高考数学一轮复习专题二不等式3基本不等式与不等式的综合应用专题检测含解析新人教A版

2.2 基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)一、单选题(共13题；共65分)1．（5分）若a >0，b >0，则“a +b =1”是“1a +1b≥4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）已知直线ax +by −1=0(ab >0)过圆(x −1)2+(y −2)2=2022的圆心，则1a +1b的最小值为（ ） A ．3+2√2B ．3−2√2C ．6D ．93．（5分）已知正实数a 、b 满足a +b =2，则4b +1a的最小值是（ ）A ．72B ．92C ．5D ．94．（5分）已知m >0，n >0，命题p ：2m +n =mn ，命题q ：m +n ≥3+2√2，则p 是q 的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为 a ，从乙地到甲地的平均速度为 b(a >b >0) ，他往返甲乙两地的平均速度为 v ，则（ ） A ．v =a+b 2B ．v =√abC ．√ab <v <a+b 2D ．b <v <√ab6．（5分）设 a >0 ， b >0 ，则“ a +b ≤4 ”是“ 1a +1b≥1 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（5分）已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x +1y的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．（5分）已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞)，则1c +4a的最小值为（ ） A ．-4B ．4C ．8D ．-89．（5分）已知直线ax+by+c−1=0(b，c>0)经过圆x2+(y−1)2=6的圆心，则4b+1c的最小值是（）A．2B．8C．4D．910．（5分）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C.若sin2C=2sin2A−3sin2B，则tanB的最大值为（）A．√53B．√52C．11√520D．3√5511．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tanA=−√3，△ABC的面积为√3a，则bc的最小值为（）A．16B．16√3C．48D．24√312．（5分）若a>0，b>0，且ln(2a)+lnb≥a2+b2−1，则a+b=（）A．√2B．√3C．3√22D．5√3213．（5分）已知正实数a，b满足a2+2ab+4b2=6，则a+2b的最大值为（）A．2√5B．2√2C．√5D．2二、多选题(共5题；共25分)14．（5分）已知a，b∈R，a>0，b>0，且a+b=2，则下列说法正确的为（）A．ab的最小值为1B．log2a+log2b≤0C．2a+2b≥4D．1a+2b≥2+√215．（5分）已知a，b∈R，则使“ a+b>1”成立的一个必要不充分条件是（）A．a2+b2>1B．|a|+|b|>1C．2a+2b>1D．4a+b+1b>1016．（5分）若−1<a<b<0，则（）A．1a>1bB．a2+b2>2ab C．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b17．（5分）已知2a=3b=6，则a，b满足（）A．a<b B．1a+1b<1C．ab>4D．a+b>418．（5分）已知正数a，b满足a2+b2=1，则（）A．a+b的最大值是√2B．ab的最大值是12C．a-b的最小值是−1D．ab−2的最小值为−√3 3三、填空题(共5题；共30分)19．（10分）如图，在 △ABC 中， ∠BAC =π3 ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在线段CD 上（P 不与C ，D 点重合），若 △ABC 的面积为 4√3 ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m ＝ ， |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 ．20．（5分）在 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a +c =4 ，且 sinA ，sinB ， sinC 成等差数列，则 △ABC 的面积的最大值为 ．21．（5分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，若 AD =√2 ， CD =2 ， ∠D =34π ， cosB =34，则 △ABC 的面积的最大值为 ．22．（5分）已知a ，b 为正实数，且 a +b =6+1a +9b，则 a +b 的最小值为 ． 23．（5分）△ABC 中，∠BAC =120°，AO 为BC 边上的中线，AO =√3，则AB −2AC 的取值范围是 ．四、解答题(共3题；共30分)24．（10分）ΔABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若已知 asinA+C2=bsinA ． （1）（5分）求角B 的大小；（2）（5分）若 b =2√3 ，求 ΔABC 的面积的最大值．25．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(tanA −sinC)(tanB −sinC)=sin 2C ．（1）（5分）求证：c 2=ab ；（2）（5分）若a +b =3，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．26．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AC的中点，若2bcosC=2a+ c．（1）（5分）求∠B；（2）（5分）若a+c=6，求BD的最小值．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：当a+b=1时，1 a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+b a+a b≥2+2√b a⋅a b=4，当且仅当ba=ab，即a=b=12时，取等号，所以1a+1b≥4，当a=b=13时，1a+1b=6≥4，此时a+b=23≠1，所以“a+b=1”是“1a+1b≥4”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由a>0，b>0，a+b=1可得1a+1b=2+b a+a b，根据基本不等式得1a+1b≥4，反之代入特殊值即可得到答案.2．【答案】A【解析】【解答】由圆的方程知：圆心(1，2)；∵直线ax+by−1=0(ab>0)过圆的圆心，∴a+2b=1(ab>0)；∴1a+1b=(a+2b)(1a+1b)=3+ab+2ba≥3+2√ab⋅2ba=3+2√2（当且仅当ab=2b a，即a=√2b时取等号），∴1a+1b的最小值为3+2√2.故答案为：A.【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得∴a+2b=1(ab>0)，由∴1a +1b=(a+2b)(1a+1b)，利用基本不等式可求得结果.3．【答案】B【解析】【解答】4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)≥12(4+5)=92，当且仅当4a b=b a时等号成立.故答案为：B.【分析】根据题意可得4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)，再利用基本不等式求出4b+1a的最小值。

§2.2 基本不等式与不等式的综合应用基础知识专题固本夯基【基础训练】考点一 基本不等式及其应用1.下列结论正确的是 ( ) A.当x>0且x ≠1时,lg x+1lgx≥2 B.当x ∈(0,π2]时,sin x+4sinx的最小值为4C.当x>0时,√x +1√x≥2D.当0<x ≤2时,x-1x无最大值 【参考答案】C2.若正数m,n 满足2m+n ＝1,则1m +1n的最小值为( ) A.3+2√2 B.3+√2 C.2+2√2 D.3 【参考答案】A3.已知正数x,y 满足x+y ＝1,则1x +41+y 的最小值为( )A.5B.143C.92D.2 【参考答案】C 4.设0<m<12,若1m +21-2m≥k 2-2k 恒成立,则k 的取值范围为( )A.[-2,0)∪(0,4]B.[-4,0)∪(0,2]C.[-4,2]D.[-2,4] 【参考答案】D考点二 不等式的综合应用5.已知关于x 的不等式kx 2-6kx+k+8≥0对任意x ∈R 恒成立,则k 的取值范围是( ) A.0≤k ≤1 B.0<k ≤1 C.k<0或k>1 D.k ≤0或k ≥1 【参考答案】A6.已知函数f(x)＝x 2+(2m-1)x+1-m,若对任意m ∈[-1,0],都有f(x)>0成立,则实数x 的取值范围为( ) A.(-1,2) B.(1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞) 【参考答案】D 7.已知a>b>0,则a 2+64b(a -b)的最小值为 .【参考答案】328.已知函数f(x)＝x 2+mx-1,若对于任意x ∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m 的取值范围是 .【参考答案】(-√22,0)综合篇知能转换【综合集训】考法一 利用基本不等式求最值1.(2018黑龙江七台河测试)已知m ＝8-n,m>0,n>0,则mn 的最大值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 【参考答案】C2.(2019新疆第一次毕业诊断,10)函数y ＝log a (x-1)+1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在一次函数y ＝mx+n 的图象上,其中m>0,n>0,则1m +2n的最小值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【参考答案】C3.(2019河南信阳一模,8)已知正项等比数列{a n }满足:a 2a 8＝16a 5,a 3+a 5＝20,若存在两项a m ,a n ,使得√a m a n ＝32,则1m +4n的最小值为( )A.34B.910C.32D.95【参考答案】A考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法4.(2018安徽安庆模拟,9)若不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0,12]恒成立,则a 的最小值是( )A.0B.-2C.-52D.-3 【参考答案】C5.(2019福建厦门3月联考,9)对任意m,n ∈R +,都有m 2-amn+2n 2≥0,则实数a 的最大值为( ) A.√2 B.2√2 C.4 D.92【参考答案】B6.(2018山西太原一模,12)定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)＝f(x),且当x ≥0时, f(x)＝{-x 2+1,0≤x <1,2-2x ,x ≥1,若对任意的x ∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m 的最大值是( ) A.-1 B.-12 C.-13 D.13【参考答案】C7.(2018江苏南京金陵中学月考,12)已知当0≤x ≤2时,不等式-1≤tx 2-2x ≤1恒成立,则t 的取值范围是 . 【参考答案】[1,54]应用专题知行合一【应用集训】1.(2019广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第三次联考,10)已知点A,B 是函数y ＝2x图象上的相异两点,若点A,B 到直线y ＝12的距离相等,则点A,B 的横坐标之和的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-∞,-2)C.(-1,+∞)D.(-2,+∞) 【参考答案】B2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 【参考答案】303.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F ＝76 000vv 2+18v+20l.(1)如果不限定车型,l ＝6.05,则最大车流量为 辆/小时;(2)如果限定车型,l ＝5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时. 【参考答案】(1)1 900 (2)100【5年高考】考点一 基本不等式及其应用1.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y ＝5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .【参考答案】4√32.(2018天津,13,5分)已知a,b ∈R ,且a-3b+6＝0,则2a+18b 的最小值为 .【参考答案】143.(2017天津,12,5分)若a,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .【参考答案】4考点二 不等式的综合应用4.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)＝{x 2-x +3,x ≤1,x +2x,x >1.设a ∈R ,若关于x 的不等式f(x)≥|x2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( ) A.[-4716,2] B.[-4716,3916] C.[-2√3,2] D.[-2√3,3916]【参考答案】A5.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x ＝10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 . 【参考答案】①130 ②15教师专用题组考点一 基本不等式及其应用1.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC 中,若sin A ＝2sin Bsin C,则tan Atan Btan C 的最小值是 . 【参考答案】8考点二 不等式的综合应用2.(2013课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)＝{-x 2+2x,x ≤0,ln(x +1),x >0.若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0] 【参考答案】D【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共40分)1.(2020届山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是( ) A.lg (x 2+14)>lg x(x>0) B.sin x+1sinx≥2(x ≠kπ,k∈Z ) C.x 2+1≥2|x|(x ∈R ) D.1x 2+1>1(x ∈R ) 【参考答案】C2.(2020届西南四省八校9月联考,12)若x>0,y>0,x+2y ＝1,则xy2x+y的最大值为( )A.14B.15C.19D.112【参考答案】C3.(2020届山东青岛期初调研,8)函数f(x)＝x 2+x+2x+4x 2(x>0)的最小值为( )A.4+2√2B.4√2C.8D.√2+2 【参考答案】A4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a>0,b>0,1a+1+1b+1＝1,则a+2b 的最小值是( )A.3√2B.2√2C.3D.2 【参考答案】B5.(2018河北大名一中月考)已知关于x 的不等式x 2-4ax+3a 2<0(a<0)的解集为(x 1,x 2),则x 1+x 2+ax 1x 2的最大值是( )A.√63B.2√33C.4√33D.-4√33【参考答案】D6.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,使这n 个数成等差数列,若这(n-2)个数中第一个为a,第(n-2)个为b,当1a +25b取最小值时,n 的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【参考答案】D7.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f(x)＝2x -12x +1+x+sin x,若正实数a,b 满足f(4a)+f(b-9)＝0,则1a +1b的最小值是( )A.1B.92C.9D.18 【参考答案】A8.(2018河北衡水金卷(一),12)已知数列{a n }中,a 1＝2,n(a n+1-a n )＝a n +1,n ∈N *,若对于任意的a ∈[-2,2],n ∈N *,不等式a n+1n+1<2t 2+at-1恒成立,则实数t 的取值范围为( )A.(-∞,-2]∪[2,+∞)B.(-∞,-2]∪[1,+∞)C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-2,2] 【参考答案】A二、多项选择题(共5分)9.(2020届山东烟台期中,11)下列结论正确的是( ) A.若a>b>0,c<d<0,则一定有b c >a dB.若x>y>0,且xy ＝1,则x+1y >y 2x >log 2(x+y) C.设{a n }是等差数列,若a 2>a 1>0,则a 2>√a 1a 3 D.若x ∈[0,+∞),则ln(1+x)≥x-18x 2【参考答案】AC三、填空题(每题5分,共15分)10.(2020届上海复旦大学附中9月综合练,8)已知a 2+2a+2x ≤4x 2-x+1对于任意的x ∈(1,+∞)恒成立,则a 的取值范围是 .【参考答案】[-3,1]11.(2019福建三明第一中学期中,16)设a+2b ＝4,b>0,则12|a|+|a|b的最小值为 .【参考答案】7812.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(acos 2x-3)sin x ≥-3对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 【参考答案】[-32,12]四、解答题(共45分)13.(2020届黑龙江哈尔滨六中第一次调研,17)已知函数f(x)＝2|x+1|-|x-a|(a ∈R ). (1)当a ＝2时,求不等式f(x)≤x+2的解集;(2)设函数g(x)＝f(x)+3|x-a|,当a ＝1时,函数g(x)的最小值为t,且2m +12n＝t(m>0,n>0),求m+n 的最小值. 【试题解析】(1)当a ＝2时, f(x)＝2|x+1|-|x-2|,∴2|x+1|-|x-2|≤x+2,可化为①{x ≤-1,-2(x +1)+x -2≤x +2或②{-1<x <2,2(x +1)+x -2≤x +2或③{x ≥2,2(x +1)-(x -2)≤x +2,由①得{x ≤-1,x ≥-3,即-3≤x ≤-1; 由②得{-1<x <2,x ≤1,即-1<x ≤1;由③得{x ≥2,2≤0,此时无解. 综上可知,不等式的解集为[-3,1].(2)当a ＝1时,g(x)＝2|x+1|-|x-1|+3|x-1|＝2(|x+1|+|x-1|)≥4,当且仅当-1≤x ≤1时,取“＝”,∴g(x)min ＝4,即t ＝4,由2m +12n＝4(m>0,n>0)可得12m +18n＝1, ∴m+n ＝(m+n)·1＝(m+n)(12m+18n )＝12+18+n 2m +m 8n ≥58+2√n 2m ·m 8n ＝58+24＝98,当且仅当n 2m ＝m 8n 且2m +12n＝4,即m ＝34,n ＝38时,取“＝”,∴(m+n)min ＝98.14.(2020届福建泉州实验中学第一次月考,19)已知函数f(x)＝9x -m ·3x+1-4. (1)若m ＝1,求方程f(x)＝0的根;(2)若对任意x ∈[-1,1], f(x)≥-8恒成立,求m 的取值范围.【试题解析】本题主要考查指数型函数及不等式恒成立问题,同时考查了分离参数的方法,考查的核心素养是数学抽象及数学运算. (1)当m ＝1时, f(x)＝9x-3x+1-4＝9x-3·3x-4＝(3x-4)(3x+1),令f(x)＝0,可得3x＝4或3x＝-1(舍去),则x ＝log 34,因此m ＝1时,方程f(x)＝0的根是log 34.(2)由已知∀x ∈[-1,1], f(x)≥-8恒成立,即9x-3m ·3x-4≥-8恒成立,将3m 分离出来可得,3m ≤3x+43x ,令g(x)＝3x+43x ,x ∈[-1,1],设3x＝t,则t ∈[13,3],g(x)＝h(t)＝t+4t ,t ∈[13,3],而函数y ＝h(t)在[13,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数,∴h(t)min ＝h(2)＝2+42＝4,由已知可得3m ≤h(t)min ,∴3m≤4,即m ≤43,∴实数m 的取值范围是(-∞,43]. 15.(2019江西九江高三第一次十校联考,22)已知函数f(x)＝x 2-a 2x+1. (1)若f(x)≥0在R 上恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若∃x ∈[1,2], f(x)≥2成立,求实数a 的取值范围.【试题解析】(1)由题意得Δ＝a 24-4≤0,解得-4≤a ≤4,∴实数a 的取值范围为[-4,4]. (2)由题意得∃x ∈[1,2],使a 2≤x-1x 成立.令g(x)＝x-1x,x ∈[1,2],则g(x)在区间[1,2]上单调递增,∴g(x)max ＝g(2)＝32,又∵∃x ∈[1,2],a 2≤g(x)成立, ∴a 2≤32,解得a ≤3,∴实数a 的取值范围为(-∞,3].。

专题2.2 基本不等式及其应用（真题测试）一、单选题1．（2015·湖南·高考真题（文））若实数,a b 满足12a b+=，则ab 的最小值为AB ．2C ．D ．4【答案】C 【解析】 【详解】12121002ab a b ab ab a ba b a +=∴=+≥⨯∴≥，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为 C.2．（2019·浙江·高考真题）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 3．（2017·山东·高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A ．21log ()2aba ab b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+ C ． 21log ()2a b a a b b +<+< D ． 21log ()2aba b a b +<+< 【答案】B 【解析】 【详解】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴+= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B.4．（2015·四川·高考真题（理））如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为 A ．16 B ．18 C ．25 D ．812【答案】B 【解析】 【详解】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n .所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..5．（2014·福建·高考真题（文））要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元【答案】C 【解析】 【详解】设长方体底面边长分别为,x y ，则4y x=， 所以容器总造价为42()102020()80z x y xy x x =+⨯+=++，由基本不等式得，420()80160z x x=++≥，当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低，选C. 6.（2022·全国·模拟预测（文））已知11a b c b >>>>，给出以下不等式：①2b c +>；②1a c>；③1a c b +>+，则其中正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】对于①：利用基本不等式证明；对于②、③：取特殊值否定结论. 【详解】对于①：因为11b c b >>>，所以10b >，所以12b c b b +>+≥=，即2b c +>.故①正确；对于②：取12,2a c ==满足11a b c b >>>>，但是12a c==，所以1a c >不一定成立.故②错误；对于③：取732,,44a b c ===满足11a b c b >>>>，但是311244a c +=+=，7111144b +=+=，此时1a c b +=+，所以1a c b +>+不一定成立.故③错误. 故选：B7．（2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，2221a b c ++=，则a b +的取值范围是（ ） A ．[1,1]- B ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[0,2]【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得1+=-a b c ，()()2222[12]ab a b a b c c =+-+=-，结合基本不等式，求出c 的范围，即可求出a b+的取值范围． 【详解】∵1a b c ++=，2221a b c ++=，∴1+=-a b c ，()()2222[12]ab a b a b c c =+-+=-，∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()2214c c c --≤，∴113c -≤≤，∴4013c ≤-≤，∴403a b ≤+≤，故选：C. 8．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知0,0a b >>，定义29(,)max 2,2b b H a b a a -⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭，则(,)H a b 的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用定义得到2(,)29(,)2b b H a b a H a b a -⎧≥+⎪⎨≥+⎪⎩，两个不等式相加后利用基本不等式可求出结果.【详解】由定义29(,)max 2,2b b H a b a a -⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭，得2(,)29(,)2bb H a b a H a b a -⎧≥+⎪⎨≥+⎪⎩，所以292(,)22bb H a b a a -≥+++2922b b a a -=+++≥6410=+=，当且仅当2922b b a a -⎧=⎪⎨⎪=⎩，即31a b =⎧⎨=⎩时，取等号.所以(,)5H a b ≥，即(,)H a b 的最小值为5. 故选：A 二、多选题9．（2021·上海金山·高一期末）已知00a b >>，，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．()24a b ab +≤； B．2a b+≥ C ．2a b a b a ++-≤； D ．2a b a b b +--≥.【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式、绝对值三角不等式，判断出正确结论. 【详解】由基本不等式可知2a b +a b =时等号成立，B 选项正确，两边平方得()24a b ab +≤，当且仅当a b =时等号成立，A 选项正确.根据绝对值三角不等式2a b a b a b a b a ++-≥++-=，C 选项错误.根据绝对值三角不等式2a b a b a b b a a b b a b +--=+--≤++-=，D 选项错误. 故选：AB10．（2020·海南·高考真题）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥- D【答案】ABD 【解析】 【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD11．（2022·海南·海口一中高一期中）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（ ） A ．24a b -< B ．22112a b ≥+C ．lg lg a b +≤0D ．23b a b+≥【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A 选项，由不等式的性质运算可得，对于B 选项，取特殊值可判断错误，对于C 选项，运用基本不等式即可，对于D 选项，注意将2转化为a b +，即可用基本不等式运算. 【详解】A 选项，∵0,0a b >>，∴a b a b -<+，∴224a b a b -+<=，A 正确B 选项，当13,22a b ==时，221121==1952+44a b <+，B 错误；C 选项，2lg lg lg lg()lg102a b a b ab ++=≤==，C 正确； D 选项，21213b b a b b aa b a b a b++=+=++≥+=，D 正确. 故选：ACD12．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知,x y ∈R ，且110,2x y x y>>+=，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．x y >B ．112x y+≥C ．22222x y x y +>+- D ．2211324x y ⎛⎫++> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质与基本不等式判断. 【详解】110x y>>，0x y ∴<<，A 错；0,2x y x y <<+=，1111112222x y x y x y x y y x ⎛⎫+∴+=⋅+=++>= ⎪⎝⎭， 112x y ∴+≥成立，即B 正确；()222110x x x -+=-≥， 得221x x ≥-，当且仅当1x =时取等号，同理，221y y ≥-，当且仅当1y =时取等号，又0x y <<，即,x y 不同时等于1，22222x y x y ∴+>+-，C 正确； 当13,22x y ==时，2211349124x y ⎛⎫++=+⎪= ⎝⎭，D 错.故选：BC 三、填空题13.（2010·重庆·高考真题（文））已知0t >，则函数241t t y t -+=的最小值为____________ .【答案】-2 【解析】解析：241142(0)t t y t t t t -+==+-≥->，当且仅当1t =时，min 2y =-14．（2017·天津·高考真题（文））若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4 【解析】 【详解】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==. 15．（2015·山东·高考真题（文））定义运算“⊗”： 22x y x y xy-⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是_______ .【解析】 【详解】由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy--⊗==，因为，00x y ，>>，所以，22222242(2)22x y y x x y x y y x xy xy xy --+⊗+⊗=+=≥=当且仅当x =时，(2)x y y x ⊗+⊗的16．（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b ==22a b ==. 故答案为：417．（2022·河北保定·高二阶段练习）已知()1010,0a b a b +=>>. (1)求ab 的最大值； (2)求11a b+的最小值. 【答案】(1)140(2)11+【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）利用“1”的代换，将原式变形后再利用基本不等式求解即可. (1)因为0a >，0b >，所以101a b +=≥ 所以140ab ≤， 当且仅当10a b =，即11,220a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为140. (2)因为()1010,0a b a b +=>>，所以()11111010111111b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当10b a a b =，即a b ==所以11a b+的最小值为11+18．（2021·云南德宏·高一期末）运货卡车以x 千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制50100x ≤≤(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为2(24)70x +元，司机的工资是每小时46元．（不考虑其他因所素产生的费用）(1)求这次行车总费用y (元)关于x (千米/时)的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用y 最低？求出最低费用的值． 【答案】(1)2100030(50100)7xy x x =+≤≤(2)当70x =时，这次行车的总费用y 最低，最低费用为600元 【解析】 【分析】（1）先得到行车所用时间300()t h x=，再根据汽车每小时耗油费用和司机的工资求解； （2）由（1）的结论，利用基本不等式求解. (1)解：行车所用时间300()t h x =，汽油每小时耗油费用为2(24)70x +元，司机的工资是每小时46元， 所以行车总费用为：23003002100030(24)46(50100)707x xy x x x x =⨯++⨯=+≤≤；(2)因为210003026007x y x =+≥=， 当且仅当21000307xx =，即70x =时，等号成立， 所以当70x =时，这次行车的总费用y 最低，最低费用为600元.19．（2022·新疆喀什·高一期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【答案】(1)400吨；(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损. 【解析】 【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为yx，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件. （2）根据获利100S x y =-，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度. (1)由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥=； 当且仅当1800002x x=，即400x = 时等号成立， 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元. (2)不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.20．（2022·湖北·洪湖市第一中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >）.(1)求a ，b 的值；(2)当0x >，0y >，且满足1a bx y+=时，有226x y k k +>--恒成立，求k 的取值范围.【答案】(1)41a b =⎧⎨=⎩(2)(3,5)- 【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，从而利用韦达定理建立方程组即可求解；（2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得min ()9x y +=，从而解一元二次不等式22150k k --<即可得答案. (1)解：因为不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >）， 所以1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >， 所以5141a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得41a b =⎧⎨=⎩；(2)解：由（1）知411x y+=，且0x >，0y >，所以4144()5529y x y x y x y x y x y x ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即63x y =⎧⎨=⎩时等号成立， 依题意有2min ()26x y k k +>--，即2926k k >--，所以22150k k --<，解得35k -<<，所以k 的取值范围为(3,5)-.21．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知不等式()220ax a x b -++>的解集为A ，a ，b R ∈．(1)若{|1A x x =<或2}x >，求||||x a x b -++的最小值；(2)若2b =，且2A ∈，求3233a a+的最小值． 【答案】(1)3【解析】 【分析】（1）由题意可知方程()220ax a x b -++=的根为1,2，利用根与系数的关系可求出,a b 的值，再根据绝对值三角不等式即可求出结果；（2）根据题意可知1a >，再根据32231366a a a a a +=++，利用基本不等式即可求出结果.(1) 解：由于不等式的解集为{|1x x <或2}x >，所以21213212a a a a b b b a +⎧+=⎪=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪⨯=⎪⎩． ∴|||||()|||3x a x b x a x b a b -++≥--+=+=（当且仅当()()0x a x b -+≤时，等号成立）(2)解：当2b =时，不等式为2(2)20 ax a x -++>，(1)(2)0x ax -->因为2A ∈，2b =，所以可得1a >，所以32223113366a a a aa a a +=+=++≥=（当且仅当a =，所以3233a a + 22．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数()|1||2|f x x x =-++.(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若正实数a ，b ，满足a b M +=，求1112+++a b 的最小值. 【答案】(1)[3,2]- (2)23【解析】【分析】 （1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式，即可求出不等式的解集； （2）利用绝对值三角不等式求出3M =，再利用基本不等式“1”的妙用求出1112+++a b 的最小值. (1)()|1||2|5f x x x =-++≤， 当2x -≤时，不等式化为512x x ≤-+--，解得3x ≥-，此时32x --≤≤； 当21x -<<时，不等式化为1235x x -+++=≤，恒成立，此时21x -<<； 当1≥x 时，不等式化为12215x x x -++=+≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 综上所述，不等式的解集为[3,2]-；(2)()|1||2||12|3f x x x x x =-++≥---=.所以3M =，即3a b +=.所以(1)(2)6a b +++=， 所以1111112112[(1)(2)]2(22)1261261263b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥⨯+= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时取等号. 即1112+++a b 的最小值为23.。

7.4基本不等式及不等式的应用挖命题【考情探究】分析解读 1.基本不等式是不等式这章的重要内容之一,主要考查用基本不等式求最值.2.不等式的综合应用问题常结合函数、导数、数列、解析几何等知识,难度较大,不等式的综合应用是高考命题的热点.(例如2018浙江,22)3.预计2020年高考中,仍会对利用基本不等式求最值进行考查.不等式综合应用问题仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列、解析几何相综合的题目上,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一基本不等式1.(2018浙江9+1高中联盟期中,6)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是()A.3B.2C.3D.2答案 B2.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,7)已知b>2a>0,则M=的最小值是()A.2B.2C.4D.8答案 C考点二不等式的综合应用1.(2018浙江台州第一次调考(4月),14)若实数x,y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32,则x+2y的最小值为,(x+2y)+2xy的最大值为.答案-4;162. (2018浙江诸暨高三上学期期末,16)已知a,b都是正数,且a2b+ab2+ab+a+b=3,则2ab+a+b的最小值等于.答案4-3炼技法【方法集训】方法利用基本不等式求最值问题的方法1.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),16)已知x>3y>0或x<3y<0,则(x-2y)2+的最小值是. 答案82.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),15)已知a>0,b>0,ab+2a+b-3=0,则+的最小值为.答案过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一基本不等式(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案考点二不等式的综合应用1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)= |sin 2πx|,a i=,i=0,1,2,…,99.记I k=|f k(a1)-f k(a0)|+|f k(a2)-f k(a1)|+…+|f k(a99)-f k(a98)|,k=1,2,3,则()A.I1<I2<I3B. I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1答案 B2.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2) < f(x)≤.证明(1)因为1-x+x2-x3==,由于x∈[0,1],有≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤,所以f(x)≤.由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又因为f=>,所以f(x)>.综上, <f(x)≤.疑难突破(1)将证明f(x)≥1-x+x2转化为证明1-x+x2-x3≤成立,而左边==≤=右边,从而问题得证.(2)运用放缩思想,由0≤x≤1⇒x3≤x,从而f(x)=x3+≤x+,而x+=x+-+=+≤,由(1)及f=>得f(x)>,从而问题得证.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一基本不等式1.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为.答案2.(2017山东,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案83.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案304.(2015重庆,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为.答案3考点二不等式的综合应用1.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是()A. B.C.[-2,2]D.答案 A2.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案3.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+> +;(2)+> +是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+> +.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+> +.(ii)若+> +,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.4.(2015湖南,16(Ⅲ),6分)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.评析本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.C组教师专用题组考点一基本不等式1.(2015湖南,7,5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为()A. B.2 C.2 D.4答案 C2.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案 C3.(2014重庆,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是()A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4答案 D4.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时, +-的最大值为()A.0B.1C.D.3答案 B5.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案96.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.答案 47.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是. 答案88.(2015山东,14,5分)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为.答案9.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时, ++的最小值为. 答案-110.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a=时,+取得最小值.答案-2考点二不等式的综合应用1.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D2.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.答案(1)1 900(2)1003.(2013浙江文,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab=.答案-1【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共20分)1.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,9)已知正实数a,b,c,d满足a+b=1,c+d=1,则+的最小值是()A.10B.9C.4D.3答案 B2.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),9)已知x+y=++8(x,y>0),则x+y的最小值为()A.5B.9C.4+D.10答案 B3.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,10)已知a,b,c∈R,且a+b+c=0,a>b>c,则的取值范围是()A. B.C.(-,)D.答案 A4.(2018浙江宁波模拟(5月),10)已知x,y均为非负实数,且x+y≤1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围为()A. B.[1,4]C.[2,4]D.[2,9]答案 A5.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,9)已知实数m满足|m|≥1,且b=ma+m2+2,则a2+b2的最小值为()A.2B.4C.D.答案 D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共30分)6.(2019届镇海中学期中考试,14)已知x,y∈R,且4x2+y2+xy=1,则4x2+y2的最小值为,此时x的值为.答案;±7.(2019届浙江“超级全能生”9月联考,16)已知实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x-y的最大值是.答案 28.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,13)若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则+的最小值是,的最大值为.答案2;9.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,17)已知实数x,y满足x2+xy+4y2=1,则x+2y的最大值是.答案10.(2018浙江杭州二中期中,17)已知正实数x,y满足x+3y++=10,则xy的取值范围为.答案11.(2018浙江镇海中学期中,14)设实数x,y满足4x2-2xy+y2=8,则2x+y的最大值为,4x2+y2的最小值为.答案4;。

第3节 基本不等式：ab ≤a ＋b2考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p 简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[常用结论与易错提醒]1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.4.基本不等式的一般形式：1n(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )≥na 1a 2…a n (其中a 1，a 2，a 3，…，a n ∈(0，＋∞)，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n 时等号成立).诊 断 自 测1.判断下列说法的正误. (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(3)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(5)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件.( ) 解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 无最小值.(5)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分不必要条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.80 B.77 C.81D.82解析 xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号.答案 C3.若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2ab ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 答案 C4.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A.1＋ 2 B.1＋ 3 C.3D.4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C. 答案 C5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大.解析 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.答案 151526.已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋xy的最小值为________.解析 ∵正数x ，y 满足x ＋y ＝1， ∴y ＝1－x ，0<x <1，∴－y ＝－1＋x ， ∴x －y ＝2x －1，又0<x <1， ∴0<2x <2，∴－1<2x －1<1， 即x －y 的取值范围为(－1，1). 1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”，∴1x ＋xy的最小值为3.答案 (－1，1) 3考点一 配凑法求最值【例1】 (1)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(2)已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________. 解析 (1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤ －2（5－4x ）15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)因为正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，所以y ＝42－2x3＋x>0且x >0，解得0<x <21.则xy ＋5x ＋4y ＝3x ＋y ＋42＝3x ＋42－2x 3＋x ＋42＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3＋x ）＋163＋x ＋31≥3×2（3＋x ）·163＋x＋31＝55，当且仅当x ＝1，y ＝10时取等号.所以xy ＋5x ＋4y 的最小值为55. 答案 (1)1 (2)55规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.(2)当x >0时，x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，则实数a 的值为________.解析 (1)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. (2)因为当x >0，a >0时，x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1≥2a －1，当且仅当x ＋1＝ax ＋1时，等号成立，又x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，所以2a －1＝3，解得a ＝4.答案 (1)23＋2 (2)4 考点二 常数代换或消元法求最值易错警示【例2】 (1)(2020·浙江“超级全能生”联考)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则11＋x ＋11＋2y的最小值是( ) A.3328 B.76 C.3＋225D.65(2)(一题多解)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)∵x ＋y ＝1，∴2x ＋2＋2y ＋1＝5，∴11＋x ＋11＋2y ＝15(2x ＋2＋2y ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫22＋2x ＋11＋2y ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2＋4y 2＋2x ＋2＋2x 1＋2y ≥3＋225，当且仅当2x 2－4y 2＋4x －4y ＋1＝0时等号成立，故选C. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.答案 (1)C (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】 (1)(一题多解)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. (2)已知正数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则当x ＝________时，1x－y 取得最小值为________.解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵x ，y 为正数，则2x ＋y ＝2⇒y ＝2－2x >0⇒0<x <1，所以1x －(2－2x )＝1x＋2x －2≥22－2，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时等号成立.答案 (1)5 (2)2222－2 考点三 一般形式的基本不等式的应用(选用)【例3】 (一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________.解析 法一 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ， 所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)， 由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，即2k π＋π3≤x ≤2k π＋π或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332. 法二 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )＝4sin x 2cos x2·2cos 2x 2＝8sin x2cos 3x2＝833sin 2x2cos 6x2，所以[f (x )]2＝643×3sin 2x 2cos 6x 2≤643·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3sin 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x2＋cos 2x 244＝274， 当且仅当3sin 2x 2＝cos 2x 2，即sin 2x 2＝14时取等号，所以0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332，所以f (x )的最小值为－332.法三 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， 所以[f (x )]2＝4sin 2x (1＋cos x )2＝4(1－cos x )(1＋cos x )3，设cos x ＝t ，则y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)， 所以y ′＝4[－(1＋t )3＋3(1－t )(1＋t )2] ＝4(1＋t )2(2－4t )，所以当－1<t <12时，y ′>0；当12<t <1时，y ′<0.所以函数y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减.所以当t ＝12时，y max ＝274；当t ＝±1时，y min ＝0.所以0≤y ≤274，即0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332，所以f (x )的最小值为－332.法四 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， 所以[f (x )]2＝4sin 2x (1＋cos x )2＝4(1－cos x )(1＋cos x )3≤43·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（1－cos x ）＋（1＋cos x ）＋（1＋cos x ）＋（1＋cos x ）44＝274，当且仅当3(1－cos x )＝1＋cos x ， 即cos x ＝12时取等号，所以0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332，所以f (x )的最小值为－332.答案 －332规律方法 (1)三角函数式拆项时要注意满足平方关系. (2)拆项时要满足各项都相等这个条件成立.【训练3】 (1)已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2θ cos θ的最大值.(2)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1，证明(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.(1)解 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ cos θ>0，而(sin 2θ cos θ)2＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ·cos 2θ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 2θ＋12sin 2θ＋cos 2θ33＝427，当且仅当12sin 2θ＝cos 2θ，即cos θ＝33，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时等号成立.∴sin 2θ cos θ的最大值为239. (2)证明 因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1， 故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（c ＋a ）3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立， 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.基础巩固题组一、选择题1.下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＜1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；显然选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，选项D 不正确. 答案 C2.(2019·诸暨期末)已知a ＋2b ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2b a ＋1b的最小值等于( ) A.4 B.22＋2 C.52D.22＋1解析 由题意得2ba＋1b ＝2b a＋a ＋2b b ＝2b a ＋a b ＋2≥22b a ·ab ＋2＝22＋2，当且仅当a ＝2b＝2－1时，等号成立，所以2b a ＋1b的最小值为22＋2，故选B.答案 B3.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，当且仅当x ＝3，y ＝233时取等号，∴xy 的最大值为2.答案 C4.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A.4B.2 2C.8D.16解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b，即a ＝22，b ＝2时等号成立.故选B. 答案 B5.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥8解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立. 答案 D6.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为22，故选C. 答案 C7.已知a ，b ，c ，d ≥0，a ＋b ＝c ＋d ＝2，则(a 2＋c 2)(b 2＋d 2)的最大值是( ) A.4 B.8 C.16D.32解析 ∵（a 2＋c 2）（b 2＋d 2）≤a 2＋c 2＋b 2＋d 22≤（a ＋b ）2＋（c ＋d ）22＝4，∴(a 2＋c 2)(b 2＋d 2)≤16，当a ＝d ＝2，b ＝c ＝0或b ＝c ＝2，a ＝d ＝0时取到等号，故选C. 答案 C8.(2019·台州期末评估)已知实数a ，b 满足a 2＋b 2＝4，则ab 的取值范围是( ) A.[0，2] B.[－2，0]C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2，2]解析 ∵a 2＋b 2＝4，∴根据基本不等式得4＝a 2＋b 2≥2|ab |，∴|ab |≤2，∴－2≤ab ≤2，∴ab 的取值范围是[－2，2]，故选D. 答案 D9.已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x ，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A.5 3B.9C.4＋26D.10解析 由x ＋y ＝1x ＋4y ＋8得x ＋y －8＝1x ＋4y，则(x ＋y －8)(x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，等号成立，令t ＝x ＋y ，所以(t －8)·t ≥9，解得t ≤－1或t ≥9，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥9，所以x ＋y 的最小值为9，故选B. 答案 B 二、填空题10.(2019·天津卷)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为________.解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0.∵x ＋2y ＝5，∴（x ＋1）（2y ＋1）xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥212＝43，当且仅当2xy ＝6xy，即x ＝3，y ＝1或x ＝2，y ＝32时取等号.∴（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为4 3.答案 4 311.(2020·镇海中学模拟)已知a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋2b ＝3，则1a ＋2b的最小值是________.解析 因为a ，b ＞0，且a ＋2b ＝3，所以1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋2b 3＝13＋43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ≥53＋23×2a b ·b a ＝53＋43＝3，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b ＝1时取等号. 答案 312.(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________.解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9. 答案 913.若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为________.解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b ＞0，1b ＝1－1a＞0，∴b ＞1，a ＞1， 则1a －1＋9b －1≥29（a －1）（b －1）＝29ab －（a ＋b ）＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)， ∴1a －1＋9b －1的最小值为6. 答案 614.(一题多解)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则z 的最小值是________.解析 法一 因为1－9z 2＝(x ＋2y )2－2·x ·2y ≥(x ＋2y )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，又x ＋2y ＝1－3z ，则1－9z 2≥12(1－3z )2，解得－19≤z ≤13，即z 的最小值为－19.法二 由x 2＋(2y )2＝1－9z 2，设x ＝1－9z 2cos θ，2y ＝1－9z 2sin θ，则1－3z ＝1－9z 2(cos θ＋sin θ)＝2（1－9z 2）sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，由三角函数的有界性，得|1－3z |≤2（1－9z 2），解得－19≤z ≤13，即z 的最小值为－19.答案 －19能力提升题组15.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A.0B.1C.94D.3解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 B16.(2020·金华一中月考)已知正实数a ，b 满足：a ＋b ＝1，则2a a 2＋b ＋ba ＋b 2的最大值是( )A.2B.1＋ 2C.1＋233D.1＋322解析 因为正实数a ，b 满足a ＋b ＝1， 所以2a a 2＋b ＋b a ＋b 2＝2a a 2＋1－a ＋1－a a ＋（1－a ）2＝a ＋1a 2－a ＋1. 令t ＝a ＋1∈(1，2)，则原式＝t t 2－3t ＋3＝1t ＋3t－3≤123－3＝3＋233＝1＋233.当且仅当t ＝3t，即t ＝3＝a ＋1，a ＝3－1，b ＝2－3时取等号，故选C.答案 C17.(一题多解)(2017·北京卷改编)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________，最大值为________.解析 法一 ∵x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1，∴2xy ≤x ＋y ＝1，当且仅当x ＝y ＝12时取等号，从而0≤xy ≤14，因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy ， 所以12≤x 2＋y 2≤1.法二 ∵x ＋y ＝1，x ≥0，y ≥0， ∴y ＝1－x ，x ∈[0，1]，∴x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，对称轴为x ＝12，故x ＝12时，有最小值为12，x ＝0或x ＝1时有最大值为1.法三 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围.AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案12118.(2020·杭州四中仿真)已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________；此时z ＝________.解析 由xy ＋2z ＝1得z ＝1－xy 2，则5＝x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－xy 22≥2|xy |＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－xy 22，即x 2y 2＋6xy －19≤0或x 2y 2－10xy －19≤0，解得5－211≤xy ≤－3＋27，则xyz ＝xy ×1－xy 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫xy －122＋18，则当xy ＝5－211时，xyz 取得最小值911－32，此时z ＝1－xy2＝11－2.答案 911－3211－219.设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值为________.解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b ＝1， 因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54.当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34. 故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2. 答案 －2 3420.已知a ，b ，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝10，则ab ＋ac ＋bc 的最大值是________，ab ＋ac ＋2bc 的最大值是________.解析 因为ab ＋ac ＋bc ≤2a 2＋2b 2＋2c 22＝10，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又因为12a 2＋xb 2≥2x ab (0≤x ≤1)，12a 2＋yc 2≥2y ac (0≤y ≤1)，(1－x )b 2＋(1－y )c 2≥2（1－x ）（1－y ）bc ，令2x ＝2y ＝（1－x ）（1－y ），即x ＝y ＝2－3，故此时有a2＋b2＋c2≥(3－1)(ab＋ac＋2bc)，即ab＋ac＋2bc≤53＋5，当且仅当22a＝(2－3)b＝(2－3)c时取等号. 答案10 53＋5。

第03讲 基本不等式一、 考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．二、 知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.6.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.三、 经典例题考点一 不等式的性质【例1】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A.ab >ac B.c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】(1)由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.规律方法 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二 利用均值不等式【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【解析】0x，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C.【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =时，等号成立. 故选：D【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（ ） A． B．(4,C．4+D．(4+【答案】C【解析】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin a R A ==ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ， c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=，即4a b c <+++≤.故ABC 周长的取值范围为4+.故选：C【例2-4】（2020·全国高三月考）若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163 D ．173【答案】C【解析】因为3log (2)1a b +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.规律方法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. 考点三 一元二次不等式的解法【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则AB =（ ） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A 【解析】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A.【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C【解析】∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x xf t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤， 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5(30)2R -万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭， 整理得212320R R -+≤，解得48R ≤≤，因此，实数R 的取值范围是[]4,8. 故选A.【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+【解析】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()33m n m n n m+=++≥+当且仅当m m n mn⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即1,m n =+=.故答案为：3+【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________. 【答案】4【解析】由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4.[方法技巧]1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.3.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.四、 课时作业1．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．92．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b ac a c +=+，且2a c +=，则ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(]2,3B ．[)3,4C ．(]4,5D ．[)5,63．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16B ．24C ．50D ．254．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<5．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -6．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ）A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．1[,0]2-8．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-19．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（ ） A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<12．（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．3a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭C22a b ≥+ D≥13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 14．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________. 15．已知正数a 、b 满足2a b +=，则12a b a b +++的最大值为______.16．ABC ∆中，23AB AC ⋅=若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.17．设集合{}13A x x x =+-≤，413B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC △ABC 的周长的小值． 19．（1）已知2x >，求12y x x =+-的最小值； （2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.第03讲 基本不等式五、 考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．六、 知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.6.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.七、 经典例题考点一 不等式的性质【例1】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A.ab >ac B.c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】(1)由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.规律方法 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二 利用均值不等式【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【解析】0x，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C.【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =时，等号成立. 故选：D【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（ ） A． B．(4,C．4+D．(4+【答案】C【解析】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin a R A ==ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ， c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=，即4a b c <+++≤.故ABC 周长的取值范围为4+.故选：C【例2-4】（2020·全国高三月考）若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163 D ．173【答案】C【解析】因为3log (2)1a b +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.规律方法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. 考点三 一元二次不等式的解法【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则AB =（ ） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A 【解析】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A.【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C【解析】∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x xf t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤， 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5(30)2R -万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭， 整理得212320R R -+≤，解得48R ≤≤，因此，实数R 的取值范围是[]4,8. 故选A.【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+【解析】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()33m n m n n m+=++≥+当且仅当m m n mn⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即1,m n =+=.故答案为：3+【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________. 【答案】4【解析】由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4.[方法技巧]1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.3.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.八、 课时作业1．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】∵3613a b +=（36a b+）（a +2b ） ＝13(366b aa b+++12)≥13=9 等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等 所以36a b+的最小值为9． 故选：D ．2．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b ac a c +=+，且2a c +=，则ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(]2,3 B ．[)3,4 C ．(]4,5 D ．[)5,6【答案】B【解析】因为2a c +=，根据三角形的性质可得，2b a c <+=，又由222b ac a c +=+得222()3434312a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，即1b ≥， 故12b ≤<，所以ABC 周长的取值范围是34a b c ≤++<. 故选：B.3．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D【解析】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4mm n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n+的最小值为25， 故选D ．4．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【答案】A【解析】已知11ln 202x ln ==-<,122 x e -=()0,1,33ln x e x -=>0,31x ∴> 进而得到123x x x <<. 故答案为A.5．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -【答案】D【解析】10∴二项式展开式为：(10)113211012kk k k T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k +项，可得11101011101011221122kk k k k k k k C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 可得11112101112k k k k -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k ≤≤*k N ∈ ∴3k =在10的展开式中， 系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x x T C x -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎭- ⎪⎝⎭⎝故选：D.6．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ） A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠. 两边同时除以2y ，有：21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=>⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以120x x y y⎛⎫⎛⎫+->⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2x y >或1x y <-.故选：C7．已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．1[,0]2-【答案】D【解析】作出函数图象：结合图象可得，要使|()|2f x ax ≥恒成立， 当x ＞0，必有0a ≤，当0x ≤时，只需22x x ax -≥，即12x a -≤恒成立， 所以12a ≥-综上所述1[,0]2a ∈- 故选：D8．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C【解析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，21f x ，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C.9．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D【解析】因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D.10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.11．（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（ ） A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<【答案】BC【解析】∵正数a ，b 满足4a b +=，∴242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，即ab 的最大值为4t =，当且仅当2a b ==时，取等号.∵2340x x +-<的解集为M ，∴{}|41M x x =-<<. 故选：BC.12．（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．3a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C22a b ≥+ D≥ 【答案】AD【解析】对于A，3a b ++≥≥<，当且仅当2a b ==时等号同时成立；对于B ，()11224a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号；对于C()2222a b a b a b a b ++≥≥=++，当且仅当a b =时取等号；对于D ，当12a =，13b=1===><. 故选：AD.13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.14．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________.【答案】())1,1-⋃+∞【解析】由已知，224,4()44,4x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，(3)3f =，若(2)(3)3f a f +>=，则224(2)4(2)3a a a +≥⎧⎨+-+>⎩或2(2)4(2)4(2)3a a a +<⎧⎨-+++>⎩解得a >11a -<<，所以不等式(2)(3)f a f +>的解集为())1,1-⋃+∞.故答案为：())1,1-⋃+∞15．已知正数a 、b 满足2a b +=，则12a ba b +++的最大值为______.【答案】75- 【解析】正数a 、b 满足2a b +=，()()125a b ∴+++=.1122121211212121212a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭，由基本不等式得()()12125121212a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭()21233321a b b a ++=++≥+=+++123125a b ++≥++，当且仅当)21b a +=+时，等号成立，3721255a b a b +-∴+≤-=++，因此，12a b a b +++.16．在面积为2ABC ∆中，23AB AC ⋅=若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.【答案】3-【解析】由△ABC 12|AB ||AC |sin ∠BAC所以|AB ||AC |sin ∠BAC ，①又23AB AC ⋅=即|AB ||AC |cos ∠BAC =②由①与②的平方和得:|AB ||AC |= 又点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =， 所以()()2132BN CM BA AN CA AM AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22421332AB AC AC AB =⋅--222221832183233233AC AB AC AB =--≤-⋅=-当且仅当22212332AC AB AB AC =⇒=时，取等号，即BN CM ⋅--17．设集合{}13A x x x =+-≤，413B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值. 【解析】（1）先解不等式13x x +-≤.①当0x ≤时，由13x x +-≤得1213x x x -+-=-+≤，解得1x ≥-，此时10x -≤≤； ②当01x <<时，由13x x +-≤得113x x +-=≤，成立，此时01x <<； ③当1x ≥时，由13x x +-≤得1213x x x +-=-≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 所以，不等式13x x +-≤的解集为[]1,2A =-. 解不等式413x >+，即411033x x x --=<++，解得31x -<<，()3,1B ∴=-. 因此，[)1,1⋂=-A B ； （2）不等式220x ax b ++<的解集为B ，3∴-、1是方程220x ax b ++=的两实根.根据韦达定理得312312ab ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⋅⎪⎩，解得4a =，6b =-.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC△ABC 的周长的小值． 【解析】（1sin (2cos )A a B =+，()sin sin 2cos B A A B =+．因为(0,)A π∈，所以sin A ＞0cos 2B B -=，所以2sin()26B π-=，因为(0,)B π∈，所以62B ππ-=，即23B π=． （2）依题意4=ac ＝4．所以4a c +≥=，当且仅当2a c ==时取等号．又由余弦定理得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a ＝c ＝2时取等号． 所以△ABC的周长最小值为4+． 19．（1）已知2x >，求12y x x =+-的最小值； （2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.【解析】（1）2x >，20x ->，而11222422y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当()1222x x x -=>-，即当3x =时，该函数取得最小值4； （2）102x <<，102x ∴->，则211122216x x y x x ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =-时，即当14x =时，该函数取得最大值116.。