《圆的一般方程》教学设计(优质课)

《圆的一般方程》教学设计教材分析:圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难.因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用.突破难点的关键是抓住一般方程的特点.结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用.教学目标：【知识与能力目标】1.掌握圆的一般方程公式及其的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；3.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程.【过程与方法】通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法.【情感态度与价值观】渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学创新，勇于探索。

教学重难点：【教学重点】1.能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【教学难点】会根据不同的条件求圆的标准方程．课前准备：课件、学案教学过程：一、课题引入：问题1：圆的标准方程的形式是怎样的？其中圆心的坐标和半径各是什么？问题2：若把标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2展开后，会得出怎样的形式？问题3：是不是每个形如x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的方程表示的曲线都是圆呢？二、新课探究：当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径. 注：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-. 它表示一个点(,)22D E --. (2) 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3) 当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径的圆. 三、知识应用：题型一 根据圆的一般方程求圆心半径例1. 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．（1）2x 2+y 2―7y +5=0； （2）x 2―xy +y 2+6x +7y =0；（3）x 2+y 2―2x ―4y +10=0； （4）2x 2+2y 2―5x =0．【答案】（1）不能表示圆；（2）不能表示圆；（3）不能表示圆；（4）表示圆 ，圆心为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为54. 解:（1）∵方程2x 2+y 2―7y +5=0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆．（2）∵方程x 2―xy +y 2+6x +7y =0中含有xy 这样的项，∴它不能表示圆．（3）方程x 2+y 2―2x ―4y +10=0化为(x ―1)2+(y ―2)2=-5，∴它不能表示圆．（4）方程2x 2+2y 2－5 =0化为2225544x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴它表示以5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，54为半径长的圆． 【设计意图】（1）判断一个二元二次方程是否表示圆的方法：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：①x 2与y 2的系数相等；②不含xy 的项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D 2+E 2―4F 是否大于零；二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数．（2）圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．例2.判断方程ax 2+ay 2―4(a ―1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长．【答案】2(1)2,a a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，||r a = 解：方程可变形为：()224140a x y x y a a-+-+=, 一般方程为圆的条件：2240D E F +->,()224140a a a -⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此方程为圆，则圆心为2(1)2,a aa -⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r =.题型二 求圆的方程例3. 求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径.解：法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求圆的方程为：2282120x y x y +--+=，即()224(1)5x y -+-=， ∴圆心为（4，1法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，321523AB k -==- 线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=联立2603130x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩ ∴所求圆的方程为（4，1），半径r ==∴()224(1)5x y -+-=． 例4.求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程．解：法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则 2024062382100860D E F ED DEF --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ∴圆的方程为22113300x y x y +-+-=．法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=，线段AB 的中垂线为40x y +-=， 由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由两点间距离公式得半径21252r =，∴圆的方程为22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 教学反思：本节课在学习完圆的标准方程后继续研究圆方程的另一种形式，圆的一般方程.引导学生将圆的标准方程拆开得到圆的一般形式，反过来再给一个任意的220x y Dx Ey F ++++=形式，判断是否为圆，得到一般方程的条件，请学生思考独立完成.在应用过程中，不断启发孩子几何法和代数法两种方法.。

圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F .教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A(0，0)，B (1，1)，C(4，2)的圆的方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+(y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2–r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey +F= 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得22224()()224D E D E Fx y+-+++=②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2– 4F＞0时，方程②表示以(,)22D E--为圆心，整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.22142D E F +-为半径的圆；（2）当D 2 + E 2 – 4F = 0时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，即只表示一个点(,)22D E--； （3）当D 2 + E 2 – 4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 应用举例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0 （2）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x 2 + y 2 – x + 3y +94= 0 D = –1，E =3，F =94. ∵D 2 + E 2 – 4F = 1＞0学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，94F =通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决∴此方程表示圆，圆心（12，32-），半径r =12.（2）将原方程化为x2 + y2 –x + 3y +114= 0D = –1，E =3，F =114. D2 + E2– 4F = –1＜0∴此方程不表示圆. 而不是D= –4，E=12，F = 9.问题的能力.例2 求过三点A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1．根据题设，选择标准方程或一般方程.2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.解此方程组，可得：D = –8，E =6，F = 0 ∴所求圆的方程为：x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0221452r D E F =+-=； 4,322D F-=-=-. 得圆心坐标为(4，–3).或将x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2 = 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以0043,22x y x y ++==，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4，即 (x 0 + 1)2 + y 02 = 4 ② 把①代入②，得(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程.备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax– 2ay = 0 (a≠0).【解析】（1）因为D＝ 1，E＝ 0，F＝ 1，所以D2 + E2– 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D＝ 2a，E＝ 0，F＝a2，所以D2 + E2– 4F＝ 4a2– 4a2 = 0，所以方程（2）表示点(–a，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2 – 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a-，半径|r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2 + Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)， 又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a |.② ③222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2 – 5a + 5 = 0， 解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r ==故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y 2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4 + 9 = 0表示一个圆，求 （1）t 的取值范围； （2）该圆半径r 的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0 即7t 2 – 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<。

圆的一般方程教案
一般方程(x-a)²+(y-b)²=r²表示圆的方程，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。

以下是关于圆的一般方程的教案：
教学目标：
1. 了解圆的一般方程的含义和作用；
2. 掌握圆的一般方程的使用方法；
3. 能够根据已知条件写出圆的一般方程。

教学步骤：
1. 引入：通过观察多个圆的图形，引导学生思考如何表示圆的方程；
2. 解释一般方程的含义：解释方程中的各个部分的含义，比如(x-a)表示x坐标与圆心x坐标的差值，(y-b)表示y坐标与圆心y坐标的差值；
3. 讲解一般方程的形式：讲解一般方程的标准形式，即(x-
a)²+(y-b)²=r²；
4. 演示如何写出一般方程：通过给定圆心和半径的坐标，演示写出一般方程的步骤；
5. 练习一：给出圆心和半径的坐标，要求学生自行写出一般方程；
6. 解释一般方程的应用：解释一般方程的应用，比如通过一般方程可以求圆的周长和面积；
7. 练习二：给出圆的一般方程，要求学生求出圆的半径和圆心的坐标；
8. 总结和评价：帮助学生总结所学内容，并对学生进行评价。

教学资源：
1. 圆的图形；
2. 圆的一般方程的示意图；
3. 练习题。

教学评价：
1. 学生能否准确理解圆的一般方程的含义；
2. 学生能否熟练运用一般方程求解问题；
3. 学生对于一般方程的应用是否有深入理解。

《圆的一般方程》教学设计和教案教学设计教学目标：1.知识目标：掌握圆的一般方程的概念和求解方法；2.能力目标：能够正确理解和应用圆的一般方程解决相关问题；3.情感目标：培养学生对几何图形的兴趣，激发学生学习数学的积极性。

教学内容：1.圆的一般方程的定义和性质；2.使用圆的一般方程解决相关问题；教学步骤：Step 1 引入新知1.引导学生回顾圆的定义和性质，并回忆圆的直角坐标的一般方程；2.提出一个问题：“如何表示任意圆的方程？”引导学生思考。

Step 2 探究圆的一般方程1.结对讨论，指导学生以模仿法找出圆心在原点的圆的一般方程，并让学生将结论进行总结；2.通过实例引导学生进一步推广到圆心不在原点的情况，让学生发现圆的一般方程的一般表达形式。

Step 3 练习巩固1.给学生提供一些圆心在不同位置的圆的方程，让学生推算出对应的方程；2.带领学生分析和讨论解题过程，并纠正学生可能出现的错误。

Step 4 拓展应用1.引导学生思考如何利用圆的一般方程求圆的切线和法线；2.分组合作，让学生收集相关问题并解答；3.学生展示解题过程和结果，并带领全班讨论。

Step 5 总结归纳1.小组成员合作撰写一篇关于圆的一般方程的总结性文章；2.整理学生的思路，总结圆的一般方程的概念和方法，以及应用。

Step 6 练习检测1.布置一些练习题，让学生独立完成；2.教师检查学生的答题情况，并与学生一起讨论解题过程中的疑问。

Step 7 总结反思1.学生回顾所学内容，自评自己的学习效果，并写下自己的学习感想；2.教师对本节课进行总结和反思，并对学生的学习进行评价。

教案教案一：圆的一般方程的引入教学目标：明确圆的一般方程的定义和性质。

教学步骤：Step 1 引入新知1.引导学生回归几何的基本概念，复习圆的基本定义和性质；2.引出一个问题：“如何用方程表示圆？”Step 2 引入问题1. 使用ppt展示一个以原点为圆心的圆，采用不同的半径和圆心坐标方程；2.让学生思考圆的方程与圆的性质之间的关系。

圆的一般方程【教学目标】1．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

2．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力。

3．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础。

【教学重难点】教学重点：（1）能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；（2）能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

教学难点：圆的一般方程的特点。

【教学过程】一、情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0.请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题。

复习引出课题为“圆的一般方程”。

二、检查预习、交流展示1．写出圆的标准方程。

2．写出圆的标准方程中的圆心与半径。

三、合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：（1）（1）当D2+E2-4F＞0时，方程（1）与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；（3）当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形。

这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法。

2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程。

探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.（2）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)（3）的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论。

圆的一般方程》教案(公开课)
x2+y2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的异同点是什么？
答案：相同点是都是二元二次方程，不同点是圆的一般方程有限制条件D2+E2-4F＞0，且表示的轨迹为圆形，而二元二次方程的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线或者无图形．因此，圆的一般方程的特点是必须满足限制条件D2+E2-4F＞0，且表示的轨迹为圆形．
四)求圆的一般方程的标准方程
1．通过配方求圆心和半径
将圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为标准方程(x-
a)2+(y-b)2=r2，可以得到圆心坐标为(a，b)，半径为
r=√(a2+b2-F)．
2．用待定系数法，由已知条件导出圆的方程
以求圆心坐标为例，假设圆心坐标为(a，b)，则圆的一般方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，展开可得x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-
r2)=0．由此，可以列出方程组：
x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0
x1^2+y1^2-2ax1-2by1+(a2+b2-r2)=0
x2^2+y2^2-2ax2-2by2+(a2+b2-r2)=0
解方程组得到a=(x1+x2)/2，b=(y1+y2)/2，r=√[(x1-
x2)2+(y1-y2)2]/2．
五)实际问题的应用
通过配方和待定系数法，可以解决一些实际问题，如求解两个圆的位置关系、求解圆与直线的交点等等．
五、教学反思
本节课主要讲解了圆的一般方程，重点在于让学生掌握通过配方和待定系数法求解圆的一般方程的方法，以及圆的一般方程的特点和应用．在教学过程中，要引导学生深入思考，分析问题，培养解决实际问题的能力．同时，要注意让学生掌握基本概念和公式，避免死记硬背．。

《圆的一般方程》教案1. 能理解圆的一般方程及代数特征。

2. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化。

3. 会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题。

4. 理解数形结合的思想方法，进一步感受数与行的和谐之美。

5. 提升逻辑推理、数学运算、直观想象等素养。

重点：掌握圆的一般方程及代数特征并会求圆的一般方程。

难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题。

一、新课导入回顾：前面我们已经讨论了圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2，现将其展开可得：x2+y2−2ax−2bx+a2+b2−r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+ Dx+Ey+F=0的形式。

思考：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？生讨论，师引出本节课题：《圆的一般方程》。

设计意图：通过对圆的标准方程的讨论，引出圆的一般方程，同时类比直线方程的多种形式，帮助生认识圆的一般方程与二元二次方程的关系。

通过联系旧知，建立新旧联系。

二、新知探究探究：例如方程x2+y2−2x−4y+6=0表示的曲线是不是圆？生尝试，探究讨论。

分析：方程x2+y2−2x−4y+6=0，对其进行配方，得(x−1)2+(y−2)2=−1，因任意一点得坐标（x,y）都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，故形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这也表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程。

小结：何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0.的形式，但形如x2+ y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程。

定义：圆的一般方程。

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4（1）当D2+E2−4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以（−D2，−E2）为圆心，12√D2+E2−4F为半径的圆。

（2）当D2+E2−4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点（−D2，−E 2）。

圆的一般方程教学设计圆的一般方程教学设计教学目标•理解圆的一般方程的含义和表示方法•掌握圆心坐标和半径与圆的一般方程之间的关系•能够根据给定的圆心坐标和半径写出对应的圆的一般方程•能够利用圆的一般方程解决与圆相关的问题教学准备•教材：包含圆的一般方程的相关知识点的数学教科书•学具：白板、白板笔、投影仪或电脑•真实举例：通过相关图形和问题引发学生的兴趣和思考教学过程第一步：引入1.引导学生回顾和复习圆的基本概念和性质，例如圆心、半径、直径、弦等。

2.提出问题：如果给出圆的圆心和半径，你知道如何用方程来表示这个圆吗？第二步：讲解1.通过投影仪或电脑展示圆的一般方程及其含义。

–圆的一般方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。

–解释方程中各个部分的含义：(x-a)²表示点(x, y)到圆心的横向距离的平方，(y-b)²表示点(x, y)到圆心的纵向距离的平方，r表示半径的长度。

–强调方程左边和右边的关系：左边表示点(x, y)到圆心的距离的平方，右边表示半径的长度的平方。

2.通过数学公式的推导，解释方程的由来和合理性。

第三步：示例分析1.通过投影仪或电脑展示一些具体的例子，并提醒学生观察圆的特点和方程的关系。

2.引导学生一步步分析和推导圆的一般方程。

–例子1：圆心为(1, 2)，半径为5的圆。

•圆心坐标：(a, b) = (1, 2)•圆的一般方程为：(x-1)² + (y-2)² = 5²•学生可进一步计算方程左边和右边的结果验证等式的正确性。

–例子2：圆心为(-3, 4)，半径为7的圆。

•圆心坐标：(a, b) = (-3, 4)•圆的一般方程为：(x-(-3))² + (y-4)² = 7²•学生可进一步计算方程左边和右边的结果验证等式的正确性。

《圆的一般方程》教案设计一、学情分析:圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，是研究二次曲线的开始。

这里主要是用解析法研究它的方程及与其它图形的位置和应用。

但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，学生在探究问题的能力方面比较薄弱。

因此，根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认识结构，我特制定如下教学目标。

二、教学目标： 1、知识与技能目标：（1）将圆的标准方程(x –a)2+(y –b)2=r 2，展开得x 2+y 2–2ax –2by+a 2+b 2–r 2=0——①令D=–2a ，E=–2b ，F=a 2+b 2–r 2，则①式可写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，从而得到圆的一般方程及其方程特点，同时也让学生掌握了这一知识点。

（2）通过设问：是不是任何一个形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆？将方程配方得(x+D 2)2+(y+E 2)2=D 2+E 2–4F 4，对比圆的标准方程：(x –a)2+(y –b)2=r 2，让学生学会能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出其圆心(–D 2，–E2)，r=D 2+E 2–4F 2。

（3）通过例2，培养学生能用待定系数法来求圆的方程。

（4）通过例3，提高学生用坐标法求动点轨迹方程的通知。

2、过程与方法目标：通过展开圆的标准方程(x –a)2+(y –b)2=r 2导出圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0这一过程加深了学生在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，培养了学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度，通过例1、例3补充题的练习，培养学生数形结合思想、方程思想，提高学生分析问题和解决问题的能力，同时学生用代数方法研究几何问题的能力也得到了一定的提高。

3、情感、态度与价值目标：由学生动手，展开圆的标准方程：(x–a)2+(y–b)2=r2得x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0中令D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0——①，由学生分组讨论得出方程①表示圆的条件，圆的一般方程形式以及圆的一般方程与标准方程的转化和关系，培养了学生勇于思考问题，主动探究知识和合作交流的价值，同时在探讨中也激发了学生的学习兴趣，因此这一过程体现了情感、态度和价值目标。

《圆的一般方程》教案 一．教学目标1.使学生掌握圆的一般方程和圆的一般方程的特点2.能熟练掌握圆的一般方程与圆的标准方程的互化3.灵活应用待定系数法求圆的方程 二．教学重点1.圆的一般方程的特征及其应用2.由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；3.能用待定系数法，由已知条件求出圆的方程． 三.教学难点圆的一般方程的特征及应用 四.教学过程 1、新课引入：上一节学习了圆的标准方程: (x －a)2＋(y －b)2=r 2， 圆心(a ，b)，半径r ．提问：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么？ （生答）(x －1)2＋(y+2)2=4将它展开得014222=++-+y x y x ，这是一个二元二次方程。

任何圆的方程都是这样的二元二次方程吗？ 把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0． 可见任何一个圆的方程都可以写成下面的形式022=++++F Ey Dx y x ① 这说明圆的方程就是一个二元二次方程。

反过来，形如022=++++F Ey Dx y x 的方程一定表示圆吗？这就是今天所要探讨的内容:圆的一般方程.(书写课题) 2、讲授新课：我们先来判断两个具体的方程是否表示圆？（师生互动）642)2(0142)1(2222=+--+=++-+y x y x y x y x结论：不一定表示圆（通过此例分析引导学生使用配方法）追问:022=++++F Ey Dx y x 满足什么条件时表示圆? （让学生相互讨论后,由学生总结）将 022=++++F Ey Dx y x 配方得44)2()2(2222FE D E y D x -+=+++(1)当0422>-+F E D 时，此方程表示以（-2D，-2E ）为圆心,FE D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，此方程只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当0422<-+F E D 时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆,只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把方程022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )称为圆的一般方程与一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 比较 我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．（举例：091244422=++-+y x y x ） ②没有xy 这样的二次项 请学生思考并回答:二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是040022>-+=≠=AF E D B C A 且且问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?3、例题讲练例1：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

圆的一般方程教学目标：（1）掌握圆的一般方程及其特点．（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．（2）用待定系数法求圆的方程．教学难点：圆的一般方程特点的研究．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】前边已经学过了圆的标准方程()()222r b y a x =-+-把它展开得02222222=-++--+r b a by ax y x任何圆的方程都可以通过展开化成形如022=++++F By Dx y x ①的方程【问题1】形如①的方程的曲线是否都是圆？师生共同讨论分析：如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得44222222F E D D y D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ② 显然②是不是圆方程与4422F E D -+是什么样的数密切相关，具体如下： （1）当0422>-+F E D 时，②表示以⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，为圆心、以F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，②表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，； （3）当0422<-+F E D 时，②不表示任何曲线．总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．圆的一般方程的定义：当0422<-+F E D 时，①表示以⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，为圆心、以4F -E D 2122+为半径的圆，此时①称作圆的一般方程．即称形如()0402222>-+=++++F E D F Ey DE y x 的方程为圆的一般方程．【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．（1）2x 和2y 的系数相同，都不为0．（2）没有形如xy 的二次项．圆的一般方程与一般的二元二次方程 022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ③相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．【实例分析】例1：下列方程各表示什么图形．（1）022=+y x ；（2）044222=-+-+y x y x ；（3）02222=-++b ax y x ．学生演算并回答（1）表示点（0，0）；（2）配方得()()92122=++-y x ，表示以()21-，为圆心，3为半径的圆； （3）配方得()2222b a y a x +=++，当a 、b 同时为0时，表示原点（0，0）；当a 、b 不同时为0时，表示以()0，a -为圆心，22b a +为半径的圆．例2：求过三点()00，O ，()111，M ，()242，M 的圆的方程，并求出圆心坐标和半径． 分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．解：设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x因为O 、1M 、2M 三点在圆上，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解得：8-=D ，6=E ，0=F所求圆的方程为06822=+-+y x y x可化为()()253422=++-y x圆心为()34-，，半径为5．请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：（1）求圆的方程多用待定系数法．其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程．（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程．一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程．下面再看一个问题：例3： 经过点()06，-M 作圆094622=+--+y x y x C ：的割线，交圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹．【动画演示】用几何画板演示（文件“例题.gsp ”）曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：圆C 的方程可化为()()42322=-+-y x ，其圆心为()23，C ，半径为2．设()y x P ，是轨迹上图4任意一点．∵ MP CP ⊥∴ 1-=⋅MP CP k k即1632-=+⋅--x y x y 化简得0182322=--++y x y x点C 在曲线上，并且曲线为圆C 内部的一段圆弧．【练习巩固】（1）方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线是以()32，-为圆心，4为半径的圆．求D 、E 、F 的值．（结果为4，－6，－3）（2）求经过三点()11-，A 、()41，B 、()24-，C 的圆的方程．分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为023722=+--+y x y x ．（3）课本第79页练习1，2．【小结】师生共同总结：（1）圆的一般方程及其特点．（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．（3）用待定系数法求圆的方程．【作业】课本 5，6，7，8．【板书设计】。

圆的一般方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节内容的学习，掌握圆的一般方程，能利用各种条件求出圆的一般方程（二）学习目标1掌握圆的一般方程，理解二元二次方程表示圆的条件；2能够熟练进行圆的一般方程和标准方程之间的转换；3能够在各种条件下求圆的一般方程（三）学习重点1圆的一般方程和标准方程之间的转换；2在不同条件下求圆的一般方程（四）学习难点1理解二元二次方程表示圆的条件；2在不同条件下求圆的一般方程二、教学设计（一）课前设计1预习任务读一读 阅读教材第121页到122页，填空：（1）关于的二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个圆的条件是2240D E F +->；其圆心坐标为(,)22D E -- （2）求圆的方程常用的方法是待定系数法2预习自测（1）若圆的方程为22210230x y x y +-++=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）A (1,5),-(1,5),- C (1,5),3- D (1,5),3-【知识点】圆的一般方程【解题过程】方程配方得222(1)(5)x y -++=，故圆心和半径为(1,5)-【思路点拨】一般方程通常通过配方成标准方程，从而方便找出圆心和半径【答案】B（2）关于的方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的条件是（ ） A 114m << B 14m <或 C 14m < D 【知识点】二元二次方程表示圆的条件【解题过程】由2240D E F +->得：22(4)(2)450m m +--⨯>，解得14m <或 【思路点拨】形如220x y Dx Ey F ++++=的方程表示一个圆的条件是2240D E F +->【答案】B（3）过三点(00),(11),(42)O M N ，，，的圆的方程为（ ） A 2286250x y x y ++--= B 2286250x y x y +-+-=C 22860x y x y ++-=D 22860x y x y +-+=【知识点】圆的一般方程【解题过程】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则代入三点的坐标得：0811061444200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩，故圆的方程为22860x y x y +-+= 【思路点拨】待定系数法求圆的一般方程【答案】D（二）课堂设计1知识回顾：（1）确定圆的基本要素是：圆心位置和半径大小；（2）圆心为点a,b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=2问题探究探究一 二元二次方程表示的图形活动① 分别研究方程222410x y x y +-++=……①，222450x y x y +-++=……②，222460x y x y +-++=……③表示什么图形？对方程①配方的：22(1)(2)4x y -++=，由圆的标准方程可知它表示一个圆心为1,-2，半径为2的圆；对方程②配方的：22(1)(2)0x y -++=，显然只有一个点1,-2满足这个方程，所以这个方程只表示一个点1,-2；对方程③配方的：22(1)(2)1x y -++=-，显然没有任何的点,满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形【设计意图】让学生了解形如220x y Dx Ey F ++++=的方程可能表示不同的图形活动② 形如220x y Dx Ey F ++++=的方程表示一个圆的条件将方程220x y Dx Ey F ++++=配方得22224()()224D E D E F x y +--+-=，比较圆的标准方程222()()x a y b r -+-=可知：当2240D E F +->时方程表示一个圆，且圆心为(,)22D E --； 当2240D E F +-=时方程表示一个点；当2240D E F +-<时方程不表示任何一个图形 【设计意图】通过配方并与圆的标准方程比较得出形如220x y Dx Ey F ++++=的方程表示一个圆的条件探究二 圆的一般方程•活动① 圆的方程是不是都能表示成形如220x y Dx Ey F ++++=的方程？所有圆都是由圆心和半径决定，而且圆心为点a,b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，展开可得：22222220x y ax by a b r +--++-=，令2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，则得：220x y Dx Ey F ++++=故所有的圆的方程都可以表示为形如220x y Dx Ey F ++++=的方程【设计意图】让学生了解圆的方程与形如220x y Dx Ey F ++++=的方程之间的充要关系 •活动② 圆的一般方程由以上的探究可知：方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）表示一个圆心为(,)22D E --的圆，我们称之为圆的一般方程 【设计意图】明确掌握圆的一般方程的形式和条件，以及该圆的圆心和半径巩固基础，检查反馈例1 若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则实数的取值范围是（ ）A 223a a <->或B 223a -<<C 20a -<<D 223a -<< 【知识点】一般方程表示圆的条件【解题过程】由条件知222(2)4(21)0a a a a +-+->，解得223a -<< 【思路点拨】方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件为2240D E F +->【答案】D同类训练 已知方程22242(3)2(14)1690x y t x t y a +-++-++=表示的图形是一个圆，则实数的取值范围是____________；【知识点】一般方程表示圆的条件【解题过程】由一般方程表示圆的条件可知：2224[2(3)][2(14)]4(169)0t t t -++--+>，解得117t -<< 【思路点拨】方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件为2240D E F +-> 【答案】117t -<< 例2、已知ABC ∆的三个顶点分别为(15),(22),(55)A B C ---，，，，则ABC ∆的外接圆的一般方程为____________________【知识点】圆的一般方程的求法【解题过程】设外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将,,A B C 的坐标代入得：52604228025550020D E F D D E F E D E F F -+++==-⎧⎧⎪⎪--++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+++==-⎩⎩，所以所求方程为2242200x y x y +---= 【思路点拨】待定系数法求圆的一般方程【答案】2242200x y x y +---=同类训练经过点(1(2,A B -、，且圆心在轴上的圆的方程为_____________【知识点】圆的一般方程的求法【数学思想】【解题过程】设所求方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心为(,)22D E --，所以0E =，即方程为220x y Dx F +++=，将坐标代入得60612200D F D D F F ++==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩，所以圆的方程为2260x y x +-=【思路点拨】待定系数法求圆的一般方程【答案】2260x y x +-=强化提升、灵活应用例3、已知直角ABC ∆的斜边为AB ，且(10),(30)A B -，，，则直角顶点C 的轨迹方程为（ ） A 22230x y x +--= B 22230(1,3)x y x x +--=≠-C 22230x y x ++-=D 22230(1,3)x y x x ++-=≠-【知识点】轨迹方程问题【解题过程】设顶点C,，∵AC ⊥BC 且A,B,C 不共线，1AC BC k k ⋅=-∴且≠-1,3，又113AC BC y y k k x x ⋅=⋅=-+-，化简得22230(1,3)x y x x +--=≠- 另解：由几何关系可知，点C 的轨迹方程为以线段AB 为直径的圆去掉两个端点A 、B ，易求得方程为22230(1,3)x y x x +--=≠-【思路点拨】求轨迹方程注意事项：1根据题目的条件，运用适当的求轨迹的方法；2要看是求轨迹还是轨迹方程，轨迹是图形，轨迹方程是方程；3注意轨迹方程中的限制条件常用方法：直接法、几何法、相关点法等等【答案】B同类训练 已知(10)A ，为定圆22230x y x ++-=上一定点，为该圆上一动点，为弦的中点，则点的轨迹方程为_______________【知识点】轨迹方程问题【解题过程】设动点00(,),(,)M x y B x y ，因为为弦的中点，所以，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩，将点坐标00(,)x y 代入定圆方程得22(21)(2)2(21)30x y x -++--=，化简得：221(1)x y x +=≠【思路点拨】相关点法求动点的轨迹方程【答案】221(1)x y x +=≠3课堂总结知识梳理（1）圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->），其圆心为(,)22D E --，半径（2）求动点轨迹的常用方法有：直接法、几何法（定义法）、相关点法等重难点归纳（1）方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆时要注意符合条件2240D E F +->；（2）要能够在圆的标准方程和一般方程之间熟练进行转换；（3）求轨迹方程时要注意限制条件的考察（三）课后作业基础性 自主突破1圆224630x y x y ++--=的圆心和半径分别为（ ）A (4,6),16-B (2,3),4-C (2,3),4-D (2,3),16-【知识点】一般方程转化为标准方程【解题过程】配方的22(2)(3)16x y ++-=，所以圆心和半径分别为(2,3),4-【思路点拨】一般方程配方成标准方程找圆心和半径【答案】C2若方程220x y x y m +-++=表示圆，则实数的取值范围是（ ） A 12m < B 0m < C 12m > D 12m ≤ 【知识点】二元二次方程表示圆的条件【解题过程】由2240D E F +->得221(1)1402m m -+->⇒< 【思路点拨】方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆时要注意符合条件2240D E F +->【答案】A3圆22210x y x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程为（ ） A 221(3)(2)2x y ++-= B 221(3)(2)2x y -++=C 22(3)(2)2x y ++-=D 22(3)(2)2x y -++=【知识点】圆关于直线的对称圆【解题过程】圆22210x y x +--=的圆心为，半径为，设关于直线230x y -+=对称的点为，则131********b a a b a b ⎧=-⎪=-⎧⎪-⇒⎨⎨=+⎩⎪-+=⎪⎩，即对称圆的圆心(3,2)-，半径为，故所求圆的方程为22(3)(2)2x y ++-=【思路点拨】利用点关于直线的对称点的刻画方法，即中点和斜率，求出圆心的对称点【答案】C4若直线240mx ny +-=始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则的取值范围是（ ）A B C (,1)-∞ D (,1]-∞【知识点】直线平分周长即直线过圆心以及二次函数的最值【解题过程】由条件可知直线240mx ny +-=过圆心，即2240m n +-=，即2n m =-，所以2(2)(1)11mn m m m =-=--+≤【思路点拨】直线平分圆的周长、面积等都说明直线过圆心【答案】D5已知M N 、是圆22240x y kx y ++++=上的两点，且M N 、关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径为（ ）A B【知识点】圆的一般方程和圆上的对称点【解题过程】由条件可知直线10x y -+=过圆心(,1)2k --，所以1102k -++=，即，所以半径1r == 【思路点拨】圆上有点关于直线对称即表示直线过圆心【答案】C6若点(2,1)a a -在圆2222450x y y a +---=的内部，则实数的取值范围是（ ） A 1(,)4-∞ B 1(,)4+∞ C 1(,)4-∞- D 1(,)4-+∞ 【知识点】圆的一般方程和点与圆的位置关系【解题过程】由条件有2222220(2)4(45)0(2)(1)2(1)450a a a a a ⎧+---->⎨+-----<⎩，解得14a >- 【思路点拨】要注意考察方程表示圆的条件2240D E F +->，点与圆的位置关系的刻化：设点00(,)x y 和圆：220x y Dx Ey F ++++=（1）点在圆上等价于2200000x y Dx Ey F ++++=；（2）点在圆内等价于2200000x y Dx Ey F ++++<；（3）点在圆外等价于2200000x y Dx Ey F ++++>；【答案】D能力型 师生共研7已知为圆22:16O x y +=上的两点，且6||=AB 若以为直径的圆恰好经过点(1,1)C -，则圆心的轨迹方程为（ ）A 22(1)(1)9x y ++-=B 22(1)(1)9x y -++=C 22(1)(1)3x y ++-=D 22(1)(1)3x y -++=【知识点】圆的基本性质：弦心距、半弦长、半径成勾股关系【数学思想】【解题过程】设圆心(,)M x y ，由6||=AB 16AB =知圆的半径为3，则3MC =，即3=，故22(1)(1)9x y -++=【思路点拨】涉及到圆的弦长、弦心距问题要注意勾股关系的应用【答案】B8已知点(2,0),(0,2)A B -，点为圆2220x y x +-=上任意一点，则ABC ∆的面积的最小值为（ ）A 3B 3C 3【知识点】圆上有关距离的问题【解题过程】直线的方程为20x y -+=，圆心到直线的距离为d ，所以圆上的点1-，所以ABC ∆的最小面积为11)32AB ⨯=- 【思路点拨】圆上有关点的距离问题应该考虑转化到与圆心有关的距离问题【答案】A探究型 多维突破9在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为和，则四边形ABCD 的面积为__________【知识点】圆的方程和圆的性质【解题过程】圆即为22(1)(3)10x y -+-=，圆心为(1,3)M ，半径r =，由圆的性质知：最长弦为直径，即AC =，最短弦以(0,1)E 为中点且BD AC ⊥，由垂径定理有BD =，所以四边形ABCD 的面积为12AC BD ⋅=【思路点拨】由圆的性质分析出最长弦和最短弦分的性质是关键【答案】10已知圆：2246120x y x y +--+=，圆：2268160x y x y +--+=，,N M 分别为圆、上的动点，为轴上的动点，求PM PN +的最小值【知识点】对称圆问题和圆中距离的最值问题【解题过程】圆即22(2)(3)1x y -+-=，作圆关于轴的对称圆：22(2)(3)1x y -++=，点在圆上，且与点关于轴对称， 则PM PN PM PN '+=+，数形结合易知当点21,,,,C M P N C '共线时，PM PN '+最小，即为12134C C '--=【思路点拨】圆中的最值问题要想办法转化到圆心，同时注意对称性的应用【答案】4-自助餐1圆心在直线230x y --=上，且经过点(23),(25)A B ---，，的圆的方程为（ ） A 222450x y x y +---= B 222450x y x y +--+=C 222450x y x y +++-=D 222450x y x y ++++=【知识点】待定系数法求圆的一般方程【解题过程】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心为(,)22D E --，由条件有：()2()302224923044252505D E D D E F E D E F F ⎧----=⎪=⎧⎪⎪++-+=⇒=⎨⎨⎪⎪+--+==-⎩⎪⎩，即圆的方程为222450x y x y +++-= 【思路点拨】不能直接确定圆心和半径的圆的方程可以用待定系数法求解【答案】C2若方程2240x y x y m +--+=表示的曲线是圆，则实数的取值范围是（ ） A 18m < B 18m ≤ C 12m < D 12m ≤ 【知识点】二元二次方程表示圆的条件【数学思想】【解题过程】由22224(1)(1)440D E F m +-=-+--⨯>解得：18m < 【思路点拨】方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件是2240D E F +->【答案】A3已知点(12)M ，在圆22220x y kx y k ++++=的外部，则实数的取值范围是（ ） A B (0)+∞，CD ( 【知识点】二元二次方程表示圆的条件以及点与圆的位置关系【解题过程】将方程配方的22243()(1)24k k x y -+++=，所以由条件有：2222430443(1)(21)24k k k k ⎧->⎪⎪⇒<<⎨-⎪+++>⎪⎩ 【思路点拨】用圆的一般方程解决问题是一定要注意考察方程表示圆的条件【答案】D4若圆：224210x y x y ++++=上的任意一点关于直线：10ax by ++=的对称点都在圆上，则22(2)(2)a b -+-的最小值为（ ）A C【知识点】圆的对称性和二次函数的最值【数学思想】【解题过程】由条件知直线过圆心(2,1)M --，所以210a b --+=，即21b a =-+，故22222(2)(2)(2)(212)555a b a a a -+-=-+-+-=+≥【思路点拨】圆上的点关于直线对称即表示直线过圆心【答案】B5已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线:1250l x y c -+=的距离为1，则实数的取值范围是______________【知识点】圆的性质和点到直线的距离/【数学思想】【解题过程】圆的半径为2，由条件可知圆心到直线的距离113o l c d -==<，即1313c -<<【思路点拨】圆上有关点的距离问题常常需要转化到与圆心有关的距离问题【答案】1313c -<<。

圆的一般方程教案一、教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握圆的一般方程的基本概念和推导过程；能够根据已知条件，确定圆的一般方程。

2.过程与方法目标：通过引入问题，激发学生的探究兴趣，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察力和分析问题的能力，培养学生认真负责的学习态度。

二、教学重难点1.教学重点：圆的一般方程的基本概念，圆的一般方程的推导过程。

2.教学难点：通过引导学生分析，理解圆的一般方程的推导过程。

三、教学过程1.导入（5分钟）老师在黑板上画一个圆，问学生：你们对圆的一般方程有了解吗？有什么想法？2.引入问题（5分钟）老师出示一张图片，画有一个坐标系和一个圆，问学生：如何确定这个圆的方程？请你们思考一下。

3.讲解圆的一般方程的基本概念（10分钟）a.老师引导学生思考：圆的一般方程是什么意思？它包括哪些内容？b.学生回答：圆的一般方程是指坐标系中，所有满足其方程的点的集合。

它包括圆心、半径的信息。

c.老师给出圆的一般方程的定义：圆的一般方程是指平面直角坐标系中，满足方程的所有点的集合。

4.推导圆的一般方程（20分钟）a.老师先引导学生思考：圆的特点是什么？如何用代数表示？b.学生回答：圆的特点是所有到圆心距离等于半径的点。

可以用勾股定理表示。

c.老师给出推导圆的一般方程的步骤：-假设圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。

-任取圆上一点P(x,y)，根据勾股定理，有(x-x0)²+(y-y0)²=r²。

-展开可得到一般方程：x²+y²+Ax+By+C=0。

其中A=-2x0，B=-2y0，C=x0²+y0²-r²。

d.老师给出实例，通过具体计算，将圆的一般方程推导出来。

5.圆的一般方程的应用（15分钟）a.老师出示一道问题：圆心在原点，且与x轴和y轴的交点分别为(5,0)和(0,3)的圆的方程是什么？b.学生通过对问题分析，发现可以利用已知条件得到方程的三个参数：圆心坐标和半径。

3.2 圆的一般方程一等奖创新教学设计2.3.2圆的一般方程一、教材内容分析本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习圆的一般方程。

本节内容是在学生学习了圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方程特点，即为特殊的二元二次方程。

明确圆的一般方程的特点，掌握圆的方程的算法。

在这一过程中，进一步体会数形结合的思想和方程思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。

同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础。

也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。

坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。

通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。

二、教学目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程.3.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.4.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程,并能解决相关实际问题.5.结合具体实例,初步了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.三、教学重点、难点重点：圆的一般方程及其特点难点：能根据条件求出圆的一般方程四、教学方法小组合作，教师主导，学生主体。

2.3.2圆的一般方程一、知识点复习：1、圆的定义：平面内到一的距离等于的点的轨迹是。

其中，定点是，定长是圆的。

2、圆心在点M，半径为的圆的标准方程：3、点P和圆的位置关系：（1）点P在圆上：___；（2）点P在圆内：（3）点P在圆外：二、圆的一般方程：圆的一般方程：____________ 。

例1 已知三点A(0,5)，B(1,-2)，C(-3,-4)是⊙P上的三点，求这个圆的方程。

【针对性练习】求经过三点，，的圆的方程。

三、由圆的一般方程求圆心和半径：1. 圆的一般方程()，则（1）圆心坐标：___；（2）半径：2.把圆的一般方程()化为标准方程:二、例题部分：例2 判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆心坐标与半径；如果不是，说明理由。

圆方程教学设计（精选4篇）_圆的方程教学设计圆方程教学设计（精选4篇）由作者整理，希望给你工作、学习、生活带来方便。

第1篇：圆的一般方程教学设计一、学习目标知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

过程与方法：通过对方程表示圆的条件的探究，培圆的一般方程教学设计养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。

情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。

二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

三、学法提示：探究式；比较归纳式四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。

1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）2、思考探究（引入）：问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。

问题2：方程方程表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。

这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。

问题3：将问题2一般化，方程都表示圆吗？在什么条件下表示圆？3、小组展示先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。

《圆的一般方程》教学设计教材处理与课程资源开发教材分析：本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，是在学生学习了圆的标准方程之后，初步具备了数形结合思想及数学运算能力的基础上学习的，并为以后学习圆锥曲线问题奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。

本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

课程资源开发：利用网络等资源，搜集与课程相关的考纲、课标、高考真题、模拟题等，进行整理、归纳。

注意教研与教学的结合，注重生生资源的开发，激发学生学习兴趣。

姓名学段及学科高三数学课题圆的一般方程学情分析本节内容是学生在学生学习了圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，且对坐标法的运算还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。

另外，学生在探究问题的能力、合作交流的意识等方面还有待加强。

教学目标1、通过师生及小组合作探究，对圆的标准方程进行展开，从二元二次方程的结构入手，抽象出圆的一般方程结构形式，并对其进行讨论，培养我们数学抽象核心素养以及严密的逻辑思维和严谨的科学态度；2、通过探求点与圆的位置关系，渗透数形结合及几何问题代数化的解析几何思想，培养学生严谨的逻辑思维及全面看待事物的意识；3、通过对圆的方程求解训练，培养我们分析问题的能力，提升我们数学运算核心素养，树立优选方程结构形式、简化计算量的数学意识，进而引导我们对所学知识进行初步整合，以形成网络体系。

重点圆的一般方程的探求过程及其特点，圆的一般方程与标准方程的互化难点根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题课型“发现—探究—归纳”型教学媒体利用PowerPoint课件以及交互式希沃白板辅助教学，讲课过程中会利用几何画板作动态图的演示。

教学 策 略教法选择：游戏激趣、情境创设、探索发现、几何画板、思维导图总结归纳。

学法引导：以学生发现探究，自主合作交流为主，教师点拨指导为辅。

《圆的一般方程》教学设计和教案教学设计：圆的一般方程一、教学目标1.理解圆的定义以及圆的性质。

2.掌握圆的一般方程的表示方法以及解题方法。

3.能够运用圆的一般方程解决问题。

二、教学内容1.圆的定义和性质概述。

2.圆的一般方程的推导。

3.圆的一般方程的示例题和解题方法。

三、教学过程教学环节教学步骤教学方法时间安排引入1.引入圆的定义和性质。

教师讲解，提问10分钟2.提问：如何用方程表示一个圆？讲解1.提供一个圆的示例图，解释圆的一般教师讲解，举例20分钟方程的表示方法。

2.分析圆的一般方程的推导过程。

实例1.给出一些圆的一般方程的示例题，学生个人思考，讨论，教师点评30分钟解题让学生自己试着解答。

2.展示解题过程，并扩展其他解题方法。

练习1.分组小组合作，让学生互相出题、解题。

学生合作，教师辅导20分钟2.教师进行现场点评和总结。

四、教学重点和难点1.掌握圆的一般方程的表示方法和解题方法。

2.能够应用圆的一般方程解决相关问题。

五、教学资源和学具1.教科书或教学课件。

2.圆的示例图。

3.计算器、白板、黑板、粉笔。

六、教学评价和反思1.观察学生对圆的一般方程的理解程度，解题情况和解题方法的运用能力。

2.查看学生的笔记及练习题，分析学生的掌握程度，针对性地进行补充和巩固。

3.对教学设计的有效性进行评估，总结可借鉴部分，并进行个人教学反思，寻找改进点。

教案：圆的一般方程一、教学目标1.理解圆的定义以及圆的性质。

2.掌握圆的一般方程的表示方法以及解题方法。

3.能够运用圆的一般方程解决问题。

二、教学内容1.圆的定义和性质概述。

2.圆的一般方程的推导。

3.圆的一般方程的示例题和解题方法。

三、教学步骤步骤一：引入（10分钟）1.教师引入圆的定义和性质，可示意图和实例说明。

2.提问：如何用方程表示一个圆？步骤二：讲解（20分钟）1.教师提供一个圆的示例图，解释圆的一般方程的表示方法。

2.分析圆的一般方程的推导过程，引导学生根据半径和圆心坐标的关系推导出圆的一般方程。

《圆的方程》的课堂教案设计《圆的方程》的课堂教案设计（通用10篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

教案要怎么写呢？下面是小编精心整理的《圆的方程》的课堂教案设计，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

《圆的方程》的课堂教案设计篇11、教学目标（1）知识目标：a、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；b、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；c、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

（2）能力目标：a、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；b、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；c、增强学生用数学的意识。

（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

2、教学重点、难点（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用。

（2）教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

3、教学过程（一）创设情境（启迪思维）问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16（y≥0）将x=2.7代入，得即在离隧道中心线2。

7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

（二）深入探究（获得新知）问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢？[学生活动]：探究圆的方程。

[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M（x，y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①把①式两边平方，得（x―a）2+（y―b）2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法（三）应用举例（巩固提高）I直接应用（内化新知）问题三：1、写出下列各圆的方程（课本P77练习1）（1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在，半径为（3）经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II灵活应用（提升能力）问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。