课标版高考文科数学二轮复习 中档解答题规范练(三)

中档大题保分练(03)(满分：46分 时间：50分钟)说明：本大题共4小题，其中第1题可从A 、B 两题中任选一题； 第4题可从A 、B 两题中任选一题. 共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(A)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋cos A cos B ＝2cos A sin B ．(1)求tan A ；(2)若b ＝25，AB 边上的中线CD ＝17，求△ABC 的面积． 解：(1)由已知得cos C ＋cos A cos B ＝cos[π－(A ＋B )]＋cos A cos B＝－cos(A ＋B )＋cos A cos B ＝sin A sin B ， 所以sin A sin B ＝2cos A sin B ．因为在△ABC 中，sin B ≠0，所以sin A ＝2cos A ，则tan A ＝2． (2)由(1)得，cos A ＝55，sin A ＝255， 在△ACD 中，CD 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22－2·b ·c 2·cos A ，代入条件得c 2－8c ＋12＝0，解得c ＝2或6． 当c ＝2时，S △ABC ＝12bc sin A ＝4；当c ＝6时，S △ABC ＝12．1．(B)(12分)(2018·南充诊断)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2． (1)证明：{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1a n 的前n 项和T n ． (1)证明：当n ＝1时，a 1＝2.由S n ＝2a n －2，S n ＋1＝2a n ＋1－2得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，于是a n ＝2n ．(2)解：令b n ＝n ＋1a n ＝n ＋12n ，则T n ＝221＋322＋423＋…＋n ＋12n ，①①×12，得12T n ＝222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，②①－②得12T n ＝1＋122＋123＋…＋12n －n ＋12n ＋1＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1． 所以T n ＝3－n ＋32n．2．(12分)在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1．(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ⊥平面CDE ，并证明； (2)在(1)的条件下，求多面体ABCDF 的体积． 解：(1)F 为线段CE 的中点．证明如下：由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥ED ， 设H 是线段CD 的中点，连接FH ， 则FH ∥12DE ，且FH ＝12DE ．∵AB ∥12DE ，且AB ＝12DE ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH ． ∵AH ⊥CD ，AH ⊥DE ，CD ∩DE ＝D ，∴AH ⊥平面CDE ，∴BF ⊥平面CDE ． (2)∵V ABCDF ＝V A ­BCD ＋V F ­BCD ＝V B ­ACD ＋V B ­CDF＝13×S △ACD ×AB ＋13×S △CDF ×AH ＝33＋33＝233， ∴多面体ABCDF 的体积为233．3．(12分)近年，随着我国汽车消费水平的提高，二手车行业得到迅猛发展，某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1(1)记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16]”为事件A ，试估计A 的概率；(2)根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．图2由散点图看出，可采用y ＝e a ＋b 作为二手车平均交易价格y 关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫表中Y i ＝ln y i ，Y －＝110∑i ＝I 10Y i ；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i v i －n u －v－∑i ＝1nu 2i －n u －2，α^＝v －－β^u －． ②参考数据：e 2.95≈19.1，e 1.75≈5.75，e 0.55≈1.73，e －0.65≈0.52，e －1.85≈0.16．解：(1)由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4＝0.28，在(12,16]的频率为0.03×4＝0.12，所以P (A )＝0.28＋0.12＝0.40．(2)①由y ＝e a ＋b 得ln y ＝a ＋b ，即Y 关于的线性回归方程为Y ^＝a ＋b ，因为b ^＝∑i ＝110x i Y i －10x －·Y－∑i ＝110x 2i －10x －2＝79.75－10×5.5×1.9385－10×5.52＝－0.3，a ^＝Y －－b ^x －＝1.9－(－0.3)×5.5＝3.55， 所以Y 关于的线性回归方程为Y ^＝3.55－0.3， 即y 关于的回归方程为y ^＝e 3.55－0.3．②根据①中的回归方程y ^＝e 3.55－0.3和图1，对成交的二手车可预测： 使用时间在(0,4]的平均成交价格为e 3.55－0.3×2＝e 2.95≈19.1，对应的频率为0.2； 使用时间在(4,8]的平均成交价格为e 3.55－0.3×6＝e 1.75≈5.75，对应的频率为0.36； 使用时间在(8,12]的平均成交价格为e 3.55－0.3×10＝e 0.55≈1.73，对应的频率为0.28； 使用时间在(12,16]的平均成交价格为e 3.55－0.3×14＝e －0.65≈0.52，对应的频率为0.12； 使用时间在(16,20]的平均成交价格为e 3.55－0.3×18＝e －1.85≈0.16，对应的频率为0.04； 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为：(0.2×19.1＋0.36×5.75)×4%＋(0.28×1.73＋0.12×0.52＋0.04×0.16)×10%＝0.29 092≈0.29万元．4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数), 在以O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，32对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3． (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)将M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32及对应的参数φ＝π3 代入曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1，设圆C 2的半径R ，则圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ(或(－R )2＋y 2＝R 2)，将点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3代入得：∴R ＝1，∴圆C 2的方程为：ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程2＋y 2＝2，即(－1)2＋y 2＝1．(2)∵A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2均在曲线C 1上，∴ρ1cos θ24＋(ρ1sin θ)2＝1，ρ2sin θ24＋(ρ2cos θ)2＝1．所以1ρ21＋1ρ22＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2θ4＋sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋cos 2θ＝14＋1＝54． 4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f ()＝|－3|＋|＋4|． (1)求f ()≥f (4)的解集；(2)设函数g ()＝(－3)(∈R )，若f ()＞g ()对∀∈R 成立，求实数的取值范围． 解：(1)f ()＝|－3|＋|＋4|，∴f ()≥f (4)， 即|－3|＋|＋4|≥9，∴⎩⎨⎧ x ≤－4，3－x －x －4≥9 ①或⎩⎨⎧ －4＜x ＜3，3－x ＋x ＋4≥9②或⎩⎨⎧x ≥3，x －3＋x ＋4≥9③解不等式①：≤－5；②：无解；③：≥4， 所以f ()≥f (4)的解集为{|≤－5或≥4}．(2)f ()＞g ()即f ()＝|－3|＋|＋4|的图象恒在g ()＝(－3)，∈R 图象的上方，可以作出f ()＝|－3|＋|＋4|＝⎩⎨⎧－2x －1，x ≤－4，7，－4＜x ＜3，2x ＋1，x ≥3的图象，而g ()＝(－3)，∈R 图象为恒过定点P (3,0)，且斜率变化的一条直线，作出函数y ＝f ()，y ＝g ()图象如图，其中PB＝2，可求：A(－4,7)，∴PA＝－1，由图可知，要使得f()的图象恒在g()图象的上方，实数的取值范围为－1＜≤2．。

题型突破练——中档题专练中档题专练(一)建议用时：分钟．[·皖北协作区联考(二)]设△的三内角，，所对的边分别为，，且(－)＝(－).()求的值；()若＝，且△的周长为，求的值．解()由正弦定理得，(－)＝(－)，化简可得(＋)＝(＋)．又＋＋＝π，所以＝，因此＝.()由＝得＝，由余弦定理及＝得＝＋－＝＋－×＝.所以＝.又＋＋＝，从而＝，因此＝.．[·郑州质量预测(一)]如图，在四棱锥－中，底面为直角梯形，∥，⊥底面，∠＝°，＝，为的中点，为棱的中点．()证明：∥平面；()已知＝＝＝，求点到平面的距离．解()证明：连接交于，连接，因为∠＝°，＝，为的中点，所以为的中点．又为的中点，即＝，则为△的中位线，故∥，又⊂平面，所以∥平面. ()由()可知，∥平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以－＝－＝－，取的中点，连接，所以∥，＝＝，又⊥底面，所以⊥底面.又＝＝，＝＝，所以＝，＝，＝，＝，所以－＝－＝－＝····＝△＝，则点到平面的距离＝＝.．[·贵州七校联考(一)]从某校高三年级学生中抽取名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩(满分分，成绩均为不低于分的整数)分成六段：[)，[)，…，[]后得到如图的频率分布直方图．()若该校高三年级有人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于分的人数及相应的平均分(平均分保留到百分位)；()若从[)与[]这两个分数段内的学生中随机选取名学生，求这名学生成绩之差的绝对值不大于的概率．解()由于图中所有小矩形的面积之和等于，所以×(＋＋＋＋＋)＝，解得＝.根据频率分布直方图，成绩不低于分的频率为－×(＋)＝.。

2020届高考文科数学二轮专题复习新课标3卷解答题训练大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P--.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.2.(2019北京,文15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.4.已知函数f(x)=cos--2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时,f(x)≥-.5.已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-上的最大值为,求m的最小值.6.(2019福建泉州5月质检,17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+b=5,(2a+b)·cos C+c·cos B=0.(1)若△ABC的面积为,求c;(2)若点D为线段AB的中点,∠ACD=30°,求a,b.大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)由角α的终边过点P--,得sinα=-,所以sin(α+π)=-sinα=.(2)由角α的终边过点P--,得cosα=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-或cosβ=.2.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得b2=32+c2-2×3×c×-.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-.解得c=5,所以b=7.(2)由cos B=-得sin B=.由正弦定理得sin A=sin B=.在△ABC中,B+C=π-A.所以sin(B+C)=sin A=.3.(1)证明根据正弦定理,可设=k(k>0).则a=k sin A,b=k sin B,c=k sin C.代入中,有,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin A sin B=sin C.(2)解由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=-.所以sin A=-.由(1),sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.4.(1)解f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时,f(x)≥-.5.解(1)因为f(x)=-sin2x=sin2x-cos2x+=sin-,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)由(1)知f(x)=sin-.因为x∈-,所以2x---.要使f(x)在-上的最大值为,即sin-在-上的最大值为1.所以2m-,即m≥.所以m的最小值为.6.解(1)∵(2a+b)cos C+c cos B=0,∴(2sin A+sin B)cos C+sin C cos B=0,即2sin A cos C+sin B cos C+sin C cos B=0.∴2sin A cos C+sin(B+C)=0,即2sin A cos C+sin A=0.∵A∈(0,π),∴sin A≠0.∴cos C=-.∵C∈(0,π),∴sin C=.∴S△ABC=a·b sin C=.∴ab=2.在△ABC中,c2=a2+b2-2ab cos C=(a+b)2-ab=25-2=23,∴c=.(2)∵cos C=-,∴C=120°.又∠ACD=30°,∴∠BCD=90°.记∠ADC=θ,AD=BD=m,在直角三角形BCD中,a=m sinθ.,在△ACD中,°∴b=2m sinθ.∴b=2a.又a+b=5,∴a=,b=.大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(2019湖北4月调研,17)已知数列{a n}满足a2-a1=1,其前n项和为S n,当n≥2时,S n-1-1,S n,S n+1成等差数列.(1)求证{a n}为等差数列;(2)若S n=0,S n+1=4,求n.2.(2019吉林实验中学检测,17)已知等差数列{a n}满足a4=7,2a3+a5=19.(1)求a n;(2)设{b n-a n}是首项为2,公比为2的等比数列,求数列{b n}的通项公式及前n项和T n.3.设{a n}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求{a n}的通项公式.(2)求+…+.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列的前n项和T n.5.已知函数f(x)=,数列{a n}满足:2a n+1-2a n+a n+1a n=0,且a n a n+1≠0.在数列{b n}中,b1=f(0),且b n=f(a n-1).(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列{|b n|}的前n项和T n.6.已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{b n}的通项公式.大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)证明当n≥2时,由S n-1-1,S n,S n+1成等差数列,可知2S n=S n-1-1+S n+1,即S n-S n-1=-1+S n+1-S n,即a n=-1+a n+1(n≥2),则a n+1-a n=1(n≥2),又a2-a1=1,故{a n}是公差为1的等差数列.(2)解由(1)知等差数列{a n}的公差为1.由S n=0,S n+1=4,得a n+1=4,即a1+n=4.由S n=0,得na1+-=0,即a1+-=0,解得n=7.2.解(1)由题意得解得∴a n=1+2(n-1)=2n-1.(2)由题意可知b n-a n=2n,∴b n=2n+2n-1,∴T n=(2+22+…+2n)+[1+3+…+(2n-1)],∴T n=2n+1+n2-2.3.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a2+a3=5ln2.∴2a1+3d=5ln2,又a1=ln2,∴d=ln2.∴a n=a1+(n-1)d=n ln2.(2)由(1)知a n=n ln2.∵=e n ln2==2n,∴{}是以2为首项,2为公比的等比数列.∴+…+=2+22+ (2)=2n+1-2.∴+…+=2n+1-2.4.解(1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=.(2)∵--+22n+1,∴T n=--+…+-----(22n+3-8)=-.5.(1)证明∵2a n+1-2a n+a n+1a n=0,∴, 故数列是以为公差的等差数列.(2)解∵b1=f(0)=5,∴--=5,7a1-2=5a1,∴a1=1,=1+(n-1)·,∴a n=,b n=-=7-(n+1)=6-n.当n≤6时,T n=(5+6-n)=-;当n≥7时,T n=15+-(1+n-6)=-.故T n=--6.解(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8=20,解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.(2)设c n=(b n+1-b n)a n,数列{c n}前n项和为S n,由c n=--解得c n=4n-1.由(1)可知a n=2n-1,所以b n+1-b n=(4n-1)·-.故b n-b n-1=(4n-5)·-,n≥2,b n-b1=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·-+(4n-9)·-+…+7·+3.设T n=3+7·+11·+…+(4n-5)·-,n≥2,T n=3·+7·+…+(4n-9)·-+(4n-5)·-,所以T n=3+4·+4·+…+4·--(4n-5)·-,因此T n=14-(4n+3)·-,n≥2,又b1=1,所以b n=15-(4n+3)·-.大题专项(三)统计与概率问题1.随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:(1)求y关于t的回归方程t+;(2)用所求回归方程预测该地区2021年(t=8)的人民币储蓄存款.附:回归方程t+中,--.2.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.3.好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)4.4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:min)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60 min的学生称为“读书迷”,低于60 min的学生称为“非读书迷”,(1)求x的值并估计全校3 000名学生中“读书迷”大概有多少?(将频率视为概率)(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关:附K2=-,其中n=a+b+c+d.5.(2019天津,文15)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F .享受情况如下表,其中.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M 发生的概率.6.为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下图,记成绩不低于70分者为“成绩优良”.(1)分别计算甲、乙两班20个样本中化学分数前十的平均分,并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳; (2)甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,求这2人来自不同班级的概率;(3)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“ 附:K2= -(n=a+b+c+d ).独立性检验临界值表:大题专项(三)统计与概率问题1.解(1)列表计算如下:这里n=5,t i==3,y i==7.2.又l tt=-n=55-5×32=10,l ty=t i y i-n120-5×3×7.2=12,从而=1.2,=7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为=1.2t+3.6.(2)将t=8代入回归方程可预测该地区2021年的人民币储蓄存款为=1.2×8+3.6=13.2(千亿元).2.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y ∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=.事件C包含的基本事件数共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=.因为,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.3.解(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,故所求概率为=0.025.(2)(方法一)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故估计所求概率为1-=0.814.(方法二)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628(部).由古典概型概率公式,得P(B)==0.814.(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.4.解(1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1,可得x=0.025.因为(0.025+0.015)×10=0.4,将频率视为概率,由此可以估算出全校3000名学生中“读书迷”大概有1200人.(2)完成下面的2×2K2=-≈8.249.由8.249>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关.5.解(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{ E,F},共15种.②由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=.6.解(1)甲班样本化学成绩前十的平均分为×(72+74+74+79+79+80+81+85+89+96)=80.9;甲乙班样本化学成绩前十的平均分为×(78+80+81+85+86+93+96+97+99+99)=89.4;乙甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分,大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳.(2)样本中成绩60分以下的学生中甲班有4人,记为a,b,c,d,乙班有2人,记为1,2.则从a,b,c,d,1,2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下:ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12,一共有15个基本事件,设A表示“这2人来自不同班级”有如下:a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,一共有8个基本事件,所以P(A)=.(3)根据2×2列联表中的数据,得K2的观测值为k=-≈3.956>3.841,∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求点C到平面APB的距离.2.(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.3.已知P A⊥平面ABCD,CD⊥AD,BA⊥AD,CD=AD=AP=4,AB=2.(1)求证:CD⊥平面ADP;(2)若M为线段PC上的点,当BM⊥PC时,求三棱锥B-APM的体积.4.(2019安徽淮南模拟,19)如图,△ABC的外接圆O的直径为AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD.(1)求证:平面ADC⊥平面BCDE;(2)试问在线段DE和BC上是否分别存在点M和F,使得平面OMF∥平面ACD?若存在,确定点M和点F的位置;若不存在,请说明理由.5.(2019天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面P AC⊥平面PCD,P A⊥CD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面P AD;(2)求证:P A⊥平面PCD;(3)求直线AD与平面P AC所成角的正弦值.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,P A⊥底面ABCD,P A=AC,过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面P AB⊥平面PBC.(2)若PC⊥平面AEFG,求的值.(3)直线AE是否可能与平面PCD平行?证明你的结论.大题专项(四)立体几何综合问题1.(1)证明取AB的中点D,连接PD,CD.∵AP=BP,∴PD⊥AB.∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD.∵PC⊂平面PCD,∴PC⊥AB.(2)解由(1)知AB⊥平面PCD,∴平面APB⊥平面PCD.过C作CH⊥PD,垂足为H.∵平面APB∩平面PCD=PD,∴CH⊥平面APB.∴CH的长即为点C到平面APB的距离.由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且AB∩AC=A,∴PC⊥平面ABC.∵CD⊂平面ABC,∴PC⊥CD.在Rt△PCD中,CD=AB=,PD=PB=,∴PC=-=2.CH=,∴点C到平面APB的距离为.2.证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.3.(1)证明因为P A⊥平面ABCD,P A⊂平面ADP,所以平面ADP⊥平面ABCD.因为平面ADP∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,所以CD⊥平面ADP.(2)解取CD的中点F,连接BF,在梯形ABCD中,因为CD=4,AB=2,所以BF⊥CD.又BF=AD=4,所以BC=2.在△ABP中,由勾股定理求得BP=2.所以BC=BP.又知点M在线段PC上,且BM⊥PC,所以点M为PC的中点.在平面PCD中过点M作MQ∥DC交DP于Q,连接QB,QA,则V三棱锥B-APM=V三棱锥M-APB=V三棱=V三棱锥B-APQ=×2=×2×2.锥Q-APB4.(1)证明∵△ABC的外接圆O的直径为AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD,∴AC⊥BC,AC⊥DC.∵BC∩DC=C,∴AC⊥平面BCDE.∵AC⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BCDE.(2)解存在点M和F,使得平面OMF∥平面ACD.取BC的中点M,DE的中点F,连接OM,MF,OF.∵O是AB的中点,∴OM∥AC,MF∥CD.∵AC∩CD=C,OM∩MF=M,AC,CD⊂平面ACD,OM,MF⊂平面OMF,∴平面OMF∥平面ACD.5.(1)证明如图,连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GH∥PD.又因为GH⊄平面P AD,PD⊂平面P AD,所以GH∥平面P AD.(2)证明取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面P AC⊥平面PCD,平面P AC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面P AC,又P A⊂平面P AC,故DN⊥P A.又已知P A⊥CD,CD∩DN=D,所以P A⊥平面PCD.(3)解连接AN,由(2)中DN⊥平面P AC,可知∠DAN为直线AD与平面P AC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin ∠DAN=.所以,直线AD与平面P AC所成角的正弦值为.6.(1)证明因为P A⊥平面ABCD,所以P A⊥BC.因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥BC,所以BC⊥平面P AB.所以平面P AB⊥平面PBC.(2)解连接AF.因为PC⊥平面AEFG,所以PC⊥AF.又因为P A=AC,所以F是PC的中点.所以.(3)解AE与平面PCD不可能平行.证明如下:假设AE∥平面PCD,因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,所以AB∥平面PCD.而AE,AB⊂平面P AB,所以平面P AB∥平面PCD,这显然矛盾.所以假设不成立,即AE与平面PCD不可能平行.大题专项(五)解析几何综合问题1.如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足P A,PB 的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△P AB面积的取值范围.2.已知椭圆C:=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线P A与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.3.(2019北京,文19)已知椭圆C:=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.4.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB 为直径的圆在y轴上截得的弦长为2.(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设=λ1=λ2,试问λ1+λ2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.5.(2019天津,文19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B,已知|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.6.(2019全国大联考,19)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且圆x2+y2-2x-3y=0的圆心在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线y=mx+n与椭圆C只有一个公共点M,且与直线x=4相交于点N,问x轴上是否存在点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.大题专项(五)解析几何综合问题1.(1)证明设P(x0,y0),A,B.因为P A,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程=4·,即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实根.所以y1+y2=2y0,因此,PM垂直于y轴.(2)解由(1)可知-所以|PM|=)-x0=-3x0,|y1-y2|=2-.因此,△P AB的面积S△P AB=|PM|·|y1-y2|=-4x0.因为=1(x0<0),所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5],因此,△P AB面积的取值范围是.2.(1)解由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.又c=-,所以离心率e=.(2)证明设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.又A(2,0),B(0,1),所以直线P A的方程为y=-(x-2).令x=0,得y M=--,从而|BM|=1-y M=1+-.直线PB的方程为y=-x+1.令y=0,得x N=--,从而|AN|=2-x N=2+-.所以四边形ABNM的面积S=|AN|·|BM|=--=----=----=2.从而四边形ABNM的面积为定值.3.(1)解由题意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为y=-x+1.令y=0,得点M的横坐标x M=--.又y1=kx1+t,从而|OM|=|x M|=-.同理,|ON|=-.由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.则x1+x2=-,x1x2=-.所以|OM|·|ON|=--=--=-----=2-.又|OM|·|ON|=2,所以2-=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).4.解(1)由已知:直线m的方程为y=x-,代入y2=2px,得x2-3px+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且线段AB的中点为, 由已知()2+=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l:y=kx+2(k≠0),则D-,联立得k2x2+4(k-1)x+4=0.由Δ>0得k<.设F(x3,y3),G(x4,y4),则x3+x4=-,x3x4=.=λ1⇒(x3,y3-2)=λ1---,=λ2⇒(x4,y4-2)=λ2---,所以λ1=--=-,λ2=-.则λ1+λ2=-=-.将x3+x4=-,x3x4=代入上式得λ1+λ2=-1.即λ1+λ2为定值-1.5.解(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=a2+c2,解得.所以,椭圆的离心率为.(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为=1,由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=(x+c).点P的坐标满足消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-.代入到l的方程,解得y1=c,y2=- c.因为点P在x轴上方,所以P c,c.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),所以,解得t=2.因为圆C与x轴相切,所以圆的半径为2,又由圆C与l相切,得-=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为=1.6.解(1)由e=(其中e为椭圆C的离心率),得--,即3a2=4b2.又圆x2+y2-2x-3y=0的圆心在椭圆C上,所以=1.联立解得故椭圆C的标准方程为=1.(2)联立消去y,整理得(3+4m2)x2+8mnx+4n2-12=0.因为直线y=mx+n与椭圆C只有一个公共点M,所以Δ=64m2n2-4(3+4m2)(4n2-12)=0,即n2=3+4m2.设点M的坐标为(x M,y M),则x M=-=-,y M=mx M+n=,即M-.假设x轴上存在点P(t,0),使得以MN为直径的圆恒过点P.因为N(4,4m+n),所以--=(4-t,4m+n).所以--(4-t)+(4m+n)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立.所以即t=1.-所以在x轴上存在点P(1,0),使得以MN为直径的圆恒过点P.大题专项(六)函数与导数综合问题1.已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.2.设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.3.(2019贵州遵义模拟,20)设函数f(x)=x3-x2+ax,a∈R.(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;(2)已知函数g(x)=f(x)-ax2+,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.4.已知函数f(x)=-2x ln x+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.5.(2019江西吉安一中等八校联考,21)已知函数f(x)=ax-a+1-.(1)若函数f(x)为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.6.(2019北京,文20)已知函数f(x)=x3-x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.大题专项(六)函数与导数综合问题1.解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-a e x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在区间(-∞,+∞)内单调递增.②若a>0,则由f'(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+∞)内单调递增.③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln-.当x∈--时,f'(x)<0;当x∈-时,f'(x)>0.故f(x)在区间--内单调递减,在区间-内单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时,f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln-时,f(x)取得最小值,最小值为f-=a2--.从而当且仅当a2--≥0,即a≥-2时f(x)≥0.综上,a的取值范围是[-2,1].2.解(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x.所以f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.(2)(方法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x.若a>1,则当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)e x.当a=0时,令f'(x)=0,得x=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2e x≥0,∴f(x)在R上单调递增,∴f(x)无极值,不符合题意.②当x1>x2,∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意.③当x1<x2,即∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.当a<0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).3.解(1)因为f(x)=x3-x2+ax,a∈R,所以f'(x)=x2-x+a.因为x=2是f(x)的极值点,所以f'(2)=4-2+a=0,解得a=-2.(2)因为g(x)=x3-(1+a)x2+ax+,所以g'(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a).①当a≥1时,x∈(0,1),g'(x)>0恒成立,即g(x)单调递增.又g(0)=>0,因此函数g(x)在区间(0,1)内没有零点.②当0<a<1时,x∈(0,a),g'(x)>0,即g(x)单调递增;x∈(a,1),g'(x)<0,即g(x)单调递减.又g(0)=>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)<0,所以(1+a)+a+<0.解得a<-1,舍去.③当a≤0时,x∈(0,1),g'(x)<0,即g(x)单调递减;又g(0)=>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)<0,解得a<-1满足条件.综上可得,a的取值范围是(-∞,-1).4.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-1-ln x-a),所以g'(x)=2--.当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.(2)证明由f'(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令φ(x)=-2x ln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2x ln x,则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)内单调递增.故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.再由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增,当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0;又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2x ln x>0.故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.5.解(1)∵f(x)=ax-a+1-,∴f'(x)=a--.∵函数f(x)为减函数,∴f'(x)≤0,即a≤-对x∈(0,+∞)恒成立.设m(x)=-,则m'(x)=-.∴m(x)在区间(0,)内单调递减,在区间(,+∞)内单调递增.∴m(x)min=m()=-.∴a≤-,即a≤-e-3,故实数a的取值范围是(-∞,-e-3].(2)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=---.设h(x)=ax2-(a-1)x-ln x,则原命题等价于函数h(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.可知h'(x)=ax-(a-1)-=----,∴当a≥0时,函数h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增,∴若函数h(x)有两个不同的零点,则必有h(1)=-a+1<0,即a>2.此时,在x∈(1,+∞)内,有h(2)=2a-2(a-1)-ln2=2-ln2>0;在x∈(0,1)内,∵h(x)=a(x2-2x)+x-ln x,∵-1<x2-2x<0,∴h(x)>-a+x-ln x,∴h(-)>-a+--ln(-)=->0,∴h(x)在区间(0,1),(1,+∞)内各有一个零点,故a>2符合题意;当a=-1时,可知函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意;当-1<a<0时,可知函数h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间-内单调递增,在区间-内单调递减,∴函数h(x)的极小值为h(1)=-a+1>0,∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意;当a<-1时,可知函数h(x)在区间-内单调递减,在区间-内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,∴函数h(x)的极小值为h-(a-1)-ln-=1-+ln(-a)>0,∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(2,+∞).6.(1)解由f(x)=x3-x2+x得f'(x)=x2-2x+1.令f'(x)=1,即x2-2x+1=1,得x=0或x=.又f(0)=0,f,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-=x-,即y=x与y=x-.(2)证明令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4].由g(x)=x3-x2得g'(x)=x2-2x,令g'(x)=0得x=0或x=.g'(x),g(x)所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.(3)解由(2)知,当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3;当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;当a=-3时,M(a)=3.综上,当M(a)最小时,a=-3.大题综合练(一)1.(2019天津,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3c sin B=4a sin C.(1)求cos B的值;(2)求sin(2B+)的值.2.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?3.如图,在三棱锥P-ABC中,平面P AC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2, PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.5.已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=x e x f'(x).(1)求k的值和F(x)的单调区间;(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞)使得g(x2)<F(x1),求实数a的取值范围.大题综合练(一)1.解(1)在△ABC中,由正弦定理,得b sin C=c sin B,又由3c sin B=4a sin C,得3b sin C=4a sin C,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cos B=--=-.(2)由(1)可得sin B=-,从而sin2B=2sin B cos B=-,cos2B=cos2B-sin2B=-,故sin2B+=sin2B cos+cos2B sin=-=-.2.解(1)当x≤19时,y=3800;当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y与x的函数解析式为y=-(x∈N).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4000×90+4500×10)=4050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.3.(1)证明由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.又平面P AC⊥平面ABC,平面P AC∩平面ABC=AC,PE⊂平面P AC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)解设BC=x,则在Rt△ABC中,AB=--,从而S△ABC=AB·BC=-.,即S△AFE=S△ABC.由EF∥BC知,,得△AFE∽△ABC,故△△由AD=AE,S△AFD=S△AFE=S△ABC=S△ABC=-,从而四边形DFBC的面积为S四边形=S△ABC-S△AFD=---.DFBC由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE=--=2.体积V P-DFBC=·S四边形DFBC·PE=-·2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3.所以,BC=3或BC=3.4.解(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①证明:由消去x得y2+2py-2pb=0.(*) -因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上, 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0, 所以p<.因此,p的取值范围是.5.解(1)f'(x)=--,f'(1)=-=0,∴k=1.∴F(x)=x e x f'(x)=1-x ln x-x,∴F'(x)=-ln x-2.由F'(x)=-ln x-2>0⇒0<x<,由F'(x)=-ln x-2<0⇒x>,∴F(x)的单调增区间为,单调减区间为.(2)∵对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),∴g(x)max<F(x)max.由(1)知,当x=时,F(x)取得最大值F=1+.对于g(x)=-x2+2ax,其对称轴为x=a.①当0<a≤1时,g(x)max=g(a)=a2,∴a2<1+,从而0<a≤1;②当a>1时,g(x)max=g(1)=2a-1,∴2a-1<1+.从而1<a<1+.综上可知:0<a<1+.大题综合练(二)1.在等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 2.为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50]上的女生数与体重在区间(50,60]上的女生数之比为4∶3.(1)求a,b的值;(2)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.3.如图,四边形ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于点F,且点F在CE上.(1)求证:AE⊥BE;(2)求三棱锥D-AEC的体积;(3)设点M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点为F1(-,0),F2(,0),圆O的直径。

中档大题满分练3.数列(A组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=a(a∈R),a1,a2,a4成等比数列. (1)求数列{a n}的通项公式.(2)记的前n项和为A n,的前n项和为B n,当n≥2时,判断A n与B n的大小.【解析】(1)设{a n}的公差为d,则由a1,a2,a4成等比数列,得a1=a≠0且=a1·a4,所以(a1+d)2=a1(a1+3d).因为d≠0,所以解得d=a1=a,所以a n=na.(2)由(1)得S n=,所以=.所以A n==,又因为=2n-1·a,=·,所以B n==·=.当n≥2时,2n=++…+>1+n>0,即1-<1-,所以,当a>0时,A n<B n;当a<0时,A n>B n.2.已知数列{a n}满足a n+1=2a n+2n+1,且a1=2.(1)证明:数列是等差数列.(2)设数列c n=-log2,求数列{c n}的前n项和S n.【解析】(1)方法一:-=-=+-=1,且=1. 所以数列是以1为首项,公差为1的等差数列.方法二:由已知,a n+1=2a n+2n+1两边除以2n+1得=+1,即-=1,又=1.所以数列是以1为首项,公差为1的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)×1=n,故a n=n·2n.所以c n=2n-n.所以S n=c1+c2+c3+…+c n=(21-1)+(22-2)+(23-3)+…+(2n-n)=(21+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=-=2n+1--2.故数列{c n}的前n项和为S n=2n+1--2.关闭Word文档返回原板块。

稳取120分保分练(三) 一、选择题1．已知集合U ＝{－1,0,1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．∅D ．{－1}解析：选D 依据题意，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，而U ＝{－1,0,1}，则A ＝{0,1}，则∁U A ＝{－1}． 2．已知正方形ABCD 的边长为1，AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CD ―→＝c ，则|a ＋b ＋c |＝( ) A ． 1 B. 2 C ．2 2D ．3解析：选A a ＋b ＋c ＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝AD ―→，∴|a ＋b ＋c |＝|AD ―→|＝1.3．某网店出售一种饼干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四种口味，一位顾客在该店购买了两袋这种饼干，“口味”选择“随机派送”，则这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味的概率是( )A.116 B.14 C.25 D.23解析：选B 基本大事总数n ＝16，这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味包含的基本大事个数m ＝4，∴这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味的概率P ＝m n ＝14.4．若x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y －3≥0，2x ＋y －6≤0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．－1D ．3解析：选B 变量x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y －3≥0，2x ＋y －6≤0的可行域如图所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，平移直线y ＝12x －12z ，由图象可知当直线y ＝12x －12z 过点A 时，直线y ＝12x －12z 在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y －6＝0，得A (2,2)，代入目标函数z ＝x －2y ，得z ＝2－4＝－2. ∴目标函数z ＝x －2y 的最小值是－2.5．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.66 B.65 C.64 D.63解析：选C A ＝2B ，即有sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理可得，a ＝2b cos B ，又a ＝62b ，则62b ＝2b cos B ，则有cos B ＝64. 6．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n ＜0，则( )A ．a 1＜0,0＜q ＜1B ．a 1＜0，q ＞1C ．a 1＞0,0＜q ＜1D ．a 1＞0，q ＞1解析：选A ∵S n ＜0，∴a 1＜0，又数列{a n }为递增的等比数列，∴a n ＋1＞a n ，且|a n |＞|a n ＋1|，则－a n ＞－a n＋1，即q ＝－a n ＋1－a n∈(0,1)，∴a 1＜0,0＜q ＜1.7．图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．8－4π3B ．8－π C．8－2π3D ．8－π3解析：选D 依据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体挖去半个圆锥体所得，如图所示．结合图中数据，计算它的体积为V ＝23－12×13×π×12×2＝8－π3. 8．函数y ＝x 3＋ln(x 2＋1－x )的图象大致为( )解析：选B 函数的定义域是R ，且f (－x )＝(－x )3＋ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )，故函数是奇函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋ln 5－12<0，f (2)＝8＋ln(5－2)＞0，故选B. 9．执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2，则输出b ＝( )A ．－2B ．1C ．2D ．4解析：选B 由题意，a ＝12，b ＝1，i ＝2；a ＝－1，b ＝－2，i ＝3；a ＝2，b ＝4，i ＝4； a ＝12，b ＝1，i ＝5；…；a ＝12，b ＝1，i ＝2 015；a ＝－1，b ＝－2，i ＝2 016； a ＝2，b ＝4，i ＝2 017；a ＝12，b ＝1，i ＝2 018>2 017，退出循环，输出b ＝1，故选B.10．将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π6个单位长度，则所得图象的一个对称中心是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0解析：选C f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．再将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度，得函数h (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，明显函数h (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z)，取k ＝0，得图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0.11．已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的顶点A 1，B 1，C 1在同一球面上，且平面ABC 经过球心，若此球的表面积为4π，则该三棱柱的侧面积的最大值为( )A.32 B. 3 C.332D ．3 3解析：选C ∵此球的表面积为4π，∴此球半径R ＝1，如图，设正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的顶点A 1，B 1，C 1所在球面的小圆的半径为r ，球心到顶点A 1，B 1，C 1所在球面的小圆的距离为d ，则r 2＋d 2＝R 2＝1，∴该三棱柱的侧面积S ＝3×3r ×d ≤33×r 2＋d 22＝33×12＝332，当且仅当r ＝d＝22时等号成立． ∴该三棱柱的侧面积的最大值为332.12．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆：x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则C 的离心率为( )A.33 B.53 C.104D.175解析：选D 如图，取PF 的中点H ，椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是AB 的中点，∴OH ⊥AB . 设OH ＝d ，则PE ＝2d ，PF ＝2a －2d ，AH ＝a －d3，在Rt △OHA 中，OA 2＝OH 2＋AH 2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，FH ＝45a ，OH ＝a5，OF ＝c ，由OF 2＝OH 2＋FH 2，得c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 52，化简得17a 2＝25c 2，ca ＝175.即C 的离心率为175. 二、填空题13．已知复数z ＝1＋3i2＋i ，则|z |＝________.解析：z ＝1＋3i2＋i ＝1＋3i2－i 2＋i2－i ＝5＋5i 5＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.答案： 214．已知α是第一象限角，且sin(π－α)＝35，则tan α＝________.解析：∵α是第一象限角，且sin(π－α)＝sin α＝35，∴cos α＝1－sin 2 α＝45，则tan α＝sin αcos α＝34. 答案：3415．过双曲线x 2－y 2＝1焦点的直线垂直于x 轴，交双曲线于A ，B 两点，则|AB |＝_________. 解析：双曲线的方程为x 2－y 2＝1，其焦点坐标为(±2，0)，直线AB 的方程为x ＝2或x ＝－2，联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，x ＝±2，解得y ＝±1，则|AB |＝2. 答案：216．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f ′(x )＝ax＋2x ＋a －6.①若函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上单调递增，则f ′(x )＝a x ＋2x ＋a －6≥0在(0,3)上恒成立，即a ≥6x －2x 2x ＋1＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1＋4x ＋1－5在(0,3)上恒成立，对于函数g (t )＝t ＋4t，t ∈(1,4)，有g (t )∈[4,5)，∴a ≥2；②若函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上单调递减，则f ′(x )＝a x ＋2x ＋a －6≤0在(0,3)上恒成立，即a ≤6x －2x 2x ＋1＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1＋4x ＋1－5在(0,3)上恒成立，对于函数g (t )＝t ＋4t，t ∈(1,4)，有g (t )∈[4,5)，∴a ≤0.由于函数f (x )在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是(0,2)．答案：(0,2) 三、解答题17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝2，S 5＝15，数列{b n }的前n 项和T n 满足T n ＝(n ＋5)a n . (1)求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n b n 的前n 项和． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝2，S 5＝15，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，5a 1＋12×5×4d ＝15，解得a 1＝d ＝1，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，n ∈N *.(2)T n ＝(n ＋5)a n ＝n (n ＋5)，当n ＝1时，b 1＝T 1＝6；n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋5)－(n －1)(n ＋4)＝2n ＋4，上式对n ＝1也成立．则1a nb n ＝1n2n ＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n b n 的前n 项和为14⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14n ＋1－14n ＋2. 18．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π.由于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6， 又由于f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6·sin π6＝3－4310. 19．某通讯商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位：元)月套餐流量(单位：M)A 20 300 B30500户充值200M 流量，资费20元；假如又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M 流量，资费20元/次，依此类推，假如当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．小王过去50个月的手机月使用流量(单位：M)的频数分布表如下：月使用 流量分组[100， 200](200， 300](300， 400](400， 500](500， 600](600， 700]频数 4 11 12 18 4 1依据小王过去50个月的手机月使用流量状况，回答下列问题：(1)若小王订购A 套餐，假设其手机月实际使用流量为x (单位：M,100≤x ≤700)月流量费用y (单位：元)，将y 表示为x 的函数；(2)小王拟从A 套餐或B 套餐中选订一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？并说明理由．解：(1)依题意，当100≤x ≤300时，y ＝20；当300＜x ≤500时，y ＝20＋20＝40；当500＜x ≤700时，y ＝20＋20×2＝60.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20，100≤x ≤300，40，300<x ≤500，60，500<x ≤700.(2)由频数分布表知，小王在过去的50个月中，手机月使用流量x ∈[100,300]的有15个月，x ∈(300,500]的有30个月，x ∈(500,700]的有5个月．若订购A 套餐，月平均费用为：Y 1＝150(20×15＋40×30＋60×5)＝36(元)；若订购B 套餐，月平均费用为：Y 2＝150(30×45＋50×5)＝32(元)．∴Y 1＞Y 2.因此，若以月平均费用作为决策依据，小王应订购B 套餐． 20.在如图所示的多面体中，底面ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形．(1)求证：AE ∥平面BCF ；(2)若AD ⊥DE ，AD ＝DE ＝1，AB ＝2，∠BAD ＝60°，求三棱锥F ­AEC 的体积．解：(1)证明：∵底面ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∵AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AD ∥平面BCF ， ∵四边形BDEF 是矩形，∴DE ∥BF ，∵DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF ， ∵AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ∥平面BCF ，∵AE ⊂平面ADE ，∴AE ∥平面BCF .(2)设AC ∩BD ＝O ，则O 为AC 的中点，连接OE ，OF ，则V F ­AEC ＝V C ­AEF＝2V O ­AEF ＝2V A ­OEF ，在△ABD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos∠BAD ，∴BD ＝3，∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD ， ∵DE ⊥AD ，BD ∩DE ＝D ，∴AD ⊥平面BDEF ， 故AD 为A 到平面BDEF 的距离，∵DE ＝1，∴S △OEF ＝12S 矩形BDEF ＝12×BD ×DE ＝32，∴V A ­OEF ＝13S △OEF ·AD ＝36，∴三棱锥F ­AEC 的体积V F ­AEC ＝2V A ­OEF ＝33.。

中档大题标准练三建议用时：60分钟一、解答题1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设b＝2，且2b co B＝a co C ＋c co A1求B的大小；2求△ABC面积的最大值．2．等差数列{a n}中，公差d≠0，S7＝35，且a2，a5，a11成等比数列．1求数列{a n}的通项公式；2假设T n为数列错误!的前n项和，且存在n∈N*，使得T n－λa n＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．3在边长为6 cm的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，M，N分别为AB，CF的中点，现沿AE，AF，EF折叠，使B，C，D三点重合于B，构成一个三棱锥如下图．1在三棱锥上标注出M、N点，并判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；2G是线段AB上一点，且错误!错误!的体积．4．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入方案，收集了近期前期广告投入量单位：万元和收益单位：万元的数据．对这些数据作了初步处理，得到了如图的散点图共21个数据点及一些统计量的值．为了进一步了解广告投入量对收益的影响，公司三位员工①②③对历史数据进行分析，查阅大量资料，分别提出了三个回归方程模型：表中u i＝n i，v i＝错误!，参考数据：错误!≈，错误!≈1根据散点图判断，哪一位员工提出的模型不适合用来描述与之间的关系？简要说明理由；2根据1的判断结果及表中数据，在余下两个模型中分别建立收益关于投入量的关系，并从数据相关性的角度考虑，在余下两位员工提出的回归模型中，哪一个是最优模型即更适宜作为收益关于投入量的回归方程？说明理由；附：对于一组数据1，1，2，2，…，n，n，其回归直线错误!错误!错误!错误!为棱CE 的中点．图641求证：直线DM⊥平面CBE；2当四面体D-ABE的体积最大时，求四棱锥E-ABCD的体积．6．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系O中，设直线：错误!t为参数，曲线C1：错误!θ为参数，在以O为极点、正半轴为极轴的极坐标系中：1求C1和的极坐标方程；2设曲线C2：ρ＝4in θ曲线θ＝α错误!，分别与C1、C2交于A、B两点，假设AB 的中点在直线上，求|AB|7[选修4－5：不等式选讲]设函数f＝|－3|－|＋1|，∈R1解不等式f＜－1；2设函数g＝|＋a|－4，且g≤f在∈[－2,2]上恒成立，求实数a的取值范围．习题答案1答案：见解析解析：1由正弦定理错误!＝错误!＝错误!可得，2in B co B＝in A co C＋in C co A＝in B，∵in B＞0，故co B＝错误!，∵0＜B＜π，∴B＝错误!2由b＝2，B＝错误!，由余弦定理可得ac＝a2＋c2－4，由根本不等式可得ac＝a2＋c2－4≥2ac－4，ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，S△ABC＝错误!ac in B取得最大值错误!×4×错误!＝错误!，故△ABC面积的最大值为错误!2答案：见解析解析：1由题意可得错误!即错误!又∵d≠0，∴a1＝2，d＝1，∴a n＝n＋12∵错误!＝错误!＝错误!－错误!，∴T n＝错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!，∵∃n∈N*，使得T n－λa n＋1≥0成立，∴∃n∈N*，使得错误!－λn＋2≥0成立，即∃n∈N*，使得λ≤错误!成立，又错误!＝错误!≤错误!＝错误!当且仅当n＝2时取等号，∴λ≤错误!，即实数λ的取值范围是错误!3答案：见解析解析：1因翻折后B，C，D重合，所以MN应是△ABF的一条中位线，如下图．那么MN∥平面AEF证明如下：错误!⇒MN∥平面AEF2存在点G使得AB⊥平面EGF，此时λ＝1，因为错误!⇒AB⊥平面EBF又G是线段AB上一点，且错误!错误!错误!错误!＝错误!＝错误!，∴V E-AFNM＝错误!4答案：见解析解析：1由散点图可以判断员工①提出的模型不适合．因为散点图中与之间不是线性关系．2令v＝错误!，先建立关于v的线性回归方程．由于所以关于v的线性回归方程为错误!错误!错误!错误!错误!错误!N图略所以AN⊥EB，又BC⊥平面AEB，AN⊂平面AEB，所以BC⊥AN，又BC∩BE＝B，所以AN⊥平面BCE，易知MN綊DA，四边形MNAD为平行四边形，所以DM∥AN，所以DM⊥平面BCE2因为AD∥BC，BC⊥底面ABE，所以AD⊥平面ABE设∠EAB＝θ，因为AD＝AB＝AE＝1，那么四面体D-ABE的体积V＝错误!×错误!×AE·AB·in θ·AD＝错误!in θ，当θ＝90°，即AE⊥AB时体积最大，又BC⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，所以AE⊥BC，因为BC∩AB＝B，所以AE⊥平面ABC，V E-ABCD＝错误!×错误!×1＋2×1×1＝错误!6答案：见解析解析：1消去θ可得C1：－22＋2＝4，即2＋2－4＝0，化为极坐标：ρ＝4co θ，消去t可得：2＋－4＝0，化为极坐标：2ρco θ＋ρin θ－4＝02AB中点的极径为错误!＝2in α＋co α，将2in α＋2co α，α代入2ρco θ＋ρin θ－4＝0中，化简得：3in αco α－in2α＝0，故tan α＝3，故in α＝错误!，co α＝错误!，|AB|＝|ρA－ρB|＝4|in α－co α|＝错误!7答案：见解析解析：1函数f＝|－3|－|＋1|＝错误!故由不等式f＜－1可得，＞3或错误!解得＞错误!2函数g≤f在∈[－2,2]上恒成立，即|＋a|－4≤|－3|－|＋1|在∈[－2,2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f和g的图象，如下图．故当∈[－2,2]时，假设0≤－a≤4，那么函数g的图象在函数f的图象的下方，g≤f在∈[－2,2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4,0]．。

中档解答题规范练(二)解答题1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2bcos A.(1)若a=2,b=3,求c;(2)若C=,求角B.2.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且-=7,a5=32.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{na n}的前n项和T n.3.汽车行业是碳排放量比较大的行业之一,欧盟从2012年开始就对二氧化碳排放量超过130 g/km的M1型汽车进行惩罚,某检测单位对甲、乙两类M1型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km):=120g/km.经测算发现,乙类M1型品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为乙(1)从被检测的5辆甲类M1型品牌汽车中任取2辆,则至少有1辆二氧化碳排放量超过130 g/km的概率是多少?(2)求表中x,并比较甲、乙两类M1型品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性.s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中表示x i(i=1,2,…,n)的平均数,n表示样本容量,x i表示个体,s2表示方差4.选做题(二选一)(Ⅰ)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ-4sinθ=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l过点M(1,0),倾斜角为π.(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|MA|+|MB|的值.(Ⅱ)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-2|.(1)解不等式f(x)+f(x+1)≥5;(2)若|a|>1,且f(ab)>|a|·f,证明:|b|>2.答案精解精析解答题1.解析(1)由c-b=2bcos A及cos A=-,得-=-,所以a2=b2+bc,所以(2)2=32+3c,解得c=5.(2)因为c-b=2bcos A,所以由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A.又C=,所以1-sin B=2sin Bcos A,所以1-sin B=2sin Bcos-,即1-sin B=2sin2B,即(2sin B-1)(sin B+1)=0,所以sin B=或sin B=-1(舍去).又0<B<,所以B=.2.解析(1)因为a n>0,-==1+q+q2=7,所以q=2或q=-3(舍去).又a5=32,故a1==2,所以数列{a n}的通项公式为a n=a1·q n-1=2n.(2)由(1)知na n=n·2n,∴T n=2+2×22+3×23+…+n·2n,①∴2T n=22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1.②②-①得T n=n·2n+1-(2+22+23+…+2n),∴T n=(n-1)·2n+1+2.3.解析(1)从被检测的5辆甲类M1型品牌汽车中任取2辆,共有10种不同的二氧化碳排放量结果:(80,110),(80,120),(80,140),(80,150),(110,120),(110,140),(110,150),(120,140),(120,150),(140,1 50).设“至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A,则事件A包含7种不同结果:(80,140),(80,150),(110,140),(110,150),(120,140),(120,150),(140,150).所以P(A)==0.7.(2)由题意得乙=120,解得x=120.又甲==120,所以甲=乙.甲=[(80-120)2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2]=600,乙=[(100-120)2+(120-120)2+(120-120)2+(100-120)2+(160-120)2]=480,所以甲>乙.所以乙类M1型品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性好.4.解析(Ⅰ)(1)因为ρ=4sinθ,所以ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4y,所以曲线C的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.直线l的参数方程为(t为参数),即-(t为参数).(2)设点A,B对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得-+-=4,整理,得t2-3t+1=0,所以·所以t1>0,t2>0,所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.(Ⅱ)(1)f(x)+f(x+1)≥5,即|x-2|+|x-1|≥5.当x>2时,(x-2)+(x-1)≥5,解得x≥4;当1≤x≤2时,(2-x)+(x-1)≥5,即1≥5,矛盾,无解;当x<1时,(2-x)+(1-x)≥5,解得x≤-1.综上,原不等式的解集为{x|x≥4或x≤-1}.(2)证明:f(ab)>|a|·f⇔|ab-2|>|a|·-⇔|ab-2|>|b-2a|⇔(ab-2)2>(b-2a)2⇔a2b2+4-b2-4a2>0⇔(a2-1)·(b2-4 )>0.因为|a|>1,所以a2-1>0,所以b2-4>0,所以|b|>2.。

中档大题规范练 —— 立体几何1． 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，而后将球拿出，求这时容器中水的深度．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如下图为圆锥的轴截面．依据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝124 3＝ 53，3π·( 3r )·3r －3πr3πr而将球拿出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33 h ，进而容器内水的体积是V ′ ＝1π·(321πh 3，33 h) ·h ＝ 9由 V ＝ V ′，得 h ＝315r .即容器中水的深度为315r .2． 如图 1 所示，正三角形 ABC 的边长为 2a ， CD 是 AB 边上的高， E ，F 分别是 AC ， BC的中点．现将△ ABC 沿 CD 翻折，翻折后平面 ACD ⊥平面 BCD (如图 2)．求三棱锥 C —DEF 的体积．图 1图 2解过点 E 作 EM ⊥DC 于点 M ，由于平面 ACD ⊥ 平面 BCD ，平面 ACD ∩平面 BCD ＝ CD ，而 EM? 平面 ACD ，因此 EM ⊥平面 BCD.即 EM 是三棱锥 E — CDF 的高．又 CD ⊥ BD ， AD ⊥ CD ，F 为 BC 的中点， 因此 S △CDF ＝ 1 △＝ 1× 12S BCD 2 2CD ×BD＝ 1× 2a 2－ a 2× a ＝ 3 a 2， 4 4由于 E 为 AC 的中点， EM ⊥ CD ，1 1因此 EM ＝ 2AD ＝ 2a.因此三棱锥 C — DEF 的体积为11× 321 a ＝ 3 3V C —DEF ＝ V E —CDF ＝ S △CDF × EM ＝4 a × 24a . 33 23． 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形， EF ∥ AB ，EF ⊥FB ， AB ＝ 2EF ，∠ BFC ＝ 90°， BF ＝ FC ， H 为 BC 的中点．(1)求证： FH ∥平面 EDB；(2)求证： AC⊥平面 EDB .证明(1)设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点．1如图，连结EG、GH ，又 H 为 BC 的中点，∴ GH 綊2AB .1又 EF 綊2AB，∴EF 綊 GH.∴四边形 EFHG 为平行四边形．∴ EG∥ FH .又∵EG? 平面 EDB， FH ?平面 EDB ，∴FH ∥平面 EDB .(2)由四边形ABCD 为正方形，得AB⊥ BC.又 EF∥ AB，∴EF ⊥BC.又∵EF⊥FB ，BC∩ FB＝B，∴EF⊥平面 BFC .∴ EF⊥ FH .∴AB⊥ FH .又 BF＝ FC，H 为 BC 的中点，∴FH ⊥ BC.∴FH ⊥平面 ABCD .∴ FH ⊥AC .又 FH ∥EG，∴ AC⊥ EG.又 AC ⊥BD， EG∩ BD ＝G，∴ AC⊥平面 EDB .4．如下图，已知三棱锥A－ BPC 中， AP⊥PC， AC⊥ BC， M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，且△ PMB 为正三角形．(1)求证： DM ∥平面 APC；(2)求证：平面ABC⊥平面 APC；(3)若 BC＝ 4，AB＝ 20，求三棱锥D－ BCM 的体积．(1)证明由已知，得MD 是△ ABP 的中位线，因此MD ∥ AP.又 MD ?平面 APC， AP? 平面 APC ，故 MD ∥平面 APC.(2)证明由于△ PMB为正三角形，D 为 PB 的中点，因此 MD ⊥ PB.因此 AP ⊥PB.又 AP⊥ PC， PB∩ PC＝P，因此 AP⊥平面 PBC.由于 BC? 平面 PBC ，因此 AP ⊥ BC.又 BC ⊥ AC ，AC ∩ AP ＝A ，因此 BC ⊥ 平面 APC.由于 BC? 平面 ABC ，因此平面ABC ⊥ 平面 APC .(3)解由题意，可知 MD ⊥ 平面 PBC ，因此 MD 是三棱锥 D － BCM 的一条高，因此 V D －BCM ＝ V M －DBC ＝ 1× S △BCD × MD3＝13×2 21× 5 3＝ 10 7.5．如图，已知 PA ⊥⊙ O 所在的平面， AB 是⊙ O 的直径， AB ＝ 2， C 是⊙ O 上一点，且 AC ＝BC ， PC 与⊙ O 所在的平面成 45°角， E 为 PC 的中点， F 为 PB 的中点．(1)求证： EF ∥面 ABC ； (2)求证： EF ⊥面 PAC ；(3)求三棱锥 B — PAC 的体积． (1)证明在三角形 PBC 中， E 为 PC 的中点， F 为 PB 的中点，因此 EF ∥BC ，BC? 面 ABC ，EF?面 ABC.因此 EF ∥面 ABC.(2)证明 PA ⊥ 面 ABC? BC ⊥ PA ，①BC? 面 ABC又 AB 是 ⊙O 的直径，因此 BC ⊥ AC, ②由 ①② 得 BC ⊥ 面 PAC ，因 EF ∥ BC ， BC ⊥面 PAC ，因此 EF ⊥ 面 PAC ，(3)解 因 PA ⊥⊙ O 所在的平面， AC 是 PC 在面 ABC 内的射影，因此 ∠ PCA 即为 PC 与面 ABC 所成的角，因此 ∠ PCA ＝ 45°，PA ＝ AC.在 Rt △ABC 中， E 是 PC 的中点，∠ BAC ＝ 45°， AC ＝ BC ＝ 2，因此 V B — PAC ＝ V P — ABC ＝ 123S △ABC ·PA ＝ 3 .6． 如图 1 所示，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，∠ DAB ＝60°.点 E 、F 分别在边 CD 、CB 上，点 E 与点 C 、 D 不重合， EF ⊥ AC ， EF ∩ AC ＝ O.沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF 的地点，使平面 PEF ⊥平面 ABFED ，如图 2 所示．图1图 2(1)求证：BD ⊥平面 POA ；(2)当PB 获得最小值时，求四棱锥P － BDEF 的体积．(1)证明由于菱形 ABCD 的对角线相互垂直，因此 BD ⊥ AC ，因此 BD ⊥ AO.由于 EF ⊥AC ，因此 PO ⊥ EF.由于平面 PEF ⊥平面 ABFED ，平面 PEF ∩ 平面 ABFED ＝ EF ，且 PO? 平面 PEF ，因此 PO ⊥ 平面 ABFED .由于 BD ? 平面 ABFED ，因此 PO ⊥BD .由于 AO ∩ PO ＝ O ，因此 BD ⊥ 平面 POA.(2)解设 AO ∩BD ＝ H .由于 ∠DAB ＝ 60°，因此 △ BDC 为等边三角形．故 BD ＝4， HB ＝ 2，HC ＝ 2 3.设 PO ＝x ，则 OH ＝ 2 3－ x ， OA ＝ 4 3－ x.连结 PH ， OB ，由 OH ⊥ BD ，得 OB 2＝ (23－ x)2＋ 22.又由 (1)，知 PO ⊥ 平面 BFED ，则 PO ⊥ OB.22因此 PB ＝ OB ＋OP＝2 3－ x 2＋ 22＋ x 2＝ 2 x － 3 2＋ 10.当 x ＝ 3时， PB min ＝ 10，此时 PO ＝ 3＝OH ，1 因此 V 四棱锥 P －BDEF ＝ 3× S 梯形 BDEF ×PO＝ 1×3× 42－3×22 × 3＝3.3 44。

2020年新课标高考数学二轮复习-中档解答题规范练（6套）目录2020年新课标高考数学二轮复习-中档解答题规范练（6套） (1)1、三角函数与解三角形 (2)2、数列 (8)3、立体几何 (14)4、概率与统计 (24)5、坐标系与参数方程 (35)6、不等式选讲 (41)1、三角函数与解三角形1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝3，cos A sin B ＋(c －sin A )·cos(A ＋C )＝0. (1)求角B 的大小；(2)若△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin C 的值. 解 (1)由cos A sin B ＋(c －sin A )cos(A ＋C )＝0， 得cos A sin B －(c －sin A )cos B ＝0，即sin(A ＋B )＝c cos B ，sin C ＝c cos B ，sin Cc ＝cos B ， 因为sin C c ＝sin B b ， 所以sin B 3＝cos B ，即tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)由S ＝12ac sin B ＝32，得ac ＝2，由b ＝3及余弦定理得(3)2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ， 所以a ＋c ＝3，所以sin A ＋sin C ＝sin B b (a ＋c )＝32.2.已知函数f (x )＝12sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求ω和φ的值；(2)求函数y ＝f (2x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域.解 (1)f (x )＝12sin 2ωx cos φ＋1＋cos 2ωx 2sin φ－12sin φ ＝12(sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ)＝12sin(2ωx ＋φ). 由题意可知，T ＝2π＝2π|2ω|，则ω＝±12，当ω＝12，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入f (x )＝12sin(2ωx ＋φ)中，可得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，而0＜φ＜π，解得φ＝π3.当ω＝－12，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入f (x )＝12sin(2ωx ＋φ)中，可得φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，而0＜φ＜π，解得φ＝2π3.(2)由题可知，当ω＝12，f (2x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，则函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12.当ω＝－12时，f (2x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋2π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，则函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12.综上，函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12.3.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝1，sin (2A ＋B )sin A ＝2(1－cos C ). (1)求b 的值；(2)若△ABC 的面积为32，求c 的值. 解 (1)∵sin(2A ＋B )＝2sin A (1－cos C )， ∴sin[(A ＋B )＋A ]＝2sin A －2sin A cos C ，sin(A ＋B )cos A ＋cos(A ＋B )sin A ＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋B )， sin(A ＋B )cos A －cos(A ＋B )sin A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，又a ＝1， ∴b ＝2.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×2sin C ＝32， ∴sin C ＝32，cos C ＝±12，当cos C ＝12时，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 24＝12，∴c ＝3；当cos C ＝－12时，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 24＝－12，∴c ＝7. 故c ＝3或c ＝7.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 的度数成等差数列，b ＝13.(1)若3sin C ＝4sin A ，求c 的值； (2)求a ＋c 的最大值.解 (1)由角A ，B ，C 的度数成等差数列，得2B ＝A ＋C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. 由正弦定理，得3c ＝4a ，即a ＝3c4. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 42＋c 2－2×3c 4×c ×12，解得c ＝4.(2)由正弦定理，得asin A＝csin C＝bsin B＝1332＝2133，所以a＝2133sin A，c＝2133sin C.所以a＋c＝2133(sin A＋sin C)＝2133[sin A＋sin(A＋B)]＝2133⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A＋sin⎝⎛⎭⎪⎫A＋π3＝2133⎝⎛⎭⎪⎫32sin A＋32cos A＝213sin⎝⎛⎭⎪⎫A＋π6.由0＜A＜2π3，得π6＜A＋π6＜5π6.所以当A＋π6＝π2，即A＝π3时，(a＋c)max＝213.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝()cos A，cos B，n＝()a，2c－b，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值.解(1)∵m∥n，∴a cos B－()2c－b cos A＝0，由正弦定理得sin A cos B－()2sin C－sin B cos A＝0，∴sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos A，∴sin(A＋B)＝2sin C cos A，由A＋B＋C＝π，得sin C＝2sin C cos A由于0＜C＜π，因此sin C>0，∴cos A＝12，由于0＜A＜π，∴A＝π3.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，∴bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立， ∴△ABC 面积S ＝12bc sin A ≤43， ∴△ABC 面积的最大值为4 3.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2的取值范围. 解 (1)由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，因为|φ|＜π2，所以φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 及正弦定理， 得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， cos B ＝12，B ＝π3，A ＋C ＝2π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，0＜A ＜2π3，π6＜A ＋π6＜5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.2、数列1.已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *. (1)若{a n }是等差数列，且S 1＝5，S 2＝18，求a n ； (2)若{a n }是等比数列，且S 1＝3，S 2＝15，求S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1＝5，S 2＝2a 1＋a 2＝10＋a 2＝18， 所以a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝3，a n ＝5＋3(n －1)＝3n ＋2.(2)设{a n }的公比为q ，则S 1＝a 1＝3，S 2＝2a 1＋a 2＝6＋a 2＝15， 所以a 2＝9，q ＝a 2a 1＝3，a n ＝3×3n －1＝3n ，所以S n ＝n ×3＋(n －1)×32＋…＋2×3n －1＋3n ， ① 3S n ＝n ×32＋(n －1)×33＋…＋2×3n ＋3n ＋1，②②－①，得2S n ＝－3n ＋(32＋33＋…＋3n )＋3n ＋1＝－3n ＋32(1－3n －1)1－3＋3n ＋1＝－3n －92＋3n ＋12＋3n ＋1＝3n ＋2－6n －92，所以S n ＝3n ＋2－6n －94.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若q >0且b 3＝a 5，T 3＝13，求T n ； (3)设c n ＝1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和S n .解(1)⎩⎨⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由题意可知，b 3＝a 5＝9，T 3＝13，所以公比q ＝3， 从而b 1＝1，所以T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－3n )1－3＝12(3n－1).(3)由(1)知，a n ＝2n －1.所以c n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.3.设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n .若对任意的n ∈N *，总有S n＋1>S n ，求实数λ的取值范围.解 (1)由log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *，得T n ＝(1)22n n -，所以T n －1＝(1)(2)22n n --(n ∈N *，n ≥2)，所以a n ＝T nT n －1＝(1)(1)(1)(2)222(1)(2)2222n n n n n n n n -------=＝2n －1，n ∈N *，n ≥2.又a 1＝T 1＝20＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1，得S n ＝λ·1－2n1－2－n ＝()2n－1λ－n ，所以S n ＋1>S n ⇔()2n ＋1－1λ－()n ＋1>()2n －1λ－n ⇔2nλ>1⇔λ>12n ，因为对任意的n ∈N *，12n ≤12， 故所求的λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n ，n )，b ＝(9n －7，2)，且a 与b 共线.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和T m .解 (1)a 与b 共线，S n ＝n (9n －7)2＝92n 2－72n ，a 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝9n －8，n ≥2，所以a n ＝9n －8，n ∈N *. (2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ， 则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1. 故得b m ＝92m －1－9m －1. 于是T m ＝b 1＋b 2＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9(1－81m )1－81－1－9m 1－9＝9×92m ＋1－10×9m80.5.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·3n3n－1(n ≥1，n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立. (1)解 将n ＝1，2，3代入可得a 1＝32，a 2＝94，a 3＝8126. (2)证明 由a n ＝n ·3n3n－1＝n1－13n(n ≥1，n ∈N *)可得 a 1·a 2·…·a n ＝n ！⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ，因此欲证明不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立，只需要证明对任意非零自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＞12恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n ＝1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＞1－12＝12.故只需证明对每个非零自然数，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n 恒成立即可.(*)下面用数学归纳法证明该不等式成立： ①显然当n ＝1时，不等式(*)恒成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式(*)也成立，即不等式 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k 成立. 那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ＋1≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－13k ＋1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ＋1≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k －13k ＋1＋13k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k ，注意到13k ＋1⎝⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ＋1≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1，这说明当n ＝k ＋1时，不等式(*)也成立.因此由数学归纳法可知，不等式(*)对任意非零自然数都成立，即 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n ＞12恒成立， 故不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！对任意非零自然数都成立.6.(2017·北京)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1，2，3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数.(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. (1)解 c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2. 当n ≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n ＜0， 所以b k －na k 在k ∈N *时单调递减.所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n . 所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1， 所以{c n }是等差数列.(2)证明 设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1). 所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)，d 2＞nd 1，b 1－a 1n ，d 2≤nd 1.①当d 1＞0时，取正整数m ＞d 2d 1，则当n ≥m 时，nd 1＞d 2，因此，c n ＝b 1－a 1n ，此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. ②当d 1＝0时，对任意n ≥1，n ∈N *，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2，0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2，0}－a 1). 此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列. ③当d 1＜0时，当n ＞d 2d 1时，有nd 1＜d 2，所以c n n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)n ＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|. 对任意正数M ，取正整数m ＞max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1， 故当n ≥m 时，c nn ＞M .3、立体几何1.(2017·全国Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值.(1)证明由题设可得△ABD≌△CBD.从而AD＝CD，又△ACD为直角三角形，所以∠ADC＝90°，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO，又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角，在Rt△AOB中，BO2＋OA2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°，所以平面ADC⊥平面ABC.(2)解由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA →为x 轴正方向，OB →为y 轴正方向，OD →为z 轴正方向，|OA →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则O (0，0，0)，A ()1，0，0，D ()0，0，1，B ()0，3，0，C (－1，0，0)， 由题意知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，故AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，12，AD →＝()－1，0，1，OA→＝()1，0，0. 设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面AEC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ AE →·n 1＝0，AD →·n 1＝0，解得n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1，⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n 2＝0，OA →·n 2＝0，解得n 2＝(0，－1，3)，设二面角D －AE －C 为θ，易知θ为锐角， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝77.2.在如图所示的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是BC ，A 1B 1的中点. (1)求证：DE ∥平面ACC 1A 1；(2)若AB ⊥BC ，AB ＝BC ，∠ACB 1＝60°，求直线BC 与平面AB 1C 所成角的正切值.(1)证明取AB中点F，连接DF，EF.在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，又DF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1. 在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，所以EF∥AA1，又EF⊄平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1.因为DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面ACC1A1.因为DE⊂平面DEF，故DE∥平面ACC1A1.(2)解因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BC⊥BB1，又AB⊥BC，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1.因为AB＝BC，BB1＝BB1，所以△ABB1≌△CBB1，AB1＝CB1，又∠ACB1＝60°，所以△AB1C为正三角形，所以AB1＝AB2＋BB21＝AC＝2AB，所以BB1＝AB.取AB1的中点O，连接BO，CO，所以AB1⊥BO，AB1⊥CO，所以AB1⊥平面BCO，所以平面AB1C⊥平面BCO，点B在平面AB1C上的射影在CO上，所以∠BCO即为直线BC与平面AB1C所成的角.在Rt △BCO 中，BO ＝22AB ＝22BC ， 所以tan ∠BCO ＝BO BC ＝22.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，E ，F 分别为AD ，P A 的中点，在BC 上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD .(1)求证：平面BEF ∥平面PDQ ； (2)求二面角E －BF －Q 的余弦值.(1)证明 方法一 (向量法)以A 点为原点，分别以AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，a ，0)，P (0，0，1)， 设Q (1，x ，0)，则PQ→＝(1，x ，－1)，QD →＝(－1，a －x ，0)，若PQ ⊥QD ，则PQ →·QD →＝－1＋x (a －x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4＝0， ∴a ＝2，x ＝1.∴Q ()1，1，0，QD→＝()－1，1，0， 又E 是AD 的中点，∴E ()0，1，0，BE→＝()－1，1，0，∴QD →＝BE →， ∴BE ∥DQ ，又BE ⊄平面PDQ ，DQ ⊂平面PDQ ， ∴BE ∥平面PDQ ， 又F 是P A 的中点， ∴EF ∥PD ，∵EF ⊄平面PDQ ，PD ⊂平面PDQ ， ∴EF ∥平面PDQ ，∵BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ∥平面PDQ .方法二 (几何法)题意转化为矩形ABCD 中AQ 垂直于QD 的点Q 只有一个，则以AD 为直径的圆与线段BC 相切，易得BC ＝2，Q 是线段BC 的中点，由BE ∥QD ，EF ∥DP ，易得两平面平行.(2)解 设平面BFQ 的一个法向量m ＝()x ，y ，z ， 则m ·BF →＝m ·BQ→＝0， 由(1)知，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，BQ →＝()0，1，0， ∴－x ＋12z ＝y ＝0，取z ＝2，得m ＝()1，0，2，同样求得平面BEF 的一个法向量n ＝()1，1，2，cos 〈m ，n 〉＝m ·n ||m ||n ＝306， ∵二面角E －BF －Q 为锐角， ∴二面角E －BF －Q 的余弦值为306.4.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD，E，F分别为PC，BD的中点.(1)求证：EF∥平面P AD；(2)在线段AB上是否存在点G，使得二面角C－PD－G的余弦值为33，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，所以在△P AC中，EF∥P A，又P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD.(2)解取AD的中点O，连接OP，OF，因为P A＝PD，所以PO⊥AD，又因为侧面P AD⊥底面ABCD，交线为AD，所以PO⊥平面ABCD，以O为原点，分别以射线OA，OF和OP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设AD ＝2，则P ()0，0，1，D ()－1，0，0，C ()－1，2，0，假设在AB 上存在点G ()1，a ，0，0＜a ＜2，则PC→＝()－1，2，－1，PD →＝()－1，0，－1，DG →＝()2，a ，0. 因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，且底面是正方形， 所以CD ⊥平面P AD ，则CD ⊥P A ， 由P A 2＋PD 2＝AD 2，得PD ⊥P A ， 又PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PDC ，所以P A ⊥平面PDC ，即平面PDC 的一个法向量为P A →＝(1，0，－1). 设平面PDG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧PD →·n ＝0，DG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x －z ＝0，2x ＋ay ＝0，亦即⎩⎨⎧z ＝－x ，y ＝－2xa ，可取n ＝(a ，－2，－a ). 所以|cos 〈P A →，n 〉|＝|P A →·n ||P A →||n |＝2a 2×4＋2a2＝33， 解得a ＝1或a ＝－1(舍去).所以线段AB 上存在点G ，且G 为AB 的中点，使得二面角C －PD －G 的余弦值为33.5.已知三棱锥A －BCD 中，△ABC 是等腰直角三角形，且AC ⊥BC ，BC ＝2，AD ⊥平面BCD ，AD ＝1.(1)求证：平面ABC ⊥平面ACD ；(2)若E 为AB 的中点，求二面角A －CE －D 的余弦值.(1)证明 因为AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥BC ， 又因为AC ⊥BC ，AC ∩AD ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ， 所以BC ⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACD .(2)解 由已知可得CD ＝3，如图所示建立空间直角坐标系，由已知C (0，0，0)，B (0，2，0)，A (3，0，1)，D (3，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，12，则CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，12，CA →＝(3，0，1)，CD→＝(3，0，0)， 设平面ACE 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·CE →＝0，⎩⎨⎧3x 1＋z 1＝0，32x 1＋y 1＋12z 1＝0，令x 1＝1，得n ＝(1，0，－3)，设平面CED 的法向量m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CE →＝0，⎩⎨⎧3x 2＝0，32x 2＋y 2＋12z 2＝0，令y 2＝1，得m ＝(0，1，－2)，二面角A －CE －D 的余弦值cos 〈m ，n 〉＝|n ·m ||n ||m |＝2325＝155.6.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ()θ≤90°，试求cos θ的取值范围. (1)证明 在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2， 所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 60°＝3， 所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC ⊥AC .因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .(2)解 建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)， 所以AB→＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)， 设n 1＝(x ，y ，z )为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，所以n 1＝(1，3，3－λ)， 因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量. 所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋(3－λ)2×1＝1(λ－3)2＋4.因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值77， 当λ＝3时，cos θ有最大值12.所以cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤77，12.4、概率与统计1.某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.(1)记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小； (2)随机从“口语王”中选取2人，记X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和期望.解 (1)因为x 甲＝60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋9310＝80，所以m ＝4，x 乙＝61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋94＋9710＝79，所以n ＝5，所以m ＜n .(2)X 取0，1，2，所以P (X ＝0)＝C 04C 25C 29＝518，P (X ＝1)＝C 14C 15C 29＝59，P (X ＝2)＝C 24C 05C 29＝16，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×518＋1×59＋2×16＝89.2.为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2 000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：(1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S的概率满足：P(S＝6k)＝4－k6，k＝1，2，3，假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望E(S)；②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望.解(1)大学城校区应抽取15×80220＋80＝4(人).(2)①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为P(S＝6k)＝4－k 6，k＝1，2，3，即所以对于一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为E (S )＝6×12＋12×13＋18×16＝10.②记ξ为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和， 则ξ＝12，18，24，30，36， P (ξ＝12)＝12×12＝14； P (ξ＝18)＝12×13×2＝13； P (ξ＝24)＝12×16×2＋13×13＝518； P (ξ＝30)＝13×16×2＝19； P (ξ＝36)＝16×16＝136；E (ξ)＝12×14＋18×13＋24×518＋30×19＋36×136＝20. 所以“如花姐”最后得分的期望为20×3＋E (ξ)＝80.3.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35.(1)请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X ，求X 的分布列和期望. 下面的临界值表仅供参考：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)因为从100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35， 所以喜欢游泳的学生人数为100×35＝60.其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：因为K 2＝100(40×30－20×10)260×40×50×50≈16.67>10.828.所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.(2)喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为110， 从而需抽取男生4人，女生2人. 故X 的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C22C26＝115，P(X＝1)＝C14C12C26＝815，P(X＝2)＝C24C26＝615＝25，所以X 的分布列为E (X )＝0×115＋1×815＋2×25＝43.4.(2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116(x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6). 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值μ^＝9.97，σ的估计值σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134.剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.5.(2017·重庆市调研)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h 的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有5人，不超过100 km/h的有15人.(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h的人与性别有关；(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和期望.参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考数据：解 (1)∵K 2＝50(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 与性别有关.(2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆的概率为1550＝310. ∴ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，310，∴P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫3100⎝ ⎛⎭⎪⎫7103＝3431 000，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫3101⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝4411 000，P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫3102⎝ ⎛⎭⎪⎫7101＝1891 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫3103⎝ ⎛⎭⎪⎫7100＝271 000， ∴ξ的分布列为E(ξ)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910＝0.9或E(ξ)＝np＝3×310＝0.9.6.(2017届湖南株州模拟)某市对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度.(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；(2)从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和期望.解(1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”.因为μ－3σ＝78.4，μ＋2σ＝89.4，由样本条形图可知，所求的概率为P(A)＝P(x＜μ－3σ)＋P(x＞μ＋2σ)＝P(x＜78.4)＋P(x＞89.4)＝1100＋4100＝120.(2)记事件B为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知，样本容量为100，又需矫正速度个数为5，故所求概率为P(B)＝C25C2100＝1495.(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，120，所以P ()ξ＝0＝C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫1200⎝ ⎛⎭⎪⎫19202＝361400， P ()ξ＝1＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1201⎝ ⎛⎭⎪⎫19201＝19200， P ()ξ＝2＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1202⎝ ⎛⎭⎪⎫19200＝1400，因此ξ的分布列为由ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，120知，期望E (ξ)＝2×120＝110.5、坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2，22s )， 从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4，4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455. 2.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(1，2)，求||P A ＋||PB 的最小值. 解 (1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0， 由Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2()cos α－sin α，t 1·t 2＝－7，又直线l 过点()1，2， 故结合t 的几何意义得||P A ＋||PB ＝⎪⎪⎪⎪t 1||＋t 2||＝t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝4()cos α－sin α2＋28＝32－4sin 2α≥32－4＝27，所以||P A ＋||PB 的最小值为27.3.在直角坐标系xOy 中，已知点P ()0，3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由； (2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ， B ，求1||P A ＋1||PB 的值. 解 (1)点P 在直线上，理由如下： 直线l ：ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，即2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝3，即3ρcos θ＋ρsin θ＝3，所以直线的直角坐标方程为3x ＋y ＝3，易知点P 在直线上. (2)由题意，可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t ，(t 为参数)，曲线C 的普通方程为x 22＋y 24＝1，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 得2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32t 2＝4，∴5t 2＋12t －4＝0，两根为t 1， t 2， ∴t 1＋t 2＝－125，t 1t 2＝－45＜0， 故t 1与t 2异号， ∴||P A ＋||PB ＝||t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝4145，∴||P A ||PB ＝|t 1||t 2|＝－t 1t 2＝45，∴1||P A ＋1||PB ＝||P A ＋||PB ||P A ||PB ＝14. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ， B 均异于原点O ，且||AB ＝42，求α的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)得曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4， 其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A (ρ1，α)， B (ρ2，α)， 则||AB ＝||ρ1－ρ2＝4||sin α－cos α ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝42， ∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，∴ α－π4＝π2＋k π(k ∈Z )， 又 0＜α＜π， ∴ α＝3π4.5.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)， C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ，y ＝233＋t 2(t 为参数).(1)曲线C 1，C 2的交点为A ，B ，求||AB ；(2)以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，过极点的直线l 1与曲线C 1交于O ， C 两点，与直线ρsin θ＝2交于点D ，求||OC ||OD 的最大值.解 (1)方法一 曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，将C 2的参数方程代入，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－32t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋t 22＝1，化简得，t 2＋533t ＋43＝0， 所以||AB ＝||t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝3.方法二 曲线C 2的直角坐标方程为y ＝－33x ＋233， 过点()2，0， C 1过点()2，0，不妨令A ()2，0， 则∠OBA ＝90°， ∠OAB ＝30°， 所以||AB ＝2×32＝ 3.(2)C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 令l 1的极角为α，则||OD ＝ρ1＝2sin α，||OC ＝ρ2＝2cos α，||OC ||OD ＝sin αcos α＝12sin 2α≤12， 当α＝π4时取得最大值12.6.已知α∈[)0，π，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t为参数)；在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 2的极坐标方程是ρcos ()θ－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6.(1)求证：l 1⊥l 2；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3， P 为直线l 1， l 2的交点，求||OP ·||AP 的最大值. (1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α－y cos α＝0. 又ρcos ()θ－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6可变形为 ρcos θcos α＋ρsin θsin α ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，即直线l 2的直角坐标方程为 x cos α＋y sin α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝0. 因为sin α·cos α＋()－cos αsin α＝0， 根据两直线垂直的条件可知， l 1⊥l 2. (2)解 当ρ＝2， θ＝π3时，ρcos ()θ－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在直线ρcos ()θ－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6上.设点P 到直线OA 的距离为d ，由l 1⊥l 2可知， d 的最大值为||OA 2＝1. 于是||OP ·||AP ＝d ·||OA ＝2d ≤2， 所以||OP ·||AP 的最大值为2.6、不等式选讲1.(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，得1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1，1].2.已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －a ||＋x －1， a ∈R .(1)若不等式f (x )≥2－||x －1恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，求m 的取值范围. 解 (1)因为f (x )≥2－||x －1恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥1恒成立， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|min ≥1成立， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2－x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1， 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≥1， 解得a ≤0或a ≥4，所以a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞). (2)当a ＝1时， f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －1||＋x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－3x ，x ≤12，x ，12＜x ＜1，3x －2，x ≥1，作出f (x )的图象，如图所示.由图象可知，当12＜m ≤1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，故所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 3.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋2||－x －1.(1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解，求实数m 的取值范围.解 (1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时， f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时， f (x )＝2x ＋1>1⇒x >0，即0＜x ＜1；当x ≥1时， f (x )＝3>1，即x ≥1.综上，不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞).(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解等价于()f (x )＋4max ≥||1－2m ， 由(1)可知，f (x )max ＝3，(也可由||f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2||－x －1||≤()x ＋2－(x －1)＝3，得f (x )max ＝3)，即||1－2m ≤7，解得－3≤m ≤4.4.已知f (x )＝||x ＋a ， g (x )＝||x ＋3－x ，记关于x 的不等式f (x )＜g (x )的解集为M .(1)若a －3∈M ，求实数a 的取值范围；(2)若[]－1，1⊆M ，求实数a 的取值范围.解 (1)依题意有||2a －3＜||a －()a －3，若a ≥32，则2a －3＜3，∴32≤a ＜3，若0≤a ＜32，则3－2a ＜3，∴0＜a ＜32，若a ≤0，则3－2a ＜－a －()a －3，无解.综上所述， a 的取值范围为()0，3.(2)由题意可知，当x ∈[]－1，1时，f (x )＜g (x )恒成立，∴||x ＋a ＜3恒成立，即－3－x ＜a ＜3－x ，当x ∈[]－1，1时，－2＜a ＜2.5.已知函数f (x )＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ()a ≠0. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )＜4；(2)求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的最小值.解 (1)∵ a ＝1，∴原不等式为2⎪⎪⎪⎪x ＋1||＋x －1＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x －2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2x ＋2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，2x ＋2＋x －1＜4，∴－53＜x ＜－1或－1≤x ＜1或∅，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53＜x ＜1. (2)由题意得g (x )＝f (x )＋f (－x )＝2⎝⎛⎭⎫||x ＋a ＋||x －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ≥2||2a ＋2||a ＝4||a ＋2||a ≥42， 当且仅当2||a ＝1||a ，即a ＝±22，且－22≤x ≤22时，g (x )取最小值4 2.6.已知f (x )＝||x －a ＋||2x ＋1(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤3；(2)f (x )≤2a ＋x 在[)a ，＋∞上有解，求a 的取值范围. 解 (1)⎩⎨⎧ x ＜－12，1－x －1－2x ≤3或⎩⎨⎧ －12≤x ≤1，1－x ＋2x ＋1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，x －1＋2x ＋1≤3，－1≤x ＜－12或－12≤x ≤1或∅，所以原不等式解集为{x |－1≤x ≤1}.(2)因为x ∈[)a ，＋∞，所以f (x )＝||x －a ＋⎪⎪⎪⎪2x ＋1||＝x －a ＋2x ＋1≤2a ＋x ，推出||2x ＋1≤3a 有解，所以a ≥0，所以不等式化为2x ＋1≤3a 有解， 即2a ＋1≤3a ⇒a ≥1.所以a 的取值范围为[1，＋∞).。