课时训练 变化率与导数、导数的运算(北师大版)

课时作业(十二) 第12讲 变化率与导数、导数的运算时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011·余姚模拟 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝02．2011·聊城模拟 曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A ．e 2B ．2e 2C ．4e 2D.e 223．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．54．2011·临沂模拟 若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3 能力提升5．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.1346．y ＝cos x 1－x的导数是( )A.cos x ＋sin x ＋x sin x (1－x )2B.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x 1－xD.cos x ＋sin x －x sin x (1－x )27．已知直线l 经过点P ⎛⎭⎫π4，1，且倾斜角为3π4，则下列曲线中与l 相切于点P 的是( )A ．y ＝2sin xB ．y ＝2tan xC ．y ＝2cos xD ．y ＝2tan x8．2011·郑州模拟 已知定义域为D 的函数f (x )，如果对任意x 1，x 2∈D ，存在正数K ，都有∣f (x 1)－f (x 2)∣≤K ∣x 1－x 2∣成立，那么称函数f (x )是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；③f (x )＝x －1；④f (x )＝lg(2x 2＋1)，其中是“倍约束函数”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 9．曲线y ＝5x 3在点P (1,1)处的切线方程为( ) A ．3x －5y ＋2＝0 B ．y －x ＝0 C ．5y －3x ＝0 D ．3x ＋5y －8＝010．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为s ＝27t －0.45t 2(单位：米)，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．11．如图K12－1所示，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数：①f (x )＝x 2＋2x ；②f (x )＝sin x ＋cos x ；③f (x )＝ln x －x ；④f (x )＝－x e x在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是________．(填序号)13．下列命题：①若f (x )存在导函数，则f ′(2x )＝f (2x )′；②若函数h (x )＝cos 4x －sin 4x ，则h ′⎝⎛⎭⎫π12＝0；③若函数g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)…(x －2010)(x －2011)，则g ′(2011)＝2010！；④若三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则“a ＋b ＋c ＝0”是“f (x )有极值点”的充要条件． 其中假命题为________．(填序号)14．(10分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； (3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．15．(13分)2011·六安模拟 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈x 1，x 2，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．难点突破16．(12分)已知抛物线C ：y ＝x 2＋4x ＋72，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 处的法线．(1)若C 在点M 的法线的斜率为－12，求点M 的坐标(x 0，y 0)；(2)设P (－2，a )为C 的对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．课时作业(十二)【基础热身】1．A 解析 y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y －1＝4(x －1)，整理得4x －y －3＝0.2．D 解析 ∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x |x ＝2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S ＝12×1×e 2＝e 223．B 解析 因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图像关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B.4．B 解析 曲线上的点P 到直线的最短距离，就是与直线y ＝x －2平行且与y ＝x 2－ln x 相切的直线上的切点到直线y ＝x －2的距离．过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.【能力提升】5．D 解析 ∵s (t )＝t 2＋3t ，∴s ′(t )＝2t －3t 2，∴机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为s ′(2)＝4－34＝134.6．B 解析 y ′＝－sin x (1－x )－(－1)cos x (1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2. 7．C 解析 显然点P 不在曲线y ＝2tan x 和y ＝2tan x上，易求得正确选项为C.8．C 解析 由|f (x 1)－f (x 2)|≤K |x 1－x 2|，得⎪⎪⎪f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2≤K ，即曲线f (x )的切线的斜率的绝对值有最大值．对于①，f ′(x )＝2，符合定义；对于②，|f ′(x )|＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，符合定义；对于③，f ′(x )＝12x －1，不存在最大值；对于④，|f ′(x )|＝⎪⎪⎪⎪4x (2x 2＋1)ln10≤2ln10，符合定义．故选C. 9．A 解析 y ′＝35x －25，当x ＝1时，k ＝35，由点斜式得直线方程为y －1＝35(x －1)，即3x －5y ＋2＝0，故选A.10．30 405 解析 s ′(t )＝27－0.9t ，由瞬时速度v (t )＝s ′(t )＝0得t ＝30，期间列车前进了s (30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．11．2 解析 当x ＝5时，y ＝－x ＋8＝－5＋8＝3，因此f (5)＝3，又切线斜率为－1，即f ′(5)＝－1，故f (5)＋f ′(5)＝2.12．②③④ 解析 对于①f ′(x )＝2x ＋2，f ″(x )＝2>0，因此①不是凸函数；对于②f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin x >0，cos x >0，∴f ″(x )<0，因此②是凸函数；对于③，f ′(x )＝1x －1，f ″(x )＝－1x2<0，因此③是凸函数；对于④，f ′(x )＝－e x －x e x ，f ″(x )＝－e x －e x －x e x ＝－(x ＋2)e x<0，因此④是凸函数．13．①②④ 解析 f (2x )′＝f ′(2x )(2x )′＝2f ′(2x )，①错误；h ′(x )＝4cos 3x (－sin x )－4sin 3x cos x ＝－4sin x cos x ＝－2sin2x ，则h ′⎝⎛⎭⎫π12＝－1，②错；f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，Δ＝4b 2－12ac ＝4(b 2－3ac )，只需b 2－3ac >0即可，a ＋b ＋c ＝0是b 2－3ac >0的充分不必要条件，④错．14．解答 (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数． 所以函数g (x )＝x ＋1x 也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x －1＋1x －1＋1.可知，函数g (x )的图像按向量a ＝(1,1)平移，即得到函数f (x )的图像，故函数f (x )的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0－1.由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎡⎦⎤1－1(x 0－1)(x －x 0)． 令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1交点为⎝⎛⎭⎫1，x 0＋1x 0－1.令y ＝x 得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 交点为(2x 0－1,2x 0－1)． 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2.15．解答 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5；切线l 的方程为：x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x ，依题意得：方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相等的根0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0⇒m >－14；又对任意的x ∈x 1，x 2，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，即0<－m ⇒m <0，由韦达定理知：x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2，对任意的x ∈x 1，x 2，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0；又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数在x ∈x 1，x 2上的最大值为0，于是当m <0时对任意的x ∈x 1，x 2，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上：m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0.【难点突破】16．解答 (1)函数y ＝x 2＋4x ＋72的导数y ′＝2x ＋4.C 上点(x 0，y 0)处切线的斜率k 0＝2x 0＋4，因为过点(x 0，y 0)的法线斜率为－12，所以－12(2x 0＋4)＝－1，解得x 0＝－1，y 0＝12，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，12.(2)设M (x 0，y 0)为C 上一点．①若x 0＝－2，则C 上点M ⎝⎛⎭⎫－2，－12处的切线斜率k ＝0，∴过点M ⎝⎛－2，－12的法线方程为x ＝－2，此法线过点P (－2，a )；②若x 0≠－2，则过点M (x 0，y 0)的法线方程为y －y 0＝－12x 0＋4(x －x 0)．①若法线过P (－2，a )，则a －y 0＝－12x 0＋4(－2－x 0)，将y 0＝x 20＋4x 0＋72代入得(x 0＋2)2＝a ，② 若a >0，则x 0＝－2±a ，从而y 0＝x 20＋4x 0＋72＝2a －12，将上式代入①，化简得x ＋2ay ＋2－2a a ＝0或者x －2ay ＋2＋2a a ＝0.若a ＝0，则x 0＝－2，与x 0≠－2矛盾． 若a <0，则②式无解．综上，当a >0时，在C 上有三个点⎝⎛⎭⎫－2＋a ，2a －12，⎝⎛⎭⎫－2－a ，2a －12，⎝⎛⎭⎫－2，－12，在这三点的法线过点P (－2，a )，其方程分别是x ＋2ay ＋2－2a a ＝0、x －2ay ＋2＋2a a ＝0、x ＝－2；当a ≤0时，在C 上有一个点⎝⎛⎭⎫－2，－12，在这点的法线过点P (－2，a )，其方程为x ＝－2.。

课时分层训练(十三) 变化率与导数、计算导数(对应学生用书第226页)A组基础达标一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)C[∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于()A．－e B．－1 C．1D．eB[由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]3．曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1 D．y＝－3x－1A[由题意得y′＝(x＋1)e x＋2，则曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.]4．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若直线y＝kx＋1是函数f(x)＝ln x图像的一条切线，则k＝()【导学号：79140073】A.1e2 B.1eC．e D．e2A [由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x .设切点为(x 0，ln x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＝kx 0＋1，k ＝1x 0，解得x 0＝e 2，则k ＝1x 0＝1e 2，故选A.]5．已知y ＝f (x )是可导函数，如图2-10-1，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )图2-10-1A ．－1B ．0C ．2D ．4B [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.1－ln 2 [分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值． 求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2， 所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.]7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.【导学号：79140074】1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.]8．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.8 [∵y ＝a ln x ，∴y ′＝ax ，∴在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)， ∴切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得：x ＝1；令x ＝0，y ＝－a . ∴三角形面积S ＝12×a ×1＝4， ∴a ＝8.] 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln (2x ＋1)x.[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x .(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5.∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.B 组 能力提升11．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2D [易知曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线斜率存在，设其为k .∵y ′＝12e 12x，∴k ＝12e 12×4＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.]12．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4D ．－2D [∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0， 解得m ＝－2.]13．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．(1,1) [∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ， ∴曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0＞0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20.易知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0＞0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x ＞0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1,1)．] 14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.【导学号：79140075】[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知， ⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

《金版新学案》高考数学一轮复习第2章第10课时变化率与导数、导数的计算课时作业文北师大版(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′＝3x log3e；②(log2x)′＝1x·ln 2；③(e x)′＝e x；④⎝⎛⎭⎪⎫1ln x′＝x；⑤(x·e x)′＝e x＋1.A．1 B．2C．3 D．4解析：求导运算正确的有②③，2个，故选B.答案： B2．下图中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝( )A.13B．－13C.73D．－13或53解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为图(3)．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a ＞0，∴a ＝－1.故f (－1)＝－13－1＋1＝－13. 答案： B3．y ＝x 2cos x 的导数是( )A ．2x cos x ＋x 2sin xB ．2x cos x －x 2sin xC ．2x cos xD ．－x 2sin x 解析： y ′＝2x cos x －x 2sin x .答案： B4．(2010·威海模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A ．1B.12 C ．－12 D ．－1解析： ∵y ′＝2ax ，∴y ′|x ＝1＝2a .即y ＝ax 2在点(1，a )处的切线斜率为2a .直线2x －y －6＝0的斜率为2.∵这两直线平行，∴它们的斜率相等，即2a ＝2，解得a ＝1.答案： A5．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象上的点(x ，y )处的切线斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为( )解析： k ＝g (x )＝y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，故函数k ＝g (x )为奇函数，排除A 、C ；又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，g (x )＞0， ∴B 正确．答案： B6．(2009·江西卷)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12 解析： 由条件知g ′(1)＝2.又∵f ′(x )＝[g (x )＋x 2]′＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝2＋2＝4.答案： A二、填空题7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为________．解析： y ′＝cos x ＋e x ，∴在x ＝0处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋cos 0＝2.又切点坐标为(0,3)，∴切线方程为y ＝2x ＋3.答案： y ＝2x ＋38．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为________．解析： k 的最大值即过原点与曲线y ＝ln x 相切的直线的斜率．设切点P (x 0，y 0)，∴y 0＝ln x 0.∵y ′＝1x ，∴在x 0处的切线斜率为1x 0. ∴1x 0＝y 0x 0，即1x 0＝ln x 0x 0.∴x 0＝e.∴1x 0＝1e. ∴k 的最大值为1e. 答案： 1e9．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是________．解析： 设P (a ，a 2－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[－1,3]，∴0≤a ≤2. 而g (a )＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34， 当a ＝12时，g (a )min ＝34；当a ＝2时，g (a )max ＝3， 故P 点纵坐标范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3. 答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝tan x ；(2)y ＝x 3log 2x ＋3x .解析： (1)(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′ ＝sin x ′cos x －cos x′·sin x cos 2 x＝cos 2 x ＋sin 2 x cos 2 x ＝1cos 2 x . (2)y ′＝(x 3log 2 x )′＋(3x )′＝(x 3)′log 2 x ＋x 3(log 2 x )′＋3x ln 3＝3x 2log 2 x ＋x 3·1xlog 2 e ＋3x ln 3 ＝3x 2log 2 x ＋x 2log 2 e ＋3x ln 3.11．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a 、b 的值；(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．【解析方法代码108001023】解析： (1)因为f ′(x )＝x －a x(x ＞0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2.(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立．所以有a ≤1.12．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解析： (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13，∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 02＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 02＋1)(x －x 0)＋x 03＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 02＋1)(－x 0)＋x 03＋x 0－16，整理得，x 03＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)。

3.4.1 导数的加法与减法法则一、选择题1．下列四组函数中导数相等的是()A. f(x)＝1与f(x)＝xB. f(x)＝sin x与f(x)＝－cos xC. f(x)＝1－cos x与f(x)＝－sin xD. f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋5解析：D选项中的两个函数的导数都是－4x.答案：D2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为()19A. B.3 10 313C. D.3 16310解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.3答案：B3．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2时两个物体的瞬时速度的关系是()A. 甲大B. 乙大C. 相等D. 无法比较解析：v1＝s′1＝3t2－4t＋1，v2＝s′2＝6t－1，所以在t＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．答案：B4．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为()7 2A．1 B.85 2C. D.83解析：依据题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．根据导数的运算法则可以求得y′＝－2x，所以曲线在P点处的切线的斜率k＝－2x0，因1为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1，得x0＝－.21 1|－＋＋2|1 12 4 7 2故P点的坐标为(－，－)，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝＝.2 4 2 8答案：B二、填空题5. 已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于________．解析：∵f′(x)＝4x3＋2ax－b，由Error!⇒Error!∴Error!∴a＋b＝5＋13＝18.答案：186. 函数f(x)＝x3＋4x＋5的图像在x＝1处的切线在x轴上的截距为________．解析：f′(x)＝3x2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，3∴y－10＝7(x－1)，当y＝0时，x＝－.73答案：－7sinθ3cosθ5π7. 设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取3 2 12值范围是________．解析：由已知f′(x)＝sinθ·x2＋3cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sin(θ＋π5π)，又θ∈[0，]．312ππ3π 2 π∴≤θ＋≤，∴≤sin(θ＋)≤1，3 34 2 3∴2≤f′(1)≤2.答案：[ 2，2]三、解答题8. 求下列函数的导数：(1)y＝2x5＋3x4－4x3＋5x2－6x＋7；(2)y＝x3＋sin x；(3)y＝e x－ln x.解：(1)y′＝(2x5)′＋(3x4)′－(4x3)′＋(5x2)′－(6x)′＋7′＝10x4＋12x3－12x2＋10x－6.(2)y′＝(x3)′＋(sin x)′＝3x2＋cos x.1(3)y′＝(e x)′－(ln x)′＝e x－.x9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．解：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.又y′＝2ax＋b，则点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由Error!解得Error!所以a，b，c的值分别为3，－11,9.3。

1 变化的快慢与变化率[A 组 基础巩固]1．对于函数y ＝1x，当Δx ＝1时，Δy 的值是( )A ．1B ．－1C ．0.1D ．不能确定解析：函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy ，必须指明在某点附近的函数改变量．答案：D2．函数y ＝f (x )＝3x ＋1在点x ＝2处的瞬时变化率估计是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ，则Δy Δx ＝3Δx Δx＝3，∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于3.故选B. 答案：B3．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不能确定解析：k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .由题意知Δx >0，所以k 1>k 2，选A.答案：A4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬间速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt 趋于0时，12＋18Δt 趋于12，因此t ＝2时，木块在水平方向瞬时速度为12.答案：C5．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：Δs ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )＝16Δt －8t ·Δt －4(Δt )2.又因为在某时刻的瞬时速度为零．当Δt →0时，ΔsΔt＝16－8t －4Δt ＝0. 即16－8t ＝0，解得t ＝2. 答案：B6．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数f (x )在[－2，1]上的平均变化率为__________；函数f (x )在[－2,3]上的平均变化率为__________．解析：从题图中可以看出f (－2)＝－1，f (1)＝1，f (3)＝3，所以函数f (x )在[－2,1]上的平均变化率为f (1)－f (－2)1－(－2)＝1－(－1)3＝23，函数f (x )在[－2,3]上的平均变化率为f (3)－f (－2)3－(－2)＝3－(－1)5＝45.答案：23 457．质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 单位：cm ，t 单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 cm/s ，则常数a ＝________.解析：由Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2＋1－4a －1Δt＝4a ＋aΔt 知质点M 在t ＝2 s 时瞬时速度为4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 答案：28．以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t s 时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．解析：∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－(v 0t 0－12gt 20)＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12gΔt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于v 0－gt 0， 故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2. (1)求此物体从t ＝0到t ＝2时的平均速度； (2)求此物体的初速度；(3)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． 解析：(1)v －＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.(2)该物体从t ＝0到t ＝0＋Δt 时的平均速度为s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ，由Δt →0得t ＝0时的瞬时速度为3. 即此物体的初速度为3.(3)该物体从t ＝2到t ＝2＋Δt 时的平均速度为s (2＋Δt )－s (2)Δt＝－1－Δt .由Δt →0得t ＝2时的瞬时速度为－1.[B 组 能力提升]1．某物体做直线运动，其运动规律是s (t )＝t 2＋3t(时间t 的单位：s ，位移s 的单位：m)，则它在4 s 末的瞬时速度为( )A.12316m/s B.12516 m/s C ．8 m/sD.674m/s 解析：∵ΔsΔt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt4(4＋Δt )Δt ＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴li m Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516，故选B.答案：B2．若函数f (x )＝x 在点x ＝x 0处的瞬时变化率是33，则x 0的值是( ) A.34 B.12 C ．1D ．3解析：Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx＝(x 0＋Δx －x 0)(x 0＋Δx ＋x 0)Δx (x 0＋Δx ＋x 0)＝1x 0＋Δx ＋x 0，当Δx →0时，Δy Δx →12x 0，∴12x 0＝33，∴x 0＝34. 答案：A3．函数f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________． 解析：Δy ＝f (e 2)－f (e)＝(ln e 2＋1)－(ln e ＋1)＝1，Δx ＝e 2－e ，∴Δy Δx ＝1e 2－e. 答案：1e 2－e4．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．解析：Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝1(2＋Δt )2－14Δt＝－4＋Δt 4(2＋Δt )2，当Δt 趋于0时，Δs Δt ＝－14. 答案：－145．若一个物体的运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥329＋3(t －3)2，0≤t <3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初始速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解析：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)物体的初始速度v 0即物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均速度为Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3×(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度为－18 m/s ，即物体的初始速度为－18 m/s. (3)∵物体在t ＝1附近的平均速度为Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2Δt ＝3Δt －12，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－12，∴物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.6．一水库的蓄水量与月份的关系图像如图所示，试指出大概在哪一段时间(以两个月计)蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？解析：由题中图像可知，大概在6月份至8月份期间水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好，而在9月份至11月份期间水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差．。

课时作业(十三)　[第13讲　变化率与导数、导数的运算] [时间：35分钟 分值：80分] 图K13－1 1．如图K13－1，函数y＝f(x)在A、B两点间的平均变化率是( ) A．2 B．1 C．－2 D．－1 2．f(x)＝，则f′(8)等于( ) A．0 B．2 C. D．－1 3．[2011·青岛模拟] 设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( ) A．e2 B．ln2 C. D．e 4．[2011·海淀模拟] 设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为________． 5．已知物体的运动方程是s＝t3－6t2＋32t(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A．2秒或4秒 B．2秒或16秒 C．8秒或16秒 D．4秒或8秒 6．[2011·湖南卷] 曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( ) A．－ B. C．－ D. 7．下列图像中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)＝( ) 图K13－2 A. B．－ C. D．－或 8．[2011·潍坊模拟] 若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( ) A．－1 B．－2 C．2 D．0 9．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________． 10．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 11．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)0.a2－1＝0，a0，因此不是凸函数；对于f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，x∈，sinx>0，cosx>0， f″(x)<0，因此是凸函数；对于，f′(x)＝－1，f″(x)＝－<0，因此是凸函数；对于，f′(x)＝－ex－xex，f″(x)＝－ex－ex－xex＝－(x＋2)ex<0，因此是凸函数． 12．[解答] 当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x(0，＋∞)． 所以f′(x)＝，x(0，＋∞)， 因此f′(2)＝1， 即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)＝ln2＋2， 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0. 【难点突破】 13．[解答] (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3. 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋， 于是解得故f(x)＝x－. (2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)． 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为S＝|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

§3 计算导数[对应学生用书P39]对于函数y ＝－12x 2＋2x .问题1：如何求f ′(1)? 提示：f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx.问题2：如何求f ′(x )? 提示：f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.问题3：f ′(x )与f ′(1)有什么关系？提示：f ′(1)可以认为把x ＝1代入导函数f ′(x )得到的值．1．导函数若一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，简称为导数． 2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)1．导数公式表中(a x)′＝a x ln a与(log a x)′＝1x ln a较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们之间的差异去记忆．2．f′(x)与f′(x0)既有区别，又有联系，f′(x)是导函数，f′(x0)是当x＝x0时导函数f′(x)的一个函数值，是一个确定的值．[对应学生用书P39][例1] s(t)＝t2＋t.求s′(0)，s′(2)，s′(5)，并说明它们的意义．[思路点拨] 先求出s(t)的导函数，然后分别把t＝0,2,5代入即可．[精解详析] 由题意Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)2＋(t＋Δt)－(t2＋t)＝(Δt)2＋2t·Δt＋Δt.∴ΔsΔt＝Δt2＋2t·Δt＋ΔtΔt＝Δt＋2t＋1.当Δt趋于0时，可以得出导函数为s′(t)＝limΔt→0s t＋Δt－s tΔt＝limΔt→0(Δt＋2t＋1)＝2t＋1.因此，s′(0)＝2×0＋1＝1，它表示物体的初速度为1 m/s；s′(2)＝2×2＋1＝5，它表示物体在第2 s时的瞬时速度为5 m/s；s′(5)＝2×5＋1＝11，它表示物体在第5 s时的瞬时速度为11 m/s. [一点通]利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点都有导数；(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.1．已知函数f(x)＝x2＋x，则f′(x)＝( ) A．1 B．2 C．2x D．2x＋1解析：f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx2＋x ＋Δx－x 2＋xΔx＝lim Δx →02x ·Δx ＋Δx2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1. 答案：D2．求函数f (x )＝2x 2＋4x 的导数，并利用导函数f ′(x )求f ′(3)的值． 解：f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx2＋x ＋Δx －x 2＋4xΔx＝lim Δx →04x ·Δx ＋Δx 2＋4ΔxΔx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx ＋4)＝4x ＋4， f ′(3)＝4×3＋4＝16.[例2] (1)y ＝x x ；(2)y ＝log 3x ； (3)y ＝sin x2cos 2x 2－1；(4)y ＝5x.[思路点拨] 先对函数式进行必要的化简，再选择导数公式进行求解．[精解详析] (1)y ＝x x ＝ ∴y ′＝()′＝32x ＝32x .(2)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (3)∵y ＝sin x 2cos 2x 2－1＝sin xcos x ＝tan x ，∴y ′＝(tan x )′＝1cos 2x. (4)y ′＝(5x)′＝5xln 5. [一点通]求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．3．若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．－13C ．3D.13解析：f ′(x )＝()′＝13x －23＝133x 2，∴f ′(1)＝13.答案：D4．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－12x x .其中，正确的命题序号是________．解析：因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝()′＝－12＝－121x 3＝－12x x， 故④正确． 答案：④[例3] (1)若直线B 点坐标． (2)若直线l 与曲线y ＝x 3在第一象限相切于某点，切线的斜率为3，求直线l 与坐标轴围成的三角形面积．[思路点拨] (1)可设出切点为(x 0，x 30)，由导数的几何意义及斜率公式建立关于x 0的方程求解．(2)先求切线的方程，从而求出切线与x ，y 轴的交点坐标，再求三角形的面积．[精解详析] (1)y ′＝3x 2，设B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则切线斜率k ＝3x 20.又直线l 过点(0，－1)，∴k ＝x 30＋1x 0.∴3x 20＝x 30＋1x 0，∴2x 3＝1，∴x 0＝312，x 30＝12，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫312，12. (2)设切点为(x 0，x 30)(x 0>0)，则该切线斜率为3x 20. ∴3x 20＝3，x 0＝1，则切点为(1,1)． ∴直线l 的方程为：y －1＝3(x －1)．直线l 与坐标轴交点分别为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0， ∴直线l 与坐标轴围成的三角形面积 S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2×23＝23.[一点通]利用导数公式可快速求出函数在某点处的导数，即为该点处切线的斜率．在求切线的方程时，要注意点(x 0，y 0)处的切线与过(x 0，y 0)的切线的区别：前者(x 0，y 0)为切点，后者(x 0，y 0)不一定是切点．5．设曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.解析：由于f ′(1)＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lg n n ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.答案：－26．求曲线y ＝x 过点(3,2)的切线方程． 解：∵点(3,2)不在曲线y ＝x 上，∴设过(3,2)与曲线y ＝x 相切的直线与曲线的切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0. ∵y ＝x ，∴y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x.∴根据导数的几何意义，曲线在点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝12x 0.∵切线过点(3,2)， ∴2－y 03－x 0＝12x 0，2－x 03－x 0＝12x 0， 整理得(x 0)2－4x 0＋3＝0，解得x 0＝1，x 0＝9， ∴切点坐标为(1,1)或(9,3)．①当切点坐标为(1,1)时，切线斜率k ＝12，∴切线方程为y －2＝12(x －3)，即x －2y ＋1＝0.②当切点坐标为(9,3)时，切线斜率k ＝16，∴切线方程为y －2＝16(x －3)，即x －6y ＋9＝0.综上可知，曲线y ＝x 过点(3,2)的切线方程为：x －2y ＋1＝0或x －6y ＋9＝0.1．熟记导数公式表，必要时先化简再求导．2．计算f ′(x 0)时，可先求f ′(x )，再将x ＝x 0代入．3．直线与曲线相切时，切点是直线与曲线的公共点，切线的斜率是曲线对应的函数在切点处的导数．[对应课时跟踪训练十三1．若f (x )＝log 3x ，则f ′(3)等于( ) A.13 B ．ln 3 C.13ln 3D.1ln 3解析：f ′(x )＝1x ln 3，∴f ′(3)＝13ln 3. 答案：C2．曲线f (x )＝e x在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD.1e解析：∵f (x )＝e x，∴f ′(x )＝e x，∴f ′(0)＝1.即曲线f (x )＝e x在点(0,1)处的切线的斜率为1. 答案：A3．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若f (x )＝sin α，则f ′(x )＝cos α；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中，正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于②y ＝3x ，y ′＝13x 13x ＝133x 2，故②错；对于③f (x )＝sin α，为常数函数，∴f ′(x )＝0，故③错；①④都正确．答案：B4．已知f (x )＝log a x (a ＞1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(2)，B ＝f (3)－f (2)，C ＝f ′(3)，则( )A ．A ＞B ＞C B ．A ＞C ＞B C ．B ＞A ＞CD ．C ＞B ＞A解析：记M (2，f (2))，N (3，f (3))，则由于B ＝f (3)－f (2)＝f－f 3－2表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(2)表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线的斜率，C ＝f ′(3)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线的斜率．由f (x )的图像易得A ＞B ＞C .答案：A5．设直线y ＝12x ＋b 是曲线f (x )＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为________．解析：f ′(x )＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，由题意得1x 0＝12，则x 0＝2，y 0＝ln 2，代入切线方程y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.答案：ln 2－16．f (x )＝cot x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：f ′(x )＝－1sin 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1sin2π4＝－2. 答案：－27．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x；(4)y ＝；(5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)∵c ′＝0，∴y ′＝2′＝0. (2)∵(x n )′＝n ·xn －1，∴y ′＝(4x 3)′＝()′＝34x ＝34x ＝344x .(3)∵(a x)′＝a x·ln a ，∴y ′＝(10x)′＝10x·ln 10. (4)∵(log a x )′＝1x ·ln a，∴y′＝)′＝1x ·ln12＝－1x ·ln 2.(5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .8．若曲线f (x )＝(a ，处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．解：对函数f (x )＝f ′(x )＝－12x x ＞0)，则曲线f (x )＝(a ，处的切线l 的斜率k ＝f ′(a )＝－12a y －＝－12a x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，32l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.。