基本不等式综合检测

高中数学基本不等式综合测试卷（附解析）差不多不等式的最大最小值问题随堂练习1、在下列函数中，最小值是的是且）2、已知正数满足，则的最小值为3、若，则的最大值。

4、设时，则函数的最小值。

三、解答题5、为迎接北京奥运会，北京市决定在首都国际机场粘贴一幅“福娃”宣传画，要求画面面积为，左、右各留米，上、下各留米，问如何样设计画面的长和宽才能使宣传画所用纸张面积最小？6、函数的值域7、若是正数，且，则有最值=8、已知，则的最小值是。

9、已知，求的最值及相应的的值。

10、正数、满足则的最小值是11、已知函数f(x)满足2f(x)－f( 1x ) = 1| x | ，则f(x)的最小值是12、函数若恒成立，则b的最小值为＿13、函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为14、已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是15、若的最大值是.16、已知、，且，则的最小值是17、若直线始终平分圆的周长，则的最小值是18、求使a (x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值19、若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为20、已知两正数x,y 满足x+y=1,则z= 的最小值为21、已知a0,求的最小值22、已知a，b，c为正实数，a+b+c=1求证(1)a2+b2+c2(2) 6参考答案1、2、3、4、5、解：设宣传画的长、宽分别为、米，则，设纸张面积为，则：由，即代入上式得，当且仅当，即时，。

因此宣传画的长为米，宽为米，所用纸张面积最小。

参考答案1、2、3、观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观看过程中指导。

基本不等式专题训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a,b∈ R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（）A. a + b≥slant2√(ab)B. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))C. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant2D. a^2+b^2>2ab解析：- 选项A：当a <0，b <0时，a + b≥slant2√(ab)不成立，因为a + b<0，2√(ab)>0。

- 选项B：当a <0，b <0时，(1)/(a)+(1)/(b)<0，(2)/(√(ab))>0，所以(1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))不成立。

- 选项C：因为ab>0，则(b)/(a)>0，(a)/(b)>0，根据基本不等式(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a = b时取等号，该式恒成立。

- 选项D：当a=b时，a^2+b^2=2ab，所以a^2+b^2>2ab不恒成立。

所以答案是C。

2. 已知x>0，y>0，且x + y=1，则(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为（）A. 2B. 2√(2)C. 4D. 2 + 2√(2)解析：因为x + y = 1，x>0，y>0，则(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。

根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}=2，当且仅当x=y=(1)/(2)时取等号。

所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，答案是C。

3. 设a>0，b>0，若√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(1)/(a)+(1)/(b)的最小值为（）A. 8B. 4C. 1D. (1)/(4)解析：因为√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(√(3))^2=3^a×3^b=3^a + b，所以a + b = 1。

第三章 不等式 基本知能检测（时间:120分钟 满分:１50分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共6０分,每小题有4个选项,其中有且仅有一个就是正确得,把正确得选项填在答题卡中）1.若错误!<错误!<0,则下列不等式:①ａ＋ｂ<ab ；②|a ｜>|b |;③a <b ;④＼f(ｂ,a ）+＼f(a,b )>2中正确得就是（ ）Ａ．①②B.②③ C ．①④ ﻩＤ．③④[答案] C［解析] 由错误!<错误!<0,得ｂ＜a <0,∴②③均不成立,a +ｂ<0,ab >0，∴①成立．而错误!+错误!-2＝错误!>０,∴ｂa +错误!>2,④成立.故选Ｃ、2.若ｍ＝(２a －１)（a +２），ｎ=(a ＋2)(ａ－３),则ｍ，ｎ得大小关系正确得就是( ）A ．m >n ﻩB ．m ≥nC.m ＜ｎＤ.m ≤ｎ [答案] B[解析] m ＝2a ２+3ａ-２,ｎ＝a 2－a －6,∴ｍ-ｎ=a ２+4a +４=(a ＋２）２≥０、∴m≥ｎ、3.若集合A＝{x｜ｘ2＋x－6<0},Ｂ={x|x+2x－3≤０},则A∩B等于()A．(-３,3) B.[-２，2)C.(-２,2）ﻩＤ.[-2,３)[答案] B[解析]Ａ={ｘ|－3<x<２}＝(-３,2),B=［－2,３),∴A∩B=[-2,２).4.不等式错误!≥0得解集为()Ａ.{ｘ|0≤x<2010或ｘ＞2 011}Ｂ．{x|０<ｘ<2 0１0或x>2 0１1｝C．{ｘ|x≤０或2010＜x<2 ０11｝D.｛x|x<0或2 01０<ｘ<2 011}[解答] A[解析]原不等式等价于错误!如图所示：用穿针引线法求得原不等式得解集为{x|0≤x＜２01０或x≥２011｝.5．不等式（x－2a)（x＋1)（ｘ－3)＜0得解集为(-∞，－１)∪(3,4),则a得值为（)Ａ.-4 Ｂ.-2Ｃ.4 ﻩD.2[答案] D［解析]当2a=4时,用穿针引线法易知不等式得解集满足题意，∴ａ＝２、６.(2013·新课标Ⅱ)已知a＞0,ｘ、ｙ满足约束条件错误!若z=2ｘ+y 得最小值为１,则a＝( )A、＼ｆ(1,4)B、错误!C.１ﻩD.２[答案] B[解析］本题考查了线性规划知识.作出线性约束条件错误!得可行域.因为y＝a（x-3)过定点(３,0）,故应如图所示,当过点C(１,－２ａ）时,z＝２x＋ｙ有最小值，∴2×1－２ａ=１,∴a＝错误!、7．有下列函数:①y＝x＋错误!(ｘ>0);②y＝x＋错误!＋1（x>1);③ｙ＝coｓｘ＋＼f(1，cｏｓx)(0<x<＼ｆ(π，2)）;④ｙ=ｌｎx＋错误!(x>0).其中最小值为4得函数有( )Ａ.4个 B.3个C.2个D.1个[答案]Ｃ［解析］对于①，ｙ=x＋错误!≥２错误!=4,当且仅当x=2时,取等号.对于②，y=x-1+错误!+2(x>1)≥２错误!＋2＝4,当且仅当x＝２时，取等号．对于③、④，最小值为4得条件不具备，故选Ｃ、８.设a＜-1,则关于x得不等式a(ｘ－a）(x-错误!)<0得解集为( )A.{x｜ｘ<a或x＞＼ｆ(1,ａ）}B.{x|x>a}C.{x｜x>a或x<错误!} ﻩD.｛x｜x<错误!}[答案］A[解析]原不等式可化为(x-a)(x-＼f(1,a）)>0,∵ａ<－1,错误!＞ａ，∴解为x>错误!或ｘ<a、9.已知a＞0,ｂ＞0,ａ+b＝2,则y＝错误!＋错误!得最小值就是（)Ａ、7２ﻩB．４Ｃ、错误!ﻩD.5[答案] C[解析]本题主要考查基本不等式在求最值中得应用.∵ａ+b＝2,∴错误!+错误!＝1,∴y＝错误!＋错误!=错误!错误!=错误!＋错误!＋b2a,∵a>0,ｂ>0，∴错误!＋错误!≥２错误!＝2,当且仅当错误!＝错误!，且ａ+ｂ＝2,即a=＼f(２,3）,b=＼f(4,3）时取得等号，∴y得最小值就是＼f(9,２),选Ｃ、10.已知O就是坐标原点，点A(-１,1),若点M(x,y)为平面区域错误!上得一个动点，则错误!·错误!得取值范围就是( )A.[－1,0]ﻩB.［0,１]C.[0，2]D．[-１,2]［答案] C［解析］ 本题主要考查向量得坐标运算与线性规划知识.错误!·错误!=(-1,1)·(x ，ｙ)＝y -x ,画出线性约束条件错误!表示得平面区域如图所示.可以瞧出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0,过点C (0，2)时有最大值２,则错误!·错误!得取值范围就是[0，２],故选C 、11．要使关于x 得方程x 2+(a ２-1)x ＋a -2＝0得一根比1大且另一根比1小,则a 得取值范围就是( )A.－1<a <1 ﻩＢ.a <－1或a >1C.-2＜ａ<1 ﻩＤ．a ＜－２或a ＞１[答案] C[解析］ 设f (x ）=ｘ2+(a 2-1）ｘ＋a -２,由题意知,f (１)=1＋a 2-1+a －2＝a 2＋a -２=（a －１)(a +2)<0,∴－2<a <1、１2.若直线y =ｋx ＋1与圆x 2＋y 2+kx +my -4=０交于M 、N 两点,且M 、N 关于直线 x -y ＝0对称,动点Ｐ(a ,b )在不等式组错误!,表示得平面区域内部及边界上运动,则ω＝错误!得取值范围就是( )Ａ.[2,＋∞) B.(－∞，-2]C.[-２,2] ﻩD.(-∞,－2]∪[２，+∞)［答案] D[解析］ 由题意分析直线ｙ=kx ＋１与直线x －y ＝0垂直,所以k＝－1,即直线y =-ｘ+１、又圆心C (－ｋ2，－m 2）在直线x -y =０上,可求得m ＝－1、则不等式组为错误!所表示得平面区域如图，ω=错误!得几何意义就是点Ｑ(1,2)与平面区域上点Ｐ(ａ,b)连线斜率得取值范围.kＯQ＝2,k AQ＝-2，故ω得取值范围为(－∞，-2]∪[2,+∞)．二、填空题(本大题共４个小题,每空4分,共１６分，把正确答案填在题中横线上)13.不等式2x２＋2x-４≤错误!得解集为＿__＿＿_______.[答案][-３，１]［解析]不等式2x2+２x－４≤＼f（１,2)化为２x2＋2x－4≤2－1,∴x2+2x-４≤-1,∴x2＋2x－3≤0,∴－３≤x≤１,∴原不等式得解集为[－3,1].14.函数f(x)=ｌg(x2－ax＋a）得定义域为实数集Ｒ,则实数ａ得取值范围就是____＿_＿_．［答案]０<a<4[解析]由题意得不等式x2-ａx+a＞0得解集为R、∴Δ=a2-４a＜0,解得0<a<4、１5.已知x、ｙ满足条件错误!,则ｚ=2x+5ｙ得最大值为___＿____.[答案]１9[解析] 可行域如图.当直线y ＝－２5x ＋错误!经过直线y =3与x +2y =8交点(2,3）时，z取最大值z max ＝19、１6．已知log 2a +log 2ｂ≥1,则3a +9ｂ得最小值为________．［答案] １8[解析] 本题考查利用均值不等式求最值得问题,解决此类问题得关键就是根据条件灵活变形,构造定值.∵log ２a ＋l ｏg 2b ≥1∴log 2a ｂ≥1,a ｂ≥２、∴a ·2b ≥４,∴a +2b ≥２＼r （ａ·2b )≥4(当且仅当a ＝２ｂ＝2时取“=”）3ａ+9b =３a ＋32b ≥2＼ｒ（３a ·３2b ）＝２3a +2b ≥2错误!＝18、(当且仅当a =2ｂ＝２时取“=”）三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分）若函数f (x )＝l ｇ(8+2x -x ２)得定义域为Ｍ,函数g (x )＝错误!得定义域为N ,求集合M ,N ,M ∩N 、［解析］ 由８＋2ｘ-x ２＞0,即x 2-2ｘ－8<0,∴（x -4)(ｘ+2)＜0，∴-２<x <４、∴Ｍ＝｛x |-2＜ｘ<4｝.由１－＼f （2,x －1)≥0,得错误!≥0,∴x ≥3或ｘ<1、∴N ={x |x <１或ｘ≥３}.∴M ∩Ｎ={x |-2＜x <１或3≤x <4}.１８.(本小题满分1２分）求函数ｙ＝错误!(ｘ≠－1）得值域.［解析] 由已知得ｙ=ｘ2-x ＋2x ＋1=错误!=（x ＋１)+错误!-3、(１)当x +１>0，即ｘ>－1时,y ＝（ｘ＋1）+错误!-3≥2错误!－3＝1,当且仅当x +1＝错误!,即x ＝１时,y min ＝1,此时y ≥1、(2)当x ＋1<0,即x <-1时，y ＝－[－(ｘ+1）+错误!]-3≤－2错误!－３=-7,当且仅当－(x ＋1）=＼f(4,-(x +1)),即x =－3时，y m ａx =-７,此时ｙ≤-７、综上所述,所求函数得值域为(－∞,－７]∪[１,+∞).19．(本小题满分12分）已知x >0,y ＞0,ｌg x +ｌg y ＝１,求错误!+错误!得最小值.[解析] 方法一:由已知条件l ｇx ＋ｌg y ＝1可得:x >0,ｙ>０,且x ｙ=1０、则错误!+错误!＝错误!≥错误!＝2,所以错误!min=2，当且仅当错误!,即错误!时等号成立.方法二：由已知条件lgｘ+ｌg y=1可得:x＞0，y>0,且xｙ＝10,＼f(2,ｘ)＋错误!≥2错误!＝2错误!＝２(当且仅当错误!，即错误!时取等号）.所以(错误!＋错误!)ｍin=2、20.(本小题满分1２分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得得盈利,而且要考虑可能出现得亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能得最大盈利率分别为10０%与50%,可能得最大亏损率分别为30%与１0%，投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能得资金亏损不超过1、８万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能得盈利最大?［解析]设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,由题意知错误!,目标函数z=x＋0、５y、上述不等式组表示得平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.作直线ｌ0:x＋0、5ｙ＝0，并作平行于直线l０得一组直线,x＋0、５ｙ＝z,z∈R、与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上得M点,且与直线x＋0、5y＝０得距离最大，这里M点就是直线ｘ＋ｙ=10与０、3x+０、1ｙ＝1、8得交点.解方程组错误!,得错误!、此时z＝1×４+0、5×6＝７(万元)．∴当错误!,时z取得最大值.答:投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1、８万元得前提下，使可能盈利最大.2１.(本小题满分1２分)已知不等式ax２-3x＋6>4得解集为{x|x＜１或x>ｂ},(1)求a,b得值;(2）解不等式＼f(ｘ2-1，ax-ｂ)>0、[解析] (1）由已知得:1,b就是方程aｘ2-3x＋６＝4得两根，∴ａ－3+6=4,∴a=1,∴方程x2-３ｘ＋2=0其两根为x１=1,ｘ2=2,∴b=2、(2）将ａ＝１，b=2代入不等式错误!＞０得,错误!＞0，可转化为：(x＋1)(x-1)(x-2）>0,如图,由“穿针引线”法可得原不等式得解集为{x｜-1<x<１或x>２}.22.（本小题满分14分)(２01２·揭阳高二检测)国际上钻石得重量计量单位为克拉.已知某种钻石得价值（美元)与其重量（克拉)得平方成正比，且一颗重为3克拉得该钻石得价值为54 0００美元.(1)写出钻石得价值y关于钻石重量x得函数关系式；(2）把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石得重量分别为ｍ克拉与n克拉,试证明:当m=ｎ时,价值损失得百分率最大.(注：价值损失得百分率=错误!×1００%；在切割过程中得重量损耗忽略不计[解析] (１)由题意可设价值与重量得关系式为：y＝kx2,∵3克拉得价值就是５４000美元，∴５4 0０0＝k·32,解得:ｋ=6 ０00,∴ｙ=6 000ｘ2,答:此钻石得价值与重量得函数关系式为y=6 ０0０ｘ2、(２）若两颗钻石得重量为ｍ、n克拉，则原有价值就是 6 ０00(m+n)2，现有价值就是６０00m2+6 000n２,价值损失得百分率＝错误!×１００％＝错误!×1０0%≤错误!=＼f(1,２),当且仅当m＝n时取等号.答：当ｍ＝n时,价值损失得百分率最大.。

专题2.4 基本不等式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2020秋•淄博期末）已知实数x ＞3，则4x +9x−3的最小值是（ ） A ．24B ．12C ．6D ．3【解题思路】4x +9x−3=4（x ﹣3）+9x−3+12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【解答过程】解：∵x ＞3，∴x ﹣3＞0， 4x +9x−3=4（x ﹣3）+9x−3+12≥12+2√4(x −3)×9x−3=24， 当且仅当4x ﹣12=9x−3时，取得最小值24． 故选：A ．2．（3分）（2021春•温州期末）设a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝1，则2a+ab （ ）A ．有最小值为4√2+6B ．有最小值为6C ．有最小值为143D ．有最小值为7【解题思路】利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解． 【解答过程】解：因为a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝1， 则2a +a b=2a+4b a +a b=2+4b a +a b ≥2+2√4b a ⋅ab=6， 当且仅当4ba=a b且a +2b ＝1时取等号，此时2a+a b 取得最小值6．故选：B ．3．（3分）（2021春•莲池区校级期中）已知a ＞0，b ＞0，则2√ab +1a +1b 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．4√2D ．6【解题思路】利用基本不等式可解决此题． 【解答过程】解：∵a ＞0，b ＞0，∴2√ab +1a+1b ≥2√ab 2√ab≥4当且仅当a ＝b ＝1时，取等号． 故选：B ．4．（3分）（2021春•浙江月考）已知实数a ＞0，b ＞0，且满足ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0，则（a +1）（b +2）的最小值为（ ）A ．24B ．3√17+13C ．9√2+13D ．25【解题思路】根据等式ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0表示出b ，求出a 的范围，然后将（a +1）（b +2）中的b 消去，再利用基本不等式可求出（a +1）（b +2）的最小值． 【解答过程】解：因为ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0， 所以b =a+2a−2，又a ＞0，b ＞0， 所以a+2a−2＞0，解得a ＞2，又b =a+2a−2=1+4a−2， 所以（a +1）（b +2）＝ab +2a +b +2 ＝a +2b +2+2a +b +2＝3a +3b +4 ＝3a +12a−2+7＝3（a ﹣2）+12a−2+13 ≥2√3(a −2)⋅12a−2+13=25， 当且仅当3（a ﹣2）=12a−2即a ＝4时等号成立， 即（a +1）（b +2）的最小值为25． 故选：D ．5．（3分）（2020秋•云南期末）如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【解题思路】可设两正方形的边长分别为a ，b ，从而得出a +b ＝1，进而得出ab ≤14，从而得出a 2+b 2=1−2ab ≥12，这样即可得出它们面积之和的最小值．【解答过程】解：设两正方形的边长分别为a ，b ，则：a +b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴2√ab ≤1，当且仅当a =b =12时取等号， ∴ab ≤14，∴a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−12=12，当且仅当a ＝b =12时取等号． 故选：B ．6．（3分）（2021•湖南模拟）设正实数a 、b 满足a +b ＝1，则下列说法错误的是（ ） A ．√ab 有最大值12B ．1a+2b+12a+b有最小值3C ．a 2+b 2有最小值12D ．√a +√b 有最大值√2【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求解． 【解答过程】解：由题意可知，正实数a 、b 满足a +b ＝1，由基本不等式可得√ab ≤a+b2=12，当且仅当a ＝b =12，等号成立，故A 选项正确， 由基本不等式可得1a+2b+12a+b =13(3a +3b)(1a+2b+12a+b)，=13[(a +2b)+(2a +b)]⋅(1a+2b +12a+b )=13(2+2a+b a+2b +a+2b2a+b )≥13(2+2√a+2b 2a+b ⋅2a+ba+2b )=43， 当且仅当a ＝b =12时，等号成立，故B 选项错误，a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ≥(a +b)2−2×(a+b 2)2=(a+b)22=12，当且仅当a ＝b =12时，等号成立，故C 选项正确， (√a +√b)2=a +b +2√ab ≤2（a +b ）＝2， 则√a +√b ≤√2，当且仅当a ＝b =12时，等号成立，故D 选项正确． 故选：B ．7．（3分）（2021春•秦淮区月考）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．a+b 2≥√ab(a ＞0，b ＞0)B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）C ．√ab ≥21a +1b(a ＞0，b ＞0)D ．√a 2+b 22≥a+b 2(a ＞0，b ＞0)【解题思路】斜边即大正方形的边长为√a 2+b 2，大正方形面积a 2+b 2，而大正方形面积大于等于四个直角三角形的面积和，可求．【解答过程】解：因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ， 所以斜边即大正方形的边长为√a 2+b 2，大正方形面积a 2+b 2， 由题意得a 2+b 2≥4×12ab =2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故选：B ．8．（3分）（2021春•郑州期末）已知a ＞b ＞c ，若1a−b+4b−c≥m a−c恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．9 【解题思路】由a ＞b ＞c ，知a ﹣b ＞0，b ﹣c ＞0，a ﹣c ＞0，由1a−b+4b−c≥m a−c，得m ≤（a ﹣c ）（1a−b+4b−c），求出（a ﹣c ）（1a−b+4b−c）的最小值，可解决此题．【解答过程】解：由a ＞b ＞c ，知a ﹣b ＞0，b ﹣c ＞0，a ﹣c ＞0， 由1a−b+4b−c≥m a−c，得m ≤（a ﹣c ）（1a−b+4b−c），又∵a ﹣c ＝a ﹣b +b ﹣c ，∴（a ﹣c ）（1a−b+4b−c）＝[（a ﹣b ）+（b ﹣c ）]（1a−b+4b−c）]＝5+4(a−b)b−c +b−c a−b ≥5+2√4(a−b)b−c ⋅b−ca−b =9，当且仅当4(a−b)b−c =b−c a−b， 即b ﹣c ＝2（a ﹣b ）时，（a ﹣c ）（1a−b+4b−c）取得最小值9，∴m ≤9，∴m 的最大值为9． 故选：D ．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知正数a ，b 满足a 2+b 2＝2a +2b ，若a +b ∈Z ，则a +b 的值可以是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解题思路】利用基本不等式求出a +b 的取值范围，对照选项即可得到答案．【解答过程】解：因为a+b 2≤√a 2+b 22，所以a 2+b 2≥(a+b)22，故a 2+b 2＝2a +2b ≥(a+b)22，则（a +b ）2﹣4（a +b ）≤0， 又a ＞0，b ＞0， 所以0＜a +b ≤4，若a +b ∈Z ，则a +b 的值可以是1，2，3，4． 故选：ABC ．10．（4分）（2021春•茂名期末）设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ） A ．1a +4b≥9B ．2a +2b ＞3C ．√a +√b 有最大值√2D ．a 2+b 2有最小值12【解题思路】利用1a+4b=(a +b)(1a+4b)=5+b a+4a b≥5+2√b a⋅4ab=9，再分析即可判断选项A ；利用2a +2b ≥2√2a ⋅2b =2√2a+b 再分析即可判断选项B ；利用√a +√b =√a +b +2√ab ≤√1+2√14=√2即可判断选项C ；利用a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝1﹣2ab 即可判断选项D ．【解答过程】解：1a+4b=(a +b)(1a+4b)=5+b a+4a b≥5+2√b a⋅4ab=9（当且仅当b a=4a b，即b ＝2a 时等号成立），所1a+4b≥9，故选项A 正确，2a +2b ≥√2a ⋅2b =2√2a+b =2√2（当且仅当a =b =12时等号成立），由于2√2＜3，所以选项B 错误；√a +√b =√a +b +2√ab ≤√1+2√14=√2，所以C 正确；a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−2×14=12，D 正确． 故选：ACD ．11．（4分）（2020秋•雁峰区校级月考）已知x ＞y ＞0，xy ＝1，则x 2+y 2x−y的最小值和此时x 、y 应取的值为（ ） A ．最小值为52B ．最小值为2√2C ．x =32，y =12D ．x =√6+√22，y =√6−√22【解题思路】由已知x 2+y 2x−y=x 2+y 2−2xy+2xyx−y=(x−y)2+2x−y=x ﹣y +2x−y，然后结合基本不等式可求． 【解答过程】解：因为x ＞y ＞0，xy ＝1， 所以x ﹣y ＞0， 则x 2+y 2x−y=x 2+y 2−2xy+2xyx−y =(x−y)2+2x−y=x ﹣y +2x−y ≥2√2，当且仅当x ﹣y =2x−y 时取等号， 此时x ﹣y =√2，xy ＝1， 所以x =√6+√22，y =√6−√22时取等号，故选：BD ．12．（4分）（2021•南通模拟）当x ＞0，y ＞0时，下列不等式中恒成立的有（ ） A ．2xy x+y≤√xyB ．1x+1y≥4x+yC ．1x+1y≤2√xyD ．x 3+y 3≥4x 2y 2x+y【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【解答过程】解：因为x ＞0，y ＞0， 所以x +y ≥2√xy ， 所以（x +y ）√xy ≥2xy ，即2xy x+y≤√xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，A 正确；x+y x+x+y y=2+y x+x y ≥2+2√x y ⋅yx =4，当且仅当y x =x y时取等号，B 正确； 因为x +y ≥2√xy ，所以1x +1y −2√xy =x+y−2√xy xy =(√x−√y)2xy ≥0，故1x +1y ≥2√xy，C 错误；x 3+y 3≥2√x 3y 3，x +y ≥2√xy ，当且仅当x ＝y 时取等号， 故（x 3+y 3）（x +y ）≥4x 2y 2， 所以x 3+y 3≥4x 2y 2x+y，D 正确． 故选：ABD ．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021春•江津区校级月考）若正数m ，n 满足2m +n ＝1，则1m+1n的最小值为 3+2√2 ．【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答过程】解：因为正数m ，n 满足2m +n ＝1， 则1m+1n=2m+n m +2m+n n=3+n m +2m n ≥3+2√n m ⋅2mn =3+2√2，当且仅当n m=2m n且2m +n ＝1时取等号，故1m+1n的最小值3+2√2．故答案为：3+2√2．14．（4分）（2021春•衢州期末）已知实数x 、y 满足x 2﹣xy ＝1，则y 2+3xy 的最小值为 ﹣1 ．【解题思路】实数x 、y 满足x 2﹣xy ＝1，可得x ≠0，y =x 2−1x ，代入y 2+3xy =(x 2−1x )2+3x •x 2−1x，化简利用基本不等式即可得出．【解答过程】解：实数x 、y 满足x 2﹣xy ＝1，∴x ≠0，y =x 2−1x ．则y 2+3xy =(x 2−1x )2+3x •x 2−1x=x 2﹣2+1x 2+3x 2﹣3＝4x 2+1x 2−5≥2√4x 2⋅1x 2−5＝﹣1，当且仅当x ＝±√22时取等号． ∴y 2+3xy 的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1．15．（4分）（2020秋•盘龙区期末）为了调查盘龙江的水流量情况，需要在江边平整出一块斜边长为13m 的直角三角形空地建水文观测站，该空地的最大面积是1694m 2．【解题思路】设直角三角形的两个直角边长分别为a ，b ，利用勾股定理以及基本不等式即可求出ab 的最大值，进而可以求解．【解答过程】解：设直角三角形的两个直角边长分别为a ，b ， 则由已知可得a 2+b 2＝132＝169，所以169≥2ab ，解得ab ≤1692，当且仅当a ＝b 时，ab 取得最大值为1692，又空地的面积为S =12ab ， 所以空地的面积的最大值为12×1692=1694，故答案为：1694．16．（4分）（2020秋•建邺区月考）若x ＞1时，不等式x +12x−1≥a 恒成立，则a 的取值范围是 （−∞，1+√22] ．【解题思路】由x +12x−1≥a 恒成立可知（x +12x−1）min ≥a 恒成立，然后结合基本不等式即可求解． 【解答过程】解：由x ＞1可得x −12＞0，因为x +12x−1=x −12+12x−12+12≥2√(x −12)⋅12x−12+12=12+√2，当且仅当x −12=12x−12即x ＝1+√22时取等号，因为x +12x−1≥a 恒成立， 所以a ≤1+√22．故答案为：（−∞，1+√22]四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2020秋•兰州期末）若a ＞0，b ＞0，求证：（a +b ）（1a+1b ）≥4．【解题思路】本题主要考查证明不等式的方法：综合法和分析法，欲证原不等式成立，只须将左式展开利用基本不等式即可．故利用综合法证明． 【解答过程】证明：左式＝1+b a+a b+1 ≥2+2√ba ×ab =4＝右式． ∴(a +b)(1a+1b)≥4．18．（6分）（2020秋•秦淮区校级月考）南京第二十七高级中学为了宣传秦淮特色和风土人情，由同学设计一幅秦淮特色矩形宣传画，要求画面面积为4000cm 2，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？【解题思路】设画面高为xcm ，宽为ycm ，然后表示 出纸张面积S ，利用基本不等式即可求解．【解答过程】解：设画面高为xcm ，宽为ycm ， 由题意可得，xy ＝4000，x ＞0，y ＞0，则所需S ＝（x +16）（y +10）＝xy +16y +10x +160， ＝4160+16y +10x ≥4160+2√160xy =5760，当且仅当16y ＝10x 且xy ＝4000即x ＝80，y ＝50时取等号， 所以画面高80cm ，宽50cm 时，所需纸张面积最小为5760cm ．19．（8分）（2020秋•邗江区校级期中）设正数x ，y 满足下列条件，分别求1x+1y 的最小值．（1）x +y ＝2； （2）x +2y ＝1．【解题思路】利用题设条件和基本不等式求得结果即可． 【解答过程】解：（1）∵x +y ＝2，x ＞0，y ＞0， ∴1x +1y=12×2（1x+1y）=12（x +y ）（1x+1y）=12（2+y x +x y ）≥12（2+2√1）＝2，当且仅当x ＝y ＝1时取“＝“， ∴（1x+1y ）min ＝2；（2）∵x +2y ＝1，x ＞0，y ＞0，∴1x +1y =（1x +1y ）（x +2y ）＝3+x y +2yx ≥3+2√2，当且仅当{y =2−√22x =√2−1时取“＝“， ∴（1x+1y）min ＝3+2√2．20．（8分）（2021春•青山湖区校级期中）已知正数a 、b 满足1a+1b=1．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a a−1+9bb−1的最小值．【解题思路】（1）利用乘1法a +b ＝（a +b ）（1a+1b），展开后结合基本不等式即可求解；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，利用基本不等式可求． 【解答过程】解：（1）因为a 、b 是正数，所以a +b =(a +b)(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ×ba =4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故a +b 的最小值为4．（2）因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，则4aa−1+9bb−1=4+4a−1+9+9b−1≥13+2√4a−1×9b−1=25，当且仅当a=53、b=52时等号成立，故4aa−1+9bb−1的最小值为25．21．（8分）（2021春•如皋市月考）已知实数x＞0，y＞0．（1）若x+y+xy＝3，求2xy的最大值与x+y的最小值；（2）若x＞y，求xy2x−y +xy+1y2的最小值．【解题思路】（1）由已知结合基本不等式x+y≥2√xy，及不等式的性质即可求解；（2）先进行换元t＝x﹣y，t＞0，然后把x＝t+y代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．【解答过程】解：（1）x＞0，y＞0，x+y+xy＝3，又x+y≥2√xy，当且仅当x＝y＝1时取等号，所以xy+2√xy≤3，解得，0≤xy≤1，所以2xy的最大值2，又xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2+x+y≥3，当且仅当x＝y＝1时取等号，解得，x+y≥2，即x+y的最小值2；（2）因为x＞y，令t＝x﹣y，t＞0，则x＝t+y，xy2 x−y +xy+1y2=(t+y)2yt+1y2，＝ty+y3t+2y2+1y2≥2√ty⋅y3t+2y2+1y2，4y2+1y2≥2√4y2⋅1y2=4，当且仅当ty=y3t且4y2=1y2，即x=√2，y=√22时取等号，所以求xy2x−y +xy+1y2的最小值4．22．（8分）（2020秋•开封月考）已知x，y为正实数，且满足x+y＝1．（1）若xy≤m恒成立，求m的最小值；- 11 - （2）证明：（x +1x ）2+（y +1y ）2≥252． 【解题思路】（1）由xy ≤(x+y 2)2=14，结合题意可得m ≥14，进而求解； （2）先证明1x +1y≥4，再根据(x +1x )2+(y +1y )2≥(x+1x +y+1y )22=(1+1x +1y )22≥(1+4)22=252即得证． 【解答过程】解：（1）∵x ＞0，y ＞0，x +y ＝1，∴由基本不等式得xy ≤(x+y 2)2=14，当且仅当x =y =12时取等号，∵xy ≤m 恒成立，∴m ≥14，故实数m 的最小值为14． （2）证明：∵1x +1y =(x +y)(1x +1y)=2+x y +y x ≥2+2=4， ∴(x +1x )2+(y +1y )2≥(x+1x +y+1y )22=(1+1x +1y )22≥(1+4)22=252，当且仅当x =y =12时取等号，得证．。

一、选择题（每小题6分，共42分） 1.不等式ax 2+5x+c>0的解集为（21,31），那么a,c 为（ ） A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6 答案：B解析：由题意得21,31为方程ax 2+5x+c=0的两根是a<0. 故2131+=-ac a =⨯2131,5, ∴a=-6,c=-1.2.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是（ ）A.0B.-1C.1D.2 答案：A解析：将x=-1代入不等式知不成立，将x=0代入不等式成立，故选A. 3.不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为（ ）A.［21，+∞） B.（-∞,-1]∪［21,+∞) C.{-1}∪［21，+∞） D.［-1，21］答案：C解析：当|x+1|=0即x=-1时不等式成立， 当|x+1|≠0时不等式等价于2x-1≥0，即x ≥21. 4.设a>0,不等式|ax+b|<c 的解集是{x|-2<x<1},则a ∶b ∶c 等于（ ） A.1∶2∶3 B.2∶1∶3 C.3∶1∶2 D.3∶2∶1 答案：B解析：|ax+b|<c a c b --⇔<x<a b c -，故a c b --=-2,abc -=1即a ∶b ∶c=2∶1∶3.5.设U=R ，A={x|mx 2+8mx+21>0},A=∅,则m 的取值范围是（ ）A.0≤m<1621 B.m>1621或m=0 C.m ≤0 D.m ≤0或m>1621答案：A 解析：∵A=∅,∴A=R,即mx 2+8mx+21>0恒成立. 当m=0时，不等式恒成立. 当m ≠0时， 则⇒⎩⎨⎧<⨯-=∆>0214)8(,02m m m 0<m<1621.∴m 的取值范围为［0，1621）. 6.已知a>0,集合A={x||x+2|<a},B={x|a x>1},若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.（0，1）C.（0，1）∪（2，+∞）D.(0,1)∪（1，+∞） 答案：C解析：A={x|-a-2<x<a-2}当0<a<1时，B={x|x<0}又a-2<0故此时A ⊆B ，则A ∩B ≠∅. 当a>1时，B={x|x>0},∵A ∩B ≠∅,∴a-2>0,即a>2.∴a 的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）. 7.(2010辽宁沈阳模拟，1)若不等式xxa ++12-3≥0的解集是{x|-7≤x<-1},则实数a 等于（ ） A.0 B.-4 C.-6 D.-8 答案：B 解析：∵不等式xxa ++12≥0， 即为1)3(+--x a x ≤0的解集为{x|-7≤x<-1},∴a-3=-7. ∴a=-4.选B.二、填空题（每小题5分，共15分） 8.不等式2||||3+-x x ≥21的解集是__________________.答案：［-34,34］ 解析：∵|x|+2>0故原不等式为6-2|x|≥|x|+2即|x|≤34,-34≤x ≤34. 9.若关于x 的不等式a 2-4+4x-x 2>0成立时，不等式|x 2-4|<1成立，则正数a 的取值范围是_______. 答案：（0，5-2]解析：a 2-4+4x-x 2>0⇒2-a<x<2+a.|x 2-4|<1⇒-5<x<5,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-.52,52a a 即0<a ≤5-2.10.(2010江苏南通一模，14)若不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集是空集，则实数a 的取值范围是_____________________. 答案：（-∞,1］解析：由|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,故原不等式解集为空集，a 的取值范围是（-∞,1］. 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010福建厦门一中模拟，17)解不等式：|x 2-3x-4|<x+1.解析：不等式等价于⎩⎨⎧>--<--⇔⎪⎩⎪⎨⎧--<+-+<--)2(.032)1(,054,43)1(,1432222x x x x x x x x x x 解①得-1<x<5,解②得x<-1或x>3，故原不等式的解集为{x|3<x<5}. 12.已知|x-1|≤2且|x-a|≤2,求： （1）当a<0时，求x 的范围；（2）若x 的范围构成的集合是空集，求a 的取值范围. 解析：|x-1|≤2⇒-1≤x ≤3. |x-a|≤2⇒-2+a ≤x ≤a+2. (1)当a<0时，a+2<3,-2+a<-1.①当a+2≥-1,即a ≥-3时，x 的取值范围为［a+2,3］; ②当a+2<-1,即a<-3时，x . (2)由题意得 a+2<-1或-2+a>3. 故所求a 的取值范围为a<-3或a>5.13.已知全集U=R ，A={x|x 2-2x-8<0},B={x||x+3|>2},C={x|x 2-4ax+3a 2<0}. (1)C ⊆(A ∩B),求a 的取值范围； （2）C ⊆（A ）∩（B ），求a 的取值范围.解析：A={x|-2<x<4},B={x|x>-1或x<-5}. ∴A ∩B={x|-1<x<4}.当a>0时，C={x|a<x<3a}; 当a=0时，C=∅;当a<0时，C={x|3a<x<a}. (1)若C ⊆A ∩B,则a=0或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥>⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥<.43,1,04,13,0a a a a a a 或∴a ∈［-34,31］. （2）（A ）∩（B ）={x|-5≤x ≤-2}.若C ⊇(A)∩(B),则⎪⎩⎪⎨⎧->-<<.2,53,0a a a∴-2<a<-35,即a ∈(-2,-35). 14.已知a>1,设P ：a(x-2)+1>0,Q:(x-1)2>a(x-2)+1,试寻求使得P 、Q 都成立的x 集合.解析：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-.0)2)((,12,02)2(,12,1)2()1(,01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1<a<2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12a x x ax 或而a-(2-a 1)=a+a 1-2>0,所以a>2-a1, 故x ∈{x|x>2或2-a 1<x<a};若a=2,则有x ∈{x|x>23,且x ≠2};若a>2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或 若x ∈{x|x>a 或2-a1<x<2}. 高三数学单元练习题：不等式（Ⅳ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

基本不等式专题训练一、选择题1.已知a,b∈R，且a+b=1，则ab的最大值为（）A. 41B. −41C. 1D. 不存在2.对于任意正实数x,y，下列不等式恒成立的是（）A. x2+y2≥2xyB. x2+y2≤2xyC. x+y≥2xyD. x+y≤2xy3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，则a+b+c的最大值为（）A. 1B. 3C. 3D. 33二、填空题4.已知x>0，则函数y=4x+x1的最小值为____。

5.已知a,b>0，且a+b=5，则a1+b4的最小值为____。

三、解答题6.已知x,y∈R，且x+y=4，求3x+9y的最小值。

7.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，证明：a+b+c≤2。

8.已知x>0，y>0，且xy=4，求x+yx2+y2的最小值。

参考答案一、选择题1.A解析由a+b=1，根据基本不等式(a−b)2≥0，展开得a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab。

又因为(a+b)2=a2+2ab+b2=1，所以2ab≤1−(a2+b2)+2ab=1，即ab≤41。

当且仅当a=b=21时，等号成立。

2.A解析对于任意正实数x,y，根据平方和公式，有x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时取等号）。

而选项C和D分别对应的是算术平均数与几何平均数的关系，但仅当x,y均为正数时，算术平均数才大于等于几何平均数，且等号成立的条件是x=y。

选项B显然不成立。

3.B解析由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）得(a+b+c)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3，即a+b+c≤3。

当且仅当a=b=c=31时，等号成立。

二、填空题4.41解析由算术平均数与几何平均数的关系得y=4x+x1≥24x⋅x1=4（当且仅当4x=x1，即x=21时取等号）。

5.59解析由“乘1法”与基本不等式得a1+b4=51(a+b)(a1+b4)=51(5+ab+b4a )≥51(5+2ab⋅b4a)=59（当且仅当ab=b4a，即a=35,b=310时取等号）。

基本不等式的应用(20分钟35分）1。

某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。

若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A。

60件B。

80件 C.100件D。

120件【解析】选B.设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+≥2=20.当且仅当=（x>0)，即x=80时“="成立.2.若xy是正数,则+的最小值是()A.3 B。

C.4 D。

【解析】选C.+=x2+y2+++=+++≥1+1+2=4。

当且仅当x=y=或x=y=-时取等号.3。

已知m〉0,n〉0,+=1，若不等式m+n≥—x2+2x+a对已知的m,n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是(）A.[8，+∞)B。

［3，+∞）C。

（—∞，3] D.（—∞，8]【解析】选D。

因为m+n=（m+n)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即m=3,n=6时等号成立,所以—x2+2x+a≤9，即a≤x2-2x+9=(x-1）2+8，所以a≤8。

4。

已知x>0,y>0,且+=1,则3x+4y的最小值是.【解析】因为x〉0,y〉0,+=1,所以3x+4y=(3x+4y）=13++≥13+3×2=25(当且仅当x=2y=5时取等号),所以(3x+4y）min=25。

答案：255.若a，b均为正实数,且满足a+2b=1,则的最小值为.【解析】a+2b=1,则===+,则（a+2b）=4+3++≥7+2=7+4，当且仅当=,即a=b时取等号.答案：4+76。

共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计收入f（x)(单位：元)与营运天数x(x∈N*）满足f(x）=—x2+60x—800.（1)要使营运累计收入高于800元，求营运天数的取值范围；（2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?【解析】（1)要使营运累计收入高于800元，则f（x)>800⇒-x2+60x—800>800⇒(x—40）（x—80)<0⇒40〈x〈80，所以要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在(40,80）内取值.(2)每辆单车每天的平均营运收入为y===—x—+60≤-2+60=20，当且仅当x=时等号成立,解得x=40，即每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大。

苏教版高中数学必修5专题五《基本不等式》综合检测一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 1835. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥ D ．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+ B ．111x y+≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ）Ｃ．22ab a ba b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x +=Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x=+Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.11. 函数y =的最大值为 .13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.一、选择题二．填空题11.1212.3600 13. 1214.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。

2.2　基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（ ）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD　解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD　解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C　解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B　解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A　解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A　解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C　解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D　解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0　解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25　解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。

数学 基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。

高中数学专题复习《一元二次二元一次基本不等式》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考福建卷（文））若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和02．已知不等式(x +y)(1x + ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8(汇编陕西理)3．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b),其全程的平均时速为v,则 （ ）A ．a<v<abB ．v=abC ．ab<v <2a b+ D ．v=2a b+（汇编陕西文）4．已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1-（汇编广东理）5．“a c b d +>+”是“a ＞b 且c ＞d ”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(汇编安徽文)6．若0x >，则2x x+的最小值为 . （汇编湖南文）7．“0x >”是“0x ≠”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 （汇编浙江文）A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．8．若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是（ ）A 、12B 、26C 、28D 、339．已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)10．设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )+2，则f (2) f(0) f(3)大小关系为____________ A ．f (2)＝f (0)<f (3) B ．f (0)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (0)＝f (2)D ．f (0)<f (3)<f (2)11．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）（陕西卷10） A ．7B ．5C ．4D ．312．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ） A ．（0，11a ） B ． (0，12a ） C ． (0，31a ） D ． (0，32a ）（海南卷6） 第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题13．下列四个命题中：①a +b ≥2ab ；②si n 2x +x2sin 4≥4；③设x ，y 都是正数，若yx 91+=1， 则x +y 的最小值是12；④若0ab >, 则baa b +≥2，其中所有真命题的序号是___________．14．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为 ▲ ．15．若不等式02〉++c bx ax 的解集为（n m ,）（n m 〈〈0），则不等式02〈++a bx cx 的解集是 。

基本不等式与不等式的综合应用专题检测1.(2024山东师大附中第一次月考,12)下列不等式肯定成立的是( ) A.lg (x 2+14)>lg x (x >0) B.sin x +1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z) C.x 2+1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2+1>1(x ∈R)答案 C 本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于A,由于x 2+14≥2√x 2·14=x ,当且仅当x =12时,取“=”,故A 不正确;对于B,当x ∈(π,2π)时,sin x <0,sin x +1sin x ≤-2,故B 不正确;对于C,x 2+1-2|x |=(|x |-1)2≥0恒成立,故C 正确; 对于D,当x =0时,1x 2+1=1,故D 不正确.2.(2024西南四省八校9月联考,12)若x >0,y >0,x +2y =1,则xx2x +x 的最大值为 ( ) A.14 B.15 C.19 D.112 答案 C xx 2x +x =12x +1x,∵x >0,y >0,x +2y =1,∴1x +2x =(1x +2x )·1=(1x +2x )(x +2y )=5+2x x +2xx≥5+2√2x x ·2x x =5+4=9,当且仅当{2x x =2xx ,x +2x =1,即x =y =13时,取“=”,∴12x +1x≤19,故xx 2x +x的最大值为19,选C . 3.(2024山东青岛期初调研,8)函数f (x )=x 2+x +2x +4x 2(x >0)的最小值为 ( )A.4+2√2B.4√2C.8D.√2+2 答案 A ∵x >0,∴f (x )=x 2+x +2x +4x 2=x 2+4x 2+x +2x ≥2√x 2·4x 2+2√x ·2x =4+2√2,当且仅当{x 2=4x 2,x =2x ,即x =√2时取“=”,∴f (x )min =4+2√2,故选A .4.(2024福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a >0,b >0,1x +1+1x +1=1,则a +2b 的最小值是( )A.3√2B.2√2C.3D.2答案 B ∵a >0,b >0,∴a +1>1,b +1>1,又∵1x +1+1x +1=1,∴a +2b =[(a +1)+2(b +1)]-3=[(a +1)+2(b +1)]·(1x +1+1x +1)-3=1+2(x +1)x +1+x +1x +1+2-3≥2√2(x +1)x +1·x +1x +1=2√2,当且仅当2(x +1)x +1=x +1x +1时取“=”,故选B .5.(2024河北大名一中月考)已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2),则x 1+x 2+xx1x 2的最大值是 ( )A.√63B.2√33C.4√33D.-4√33答案 D 由题意知x 1,x 2是方程x 2-4ax +3a 2=0的两根. 由根与系数的关系得x 1x 2=3a 2,x 1+x 2=4a ,∴x 1+x 2+x x 1x 2=4a +13x ,∵a <0,∴-(4x +13x )≥2√4x ·13x=4√33,即4a +13x≤-4√33,当且仅当4a =13x,即a =-√36时,取“=”,故x 1+x 2+x x1x 2的最大值为-4√33.故选D.6.(2024晋冀鲁豫名校期末联考,10)已知函数f (x )=x 2e x,若a >0,b >0,p =f (x 2+x 22),q =f ((x +x 2)2),r =f (ab ),则( )A.q ≤r ≤pB.q ≤p ≤rC.r ≤p ≤qD.r ≤q ≤p 答案 D 因为x 2+x 22-(x +x 2)2=2x 2+2x 24-x 2+x 2+2xx 4=(x -x )24≥0,所以x 2+x 22≥(x +x 2)2,又x +x 2≥√xx (a >0,b >0),所以(x +x 2)2≥ab.易得函数f (x )=x 2e x在(0,+∞)上单调递增,所以f (ab )≤f ((x +x 2)2)≤f (x 2+x 22),即r ≤q ≤p.7.(2024河南濮阳其次次检测,9)已知a >2,b >2,则x 2x -2+x 2x -2的最小值为 ()A.2B.4C.6D.16答案 D 因为a >2,b >2,所以a -2>0,b -2>0. 令x =b -2,y =a -2,则x >0,y >0. 原式=(x +2)2x+(x +2)2x≥2√(x +2)2x·(x +2)2x =2√[xx +2(x +x )+4]2xx≥2√(xx +4√xx +4)2xx =2√(√xx +√xx)2=2√(√xx √xx4)2≥2√(2√√xx ·√xx+4)2=16.当且仅当x =y =2时取等号.故选D .思路分析 利用换元思想,设x =b -2,y =a -2,则x >0,y >0,将原式化为(x +2)2x+(x +2)2x,两次运用基本不等式求解.8.(2024新疆昌吉教化共同体联考,9)在1和17之间插入(n -2)个数,使这n 个数成等差数列,若这(n -2)个数中第一个为a ,第(n -2)个为b ,当1x +25x 取最小值时,n 的值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9答案 D 由已知得a +b =18,则1x +25x =(1x +25x )×x +x 18=118(1+25+x x +25xx)≥118×(26+10)=2,当且仅当b =5a 时取等号,此时a =3,b =15,可得n =9.故选D.9.(2024辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f (x )=2x -12x +1+x +sin x ,若正实数a ,b 满意f (4a )+f (b -9)=0,则1x +1x 的最小值是 ( )A.1B.92 C.9 D.18答案 A 因为f (x )=2x -12x +1+x +sin x ,所以f (-x )=2-x -12-x +1-x -sin x =-(2x -12x +1+x +sin x )=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,易知f (x )单调递增,又正实数a ,b 满意f (4a )+f (b -9)=0,所以4a +b -9=0,所以1x +1x =19(1x +1x )(4a +b )=194+x x +4x x +1=19(5+x x +4xx)≥19×(5+2√4)=1,当且仅当x x =4xx,即b =2a =3时,取等号.故选A .10.(2024黑龙江道里检测,10)设a ,b ,c ,d 均为大于零的实数,且abcd =1,令m =a (b +c +d )+b (c +d )+cd ,则a 2+b 2+m 的最小值为( )A.8B.4+2√3C.5+2√3D.4√3 答案 B ∵a ,b ,c ,d 均大于零且abcd =1,m =a (b +c +d )+b (c +d )+cd ,∴a 2+b 2+m =a 2+b 2+(a +b )(c +d )+ab +cd ≥2ab +2√xx ·2√xx +ab +cd =4+3ab +cd ≥4+2√3xxxx =4+2√3,当且仅当a =b ,c =d ,3ab =cd ,即a =b =(13)14,c =d =314时取等号,∴a 2+b 2+m 的最小值为4+2√3.故选B . 11.(多选题)(2024山东烟台期中,11)下列结论正确的是 ( )A.若a >b >0,c <d <0,则肯定有x x >xx B.若x >y >0,且xy =1,则x +1x >x2x >log 2(x +y ) C.设{a n }是等差数列,若a 2>a 1>0,则a 2>√x 1x 3D.若x ∈[0,+∞),则ln(1+x )≥x -18x 2答案 AC 对于A,∵c <d <0,∴-c >-d >0,∴-1x >-1x >0, 又∵a >b >0,∴-x x >-x x >0,∴x x >xx ,故A 正确;对于B,∵x >y >0,且xy =1,∴可取x =2,y =12,此时x +1x =4,x2x =124=18,log 2(x +y )=log 252>log 22=1,故不满意x +1x >x2x >log 2(x +y ),故B 不正确;对于C,∵{a n }是等差数列,∴a 2=x 1+x 32.又∵a 3-a 2=a 2-a 1>0,∴a 3>a 2>a 1>0,∴x 1+x 32>√x 1x 3,即a 2>√x 1x 3,故C 正确;对于D,令f (x )=ln(1+x )-x +18x 2,x ≥0,则f'(x )=11+x -1+14x =1-(1+x )+14x (1+x )1+x=14x 2-34x 1+x=x 2-3x4(1+x ),x >0,令f'(x )>0,可得x >3,令f'(x )<0,可得0<x <3,因此函数f (x )=ln(1+x )-x +18x 2在[0,3)上为减函数,在[3,+∞)上为增函数, ∵f (0)=ln1-0+0=0,∴当x ∈(0,3]时,f (x )<0恒成立,故当x ∈[0,+∞)时,ln(1+x )≥x -18x 2不恒成立,故D 不正确,故选AC .12.(2024湖北黄冈元月调研,15)若关于x 的不等式x +4x -x ≥5在x ∈(a ,+∞)上恒成立,则实数a 的最小值为 . 答案 1解析 关于x 的不等式x +4x -x ≥5在x ∈(a ,+∞)上恒成立,即x -a +4x -x ≥5-a 在x ∈(a ,+∞)上恒成立,由x >a 可得x -a >0,则x -a +4x -x ≥2√(x -x )·4x -x =4,当且仅当x -a =2,即x =a +2时,上式取得最小值4,则5-a ≤4,可得a ≥1,故a 的最小值为1. 13.(2024上海复旦高校附中9月综合练,8)已知x 2+2x +2x ≤4x 2-x+1对于随意的x ∈(1,+∞)恒成立,则a 的取值范围是 . 答案 [-3,1] 解析 由已知x 2+2x +2x ≤4x 2-x+1对于随意的x ∈(1,+∞)恒成立可知,a 2+2a +2≤4x -1+x 对于随意的x ∈(1,+∞)恒成立,令g (x )=4x -1+x ,x >1,则g (x )=4x -1+x -1+1≥2√4x -1·(x -1)+1=5,当且仅当x =3时取“=”,∴a 2+2a +2≤g (x )min =5,∴a 2+2a -3≤0,∴-3≤a ≤1,故答案为[-3,1].14.(2024安徽黄山八校联考,16)不等式(a cos 2x -3)sin x ≥-3对随意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-32,12]解析 令g (x )=(a cos 2x -3)sin x ,sin x =t ,-1≤t ≤1,则原函数化为g (t )=(-at 2+a -3)t ,即g (t )=-at 3+(a -3)t ,由-at 3+(a -3)t ≥-3整理得(t -1)[-at (t +1)-3]≥0,由t -1≤0知,-at (t +1)-3≤0,即a (t 2+t )≥-3,当t =0,-1时该不等式恒成立,当0<t ≤1时,0<t 2+t ≤2,a ≥(-3x 2+x )max=-32;当-1<t <0时,-14≤t 2+t <0,a ≤(-3x 2+x)min=12,从而可知-32≤a ≤12.。

基本不等式练习1.已知向量且，若x,y 均为正数，则的最小值为（ ）A 、24B 、8C 、D 、2.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是（ ）A 、3B 、4C 、D 、3.设，且，则的最大值是（ ）A 、 40B 、10C 、4D 、24.不等式对任意恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、 5.若正数满足，，则的最小值是（ ）A 、2B 、C 、D 、6.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数m 的取值范围是（）A 、B 、C 、D 、7.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。

8.已知，，则的最小值是 。

9．若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是。

10.若直线过点（1，2），则的最小值是 。

a =(3,2),b =(x ,1-y )a //b 3x +2y 835392112x >0,y >0x +4y =40lg x +lg y x 2+2x <a b +16b a a ,b Î(0,+¥)(-2,0)(-¥,-2)È(0,+¥)(-4,2)(-¥,-4)È(2,+¥)a ,b 1a +2b =12a -1+1b -22521+4x ,y 1x +4y =1x +4y <m 2-3m (-1,4)(-¥,-1)È(4,+¥)(-4,1)(-¥,0)È(3,+¥)x >1x +1x -1³a a x >0,y >0lg2x +lg8y =lg21x +13y x >0xx 2+3x +1£a a x a +yb =1(a >0,b >0)2a +b11.已知正实数满足，那么的最小值是 。

12.已知函数只有一个零点，则的最小值是 。

第四节 基本不等式基础测试题 知识梳理1、基本不等式ab b a ≥+22、常用的几个重要不等式（1）),(222R b a ab b a ∈≥+（2）),()2(2R b a b a ab ∈+≤ （3）),()2(2222R b a b a b a ∈+≥+ （4）2≥+ba ab （b a ,同号且不为零） 3、算术平均数与几何平均数4、利用基本不等式求最值 （1）如果积xy 是定值p ,那么当y x =时，和y x +有最小值________.（2）如果y x +是定值S ，那么当y x =时，积xy 有最大值__________. 第一部分 基础自测1、下列不等式不一定成立的是（ ）A. ),(222R b a ab b a ∈≥+B. )(232R a a a ∈>+C. )(21R x xx ∈≥+D. ),(2222R b a b a b a ∈+≤+ 2、已知,0,0>>b a 则ab ba 211++的最小值是____________.3、当1>x 时，关于函数,11)(-+=x x x f 下列叙述正确的是（ ） A.函数)(x f 有最小值2 B.函数)(x f 有最大值2C.函数)(x f 有最小值3D.函数)(x f 有最大值34、已知,1,=>ab b a 则ba b a -+22的最小值是__________.5、已知关于x 的不等式722≥-+ax x 在),(+∞∈a x 上恒成立，则实数a 的最小值为_________. 第二部分 课堂考点讲解 1、已知,0>t 则函数tt t y 142+-=的最小值为____________. 2、已知,,+∈R y x 且满足,143=+y x则xy 的最大值为_________. 3、已知,0<t 则函数tt t y 142+-=的最值为____________. 4、已知,,+∈R y x 且满足,143=+y x求yx z 11+=的最值_________. 5、已知,1,0,0=+>>b a b a 求证：（1）;8111≥++abb a（2）.9)11)(11(≥++b a 6、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为)10(≥x x 层，则每平方米的平均建筑费用为x 48560+（单位：元）.（1）写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ 第三部分 考题演练1、已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是__________.2、若对任意a x x x x ≤++>13,02恒成立，则a 的取值范围是________. 3、已知y x ,为正实数，且,12=+y x 则yx 12+的最小值是_________.4、若直线)0,0(1>>=-b a by a x过圆02222=+-+y x y x 的圆心，则b a +3的最小值为_______________.5、已知所有点))(,(*N n a n A n n ∈都在函数)1,0(≠>=a a a y x 的图象上，则73a a +与52a 的大小关系是（ ）。

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基本不等式(时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若a，b∈R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是( ）A．a2＋b2〉2ab B．a＋b≥2错误! C.错误!＋错误!>错误! D。

错误!＋错误!≥22．若a＞1，则a＋错误!的最小值是（)A．0 B．2 C.错误! D．33．若x＞0，f（x）＝错误!＋3x的最小值为( )A．12 B．－12 C．6 D．－64．函数y＝x错误!（0＜x＜2)的最大值是（)A。

14B。

错误! C．1 D．25．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件,则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ）A．60件 B．80件 C．100件 D．120件6．点（x，y）在直线x＋3y－2＝0上移动时，z＝3x＋27y＋3的最小值为( )A.错误! B．3＋2错误! C．6 D．97．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( ）A．x＝a＋b2B．x≤错误! C．x＞错误! D．x≥错误!8．已知正数a，b满足4a＋b＝30，使得错误!＋错误!取最小值的实数对（a，b）是（)A．（5,10) B．（6，6) C．（10，5） D．(7,2)9．不等式错误!≥9对任意正实数x，y恒成立,则正实数a的最小值为（) A．2 B．4 C．6 D．810．已知x>0,y〉0，且x＋y＝8,则(1＋x)(1＋y)的最大值为（）A．16 B．25 C．9 D．3611．若x，y是正数,则错误!错误!＋错误!错误!的最小值是（)A．2 B.错误! C．4 D。

不等式综合题一．选择题（共10小题）1．（2015•洛阳一模）若∀x∈（0，），均有9x＜log a x（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范[2，222．（2014秋•德州期末）当0＜x≤时，（）x＜log a x，则a的取值范围是（），），3．（2013秋•余江县校级期中）若x∈[﹣1，1]时，2＜a恒成立，则实数a的取值范围，，，4．（2014秋•和平区校级月考）已知θ∈（0，），则的最小值为（）+25．（2013•日照二模）已知二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x}且a＞b，则6．（2013•绵阳模拟）若正数a，b满足，的最小值为（）C．9D．17．（2011秋•九原区校级期中）a，b是正实数，则+的最小值是（）8．（2011•太和县校级模拟）已知正实数a、b满足a+b=1，则的最大值为（）B，则的最小值为（）x+2≤λ二．填空题（共12小题）11．（2012•公安县校级模拟）若关于x的不等式＜x+a的解是x＞m，试求m的最小值为．12．（2012秋•奉节县校级期中）设x＞0，y＞0，不等式恒成立，则实数m的最小值为．13．（2009•天心区校级模拟）关于x的不等式lg（20﹣5x2）＞lg（a﹣x）+1的整数解只有1，则实数a的取值范围是．14．不等式log a x≥（x﹣1）2恰有2个整数解，则a的取值范围是．15．（2013春•武汉校级期中）已知a＞b，且ab=3，则的最小值为．16．（2013秋•海陵区校级期末）在等腰△ABC中，AB=AC，若AC边上的中线BD的长为6，则△ABC的面积的最大值是．17．（2014•安徽模拟）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是．18．（2015•潍坊一模）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则+的最小值是．19．（2011春•福田区校级期中）给出下列命题：（1）函数y=x+的最小值是2；（2）函数y=x+2﹣3的最小值是﹣2；（3）函数的最小值是；（4）函数y=在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内递减；（5）幂函数y=x3为奇函数且在（﹣∞，0）内单调递增；其中真命题的序号有：（把你认为正确的命题的序号都填上）20．（2010•普陀区校级模拟）△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点，S△MBC=，S△MCA=x，S△MAB=y，则的最小值为．21．（2009秋•如皋市期中）已知，且t是大于0的常数，的最小值为9，则t=．22．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为．2015年05月15日daydayup525的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015•洛阳一模）若∀x∈（0，），均有9x＜log a x（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范[2，22＜＜＜＜的图象交于（a=应满足2．（2014秋•德州期末）当0＜x≤时，（）x＜log a x，则a的取值范围是（），），时，）（时，函数）））的图象交于（）点时，，应满足＜3．（2013秋•余江县校级期中）若x∈[﹣1，1]时，22x﹣1＜a x+1恒成立，则实数a的取值范围，，，xlg﹣=xlglg﹣=lg =lg＜＞4．（2014秋•和平区校级月考）已知θ∈（0，），则的最小值为（）+2，==（）∴（，5．（2013•日照二模）已知二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x}且a＞b，则{x|x{x|x}∴当且仅当6．（2013•绵阳模拟）若正数a，b满足，的最小值为（）；由1=；化+9满足=11=，∴+9当且仅当±时取a=∴时，要注意条件7．（2011秋•九原区校级期中）a，b是正实数，则+的最小值是（）+））+2当且仅当时取到等号．8．（2011•太和县校级模拟）已知正实数a、b满足a+b=1，则的最大值为（）B结合已知条件可得，的最大值解：∵=（当且仅当，=9．（2007秋•沙坪坝区校级期中）已知A、B、C三点共线，O为直线外任意一点，且，则的最小值为（）为直线外任意一点，且∴≤λ=，=t=t=二．填空题（共12小题）11．（2012•公安县校级模拟）若关于x的不等式＜x+a的解是x＞m，试求m的最小值为．y=y=y=最小值为故答案为12．（2012秋•奉节县校级期中）设x＞0，y＞0，不等式恒成立，则实数m 的最小值为﹣4．，不等式13．（2009•天心区校级模拟）关于x的不等式lg（20﹣5x2）＞lg（a﹣x）+1的整数解只有1，则实数a的取值范围是[2，）．＜1）﹣，则，）14．不等式log a x≥（x﹣1）2恰有2个整数解，则a的取值范围是（，2]．，15．（2013春•武汉校级期中）已知a＞b，且ab=3，则的最小值为．∴，则由基本不等式可得≥，即（b=16．（2013秋•海陵区校级期末）在等腰△ABC中，AB=AC，若AC边上的中线BD的长为6，则△ABC的面积的最大值是24．，===S==时，三角形面积有最大值17．（2014•安徽模拟）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是4．把+：∵是=∴+=≥18．（2015•潍坊一模）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则+的最小值是8．+的乘以+（+∴+（）=2+2+4+2当且仅当=，时等号成立，∴+19．（2011春•福田区校级期中）给出下列命题：（1）函数y=x+的最小值是2；（2）函数y=x+2﹣3的最小值是﹣2；（3）函数的最小值是；（4）函数y=在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内递减；（5）幂函数y=x3为奇函数且在（﹣∞，0）内单调递增；其中真命题的序号有：（2）（3）（5）（把你认为正确的命题的序号都填上）1+2，配方可求；，的最小值是1+23=y=x+2﹣，的最小值是20．（2010•普陀区校级模拟）△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点，S△MBC=，S△MCA=x，S△MAB=y，则的最小值为18．解：∵，∠=x+y=，即∴=10++10+221．（2009秋•如皋市期中）已知，且t是大于0的常数，的最小值为9，则t=4．，由，由M=（1+t+2=9=9sinx=，故所求22．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为16．=，且=满足+=1=，=，﹣=，即有=+=当且仅当+=1，。