中考数学压轴题集锦
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9．（2014年杭州市拱墅区中考模拟第22题）
如图，在一个边长为9cm的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC、CD上的动点，
连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于点H，交AD于点N．设点M
从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动；点E同时从点A出发，以cm/s速度
沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）．
（1）当点F是AB的三等分点时，求出对应的时间t；
（2）当点F在AB边上时，连结FN 、FM：
①是否存在t值，使FN＝MN？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在t值，使FN＝FM？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
29.（1）由AB//DC，得AFAECDCE．由92AC，2AEt，得2(9)CEt．
点F是AB的三等分点，存在两种情况：
①如图1，当AF＝3时，3292(9)t
t．解得94t．
②如图2，当AF＝6时，6292(9)t
t．解得185t．
第9题图1 第9题图2 第9题图3
（2）如图1，由AB//DC，得AFAECDCE．
如图3，由△AFD∽△DNM，得AFDNADDM．
而CD＝AD，所以AEDNCEDM．因此292(9)tDNtt．所以DN＝t．
因此AN＝DM＝9－t．
①如图4，如果FN＝MN，那么Rt△AFN≌Rt△DNM．
又因为△AFD∽△DNM，所以△AFN≌△AFD．此时N、D重合，t＝0．
②如图5，当FM＝FN时，FD垂直平分MN，因此DN＝DM．
解方程t＝9－t，得92t．
第9题图4 第9题图
5 10.（2014年南京市雨花栖霞浦口化工园区四区联合模拟第26题）
已知二次函数y＝mx2－5mx＋1（m为常数，m＞0），设该函数图像与y轴交于点A，图
像上一点B与点A关于该函数图像的对称轴对称．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点O为坐标原点，点M为函数图像的对称轴上一动点，求当M运动到何处时
△MAO的周长最小；
（3）若该函数图像上存在点P与点A、B构成一个等腰三角形，且△PAB的面积为10，
求m的值． 10．（1）由y＝mx2－5mx＋1，得A(0, 1)，抛物线的对称轴为直线52x．
所以点B的坐标为(5, 1)．
（2）如图1，当M运动到线段OB与对称轴的交点时，△MAO的周长最小，这是因为：
如图2，AO为定值，MA＝MB，在△MOB中，MO＋MB＞OB．
因此当O、M、B三点共线时，MB＋MO最小．
如图1，此时点M的坐标为51(,)22，△MAO的周长的最小值为261．
第10题图1 第10题图2 第10题图3
（3）因为△PAB的面积为10，AB＝5，所以AB边上的高为4，即点P到AB的距离
PH为4．
等腰三角形PAB分三种情况：
①如图3，当PA＝PB时，P是抛物线的顶点，由于抛物线开口向上，此时P5(,3)2．
将P5(,3)2代入y＝mx2－5mx＋1，于是得到1625m．
②如图4，当AP＝AB时，在Rt△PAH中，AP＝5，PH＝4，所以AH＝3．
所以点P的坐标为(－3, 5)或(3,－3)．
将P(－3, 5) 代入y＝mx2－5mx＋1，于是得到16m．
将P(3,－3) 代入y＝mx2－5mx＋1，于是得到23m．
③如图5，当BP＝BA＝5时，根据对称性，与情况②一样，16m或23m．
第10题图4 第10题图5
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶
点为C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N
为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，
所以y＝a(x－1)(x－3)＝ax2－4ax＋3a．
所以3a＝－3．解得a＝－1．
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3．
（2）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得D(0,－3)，C(2, 1)．
如图1，由B(3, 0)、D(0,－3)、C(2, 1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．
所以∠CBD＝90°，且21332BCBD．
第4题图1 第4题图2 第4题图3
因此△AMN与△BCD都是直角三角形，它们相似分4种情况讨论： ①当3NABDNMBC，且M在A右侧时，13(1)(3)xxx． 解得103x．此时M107(,)39（如图2）． ②当3NABDNMBC，且M在A左侧时，13(1)(3)xxx． 解得83x＞1，不符合题意（如图3）． ③当13NABCNMBD，且M在A右侧时，11(1)(3)3xxx．
解得x＝6．此时M(6,－12)（如图4）． ④当13NABCNMBD，且M在A左侧时，11(1)(3)3xxx．
解得x＝0．此时M(0,－3)（如图5）．
第4题图4 第4题图5
10．（2014年南京市建邺区九年级学情调研卷第26题）
如图，在△ABC中，AB＝AC＝42，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，以点P为圆心，以PB为半径作⊙P，设点P运动的时间为t秒． （1）当⊙P与直线AC相切时，求t的值；
（2）当⊙P与⊙A相切时，求t的值；
（3） 延长BA交⊙A于点D，连接AP交⊙A于点E，连接DE并延长交BC于点F．当
△ABP与△FBD相似时，求t的值．
10．（1）在△ABC中，已知AB＝AC＝42，BC＝8，可知△ABC是等腰直角三角形．
如图1，过点P作PM⊥AC，垂足为M．
当⊙P与直线AC相切时，PM＝PB＝t．
在Rt△PCM中，PM＝t，∠C＝45°，所以PC＝2t．
由BC＝BP＋PC＝8，得28tt．解得828t．
第10题图1 第10题图2
（2）如图2，作AH⊥BC，垂足为H．
在Rt△APH中，AH＝4，PH＝|4－t|，所以2224(4)832APttt．
对于⊙A，r＝2；对于⊙P，R＝t；圆心距d＝AP＝2832tt．
①当⊙P与⊙A外切时，由R＋r＝d，得22832xtt．解得73t（如图3）．
②当⊙P与⊙A内切时，由R－r＝d，得22832ttt．解得t＝7（如图4）．
第10题图3 第10题图4
（3）△ABP与△FBD有公共角∠B，分两种情况讨论它们相似：
①如图5，∠BAP＝∠D是不可能的，这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角，
∠BAP＝2∠D．
②如图6，当∠BPA＝∠D时，在△ABP中，∠BAP＝2∠BPA，
因此45°＋3∠BPA＝180°．解得∠BPA＝45°．
此时△ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t＝8．
第10题图5 第10题图
6 4． 如图，抛物线y＝－x2＋4x－3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点
D．在抛物线上是否存在一点P，使得△BDP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
4．（1）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－1)(x－3)，得D(0,－3)，A(1, 0)，B(3, 0)．
所以OB＝OD＝3，BD与坐标轴的夹角为45°．
设点P的坐标为(x, －x2＋4x－3)．
直角三角形BDP分三种情况讨论：
①如图1，当∠PBD＝90°时，∠PBO＝45°，所以PH＝BH．
解方程－x2＋4x－3＝3－x，得x＝2，或x＝3（与B重合，舍去）．此时P(2, 1)．
②如图2，当∠PBD＝90°时，∠PDM＝45°，所以PM＝DM．
解方程x＝－3－(－x2＋4x－3)，得x＝5，或x＝0（与D重合，舍去）．此时P(5,－8)．
③如图3，当∠BPD＝90°时，△PEB∽△DFP，所以PEDFBEPF． 解方程22(43)34xxxxxx，整理，得x2－5x＋5＝0．解得552x．
此时P5551(,)22，或5551(,)22．
第4题图1 第4题图2 第4题图3
10.（2014年福建省南安市中考模拟第25题）
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，
OA＝4，OC＝2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当
点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方
向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若
不能，请说明理由．
（1）如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E．
由△COP∽△PED，得2COOPPCPEEDDP． 所以112PECO，1122EDOPt．所以点D的坐标表示为1(1,)2tt．
（2）S△DPA＝2211111(4)(2)122244PADEttttt．
所以当t＝2时，△DPA的面积最大，最大值为1．此时P是OA的中点．
（3）由于∠CPD＝90°，所以∠DPA不可能等于90°，直角三角形DPA存在两种可
能：
①如图2，当∠DAP＝90°时，点D落在AB上，E与A重合， 此时2COPCPADP．所以224t．解得t＝3．
②如图3，当∠PDA＝90°时，CP//DA，∠2＝∠3．
又因为∠2与∠1互余，所以∠3与∠1互余．因此∠1＝∠3＝45°．
此时△DPA和△COP都是等腰直角三角形，所以OP＝OC＝3．因此t＝2．
综上所述，经过2秒或3秒时，△DPA是直角三角形．
第10题图1 第10题图2 第10题图3
