专题基本不等式及其应用单元测试(A卷基础篇)(解析版)

基本不等式及不等式的应用基础篇考点一基本不等式及其应用1.(2022广东深圳外国语学校月考，6)在下列函数中，最小值为2的是( )A.y=x+1xB.y=lg x+1lgx(1<x<10)C.y=x 2−2x+2x−1(x>1)D.y=sin x+1sinx (0<x<π2)答案C2.(2022重庆西南大学附中月考)已知x，y>0，x+9y+xy=7，则3xy的最大值为( )A.1B.2C.3D.4答案C3.(多选)(2023届山东潍坊五县联考，9)设a>0，b>0，a+b=1，则下列不等式中一定成立的是( )A.ab≤14B.√a+√b≥√2C.2a+2b≥2√2D.ba +4b≥8答案ACD4.(多选)(2022沈阳二中月考)已知a>0，b>0，且ab=4，则( )A.√a+√b≤2√2B.a 2b +b2a≥4C.log2a 2+b2a+b ≥1 D.2a(a-b)>18答案BC5.(多选)(2022新高考Ⅱ，12，5分)若x，y满足x2+y2-xy=1，则( )A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1答案BC6.(2023届湖北摸底联考，14)若函数f(x)=a x+b x(a>0，b>0，a≠1，b≠1)是偶函数，则1 a +4b的最小值为.答案47.(2018天津，13，5分)已知a，b∈R，且a-3b+6=0，则2a+18b的最小值为.答案148.(2019天津理，13，5分)设x>0，y>0，x+2y=5，则√xy的最小值为. 答案4√39.(2021浙江湖州中学月考)函数y=√2x−1+√5−2x(12<x<52)的最大值是.答案2√2考点二应用基本不等式求解最值考向一配凑法求最值1.(2023届辽宁鞍山质量监测，8)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，经常应用于高中数学竞赛，主要用来处理分式不等式.其表述如下:设a，b，x，y>0，则a 2x +b2 y ≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式可以比较容易得出，函数f(x)=2x +91−2x(0<x<12)的最小值为( )A.16B.25C.36D.49答案B2.(2022山东平邑一中开学考，6)实数a，b满足a>0，b>0，a+b=4，则a 2a+1+b2b+1的最小值是( )A.4B.6C.32D.83答案D3.(2023届福建龙岩一中月考，15)已知正实数a，b满足ab+a+b=3，则2a+b的最小值为.答案4√2-34.(2022天津南开中学模拟，13)若实数x，y满足x>y>0，且xy=4，则x−y(x+y)2的最大值为.答案185.(2022湖南湘潭三模，14)已知正数a，b满足a+b=5，则2a+1+12b的最小值为. 答案34考向二常数代换法求最值1.(2022河北邢台入学考，7)已知a>0，b>0，且a+b=2，则2a +12b的最小值是( )A.1B.2C.94D.92答案C2.(2022辽宁六校联考，7)已知定义在R上的偶函数f(x)=|x-m+1|-2，若正实数a、b满足f(a)+f(2b)=m，则2a +3b的最小值为( )A.85B.8+4√35C.8√35D.2√105答案B3.(多选)(2021山东潍坊四中检测，10)已知a>1，b>0，且1a−1+4b=1，则下列命题正确的是( )A.a>2B.ab-b的最小值为16C.a+b的最小值为9D.1a−2+9b的最小值为2答案ABD4.(2021天津二模，14)已知正实数x，y满足x+y=1x +9y+6，则x+y的最小值是. 答案85.(2020天津，14，5分)已知a>0，b>0，且ab=1，则12a +12b+8a+b的最小值为.答案4考向三两次及以上使用基本不等式求最值1.(2022河北邢台“五岳联盟”10月联考，7)函数f(x)=4x+12x +(√2)x( )A.2√2B.2√3C.4D.3√2答案C2.(多选)(2020新高考Ⅰ，11，5分)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )A.a2+b2≥12B.2a−b>12C.log2a+log2b≥-2D.√a+√b≤√2答案ABD3.(2021天津，13，5分)若a>0，b>0，则1a +ab2+b的最小值为.答案2√2综合篇考法不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略考向一恒成立与能成立共存问题1.(多选)(2022湖南衡阳八中模拟，11)已知函数f(x)=-x-1，x∈[-2，2]，g(x)=x2-2x，x∈[-1，2]，下列结论正确的是( )A.∀x∈[-2，2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<-3B.∃x∈[-2，2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<1C.∃x∈[-1，2]，g(x)=a，则实数a的取值范围是-1≤a≤3D.∀x∈[-2，2]，∃t∈[-1，2]，f(x)=g(t)答案ABC2.(2022重庆巴南月考，14)已知函数f(x)=x+4x ，g(x)=2x+a，若∀x1∈[12,1]，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是. 答案[12,+∞)考向二函数最值与不等式结合问题1.(2022重庆名校联盟联考，5)已知x>0、y>0，且2x +1y=1，若2x+y>m2+8m恒成立，则实数m的取值范围为( ) A.(-1，9) B.(-9，1)C.[-9，1]D.(-∞，-1)∪(9，+∞)答案B2.(多选)(2023届重庆南开中学质检，10)已知正数x，y满足x+2y=4，若存在正数x，y使得12x +x≤t−2y−1y成立，则实数t的可能取值是( )A.2B.4C.6D.8答案CD3.(2021广东佛山南海石门中学模拟，5)已知x，y∈(0，+∞)，且x+y=1，若不等式x2+y2+xy>12m2+14m恒成立，则实数m的取值范围是( )A.(−32,1)B.[−32,1]C.(-2，1)D.(−∞,−32)∪(1，+∞)答案A4.(2021浙江绍兴模拟，4)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.(−235,+∞) B.[−235,1]C.(1，+∞)D.(−∞,−235)答案A5.(2021湖南师大附中月考，13)已知函数f(x)=x2+4，g(x)=ax，当x∈[1，4]时，f(x)的图象总在g(x)图象的上方，则a的取值范围为.答案(-∞，4)6.(2021广东云浮月考，15)已知f(x)=x2-2x+4，g(x)=a x(a>0且a≠1)，若对任意的x1∈[1，2]，都存在x2∈[-1，2]，使得f(x1)<g(x2)成立，则实数a的取值范围是.答案(0,14)∪(2，+∞)专题综合检测一、单项选择题1.(2022石家庄二中月考，9)下列命题为真命题的是( )A.若a>b>0，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a<b<0，则1a >1b答案D2.(2022辽宁丹东五校联考，9)设1a <1b<0，则( )A.a2>b2B.ab>b2C.a+b≥2√abD.2a+2b>2√2a·2b 答案D3.(2022河北曲阳一中月考，4)已知函数f(x)=log2x2·log2x8，若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，则1x1+9x2的最小值为( )A.34B.32C.2D.4答案B4.(2022石家庄二中月考，6)若正数x，y满足x+3y=5xy，当3x+4y取得最小值时，x+4y的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案B5.(2022重庆涪陵实验中学期中，6)已知x>0，y>-1，且4x +1y+1=3，则x+y的最小值为( )A.4B.3C.2D.1答案C二、多项选择题6.(2022广州执信中学月考，11)设a，b∈R，则下列结论正确的是( )A.若a<b<0，则(a-1)2<(b-1)2B.若a+b=2，则2a+2b≥4C.若2a-2b>2-a-2-b，则a>bD.若a>b>0，且a+b=1，则a b>b a答案BCD7.(2022辽宁六校协作体期中，10)下列说法正确的是( )A.当xÎ(0，1)时，x√1−x2≤12B.sin2x+2sin 2x的最小值为2√2C.x 2x4+2≤√24D.若a>1，b>12，则2√(log2a)·[log2(2b)]1+log2(ab)≤1答案ACD8.(2022辽宁省部分中学期末，11)三元均值不等式:“当a、b、c均为正实数时，a+b+c3≥√abc3，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b=c时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( ) A.若x>0，则x2+2x≥3B.若0<x<1，则x2(1-x)≤19C.若x>0，则2x+1x2≥3D.若0<x<1，则x(1-x)2≤19答案AC三、填空题9.(2022重庆七中期中，13)正数a，b满足1a +9b=1，若不等式a+b≥m对任意实数m恒成立，则实数m的最大值是.答案1610.(2022沈阳三十一中月考，15)已知a>b，关于x的不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在实数x0，使得a x02+2x0+b=0成立，则a 2+b2a−b的最小值为.答案2√211.(2022广东深圳实验学校月考，14)已知log2(a+4b)=2log2(2√ab)，则a+b的最小值是.答案9412.(2022广东阳春一中月考，16)已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|2<x<3}，则b c =，b+c+25a+2的最小值为.答案-56813.(2022河北曲阳一中月考，14)已知a，b∈R，且a>b2>0，则a2+1(2a−b)b的最小值是. 答案2。

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第04练基本不等式及其应用（精练）1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最值问题．3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>二、多选题2．（2022·全国·高考真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥三、填空题3．（2023·天津·高考真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b ==，用,a b表示AE =；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．四、解答题4．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．【A 级基础巩固练】一、单选题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若0x >，则22y x x=+的最小值是（）A ．B C ．4D ．22．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知04x <<）A ．12B ．1C D ．33．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【分析】利用基本不等式，直接计算即可.取得等号，满足题意4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．165．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若0,0a b >>且1a mb +=，若ab 的最大值为8，则正常数m =（）A ．1B ．2C ．3D ．46．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．87．（23-24高一下·福建南平·期中）已知0a >，0b >，230a b +-=，则21a b++的最小值为（）A ．2B ．1C ．32D ．348．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量()2,1a m m =+，(),12b n =，若向量a ，b 共线且0m >，则n 的最大值为（）A ．6B ．4C ．8D ．39．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数a ，b ，满足310ab +=（1b >），则31b a ++的取值范围是（）A ．()(),04,-∞⋃+∞B ．()4,+∞C ．(][),04,-∞+∞U D ．[)4,+∞10．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知0a >，0b >，2a b +=，则（）A ．01a <≤B ．01ab <≤C ．222a b +>D ．12b <<11．（2024·山东枣庄·一模）已知0,0a b >>，则“2a b +>”是“222a b +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知,a b 均为正实数，240a b -+≤，则23a ba b++的最小值为（）A ．135B ．145C ．3D ．513二、多选题13．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22xy x =+B ．2y =C ．13y xx=-D ．411y x x =-+14．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知正数a ，b 满足5a b ab +=，则（）A ．151a b+=B ．a 与b 可能相等C 6≥D ．a b +的最小值为6+【答案】BD15．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≤三、填空题16．（23-24高一上·北京·期中）已知()8233y x x x =+>，则当x =时，y 取最小值为．17．（2024·上海徐汇·二模）若正数a b 、满足1a b+=，则2a b +的最小值为.18．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数,a b 满足232a b a b =+，则a 的最小值是．19．（23-24高二下·云南·阶段练习）设0,0m n >>，若直线:22l mx y +=过曲线11x y a -=+（0a >，且1a ≠）的定点，则11m n+的最小值为．20．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛ABCD ，设直角边AD x =米，2BC x =米，若12AD AB BC ++=米，问当x =米时，直角梯形花坛ABCD 的面积最大．22．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知02a <<，则2a a+-的最小值为．四、解答题23．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位；cm ）满足关系：()()161102C x x x =≤≤+，设()f x 为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．(1)求()f x 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．24．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知0a >，0b >，0c >，求证：(1)6b c a c a ba b c+++++≥；(2)()()()2222226a b c b a c c a b abc +++++≥.25．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本()R x 万元，且()228020,05064002015200,50x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）(1)求2024年的利润()W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．(2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明：(1)对任意的正实数a ，b ，c，证明：a b c ++(2)设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=，证明：13ab ac bc ++≤.【B 级能力提升练】一、单选题1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知0,0x y >>，且41x y +=，则2y xxy+的最小值为（）A ．5B ．C ．4D ．2．（2023·河南信阳·模拟预测）若51x -<<-，则函数()22f x x ++=+有（）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值1-D ．最大值1-所以函数()f x 有最大值1-.故选：D.3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x ，y 满足3x >，且2312xy x y +-=，则x y +的最小值为（）A ．1+B ．8C ．D ．1+4．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则2m mm n n+-的最小值为（）A ．3+B ．3-C ．2+D ．25．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式中不成立．．．的是（）A ．01ab <<B ．122a b ->C >D ．114a b+>【答案】C【分析】对于AB ，利用对数函数的性质即可判断；对于CD ，利用对数的运算得到1a b +=，结合基本不等式即可判断.【详解】因为lg 2,lg5a b ==，所以lg 2lg 5lg101a b +=+==，6．（2024·辽宁大连·一模）若()()ln 0,01f x m n n x+=>>--奇函数，则41m n ++的最小值为（）.A ．65B ．95C ．4D ．57．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约176cm ，横约95cm ，挂在墙上最低点B 离地面194cm ，小兰身高160cm (头顶距眼睛的距离为10cm).为使观测视角θ最大，小兰离墙距离S 应为（）A．B ．94cm C．D ．76cm8．（2024·全国·模拟预测）已知0x >，0y >且1x y +=，则222211x y x y +++的最小值为（）A ．15B ．25C ．35D ．459．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中ABCD 区域是休闲健身区，以CD 为底边的等腰三角形区域PCD 是儿童活动区，P ，C ，D 三点在圆弧上，AB 中点恰好在圆心O ，则当健身广场的面积最大时，OB 的长度为（）A ．100米B ．150米C．米D．由于2AD BC OC ==-都是上底为21R t -，下底为所以，健身广场的面积S 从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是()22111tt t t t -+=-+=()223323223t t t +-+-≤=二、多选题10．（2023·浙江绍兴·二模）已知0a >，0b >，a b ab +=，则（）A ．1a >且1b >B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．11b ab+>11．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >且2a b+=，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最小值4B ．a b +有最小值92C ．2ab a +有最小值D的最小值为12．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知0,1a b a b >>+=．则下列结论正确的有（）A ．a 32B ．22122a b ++的最小值为C ．1422a b a b+的最小值为3D ．sin 1a b +<三、填空题13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数,m n 满足2212516m n +=，则mn 的最大值为．14．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若1x >，1y >，10xy =，则lg lg x y 的最大值为.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且2x y +=，则11y x +-的最小值是．17．（2024·上海普陀·二模）若实数a ，b 满足20a b -≥，则24ab+的最小值为.18．（23-24高一上·浙江·期末）已知22321(,R)x xy y x y -+=∈，则222x y +的最小值为．四、解答题19．（2024·全国·二模）已知实数0,0a b >>，满足a b +=(1)求证：2224a b +≥；(2)求()()2211ab ab++的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)1220．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知0a >，0b >，且2a b +=．(1)求证：11413a b +≥+；(2)求证：42aab b+≥．21．（23-24高一下·甘肃白银·期中）养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形ABCD ）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成ABD ，DEFB ，CEF 三块区域，图中,BD EF 是不锈钢网露出水面的分界网边，E 在鱼塘岸边DC 上（点E 与D ，C 均不重合），F 在鱼塘岸边BC ．上（点F 与B ，C 均不重合）．其中△ECF 的面积与四边形DEFB 的面积相等，△DAB 为等边三角形．(1)若测得EC 的长为80米，求CF 的长．(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E ，F 应如何设置，才能使得购买不锈钢1.414=）22．（2023·贵州黔西·一模）设a，b，c均为正数，且1a b c++=，证明：(1)2221 3a b c++≥；(2)333a cb ac b abc++≥．23．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知0a >，0b >．(1)若4a b -=，证明：471a b +≥+．(2)若8a b ab ++=，求a b +的最小值．(3)若229327a b ab ++=，求3a b +的最大值．【C 级拓广探索练】一、单选题1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）设正实数,,x y z 满足22-3+4-=0x xy y z ，则当xyz取得最大值时，212+-x y z 的最大值为（）A ．9B ．1C ．94D ．32．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x 为正实数，y 为非负实数，且22x y +=，则1x y +++的最小值为（）A ．34B ．94C ．32D ．923．（2024·全国·模拟预测）设{}max ,,x y z 为,,x y z 中最大的数.已知正实数,a b ，记max 8,2M a b⎧=⎨⎩，则M 的最小值为（）A ．1B C ．2D ．44．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知22321x xy y -+=(),R x y ∈，则22x y +的最小值为（）A 6B 6C ．6D ．6二、多选题5．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A ．42x y +的最小值为B ．22log log x y +的最大值为3-C ．y x xy --的最小值为1-D ．22221x y x y +++的最小值为16正确；三、填空题6．（2023·山西·模拟预测）已知0,0a b >>，且122a b +=，则161211a b +--的最小值是.7．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知实数,x y 满足22221x xy y -+=，则22x y -的最大值为.四、解答题8．（2023·全国·模拟预测）已知(),,0,x y z ∈+∞，且1x y z ++=．(1)1z>-；(2)求222544x y z xy yz xz +++++的最大值．，三式相加，可得：9．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射t ml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间x（单位：小时）的关系如下：162,06,89,618.2t xxyx t x⎧⎛⎫-≤≤⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<≤⎪⎪⎝⎭⎩当血药浓度不低于2ug/ml时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2ml．(1)若注射1ml药品，求药品的有效治疗时间；(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml 药品，12小时之后又注射a ml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求a的最小值．。

专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y Sxy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当mnx =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立； 模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a c x =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）A ．12x x+≥ B ．a b +≥ C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =-≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +-=-≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+> B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy+> 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y =+x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立； 12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a b r OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解. 【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +a b =时取等号． 故选：D.例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确.故选：D.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x =+C ．233xxy -=+D ．2y【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ==，27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ） A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥，22a b a b +≥，所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对. 故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解积的最大值. 【详解】∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，1a b +=，∴212ab ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，∴()max 14ab =． 故选：D ．例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ） A ．18 B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案．由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=， 当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a=即12,2a c ==时等号成立.故选：B例10．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（ ）A ．4B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xxx +≥=⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4.（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444baa b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 【答案】12##0.5. 【解析】 【分析】利用基本不等式可直接求得结果. 【详解】,R a b +∈，10a ∴>，0b >，11b a ∴+=≥ 即14b a ≤（当且仅当1b a =，即2a =，12b =时取等号）， 212b a ∴≤，即2b a 的最大值为12.故答案为：12.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________. 【答案】14【解析】 【分析】利用基本不等式可求得yx的最小值. 【详解】因为x 、y为正数，由基本不等式可得124x y =+≥14y x ≥，当且仅当41124xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩时，即当41x y ==时，等号成立，故y x 的最小值为14.故答案为：14.【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例15．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例16．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】 【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x yx y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥++------当且仅当2111x y =--，即11x y ==“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+故选：D例17．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．【解析】 【分析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =，y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值； （2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【答案】（1）函数y 的最小值为5，此时3x =；（2）函数y 的最小值为5，此时0x =. 【解析】 （1）整理441111y x x x x =+=-++--，利用基本不等式求解即可；（2）令()20t x t =+>，将2x t =-代入整理得41y t t=++，利用基本不等式求解即可；【详解】 （1）∵1x >，∴4411141511y x x x x =+=-++≥=+=--， 当且仅当411x x -=-即3x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时3x =； （2）令()20t x t =+>， 将2x t =-代入得：()()22521041t t y t t t-+-+==++，∵0t >，∴411415y t t =++≥=+=， 当且仅当4t t=， 即422x x +=+， 即0x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时0x =. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-为___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B ．2 C ．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+， 所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -， 则2+a bab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例24．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x -=，再通过平方关系将其与11x y+联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==等号成立，所以211x y+≥.故答案为:2例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】232⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>再将条件变形2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a =时取等号，故02a b <+≤2a b +≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t < 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】 【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例27．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c +++变形为421m n+-，结合基本不等式，即可求得答案。

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

专题2.2基本不等式知识点①基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b22．基本不等式成立的条件：a >0，b >0.3．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立．4．其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．知识点②几个重要的不等式1．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．2．b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．3．ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )．4．a 2＋b 22≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .知识点③利用基本不等式求最值1．已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .2．已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．题型一解法突破：两种常数处理方法(),ka a a b b a a=+-=.例1求12x x +-的最小值（2x >）.解：()1112222222x x x x x x ⎛⎫+=-++=-++ ⎪---⎝⎭因为2,20x x >->所以()122242x x ⎛⎫-++≥+=⎪-⎝⎭令122x x -=-解得3,1x x ==（舍）例2求1142x x +-的最小值（2x >）.解：()()111111112242422422x x x x x x ⎛⎫+=-++=-++ ⎪---⎝⎭因为2,20x x >->所以()11113242222x x ⎛⎫-++≥+= ⎪-⎝⎭令11(2)42x x -=-解得4,0x x ==（舍）1.以分式分母为主进行配凑使其定积2．注意变量范围，是否满足一正和三相等题型二解法突破:“1”的代换例1已知0,0x y >>，21x y +=求12xy+的最小值解：()1212122212149y xx y xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例2已知0,0,1x y x y >>+=求1412x y +++的最小值解：()()1124,x y x y +=∴+++=，()()141411212124x y x y x y ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()41129144124x y x y +⎛⎫+=+++≥ ⎪++⎝⎭【审题要津和评注】此类题型主要核心是“1”的等价代换，以及以分式分母为依据构造倒数形式，注意例5，例6两个题目题型三消元法解法突破：此类题目特点是有多个变量，且变量间满足等式关系例1已知0,0,39x y x y xy >>++=求3x y +的最小解：()939,39,3x x y xy y x x y x -++=+=-=+，931233333x x x y x x x x -+-+=+=-++1212313910233x x x x =-+=++-≥++题型四换元法:一般求谁最值换谁为t例1已知0,0,39x y x y xy >>++=求3x y +的最小解：()23312x y x y xy ++≥≤()()223333,931212x y x y x y xy x y x y ++∴++≤++≤++令3x y t +=则29,612t t t +≥≥或18t ≤-（舍）即3x y +的最小是6【审题要津和评注】1.题型二的例三和题型三题型四比较类似注意区分2.若一个题目在连用多个基本不等式时需注意取等时自变量取值是否相同题型五基本不等式的使用条件解法突破：使用基本不等式前要注意验证使用条件是否满足例1已知5,4x <求14245x x -+-的最大值解：11424534545x x x x -+=-++--54504x x <∴-<,11453543,4554x x x x ⎛⎫-++=--++ ⎪--⎝⎭1540,54254x x x ->-+≥-1543154x x ⎛⎫--++≤ ⎪-⎝⎭一、单选题1．下列说法正确的为（）A ．12x x+≥B ．函数22243x y x +=+4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，44233+≥⋅--a a a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8【答案】C【解析】对于选项A ,只有当0x >时，才满足基本不等式的使用条件，则A 不正确；对于选项B ,22243x y x +=+2222231333x x x x ++=++++(233x t t +=≥，即(223y t t t =+≥在)3,⎡+∞⎣上单调递增，则最小值为min 2832333y =,则B 不正确；对于选项C ,()()22(2)211111x x x x x -=--++=--+≤，则C 正确；对于选项D ,当3a >时，()44433337333a a a a a a +=-++≥-⋅+=---，当且仅当433a a -=-时，即5a =，等号成立，则D 不正确.故选：C .2．函数2455())22x x f x x x -+=≥-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】（方法1）52x ，20x ∴->，则2245(2)11(2)222(2)x x x x x x x -+-+==-+--- ，当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立.（方法2）令2x t -=，52x ，12t ∴ ，2x t ∴=+.将其代入，原函数可化为22(2)4(2)5112t t t y t t t t +-+++===+= ，当且仅当1t t =，即1t =时等号成立，此时3x =.故选：D3．已知1x >，则41x x +-的最小值是()A ．5B ．4C ．8D ．6【答案】A【解析】∵1x >，∴10x ->，∴()44111511x x x x +=-+≥=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立，∴41x x +-的最小值是5．故选：A ．4．已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（）A ．6B ．8C ．14D ．16【答案】A【解析】因为8ab =，所以()222216a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---.因为a b >，所以0a b ->，所以168a b a b -+≥=-，即28a b a b +≥-，当且仅当4a b -=时，等号成立，故222a b a b+--的最小值是6.故选：A5．设0a >，0b >，且1a b +=，则4aba b+的最大值为（）．A ．110B ．19C ．227D ．15【答案】B【解析】∵1a b +=，1414ab a b a b=++，()41414559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当23a =，13b =时取等号，∴149ab a b ≤+．故选：B ．6．下列不等式恒成立的是（）A ．2b a a b+≥B ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C ．a b +≥D ．222a b ab+≥-【答案】D【解析】：对于A ：若1a =、1b =-时2b aa b+=-，故A 错误；对于B ：因为()20a b -≥，所以222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥，即22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，故B 错误；对于C ：若1a =-、1b =-时，22a b +=-<=，故C 错误；对于D ：因为()20a b +≥，所以2220a b ab ++≥，即222a b ab +≥-，当且仅当a b =时取等号，故D 正确；故选：D7．已知正实数a 、b 满足4a b +=，则11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A ．2B ．4C ．254D ．1+【答案】B【解析】∵正实数a 、b 满足4a b +=，∴111224a b ab b a ab ⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1ab ab=，即1,4ab a b =+=时，取等号，故选：B.8．已知x ，y ＞0，当x +y ＝2时，求41x y+的最小值（）A ．52B ．72C ．92D ．112【答案】C【解析】由题，()411411419552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即2x y =，即42,33x y ==时取等号故选：C9．已知,a b 为正实数，且196a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A ．6B ．8C ．9D ．12【答案】B【解析】由题意，可得()()()()21996610616b a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=+++=++++≥++ ⎪⎝⎭，则有()()26160a b a b +-+-≥，解得8a b +≥，当且仅当2a =，6b =取到最小值8.故选：B.10．已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为（）A ．74B ．92C ．134D ．1【答案】B【解析】因为2x y +=，所以1414141422x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为x ，y都是正数，由基本不等式有：44y x x y +≥=，所以141491422y x x y x y ⎛⎫+=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2, 2,y x x y =⎧⎨+=⎩即2,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“＝”．故A ，C ，D 错误.故选：B ．11．已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则2x y +的最小值为（）A ．8B．C ．9D．【答案】C【解析】因为2x y xy +=，0x >，0y >，所以211y x+=，∴()1222221459y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3x y ==取得等号，则2x y +的最小值为9.故选：C12．已知正实数a 、b 满足11m a b +=，若11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4，则实数m 的取值范围是（）A ．{}2B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．()0,∞+【答案】B【解析】：因为,a b 为正实数，11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=12ab ab ++24³=，当1ab ab =，即1ab =时等号成立，此时有1b a=，又因为11m a b +=，所以1a m a+=，由基本不等式可知12a a+≥（1a =时等号成立），所以2m ≥.故选：B.13．若0,0a b >>，且24a b +=，则下列不等式中成立的是（）A ．2ab <B ．2244b a +≥C ．22log log 1a b +<D ．9318a b +≥【答案】D【解析】0,0a b >>，24a b ∴+=≥，解得2ab ≤，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项A 错误；()()22222142282a b a b a b +=+≥+=，2224b a ∴+≥，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项B 错误；由A 可得2ab ≤，222log log log 1a b ab ∴+=≤，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项C 错误；2393318a b b a +≥==+，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项D 正确；故选：D14．已知实数,1x y >）A ．1BC ．2D．【答案】C【解析】因为,1x y >，所以10,10x y ->->，222++=222+≥x y =时取等号，=2≥=，2x y ==时取等号，2，故选：C15．已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为（）A ．1B ．6C ．7D．【答案】B【解析】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号，∴22aa b+的最小值为6；故选：B.16．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+D ．0,0)2a b a b +≤>>【解析】【分析】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===，又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤，当且仅当a b =时取等号．故选：D.17．若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（）A ．16B ．18C ．20D ．22【答案】C【解析】因为2a >，3b >，所以22224499492310232323a b a b a b a b a b a b -+-++=+=-++-++------1020≥+=(当且仅当4,6a b ==时，等号成立)，所以2223a b a b +--的最小值是20.故选：C18．已知实数x ，y 满足()212x x y y +=+，则227x y -的最小值为（）A ．103+B ．103-CD【答案】A【解析】：实数x ，y 满足()212x x y y+=+化为：()()21x y x y +-=令2x y m +=，x y n -=，则1mn =解得：23m n x +=，3m n y -=则：()()2222222222233162730916273091276309130910737m n m n m n mn m n m m x y +-=⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪=⨯++=⨯ ⎪++⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝=⎭⎭⎝⎭⎝当且仅当22276m m =，即2m =所以227x y -故选：A.19．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）AB1C1D【答案】D【解析】由题意可得，a ≥0,0x y >>1y x +(0)t t =>2111t t x +=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m y t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以212a ≥，即实数a 的最小值为12.故选：D.20．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（）A ．34+B ．34+C ．36+D ．36+【答案】A【解析】：因为0,1a b >>满足5a b +＝，则()21211(1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦--()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦，当且仅当()211b aa b -=-时取等号，故选：A ．。

第一单元测试卷（A卷基础篇）（测试时间：100分钟满分：100分）一、积累与运用。

（28分）1.下面加点字注音完全正确的一项是（）（3分）A．山朗润．（rùn）起来了，水涨．（zhàng）起来了，太阳有脸红起来了。

B．就是这点儿幻想不想一时实现，他们也不并不着．（zhuó）急，因为有这样的慈善的冬天，干啥．（shá）还希望别的呢！C．山上的矮松越发的青黑，树尖上顶着一髻．（jié）儿白花，好像日本看．（kān）护妇。

D．呼吸变得畅．（chàng）快，空气里像有无数芳甜的果子，在诱．（yòu）惑着鼻子和嘴唇。

【答案】D【解析】此题考查学生对字音的掌握情况，这就要求学生平时的学习中注意字音的识记和积累，特别是形近字、多音字。

做注音题，要熟悉汉语拼音规则，同时可根据形声字的声旁来推断它的读音。

A项的注音有误，“涨”应读“zhǎn g”；B项有误，“着”应读“zháo”；C项有误，“髻”应读“jì”。

故选D。

2.下列各句中，加点的成语使用不正确的一项是（）（3分）A．春天来了，小芳和哥哥小明都打扮得花枝招展．．．．的，跟着爸爸妈妈去郊游。

B．同学们，一年之计在于春。

我们正当青春年少．．．．，要珍惜这大好时光，努力学习吧！C．你说话和气一点行不行？老是这样咄咄逼人．．．．，谁还愿意跟你交流呢？D．这鬼天气，淅淅沥沥．．．．的雨还停不停？【答案】A【解析】这道题目考查的是成语的理解与运用。

要想正确地运用成语，必须准确理解成语的意义，可从以下几方面进行分析：词义的范围、词义的轻重、感情色彩等。

A项的成语使用有误，“花枝招展”意思是像花枝迎风摆动一样，形容女子打扮得十分漂亮，与此处的语境不符。

B项中，“青春年少”意思是“处于青少年时期”，符合语境。

C项中，“咄咄逼人”形容气势汹汹，盛气凌人，使人难堪；也指形势发展迅速，给人压力。

专题2.2基本不等式知识点一基本不等式1．基本不等式：如果0,2a ba b +>>≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中2ab叫做正数a ，b 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．变形：ab ≤2ab ⎛⎫⎪⎝⎭2，a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b ≥2，a ，b 都是正数，当且仅当a ＝b 时，等号成立．知识点二用基本不等式求最值用基本不等式2xy求最值应注意：(1)x ，y 是正数．(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值；②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．知识点三基本不等式的两个变形1.22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭(,a b ∈R ，当且仅当a b =时取等号)；2.2112a ba b+≥≥+(0,0a b>>，当且仅当a b=时取等号).利用基本不等式求最值(1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．【例1】4(1)y x xx=+ 的最小值为()A．2B．3C．4D．5【解答】解：由已知函数4y xx=+，1x ，∴40x>，∴44xx+=，当且仅当4xx=，即2x=时等号成立，∴当2x=时，函数4y xx=+有最小值是4，故选：C．【变式训练1】函数20()5(0)f x x xx=+>的最小值为()A．10B．15C．20D．25【解答】解：由题意20()520f x xx=+=，当且仅当205xx=，即2x=时取等号，此时取得最小值为20，故选：C．【变式训练2】若0x >，则函数1()2f x x x=+的最小值是()A B ．2C ．D ．【解答】解：由0x >，得1()2f x x x =+= ，当且仅当12x x =，即2x =时等号成立，所以1()2f x x x=+的最小值为故选：C ．【变式训练3】已知0x >，则2x x+的最小值为()AB ．2C ．D ．4【解答】解：由0x >，2x x +=当且仅当2x x=，即x =时，取得等号，故2x x+的最小值为故选：C ．【例2】函数16(2)2y x x x =+>-+取最小值时x 的值为()A ．6B ．2C D 【解答】解：2x >-，20x ∴+>，函数1616(2)22622y x x x x =+=++-=++ ，当且仅当1622x x +=+，即2x =时取等号．故选：B ．【变式训练1】若1a >，则11a a +-有()A ．最小值为3B ．最大值为3C ．最小值为1-D ．最大值为1-【解答】解：因为1a >，所以10a ->，所以11111311a a a a +=-++=-- ，当且仅当111a a -=-，即2a =时，等号成立，所以11a a +-有最小值故选：A ．【变式训练2】函数1(2)2y x x x =+>-+的最小值为()A ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：由2x >-，得20x +>，102x >+，所以11222022y x x x x =+=++-=++ ，当且仅当122x x +=+，即1x =-时，等号成立．所以12y x x =++的最小值为故选：D ．【变式训练3】函数413(313y x x x =+>-的最小值为()A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：由13x >，得310x ->，所以443311153131y x x x x =+=-+++=-- ，当且仅当43131x x -=-，即1x =时等号成立，所以4331y x x =+-的最小值为故选：D ．【例3】若a ，b 是两正实数，341b a+=，则a b +的最小值是()A ．B ．C ．7+D ．7+【解答】解：因为a ，b 是两正实数，341b a+=，则4343()(777b a a b a b a b a b +=++=+++=+当且仅当43b a a b =且341b a+=，即4a =+，3b =+故选：C ．【变式训练1】若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为()A ．12B ．6C ．14D ．16【解答】解：因为0x >，0y >，且131x y+=，则1393(3)()6612y x x y x y x y x y +=++=+++ ，当且仅当9y x x y =且131x y +=，即2x =，6y =时取等号．故选：A ．【变式训练2】已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为()A ．74B ．92C ．134D ．1【解答】解：已知x ，y 都是正数，且2x y +=，则141141419()()(5)2222y x x y x y x y x y +=++=+++= ，当且仅当23x =，43y =时等号成立，所以14x y +的最小值为：92．故选：B ．【变式训练3】若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为()A ．6B ．12C ．14D ．16【解答】解：因为1393(3)()666612y x x y x y x y x y +=++=++++= ，当且仅当9y xx y=，即2x =，6y =时取得最小值为12，故选：B ．【例4】已知x ，0y >且2x y xy +=，则x y +的最小值为()A ．3+B ．C ．D ．6【解答】解：0x >，0y >，且2x y xy +=，∴121y x+=，122()()333y x x y x y y x x y ∴+=++=++++当且仅当2y x x y =且121y x+=，即1y =+2x =+时取等号，故选：A ．【变式训练1】已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为()A ．8B ．9C ．5D ．7【解答】解：2x y xy +=可得121x y+=，12222(2)()559y x x y x y x y x y ∴+=++=+++ ，当且仅当x y =时，取得最小值9故选：B ．【变式训练2】已知0x >，0y >，且4x y xy +=，则16x y +的最小值为()A ．64B ．81C ．100D ．121【解答】解：由4(0,0)x y xy x y +=>>，可得411y x+=，则4141616(16)()16465651681x y x y x y y x y x +=++=+++++= ，当且仅当416x y y x =且411y x+=，即9x =，92y =时取等号，此时取得最小值81故选：B ．【变式训练3】若正数a ，b 满足a b ab +=，则2a b +的最小值为()A ．6B ．C ．3+D ．2+【解答】解：因为正数a ，b 满足a b ab +=，所以111b a+=，则1122(2)(33b aa b a b a b a b+=++=+++ ，当且仅当2b a a b =且111a b+=，即1a =12b =+时取等号，所以2a b +的最小值为3+．故选：C ．基本不等式与恒成立(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．【例5】设0a >，0b >，191a b+=，若不等式a b m + 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(-∞，8]B ．(-∞，16]C ．(-∞，7]D ．[16，)+∞【解答】解：0a >，0b >，191a b+=，则199()()191016a b a b a b a b b a +=++=++++= ，当且仅当3b a =，4a =，12b =，上式取得等号，由不等式a b m + 恒成立，可得()16min m a b += ，故选：B ．【变式训练1】设0a >，0b >，142a b+=，则使得a b m + 恒成立，求m 的取值范围是()A ．(,9)-∞B ．(0，1]C ．9(,]2-∞D ．(-∞，8]【解答】解：因为0a >，0b >，142a b+=，所以1141419()()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=+++= ，当且仅当322b a ==时取“=”，若使得a b m + 恒成立，则m 的取值范围是92m ，即(-∞，9]2．故选：C ．【变式训练2】已知x ，y R +∈且4x y +=，则使不等式14m x y+ 恒成立的实数m 的取值范围为()A ．(2,)+∞B ．(-∞，74C ．(3,)+∞D ．(-∞，94【解答】解：由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=，则141141419()()(14)(54444y x x y x y x y x y +=++=++++= ，当且仅当43x =，83y =时取等号，94m ∴，故选：D ．【变式训练3】若0x >，0y >，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．81m -<<B ．8m <-或1m >C ．1m <-或8m >D ．18m -<<【解答】解：根据题意，0x >，0y >，且211x y+=，则2142(2)()448y x x y x y x y x y +=++=+++ ，当且仅当24x y ==时等号成立，即2x y +的最小值为8，若227x y m m +>+恒成立，必有278m m +<，解可得81m -<<．即m 的取值范围为(8,1)-．故选：A ．基本不等式综合【例6】已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是()A ．05y <<B +C ．22x y +的最小值为10013D ．xy 的最大值为625【解答】解：0x >，0y >，3210x y +=，31020x y ∴=->，故05y <<，故选项A 正确；22(32)x y + ，即220 ，∴+，当且仅当32x y =，即53x =，52y =时，等号成立，的最大值为，故选项B 正确；3210x y +=，1032xy -∴=，故2222103(2x x y x -+=+21315254x x =-+，由二次函数的性质知，当3013x =时取得最小值2133030100(152********⨯-⨯+=，故选项C 正确；0x >，0y >，3210x y +=，32x y ∴+，即10，5，故256xy，当且仅当32x y =，即53x =，52y =时，等号成立，故xy 的最大值为256，故选项D 错误；故选：ABC ．【变式训练1】已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是()A ．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16C +D ．lga lgb +的最小值为32lg 【解答】解：因为0a >，0b >，2a b ab +=，即211b a+=，所以122()(33b a a b a b a b a b +=++=+++ ，当且仅当2b a a b =且211b a +=，即1a =+，2b =+此时a b +取得最小值3+，A 正确；因为1242(2)()448b a ab a b a b a b a b =+=++=+++= ，当且仅当4b aa b =且2a b ab +=，即2a =，4b =时取等号，此时ab 取最小值8，所以Lga lgb lgab =+=取得最小值832lg lg =，D 正确；因为222a b ab + （当且仅当a b =时取等号），8ab （当且仅当2a =，4b =时取等号），所以2216a b +>，B 错误；212112a b =+++=，当且仅当1212a b ==，即2a =，4b =时取等号，此+取得最大值C 正确．故选：ACD ．【变式训练2】设正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的是()A ．11a b+有最小值4B 12CD ．22a b +有最小值12【解答】解：因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以11224a b a b b a a b a b a b +++=+=+++= ，当且仅当a b b a =且1a b +=，即12a b ==时取等号，a b +取得最小值4，A 正确，122a b +=，当且仅当12a b ==12，B 正确，212a b +=+++，当且仅当12a b ==+取的最大值C 正确，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=--⨯= ，当且仅当12a b ==时取等号，22a b +取得最小值12．D 正确，故选：ABCD ．【变式训练3】设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是()A ．11m n+上的最小值为2B ．mn 的最大值为1C 的最大值为4D ．22m n +的最小值为54【解答】解：因为正实数m ，n 满足2m n +=，所以1111((2)222m n m n n m m n m n m n +++=+=++ ，当且1n =时取等号，A 正确；2(12m n mn += ，当且仅当1m n ==时取等号，B 正确；2224mn =+ ，当且仅当1m n ==时取等号，22 ，C 错误；222()2422m n m n mn mn +=+-=- ，当且仅当1m n ==时取等号，D 错误．故选：AB ．不等式的证明(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．【例7】已知a ，b ，c 均为正数，且1abc =，求证：111a b c+++．【解答】证明：由a ，b ，c 为正数，根据平均值不等式，得11a b +11b c +，11c a +当且仅当a b c ==时等号成立，将此三式相加，得1112()a b c ++，即111a b c ++．由1abc =1=．所以，111a b c ++=【变式训练1】已知a ，b R +∈，设x =y =，求证：（1）xy ab ；（2）x y a b ++ ．【解答】证明：（1）a ，b R +∈，x =y =，xy ab ∴=，当且仅当a b =时取等号．（2）a ，b R +∈，x y +=，则222222()()()()(22a b a b a b x y a b ab +++-+=+-++=-，而4422()()8()a b a b ab a b +--=+，4224()8()()a b ab a b a b ∴+-+=-，2()a b ∴+ ，22()()0a b x y ∴+-+ ，a b x y ∴++ ．【变式训练2】已知0a >，0b >，且1a b +=，求证：11(19a b++ ．【解答】解：0a >，0b >，且1a b +=∴11(1)(1)a b a ba b a b ++++=++22(2)(24b a a b b a a b b a a b =++=+++⨯2255549b a a b =+++=+= 当且仅当22b a a b =，即12a b ==时取“=”号．故原题得证．【变式训练3】解答下列各题．（1）设0a >，0b >，1a b +=，求证：1118a b ab++ ；（2）设a b c >>且11ma b b c a c+---恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：0a >，0b >，1a b +=，∴11112a b a b ab ab ab ab +++=+=，21(24a b ab += ，104ab ∴<，（当且仅当12a b ==时取等号）故28ab，即1118a b ab++ ．（2）a c >，0a c ∴->，11ma b b c a c +---恒成立，a c a cm a b b c--∴+--恒成立，即2a c a c a b b c a b b c b c a bm a b b c a b b c a b b c---+--+---+=+=++------，又a b c >>，0a b ∴->，0b c ->，则224b c a b a b b c --+++=-- ．当且仅当b c a b -=-，即2a c b +=时上式等号成立．4m ∴ ，m ∴的取值范围是：(-∞，4]．基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤(1)认真审题，恰当选择变量(x 或y)，并求其取值范围；(2)用x 或y 表示要求最大(小)值的量z ；(3)利用基本不等式，求出z 的最大(小)值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．【例8】如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x ，宽为y ．（1）若菜园面积为72，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求12x y+的最小值．【解答】解：（1）由题意知：72xy =，篱笆总长为2x y +．又224x y += ，当且仅当2x y =，即12x =，6y =时等号成立．∴当12x =，6y =时，可使所用篱笆总长最小；（2）由题意得：230x y +=，又1222()(2)559y x x y x y x y ++=+++ ，∴12310x y + ，当且仅当x y =，即10x =，10y =时等号成立．∴12x y+的最小值是310．【变式训练1】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600y υυυυ=>++．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解答】解：（1）依题意，2920920920160031600833()y v vυυυ==++++ ，当且仅当1600v v=，即40v =时，上式等号成立，92083max y ∴=（千辆/时）．当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时；（2）由条件得29201031600υυυ>++，整理得28916000v v -+<，即(25)(64)0v v --<，解得2564v <<，所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25/km h 且小于64/km h ．【变式训练2】某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出*()x x N ∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310()500xa -万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【解答】解：（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯ ，即25000x x - ，又0x >，所以0500x < ．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310(500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则310()10(1000)(10.2%)500xa x x x --+ 所以223110002500500x ax x x x -+-- ，所以221000500x ax x ++ ，即210001500x a x ++ 恒成立，因为210004500x x += ，当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立．所以5a ，又0a >，所以05a < ，即a 的取值范围为(0，5]．【变式训练3】2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界VR （虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR 特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR 设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x 年后设备的盈利额为y 万元．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．【解答】解：（1）依题得：2*(1)180[224]4502160450()2x x y x x x x x N -=-+⨯-=-+-∈-----（6分）（2）4504502160160(2)160100y x x x x x =-+-=-+-= ，当且仅当4502x x=时，即15x =时等号成立．∴使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元．--------------（12分）1．4(1)?y x x x=+ 的最小值为()A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：由已知函数4y x x=+，1x ，∴40?x>，∴44?x x += ，当且仅当4?x x=，即2?x =时等号成立，?∴当2?x =时，函数4?y x x=+有最小值是4，故选：C ．2．函数20()5(0)f x x x x=+>的最小值为()A ．10B ．15C ．20D ．25【解答】解：由题意20()520f x x x =+= ，当且仅当205x x=，即2x =时取等号，此时取得最小值为20，故选：C ．3．若0x >，则函数1()2f x x x=+的最小值是()A B ．2C ．D ．【解答】解：由0x >，得1()2f x x x =+= ，当且仅当12x x =，即x =时等号成立，所以1()2f x x x=+的最小值为故选：C ．4．已知0x >，则2x x+的最小值为()A B ．2C ．D ．4【解答】解：由0x >，2x x +=当且仅当2x x=，即x =时，取得等号，故2x x+的最小值为故选：C ．5．函数16(2)2y x x x =+>-+取最小值时x 的值为()A ．6B ．2C D【解答】解：2x >-，20x ∴+>，函数1616(2)22622y x x x x =+=++-=++ ，当且仅当1622x x +=+，即2x =时取等号．故选：B ．6．若1a >，则11a a +-有()A ．最小值为3B ．最大值为3C ．最小值为1-D ．最大值为1-【解答】解：因为1a >，所以10a ->，所以11111311a a a a +=-++=-- ，当且仅当111a a -=-，即2a =时，等号成立，所以11a a +-有最小值3．故选：A ．7．函数1(2)2y x x x =+>-+的最小值为()A ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：由2x >-，得20x +>，102x >+，所以11222022y x x x x =+=++-=++ ，当且仅当122x x +=+，即1x =-时，等号成立．所以12y x x =++的最小值为0．故选：D ．8．函数413()313y x x x =+>-的最小值为()A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：由13x >，得310x ->，所以443311153131y x x x x =+=-+++=-- ，当且仅当43131x x -=-，即1x =时等号成立，所以4331y x x =+-的最小值为5．故选：D ．9．若a ，b 是两正实数，341b a+=，则a b +的最小值是()A ．B ．C ．7+D ．7+【解答】解：因为a ，b 是两正实数，341b a+=，则4343()(777b a a b a b a b a b +=++=+++=+当且仅当43b a a b =且341b a+=，即4a =+，3b =+故选：C ．10．若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为()A ．12B ．6C ．14D ．16【解答】解：因为0x >，0y >，且131x y+=，则1393(3)()6612y x x y x y x y x y +=++=+++ ，当且仅当9y x x y =且131x y +=，即2x =，6y =时取等号．故选：A ．11．已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为()A ．74B ．92C ．134D ．1【解答】解：已知x ，y 都是正数，且2x y +=，则141141419()()(5)2222y x x y x y x y x y +=++=+++= ，当且仅当23x =，43y =时等号成立，所以14x y+的最小值为：92．故选：B ．12．若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为()A ．6B ．12C ．14D ．16【解答】解：因为1393(3)()666612y x x y x y x y x y +=++=++++= ，当且仅当9y xx y=，即2x =，6y =时取得最小值为12，故选：B ．13．已知x ，0y >且2x y xy +=，则x y +的最小值为()A ．3+B ．C ．D ．6【解答】解：0x >，0y >，且2x y xy +=，∴121y x+=，122()()333y x x y x y y x x y ∴+=++=++++当且仅当2y x x y =且121y x+=，即1y =+2x =+时取等号，故选：A ．14．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为()A ．8B ．9C ．5D ．7【解答】解：2x y xy +=可得121x y+=，12222(2)()559y x x y x y x y x y ∴+=++=+++ ，当且仅当x y =时，取得最小值9．故选：B ．15．已知0x >，0y >，且4x y xy +=，则16x y +的最小值为()A ．64B ．81C ．100D ．121【解答】解：由4(0,0)x y xy x y +=>>，可得411y x+=，则4141616(16)()16465651681x y x y x y y x y x +=++=+++++= ，当且仅当416x y y x =且411y x+=，即9x =，92y =时取等号，此时取得最小值81．故选：B ．16．若正数a ，b 满足a b ab +=，则2a b +的最小值为()A ．6B ．C ．3+D ．2+【解答】解：因为正数a ，b 满足a b ab +=，所以111b a+=，则1122(2)(33b aa b a b a b a b+=++=+++ ，当且仅当2b a a b =且111a b+=，即1a =12b =+时取等号，所以2a b +的最小值为3+．故选：C ．17．设0a >，0b >，191a b+=，若不等式a b m + 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(-∞，8]B ．(-∞，16]C ．(-∞，7]D ．[16，)+∞【解答】解：0a >，0b >，191a b+=，则199()()191016a b a b a b a b b a +=++=++++= ，当且仅当3b a =，4a =，12b =，上式取得等号，由不等式a b m + 恒成立，可得()16min m a b += ，故选：B ．18．设0a >，0b >，142a b+=，则使得a b m + 恒成立，求m 的取值范围是()A ．(,9)-∞B ．(0，1]C ．9(,]2-∞D ．(-∞，8]【解答】解：因为0a >，0b >，142a b+=，所以1141419()()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=+++= ，当且仅当322b a ==时取“=”，若使得a b m + 恒成立，则m 的取值范围是92m ，即(-∞，9]2．故选：C ．19．已知x ，y R +∈且4x y +=，则使不等式14m x y+ 恒成立的实数m 的取值范围为()A ．(2,)+∞B ．(-∞，74C ．(3,)+∞D ．(-∞，94【解答】解：由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=，则141141419()()(14)(54444y x x y x y x y x y +=++=++++= ，当且仅当43x =，83y =时取等号，94m ∴，故选：D ．20．若0x >，0y >，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．81m -<<B ．8m <-或1m >C ．1m <-或8m >D ．18m -<<【解答】解：根据题意，0x >，0y >，且211x y+=，则2142(2)()448y x x y x y x y x y +=++=+++ ，当且仅当24x y ==时等号成立，即2x y +的最小值为8，若227x y m m +>+恒成立，必有278m m +<，解可得81m -<<．即m 的取值范围为(8,1)-．故选：A ．21．已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是()A ．05y <<B +C ．22x y +的最小值为10013D ．xy 的最大值为625【解答】解：0x >，0y >，3210x y +=，31020x y ∴=->，故05y <<，故选项A 正确；22(32)x y + ，即220 ，∴+，当且仅当32x y =，即53x =，52y =时，等号成立，的最大值为，故选项B 正确；3210x y +=，1032xy -∴=，故2222103(2x x y x -+=+21315254x x =-+，由二次函数的性质知，当3013x =时取得最小值2133030100(152********⨯-⨯+=，故选项C 正确；0x >，0y >，3210x y +=，32x y ∴+，即10，5，故256xy，当且仅当32x y =，即53x =，52y =时，等号成立，故xy 的最大值为256，故选项D 错误；故选：ABC ．22．已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是()A ．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16C +D ．lga lgb +的最小值为32lg 【解答】解：因为0a >，0b >，2a b ab +=，即211b a+=，所以122()(33b a a b a b a b a b +=++=+++ ，当且仅当2b a a b =且211b a +=，即1a =+，2b =+此时a b +取得最小值3+，A 正确；因为1242(2)()448b a ab a b a b a b a b =+=++=+++= ，当且仅当4b aa b =且2a b ab +=，即2a =，4b =时取等号，此时ab 取最小值8，所以Lga lgb lgab =+=取得最小值832lg lg =，D 正确；因为222a b ab + （当且仅当a b =时取等号），8ab （当且仅当2a =，4b =时取等号），所以2216a b +>，B 错误；212112a b =+++=，当且仅当1212a b ==，即2a =，4b =时取等号，此+取得最大值C 正确．故选：ACD ．23．设正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的是()A ．11a b+有最小值4B 12C D ．22a b +有最小值12【解答】解：因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以11224a b a b b a a b a b a b +++=+=+++= ，当且仅当a b b a =且1a b +=，即12a b ==时取等号，a b +取得最小值4，A 正确，122a b +=，当且仅当12a b ==12，B 正确，212a b +=+++，当且仅当12a b ==+取的最大值C 正确，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=--⨯= ，当且仅当12a b ==时取等号，22a b +取得最小值12．D 正确，故选：ABCD ．24．设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是()A ．11m n+上的最小值为2B ．mn 的最大值为1C 的最大值为4D ．22m n +的最小值为54【解答】解：因为正实数m ，n 满足2m n +=，所以1111((2)222m n m n n m m n m n m n +++=+=++ ，当且1n =时取等号，A 正确；2(12m n mn += ，当且仅当1m n ==时取等号，B 正确；2224mn =+ ，当且仅当1m n ==时取等号，22 ，C 错误；222()2422m n m n mn mn +=+-=- ，当且仅当1m n ==时取等号，D 错误．故选：AB ．25．如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x ，宽为y ．（1）若菜园面积为72，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求12x y+的最小值．【解答】解：（1）由题意知：72xy =，篱笆总长为2x y +．又224x y += ，当且仅当2x y =，即12x =，6y =时等号成立．∴当12x =，6y =时，可使所用篱笆总长最小；（2）由题意得：230x y +=，又1222()(2)559y x x y x y x y ++=+++ ，∴12310x y + ，当且仅当x y =，即10x =，10y =时等号成立．∴12x y+的最小值是310．26．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600y υυυυ=>++．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解答】解：（1）依题意，2920920920160031600833()y v vυυυ==++++ ，当且仅当1600v v=，即40v =时，上式等号成立，92083max y ∴=（千辆/时）．当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时；（2）由条件得29201031600υυυ>++，整理得28916000v v -+<，即(25)(64)0v v --<，解得2564v <<，所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25/km h 且小于64/km h ．27．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出*()x x N ∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310(500xa -万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【解答】解：（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯ ，即25000x x - ，又0x >，所以0500x < ．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310(500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则310()10(1000)(10.2%)500xa x x x --+ 所以223110002500500x ax x x x -+-- ，所以221000500x ax x ++ ，即210001500x a x ++ 恒成立，因为210004500x x += ，当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立．所以5a ，又0a >，所以05a < ，即a 的取值范围为(0，5]．28．2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界VR （虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR 特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR 设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x 年后设备的盈利额为y 万元．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．【解答】解：（1）依题得：2*(1)180[224]4502160450()2x x y x x x x x N -=-+⨯-=-+-∈.（2）4504502160160(2)160100y x x x x x =-+-=-+-= ，当且仅当4502x x=时，即15x =时等号成立．∴使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元．。

基本不等式及其应用习题及解析基本不等式及其应用一、选择题（共15小题）1.已知$x,XXX{R}$，$x+y+xy=315$，则$x+y-xy$的最小值是（）A。

35B。

105C。

140D。

2102.设正实数$x,y$满足$x>1,y>1$，不等式$\frac{x}{y-1}+\frac{y}{x-1}\geq 4$的最小值为（）A。

2B。

4C。

8D。

163.已知$a>0,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$，当且仅当（）A。

$a=b$B。

$a=b=1$XXX 1$D。

$a\neq b$4.已知$x,y$都是非负实数，且$x+y=2$，则$xy$的最大值为（）A。

0B。

$\frac{1}{4}$C。

$\frac{1}{2}$D。

15.已知$x,y,z$为正实数，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$的最大值为（）A。

3B。

4C。

5D。

66.若$a,b\in\mathbb{R},ab\neq 0$，且$a+b=1$，则下列不等式中，XXX成立的是（）A。

$ab\leq \frac{1}{4}$XXX{1}{4}$XXX{1}{8}$D。

$ab\geq \frac{1}{8}$7.设向量$\vec{OA}=(1,-2),\vec{OB}=(a,-1),\vec{OC}=(-b,2)$，其中$O$为坐标原点，$a>0,b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$的最小值为（）A。

4B。

6C。

8D。

98.若$x>0,y>0,x+y=1$，则$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$的最小值为（）A。

2B。

3C。

4D。

59.在下列函数中，最小值是2的是（）A。

$y=x^2+1$B。

$y=2-x^2$C。

基本不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021江苏南京高一期末)设实数x 满足x>0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为( )A.4√3-1B.4√3+2C.4√2+1D.6x>0,∴x+1>0,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥2√3(x +1)·4x+1-1=4√3-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=2√33-1>0时,等号成立,∴函数y=2+3x+4x+1的最小值为4√3-1.故选A .2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a +1b 的最大值为( ) A.-1 B .-32C .-4D .-2解析a<0,b<0,a+b=-2,∴1a+1b=-121a +1b(a+b )=-122+b a +a b≤-122+2√b a ·a b=-2,当且仅当a=b=-1时,等号成立,故y=1a+1b 的最大值为-2,故选D .3.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a 2+b 2=1,则( ) A.a+b ≤√2 B.a+b ≤12C.a+b>√2D.1a 2+1b2≥4(a+b )2=a 2+b 2+2ab=1+2ab ≤1+(a 2+b 2)=2(当且仅当a=b 时,等号成立),又a>0,b>0,则a+b ≤√2,故A 正确;1a 2+1b2=a 2+b 2a 2+a 2+b2b2=1+b 2a 2+a 2b2+1≥2+2√a 2b2·b2a 2=2+2=4,当且仅当b2a2=a 2b2,即a=b 时,等号成立,故D 正确.故选AD .4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v 2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h .解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v 2800v =v 16 h,最后一辆车驶完全程共需要400v h,所以一共需要400v +v16h,由基本不等式,得400v +v 16≥2√400v ·v16=10,故最少需要10 h .5.已知a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为 .a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab=1b +2a =13(2a+b )2a +1b=135+2b a +2a b ≥13(5+4)=3,当且仅当2ba =2ab 且2a+b=3,即a=b=1时,a+2bab 取得最小值3. 6.已知正数a ,b ,x ,y 满足a+b=10,ax +by =1,x+y 的最小值为18,求a ,b 的值.(x+y )(ax +by )=a+bxy +ayx +b=10+bxy +ayx . 因为x ,y>0,a ,b>0,所以x+y ≥10+2√ab =18,即√ab =4. 当且仅当bx y =ayx时,等号成立. 又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.7.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x 2360升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.设所用时间为t=130x 小时,则y=130x ×6×(2+x 2360)+14×130x ,50≤x ≤100.所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=3 380x +136x ,50≤x ≤100. (2)y=3 380x +136x ≥263√390, 当且仅当3 380x =136x ,即x=2√390时,等号成立.又2√390<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=3 38050+136×50=2 63915(元).等级考提升练8.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m 恒成立,则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8 D.7解析2a +1b =2a +1b (2a+b )=5+2ba +2ab ≥5+2√2b a ·2ab =9,当且仅当2ba =2ab ,即a=b=13时,等号成立.所以2a +1b的最小值为9,又因为2a +1b ≥m 恒成立,所以m ≤9,即m 的最大值为9.9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a ,b 满足a+b=1,则4a1-a +b1-b 的最小值是( ) A.1 B .2 C .4 D .8a ,b 满足a+b=1,则4a1-a +b1-b =4ab +ba ≥2√4ab ·ba =4, 当且仅当4ab =ba ,即b=2a=23时,等号成立. 故4a1-a +b 1-b 的最小值是4, 故选C .10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是( ) A.14 B .12C .1D .2x ,y ,则x>0,y>0,且x+y=1, 由基本不等式可得x 2+y 2≥2xy ,所以2(x 2+y 2)≥x 2+y 2+2xy=(x+y )2=1,所以x 2+y 2≥12,当且仅当x=y=12时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和x 2+y 2的最小值为12.故选B .11.(多选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a>0,b>0.若4a+b=1,则( ) A.14a +1b 的最小值为9 B .1a +1b 的最小值为9 C .(4a+1)(b+1)的最大值为94 D .(a+1)(b+1)的最大值为94,14a +1b =(14a +1b )(4a+b )=2+b4a +4ab ≥2+2√b4a ·4ab =4,当b4a =4ab ,即b=4a 且4a+b=1时,等号成立,故14a +1b 的最小值是4,故A 不正确;1a +1b=(1a +1b )(4a+b )=5+b a +4a b ≥5+2√b a ·4a b =9,当b a =4a b ,即b=2a 且4a+b=1时,等号成立,1a +1b的最小值为9,故B 正确;(4a+1)(b+1)≤[(4a+1)+(b+1)2]2=94,当4a+1=b+1,即b=4a=12时,等号成立,故C 正确;(a+1)(b+1)=14[(4a+4)(b+1)]≤14[(4a+4)+(b+1)2]2=94,当且仅当4a+4=b+1时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时,等号成立,但a>0,所以等号不能成立,故D 不正确.故选BC . 12.设函数y=x+ax (a>0).(1)若a=1,求当x>0时,函数y 的最小值为 ;(2)当x>2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a 的值为 .(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)当a=1时,由基本不等式得x+1x≥2√x ·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+ax ≥2√x ·ax =2√a ,当且仅当x=ax ,x=√a 时等号成立,故√a >2,即a>4.填a>4的任意一个a 都符合题意.13.对任意m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,则实数a 的最大值为 .√2m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,∴m 2+2n 2≥amn , 即a ≤m 2+2n 2mn=m n +2nm 恒成立.∵mn +2nm ≥2√m n ·2nm =2√2, ∴a ≤2√2,即最大值为2√2.14.经观测,某公路段在某时段内的车流量y (单位:千辆/时)与汽车的平均速度v (单位:千米/时)之间有如下关系:y=920vv 2+3v+1 600(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v 为 时车流量y 最大,最大车流量为 千辆/时(精确到0.01).11.08 y=920v v 2+3v+1 600=920v+1 600v +3≤2√v ·1 600v+3=92083≈11.08.当v=1 600v ,即v=40千米/时,车流量最大,最大值为11.08千辆/时.新情境创新练15.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a (1+x )x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a 的取值范围.设甲工程队的总造价为y 元,则y=3150×2x+400×12x+7 200=900x+16x+7 200(2≤x ≤6),900x+16x+7200≥900×2×√x ·16x +7 200=14 400.当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.(2)由题意可得,当2≤x ≤6时,900x+16x+7 200>900a (1+x )x恒成立,即(x+4)2x>a (1+x )x, ∴a<(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6,又x+1+9x+1+6≥2√(x +1)·9x+1+6=12, 当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立. ∴a 的取值范围为{a|0<a<12}.。

第3节 基本不等式及其应用基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是( ) A .lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B .sin x ＋1sin x ≥2(x ≠ π， ∈ ) C .x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＜1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x ≠ π， ∈ 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；显然选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，选项D 不正确. 答案 C2.若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A .[0，2]B .[－2，0]C .[－2，＋∞)D .(－∞，－2]解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ≤14，所以x ＋y ≤－2. 答案 D3.(2018·平顶山一模)若对于任意的x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，15解析 由x >0，得xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，则a ≥15，故选A. 答案 A4.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D .a 2＋b 2≥8解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立. 答案 D5.若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A .7B .8C .9D .10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号. 答案 C6.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C .2D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 C7.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B .2C .2 2D .4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C. 答案 C8.(2018·郑州质检)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是( ) A .[1，4] B .[2，＋∞) C .(2，4)D .(4，＋∞)解析 因为a ＋b ＋1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab ＝5，又a ，b ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＝51＋1ab≤51＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，解得1≤a ＋b ≤4，故选A. 答案 A 二、填空题9.正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 解得ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)10.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________.解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 答案 411.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a的取值范围是________. 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1 ≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42， 当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元. 解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝ 1x ( 1≠0)，y 2＝k 2x ( 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴ 1＝5， 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元. 答案 2 20能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2018·西安模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是( )A.6－24 B.6＋24C.6－22 D.6＋22解析由正弦定理，得a＋2b＝2c.所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－⎝⎛⎭⎪⎫a＋2b222ab＝3a2＋2b2－22ab8ab≥26ab－22ab8ab＝6－2 4.当且仅当3a2＝2b2，即3a＝2b时，等号成立.所以cos C的最小值为6－2 4.答案 A14.(2018·安徽江南十校联考)已知数列{a n}满足a n＋1＋a n＝(n＋1)·cos nπ2(n≥2，n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项和，若S2 017＋m＝1 010，且a1·m>0，则1a1＋1m的最小值为()A.2B. 2C.2 2D.2＋ 2解析由a n＋1＋a n＝(n＋1)·cosnπ2(n≥2，n∈N*)得，a3＋a2＝－3，a4＋a3＝0，a5＋a4＝5，a6＋a5＝0，a7＋a6＝－7，a8＋a7＝0，a9＋a8＝9，a10＋a9＝0，…，∴a2＋a3＋a4＋a5＝a6＋a7＋a8＋a9＝…＝a2 014＋a2 015＋a2 016＋a2 017＝2，∴S2 017＝504(a2＋a3＋a4＋a5)＋a1＝1 008＋a1，又S2 017＋m＝1 010，∴a1＋m＝2，∴1a1＋1m＝12(a1＋m)·⎝⎛⎭⎪⎫1a1＋1m＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋a1m＋ma1≥2，即1a1＋1m的最小值为2，故选A.答案 A15.(2018·潍坊调研)设x ，y满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数 ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________.解析 可行域如图所示，当直线abx ＋y ＝ (a >0，b >0)过点B (2，3)时， 取最大值2ab ＋3. 于是有2ab ＋3＝35，ab ＝16.所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以(a ＋b )min ＝8. 答案 816.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 因为a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16.由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，又x 2－4x －2＝(x －2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 答案 [6，＋∞)。

基本不等式与不等式的综合应用专题检测1.(2024山东师大附中第一次月考,12)下列不等式肯定成立的是( ) A.lg (x 2+14)>lg x (x >0) B.sin x +1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z) C.x 2+1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2+1>1(x ∈R)答案 C 本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于A,由于x 2+14≥2√x 2·14=x ,当且仅当x =12时,取“=”,故A 不正确;对于B,当x ∈(π,2π)时,sin x <0,sin x +1sin x ≤-2,故B 不正确;对于C,x 2+1-2|x |=(|x |-1)2≥0恒成立,故C 正确; 对于D,当x =0时,1x 2+1=1,故D 不正确.2.(2024西南四省八校9月联考,12)若x >0,y >0,x +2y =1,则xx2x +x 的最大值为 ( ) A.14 B.15 C.19 D.112 答案 C xx 2x +x =12x +1x,∵x >0,y >0,x +2y =1,∴1x +2x =(1x +2x )·1=(1x +2x )(x +2y )=5+2x x +2xx≥5+2√2x x ·2x x =5+4=9,当且仅当{2x x =2xx ,x +2x =1,即x =y =13时,取“=”,∴12x +1x≤19,故xx 2x +x的最大值为19,选C . 3.(2024山东青岛期初调研,8)函数f (x )=x 2+x +2x +4x 2(x >0)的最小值为 ( )A.4+2√2B.4√2C.8D.√2+2 答案 A ∵x >0,∴f (x )=x 2+x +2x +4x 2=x 2+4x 2+x +2x ≥2√x 2·4x 2+2√x ·2x =4+2√2,当且仅当{x 2=4x 2,x =2x ,即x =√2时取“=”,∴f (x )min =4+2√2,故选A .4.(2024福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a >0,b >0,1x +1+1x +1=1,则a +2b 的最小值是( )A.3√2B.2√2C.3D.2答案 B ∵a >0,b >0,∴a +1>1,b +1>1,又∵1x +1+1x +1=1,∴a +2b =[(a +1)+2(b +1)]-3=[(a +1)+2(b +1)]·(1x +1+1x +1)-3=1+2(x +1)x +1+x +1x +1+2-3≥2√2(x +1)x +1·x +1x +1=2√2,当且仅当2(x +1)x +1=x +1x +1时取“=”,故选B .5.(2024河北大名一中月考)已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2),则x 1+x 2+xx1x 2的最大值是 ( )A.√63B.2√33C.4√33D.-4√33答案 D 由题意知x 1,x 2是方程x 2-4ax +3a 2=0的两根. 由根与系数的关系得x 1x 2=3a 2,x 1+x 2=4a ,∴x 1+x 2+x x 1x 2=4a +13x ,∵a <0,∴-(4x +13x )≥2√4x ·13x=4√33,即4a +13x≤-4√33,当且仅当4a =13x,即a =-√36时,取“=”,故x 1+x 2+x x1x 2的最大值为-4√33.故选D.6.(2024晋冀鲁豫名校期末联考,10)已知函数f (x )=x 2e x,若a >0,b >0,p =f (x 2+x 22),q =f ((x +x 2)2),r =f (ab ),则( )A.q ≤r ≤pB.q ≤p ≤rC.r ≤p ≤qD.r ≤q ≤p 答案 D 因为x 2+x 22-(x +x 2)2=2x 2+2x 24-x 2+x 2+2xx 4=(x -x )24≥0,所以x 2+x 22≥(x +x 2)2,又x +x 2≥√xx (a >0,b >0),所以(x +x 2)2≥ab.易得函数f (x )=x 2e x在(0,+∞)上单调递增,所以f (ab )≤f ((x +x 2)2)≤f (x 2+x 22),即r ≤q ≤p.7.(2024河南濮阳其次次检测,9)已知a >2,b >2,则x 2x -2+x 2x -2的最小值为 ()A.2B.4C.6D.16答案 D 因为a >2,b >2,所以a -2>0,b -2>0. 令x =b -2,y =a -2,则x >0,y >0. 原式=(x +2)2x+(x +2)2x≥2√(x +2)2x·(x +2)2x =2√[xx +2(x +x )+4]2xx≥2√(xx +4√xx +4)2xx =2√(√xx +√xx)2=2√(√xx √xx4)2≥2√(2√√xx ·√xx+4)2=16.当且仅当x =y =2时取等号.故选D .思路分析 利用换元思想,设x =b -2,y =a -2,则x >0,y >0,将原式化为(x +2)2x+(x +2)2x,两次运用基本不等式求解.8.(2024新疆昌吉教化共同体联考,9)在1和17之间插入(n -2)个数,使这n 个数成等差数列,若这(n -2)个数中第一个为a ,第(n -2)个为b ,当1x +25x 取最小值时,n 的值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9答案 D 由已知得a +b =18,则1x +25x =(1x +25x )×x +x 18=118(1+25+x x +25xx)≥118×(26+10)=2,当且仅当b =5a 时取等号,此时a =3,b =15,可得n =9.故选D.9.(2024辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f (x )=2x -12x +1+x +sin x ,若正实数a ,b 满意f (4a )+f (b -9)=0,则1x +1x 的最小值是 ( )A.1B.92 C.9 D.18答案 A 因为f (x )=2x -12x +1+x +sin x ,所以f (-x )=2-x -12-x +1-x -sin x =-(2x -12x +1+x +sin x )=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,易知f (x )单调递增,又正实数a ,b 满意f (4a )+f (b -9)=0,所以4a +b -9=0,所以1x +1x =19(1x +1x )(4a +b )=194+x x +4x x +1=19(5+x x +4xx)≥19×(5+2√4)=1,当且仅当x x =4xx,即b =2a =3时,取等号.故选A .10.(2024黑龙江道里检测,10)设a ,b ,c ,d 均为大于零的实数,且abcd =1,令m =a (b +c +d )+b (c +d )+cd ,则a 2+b 2+m 的最小值为( )A.8B.4+2√3C.5+2√3D.4√3 答案 B ∵a ,b ,c ,d 均大于零且abcd =1,m =a (b +c +d )+b (c +d )+cd ,∴a 2+b 2+m =a 2+b 2+(a +b )(c +d )+ab +cd ≥2ab +2√xx ·2√xx +ab +cd =4+3ab +cd ≥4+2√3xxxx =4+2√3,当且仅当a =b ,c =d ,3ab =cd ,即a =b =(13)14,c =d =314时取等号,∴a 2+b 2+m 的最小值为4+2√3.故选B . 11.(多选题)(2024山东烟台期中,11)下列结论正确的是 ( )A.若a >b >0,c <d <0,则肯定有x x >xx B.若x >y >0,且xy =1,则x +1x >x2x >log 2(x +y ) C.设{a n }是等差数列,若a 2>a 1>0,则a 2>√x 1x 3D.若x ∈[0,+∞),则ln(1+x )≥x -18x 2答案 AC 对于A,∵c <d <0,∴-c >-d >0,∴-1x >-1x >0, 又∵a >b >0,∴-x x >-x x >0,∴x x >xx ,故A 正确;对于B,∵x >y >0,且xy =1,∴可取x =2,y =12,此时x +1x =4,x2x =124=18,log 2(x +y )=log 252>log 22=1,故不满意x +1x >x2x >log 2(x +y ),故B 不正确;对于C,∵{a n }是等差数列,∴a 2=x 1+x 32.又∵a 3-a 2=a 2-a 1>0,∴a 3>a 2>a 1>0,∴x 1+x 32>√x 1x 3,即a 2>√x 1x 3,故C 正确;对于D,令f (x )=ln(1+x )-x +18x 2,x ≥0,则f'(x )=11+x -1+14x =1-(1+x )+14x (1+x )1+x=14x 2-34x 1+x=x 2-3x4(1+x ),x >0,令f'(x )>0,可得x >3,令f'(x )<0,可得0<x <3,因此函数f (x )=ln(1+x )-x +18x 2在[0,3)上为减函数,在[3,+∞)上为增函数, ∵f (0)=ln1-0+0=0,∴当x ∈(0,3]时,f (x )<0恒成立,故当x ∈[0,+∞)时,ln(1+x )≥x -18x 2不恒成立,故D 不正确,故选AC .12.(2024湖北黄冈元月调研,15)若关于x 的不等式x +4x -x ≥5在x ∈(a ,+∞)上恒成立,则实数a 的最小值为 . 答案 1解析 关于x 的不等式x +4x -x ≥5在x ∈(a ,+∞)上恒成立,即x -a +4x -x ≥5-a 在x ∈(a ,+∞)上恒成立,由x >a 可得x -a >0,则x -a +4x -x ≥2√(x -x )·4x -x =4,当且仅当x -a =2,即x =a +2时,上式取得最小值4,则5-a ≤4,可得a ≥1,故a 的最小值为1. 13.(2024上海复旦高校附中9月综合练,8)已知x 2+2x +2x ≤4x 2-x+1对于随意的x ∈(1,+∞)恒成立,则a 的取值范围是 . 答案 [-3,1] 解析 由已知x 2+2x +2x ≤4x 2-x+1对于随意的x ∈(1,+∞)恒成立可知,a 2+2a +2≤4x -1+x 对于随意的x ∈(1,+∞)恒成立,令g (x )=4x -1+x ,x >1,则g (x )=4x -1+x -1+1≥2√4x -1·(x -1)+1=5,当且仅当x =3时取“=”,∴a 2+2a +2≤g (x )min =5,∴a 2+2a -3≤0,∴-3≤a ≤1,故答案为[-3,1].14.(2024安徽黄山八校联考,16)不等式(a cos 2x -3)sin x ≥-3对随意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-32,12]解析 令g (x )=(a cos 2x -3)sin x ,sin x =t ,-1≤t ≤1,则原函数化为g (t )=(-at 2+a -3)t ,即g (t )=-at 3+(a -3)t ,由-at 3+(a -3)t ≥-3整理得(t -1)[-at (t +1)-3]≥0,由t -1≤0知,-at (t +1)-3≤0,即a (t 2+t )≥-3,当t =0,-1时该不等式恒成立,当0<t ≤1时,0<t 2+t ≤2,a ≥(-3x 2+x )max=-32;当-1<t <0时,-14≤t 2+t <0,a ≤(-3x 2+x)min=12,从而可知-32≤a ≤12.。

专题2.2 基本不等式及其应用1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（ ） AB C D ．最小值是3【答案】B 【解析】 由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=， =≤3a c =. 故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案. 【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤， 练基础反过来，若16ab ≤，则2ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号， 所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2ab a b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件， 故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+ ，则ABC 的三个内角大小为（ ） A ．60A B C === B ．90,45A B C === C ．120,30A B C === D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C ==. 【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）. 而ABC 的面积是1sin 2S bc A =, 所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ， 因为A 为三角形内角，所以90A =︒. 又因为b=c ，所以90,45A B C ===. 故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（ ）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩， 因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤， 因此xy 的最小值是1-， 故选：D5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。

《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地.1. 若a∈R，下列不等式恒成立地是（）A．21a a+>B．2111a <+C．296a a+>D．2lg(1)lg|2|a a+>2. 若0a b<<且1a b+=，则下列四个数中最大地是（）Ａ．12Ｂ．22a b+Ｃ．2abＤ．a3. 设x >0，则133y x x=--地最大值为（ ）Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33xyx y x y ∈+=+R 且则地最小值是( )A. 10B. 63C.46D. 1835. 若x ， y 是正数，且141x y+=，则xy 有（ ）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a ， b ， c ∈R ，且ab +bc +ca =1， 则下列不等式成立地是 （ ）A ．2222ab c ++≥ B ．2()3a b c ++≥C ．11123a b c++≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0， y >0，且x +y ≤4，则下列不等式中恒成立地是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y+≥ C ．2xy ≥D ．11xy ≥8. a ，b 是正数，则2,,2a b ab ab a b++三个数地大小顺序是（ ）Ａ．22a bab ab a b+≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22aba b ab a b+≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+9. 某产品地产量第一年地增长率为p ，第二年地增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p qx +≤Ｄ．2p q x +≥10. 下列函数中，最小值为4地是（ ）Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x=+(0)x π<<Ｃ．e 4e x xy -=+Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题， 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确地答案写在题中横线上. 11. 函数21y x =-地最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3， 深为2m 地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径地最大值是 .14. 若x，y为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++地值恒为正，对吗？答 .三、解答题，本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要地文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b+=+=>，求mx+ny地最大值.16. 设a，b，c(0,),∈+∞且a+b+c=1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c---≥17. 已知正数a，b满足a+b=1（1）求ab地取值范围;（2）求1abab+地最小值.18. 是否存在常数c，使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x ， y 恒成立？试证明你地结论.专题五《基本不等式》综合检测 一、选择题二．填空题11. 12 14.对三、解答题 15．16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦ (2)17418．存在，2c3。

不等式（7）基本不等式及其应用A1、设(0)a b c ∈∞，，－，，则1a b +，1b c +，1c a+( ) A.都不大于－2 B.都不小于－2C.至少有一个不小于－2D.至少有一个不大于－22、已知0,1a b a b <<+=,则下列四个数中最大的是( ) A.12 B.22a b + C.2ab D.b3、已知0,0,2a b a b >>+=,则14y a b =+的最小值是( ) A.72 B.4 C.92D.5 4、若0a b >>，则下面不等式中成立的是()A.2a b a b +>>>2a b a b +>>>C.2a b a b +>>>2a b a b +>>> 5、若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是()A.112ab >B.111a b +≤2≥ D.22118a b ≤+ 6、已知不等式()11x y a x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则实数a 的最大值为() A.2 B.4 C.2 D.167、已知0a ≥，0b ≥满足2a b +=，则( ) A.12ab ≥ B.12ab ≤ C.222a b +≥ D.224a b +≤ 8、若对0,0x y >>有21(2)()x y m x y++≥恒成立，则m 的取值X 围是（ ） A.8m > B. 8m ≤ C.0m < D. 4m ≤9、已知1(0,)4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是() A ．14B ．16C ．18D ．11010、已知正项等比数列{}*(N )n a n ∈满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a 使得14m n a a a =，则15m n +的最小值为() A.2 B.513+C.74D.114 11、已知0,0,2520,x y x y >>+=则xy 的最大值为__________.12、已知0m >,0n >,且4m n +=,则mn 的最大值是________.13、在ABC △中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,边BC 上的高为36a ，则bc c b +的最大值为____________.14、在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为__________m .15、设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=.证明：2221a b c b c a++≥.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：2答案及解析：答案：D解析：3答案及解析：答案：C解析：4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：D解析：6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：B解析：对0,0x y >>有21(2)()x y m x y++≥恒成立min 21[(2)()]x y m x y⇔++≥．∵0,0x y >>，∴214(2)()448y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当20x y =>时取等号．∴8m ≤．9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：10解析：12答案及解析：答案：4解析：13答案及解析：答案：4解析：14答案及解析：答案：20解析：设矩形花园的宽为y m , 则404040x y -=, 所以40x y +=, 所以面积24002x y S xy +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭, 当且仅当20x y ==时等号成立,即当20x =时面积最大.15答案及解析： 答案：因为2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥， 故222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++， 即222a b c a b c b c a++≥++. 所以2221a b c b c a++≥. 解析：。

人教A 版必修一基本不等式同步练习卷一 单选题1．函数y ＝2x （2﹣x ）（其中0＜x ＜2）的最大值是（ ）A ．41 B ．21C ．1D ．2 2．已知a ＞0，b ＞0，且2a+b ＝4，则ab1的最小值为（ ）A ．41 B ．21 C ．2D ．43．已知实数x 、y 满足x ＞0、y ＞0，且x 2+y1=1，则x+2y 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．若正数x ，y 满足x+3y ＝5xy ，则4x+3y 的最小值为（ ）A ．524B ．527 C ．5 D ．65．若正实数x ，y 满足x+y ＝1，则1x 4++y1的最小值为（ ）A ．744B ．527C ．314D ．296．若a ＞0，b ＞0，且1a 1++2b a 1+=1，则2a+b 的最小值为（ ）A ．2B ．25C ．4+32D ．21+37．若正数a ，b 满足：a 1+b 2=1，则1-a 2+2-b 1的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．18．已知x ＞0，y ＞0，x+2y+2xy ＝8，则x+2y 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．29D ．2119．若两个正实数x ，y 满足x 1+y 4=1，且不等式x+4y＜m 2﹣3m 有解，则实数m 的取值范围（ ）A ．（﹣1，4）B ．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C ．（﹣4，1）D ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）10．若正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，则3x+y 的最小值是（ ）A ．4B ．22C ．2D ．24 二 多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．x+x 1(x ＞0)的最小值是2B ．2x 2x 22++的最小值是2C ．4x 5x 22++的最小值是2 D ．2-3x-x4的最大值是2-34 12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A ．2ba +≥ab （a ＞0，b ＞0） B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0） C ．ab ≥b1a 12+（a ＞0，b ＞0） D ．2b a 22+≥2ba +（a ≥0，b ＞0）13．若a ＞0，b ＞0，a+b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的 a ，b 恒成立的是（ ）A ．ab ≤1B ．a +b ≤2C ．a 2+b 2≥2D ．a 1+b1≥214．若正实数a ，b 满足a+b ＝1，则下列说法正确的是（ ）A ．a 1+b 1有最小值2B ．a 2+b 2有最大值21C ．ab 有最大值41D ．a +b 有最大值15．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似表示为：y ＝21x 2﹣200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是（ ）A ．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B ．该单位每月最低可获利20000元C ．该单位每月不获利也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损 16．下列说法中正确的有（ ）A ．不等式a+b ≥ab 2恒成立B ．存在a ，使得不等式a+a1≤2成立C ．若a ，b ∈（0，+∞），则a b +b a ≥2D ．若正实数x ，y 满足x+2y ＝1，则x 2+y1≥8三 填空题17．已知实数x ＞0，y ＞0，且x 4+y1=2，则xy 的最小值为 ，x+y 的最小值为 ．18．若正数a ，b 满足ab ＝2a+2b+5，则ab 的最小值是 ，a+b 的最小值是 ．19．已知m ＞0，n ＞0，且2m 1++2n 1+=31，则m+2n 的最小值为 ．20．已知a ，b ，c 为正数，则acbc ab c b a 222++++的最小值为 ．21．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于 ．22．已知实数m ＞0，n ＞0，且满足2m+n ＝2，则m 1+n8的最小值是 ．四 解答题 23．（1）证明：5-10＞3-8（2）已知a ，b ，c ∈R+，且a+b+c ＝1，求证：(a 1-1)( b 1-1)( c1-1)≥8．24．（1）已知a ，b ，c ＞0，求证：b a 2+cb 2+ac 2≥a+b+c ；（2）已知a ＞0，b ＞0，a+b ＝1，求证：a 1+b 1+c1≥8．25．（1）设0＜x ＜2，求函数y ＝）（x 38x 3-•的最大值．（2）x ＞﹣1，求函数y=1x )2)(5(+++x x 的最小值；26．已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x （x ≥40）万部且并全部销售完，每万部的收入为R （x ）万元，且R(x)= x 74000-2x400000．（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万部的函数关系式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．27．为了美化校园环境，学校打算在广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园，中间有三个完全一样的矩形花坛，每个花坛面积均为294平方米，花坛四周的过道均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x ，宽为y ，整个矩形花园面积为S ．（1）试用x ，y 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地多少平米？人教A版必修一基本不等式同步练习卷参考答案与解析1.分析:方法一：由y＝2x（2﹣x），可求函数的最大值；方法二：由y＝2x（2﹣x）＝﹣2x2+4x，结合二次函数的性质可求．解：方法一：∵0＜x＜2，∴y＝2x（2﹣x）＝2，当且仅当x＝2﹣x即x＝1时取等号，函数的最大值是2．方法二：∵0＜x＜2，∴y＝2x（2﹣x）＝﹣2（x2-2x+1）+2＝﹣2（x﹣1）2+2，根据二次函数的性质可知，当x＝1时函数取得最大值2．故选D．2.分析：由4＝2a+b可求ab的范围，进而可求的最小值解：∵a＞0，b＞0，且4＝2a+b，∴0＜ab≤2，∴，∴的最小值为.故应选B．3.分析:直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．解：∵x＞0，y＞0，且，∴，当且仅当时等号成立．故选D．4.分析:将条件x+3y＝5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值解：由x+3y＝5xy得＝+＝1，∴4x+3y＝（4x+3y）（+）＝+++≥+2＝+＝，当且仅当＝时取等号．故4x+3y的最小值是，故应选B．5.分析:将x+y＝1变成x+1+y＝2，将原式+＝•（+）＝（1+4++）后，用基本不等式可得．解：∵x＞0，y＞0，x+y＝1，∴x+1+y＝2，+＝•（+）＝（1+4++）≥（5+2）＝（当且仅当x＝，y＝取等号），故选D．6.分析:可设m＝a+1，n＝a+2b，即有+＝1，则a＝m﹣1，b＝（n﹣a）＝（n﹣m+1），可得2a+b＝（3m+n﹣3），由3m+n＝（3m+n）（+）＝4++，运用基本不等式可得所求最小值，注意等号成立的条件．解：a＞0，b＞0，且，设m＝a+1，n＝a+2b，即有+＝1，则a＝m﹣1，b＝（n﹣a）＝（n﹣m+1），可得2a+b＝2m﹣2+（n﹣m+1）＝（3m+n﹣3），由3m+n＝（3m+n）（+）＝4++≥4+2＝4+2，当且仅当n＝m＝+1时，上式取得等号．则（3m+n﹣3）≥（1+2）＝+．则2a+b的最小值为+．故选D．7.分析:由题意可得b＝且a﹣1＞0，代入消元并化简可得＝+，由基本不等式可得．解：∵正数a，b满足，∴b＝，由b＝＞0可得a﹣1＞0，∴＝+＝+＝+≥2＝2，当且仅当＝即a＝b＝3时取等号.故选：A．8.分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0，即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4，故选B．＜m2﹣3m，利用“1”的代换的9.分析：将不等式有解，转化为求∴（x+）min思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．解：∵不等式有解，∴（x+）＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+min＝（x+）（）＝+2＝4，当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，∴（x+）＝4，故m2﹣3m＞4，即（m+1）（m﹣4）＞0，解得m＜﹣1或m＞4，∴实min数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选B．10.分析：由x2+xy﹣2＝0二元换一元，表示出3x+y＝2x+≥4，利用基本不等式求出最小值即可．解：因为x2+xy﹣2＝0，所以＝，所以3x+y＝3x+＝2x+≥4，当且仅当x＝1时等号成立，故选A．11.分析：由已知结合基本不等式，检验各选项的成立条件是否成立即可判断．解：由基本不等式可知，x＞0时，x+≥2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，故A正确；B：＝，当x＝0时取得等号，故B正确；C：＝，令t＝，则t≥2，因为在[2，+∞）上单调递增，当t＝2时，取得最小值，故C 错误；D：在x＜0时，没有最大值，故D错误．故选AB．12.分析：直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．解：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，由于：OD≥CD，所以：（a＞0，b ＞0）．由于CD2＝AC•CB＝ab，所以，所以由于CD≥DE，整理得：（a＞0，b＞0）．故选AC．13.分析：首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题B直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断．解：对于命题ab≤1：由，A正确；对于命题：令a＝1，b＝1时候不成立，B错误；对于命题a2+b2≥2：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2ab≥2，C正确；对于命题：，D正确．故选ACD．14.分析：由已知结合基本不等式及相应的结论分别检验各选项即可判断．解：因为正实数a，b满足a+b＝1，对于A，+＝+＝2++≥2+2＝4，当且仅当＝且a+b＝1即a＝b＝时取等号，故A错误；对于B，a2+b2≥（）2×2＝，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；对于C，ab≤（）2＝当且仅当a＝b＝时取等号，故C正确；对于D，（+）2＝a+b+2＝1+2≤1+a+b＝2，∴+，当且仅当a＝b＝时取等号，故D正确．故选CD．15.分析：由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y ＝﹣200x+80000，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；设该单位每月获利为S，则S＝100x﹣y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．解：由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：＝＝200元.当且仅当，即x＝400元时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．设该单位每月获利为S，则S＝100x﹣y＝100x ﹣（﹣200x+80000）＝（x﹣300）2﹣35000.因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S 有最大值﹣40000元．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．故选AD．16.分析：结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断．解：不等式恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；当a为负数时，不等式成立．故B正确；由基本不等式可知C正确；对于，当且仅当，即，时取等号，故D正确．故选BCD．17.分析：由题意利用基本不等式，得出结论．解：实数x＞0，y＞0，且≥2，则xy≥4，当且仅当x＝4，y＝2时，等号成立．x+y ＝（x+y）•（+）＝2+++≥+2＝，当且仅当 x＝2y时，等号成立，故答案为：4；．18.分析：由已知结合基本不等式即可直接求解．解：因为正数a，b满足ab＝2a+2b+5，解可得，≥5，解可得ab≥25，当且仅当a＝b时取等号，因为2a+2b+5＝ab，当且仅当a＝b时取等号，解可得，a+b ≥10，故答案为：25，1019.分析：先换元，令s＝m+2，t＝n+2，则＝，m+2n＝s+2t﹣6；再采用“乘1法”，求出s+2t的最小值即可得解．解：令s＝m+2，t＝n+2，则s＞2，t＞2，且＝，∴m+2n＝（s﹣2）+2（t﹣2）＝s+2t ﹣6，而s+2t＝3（s+2t）•（）＝3（1+++2）≥3×（3+2）＝3（3+），当且仅当＝，即s＝t时，等号成立．∴s+2t的最小值为3（3+），∴m+2n＝s+2t ﹣6≥3（3+）﹣6＝3+6．故答案为：3+6．20.分析：结合a2+b2+c2≥ab+ac+bc，即可直接求解．解：因为a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，当且仅当a＝b＝c时，上述三个不等式同时取得等号＝，故a2+b2+c2≥ab+ac+bc，所以≥1，当且仅当a＝b＝c时取等号．故答案为：1．21.分析：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由勾股定理可得a2+b2＝25，利用基本不等式的性质可得S＝ab≤（a2+b2）＝，即可得答案．解：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由题意知斜边长等于5，则a2+b2＝25，则有S＝ab≤（a2+b2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，故这个直角三角形的面积的最大值等于；故答案为．22.分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解：∵m＞0，n＞0，且满足2m+n＝2，则＝（2m+n）（）＝＝9，当且仅当且2m+n＝2即m＝，n＝，则的最小值是9．故答案为：923.分析:（1）利用（+）2＞（+）2，即可证明结论；（2）先利用“1”的代换，再利用基本不等式，即可得到结论．证明：（1）∵（+）2＞（+）2，∴+＞+，∴（2）∵a，b，c∈R+，且a+b+c＝1，∴左边＝＝8（a ＝b＝c时取等号），∴．24.分析:（1）由a，b，c＞0，可得a+≥2c，b+≥2a，c+≥2b，相加即可得证；（2）a＞0，b＞0，a+b＝1，可得a+b≥2，求得≥4，即可得证．证明：（1）由a，b，c＞0，可得：a+≥2c，b+≥2a，c+≥2b，相加可得（a+b+c）+（）≥2（a+b+c），即有≥a+b+c，当且仅当a＝b＝c取得等号；（2）a＞0，b＞0，a+b＝1，可得a+b≥2，即有0＜ab≤，即为≥4，即有++＝≥8，当且仅当a＝b＝时，取得等号．25. 分析:（1）根据题意，设t＝3x（8﹣3x），结合二次函数的性质分析可得当x＝时，t ＝3x（8﹣3x）有最大值16，进而分析可得y＝的最大值，即可得答案．（2）根据题意，函数的解析式变形可得y＝（x+1）++5，由基本不等式的性质分析可得答案. 解：（1）根据题意，设t＝3x（8﹣3x），0＜x＜2则t＝3x（8﹣3x）＝﹣9x2+24x，（0＜x＜2）.分析可得当x＝时，t＝3x（8﹣3x）有最大值16，则此时y＝有最大值＝4；故函数y＝的最大值为4．（2）根据题意，＝＝（x+1）++5，又由x＞﹣1，即x+1＞0，有（x+1）+≥2＝4，当且仅当x+1＝2时等号成立，则有y＝（x+1）++5≥9，故函数的最小值为9.26.分析:（1）当x≥100时，W＝xR（x）﹣（400+160x），化简即可求出；（2）利用基本不等式即可求出．解：（1）W＝xR（x）﹣（160x+400）＝x（﹣）﹣（160x+400）＝74000﹣﹣160x﹣400＝73600﹣﹣160x，（2）由（1）可得W＝73600﹣﹣160x≤73600﹣2＝73600﹣16000＝57600，当且仅当＝160x，即x＝50时取等号，所以当x＝50时，y取得最大值57600万元．27.分析:（1）整个矩形花园面积为S看成是一个矩形，其长为3y+8，宽x+4，由矩形的面积公式即得．（2）由（1），利用二元不等式a2+b2≥2ab，变两式的积为定值后，求整个矩形花园面积S最小值即可．解：（1）S＝（x+4）（3y+8）＝3xy+8x+12y+32．（2）由xy＝294得＝x∈（0，+∞）＝914+2×4×6×7＝1250.当且仅当，即x＝21时，等号成立．此时，矩形花园面积为1250平方米.。

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基本不等式(时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若a，b∈R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是( ）A．a2＋b2〉2ab B．a＋b≥2错误! C.错误!＋错误!>错误! D。

错误!＋错误!≥22．若a＞1，则a＋错误!的最小值是（)A．0 B．2 C.错误! D．33．若x＞0，f（x）＝错误!＋3x的最小值为( )A．12 B．－12 C．6 D．－64．函数y＝x错误!（0＜x＜2)的最大值是（)A。

14B。

错误! C．1 D．25．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件,则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ）A．60件 B．80件 C．100件 D．120件6．点（x，y）在直线x＋3y－2＝0上移动时，z＝3x＋27y＋3的最小值为( )A.错误! B．3＋2错误! C．6 D．97．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( ）A．x＝a＋b2B．x≤错误! C．x＞错误! D．x≥错误!8．已知正数a，b满足4a＋b＝30，使得错误!＋错误!取最小值的实数对（a，b）是（)A．（5,10) B．（6，6) C．（10，5） D．(7,2)9．不等式错误!≥9对任意正实数x，y恒成立,则正实数a的最小值为（) A．2 B．4 C．6 D．810．已知x>0,y〉0，且x＋y＝8,则(1＋x)(1＋y)的最大值为（）A．16 B．25 C．9 D．3611．若x，y是正数,则错误!错误!＋错误!错误!的最小值是（)A．2 B.错误! C．4 D。