中考数学压轴题(附带解析)

一、解答题

1．在平面直角坐标系中，抛物线2yaxbxc与x轴交于点(1,0)A和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1,4)．

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图1，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标；

(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MNx轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标

2．在平面直角坐标系中，二次函数22yaxbx的图象与x轴交于3,0,1,0AB两点，与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当ACP△面积最大时，求出点P的坐标；

（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以ACMQ、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

3．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．

（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 ； （2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；

（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．

4．综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，点0,10A，点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是,0t

（1）当6t时，点M的坐标是 ；

圆中的新定义问题

1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．

(1)已知A(3,0)，B(5,0)，

①在点P1(6,0)，P2(1,-2)，P3(3,2)中，线段AB的融合点是

　P1，P3　；

②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；(2)已知⊙O的半径为4，A(a,0)，B(a+1,0)，直线l过点T(0,-1)，记线段AB关于l的对称线段为AB．若对于

实数a，存在直线l，使得⊙O上有AB的融合点，直接写出a的取值范围．

【解答】解：(1)①∵P1(6,0)，A(3,0)，

∴P

1A的线段垂直平分线与x轴的交点为92，0，

∴P1是线段AB的融合点；∵P2(1,-2)，B(5,0)，

设直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为(a,0)，∴(a-1)2+4=(5-a)2，

解得a=52，

∴直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为52，0，

∴P2不是线段AB的融合点；∵P3(3,2)，B(5,0)，

设直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为(b,0)，

∴(b-3)2+4=(5-b)2，

解得b=3，∴直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为(3,0)，

∴P3是线段AB的融合点；

故答案为：P1，P3；

②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内

部，∵A(3,0)，B(5,0)，

∴AB=2，

当y=t与圆相切时，t=2或t=-2，∴-2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点；

(2)由(1)

可知，

A

B的融合点在以A、B为圆心，AB为圆心的圆及内部，∵A(a,0)，B(a+1,0)，

·1·

∴AB=AB=1，

∵⊙O上有AB的融合点，∴圆O与圆A、B有交点，∴圆O与圆A、圆B的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域，

当a>0时，a的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，

（共60页）1 初中数学中考试卷“压轴题”汇集训练及解析

24．（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线21

4yx

交于M（x

1，

y

1）和N（x

2，y

2）两点（其中x

1＜0，x

2＜0）．

⑴求b的值．

⑵求x

1?x

2的值

⑶分别过M

、N

作直线l

：y

=－1的垂线，垂足分别是M

1、

N

1，判断△M

1FN

1的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使

m

与以MN

为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m

的解析式；如果没有，

请说明理由．

答案：24．

解：⑴b

=1⑵显然1

1xx

yy和2

2xx

yy是方程组

21

1

4ykx

yx的两组解，解方程组

消元得21

10

4xkx

，依据“根与系数关系”得

12xx

=－4

⑶△M

1FN

1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由题知M

1的横坐标为x

1，N

1的横坐标为x

2，设M

1N

1交y

轴于F

1，则F

1M

1?F

1N

1=－x

1?

x

2=4，而FF

1=2，所以F

1M

1?F

1N

1=F

1F2

，另有∠M

1F

1F

=∠FF

1N

1=90°，易证Rt

△M

1FF

1∽Rt

△N

1FF

1，得∠M

1FF

1=∠FN

1F

1，故∠M

1FN

1=∠M

1FF

1＋∠F

1FN

1=∠FN

1F

1＋∠F

1FN

1=90°，所以

△M

1FN

1是直角三角形．F

M N

N

1M

1F

1O y

x

l

第22题

（共60页）2 ⑷存在，该直线为y

=－1．理由如下：

直线y

=－1即为直线M

1N

1．

如图，设N点横坐标为m，则

24.（本小题满分9分）已知⊙

1O

与⊙

2O

相交于A

、B

两点，点

1O

在⊙

2O

上，C

为⊙

2O

上

一点（不与A

，B

，

1O

重合），直线CB

与⊙

1O

交于另一点D

。

（1）如图（8），若AC

是⊙

2O

的直径，求证：ACCD

；

（2）如图(9)，若C

是⊙

1O

外一点，求证：

1OCAD

；

（3）如图（10），若C

是⊙

1O

内一点，判断（2）中的结论是否成立。F

M N

N

1M

1F

1O y

x

l

第22题解答用图P

Q

（共60页）3 答案：24．（9分）证明：（1）如图（一），连接AB

一、中考数学压轴题

1．已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；

（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=5∠DBE，求∠EBC的度数．

2．综合与实践

4A纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是2:1的矩形纸片称为“标准纸”．

操作判断：

1如图1所示，矩形纸片2()ABCDADAB是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,AB求CF的长，

2如图2，在1的基础上，连接,BD折痕EF交BD于点O，连接,BE判断四边形BFDE的形状，并说明理由．

探究发现：

3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，痕MN交AD边于点M，BC交边于点,N交BD也是点O.然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由．

3．如果关于x的一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．

（1）①方程2280xx 半等分根方程（填“是”或“不是”）；

②若(1)()0xmxn是半等分根方程，则代数式2252mmnn ；

（2）若点(,)pq在反比例函数8xy的图象上，则关于x的方程260pxxq是半等分根方程吗？并说明理由；

（3）如果方程20axbxc是半等分根方程，且相异两点(1,)Mts，(4,)Nts都在抛物线2yaxbxc上，试说明方程20axbxc的一个根为53．