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圆的标准方程课件(公开课)

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2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT

2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT
2
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实



数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.

选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)

选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.

圆的标准方程ppt课件

圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .

圆的标准方程 课件

圆的标准方程 课件
①当(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 时，点在圆内； ②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 时，点在圆上； ③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 时，点在圆外．
待定系数法或几何法求圆的标准方程
求过点 A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线 x＋y－2 ＝0 上的圆的方程．
【思路探究】 思路一：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2，利用 A，B 及圆心所在位置求参数 a，b，r.
判断点 P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系有 几何法和代数法两种：
(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系作出判断：
①d>r，点在圆外；②d＝r，点在圆上；③d<r，点在圆 内．
(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具 体判断如下：
(2)以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 x2＋y2＝r2.
点与圆的位置关系 【问题导思】 点 A(1,1)，B(3,0)，C( 2， 2)同圆 x2＋y2＝4 的关系如图 所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径 r＝2 什么关系？
【提示】 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入 标准式写方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算 相对较容易．如本题法三．
2．求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此 常用到圆的以下几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与切线垂直．
直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素 入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准 方程．

2024年圆的标准方程课件公开课

2024年圆的标准方程课件公开课

半径求解
将圆上任意一点的坐标代入圆的标准 方程，解出 $r$ 的值即可。
2024/2/29
11
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
已知圆的标准方程为 $(x 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$， 求圆心坐标和半径。
2024/2/29
由圆的标准方程可知，圆心坐 标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
22
05
圆的方程在实际问题中的应用
Chapter
2024/2/29
23
平面几何问题转化为代数运算
通过建立坐标系，将平面几何问题转化为代数问题，利 用圆的方程进行求解。
圆的方程可用于求解与圆相关的距离、角度、面积等问 题。24/2/29
05
02
解析
先通过圆心距公式求出两圆心距，再与半径 和、半径差比较判断位置关系，最后联立两 圆方程求解交点坐标。
06
04
解析
先根据相切条件求出切点所在直线的 方程，再联立两圆方程求解切点坐标 ，最后根据公切线性质求出公切线方 程。
解析
先根据内含条件设出内切圆的半径及圆心坐标 ，再根据两圆内含的性质列出方程组求解。
03
直线与圆的位置关系
Chapter
2024/2/29
13
直线与圆相交条件
直线方程与圆方程联立，消元后得到 一元二次方程，根据判别式判断交点 个数。
利用圆心到直线的距离与半径比较， 若距离小于半径则直线与圆相交。
2024/2/29
14
直线到圆心距离公式应用
利用点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离。 结合圆的半径，判断直线与圆的位置关系。

圆的标准方程公开课一等奖课件

圆的标准方程公开课一等奖课件

标准方程推导过程
设圆上任意一点 $P(x, y)$，则 $P$ 到圆心 $O(a, b)$ 的距离 $|PO|$ 应等 于半径 $r$。
由于 $|PO| = r$， 则有 $sqrt{(x a)^{2} + (y b)^{2}} = r$。
以圆心为原点，建 立平面直角坐标系 。
根据两点间距离公 式，有 $|PO| = sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
实际生活中应用举例
建筑设计
在建筑设计中，圆形结构经常被用来增加建筑物的稳定性 和美感。例如，圆拱门、圆顶建筑等都是利用圆的性质进 行设计的。
交通运输
在交通运输领域，圆的性质也经常被应用。例如，车轮的 形状是圆形，这是因为圆形车轮在滚动时能够保持平稳， 并且减少与地面的摩擦。
自然科学
在自然科学中，圆也是一个重要的概念。例如，行星绕太 阳运动的轨道是椭圆形的，而太阳位于椭圆的一个焦点上 。这种运动轨迹可以近似地看作是一个圆。
相切条件
两圆心之间的距离等于两圆半径之和或两圆半径之差。
切点求解
通过解两圆方程和两圆心连线方程联立得到的方程组，可以得到切点的坐标。
两圆相离条件及距离计算
相离条件
两圆心之间的距离大于两圆半径之和或小于两圆半径之差。
距离计算
两圆心之间的距离可以通过两点间距离公式计算得到。
06
实际应用举例与课堂互动 环节
THANKS
感谢观看
学生自主思考并提问环节
提问1
为什么车轮要做成圆形的？而不 是方形或者其他形状？
提问2
在建筑设计中，为什么经常使用圆 形结构？它们有什么优势？
提问3
行星绕太阳运动的轨道为什么是椭 圆形的？这与圆的性质有什么关系 ？

2024年圆的标准方程公开课课件(终稿)

圆的标准方程公开课课件(终稿)圆的标准方程公开课课件（终稿）一、引言在几何学中，圆是最基本的曲线之一，其具有独特的性质和广泛的应用。

圆的标准方程是描述圆的重要工具，它将圆的几何特性转化为代数表达式，为我们解决与圆相关的问题提供了便利。

本课件旨在深入讲解圆的标准方程，帮助大家更好地理解和应用这一几何概念。

二、圆的定义和性质1.定义：圆是平面上所有到定点O（圆心）距离等于定长r（半径）的点的集合。

2.性质：（1）圆上任意两点到圆心的距离相等。

（2）圆上任意两点间的连线与圆心所连线段互相垂直。

（3）圆的直径等于圆周上任意两点间的最大距离。

（4）圆的周长C=2πr，面积S=πr²。

三、圆的标准方程1.基本形式：圆的标准方程可以表示为(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径。

2.推导过程：（1）设圆心坐标为(h,k)，任意点P(x,y)在圆上，则有-OP-=r。

（2）根据距离公式，可得(x-h)²+(y-k)²=r²。

3.特点：（1）圆心在坐标系原点时，方程简化为x²+y²=r²。

（2）圆心不在原点时，方程表示以(h,k)为圆心，r为半径的圆。

四、圆的标准方程的应用1.求圆的半径和圆心坐标：给定圆的方程(x-h)²+(y-k)²=r²，可以通过比较系数直接得到圆心坐标(h,k)和半径r。

2.判断点与圆的位置关系：将点的坐标代入圆的方程，若等式成立，则点在圆上；若小于r²，则点在圆内；若大于r²，则点在圆外。

3.求圆与直线的交点：将直线方程代入圆的方程，解得x（或y），再代入直线方程求得y（或x），从而得到交点坐标。

4.求圆与圆的交点：将两个圆的方程相减，得到公共弦所在的直线方程，再求该直线与其中一个圆的交点。

五、结论圆的标准方程是描述圆几何特性的重要工具，通过本课件的讲解，我们了解了圆的定义、性质、标准方程及其应用。

圆的标准方程公开课PPT

圆的扩展知识
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰

圆的标准方程精品课件


3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。

圆的标准方程(优质课比赛)课件


思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线，在平面几
何中，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述
以点A为圆心，r为半径的圆？
rM
P={M||MA|=r}
A
平面上到一个定点的距离等于定长的点 的轨迹叫做圆.
圆的标准方程(优质课比赛)
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3：已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
C(0、0) r=2
-1 0
x
C(-1、0) r=1
圆的标准方程(优质课比赛)
2、写出下列圆的方程: （1）圆心在原点，半径为3； （2）圆心在(-3、4),半径为 5 .
(1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5
圆的标准方程(优质课比赛)
题型一、求圆的标准方程
例1、已知两点A(4，9)、B(6，3),求以AB为
求方程的一般步骤： y
建系设点
rM
A
找关系式列方程
O
x
化简方程
圆的标准方程(优质课比赛)
思考4:对于以点A(a，b)为圆心,,r为半径的圆,由上
可知，若点M(x，y)在圆上,则点M的坐标满足方
程(x-a)2+(y-b)2=r2 ;反之,若点M(x，y)的坐标
适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，那么点M一定在这
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
圆的标准方程(优质课比赛)
思考4:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么？
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• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/11/
2020 12:32:06 AM00:32:062020/12/11
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/11/
谢 谢 大 家 2020 12:32 AM12/11/2020 12:32 AM20.12.1120.12.11
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。00:3 2:0600: 32:0600 :3212/ 11/2020 12:32:06 AM
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 100:32: 0600:3 2Dec-20 11-Dec-20
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 00:32:0 600:32: 0600:3 2Friday , December 11, 2020
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7) ， M 2 ( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程
是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
把M1(5,7) 的坐标代入方程(x 2)2 ( y 3)2 25 左右两边相等，点M1 的坐标适合圆的方程，所以点
(3) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
(x 8)2 ( y 3)2 25
2.说出下列圆的圆心和半径:
(1)(x+1)2+(y-1)2=1；
圆心A(-1,1),r=1
(2) x2+(y+4)2=7；
圆心A（0，-4），r= 7
(3)(x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0）;圆心A(-1,-2), r= m
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 12时32 分20.1 2.1100: 32Dece mber 11, 2020
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月11日 星期五 12时32 分6秒0 0:32:06 11 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 12时32 分6秒 上午12 时32分0 0:32:06 20.12.1 1
M1 在这个圆上；
把点 M 2 ( 5,1)的坐标代入此方程，左右两边不
相等，点M
2
的坐标不适合圆的方程，所以点
M
不在
2
这个圆上．
知识探究二：点与圆的位置关系
怎样判断点 M0 (x0, y0 ) 在 圆 (x a)2 ( y b)2 r2
内呢？圆上？还是在圆外呢？ M0
M0 O
O M0
O
点在圆内
2、直线可以用一个方程表示，圆是否也可以 用一个方程来表示呢？ 如果可以，那么它方 程形式又是怎样的呢?
自我探究
问题1、圆上的动点具有什么几何性质? 如何将该几何性质用数学式子 表示出来呢？
问题2、圆的标准方程中那些是不变的常数？ 怎样求圆的标准方程？
探究新知
设点M (x,y)为圆上任意一点，则 |MA|=r.
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 120.12. 1100:3 2:0600: 32:06D ecembe r 11, 2020
•
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月11 日星期 五上午 12时32 分6秒0 0:32:06 20.12.1 1
点在圆上
点在圆外
| OM0 | <r
| OM0 | =r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2; (x0-a)2+(y0-b)2=r2
| OM0 | >r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
知识探究二：点与圆的位置关系
练习3.请判断点A(m, 4)与圆x2 + y2 =16的位置关 系是（ D ）
A、圆内
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
n 创设情境 引入新课
一石激起千层浪
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆的？
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
定点----圆心------确定圆的位置 定长----半径------确定圆的大小
(x 2)2 ( y 3)2 25 24
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 ( y b)2 r 2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系
3.求圆的标准方程的方法：
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1120. 12.11Fr iday, December 11, 2020
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。11-Dec-2011 December 202020.12.11
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Friday, December 11, 202011
-Dec-2020.12.11
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1100:32:0611 December 202000:32
B、圆上
C、圆外
D、圆上或圆外
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
y
待定系数法
A(5,1)
O
x
B(7,-3)
C(2,-8)
y
L2 L1
A(5,1)
R
x
D B(7,-3)
O
E C(2,-8)
练习4 ⊿AOB的顶点的坐标分别是A(4,0), B(0,3),O(0,0),求它的外接圆的方程。
(x a)2 (y b)2 r
(x-a)2+(y-b)2=r2
y M(x,y)rBiblioteka OA(a,b) x
问题2、圆的标准方程中那些是不变的常数？ 怎样求圆的标准方程？
小试牛刀
1.求下列圆的方程:
(1)圆心在原点, 半径为3.
x2 y2 9
(2) 以O（0,0），A(6,8)为直径的圆. (x 3)2 ( y 4)2 25