高考2020年数学文科二轮复习综合模拟卷解析版

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）( 第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B I 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则A ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22=+-y x ，的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为， 求OBOA 3-的取值范围.O A O B23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BAAABBCDDDCD13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴Θ从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.S 球＝4πR 2＝36π.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.425 2.5558510.45i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x =- (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NNt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++cc b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c bc a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c cb a ++≥++∴111当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）（含答案解析）2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|0<=""A. {x|0<="">B. {x|0<1}<="" p="">C. {x|1≤x <2}D. {x|0<2}<="" p="">2. 已知复数z 满足z(1+i)=(3+i)2，则|z|=( )A. √2B. √5C. 5√2D. 8 3. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a4. 若x,y 满足约束条件{?3≤x ?y ≤1,?9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( ) A. 1 B. ?3 C. ?5 D. ?65. 已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是( )A. l ?α，m ?β，且l ⊥mB. l ?α，m ?β，n ?β，且l ⊥m ，l ⊥nC. m ?α，n ?β，m//n ，且l ⊥mD. l ?α，l//m ，且m ⊥β6. 已知双曲线C ：x 2a 2?y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，点P 是双曲线C 上的一点，∠PF 1F 2=15°，∠PF 2F 1=105°，则该双曲线的离心率为( )B. √3C. √2+√62 D. √627. 执行如图的程序框图，若输入的k =9，则输出的S =( )A. 10B. 15C. 21D. 288. 函数f(x)=x 2?2x +1的图象与函数g(x)=3cosπx 的图象所有交点的横坐标之和等于A. 2B. 4C. 6D. 89. 以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P ，则P 落在该几何体内的概率为( ) A. 18 B. 56 C. 16 D. 78 10. 函数y =sin?x ?1+2x 1?2x 的部分图像大致为( ) A. B.C. D.11. 下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB ????? ?CD ????? =B. 28C. 26D. 2412. 如图，在三棱锥A ?BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AD =AB =1，∠BCD =45°，且BD =DC =√2.给出下面四个命题：①AD ⊥BC ；②三棱锥A ?BCD 的体积为√22；③CD ⊥平面ABD ；④平面ABC ⊥平面ACD ．其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b2+c2?a24，bsinC=csin A+C2，则角C=________．15.已知如下等式：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30；……以此类推，则2018出现在第____________个等式中．16.过椭圆x24+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+?+|b n|，求T n．18.为了比较两种治疗某病毒的药(分别称为甲药，乙药)的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．(1)根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2)为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间(单位：天)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3)标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(x?3s，x+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合(2)中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？[(x1?x)2+(x2?x)2+?+(x n?x)2]，参考公式：s=√1n参考数据：√2340≈48．19. 如图，已知四棱锥P ?ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，AB =PC =2，PA =PB =√2．(Ⅰ)求证：平面PBA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求点D 到平面APC 的距离．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1,0)，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 和y 轴上运动，满足AB ????? ?BF=0，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；(2)已知点G(3,?2)，动直线x =t(t >3)与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线y =?2上截得的弦长的最小值．21.已知f(x)=(x?1)e x?a(x2+1)，x∈[1,+∞)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥?2a+lnx，求实数a的取值范围．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.已知正实数x，y满足x+y=1．(1)解关于x的不等式|x+2y|+|x?y|≤52．(2)证明：(1x2?1)(1y21)≥9．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查了交集的运算，属于基础题.利用交集的定义求解即可．解：∵集合A={x|0<x< p="">∴A∩B={x|1≤x<2}，故选C．2.答案：C解析：本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．解：由z(1+i)=(3+i)2，得z=(3+i)21+i =8+6i1+i，∴|z|=|8+6i1+i |=|8+6i||1+i|=√2=5√2．故选C．3.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log1< p="">31=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．</log1<></x<>。

2020届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{2,}xA y y x ==∈R ，{1}B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{1}B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2．已知复数2i z =+，则1iz+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（ ） A ．5-B ．7-C ．9-D ．11-4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值 5．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则(3)0f x -<的解集为（ ） A ．(2,4) B ．(,2)(4,)-∞+∞U C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞U6．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线．下列说法正确的是（ ） ①若a b ∥，a c ∥，则b c ∥； ②若a α⊥，b α⊥，则a b ∥； ③若a α⊥，a β⊥，则αβ∥；④若αβ⊥，b αβ=I ，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥． A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④7．已知向量(1,1)=-a ，OA =-u u u r a b ，OB =+u u u ra b ，若OAB △是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB △的面积为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．228．如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ， 射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34(,)55A ，(1,0)C -．若π6BOC ∠=，则cos()βα-的值 是（ ）A ．34310- B ．34310+ C ．43310- D ．43310+ 9．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与函数(0)y x x =≥的图象交于点P ，若函数y x=的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(4,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A ．1744+ B ．1734+ C ．1724+ D ．1714+ 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则线段MN 长的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．22D ．3 11．过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线l 交C 于M ，N ，点M 处的切线与x 、y 轴分别交于点A 、B ，若AOB △的面积为2，则MF =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()()x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若(21)(1)ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2[0,]3B ．2[,0]3-C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足1OA =u u u r ，2OB =u u u r ，点C 为线段AB 的中点，若32OC =u u u r ，则AOB ∠= ．14．计算：2sin 503sin 20︒-︒= ．15．若ABC △的三边长a ，b ，c 满足23b c a +≤，23c a b +≤，则ba的取值范围为 ． 16．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参衰作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，且11a -，21a -，41a -成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11()n n n b n a a +=∈*N ，数列{}n b 的前n 项和n S ，求使215n S <成立的最大正整数n 的值．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD CDA ∠=∠=︒，PA ⊥面ABCD ，1PA AD DC ===，2AB =． （1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．19．（12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况,利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”．从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良的概率．附表及公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．20．（12分）已知1F，2F是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点，圆222:O x y c+=（122F F c=）与椭圆有且仅有两个交点，点66(在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过y正半轴上一点P的直线l与圆O相切，与椭圆C交于点A，B，若PA AB=u u u r u u u r，求直线l的方程．21．（12分）已知函数21()ln 12f x x x =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设21()ln 2g x x ax x =-+，证明：曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos()4ρθ+=．（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围．2020届高三第二次模拟考试卷文科数学（四）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】∵集合{2,}(0,)xA y y x ==∈=+∞R，{(,1]B x y ===-∞，∴(0,)(,1](0,1]A B =+∞-∞=I I ． 2．【答案】D【解析】2i z =+，∴2i 13i 1i 1i 22z -==-++，在复平面对应的点的坐标为13(,)22-， 所在象限是第四象限． 3．【答案】B【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，由414624S a d =+=，3125a a d =+=，解得19a =，2d =-， 所以112n a n =-，97a =-． 4．【答案】D【解析】在A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误；在B 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B 错误； 在C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差，故C 错误； 在D 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值． 5．【答案】B【解析】∵2()()f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴2()f x ax a =-，由()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以0a <，∴2(3)(3)0f x a x a -=--<，可化为2(3)10x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >． 6．【答案】D【解析】由平行公理知①对，由线面垂直的性质定理知②对， 由线面垂直及面面平行定理知③对，由面面垂直性质定理知④对． 7．【答案】B【解析】设(,)x y =b ，则(1,1)OA x y =---u u u r ，(1,1)OB x y =-++u u u r，由题意，得2222(1)(1)(1)(1)x y x y --+-=-+++，22110x y -+-=，解得1x y ==±，则2OA OB ==u u u r u u u r，故2OAB S =△． 8．【答案】C【解析】依题意，有3cos 5α=，4sin 5α=，cos β=，1sin 2β=，所以314cos()cos cos sin sin 525βαβαβα-=+=+⨯=． 9．【答案】D【解析】设P的坐标为(m ，由左焦点(4,0)F -，函数的导数()f x '=，则在P处的切线斜率()4k f m m '===+， 即42m m +=，得4m =，则(4,2)P ，设右焦点为(4,0)A，则21)a PF PA =-==，即1a =，∵4c =，∴双曲线的离心率c e a ==10．【答案】D【解析】作1MM AD ⊥于点1M ，作1NN CD ⊥于点1N ， ∵线段MN 平行于对角面11A ACC ，∴11M N AC ∥， 设11DM DN x ==，则1MM x =，11NN x =-，在直角梯形11MNN M，222211)(12)6()33MN x x =+-=-+，∴当13x =时，MN 的最小值为3．11．【答案】C【解析】设点11(,)M x y ，抛物线C 对应的函数的解析式为24x y =，求导得2xy '=，所以，抛物线C 在点M 处的切线AB 的方程为111()2x y y x x -=-，即21124x x x y =-， 令0x =，得214x y =-；令0y =，得12xx =，则点1(,0)2x A ，21(0,)4x B -，AOB △的面积为23111||1||222416AOBx x x S =⨯⨯==△，解得122x =±， ∴21124x y ==，所以1||13MF y =+=． 12．【答案】B 【解析】∵2()()x f x e f x -=，∴()()()x x xf x e f x e f x e--==-， 含()()xg x e f x =，()()g x g x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，∴()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， ∵(21)(1)ae f a f a +≥+，∴211(21)(1)a a ef a e f a +++≥+，∴(21)(1)g a g a +≥+，211a a +≤+，解得203a -≤≤，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】120︒【解析】∵点C 为线段AB 的中点，∴1()2OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，2221(2)4OC OA OB OA OB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1(14212cos )4AOB =++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，∴120AOB ∠=︒． 14．【答案】1 【解析】2sin 503sin 202sin(3020)3sin 20cos 20cos 20︒-︒︒+︒-︒=︒︒2sin 30cos 202cos30sin 203sin 20cos 203sin 203sin 20cos 20cos 20︒︒+︒︒-︒︒+︒-︒==︒︒cos 201cos 20︒==︒．15．【答案】35(,)43【解析】令b x a =，cy a =，由23b c a +≤，23c a b +≤，得23x y +≤，①32x y -≥，②又c a b c -<-<及a b c +>，得1x y -<，③1x y ->-，④1x y +>，⑤由①②③④⑤可作出图形，得到以点31(,)44D ，(1,0)C ，52(,)33B ，(1,1)A 为顶点的四边形区域，由线性规划可得3543x <<，01y <<，则b a 的取值范围为35(,)43，故答案为35(,)43．16．【答案】B【解析】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意， 综上所述，故B 获得一等奖．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）21n a n =+，n ∈*N ；（2）5． 【解析】（1）由题意知，2214(1)(1)(1)a a a -=--，即2111(1)(1)(5)a a a +=-+，解得13a =，故21n a n =+，n ∈*N ．（2）由1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++， 得1231111111111()()2355721232323n n S a a a a n n n =++++=-+-++-=-+++L L 3(23)nn =+，由23(23)15n n <+，解得6n <，故所求的最大正整数n 为5．18．【答案】（1）证明见解析；（2）66． 【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由90BAD CDA ∠=∠=︒，1AD DC ==，2AB =， 得2AC =，2BC =，∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥，PA AC A =I ，∴BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ． （2）由（1）得BC PC ⊥，3PC =，11632222PBC S PC BC =⨯=⨯⨯=△，11111222DBCS DC AD =⨯=⨯⨯=△，111113326P BDC DBC V S PA -=⨯=⨯⨯=△． 设点D 到平面面PBC 的距离为h ， 则1166133266D PBC PBC P DBC V S h h h V --==⨯===△，∴66h =， ∴点D 到平面PBC 的距离为6． 19．【答案】（1）列联表见解析，有超过99%的把握认为；（2）35． 【解析】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人， 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为：10010(0.0150.005)20⨯⨯+=人， 一没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人， 则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人， 可得列联表如下：∴22100(1555255)122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：100(0.0200.0150.005)1040⨯++⨯=， ∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1，2； 其余的3人记为a ，b ，c ，从中随机抽取3人，基本事件有：(1,2,)a ，(1,2,)b ，(1,2,)c ，(1,,)a b ，(1,,)a c ，(1,,)b c ，(2,,)a b ，(2,,)a c ，(2,,)b c ，(,,)a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个， ∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为63105P ==． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）143222y x =±+． 【解析】（1）依题意，得c b =，所以222a b c b =+，所以椭圆C 为222212x y b b+=，将点66代入，解得1b =，则2a =所以椭圆的椭圆方程为2212x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)(1)P m m >， 则直线l 方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O1=，即221m k =+，联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=，因为PA AB =u u u r u u u r，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k=+， 所以221619(12)m k =+，解得272k =，即k =±m =，所求直线方程为22y x =±+21．【答案】（1）()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增；（2）证明见解析． 【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=． 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增．（2）因为()g x 定义域为诶(0,)+∞，所以y 轴不是曲线()y g x =的切线．当经过坐标原点的直线不是y 轴时，设y kx =是曲线()y g x =的切线，切点是00(,)x y ，因为21()g x x a x '=-+，所以0000001ln 21x ax x kx x a k x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，消去k ，得2001ln 102x x -+=，即0()0f x =．由（1）知()f x 在1x =处取得最小值，则3()(1)02f x f ≥=>，所以0()0f x =无解，因此曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线．22．【答案】（1）22:1(3)169x y C y +=≠-，:6l x y -=；（2）22d ≤≤． 【解析】（1）222241:131x k k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y+=， 又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-，πcos()4ρθ+=cos sin 6ρθρθ-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化为参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==3tan 4ϕ=，所以22d ≤≤． 23．【答案】（1）[2,4]-；（2）19[,7]4． 【解析】（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，故2339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339x <-⎧⎨-+≤⎩，综上，不等式的解集为[2,4]-．（2）由题意：22()5f x x a a x x =-+⇔=-+，[0,2]x ∈．故方程2()f x x a =-+在[0,2]有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+的图象在区间[0,2]上右焦点，∵当[0,2]x ∈时，2195[,7]4y x x =-+∈， ∴实数a 的取值范围是19[,7]4．。

最新高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤03．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．3 B．57 C．19 D．766．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．310．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB 的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=0.050 0.025 0.010P（K2≥k0）3.841 5.024 6.635K020．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后利用对称性求解即可．解答：解：==﹣2﹣i．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的基本概念，复数的乘除运算，考查计算能力．4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知结合等差数列的通项公式和前n项和列式求得公差．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a7=8，S7=42，得，解得：．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．3 B．57 C．19 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的定义f（x）+f（﹣x）=0，x=1，特殊值求解即可．解答：解：∵函数f（x）=+a，f（x）是奇函数，∴f（1）+f（﹣1）=0，即++a=0，2a=1，a=，故选：B点评：本题考查了奇函数的定义性质，难度很小，属于容易题．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．z=的几何意义是区域内的点（x，y）到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知BD的斜率最大，CD的斜率最小，由，解得，即B（，），即BD的斜率k==，由，解得，即C（，），即CD的斜率k==，即≤z≤，故选：D．点评：本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与三棱锥的组合体，结合图中的数据，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为直三棱柱，上部为直三棱锥的组合体；如图所示：∴该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+V三棱锥=×2×1×1+××2×1×1=．故选：A．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．10．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象，结合图象写出a的取值范围即可．解答：解：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象如下，结合图象可得，a的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA≤2，∴点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴﹣≤t≤，故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到在x=0处的导数值，再求出f（0），然后直接写出切线方程的斜截式．解答：解：由f（x）=e x，得f′（x）=e x，∴f′（0）=e0=1，即曲线f（x）=e x在x=0处的切线的斜率等于1，曲线经过（0，1），∴曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB 的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取PD中点E，连AE，EM，证明MN⊥平面PCD，可得MN⊥PC，即可证明PN=CN；（Ⅱ）设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN，四边形ANME是平行四边形，MN∥AE．由PA=AD得AE⊥PD，故MN⊥PD．又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，则MN⊥PC，PN=CN．…（6分）（Ⅱ）解：设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，故MF：FN=d1：d2=1：1．…（12分）点评：本题考查线面垂直的证明，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=0.050 0.025 0.010P（K2≥k0）3.841 5.024 6.635K0考点：独立性检验．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，列表确定基本事件，即可求出这2家中恰好中、小型企业各一家的概率．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，分别记为A1，A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6，把可能结果列表如下：A1 A2 B1 B2 B3 B4 B5 B6A1﹣+ + + + + +A2﹣+ + + + + +B1 + + ﹣B2 + + ﹣B3 + + ﹣B4 + + ﹣B5 + + ﹣B6 + + ﹣结果总数是56，符合条件的有24种结果．（若用树状图列式是：）从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为=．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）k AF==﹣k，所以ak=2，确定B的坐标，再求出B到n的距离．解答：解：（Ⅰ）m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0①，x2+4kx﹣4ka+4=0②，…（2分）由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，…（4分）故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1或k＞1．…（6分）（Ⅱ）F（0，1），k AF==﹣k，所以ak=2．…（8分）由△1=0得k2=ka+1=3，B（2k，k2），所以B到n的距离d===4 …（12分）点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数，利用f（x）的极小值点为x=t．推出t=＞0，然后求解单调区间，a=﹣表示出a与t的关系．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值，就是证明g（）=g（t）．（ⅱ）求出函数的g′（t）=﹣（1+）lnt，利用单调性以及极值，判断分别存在唯一的c ∈（1，1）和d∈（1，e2），推出g（c）=g（d）=0，化简即可．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣+=．t=＞0，…（2分）当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（4分）由f′（t）=0得a=﹣t．…（6分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值为g（t）=t++（﹣t）lnt，则g（）=+t+（t﹣）ln=t++（﹣t）lnt=g（t）．…（8分）（ⅱ）g′（t）=﹣（1+）lnt，…（9分）当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．…（10分）又g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e2），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，所以y=g（t）有两个零点且互为倒数．…（12分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的应用，考查计算能力．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC ⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。

2020年河南省郑州市高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3} D．[﹣3，3）2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20 B．21 C．20.5 D．236．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4] C．（4，10] D．（4，+∞）7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为A．B．36πC．D．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC 的面积的最大值为．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住;②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%;④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a;（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x 轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ （a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3} D．[﹣3，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是假命题，则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20 B．21 C．20.5 D．23【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4] C．（4，10] D．（4，+∞）【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解：g′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝2．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC 的面积的最大值为．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A的三角函数，则最大值可求．解：∵b＝，c＝（sin A+cos A）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有①②③．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l 在x轴上的截距m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，向量的数量积的符号，求出n的范围，然后求解即可．解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ （a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．解：（Ⅰ）∵ρ＝2a sinθ （a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…。

2021届高考一轮复习综合检测二(全国卷)数 学（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·甘青宁联考)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |y ＝－x }，则A ∩B 等于( )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{－2，－1}D ．{－2，－1,0}2．若a ，b 均为实数，且a ＋b i 1－i＝2＋i 3，则ab 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．33．(2019·四川省成都市外国语学校期中)函数f (x )＝12log 1x ＋1的图象大致是( )4.如图，在△OAB 中， P 为线段AB 上的一点， OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则()A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝145．若m ＝log 312，n ＝7－0.1，p ＝log 425，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．m >p >nB ．p >n >mC ．p >m >nD ．n >p >m6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为( )A ．15B ．37C ．83D ．1777．在公比为q 的正项等比数列{a n }中，a 4＝1，则当2a 2＋a 6取得最小值时，log 2q 等于( ) A.14 B ．－14 C.18 D ．－188.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为( )A.332πB.33π2C.322πD.3π29.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°，那么异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是( )A.28B.38C.24D.34 10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a sin 2B ＋b sin A ＝0，若a ＋c ＝2，则边b 的最小值为( ) A. 2 B ．3 3 C ．2 3 D. 311．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→＋F 2A →)·F 1A →＝0，则此双曲线的标准方程可能为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 29－y 216＝1 12．(2020·湖南省长沙市长郡中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，e 2x ，x ≤0，g (x )＝e x (e 是自然对数的底数)，若关于x 的方程g (f (x ))－m ＝0恰有两个不等实根x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2－x 1的最小值为( )A.12(1－ln 2) B.12＋ln 2 C ．1－ln 2 D.12(1＋ln 2) 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则使f (a )＝－1成立的a 的值是________． 14．某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，则购鞋尺寸在[39.5,43.5)内的顾客所占百分比为________．15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝1，a 2＝2，S n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1(n ∈N *)，若不等式λS n >a n 恒成立，则实数λ的取值范围是________．三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b sin B ＋c sin C ＝a ⎝⎛⎭⎫2sin B sin C sin A ＋sin A . (1)求A 的大小； (2)若a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．18.(12分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4.(1)证明：AE⊥平面ECD；(2)求点C1到平面AEC的距离．19．(12分)某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，随机抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”分为五个评分标准：1分(很不满意)；2分(不满意)；3分(一般)；4分(满意)；5分(很满意)．其统计结果如下表(住宿满意度为x，餐饮满意度为y)．(1)求“住宿满意度”分数的平均数； (2)求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；(3)为提高对酒店的满意度，现从2≤x ≤3且1≤y ≤2的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率．请在第22～23题中任选一题作答．20．(12分)(2019·甘青宁联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，焦距为2 3. (1)求C 的方程；(2)若斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，O 为坐标原点．证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．21．(12分)设函数f (x )＝－x 2＋ax ＋2(x 2－x )ln x .(1)当a ＝2时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若x ∈(0，＋∞)时， f (x )＋x 2>0恒成立，求整数a 的最小值．22．(10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6cos θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求|P A |＋|PB |的最小值．23．(10分)设函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋a |(a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若关于x 的不等式f (x )<5x＋a 在x ∈[1,2]上有解，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案 D解析 因为A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |x ≤0}，所以A ∩B ＝{－2，－1,0}．2.答案 C解析 因为a ＋b i 1－i＝2＋i 3＝2－i ， 所以a ＋b i ＝(1－i)(2－i)＝1－3i ，因此a ＝1，b ＝－3，则ab ＝－3.3.答案 D解析 函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 1x ＋1>0，即{x |x >－1}，所以排除A ，B 选项；因为f (x )＝12log x 为单调递减函数，f (x )＝1x ＋1在[－1，＋∞)时为单调递减函数，由复合函数单调性可知f (x )＝12log 1x ＋1为单调递增函数，所以排除C 选项．综上可知，D 为正确选项． 4.答案 A解析 由题可知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23B A →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23O A →＋13 OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A. 5.答案 B解析 log 312∈(－1,0)，7－0.1∈(0,1)，log 425＝log 25∈(2,3)，故p >n >m . 6.答案 B解析 执行程序，可得S ＝0，i ＝1，不符合，返回循环；S ＝2×0＋1＝1，i ＝3，不符合，返回循环；S ＝2×1＋3＝5，i ＝5，不符合，返回循环；S ＝2×5＋5＝15，i ＝7，不符合，返回循环；S ＝2×15＋7＝37，i ＝9，符合，输出S ＝37.故选B.7.答案 A解析 2a 2＋a 6≥22a 2a 6＝22a 24＝22，当且仅当q 4＝2时取等号，所以log 2q ＝log 2214＝14，故选A.8.答案 A解析 设圆的半径为r ，则圆的面积S 圆＝πr 2，正六边形的面积S 正六边形＝6×12×r 2×sin60°＝332r 2，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率P ＝S 正六边形S 圆＝332r 2πr 2＝332π，故选A.9.答案 C解析 由长方体∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°，设AD ＝DD 1＝1，CD ＝ 3.连接BC 1，BD . 由AD 1∥BC 1，所以异面直线AD 1与DC 1所成的角等于∠BC 1D .在△BDC 1中，BC 1＝2，BD ＝2，C 1D ＝2，由余弦定理可得cos ∠BC 1D ＝C 1D 2＋BC 21－BD 22C 1D ·BC 1＝22＋2－222×2×2＝24， 所以异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是24. 10.答案 D解析 根据a sin 2B ＋b sin A ＝0，由正弦定理可得sin A sin 2B ＋sin B sin A ＝0⇒cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝2π3， A ＋C ＝π3. 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝4－ac .∵a ＋c ＝2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝1时取等号，∴ac ≤1 .∴b 2＝4－ac ≥3, 即b ≥ 3.故边b 的最小值为 3.11.答案 D解析 由(F 2F 1→＋F 2A →)·F 1A →＝0，可知|F 1F 2|＝|F 2A |＝2c ，又AF 2的斜率为247，所以易得cos ∠AF 2F 1＝－725， 在△AF 1F 2中，由余弦定理得|AF 1|＝165c ， 由双曲线的定义得165c －2c ＝2a ， 所以e ＝c a ＝53，则a ∶b ＝3∶4， 所以此双曲线的标准方程可能为x 29－y 216＝1. 12.答案 D解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，e 2x ，x ≤0，∴f (x )>0恒成立， ∴g (f (x ))＝e f (x )＝m ，∴f (x )＝ln m ，作函数f (x )，y ＝ln m 的图象如下，结合图象可知，存在实数t ＝ln m (0<t ≤1)，使得x 2＝e2x 1＝t ，故x 2－x 1＝t －12ln t ， 令h (t )＝t －12ln t,0<t ≤1，则h ′(t )＝1－12t， 故h (t )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减，在⎝⎛⎦⎤12，1上单调递增， ∴h (t )≥h ⎝⎛⎭⎫12＝12＋12ln 2.故选D.13.答案 －4或2解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，f (a )＝－1， 当a ≤0时，f (a )＝12a ＋1＝－1，解得a ＝－4, 当a ＞0 时，f (a )＝－(a －1)2＝－1，解得a ＝2.14.答案 55%解析 后两个小组的频率为(0.037 5＋0.087 5)×2＝0.25，所以前3个小组的频率之和为1－0.25＝0.75，又前3个小组的面积比为1∶2∶3，即前3个小组的频率比为1∶2∶3，所以第三小组的频率为31＋2＋3×0.75＝0.375， 第四小组的频率为0.087 5×2＝0.175，所以购鞋尺寸在[39.5,43.5)的频率为0.375＋0.175＝0.55，即所占百分比为55%.15.答案 8π解析 作出圆柱与其外接球的轴截面如图，设圆柱的底面圆半径为r ，则BC ＝2r ，所以轴截面的面积为S 正方形ABCD ＝(2r )2＝4， 解得r ＝1，因此，该圆柱的外接球的半径R ＝BD 2＝22＋222＝2， 所以球的表面积为S ＝4π(2)2＝8π.16.答案 (1，＋∞)解析 由题意知，S n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＋1＝a n ＋1－a n ，两式相减得a n ＋2＝2a n ＋1，又a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝4，则a n ＋1＝2a n 对任意n ∈N *成立，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，∴λ>a n S n ＝12－12n －1恒成立， 只需λ>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－12n －1max ， 当n ＝1时，12－12n －1取得最大值1，∴λ>1. 17.解 (1)因为b sin B ＋c sin C ＝a ⎝⎛⎭⎫2sin B sin C sin A ＋sin A ， 由正弦定理可得，b 2＋c 2＝a ⎝⎛⎭⎫2·bc a ＋a ， 即b 2＋c 2－a 2＝2bc ，再由余弦定理可得2bc cos A ＝2bc ，即cos A ＝22，所以A ＝π4. (2)因为B ＝π3，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝6＋24， 由正弦定理a sin A ＝b sin B，可得b ＝ 3. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋34. 18.(1)证明 因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以AA 1⊥平面ABCD ，则AA 1⊥CD .又CD ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，AA 1，AD ⊂平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥AE .因为AA 1⊥AD ，AA 1＝AD ，所以四边形AA 1D 1D 是正方形，所以AE ⊥ED .又CD ∩ED ＝D ，CD ，ED ⊂平面ECD ，所以AE ⊥平面ECD .(2)解 连接CD 1，AC 1，点C 1到平面AEC 的距离即点C 1到平面AD 1C 的距离．在△ACD 1中，AC ＝25，D 1A ＝42，CD 1＝25，S △ACD 1＝12×(25)2－(22)2× 42＝46，又因为AD ⊥CD ，AD ⊥DD 1，DD 1∩CD ＝D ，DD 1，CD ⊂平面CDD 1C 1，所以AD ⊥平面CDD 1C 1， 设点C 1到平面AD 1C 的距离为h .因为VC 1－AD 1C ＝VA －C 1D 1C ，所以13S △AD 1C ·h ＝13S △C 1D 1C ·AD ， 即46h ＝4×4×22，即h ＝263.19.解 (1)x ＝5×1＋9×2＋15×3＋15×4＋6×550＝3.16. (2)当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为1＋2＋5＋3＋45＝3， 其方差为(1－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(3－3)2＋(4－3)25＝2. (3)符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a ，b ，c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为d ，e ，f .从这6人中抽取2人有如下情况，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15种情况．所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率P ＝1215＝45. 20.(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝32，2c ＝23，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3， 又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝－12x ＋m ， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2(m 2－1)＝0，则Δ＝4m 2－8(m 2－1)＝4(2－m 2)>0，且x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝2(m 2－1)>0，故y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋m ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋m ＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－12，k OP k OQ ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－122(m 2－1)＝14＝k 2PQ， 即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．21.解 (1)由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2(x 2－x )ln x ，所以f ′(x )＝－2x ＋2＋2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·1x＝(4x －2)ln x ， 由f ′(x )＞0，可得(4x －2)ln x ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －2>0，ln x >0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2<0，ln x <0， 解得x >1或0<x <12； 由f ′(x )＜0，可得(4x －2)ln x ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －2>0，ln x <0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2<0，ln x >0， 解得12<x <1. 综上可知f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)若x ∈(0，＋∞)时，f (x )＋x 2＞0恒成立，即a ＞－2(x －1)ln x 恒成立，令g (x )＝－2(x －1)ln x ，则a ＞g (x )max .因为g ′(x )＝－2⎝⎛⎭⎫ln x ＋x －1x ＝－2ln x －2＋2x ， 令m (x )＝－2ln x －2＋2x， 则m ′(x )＝－2x －2x 2<0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以g ′(x )在(0，＋∞)上是减函数，且g ′(1)＝0.所以g (x )在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以x ＝1时，g (x )max ＝g (1)＝0，所以a ＞0，又因为a ∈Z ，所以a min ＝1.22.解 (1)由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9.(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(sin α－cos α)t －7＝0.由Δ＝4(sin α－cos α)2＋4×7＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两根，所以t 1＋t 2＝2(cos α－sin α)，t 1t 2＝－7，又由直线过点(2,1)，故结合参数的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝4(sin α－cos α)2＋28＝32－4sin 2α≥27，当sin 2α＝1时取等号．所以|P A |＋|PB |的最小值为27.23.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋1|≥0＋⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12－(x ＋1)＝32， 当且仅当x ＝12时取等号． 故f (x )的最小值为12. (2)当x ∈[1,2]时，f (x )<5x＋a ， 则|2x －a |＋x ＋a <5x ＋a ，即|a －2x |<5x－x ， 即3x －5x <a <x ＋5x ，因为x ∈[1,2]时，3x －5x 的最小值为－2，x ＋5x的最大值为6，所以－2<a <6， 又因为a >0，所以0<a <6.所以a 的取值范围为(0,6)．。

2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，函数的定义域为集合B，则A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，复数，则其共轭复数的虚部为A. 2B.C. 2iD.3.已知向量，且，则的值为A. B. C. D.4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. B. C. D.5.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的．成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知俩人获奖，则获奖的是A. 甲和丁B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁6.设函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则A. B. 2 C. 4 D. 67.已知m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，，，，则B. 若，，，，则C. 若，，，，，则D. 若，，，则8.已知函数的最小正周期为，则该函数图象A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称9.已知抛物线C：上一点到焦点F的距离，则A. 2B. 4C. 1D. 510.已知曲线在点处的切线方程为，则A. ，B. ，C. ，D. ，11.已知，则A. B. 3 C. D.12.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，则该双曲线的方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足，则的取值范围是______．14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩单位：秒的平均数与方差制成如表的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选参加比赛．15.如图，在中，D是边BC上一点，，，则______ ．16.如图，圆锥型容器内盛有水，水深3dm，水面直径放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为______dm三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列中，已知，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ求．18.如图，四边形ABCD是直角梯形，，，且有，，．证明：平面ABCD；若四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积．19.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如下所示：甲商场五天的销售情况销售第x天12345第x天的销量y1113121514试计算购买该产品的顾客的平均年龄；根据甲商场这五天的销售情况，求x与y的回归直线方程．参考公式：回归直线方程中，，．20.已知函数．求函数的单调区间；函数，求的解的个数．21.已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为．求椭圆的方程；若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为，，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．22.平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，曲线C的参数方程是为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；设直线l与曲线C交于A，B两点，求．23.已知函数．若，求不等式的解集．对任意的，有，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，属于基础题．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，．故选：B．2.答案：A解析：解：，，则共轭复数的虚部为2．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查向量垂直的充要条件、向量数量积的坐标运算、根据向量的坐标求长度的方法．根据便可得出，从而求出x值，进而求出的坐标，从而求出的值．【解答】解：，，，，，．故选D．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，基本事件，考查了运算求解能力，属于基础题．先求得基本事件的总数为6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．解：由题意，甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个小组共有3种情形：甲、乙，丙、丁，甲、丙，乙、丁，甲、丁，乙、丙，所以分别参加两项活动有6种情况；因为乙、丙两人恰好在一起的情形只有1种：甲、丁，乙、丙，所以乙、丙两人参加同一项活动有2种情况；所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选：B．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题．本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．【解答】解：由题意，可知：乙、丁的预测是一样的，乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故乙、丁的预测不成立，乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，甲、丙的预测成立，丁必获奖．乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，丙不获奖，乙获奖．从而获奖的是乙和丁．故选D．6.答案：A解析：解：是定义在R上的周期为2的奇函数，，，当时，，即，得，当时，，，故选：A．根据函数奇偶性和周期性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和周期性的性质进行转化是解决本题的关键．解析：解：由m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在A中，若，，，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，，，则与相交或平行，故B错误；在C中，若，，，，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，，则由面面平行的判定定理得，故D正确．故选：D．在A中，与相交或平行；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：，的最小正周期为，，，，可得函数关于点对称，故A正确，B错误，，可得C错误，D错误．故选：A．由两角和的余弦函数公式可得，利用周期公式可求的值，进而根据余弦函数的图象和性质即可求解．本题主要考查了两角和的余弦函数公式，周期公式，余弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于基础题．9.答案：A解析：解：由抛物线的定义可知，，，，即，点在抛物线上，，由解得，或舍负，故选：A．由抛物线的定义可知，，与已知条件结合，得；把点M的坐标代入抛物线方程可得，结合即可解出p的值．本题考查抛物线的定义，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，属于基础题．求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得，可得a，进而得到切点，代入切线方程可得b的值．【解答】解：的导数为，由在点处的切线方程为，可得，解得，故切点为，可得，即．故选D．11.答案：D解析：解：，，即，则，则，故选：D．根据同角三角函数关系求出的值，利用弦化切结合1的代换进行求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及1的代换，结合弦化切是解决本题的关键．12.答案：C解析：【分析】利用双曲线的离心率，以及双曲线经过的点，求解双曲线的几何量，然后得到双曲线的方程．本题考查双曲线方程的综合应用，双曲线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．【解答】解：由题意双曲线的离心率为得，，，，，，双曲线C的方程为：．故选：C．13.答案：解析：解：不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是过和区域内的点的直线的斜率，所以最大值是过与连接的直线斜率为，最小值是过与连接的直线斜率为，所以的取值范围是首先画出平面区域，根据的几何意义求范围．本题考查了简单线性规划的问题解答，关键是正确画出平面区域以及明确目标函数的几何意义．14.答案：甲解析：解：根据题意，由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数，而甲乙的方差小于丙的方差，则三人中甲的平均数最高且方差最小，故应该选甲参加比赛；故答案为：甲根据题意，分析可得三人中甲的平均数最高且方差最小，由平均数、方差的统计意义分析可得答案．本题考查平均数、方差的统计意义，属于基础题．15.答案：解析：解：不妨设，则．在中，由余弦定理可得：，解得．取BD的中点E，连接AE，则，．在中，由正弦定理可得：，解得．故答案为：．不妨设，则在中，由余弦定理可得：解得可得cos B，在中，由正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：如图，设铁球的半径为r，则放入铁球后水深为3r，上底面半径为，此时铁球与水的体积和为．原来水的体积为，铁球的体积为，则，解得．铁球的体积．故答案为：．由题意画出截面图，设铁球的半径为r，利用体积相等求解r，则球的体积可求．本题考查圆锥与球的体积，是基础的计算题．17.答案：解：因为是等差数列，，，所以解得，则，分，，，，构成首项为，公差为9的等差数列．则分解析：Ⅰ依题意，，两式相减得，将代入一式可得，则通项公式可求．Ⅱ因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，且首项，公差，则其前n项和可求．本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等差数列的定义等，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．18.答案：解：证明：在中，，，，，，即，又，，平面ABCD．由得面ABCD，，，，，，平面PAD，，，由题意得，，中，由余弦定理得．，，，，，四棱锥的表面积．解析：推导出，，由此能证明平面ABCD．由面ABCD，四棱锥的体积为，求出，由，，得平面PAD，，，由此能求出四棱锥的表面积．本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：购买该产品的顾客的平均年龄为；，．，．与y的回归直线方程为．解析：由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率得答案；由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求．本题考查频率分布直方图，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：由，得，故，令，解得：，令，解得：，故函数在递减，在递增；令得，若，则，递减，而，故有1个零点，若，得时，，时，，在递增，在递减，，令，则，当时，，当时，，在递减，在递增，而，故时，，有2个零点，当时，，有1个零点，综上，时，有1个解，当时，有2个解．解析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间尽快；令，求出函数的导数，得到函数的最大值，通过讨论a的范围，判断函数的零点个数即的解的个数．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：由题意可知，，，因此，解得，，故椭圆的方程为．设，，当直线MN的斜率存在时，设方程为，由，消y可得，，则有，即，，，所以．点O到直线MN的距离，所以．又因为，所以，化简可得，满足，代入，当直线MN的斜率不存在时，由于，考虑到OM，ON关于x轴对称，不妨设，，则点M，N的坐标分别为，，此时，综上，的面积为定值．解析：依题意，，，由此可求得，，进而得到椭圆的方程；分情况讨论，当直线MN的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立，可得弦长，点O到直线MN的距离d，进而表示出面积，再根据题设条件得出结果；当直线MN的斜率不存在时，可直接求出点M，N的坐标，进而求得面积；综合即可得出结论．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，考查直观想象，逻辑推理以及化简求解能力，属于中档题．22.答案：解：根据，直线l的极坐标方程转换为直角坐标方程为：．曲线C的参数方程是为参数，消去参数m，转换为直角坐标方程为．直线l转换为参数方程为为参数，代入直角坐标方程为．得到：，所以：，．所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，，因为，所以或所以，所以不等式的解集为：；因为所以，因为任意的，有，所以，即，即，，，在同一坐标系中的图象如下：所以，所以实数m的取值范围为：解析：当时，，分段解不等式．可得，任意的，有，即，令，，利用，在同一坐标系中的图象求解．本题考查了绝对值不等式的解法、性质．属于中档题．。

2020届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{|8}U x x =∈≤N ，集合{1,3,7}A =，{2,3,8}B =，则()()U UA B =I 痧（ ）A ．{1,2,7,8}B ．{4,5,6}C ．{0,4,5,6}D ．{}6,5,4,3,02．已知复数11i z =+，22i z =-，则12iz z =（ ） A ．13i -B ．13i -+C ．12i +D ．12i -3．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则1x ≥且1x ≤- B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥4．已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于长轴的直线交椭圆于,A B 两点，则1ABF △的周长为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．165．已知平面向量(1,3)=-a ，(2,0)=-b ，则|2|+=a b （ ） A ．32B ．3C ．22D ．56．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5a =（ ）A ．4B ．10C ．16D ．327．定义在R 上的奇函数()f x ，满足在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f -=，则(1)0f x +>的解集为（ ）A ．(,2)(1,0)-∞--UB ．(0,)+∞C ．(2,1)(1,2)--UD ．(2,1)(0,)--+∞U8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．43B ．23C ．2D ．329．若点(,)x y 满足线性条件200580x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数()2sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<，且(0)1f =，则下列结论中正确的是（ ） A ．()2f ϕ=B ．π(,0)6是()f x 图象的一个对称中心C ．π3ϕ=D ．π6x =-是()f x 图象的一条对称轴 11．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．1212．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)xf x e x =+，给出下列命题： ①当0x >时，()(1)xf x e x =-；②函数()f x 有2个零点；③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ；此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。