2020高考数学文科二轮复习综合模拟卷

【精编】2020高考数学（文科）二轮复习综合模拟卷（一）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，复数2+4ii=()A. 4−2iB. 4+2iC. −4−2iD. −4+2i【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数2+4ii =−i(2+4i)−i⋅i=4−2i，故选A．2.已知集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∩B=()A. {1}B. {0,1}C. {0,1，2，3}D. {−1,0，1，2，3}【答案】A【解析】解：∵A={1,2，3}，B={x|−1<x<2,x∈Z}={0,1}，∴A∩B={1}．故选：A．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.已知角α+π4的终边与单位圆x2+y2=1交于P(x0,13)，则sin2α等于()A. 19B. −79C. −23D. 13【答案】B【解析】解：角α+π4的终边与单位圆x2+y2=1交于P(x0,13)，∴sin(α+π4)=13，∴sin2α=−cos2(α+π4)=−1+2sin2(α+π4)=−1+2×19=−79，故选：B．由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.如图1是2015年−2018年国庆档日电影票房统计图，图2是2018年国庆档期单日电影大盘票房统计图，下列对统计图理解错误的是()A. 2016年国庆档七天单日票房持续走低B. 2017年国庆档七天单日票房全部突破3亿C. 2018年国庆档七天单日票房仅有四天票房在2.5亿以上D. 2018年周庆档期第2日比第1日票房约下降12％【答案】B【解析】【分析】本题考查了统计图，属于基础题．根据图表得到相关数据是解题的关键，对各个选项逐一验证即可．【解答】解：A中，由图1易得2016年国庆7天的单日票房逐日递减，正确；B中，由图1易得2017年国庆档10月6日，10月7日两天的单日票房未超过3亿，错误；C中，由图2易得2018年国庆档10月1日，2日，3日，4日四天的单日票房都在2.5亿以上，正确；D中，由图2易得2018年国庆档第2日比第1日票房下降约为36000.25−31662.4836000.25×100％≈12％，故D是正确的．故选B．5.“a<0”是“函数f(x)=ax2−2x−1在(0,+∞)上单调递减”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的单调性，充分条件、必要条件判定，属于基础题．利用二次函数的单调性即可得出结论．【解答】解：∵函数f(x)=ax2−2x−1在(0,+∞)上单调递减，∴{a<0−−22a<0或a=0，解得a≤0，∴“a<0”是“函数f(x)=ax2−2x−1在(0,+∞)上单调递减”的充分不必要条件，故选A．6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 2B. 52C. 2+√2D. 2√3+1【答案】C【解析】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P−ABCD，几何体的表面积为：1×1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2．故选：C．画出几何体的直观图，检验三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．7.已知a=log0.080.04，b=log0.30.2，c=0.30.04，则a，b，c的大小关系为()A. c>b>aB. b>a>cC. b>c>aD. a>b>c 【答案】B【解析】解：a=log0.080.04，b=log0.30.2=log0.090.04，根据对数函数的图象，所以b>a>log0.040.04=1，c=0.30.04<1，故选：B．由a=log0.080.04，b=log0.30.2=log0.090.04，根据对数函数的图象，所以b>a> log0.040.04=1，c=0.30.04<1，得出结论．考查对数函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，中档题．8.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π6)的图象，则函数f(x)的一个单调减区间为()A. [−π12,5π12] B. [−π6,5π6] C. [−π3,5π6] D. [π6,2π3]【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．【解答】解：函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π6)的图象，即：把函数g(x)=sin(2x+π6)的图象，向左平移π4个单位，即得到f(x)的图象，故：g(x)=sin(2x+π2+π6)=sin(2x+2π3)，令：π2+2kπ≤2x+2π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得：−π12+kπ≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，当k=0时，−π12≤x≤5π12，故选A．9.已知四棱锥E−ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，ED=1，平面ECD⊥平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为()A. √26B. 13C. √23D. 1【答案】B【解析】解：如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．此时该四棱锥的体积=13×12×1=13．故选：B．如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．即可得出此时该四棱锥的体积．本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.若数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n+2=a n+a n−1，则称数列{a n}为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例．作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为( )A. 1−103π 156B. 1−π4C. 1−17π 26D. 1−68π 273【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是几何概型的求解及数列的递推关系式，属于中档题目． 根据几何概型概率公式计算，即可得到答案． 【解答】解：由题意可得数列{a n }的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21， 所以长方形ABCD 的面积为13×21=273，6个扇形面积之和为π4(12+22+32+52+82+132)=68π， 所以所求概率P =1−68π273， 故选D ． 11. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB(O 为坐标原点)的面积为bc ，则双曲线的离心率为( )A. √2B. 2C. √3D. 3【答案】B【解析】解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(c,0)，设OA 的方程为bx −ay =0，OB 的方程为bx +ay =0，过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =ba (x −c)，平行于OB 的直线FA 的方程为y =−ba (x −c)，可得平行线OA 和BF 的距离为bc√b 2+a 2=b ，由{bx −ay =0bx +ay −bc =0可得x =12c ，y =bc 2a ，即A(12c,bc2a )，则平行四边形OAFB的面积为S=b√14c2+b2c24a2=bc，化为b2=3a2，则e=ca =√1+b2a2=√1+3=2．故选：B．设出双曲线的右焦点F，直线OA，OB的方程，过F平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a，b的关系，进而得到所求离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查平行四边形的性质和面积求法，化简运算能力，属于中档题．12.若x0既是函数f(x)=ae x−x−ka(a,k∈R)的一个零点也是一个极值点，则实数k的取值范围为()A. (−∞,1]B. (−∞,0]C. [0,+∞)D. [1,+∞)【答案】A【解析】【分析】本题考查导数法研究函数的极值、最值以及函数的零点问题，属于中档题．对f(x)求导，得到极值点x0=ln1a ，再根据其为函数的零点，得到f(ln1a)=0，即1+lna−ka=0，分离出k，转化求的值域问题，由此即可得到k的取值范围．【解答】解：因为f(x)=ae x−x−ka(a,k∈R)，所以f′(x)=ae x−1，因为函数有极值点，所以a>0，令f′(x)=ae x−1=0，则x=ln1a，当x<ln1a ，f(x)单调递减，当x>ln1a，f(x)单调递增，所以x=ln1a 为函数f(x)的极小值点，则x0=ln1a，因为x0既是函数f(x)=ae x−x−ka(a,k∈R)的一个零点也是一个极值点，所以f(ln1a)=0，即1+lna−ka=0，所以令则，令，则a =1，当0<a <1时，g′(a)>0，g(a)单调递增， 当a >1时，g′(a)<0，g(a)单调递减， 所以当a =1时，g(a)max =1，所以g(a)≤1， 所以实数k 的取值范围为(−∞,1]． 故选A ．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量e 1⃗⃗⃗ =(1,1)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)，若a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−(2e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ )共线．则实数λ=______． 【答案】−32【解析】解：向量e 1⃗⃗⃗ =(1,1)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)， 则a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ =(1,1+λ)， b ⃗ =−(2e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ )=(−2,1)， 所以1+2(1+λ)=0， 解得λ=−32． 故答案为：−32．根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值． 本题考查了平面向量的共线定理和坐标运算问题，是基础题．14. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤1x −y +1≥0y ≥0，则z =x −2y 的最大值是______．【答案】1【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤1x −y +1≥0y ≥0的平面区域，如图示： 由{y =0x +y −1=0，解得：A(1,0)， 由z =x −2y 得：y =12x −12z ， 显然，直线过A(1,0)时，z 最大，z的最大值是1，故答案为：1．先画出满足条件的平面区域，通过解方程求出B点的坐标，根据z=x−2y变形为y=1 2x−12z，通过图象显然，直线过B时，z最大，求出即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0),A为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N(2,0)，椭圆C的离心率为23，则椭圆C的标准方程为______．【答案】x236+y220=1【解析】【分析】本题考查了椭圆的方程，直线的斜率，点共线问题，中点坐标等，属于中档题．设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN=k NQ可计算出a，从而解决问题；【解答】解：设P(x,y)，由椭圆的对称性可得Q(−x,−y)则由A(a,0)，线段AP的中点为M，得M(x+a2,y2 )；由题意，Q，N，M三点共线，k MN=k NQ；即y2−0x+a 2−2=0−(−y)2−(−x)；可得x+a−4=2+x；所以a=6，由椭圆C的离心率为23，得c=4，b2=20；故椭圆C的标准方程为：x236+y220=1．故答案为：x236+y220=1．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知√3(acosC−ccosA)=b,B=60°，则A的大小为______．【答案】75°【解析】解：∵√3(acosC−ccosA)=b,B=60°，∴由正弦定理可得：√3(sinAcosC−sinCcosA)=sinB，可得：√3sin(A−C)=sinB=√32，∴sin(A−C)=1，2∵A+C=120°，又∵0°<A<120°，0°<C<120°，可得：−120°<A−C<120°，∴A−C=30°，∴解得：A=75°．故答案为：75°．由正弦定理，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知等式可得sin(A−C)=1，可求范围−120°<A−C<120°，利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值2可求A−C=30°，联立A+C=120°，即可解得A的值．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，正弦函数的图象及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算了和转化思想，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，首项为a1，且4，a n，S n成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n2=2b n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：(1)数列{a n}的前n项和为S n，首项为a1，且4，a n，S n成等差数列．所以2a n=S n+4①，当n=1时，解得a1=4．当n≥2时2a n−1=S n−1+4②=2(常数)①−②得：a n=2a n−2a n−1，整理得a na n−1所以数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列．所以a n=4×2n−1=2n+1．(2)由于a n2=2b n，所以a n2=22n+2=2b n，整理得b n=2n+2，=n2+3n．所以T n=n(4+2n+2)2【解析】(1)直接利用等差中项求出数列的递推关系式，进一步求出数列的通项公式．(2)利用(1)的结论进一步求出数列{b n}的通项公式，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.如图所示的多面体ABCDEF满足：正方形ABCD与正三角形FBC所在的两个平面互相垂直，FB//AE且FB=2EA．(Ⅰ)证明：平面EFD⊥平面ABFE；(Ⅱ)若AB=2，求多面体ABCDEF的体积．【答案】解：(1)由题可知BC//AD，FB//AE，∠FBC=60∘，∴∠EAD=∠FBC=60∘．又FB=2EA，FB=BC=AD，设EA=a，则AD=2a，在中，由余弦定理得，ED=√a2+4a2−2a⋅2a⋅cos60∘=√3a，∵DE2+AE2=AD2，∴ED⊥AE，∵平面ABCD⊥平面FBC，平面ABCD∩平面FBC=BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面FBC．∵BC//AD，EA//FB，FB∩BC=B，FB⊂平面FBC，BC⊂平面FBC，∴平面EAD//平面FBC，∴AB⊥平面EAD;∵ED⊂平面EAD，∴AB⊥ED，∵EA∩AB=A，EA⊂平面ABFE，AB⊂平面ABFE，∴ED⊥平面ABFE，∵DE⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABFE．(2)如图，连接BD 由(1)可知ED ⊥平面ABFE ， ∴V D−ABFE =13×(2+1)×22×√3=√3，由(1)知AB ⊥平面FBC ，又CD//AB ，∴CD ⊥平面FBC ， ∴V D−FBC =13×(√34×22)×2=2√33． ∴V ABCDEF =V D−ABFE +V D−FBC =5√33． 所以多面体ABCDEF 的体积为5√33． 【解析】本题考查面面垂直和多面体的体积，属于中档题．(1)先证ED ⊥AE ，再证AB ⊥ED ，从而ED ⊥平面ABFE ，又DE ⊂平面DEF ，平面DEF ⊥平面ABFE ．(2)连接BD 由(1)可知ED ⊥平面ABFE ， V D−ABFE =13×(2+1)×22×√3=√3，由(1)知AB ⊥平面FBC ，又CD//AB ，∴CD ⊥平面FBC ，V D−FBC =13×(√34×22)×2=2√33．∴V ABCDEF =V D−ABFE +V D−FBC .即可求解．19. 最近几年汽车金融公司发展迅猛，主要受益于监管层面对消费进人门槛的降低，互联网信贷消费的推广普及，以及汽车销售市场规模的扩张．如图是2013−2017年汽车金融行业资产规模统计图(单位：亿元)．(1)以年份值2013，2014，…为横坐标，汽车金融行业资产规模(单位：亿元)为纵坐标，求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，预计2018年汽车金融行业资产规模(精确到亿元)． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −(其中x −，y −为样本平均值)．参考数据：∑x i n i=1y i ≈4.620×107，2015∑y i n i=1≈4.619×107．【答案】解：(1)由已知得：x −=2013+2014+2015+2016+20175=2015；∑(5I=1x i −x −)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10； ∑x i 5i=1y i −5x −y −≈(4.620−4.619)×107=104；∴b ≈1×10410=103；∴a ̂=y −−bx −≈4.619×1072015×5−103×2015≈−2.010×106；故所求的线性回归方程为：y =103x −2.010×106；(2)当x =2018时，y ̂=103×2018−2.010×106≈8000(亿元)； 预计2018年汽车金融行业资产规模约为8000(亿元)． 【解析】(1)由已知求得b ̂与a ̂的值，则线性回归方程可求；(2)在(1)中求得的回归方程中，取x =2018求得y 值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题，计算能力是这一类型题目考查的重点．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆经过点P(√6,−1)，且△PF 1F 2的面积为2 (1)求椭圆C 的标准方程(2)设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为√2的圆交于A ，B 两点与椭圆C 交于C ，D 两点，且|CD|=λ|AB|(λ∈R)，当λ取得最小值时，求直线l 的方程【答案】解：(I)由△PF 1F 2的面积S =12⋅2c ⋅1=2，则c =2，由a 2−b 2=4， 将椭圆C 过点P(√6,−1)，则6a 2+1b 2=1，解得：a =2√2，b =2， ∴椭圆的标准方程：x 28+y 24=1；(Ⅱ)设直线l 的方程为y =x +m ，则原点到直线l 的距离d =√2由弦长公式|AB|=2√2−m 22=√8−2m 2，则{y =x +m x 2+2y 2=8，整理得：3x 2+4mx +2m 2−8=0， Δ=16m 2−12(2m 2−8)>0，解得：−2√3<m <2√3，由直线和圆相交的条件可得d <r ，即√2<√2，则−2<m <2，综上可得m的取值范围为(−2,2)，设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则x1+x2=−4m3，x1x2=2m2−83，由弦长公式|CD|=√2√(x1+x2)2−4x1x2=43√12−m2由|CD|=λ|AB|，则λ=|CD||AB|=43√12−m2√8−2m2=2√23√1+84−m，由−2<m<2，则0<4−m2≤4，∴当m=0时，λ取得最小值为2√63，此时直线l的方程为y=x．【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．(I)根据三角形的面积公式，求得c，由a2−b2=4，将P代入椭圆方程，即可求得a 和b的值，即可求得椭圆方程；(Ⅱ)设直线l的方程，利用点到直线的距离公式及勾股定理求得|AB|，代入椭圆方程，由△>0和d<r，求得m的取值范围，利用韦达定理及弦长公式求得|CD|，根据m的取值范围，即可求得m的值，直线l的方程．21.已知函数f(x)=x3−ax2+427．(1)若f(x)在(a−1,a+3)上存在极大值，求a的取值范围；(2)若x轴是曲线y=f(x)的一条切线，证明：当x≥−1时，f(x)≥x−2327．【答案】(1)解：f′(x)=3x2−2ax=x(3x−2a)，令f′(x)=0，得x1=0，x2=2a3．当a=0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)无极值，不合题意；当a>0时，f(x)在x=2a3处取得极小值，在x=0处取得极大值，则a−1<0<a+3，又a>0，所以0<a<1；当a<0时，f(x)在x=2a3处取得极大值，在x=0处取得极小值，则a−1<2a3<a+3，又a<0，所以−9<a<0．综上，a的取值范围为(−9,0)∪(0,1)．(2)证明：由题意得f(0)=0，或f(2a3)=0，即427=0(不成立)，或−427a3+427=0，解得a=1．设函数g(x)=f(x)−(x−2327)=x3−x2−x+1，g′(x)=(3x+1)(x−1)，当−1≤x <−13或x >1时，g′(x)>0；当−13<x <1时，g′(x)<0． 所以g(x)在x =1处取得极小值，且极小值为g(1)=0． 又g(−1)=0，所以当x ≥−1时，g(x)≥0， 故当x ≥−1时，f(x)≥x −2327．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系判断函数的单调性，再根据极值存在条件可求；(2)由题意得f(0)=0，或f(2a3)=0，代入可求a ，然后构造函数g(x)=f(x)−(x −2327)=x 3−x 2−x +1，结合导数与极值的关系可证明．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值存在条件的应用，体现了转化与分类讨论思想的应用．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求|AM|2+|AN|2最大值．【答案】解：(1)由直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t (t 为参数).转换为直角坐标方程为：3x −y +9=0．所以：直线l 的普通方程为3x −y +9=0．曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0.转换为直角坐标方程为：x 2+y 2+12x +35=0．故曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2+12x +35=0．(2)直线l:3x −y +9=0与坐标轴的交点依次为(−3,0)，(0,9)， 不妨设M(−3,0)，N(0,9)，曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2+12x +35=0化为标准方程是(x +6)2+y 2=1， 由圆的参数方程，可设点A(−6+cosα,sinα)，所以|AM|2+|AN|2=(−3+cosα)2+sin 2α+(−6+cosα)2+(sinα−9)2=−18(sinα+cosα)+128=−18√2sin(α+π4)+128， 当sin(α+π4)=−1，即α=5π4时，最大值为18√2+128．【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|ax −1|．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)≤4的解集；(Ⅱ)当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立，证明：a +b ≥0． 【答案】(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1．∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4x <−1，∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立， 则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1， ∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b， ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0，∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b，∴a +b ≥0． 【解析】(Ⅰ)将a =1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可；(Ⅱ)根据当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立，可得|ax −1|≤2x +b −1，然后解不等式，进一步得到a +b ≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）( 第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B I 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则A ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22=+-y x ，的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为， 求OBOA 3-的取值范围.O A O B23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BAAABBCDDDCD13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴Θ从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.S 球＝4πR 2＝36π.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.425 2.5558510.45i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x =- (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NNt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++cc b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c bc a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c cb a ++≥++∴111当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。

2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷1一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，4，6}，B ＝{1，4，7，8}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{4}B ．{2，3，6}C ．{2，3，7}D ．{2，3，4，7}2．（5分）若复数z 满足z （i ﹣1）＝2i （i 为虚数单位），则z 为（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i3．（5分）已知数列{a n }的前n 项和公式是S n =2n 2+3n ，则（ ） A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列4．（5分）已知m 为实数，直线l 1：mx +y ﹣1＝0，l 2：（3m ﹣2）x +my ﹣2＝0，则“m ＝1”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知三棱锥D ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ） A ．5π3B ．2πC ．5πD ．20π36．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．457．（5分）设曲线在某点的切线斜率为负数，则此切线的倾斜角（ ） A ．小于90° B ．大于90° C ．不超过90°D ．大于等于90°8．（5分）已知函数f （x ）为定义在（一∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝（x ﹣2e ）lnx ．若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 存在四个不同的零点，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣e ，e ）B ．[﹣e ，e ]C ．（﹣1，1）D ．[﹣1，1]9．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏10．（5分）已知空间四边形ABCD ，∠BAC =23π，AB ＝AC ＝2√3，BD ＝4，CD ＝2√5，且平面ABC ⊥平面BCD ，则该几 何体的外接球的表面积为（ ） A ．24πB ．48πC ．64πD ．96π11．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的虚轴为（ ） A ．1B ．2C ．√3D ．2√312．（5分）已知定义域为R 的奇函数f （x ）的导函数为f '（x ），当x ＞0时，xf '（x ）＞f （x ）．若a =f(−log 23)−log 23，b =f(log 46)log 46，c =f(sin π8)sin π8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜a D ．b ＜c ＜a二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知AB →=(2，k)，CB →=(1，3)，CD →=（2，﹣1），若A ，B ，D 三点共线，则k ＝ ．14．（5分）已知集合A ＝{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}，任取k ∈A ，则幂函数f （x ）＝x k 为偶函数的概率为 （结果用数值表示）．15．（5分）函数的图象是函数f （x ）＝sin2x −√3cos2x 的图象向右平移π3个单位得到的，则函数的图象的对称轴可以为 ． 16．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，以F 为圆心的圆：x 2+y 2﹣4x ﹣32＝0恰好与椭圆的右准线相切，则该椭圆的离心率为 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20，70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组，[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]，并整理得到频率分布直方图：（Ⅰ）求图中的a值；（Ⅱ）求被调查人员的年龄的中位数和平均数；（Ⅲ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，在抽取的8人中随机抽取2人，则这2人都来自于第三组的概率是多少？18．（12分）锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(a2+b2−c2)tanC=√3ab．（1）求C；（2）若3sin A＝4sin B，且△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．19．（12分）如图，已知抛物线y2＝4x，过焦点F且斜率不为零的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2））两点，且与其准线交于点D．（1）若|AB|＝8，求直线l的方程；（2）若点M在抛物线上且|MF|＝2．求证：对任意的直线l，直线MA，MD，MB的斜率依次成等差数列．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A ＝AD＝4，G为PD的中点，点E在AB上，平面PDC⊥平面PEC．（1）求证：AG⊥平面PCD；（2）求三棱锥A﹣PEC的体积．21．（12分）函数f(x)=e x −1e x ，ℎ(x)=xx+1（1）判断x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）的零点个数，并加以说明； （2）正项数列{a n }满足a 1=1，a n e −a n+1=f(a n ) ①判断数列{a n }的单调性并加以证明．②证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为：{x =3+2t y =−1+t （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点P （3，﹣1），求1|PM|−1|PN|的值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|ax ﹣1|．（Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （x ）≤4的解集；（Ⅱ）当x ≥1时，不等式f （x ）≤3x +b 成立，证明：a +b ≥0．2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，4，6}，B＝{1，4，7，8}，则A∩（∁U B）＝（）A．{4}B．{2，3，6}C．{2，3，7}D．{2，3，4，7}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4，6}，B＝{1，4，7，8}，∴∁U B＝{2，3，5，6}，A∩（∁U B）＝{2，3，6}．故选：B．2．（5分）若复数z满足z（i﹣1）＝2i（i为虚数单位），则z为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：Z（i﹣1）＝2i（i为虚数单位），∴﹣Z（1﹣i）（1+i）＝2i（1+i），∴﹣2z＝2（i﹣1），解得z＝1﹣i．则z=1+i．故选：A．3．（5分）已知数列{a n}的前n项和公式是S n=2n2+3n，则（）A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为4的等差数列D．不是等差数列【解答】解：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2+3n﹣2（n﹣1）2﹣3（n﹣1）＝4n+1，n＝1时，a1＝S1＝2×12+3×1＝5，符合上式，∴a n＝4n+1．故选：C．4．（5分）已知m为实数，直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m＝1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣2＝0满足l1∥l 2，即充分性成立，当m ＝0时，两直线方程分别为y ﹣1＝0，和﹣2x ﹣2＝0，不满足条件． 当m ≠0时，则l 1∥l 2⇒3m−2m=m 1≠−2−1，由3m−2m =m 1得m 2﹣3m +2＝0得m ＝1或m ＝2，由m 1≠−2−1得m ≠2，则m ＝1，即“m ＝1”是“l 1∥l 2”的充要条件， 故选：A ．5．（5分）已知三棱锥D ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ） A ．5π3B ．2πC ．5πD ．20π3【解答】解：如图，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ， 取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的 垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心， 由AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66 ∴四面体A ﹣BCD 的外接球的半径R =√OG 2+BG 2=(√66)2+(12)2=√512∴球O 的表面积为=4π×(√512)2=5π3， 故选：A ．6．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，基本事件总数n =C 52=10，选中的2人是1名男同学1名女同学包含的基本事件个数m =C 21C 31=6，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是p =m n =610=35． 故选：C ．7．（5分）设曲线在某点的切线斜率为负数，则此切线的倾斜角（ ） A ．小于90° B ．大于90° C ．不超过90°D ．大于等于90°【解答】解：设此切线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），θ≠90°． ∵曲线在某点的切线斜率为负数， ∴tan α＜0，∴α∈（90°，180°）， 故选：B ．8．（5分）已知函数f （x ）为定义在（一∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝（x ﹣2e ）lnx ．若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 存在四个不同的零点，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣e ，e ）B ．[﹣e ，e ]C ．（﹣1，1）D ．[﹣1，1]【解答】解：A 当x ＞0时，f ′(x)=lnx +1−2ex ．f′(x)=1x +2ex 2＞0，故f '（x ）在（0，+∞）上单调递增，因为f '（e ）＝0．故ff （x ）在（0，e ）上单调递战，在（e ，+∞）上单调递增． 如图为f （x ）大致图象．由g （x ）＝f （x ）﹣m 存在四个不同的零点知 y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有四个不同交点， 故m ∈（﹣e ，e ）， 故选：A ．9．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7=a1(1−27)1−2=381，解得a1＝3．故选：B．10．（5分）已知空间四边形ABCD，∠BAC=23π，AB＝AC＝2√3，BD＝4，CD＝2√5，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24πB．48πC．64πD．96π【解答】解：在三角形ABC中，∠BAC=23π，AB＝AC＝2√3，由余弦定理可得BC=√AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos23π=6，而在三角形BCD中，BD＝4，CD＝2√5，∴BD2+CD2＝BC2，即△BCD为直角三角形，且BC为斜边，因为平面ABC⊥平面BCD，所以几何体的外接球的球心为为三角形ABC的外接圆的圆心，设外接球的半径为R，则2R=BCsin23π=4√3，即R＝2√3，所以外接球的表面积S＝4πR2＝48π，故选：B．11．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的虚轴为（ ） A ．1B ．2C ．√3D ．2√3【解答】解：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为（2，0），准线方程为直线x ＝﹣2， ∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，∴双曲线的右焦点坐标为F （2，0）， ∴双曲线的左焦点坐标为F ′（﹣2，0）， ∵|PF |＝5，∴点P 的横坐标为3，代入抛物线y 2＝8x ，y ＝±2√6， 不妨设P （3，2√6），∴根据双曲线的定义，|PF '|﹣|PF |＝2a 得出√25+24−√1+24=2a ， ∴a ＝1， ∵c ＝2， ∴b =√3，∴双曲线的虚轴长为：2√3． 故选：D ．12．（5分）已知定义域为R 的奇函数f （x ）的导函数为f '（x ），当x ＞0时，xf '（x ）＞f （x ）．若a =f(−log 23)−log 23，b =f(log 46)log 46，c =f(sin π8)sin π8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a【解答】解：令g （x ）=f(x)x（x ≠0）， 由于f （x ）为R 上的奇函数，所以g （x ）=f(x)x （x ≠0）为定义域上的偶函数， 又当x ＞0时，xf '（x ）＞f （x ）， 所以，当x ＞0时，g ′（x ）=xf′(x)−f(x)x 2＞0，所以，偶函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增； 又0＜sin π8＜1＜log 46＜log 49＝log 23，所以g （sin π8）＜g （log 46）＜g （log 49）＝g （log 23）＝g （﹣log 23），即c ＜b ＜a ， 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知AB →=(2，k)，CB →=(1，3)，CD →=（2，﹣1），若A ，B ，D 三点共线，则k ＝ ﹣8 ．【解答】解：∵AB →=(2，k)，CB →=(1，3)，CD →=（2，﹣1）， ∴BD →=CD →−CB →=（1，﹣4）， ∵A ，B ，D 三点共线，∴21=k −4．解得k ＝﹣8． 故答案为：﹣8．14．（5分）已知集合A ＝{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}，任取k ∈A ，则幂函数f （x ）＝x k 为偶函数的概率为14（结果用数值表示）．【解答】解：集合A ＝{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}，任取k ∈A ， 基本事件总数n ＝8，幂函数f （x ）＝x k 为偶函数包含的基本事件个数m ＝2， ∴幂函数f （x ）＝x k 为偶函数的概率为P =m n =28=14． 故答案为：14．15．（5分）函数的图象是函数f （x ）＝sin2x −√3cos2x 的图象向右平移π3个单位得到的，则函数的图象的对称轴可以为 x =kπ2+π4，k ∈Z ． 【解答】解：∵f （x ）＝sin2x −√3cos2x ＝2sin （2x −π3），∴向右平移π3个单位得到的函数解析式为y ＝2sin[2（x −π3）−π3]＝﹣2sin2x ，∴令2x ＝k π+π2，k ∈Z ，可解得x =kπ2+π4，k ∈Z ， 故答案为：x =kπ2+π4，k ∈Z ．16．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，以F 为圆心的圆：x 2+y 2﹣4x﹣32＝0恰好与椭圆的右准线相切，则该椭圆的离心率为12．【解答】解：以F 为圆心的圆：x 2+y 2﹣4x ﹣32＝0可得：（x ﹣2）2+y 2＝36，半径为6，圆心F （2，0），椭圆的右准线x =a 2c =a 22，所以由题意可得：a 22−2＝6，解得a ＝4，所以离心率e =c a =12， 故答案为：12．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20，70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组，[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]，并整理得到频率分布直方图： （Ⅰ）求图中的a 值；（Ⅱ）求被调查人员的年龄的中位数和平均数；（Ⅲ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，在抽取的8人中随机抽取2人，则这2人都来自于第三组的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得： （0.005+a +0.04+a +0.015）×10＝1， 解得a ＝0.02．（Ⅱ）由频率分布直方图得频率在[20，40）的频率为：（0.005+0.02）×10＝0.25，[40，50）的频率为：0.04×10＝0.4，∴被调查人员的年龄的中位数为：40+0.5−0.250.4×10=46.25，被调查人员的年龄的平均数为：25×0.005×10+35×0.02×10+45×0.04×10+55×0.02×10+65×0.015×10＝47．（Ⅲ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，第二组抽取：8×0.020.02+0.04+0.02=2人，第三组抽取：8×0.040.02+0.04+0.02=4人，第四组抽取：8×0.020.02+0.04+0.02=2人，在抽取的8人中随机抽取2人，基本事件总数为：n=C82=28．这2人都来自于第三组包含的基本事件个数m=C42=6，则这2人都来自于第三组的概率是p=mn=628=314．18．（12分）锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(a2+b2−c2)tanC=√3ab．（1）求C；（2）若3sin A＝4sin B，且△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵(a2+b2−c2)tanC=√3ab，∴2ab cos C tan C=√3ab，即sin C=√3 2，由已知可知，C为锐角，故C=13π，（2）因为3sin A＝4sin B，由正弦定理可得3a＝4b，由三角形的面积公式可得，3√3=12absinC=12×a×3a4×√32，解可得，a＝4，b＝3，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝16+9﹣2×4×3×12=13，所以c=√13，三角形的周长7+√13．19．（12分）如图，已知抛物线y2＝4x，过焦点F且斜率不为零的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2））两点，且与其准线交于点D．（1）若|AB|＝8，求直线l的方程；（2）若点M 在抛物线上且|MF |＝2．求证：对任意的直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率依次成等差数列．【解答】解：（1）因为抛物线y 2＝4x ，所以抛物线焦点坐标为F （1，0）， ∵直线l 的斜率不为0，所以设直线l 的方程为：x ＝my +1， 由{x =my +1y 2=4x得y 2﹣4my ﹣4＝0， 所以y 1+y 2＝4m ，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴|AB |=x 1+x 2+2=4m 2+4=8，∴m 2＝1， ∴m ＝±1，∴直线l 的方程为x ﹣y ﹣1＝0或x +y ﹣1＝0；（2）证明：因为|MF |＝2，所以由抛物线的定义可得，点M 的横坐标为1， 故M （1，2）或M （1，﹣2），由（1）知D （−1，−2m）， ①M （1，2）时，则k MA=y 1−2x 1−1=4y 1+2，k MB =y 2−2x 2−1=4y 2+2，k MD =2+2m 2=m+1m， 因为k MA +k MB =4y 1+2+4y 2+2=4⋅y 1+y 2+4(y 1+2)(y 2+2)=4⋅y 1+y 2+4y 1y 2+2(y 1+y 2)+4， 由（1）知y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，代入上式得k MA +k MB =2m+2m， 显然2k MD ＝k MA +k MB ，②若M （1，﹣2）时，仿上（或由对称性）可得2k MD ＝k MA +k MB ，综上可得，对任意的直线f （0）＝1，直线a +b +c ＝1，a ，b 的斜率始终依次成等差数列． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝AD ＝4，G 为PD 的中点，点E 在AB 上，平面PDC ⊥平面PEC ． （1）求证：AG ⊥平面PCD ； （2）求三棱锥A ﹣PEC 的体积．【解答】解：（1）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥AG，∵P A＝AD，G为PD的中点，∴AG⊥PD，∴AG⊥平面PCD．（2）解：作EF⊥PC于F，∵平面PEC⊥平面PDC，∴EF⊥面PDC，由（1）知AG⊥平面PDC，∴AG∥EF，∵AG⊄平面PEC，∴AG∥平面PEC，∵AE∥CD，CD⊂面PCD，AE⊄平面PCD，∴AE∥平面PCD，∵平面AEFG∩平面PCD＝FG，AF⊂平面AEFG，∴AE∥FG，∴四边形AEFG是平行四边形，∵P A＝AD，G为PD的中点，∴AE＝FG=12CD=2，S△AEC=12×AE×AD=4，∴V P−AEC=13×S△AEC×PA=13×4×4=163，∴三棱锥A﹣PEC的体积：V A﹣PEC＝V P﹣AEC=16 3．21．（12分）函数f(x)=e x −1e x ，ℎ(x)=xx+1（1）判断x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）的零点个数，并加以说明； （2）正项数列{a n }满足a 1=1，a n e −a n+1=f(a n ) ①判断数列{a n }的单调性并加以证明．②证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n．【解答】解：（1）当x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）=e x −x−1e x (x+1)，令t （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ＞0，则t ′（x ）＝e x ﹣1＞0，故t （x ）在（0，+∞）上单调递增， 所以t （x ）＞t （0）＝0，所以f （x ）﹣h （x ）＞0即零点个数为0， （2）①数列{a n }为递减数列，证明如下： 因为a 1=1，a n e −a n+1=f(a n )， 所以a n+1=−ln 1−e −a na n，要证明数列{a n }为递减数列，只要证明a n +1＜a n ，即a n+1=−ln 1−e −a na n＜a n ，只要证﹣ln 1−e −xx＜x ，x ＞0，即1﹣e ﹣x ＞xe ﹣x ，由f （x ）=e x −1e x=1−e −x ， 所以1﹣e ﹣x＞xe ﹣x＝x [1﹣（1﹣e ﹣x）]即f （x ）=e x −1ex =1−e −x ＞h （x ），由（1）可知结论成立，②要证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n，由a 1＝1，只要证明a n+1＜12n ，只要证a n+1＜12a n ， 由于a 1＝1，此时a n+1＜12a n ＜a n−122＜⋯＜a 12n =12n c 成立， 所以即证﹣ln1−e −a na n＜12a n ，即﹣ln1−e −xx＜12x ，即1−e −xx＞e −x 2，即e x 2−e−x2＞x ，（x ＞0），令m （x ）=ex 2−e−x2−x ，（x ＞0），则m′(x)=12(e x 2+e −x 2)−1＞0， 因此m （x ）在（0，+∞）上单调递增， 所以m （x ）＞m （0）＝0，于是ex 2−e−x2＞x成立，原不等式成立．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为：{x =3+2t y =−1+t （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点P （3，﹣1），求1|PM|−1|PN|的值．【解答】解：（1）∵曲线C ：ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2＝4x ， 即（x ﹣2）2+y 2＝4，∵直线l 的参数方程为：{x =3+2t y =−1+t （t 为参数），∴直线l 的普通方程为：x ﹣2y ﹣5＝0（2）∵直线l 的参数方程为：{x =3+2ty =−1+t（t 为参数），∴{x =32√5y =−1+1√5， 代入x 2+y 2＝4x ，得t 2√5−2=0∴t 1+t 2=√5t 1t 2=−2， ∴1|PM|−1|PN|=1|t 1|−1|t 2|=|t 2|−|t 1||t 1||t 2|=±|t 2+t 1||t 1t 2|=±√55． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|ax ﹣1|．（Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （x ）≤4的解集；（Ⅱ）当x ≥1时，不等式f （x ）≤3x +b 成立，证明：a +b ≥0．【解答】（Ⅰ）解：当a ＝1时，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|={2x ，x ＞12，−1≤x ≤1−2x ，x ＜−1．∵f （x ）≤4，∴{2x ≤4x ＞1或﹣1≤x ≤1或{−2x ≤4x ＜−1，∴1＜x ≤2或﹣1≤x ≤1或﹣2≤x ＜﹣1，∴﹣2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x |﹣2≤x ≤2}．（Ⅱ）证明：当x ≥1时，不等式f （x ）≤3x +b 成立， 则x +1+|ax ﹣1|≤3x +b ， ∴|ax ﹣1|≤2x +b ﹣1，∴﹣2x ﹣b +1≤ax ﹣1≤2x +b ﹣1， ∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b， ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0，∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b ，∴a +b ≥0．。

【精编】2020高考数学（文科）二轮复习综合模拟卷（二）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A=(x|−3<x<1)，B={x|x+1≥0}，则∁U(A∪B)=()A. {x|x≤−3或x≥1}B. {x|x<−1或x≥3}C. {x|x≤3}D. {x|x≤−3}【答案】D【解析】解：全集U=R，集合A=(x|−3<x<1)，B={x|x+1≥0}={x|x≥−1}，∴A∪B={x|x>−3}，∴∁U(A∪B)={x|x≤−3}．故选：D．全集U=R，集合A=(x|−3<x<1)，B={x|x+1≥0}，则∁U(A∪B)本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.若复数Z=a1−i−1为纯虚数，则实数a=()A. −2B. −1C. 1D. 2【答案】D【解析】解：∵Z=a1−i −1=a(1+i)(1−i)(1+i)−1=a2−1+a2i为纯虚数，∴a2−1=0，即a=2．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．3.已知函数f(x)的定义域为R，则下列条件中能推出f(x)一定不是单调递增函数的是()A. 对任意的x1<x2，f(x1)<f(x2)B. 对任意的x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2>0C. f′(3)<0D. f′(3)=0【答案】C【解析】【分析】本题考查函数单调性的判断，属于基础题．根据函数的定义以及导数与单调性的关系，逐项判断，即可得到答案．【解答】解：根据单调性的定义，可以得到A，B选项中，函数f(x)为单调递增函数;f(x)是单调递增函数，则f′(x)≥0，故C中函数一定不是单调增函数，D中函数可能是单调递增函数．故选C．4.函数f(x)=cosx(cosx−sinx)的最小正周期为()A. 4πB. 2πC. πD. π2【答案】C【解析】【分析】本题考查正弦函数的最小正周期，降幂公式，属于简单题．利用二倍角公式将原式化简即可求解．【解答】解：f(x)=cos2x−sinxcosx=1+cos2x2−sin2x2=12−√22sin(2x−π4)，∴T=2π2=π．故选C．5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为()A. √6πB. 8√6π3C. 8√6πD. 24π【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决问题的关键是画出四棱锥的对应图，找到其外接球的直径，则可求解． 【解析】解：如图所示，该几何体为四棱锥P −ABCD.底面ABCD 为矩形，其中PD ⊥底面ABCD ． AB =1，AD =2，PD =1．则该阳马的外接球的直径为PB =√1+1+4=√6． ∴该阳马的外接球的体积：4π3×(√62)3=√6π．故选A ．6. 已知角α，β∈(0,π)，tan(α+β)=12，cosβ=7√210，则角2α+β=( ) A. 9π4B. 3π4C. 5π4D. π4【答案】D【解析】解：∵cosβ=7√210，∴sinβ=√1−(7√210)2=√210，则tanβ=17，则tanα=tan(α+β−β)=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)tanβ=12−171+12×17=13， 则tan(2α+β)=tan(α+β+α)=tan(α+β)+tanα1−tan(α+β)tanα=12+131−12×13=3+26−1=55=1，∵0<tan(α+β)<1，0<tanα<1， ∴0<α+β<π4，0<α<π4， 则0<2α+β<π2，则2α+β=π4， 故选：D ．利用两角和差的三角公式进行转化，先求出tan(2α+β)的值，结合角的范围进行判断即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的三角公式以及判断判断角的范围是解决本题的关键．难度中等．7. 已知函数f(x)=−x 2+ax 的单调递减区间为[2,+∞)，且p =log 381，q =log a 7，m =(13)a8，则f(p)，f(q)，f(m)的大小关系为 ( )A. f(q)<f(m)<f(p)B. f(p)<f(m)<f(q)C. f(q)<f(p)<f(m)D. f(p)<f(q)<f(m)【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数单调性的应用，涉及到指数与对数比较大小，属于中档题． 化简p ，q ，m ，再比较它们到对称轴x =2的距离即可． 【解答】解：因为函数f(x)=−x 2+ax 的单调递减区间为[2,+∞)， 所以a2=2，a =4，p =log 381=4，q =log 47∈(1,2)，m =(13)a8=(13)12∈(0,1)，函数f(x)=−x 2+4x 的开口向下，对称轴x =2． |p −2|>|m −2|>|q −2|，则f(p)，f(q)，f(m)的大小关系为 f(p)<f(m)<f(q)． 故选B .8. 若实数x ，y 满足不等式组{y ≥−22x −y +2≥0x +y −1≤0，则z =2x +y 的最大值为( )A. 4B. 23C. −6D. 6【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了简单的线性规划，考查学生数形结合思想与计算能力，属于基础题． 先根据条件画出可行域，平移直线，利用直线在y 轴上的截距最大，计算得结论． 【解答】解：作满足约束条件的可行域如下图的阴影部分：z 是直线2x +y =z 在y 轴上的截距，因此当直线2x +y =z 过点B(3,−2)时，z 最大， z max =2×3+(−2)=4． 故选A ．9. 已知O 为坐标原点，A(3,2)，且B ，C 均为圆x 2+y 2=4上的点．若AB ⊥BO ，AC ⊥CO ，则直线BC 的方程为( )A. 2x +3y −6=0B. 3x +2y −4=0C. 2x +3y −4=0D. 3x +2y −6=0【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直线的方程与直线与圆的位置关系，属于中档题．设出点B ，C 的坐标，根据垂直的条件列出方程组，再由B ，C 两点在圆上可得BC 对应的直线方程． 【解答】解：设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)， 因为AB ⊥BO,AC ⊥CO,A(3,2)，所以{x 1(3−x 1)+y 1(2−y 1)=0x 2(3−x 2)+y 2(2−y 2)=0，即{3x 1−x 12+2y 1−y 12=03x 2−x 22+2y 2−y 22=0 因为B ，C 均为圆x 2+y 2=4上的点，所以{3x 1+2y 1=43x 2+2y 2=4，所以直线BC 的方程为3x +2y −4=0 ， 故答案选B ．10. 若双曲线C ：x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被曲线x 2+y 2−4x +2=0所截得的弦长为2.则双曲线C 的离心率为( )A. √3B. 2√33C. √5D. 2√55【答案】B【解析】解：双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线不妨为：bx +ay =0，圆x 2+y 2−4x +2=0即为(x −2)2+y 2=2的圆心(2,0)，半径为√2， 双曲线的一条渐近线被圆x 2+y 2−4x +2=0所截得的弦长为2， 可得圆心到直线的距离为：√(√2)2−12=1=√a 2+b2，4b 2c 2=4c 2−a 2c 2=1，解得：e =c a=2√33，故选：B ．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．11. 等边三角形ABC 中，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，λ=( ) A. 14B. 12C. 23D. 1【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了向量的坐标运算和向量的数量积的运算，属于中档题．以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设等边三角形的边长为2，根据向量的坐标运算和向量的数量积，结合二次函数的性质即可求． 【解答】解：以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设等边三角形的边长为2， 则A(−1,0)，B(1,0)，C ，(0,√3)， 设P(x,y)， ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x +1,y)=λ(2,0)+(1,√3)， ∴x =2λ，y =√3，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,−y )·(−x,√3−y)=−x (1−x )−y(√3−y) =2λ(2λ−1)=4(λ−14)2−14，当PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，λ=14， 故选A ．12. 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2−x )=f (2+x )，当x ≤2时，f (x )=xe x .若关于x 的方程f (x )=k (x −2)+2有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是A. (−1,0)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)C. (−e,0)∪(0,e)D. (−e,0)∪(e,+∞)【答案】A 【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，利用导数判断函数的单调性及导数的几何意义，数形结合思想的应用，难度较大．由f (2−x )=f (2+x )得f (x )关于x =2对称，利用导数判断当k >0时，函数y =k(x −2)+2与f (x )图象有三个交点时k 的范围，求出直线与f(x)相切时的k 的值，数形结合易得，k ∈(0,1)，再由对称性知，当k ∈(−1,0)时，y =k(x −2)+2与f (x )图象也有三个交点.即可得出k 的取值范围． 【解答】解：由f (2−x )=f (2+x )得f (x )关于x =2对称； 当x ≤2时，f (x )=xe x ，所以f′(x)=e x +xe x =(x +1)e x ， 当x <−1时，f′(x)<0; 当−1<x ≤2时，f′(x)>0;所以f (x )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,2]上单调递增， f(−1)=−1e ，当x <0时，f(x)<0，f(2)=2e 2． 作出函数图象如图所示：关于x 的方程f (x )=k (x −2)+2有三个不相等的实数根， 即函数y =k(x −2)+2与f (x )图象有三个交点，而函数y =k(x −2)+2过定点(2,2)，根据对称性下面求k >0时函数y =k(x −2)+2与f (x )图象有三个交点时k 的范围．设f(x)与y =k(x −2)+2相切时切点为(x 0,x 0e x 0)， 则{k =(x 0+1)e x 0x 0e x 0=k(x 0−2)+2, 解得{x 0=0k =1, 所以由图象得k ∈(0,1)时，y =k(x −2)+2与f (x )图象有三个交点．根据f(x)关于x=2对称，当k∈(−1,0)时，y=k(x−2)+2与f(x)图象也有三个交点．综上得k∈(−1,0)∪(0,1)．故选A．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知角A是△ABC的内角，则“cosA=12”是“sinA=√32的______ 条件(填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一)．【答案】充分不必要【解析】解：A为△ABC的内角，则A∈(0,180°)，若命题p：cosA=12成立，则A=60°，sinA=√32；而命题q：sinA=√32成立，又由A∈(0,180°)，则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．本题三角函数值为载体，考查了充分必要条件的判断，属于基础题．训练掌握三角形内角的正、余弦函数符号与特殊角的三角函数值，是解决此类问题的关键．14.已知一组数据确定的回归直线方程为，ŷ=−1.5x+1，且y=4，发现两组数据(−1,7，2.9)，(−2.3,5，1)误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为−1，当x=−3时，ŷ=______．【答案】5【解析】解：由样本数据点集{(x i,y i)|i=1，2，…，n}求得的回归直线方程为ŷ=−1.5x+1，且y=4，∴x=−2，故数据的样本中心点为(−2,4)，去掉(−1,7，2.9)，(−2.3,5，1)，重新求得的回归直线ℓ的斜率估计值为−1，回归直线方程设为：y=−x+a，代入(−2,4)，求得a=2，∴回归直线l的方程为：y=−x+2，将x=−3，代入回归直线方程求得y的估计值5，故答案为：5．由题意求出样本中心点，然后求解新的样本中心，利用回归直线l的斜率估计值为1，求解即可．本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键，属于基础题．15.已知函数f(x)是定义域为(−∞,+∞)的偶函数，且f(x−1)为奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)=1−x3，则f(292)=______【答案】−78【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性、周期性与对称性的综合应用，关键是分析函数f(x)的周期，属于基础题．根据题意，由函数的奇偶性的性质可得f(−x)=−f(2+x)且f(x)=f(−x)，综合可得f(x)=−f(x+2)，变形可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，据此可得f(292)=f(16−32)=f(−32)=f(32)=−f(12)，结合函数的解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，f(x−1)为奇函数，则函数f(x)关于点(1,0)对称，则有f(−x)=−f(2+x)，又由函数f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)，则有f(x)=−f(x+2)，变形可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，f(292)=f(16−32)=f(−32)=f(32)=−f(12)=−[1−(12)3]=−78；故答案为−78．16.学校艺术节对A、B、C、D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A、D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．【答案】B【解析】【分析】本题考查合情推理，属于一般题．首先假设其中一人说的正确(或错误)，然后根据所给条件进行推理，看和题意是否矛盾，从而得出结论是完成此类问题的主要方法．【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假(即都是对或者都是错话，不会出现一真一假的情况)；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是一等奖的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是一等奖的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定丁是一等奖，乙、丙、丁中有一人是一等奖，由乙说假说，丙说真话，推出B是一等奖．故答案为B．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉(一炉至少15个，至多30个)，当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量(单位：个)，整理得下表：(1)以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，求这款新面包日需求量不少于21个的概率；(2)该店在这30天内，这款新面包每天出炉的个数均为21．(i)若日需求量为15个，求这款新面包的日利润；(ii)求这30天内这款面包的日利润的平均数．【答案】解：(1)日需求量不少于21个的概率P=7+3+230=25．(2)(i)若日需求量为15个，记X为日利润，则X=15×(10−4)+(21−15)×(2−4)= 78元．(ii)若日需求量为18个，则X=18×(10−4)+(21−18)×(2−4)=102元，若日需求量为21个，则X=21×(10−4)=126元，若日需求量为24个或27个，则X=21×(10−4)=126元，日利润的平均值X=78×1030+102×830+126×730+126×530=103.6元．【解析】(1)利用频率代替概率．(2)(i)若日需求量为15个，能求出X=78元．(ii)根据日需求量可得每种情况下得日利润，进而求得日平均值．本题考查平均数、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.已知{a n}是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a2+a3=12．(1)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1(n+2)log3a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：(Ⅰ)设{a n}的公比为q，(q>0)由a2+a3=12得q+q2=12，解得q=3或q=−4(舍去)，则a n=3n−1，(Ⅱ)b n=1(n+2)log3a n+1=1(n+2)log33n=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，前n项和S n=12(1−13+12−14+13−15+…+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．【解析】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，方程思想和运算能力，属于基础题．(Ⅰ)设{a n}的公比为q，(q>0)，由等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式；(Ⅱ)求得b n=1(n+2)log33n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．19.如图，PO垂直圆O所在的平面，AB是圆O的一条直径，C为圆周上异于A，B的动点，D为弦BC的中点，AB=2，PO=3．(1)证明：平面POD⊥平面PBC；(2)当四面体PABC的体积最大时，求B到平面PAC的距离．【答案】证明：(1)∵PO⊥圆O所在平面，∴PO⊥BC，∵D是弦BC的中点，O为圆O的圆心，∴OD⊥BC，∵PO∩OD=O，∴BC⊥平面POD，又BC⊂平面PBC，∴平面POD⊥平面PBC．解：(2)当OC⊥AB时，四面体PABC的体积最大，此时AC=BC=√2，取线段AC的中点E，连结OE，PE，则PE⊥AC，OE=12BC=√22，PE=√OE2+PO2=√382，∴S△PAC=12×√2×√382=√192，设B到平面PAC的距离h，由V B−PAC=V P−ABC，得13ℎ×√192=13×3×12×2×1，解得ℎ=6√1919，即B到平面PAC的距离为6√1919．【解析】(1)推导出PO⊥BC，OD⊥BC，从而BC⊥平面POD，由此能证明平面POD⊥平面PBC．(2)当OC⊥AB时，四面体PABC的体积最大，此时AC=BC=√2，取线段AC的中点E，连结OE，PE，则PE⊥AC，OE=12BC=√22，设B到平面PAC的距离h，由V B−PAC=V P−ABC，能求出B到平面PAC的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知A ，B 是抛物线C ：y 2=4x 上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴有唯一的交点P(x 0,0)． (Ⅰ)求证：x 0>2；(Ⅱ)若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，且|AB|=10，求|PF|． 【答案】解：(Ⅰ)法一：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)(x 1≠x 2)，由y 12=4x 1，y 22=4x 2，两式相减得y 12−y 22=4(x 1−x 2)，即y 1−y 2x1−x 2=4y1+y 2，∴k AB =4y 1+y 2，∴线段AB 的垂直平分线方程为y −y 1+y 22=−y 1+y 24(x −x 1+x 22)，令y =0，∵x 1≠x 2，∴y 1+y 2≠0，得x 0=x 1+x 22+2，∵x 1≥0，x 2≥0，x 1≠x 2，∴x 1+x 2>0，∴x 0>2． 法二：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)(x 1≠x 2)， ∵P(x 0,0)在线段AB 的垂直平分线线上， ∴|PA|=|PB|，∴(x 1−x 0)2+y 12=(x 2−x 0)2+y 22， ∵A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在抛物线C 上，∴y 12=4x 1，y 22=4x 2，代入①得(x 1−x 0)2+4x 1=(x 2−x 0)2+4x 2，化简得x 0=x 1+x 22+2，∵x 1≥0，x 2≥0，x 1≠x 2，∴x 1+x 2>0，∴x 0>2， (Ⅱ)法一：∵|AB|=x 1+x 2+p =10， ∴x 1+x 2=8，∴|PF|=|x 0−1|=x 0−1=x 1+x 22+1=5．法二：由已知可得直线AB 斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，联立{y =k(x −1)y 2=4x ，消去y 得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，∴x 1+x 2=2k 2+4k 2，∴|AB|=x 1+x 2+p =2k 2+4k 2+2=4(k 2+1)k 2=10，∴k 2=23， ∵x 0>2，∴|PF|=|x 0−1|=x 0−1=x 1+x 22+1=k 2+2k 2+1=2(1+k 2)k 2=5．【解析】(Ⅰ)用两种方法证明，设A，B的坐标，代入抛物线方程，用点差法求出直线AB的斜率，进而求出线段AB的中垂线的斜率，又过P点，求出AB的中垂线的方程，令y=0，求出x0的表达式，再由A，B的横坐标的方程可得x0>2；或P在线段AB的中垂线上，则|PA|=|PB|整理，及AB在抛物线上代入抛物线的方程，联立可得x0用A，B的横坐标表示的代数式，再由A，B横坐标的范围证明出结论；(Ⅱ)设直线AB的方程，直线与抛物线联立求出横坐标之和，由抛物线的性质，到焦点的性质等于到直线的性质，可得弦长，由题意求出横坐标的和，写出PF的表达式，再用AB的横坐标表示，求出PF的值．考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题．21.已知函数f(x)=xe x+2ax+3．(1)若曲线y=f(x)在x=0处切线与坐标轴围成的三角形面积为92，求实数a的值；(2)若a=−12，求证：f(x)≥lnx+4．【答案】解：(1)f′(x)=e x+xe x+2a，则f′(0)=1+2a，又f(0)=3，故曲线y=f(x)在曲线x=0处的切线方程为y−3=(1+2a)x，即y=(1+2a)x+3，依题意，12×3×|−31+2a|=92，解得a=0或a=−1；(2)证明：当a=−12时，f(x)=xe x−x+3，要证f(x)≥lnx+4，即证xe x−x−lnx−1≥0，设t=xe x，且当x∈(0,+∞)时，t∈(0,+∞)，则lnt=lnx+x，即证t−lnt−1≥0在t∈(0,+∞)上恒成立，令ℎ(t)=t−lnt−1，则ℎ′(t)=1−1t，易知当t∈(0,1)时，函数ℎ(t)单调递减，当t∈(1,+∞)时，函数ℎ(t)单调递增，故ℎ(t)min=ℎ(1)=0，则ℎ(t)≥0，即t−lnt−1≥0，即得证．【解析】(1)求导求出斜率，进而得到切线方程，由此求出面积建立方程解得实数a的值；(2)解题的关键是令t=xe x，转化后即证t−lnt−1≥0在t∈(0,+∞)上恒成立．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想及逻辑推理能力，属于中档题．22. 在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =−√3t3y =2+√63t,(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ=3sin θ．(1)求C 1和C 2的直角坐标方程；(2)设点P(0,2)，直线C 1交曲线C 2于M ，N 两点，求|PM|2+|PN|2的值． 【答案】解：(1)直线C 1的参数方程为{x =−√3t3y =2+√63t,(其中t 为参数)， 消去t 可得√2x +y −2=0， 由ρcos 2θ=3sin θ， 得ρ2cos 2θ=3ρsin θ，则曲线C 2的直角坐标方程为x 2=3y ．(2)将直线C 1的参数方程{x =−√3t3y =2+√63t 代入x 2=3y ，得t 2−3√6t −18=0．设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则{t 1+t 2=3√6t 1t 2=−18，点P 在直线C 1上， 则|PM|2+|PN|2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=90．【解析】本题主要考查：极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容． (1)直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)直接建立方程组利用根和系数的关系求出结果．23. 已知函数f(x)=|x −m|−|x +2|(m ∈R)，不等式f(x −2)≥0的解集为(−∞,4]．(1)求m 的值；(2)若a >0，b >0，c >3，且a +2b +c =2m ，求(a +1)(b +1)(c −3)的最大值．【答案】解：(1)∵f(x)=|x −m|−|x +2|， ∴f(x −2)=|x −m −2|−|x|≥0的解集为(−∞,4]， ∴|x −m −2|≥|x|，即(x−m−2)2≥x2的解集为(−∞,4]，得2(m+2)x≤(m+2)2的解集为(−∞,4]，故m+2>0且m+2=8，即m=6．(2)∵m=6，∴a+2b+c=12．又∵a>0，b>0，c>3，∴(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)2≤12[(a+1)+(2b+2)+(c−3)3]3=12(a+2b+c3)3=12×(123)3=32，当且仅当a+1=2b+2=c−3，结合a+2b+c=12，解得a=3，b=1，c=7时，等号成立，∴(a+1)(b+1)(c−3)的最大值为32．【解析】本题考查不等式的解法，均值不等式求最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(1)通过|x−m−2|−|x|≥0的解集为(−∞,4]，转化为2(m+2)x≤(m+2)2的解集为(−∞,4]，即可得．(2)通过(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)2，利用均值不等式转化求解函数的最值即可．。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷( 银川一中第二次模拟考试)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x|x ＝n ，n ∈A}，则A ∩B 的元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．已知实数a ，b 满足(a ＋bi)(2＋i )＝3－5i (其中i 为虚数单位)，则复数z ＝b+ai 的共轭复数为A ．－135＋15iB ．－135－15iC ．135＋15iD ．135－15i3．已知平面，直线m ，n ，若n，则“mn ”是“m”的A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n= A ．4 B ．5C ．2D ．35．若),(0,12)(xx g xx f x是奇函数,则))2((g f 的值为A ．87 B.87 C.7D.76．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”则以下推论可能正确的是A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了7．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a ，1016a ，66a b ，则11S A ．44B ．44C ．88D ．888．不等式组2100xyy x所表示的平面区域为Ω，用随机模拟方法近似计算Ω的面积，先产生两组(每组100个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x 100和y 1，y 2，…，y 100，由此得到100个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，100)，再数出其中满足2i i x y (i ＝1,2， (100)的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域Ω面积的近似值为A ．0.33B ．0.76C ．0.67D ．0.579．将函数)32sin(2)(xx f 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A ．x ＝－π24B ．x ＝π4C ．x ＝5π24D ．x ＝π1210．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为A.1010B.15C.35D.3101011．已知点P 为双曲线)0(12222b a by ax 右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有212131F IF IPF IPF SSS成立，则双曲线离心率的取值范围是A ．(1,2] B ．(1,2)C ．(0,3]D ．(1,3]12．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x ，对于任意的实数都有2()()xf x e f x ，当0x时，()()0f x f x ，若2(ln 2)af ，(1)f be ，11(ln )44c f ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．bc a B ．c b a C ．abc D ．bac二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知)2,1(a，)0,1(b ，则|2|b a __________.14．若倾斜角为的直线l 与曲线3y x 相切于点（1，1），则24cossin 2的值为_____.15．斜率为33的直线l 过抛物线2:2(0)C ypx p的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M xy相切，则p ______.16．已知数列n a 满足12nn a a （N n ），且21a ，n S 表示数列n a 的前n 项之和，则使不等式2311223122263···127n n nS S S S S S 成立的最大正整数n 的值是______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知7cos cos 7a Bb Aac ，sin2sin A A .（1）求A 及a ；（2）若2b c ，求BC 边上的高.18．(12分)银川市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量x （1020x ，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销售该海鲜的日利润为y 元.（1）求商店日利润y 关于日需求量x 的函数表达式.（2）根据频率分布直方图，①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.19．(12分)如图，在多边形ABPCD 中(图1)，四边形ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD上(图2)．(1)证明：PCD ⊥平面PAB ；(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求点Q 到平面EBC 的距离．20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，210(2,)3A 为椭圆C 上一点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N 是定值．21．(12分)已知函数f (x)＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x)的单调区间；(2)证明：xf (x)＜2e 2·e x ＋x －ax 3.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线221:2C xy，曲线2C 的参数方程为22cos 2sinx y（为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线．．6与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB 的面积23．[选修4-5：不等式选讲]设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M. (1)证明：13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab|与2|a －b|的大小，请说明理由．银川一中2020届高三年级第二次模拟考试（文科）参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBCADCACADDB二、填空题：13.17141515. 12 16 . 5三、解答题17.解析（1）77cos cos sin cos sin cos sin 77a Bb A ac A B B Aa C Q .....2分7sin sin 77C a C a...................................4分1sin 2sin 2sin cos sin cos (0,)23AA A AAAAAQ Q ...........6分；（2）由余弦定理得2222222cos 7,7(),74,3abcbc A bcbc b c bc bc bc , (8)分设BC 边上的高为h .113331133321sin 3.7,222422414ABCABCS bc AS ahhhV V Q ...10分.即BC 边上的高为32114.....................................12分18.【解析】（1）当1014x 时401014=50140yxx x ..................................................2分当1420x 时40143014=30140yx x........................................4分所求函数表达式为：301401420501401014x x yx x．........................6分（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间10,12的频率是120.050.1f ；海鲜需求量在区间12,14的频率是220.10.2f海鲜需求量在区间14,16的频率是320.150.30f ；海鲜需求量在区间16,18的频率是420.120.24f ；海鲜需求量在区间18,20的频率是520.080.16f ；............................8分这50天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：1122334455xx f x f x f x f x f 110.1130.2150.30170.24190.1615.32（公斤）.........................10分②当14x 时，560y ，由此可令30140620x ，得16x所以估计日利润不少于620元的概率为0.120.0820.4.......................12分19解析(1)证明：过点P 作PO ⊥AD ，垂足为O.由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AB ，....................2分∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，又AD ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面P AD ，....................4分∴AB ⊥PD ，AB ⊥PA ，又由AB ＝3，PB ＝32，可得P A ＝3，同理PD ＝3，又AD ＝32，∴P A 2＋PD 2＝AD 2，∴P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ，∴PD ⊥平面P AB 又因为PD平面PCD所以平面PCD ⊥平面PAB.................................................................... 6分(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，所以点Q 到平面EBC 的距离为d则V Q －EBC ＝V E －QBC ＝13S △QBC ×h ，由PE ＝13PB ，可知BE BP ＝23，..........8分∴h PO ＝23，∵PA ⊥PD ，且P A ＝PD ＝3，∴PO ＝PA ·PD AD ＝322，∴h ＝23×322＝2，...............................10分又S △QBC ＝12×BC ×AB ＝12×32×3＝922，∴V Q －EBC ＝13S △QBC ×h ＝13×922×2＝3=13EBCs d .所以点Q 到平面EBC 的距离为3d. .........................................12分20解析(1)由题意可知222211344019b aab得229,8a b故所求椭圆C 的标准方程为x 29＋y28＝1........................................4分(2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3，直线l 与直线l 1，l 2联立可得M(－3，－3k ＋m)，N(3,3k ＋m)，................6分所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m)，F 1N →＝(4,3k ＋m)．所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2. 联立x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0....................................8分因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简，得m 2＝9k 2＋8. ................ 10分所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0，所以F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2...........12分注：可以先通过k ＝0计算出此时∠MF 1N ＝π2，再验证一般性21．(1)f(x)＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)，f ′（x)＝1－2ax 2x，当a ≤０时，f ′（x)＞0，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞），无单调递减区间；....2分当a ＞0时，x ∈0，12a，f ′（x)＞0，x ∈12a，＋∞，f ′（x)＜0，∴函数f(x)的单调递增区间为0，12a，单调递减区间为12a，＋∞..............................................4分(2)证法一：xf(x)＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x)＝2e 2·e xx －ln x(x ＞0)，φ′（x)＝2x －1e x－e 2x e 2x2，令r(x)＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′（x)＝2xe x －e 2，.....................6分r ′（x)在(0，＋∞）上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′（x)＝0，.............................8分∴r(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞）上单调递增，∵r(0)＜0，r (2)＝0，∴当x ∈(0,2)时，r (x)＜0，当x ∈(2，＋∞）时，r(x)＞0；....................10分∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞）上单调递增，∴φ(x)≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证....................................12分证法二：要证xf(x)＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x，令φ(x)＝2e 2·exx 2(x ＞0)，φ′（x)＝2x －2e xe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′（x)＜0，当x ∈(2，＋∞）时，φ′（x)＞0. ∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞）上单调递增，∴φ(x)≥φ(2)＝12.令r(x)＝ln xx ，则r ′（x)＝1－ln x x2，当x ∈(0，e)时，r ′（x)>0，当x ∈(e ，＋∞）时，r ′（x)＜0. ∴r(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞）上单调递减，∴r(x)≤r (e)＝1e，∴φ(x)≥12＞1e ≥r (x)，∴2e 2·e xx 2>ln xx ，得证.12分22．（1）曲线1C 的极坐标方程为：2222cos sin2，………2分因为曲线2C 的普通方程为：2224x y，2240.xyx ………3分曲线2C 的极坐标方程为4cos ． (5)分（2）由（1）得：点A 的极坐标为2,6，点B 的极坐标为23,6223232AB ………6分3,0M 点到射线06的距离为33sin 62d ………8分MAB 的面积为1133332322222AB d.………10分23．解：(1)证明：记f(x)＝|x －1|－|x ＋2|＝3，x ≤－2，－2x －1，－2<x<1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x<12，………3分则M ＝－12，12. 所以13a ＋16b ≤13|a|＋16|b|<13×12＋16×12＝14. ………5分(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.………6分因为|1－4ab|2－4|a －b|2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|. ………10分。

2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1.已知集合2{|6}=0A x x x --≤，函数()=(1)f x ln x -的定义域为集合B ，则AB =（ ）A.[21]-， B. [21)-， C. [1]3， D. (13]，【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可.【详解】解：∵{|23}A x x =-≤≤，=10{|}{|}1B x x x x >=<- ∴21[)AB ＝﹣，.故选：B .【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题.2.已知i 为虚数单位,复数Z 131ii-=+,则其共轭复数z 的虚部为（ ） A. 2 B. ﹣2C. 2iD. ﹣2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.【详解】解：∵z ()()()()1311312111i i i i i i i ---===--++-, ∴12z i =-+,则共轭复数z 的虚部为2. 故选：A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.已知向量()1,1a =-，(),2b x =，且a b ⊥，则a b +的值为（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，解得2x =． ∴(3,1)a b +=，∴23110a b +=+=．选D ．4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A.12B.13C.16D.112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A. 甲和丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证 6.设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01<x <时，()4x f x =，则5(2019)2f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性得到5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及()()20191f f =，再利用奇偶性得到12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值从而得到要求的函数值的和．【详解】因为()f x 的周期为2，所以5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()()20191f f =， 由()f x 为奇函数，则11222f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11f f -=-，但()()11f f -=，故()()110f f -==，故()5201922f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，选A ．【点睛】一般地，对于定义在R 的奇函数()f x ，如果其周期为T ，那么02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭．另外，对于奇函数、周期函数的求值问题，应利用周期性将所求的值归结为给定区间上的求值问题． 7.已知m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ） A. 若m ⊂α,n ⊂α,l ⊂β,m ∥l ,n ∥l ,则α∥β B. 若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α∥β C. 若m ⊂α,m ∩n ＝A ,l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊥β,则α∥β D. 若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则α∥β 【答案】D 【解析】 【分析】在A 中,α与β相交或平行；在B 中,α与β相交或平行；在C 中,α与β相交或平行；在D 中,由面面平行的判定定理得α∥β.【详解】解：由m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,知： 在A 中,若m ⊂α,n ⊂α,l ⊂β,m ∥l ,n ∥l ,则α与β相交或平行,故A 错误； 在B 中,若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α与β相交或平行,故B 错误； 在C 中,若m ⊂α,m ∩n ＝A ,l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊥β,则α与β相交或平行,故C 错误； 在D 中,若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故D 正确.故选：D .【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 8.已知函数f （x ）=﹣sinωx （ω＞0）的最小正周期为π,则该函数图象（ ）A. 关于点（6π,0）对称 B. 关于直线x 6π=对称 C. 关于点（3π,0）对称 D. 关于直线x 3π=对称【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的余弦函数公式可得f （x ）＝2cos （ωx 6π+）,利用周期公式可求ω的值,进而根据余弦函数的图象和性质即可求解.【详解】解：f （x ）=﹣sinωx ＝2cos （ωx 6π+）, ∵f （x ）的最小正周期为T 2πω==π,∴ω＝2,∴f （x ）＝2cos （2x 6π+）, ∴f （6π）＝2cos 2π=0,可得函数关于点（6π,0）对称,故A 正确,B 错误,f （3π）＝2cos56π=可得C 错误,D 错误. 故选：A .【点睛】本题主要考查了两角和的余弦函数公式,周期公式,余弦函数的图象和性质,考查了函数思想,属于基础题.9.已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点M （x 0,4）到焦点F 的距离|MF |54=x 0,则p ＝（ ） A. 2 B. 4C. 1D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知,|MF |＝x 02p+,与已知条件结合,得x 0＝2p ①；把点M 的坐标代入抛物线方程可得42＝2p •x 0②,结合①②即可解出p 的值. 【详解】解：由抛物线的定义可知,|MF |＝x 02p +, ∵|MF |54=x 0, ∴x 0524p +=x 0,即x 0＝2p ①,∵点M （x 0,4）在抛物线y 2＝2px 上, ∴42＝2p •x 0②,由①②解得,p ＝2或﹣2（舍负）, 故选：A .【点睛】本题考查抛物线的定义,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题.10.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C. 1,1a e b -==D.1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 11.已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+=（ ）A. 25-B. 3C. 3-D.25【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式弦化切，求得tan 3α=， 21cos sin 22αα+分母用22cos sin αα+代替，弦化切后，将tan 3α=代入即可得结果.【详解】因为sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，所以tan 25tan 3tan 2ααα+=⇒=-， 22221cos sin cos cos sin 22cos sin ααααααα++=+ 21tan 1321tan 195αα++===++，故选D.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 221205x y -=C. 221123y x -=D.2218x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.，所以c a =①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②；因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ,y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则14y x --的取值范围是_____.【答案】51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】首先画出平面区域,根据14y x --的几何意义求范围. 【详解】解：不等式组对应的平面区域如图：14y x --的几何意义是过（4,1）和区域内的点的直线的斜率,所以最大值是过A （﹣3,﹣4）与（4,1）连接的直线斜率为415347--=--, 最小值是过B （3,2）与（4,1）连接的直线斜率为21134-=--, 所以14y x --的取值范围是51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了简单线性规划的问题解答,关键是正确画出平面区域以及明确目标函数的几何意义.属于基础题.14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛,现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：根据表中数据,该中学应选_____参加比赛. 【答案】乙 【解析】 【分析】根据题意,分析可得三人中乙的平均数最小且方差最小,由平均数、方差的统计意义分析可得答案.【详解】解：根据题意,由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数,而甲乙的方差小于丙的方差,则三人中乙的平均数最小且方差最小,故应该选乙参加比赛； 故答案为：乙【点睛】本题考查平均数、方差的统计意义,属于基础题. 15.如图，在ABC 中,D 是边BC 上一点，AB =22AD AC=,1cos 3BAD ∠=，则sin C =_________.【答案】33【解析】 【分析】设2AC =，利用余弦定理求得BD ，然后在ABC 中利用正弦定理可求得sin C 的值. 【详解】由题意不妨取2AC =,则2AB AD ==且13cos BAD ∠=, 由余弦定理，可得22262BD AB AD AB AD cos BAD =+-⋅⋅∠=,22sin 3BAD ∠=,由正弦定理得sin 6sin AD BAD B BD ⋅∠==，从而sin 3sin AB B C AC ⋅==. 3【点睛】此题主要考查解三角形中余弦定理、正弦定理方面等知识的综合应用，属于中档题.根据题目中的条件“AB =22AD AC =”，可有多种方法假设，比如：设()20AC t t =>，则2AB AD t ==；或者取2AC AB =,则有AD AB =，…，代入余弦定理、正弦定理进行运算，注意在取值时候要按照题目所给的比例合理进行，更要注意新引入参数t 的范围. 16.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径3dm 放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm【答案】125π【解析】 【分析】通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.【详解】作出相关图形，显然3AH =,因此30ACH ∠=，因此放球前()211=33=33V ππ⋅⋅，球O 与边1A C 相切于点M ，故OM r =，则2OC r =，所以13CH r =，113A H r =,所以放球后()2321=33=33V r r r ππ⋅⋅，而12+=V V V 球，而34=3V r π球，解得12=5V π球.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.在等差数列{a n }中,已知a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,n ∈N *. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求a 3+a 6+a 9+…+a 3n . 【答案】（1）a n ＝3n ,n ∈N *（2）()292n n + 【解析】 【分析】（1）依题意a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,两式相减得d ＝3,将d ＝3代入一式可得a 1,则通项公式可求. （2）因为数列{a n }是等差数列,所以数列{a 3n }也是等差数列,且首项a 3＝9,公差d '＝9,则其前n 项和可求.【详解】解：(1)因为{a n }是等差数列,a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,所以1122122418.a d a d +=⎧⎨+=⎩，1122122418.a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得d ＝3,a 1＝3.则a n ＝3+（n ﹣1）×3＝3n ,n ∈N *. (2)a 3,a 6,a 9,…,a 3n 构成首项为a 3＝9,公差为9的等差数列. 则()()236931991922n a a a a n n n n n ++++=+-⨯=+.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,等差数列的定义等,考查分析解决问题的能力和计算能力,属于基础题.18.如图,四边形ABCD 是直角梯形,AB ＝2CD ＝2PD ＝2,PC 2=,且有PD ⊥AD ,AD ⊥CD ,AB ∥CD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ； （2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12,求四棱锥P ﹣ABCD 的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）2+ 【解析】 【分析】（1）推导出PD ⊥CD ,PD ⊥AD ,由此能证明PD ⊥平面ABCD. （2）由PD ⊥面ABCD ,四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12,求出AD ＝1,由PD ⊥AB ,AB ⊥AD ,得AB ⊥平面P AD ,AB ⊥P A ,P A =由此能求出四棱锥P ﹣ABCD 的表面积.【详解】解：（1）证明：在△PCD 中,PD ＝1,CD ＝1,PC =∵12+122=,∴∠PDC ＝90°,即PD ⊥CD ,又PD ⊥AD ,AD ∩CD ＝D ,∴PD ⊥平面ABCD. （2）由（1）得PD ⊥面ABCD , V P ﹣ABCD ()111322AB CD AD PD =⨯⨯+⨯⨯=, ∴AD ＝1,∵PD ⊥AB ,AB ⊥AD ,PD ∩AD ＝D ,∴AB ⊥平面P AD ,∴AB ⊥P A ,∴P A =由题意得BC ＝PC =PB =△PBC 中,由余弦定理得cos ∠PCB 12==-.∴∠PCB ＝120°,∴S △PCB 11202sin =︒=, 122PABS=⨯=, S △P AD ＝S △PCD 111122=⨯⨯=,()1312122ABCD S =+⨯=,∴四棱锥P ﹣ABCD 的表面积S22=++. 【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如频率发布直方图所示：甲商场五天的销售情况 销售第x 天 1 2 3 4 5 第x 天的销量y 1113121514（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；（2）根据甲商场这五天的销售情况，求x 与y 的回归直线方程ˆˆy bx a =+. 参考公式：回归直线方程ˆˆybx a =+中，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx =-.【答案】（1）38.5（2）453ˆ55yx =+ 【解析】 【分析】（1）根据平均值公式计算平均值.（2）根据公式计算回归直线方程ˆˆybx a =+.【详解】（1）购买该产品的顾客的平均年龄为：27.50.01532.50.04537.50.07542.50.06547.50.02538.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）1234535x ++++== 1113121514135y ++++==()()()12122222(13)(1113)(23)(1313)(33)(1213)(43)(1513)(53)(1413)4(13)(23)(33)(43)(53)5niii ni i x x y y b x x ==--=---+--+--+--+--==-+-+-+-+-∑∑453ˆ13355a y bx =-=-⨯=回归方程为：453ˆ55yx =+ 【点睛】本题考查了平均值的计算，线性回归方程，意在考查学生的计算能力. 20.已知函数()21xf x e x x =---.（1）求函数()y f x ='的单调区间；（2）函数()()21g x x a x =-+-，求()()g x f x =的解的个数.【答案】（1）函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，（2）(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解，当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解. 【解析】 【分析】 （1）求出fx 和()f x ''，然后可得答案；（2）令()()()h x g x f x =-，则()xh x a e '=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出()h x 的单调性，然后结合()h x 的函数值即可得出答案. 【详解】（1）由()21xf x e x x =---，得()21xf x e x '=--，故()2xf x e ''=-，令()0f x ''>，解得ln 2x >，令()0f x ''<，解得ln 2x <，故函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增； （2）令()()()1xh x g x f x ax e =-=+-，则()xh x a e '=-，若0a ≤，则()0h x '<，()h x 在R 上单调递减，而()00h =，故()h x 有1个零点， 若0a >，可得(),ln x a ∈-∞时，()0h x '>，()ln ,x a ∈+∞时，()0h x '<， ∴()h x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减， ∴()()max ln 1ln h x h a a a a ==-+， 令()1ln t a a a a =-+，则()ln t a a '=，当()0,1a ∈时，()0t a '<，当()1,a ∈+∞时，()0t a '>， ∴()t a 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，而()10t =，故()()0,11,a ∈⋃+∞时，()max 0h x >，()h x 有2个零点， 当1a =时，()max 0h x =，()h x 有1个零点， 综上，(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解， 当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题.21.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为为()1,0.（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，当1234k k =-时，MON △的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2.【解析】 【分析】（1）由题设条件，列出方程组，结合222a b c =+，求得22,a b 的值，即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线MN 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由椭圆22221x y a b+=的四个顶点围成的菱形的面积为()1,0，可得2ab =，1c =，即221ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，()2223484120k x kmx m +++-=， 则()()222264434412k m km∆=-+-()2248430k m =-+>，即2243m k <+，且122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，所以12MN x x =-===又由点O 到直线MN的距离d =所以12MON S MN d =△=又因为12121234y y k k x x ==-，所以()22121112k x x km x x m x x +++222228334412434km km m k k m k -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+=--+， 化简整理可得22243m k =+，满足>0∆，代入222MCNmS ===△ 当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =-， 考虑到OM ，ON 关于x轴对称，不妨设1k =，2k =，则点M ，N的坐标分别为2M ⎫⎪⎪⎭，2N ⎫-⎪⎪⎭，此时12MON S ==△ 综上可得，MON △.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,0，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11MA MB+. 【答案】（1）:10l x y --=，2:4C y x =；（2）1【解析】 【分析】（1）cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos sin 10ρθρθ--=，然后可得直线l 的直角坐标方程为：10x y --=，消去244x m y m⎧=⎨=⎩中的m 可得曲线C 的普通方程；（2）直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），代入方程24y x =可得280t --=，然后可得12t t +=128t t =-，然后利用121211t t MA MB t t-+=求解即可.【详解】（1cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos sin 10ρθρθ--=因为x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为：10x y --=.曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），消去参数m ，转换为普通方程为24y x =；（2）直线l 的参数方程为12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程24y x =可得280t --=， 设其根为12,t t ，则有12t t +=，128t t =-，所以1212111t t MA MB t t -+====. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程与普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型. 23.已知函数()31f x x m x m =----（1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x ∈R ，有()()2f x f ≤，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}3x x <（2）11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）当1m =时，()14f x x x =---34251431x x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩，，，，然后分段解不等式即可. （2）由绝对值的三角不等式可得()max 21f x m =+，对任意的x ∈R ，有()()2f x f ≤，即21312m m m ++-≤-，令()2131f m m m =++-152********m m m m m m ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，()2g m m =-，利用()f m ，()g m 在同一坐标系中的图象求解即可. 【详解】（1）当1m =时，()14f x x x =---34251431x x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩，，， 因为()1f x <，所以25114x x -<⎧⎨≤≤⎩或1x <所以3x <，所以不等式的解集为：{}3x x <；（2）因为()()313121x m x m x m x m m ----≤----=+ 所以()max 21f x m =+，因为任意的x ∈R ，有()()2231f x f m m ≤=---， 所以21231m m m +≤---，即21312m m m ++-≤-，设()2131f m m m =++-152********m m m m m m ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，()2g m m =-， ()f m ，()g m 在同一坐标系中的图象如下：所以1123m -≤≤， 所以实数m 的取值范围为：11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值的三角不等式求最值、考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题.。

最新高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤03．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．3 B．57 C．19 D．766．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．310．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB 的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=0.050 0.025 0.010P（K2≥k0）3.841 5.024 6.635K020．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后利用对称性求解即可．解答：解：==﹣2﹣i．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的基本概念，复数的乘除运算，考查计算能力．4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知结合等差数列的通项公式和前n项和列式求得公差．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a7=8，S7=42，得，解得：．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．3 B．57 C．19 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的定义f（x）+f（﹣x）=0，x=1，特殊值求解即可．解答：解：∵函数f（x）=+a，f（x）是奇函数，∴f（1）+f（﹣1）=0，即++a=0，2a=1，a=，故选：B点评：本题考查了奇函数的定义性质，难度很小，属于容易题．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．z=的几何意义是区域内的点（x，y）到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知BD的斜率最大，CD的斜率最小，由，解得，即B（，），即BD的斜率k==，由，解得，即C（，），即CD的斜率k==，即≤z≤，故选：D．点评：本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与三棱锥的组合体，结合图中的数据，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为直三棱柱，上部为直三棱锥的组合体；如图所示：∴该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+V三棱锥=×2×1×1+××2×1×1=．故选：A．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．10．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象，结合图象写出a的取值范围即可．解答：解：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象如下，结合图象可得，a的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA≤2，∴点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴﹣≤t≤，故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到在x=0处的导数值，再求出f（0），然后直接写出切线方程的斜截式．解答：解：由f（x）=e x，得f′（x）=e x，∴f′（0）=e0=1，即曲线f（x）=e x在x=0处的切线的斜率等于1，曲线经过（0，1），∴曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB 的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取PD中点E，连AE，EM，证明MN⊥平面PCD，可得MN⊥PC，即可证明PN=CN；（Ⅱ）设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN，四边形ANME是平行四边形，MN∥AE．由PA=AD得AE⊥PD，故MN⊥PD．又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，则MN⊥PC，PN=CN．…（6分）（Ⅱ）解：设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，故MF：FN=d1：d2=1：1．…（12分）点评：本题考查线面垂直的证明，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=0.050 0.025 0.010P（K2≥k0）3.841 5.024 6.635K0考点：独立性检验．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，列表确定基本事件，即可求出这2家中恰好中、小型企业各一家的概率．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，分别记为A1，A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6，把可能结果列表如下：A1 A2 B1 B2 B3 B4 B5 B6A1﹣+ + + + + +A2﹣+ + + + + +B1 + + ﹣B2 + + ﹣B3 + + ﹣B4 + + ﹣B5 + + ﹣B6 + + ﹣结果总数是56，符合条件的有24种结果．（若用树状图列式是：）从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为=．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）k AF==﹣k，所以ak=2，确定B的坐标，再求出B到n的距离．解答：解：（Ⅰ）m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0①，x2+4kx﹣4ka+4=0②，…（2分）由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，…（4分）故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1或k＞1．…（6分）（Ⅱ）F（0，1），k AF==﹣k，所以ak=2．…（8分）由△1=0得k2=ka+1=3，B（2k，k2），所以B到n的距离d===4 …（12分）点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数，利用f（x）的极小值点为x=t．推出t=＞0，然后求解单调区间，a=﹣表示出a与t的关系．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值，就是证明g（）=g（t）．（ⅱ）求出函数的g′（t）=﹣（1+）lnt，利用单调性以及极值，判断分别存在唯一的c ∈（1，1）和d∈（1，e2），推出g（c）=g（d）=0，化简即可．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣+=．t=＞0，…（2分）当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（4分）由f′（t）=0得a=﹣t．…（6分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值为g（t）=t++（﹣t）lnt，则g（）=+t+（t﹣）ln=t++（﹣t）lnt=g（t）．…（8分）（ⅱ）g′（t）=﹣（1+）lnt，…（9分）当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．…（10分）又g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e2），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，所以y=g（t）有两个零点且互为倒数．…（12分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的应用，考查计算能力．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC ⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。