置关系例2已知两点P1(3,8)和P2(5,4)．(1)求以线段P1P2为直径的圆的标准方程；(2)判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在圆上、圆内还是圆外.思路探究：(1)先确定圆心与半径再求方程．(2)比较三点到圆心的距离与半径大小．[解](1)设圆心C(a，b)，半径长为r.因为点C为线段P1P2的中点，所以a＝3＋52＝4，b＝8＋42＝6，即圆心坐标为C(4,6)．又由两点间的距离公式，得r＝|CP1|＝(4－3)2＋(6－8)2＝ 5.故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.(2)分别计算点M，N，P到圆心C的距离：|CM|＝(4－5)2＋(6－3)2＝10＞5，|CN|＝(4－3)2＋(6－4)2＝5，|CP|＝(4－3)2＋(6－5)2＝2＜5，所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内．[规律方法]判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.[跟踪训练]2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是() A．a＜－1或a＞1B．－1＜a＜1C．0＜a＜1 D．a＝±1【答案】B【解析】[∵点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部．∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4.解得－1＜a ＜1.] 类型3 与圆有关的最值问题[探究问题]1．若P (x ，y )为圆C (x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.2．若P (x ，y )是圆C (x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.例3 已知x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，求(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值与最小值.思路探究：x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，即点P (x ，y )是圆上的点．而(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示点(x ，y )与点(－1，－1)的距离．故此题可以转化为求圆x 2＋(y ＋4)2＝4上的点与点(－1，－1)的距离的最值问题．[解] 因为点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上的任意一点，圆心C (0，－4)，半径r ＝2，因此(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示点A (－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC |2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A (－1，－1)在圆外．如图所示．而|AC |＝(0＋1)2＋(－4＋1)2＝10，所以(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值为|AC |＋r ＝10＋2，最小值为|AC |－r ＝10－2. 母题探究：1.本例中条件不变，试求y ＋1x ＋1的取值范围． [解] 设k ＝y ＋1x ＋1，则此式可看作是圆上一点与点(－1，－1)连线的斜率． 所以由k ＝y ＋1x ＋1可得y ＋1＝k (x ＋1)，此直线与圆应相交． 圆心(0，－4)到直线的距离d ≤r .即|3＋k |k 2＋1≤2，解得k ≥3＋263或k ≤3－263. 2．本例条件不变，试求圆上一点到直线x ＋y ＝4的最大值与最小值．[解] 圆心(0，－4)到直线x ＋y ＝4的距离d ＝|－4－4|2＝82＝4 2. 所以圆上一点到直线x ＋y ＝4的最大值为d ＋r ＝2＋42，最小值为d －r ＝42－2.[规律方法] 与圆有关的最值问题的求解策略(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： ①k ＝y －b x －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等．[当 堂 达 标·固 双 基]1．方程(x －1)x 2＋y 2－3＝0所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个点C ．一个点和一个圆D ．一条直线和一个圆【解析】D【答案】[(x －1)x 2＋y 2－3＝0可化为x －1＝0或x 2＋y 2＝3，因此该方程表示一条直线和一个圆．]2．以(2,－1)为圆心，2为半径的圆的标准方程为()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4【答案】D【解析】[由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，知圆心为(a，b)，半径为r，易知答案为D.]3．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围为()A．|a|＜1 B．a＜1 13C．|a|＜15D．|a|＜113【答案】D【解析】[∵点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部．∴(5a＋1－1)2＋(12a)2＜1，∴|a|＜1 13.选D.]4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【答案】x2＋(y－1)2＝1【解析】[由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.]5．已知圆C的半径为17，圆心在直线x－y－2＝0上，且过点(－2,1)，求圆C 的标准方程.[解]∵圆心在直线x－y－2＝0上，r＝17，∴设圆心为(t，t－2)(t为参数)．∴圆C的标准方程为(x－t)2＋(y－t＋2)2＝17.∵圆C过点(－2,1)，∴(－2－t)2＋(1－t＋2)2＝17.解得t＝2或t＝－1.∴圆心C的坐标是(2,0)或(－1，－3)．∴所求圆C的标准方程是(x－2)2＋y2＝17或(x＋1)2＋(y＋3)2＝17.。

4.1.1圆的标准方程一、教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程、它与其他图形的位置关系及其应用.同时,圆是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础。

也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程"一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，培养学生的创造和应用意识，本节内容我采用“引导探究”型教学模式进行教学设计.二、三维目标1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心坐标和半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。

2、用待定系数法和几何法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力。

三、教学重点圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用.四、教学难点会根据不同的已知条件,会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。

五、课时安排 1课时六、教学过程设计七、板书设计八、教学反思圆是学生比较熟悉的曲线，求圆的标准方程是本节课的重点和难点。

为此我设置了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，增强学生应用数学的意识。

另外,为了培养学生的理性思维，在例题二中我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生创新精神,并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。

本设计把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣,完成本节的学习任务。

圆的标准方程公开课课件(终稿)圆的标准方程公开课课件（终稿）一、引言在几何学中，圆是最基本的曲线之一，其具有独特的性质和广泛的应用。

圆的标准方程是描述圆的重要工具，它将圆的几何特性转化为代数表达式，为我们解决与圆相关的问题提供了便利。

本课件旨在深入讲解圆的标准方程，帮助大家更好地理解和应用这一几何概念。

二、圆的定义和性质1.定义：圆是平面上所有到定点O（圆心）距离等于定长r（半径）的点的集合。

2.性质：（1）圆上任意两点到圆心的距离相等。

（2）圆上任意两点间的连线与圆心所连线段互相垂直。

（3）圆的直径等于圆周上任意两点间的最大距离。

（4）圆的周长C=2πr，面积S=πr²。

三、圆的标准方程1.基本形式：圆的标准方程可以表示为(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径。

2.推导过程：（1）设圆心坐标为(h,k)，任意点P(x,y)在圆上，则有-OP-=r。

（2）根据距离公式，可得(x-h)²+(y-k)²=r²。

3.特点：（1）圆心在坐标系原点时，方程简化为x²+y²=r²。

（2）圆心不在原点时，方程表示以(h,k)为圆心，r为半径的圆。

四、圆的标准方程的应用1.求圆的半径和圆心坐标：给定圆的方程(x-h)²+(y-k)²=r²，可以通过比较系数直接得到圆心坐标(h,k)和半径r。

2.判断点与圆的位置关系：将点的坐标代入圆的方程，若等式成立，则点在圆上；若小于r²，则点在圆内；若大于r²，则点在圆外。

3.求圆与直线的交点：将直线方程代入圆的方程，解得x（或y），再代入直线方程求得y（或x），从而得到交点坐标。

4.求圆与圆的交点：将两个圆的方程相减，得到公共弦所在的直线方程，再求该直线与其中一个圆的交点。

五、结论圆的标准方程是描述圆几何特性的重要工具，通过本课件的讲解，我们了解了圆的定义、性质、标准方程及其应用。

《圆的标准方程》教学方案《《圆的标准方程》教学方案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标1.会推导圆的标准方程.2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径.3.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程.4.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、设计问题,创设情境前面我们已经学习过直线方程,初中也学习过圆的一些知识,请同学们思考:问题1:在平面直角坐标系中,两点能确定一条直线,一点和直线的倾斜角也能确定一条直线.那么在平面直角坐标系中确定一个圆的几何要素是什么呢?问题2:根据前面我们所学的直线方程的知识,应该怎样确立圆的方程呢?二、学生探索,尝试解决若设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r>0),试求圆的方程.三、信息交流,揭示规律1.在直角坐标系中,当与确定后,圆就唯一确定了,因此,确定圆的基本要素是.2.在平面直角坐标系中,若一个圆的圆心A(a,b),半径长为r,则圆的标准方程为.推导的步骤是.若点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则点M的坐标就适合方程,即;反之,若点M的坐标适合方程,这就说明与的距离为r,即点M在圆心为A的圆上.3.圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程为.4.若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则满足条件;若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则满足条件;同理,若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内,则满足条件;若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外,则满足条件.5.△ABC外接圆的圆心即为外心,即的交点.四、运用规律,解决问题6.写出下列各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径为3.(2)圆心为(2,3),半径为.(3)经过点(5,1),圆心在(8,-3).7.根据圆的方程写出圆心和半径:(1)(x-2)2+(y-3)2=5;(2)(x+2)2+y2=(-2)2.8.写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)9.△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准方程,是用的什么方法?)10.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准方程,是用的什么方法?)五、变练演编,深化提高同学们仿照上述例题,自己试着编几道写、求圆的标准方程,或判断点与圆的位置关系的题目.六、信息交流,教学相长(请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写在下面)七、反思小结,观点提炼1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r22.求圆的标准方程的方法:待定系数法.3.要求一个圆的标准方程,需要三个条件:圆心的横坐标、纵坐标和半径.4.点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆外,点在圆内.《圆的标准方程》教学方案这篇文章共3331字。

4.1.1 圆的标准方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径能熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2.能判断点与圆的位置关系；3.初步认识求圆的方程的两种常用方法：待定系数法，几何法。

【课前预习】1、（1）平面直角坐标系中任意两个点1122(,),A x y B x y ，（）的距离AB = 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为（2）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为：（3）已知),(),,(222211y x P x x P ，且线段21P P 的中点坐标是),(y x M ，则⎪⎩⎪⎨⎧==y x2、（1）已知两点(1,1)A 和(2,2)B -，则线段AB 的垂直平分线的方程是（2）直线01:1=+-y x l 和033:2=--y x l 的交点C 的坐标是 【课堂导学】问题探究1：什么叫圆？圆作为平面几何中基本图形，确定它的要素是什么呢？（1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

确定圆的最基本的要素是 （定位置）和 （定大小）问题探究2：平面直角坐标系中，任何一条直线可以用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可以用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特点呢？（2）如图，在平面直角坐标系中，圆心是C(a,b),半径是r 的圆的方程是什么？（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设点M (x,y)为圆C 上任一点，则|MC|= ， 从而有r b y a x =-+-22)()(。

C(a,b),半径是r(r>0)的圆的标准方程是特别地，若圆心为O （0，0），则圆的方程为：问题探究3：圆的标准方程有什么特点？（3）圆的标准方程的特点是有两个变量x,y ，两个变量的系数都是 ，形式都是与某个实数差的平方；明确给出了圆心 和半径 。

典型例题例1. 求圆心在C(2,-3),半径是5的圆的标准方程，并判断点M(5,-7),)1,5(--N 是否在圆上。

圆的标准方程教案(一)圆的标准方程教案一、教学目标1.理解什么是圆的标准方程。

2.学会根据圆的特性写出圆的标准方程。

3.掌握使用标准方程解决与圆有关的问题。

二、教学内容1.圆的定义及特性。

2.圆的标准方程的推导过程。

3.根据圆的特性写出标准方程的方法。

4.解决与圆有关的问题。

三、教学步骤1.引入：通过举例子引入圆的定义及特性，让学生了解什么是圆。

•圆：由平面上距离一个固定点（圆心）的距离相等的所有点组成的集合。

•圆的特性：半径、直径、弧、圆心角等。

2.讲解圆的标准方程的推导过程。

•圆的标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)为圆心，r 为半径。

•讲解推导过程，并进行示范。

3.指导学生如何根据圆的特性写出标准方程。

•已知圆心和半径：直接代入公式。

•已知圆上一点和半径：利用点到圆心的距离公式求解。

4.练习解决与圆有关的问题。

•给出一些实际问题，要求学生根据题目分析并列出方程，然后解答问题。

5.总结与拓展。

•总结圆的标准方程的写法和应用。

•拓展圆的其他方程形式（如一般方程）。

四、教学资源1.教材：教科书相关章节。

2.板书：绘制圆的定义、特性、标准方程及推导过程。

3.实例题：多个与圆相关的问题实例。

五、教学评估1.课堂练习：分发练习题，要求学生计算圆的标准方程或解决与圆有关的问题。

2.课堂讨论：对学生解答的问题进行讨论，指出正确的解题方法和思路。

3.提问：针对圆的标准方程的推导过程和应用进行提问，检查学生的掌握情况。

六、扩展延伸1.提供更多与圆相关的应用问题，让学生综合运用标准方程解决问题。

2.引导学生进一步探究一般方程和其他形式的圆方程。

3.拓展至三维空间中的圆方程，引导学生思考与圆相关的几何问题。

圆的标准方程教案教学目标(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理解方程中各个字母的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合方程解决圆的有关问题．(2)理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．教学重点和难点重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．(已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．难点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．教学过程设计(一)导入新课，教师讲授．同学们，前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．“平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”．定点就是圆心，定长就是半径．根据圆的定义，我们来求圆心是c(a,b)，半径是r的圆的方程．(启发引导学生推导)．设 M(x,y)是圆上任意一点，圆心坐标为(a,b)，半径为r．则│CM│=r,两边平方． (x-a)2+(y-b)2=r2,我们得到圆的标准方程，这就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．如果圆的圆心在原点．O(0,0)．即a=0．b=0．这时圆的方程为．下面我们用大家学过的向量知识再来推导一下圆的方程．设M(x,y)是圆上任意一点，过圆心C(a,b)，作x轴的平行线与圆交于A、B两点，则A点坐标为(a-r,b)，B点坐标为(a+r,b)，=(x-(a-r),y-b)、=(x-(a+r),y-b)，M为圆上一点，AM⊥BM，·=0．[x-(a-r)][x-(a+r)]+(y-b)2=0,整理得．(x-a)2+(y-b)2=r2．例1．求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程．解：已知圆心C(1，3)，现在来求圆的半径r，因圆心到切线的距离等于半径，例2图7-37是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度．[师生共同分析思路]如图，先确定有关各点的坐标，A(-10,0)、B(10,0)、P(0,4)，再找出圆拱所在圆的方程，设这圆的圆心为(0,b)，半径为r，则圆的方程为x2+(y-b)2=r2，由，A、B、P这些已知点，选A、P或B、P代入圆的方程，可以求出b和r，这样，这个圆的方程就为已知．P2点为圆上一点，满足圆的方程，P2的坐标为(-2,y2)，把x=-2代入圆的方程，求出y2，∴A2P2的长度为y2．。

人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念及其意义。

2. 学会运用圆的标准方程解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：圆的标准方程的概念及其运用。

教学难点：理解圆的标准方程的推导过程。

教学准备：圆的模型、黑板、粉笔、PPT。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用圆的模型，引导学生回顾圆的定义。

2. 提问：我们已经学过圆的哪些性质和公式？3. 引导学生思考：如何用数学公式来表示圆的性质？二、新课讲解（15分钟）1. 引入圆的标准方程的概念，给出圆的标准方程的定义。

2. 通过PPT展示圆的标准方程的推导过程。

3. 解释圆的标准方程中的各个符号的含义。

4. 举例说明如何运用圆的标准方程解决实际问题。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。

2. 引导学生思考如何将实际问题转化为圆的标准方程问题。

四、巩固提高（10分钟）1. 让学生分组讨论，思考圆的标准方程在实际应用中的拓展。

2. 邀请学生分享他们的思考成果。

五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结圆的标准方程的概念和运用。

2. 强调圆的标准方程在数学和实际生活中的重要性。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、巩固提高和总结等环节，让学生掌握了圆的标准方程的概念和运用。

在教学过程中，注意引导学生思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

通过课堂练习和巩固提高环节，让学生将所学知识运用到实际问题中，提高了学生的应用能力。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

六、实例分析（10分钟）1. 展示几个实际问题，让学生运用圆的标准方程解决。

2. 引导学生分析问题，列出方程，并求解。

3. 让学生分享解题过程和答案，讨论解题方法。

七、练习与拓展（15分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。

2. 鼓励学生尝试解决更复杂的相关问题，进行拓展训练。

八、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结圆的标准方程的应用。