近年中考数学压轴题大集合(一)
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中考数学压轴题大集合（一）
一、函数与几何综合的压轴题
1.如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)
(1) 求证：E点在y轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
(3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC
∴,EODOEOBOABDBCDDB
又∵DO′+BO′=DB
∴1EOEOABDC
∵AB=6，DC=3，∴EO′=2
又∵DOEODBAB，∴2316EODODBAB
∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上
方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①
再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ②
联立①②得02xy
∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上
（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3） 图① C（1，-3）
A
（2，-6） B D
O x
E y
图② C（1+k，-3）
A
（2，-6） B D
O x
E′ y E（0，-2）三点，得方程组42632abcabcc
解得a=-1,b=0,c=-2
∴抛物线方程y=-x2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。
同（1）可得：1EFEFABDC 得：E′F=2
方法一：又∵E′F∥ABEFDFABDB，∴13DFDB
S△AE′C= S△ADC- S△E′DC=11122223DCDBDCDFDCDB•••
=13DCDB•=DB=3+k
S=3+k为所求函数解析式
方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA
∴S△AE′C= S△BDE′1132322BDEFkk•
∴S=3+k为所求函数解析式.
证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2
同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4 ∴2213992AECABCDSSABCDBDk•梯形
∴S=3+k为所求函数解析式.
2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若421hSS，抛物线
y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM＝2，OM＝1，
在Rt△AOM中，AO＝122OMAM，
∴点A的坐标为A（0，1）
（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1
令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0），
AB＝2112222AOBO
在△ABM中，AB＝2，AM＝2，BM＝2
222224)2()2(BMAMAB
∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°
∴直线AB是⊙M的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝22，
∴BC＝ 10)22()2(2222ACAB
∵∠BAC＝90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC，
∴25)210()2(221••BCS
而2)222()2(222••ACS
421hSS，5,4225hh 即 A
B
C D x M · y 设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：
y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5
∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法二：（接上） 求得∴h＝5
由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5
又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5
∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法三：（接上）求得∴h＝5
因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
由已知得5055c0b5544002cbaaabaccbacba 或 ＝－ 解得
∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.
3.如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线)0(2acbxaxy过点A、B，且顶点C在⊙P上.
(1)求⊙P上劣弧⌒AB的长；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
[解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.
在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,
∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°
⌒AB的长＝342180120
（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝3.
又OM=1，∴A（1－3，0），B（1＋3，0），
由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，
则C(1，－3).
点A、B、C在抛物线上，则 A B
C O x y
· P（1，－1）
A B
C O x y
P（1，－1） · M cbacbacba3)31()31(0)31()31(022 解之得221cba
抛物线解析式为222xxy
（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.
又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.
又点D（0，－2）在抛物线222xxy上，故存在点D（0，－2），
使线段OC与PD互相平分.
4.如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴△AOC≌△COB.
∴OC2＝OA·OB.
∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3),
∴2(3)3.OBOB
∴OB＝1.∴OA＝3.
∴A(-3,0),B(1,0).
设抛物线的解析式为2.yaxbxc
则930,0,3.abcabcc解之，得3,323,33.abc
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为23233.33yxx
(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.
证明：连结O1E、OE、OF.
∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,
∴四边形EOFC为矩形.
∴QE＝QO.
∴∠1＝∠2. A y
x B E
F
O1 Q
O O2 C
B A E
F
O1 Q
O O2 y
x 2 1 3
4 N M
P C X O P D
C
A
B Y ∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，
∴EF与⊙O1相切.
同理：EF理⊙O2相切.
(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.
∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO.
∴.MNCNAOCO
∴3.33aa
解之，得333.2a
此时，四边形OPMN是正方形.
∴333.2MNOP
∴333(,0).2P
考虑到四边形PMNO此时为正方形，
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.
故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且333(,0)2P或(0,0).P
5.如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．
(1)说明点A、C、E在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．
(本题图形仅供分析参考用)
[解]
（1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=21x+1.
将点E的坐标E(415，823)代入y=21x+1中，左边=823，右边=21×415+1=823，
∵左边=右边，∴点E在直线y=21x+1上，即点A、C、E在一条直线上.
（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下
解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为aba442—，且P在矩形ABCD内部，∴
