让“节外生枝”成就学生的深层智慧

让“节外生枝”成就学生的深层智慧作者：朱霞付行华来源：《小学教学研究·理论版》2012年第06期当我们每一次带着精心的预设走进课堂，我们可能都隐隐地怀着一种期待，期待整节课能够如我们的设想，顺畅地从导入开始，一个环节连着一个环节，不生意外地，直到一节课结束。

然而，愿望总是美好的，事实上，我们的课堂总是无法避免地产生一些“节外生枝”的情况，让我们不知所措。

其实，“意外”并不可怕，可怕的是教师面对“意外”时，采取回避和忽视的态度。

如此，不仅会让学生的疑问挥之不去，久而久之，还会让学生养成对学习不求甚解的敷衍态度。

既然“意外”由学生的活动和思考生成而来，不妨将“意外”再交与学生，给他们一个再探索再思考的契机，往往会变“节外生枝”为“锦上添花”，从而产生出乎意料的效果。

状况一：“先知先觉”在推导一些平面图形的相关计算公式时，总是会出现课的开始就有学生说出计算公式的情况。

如在教学《长方形面积的计算》一课时，我以学生的课桌面引入：“你们有什么办法能求出这个课桌面的面积是多少呢？”心中等待着他们的回答“用1平方分米的正方形摆一摆”（课前让他们准备了1平方分米的正方形），谁知请到那个手举得最高的他答道：“我知道，只要用长乘宽就能求出它的面积了。

”心中大喊“不妙”。

于是我顺势而下，算一算：“真的吗？你们量一量，算算看，面积是多少？”学生测量计算，报出答案。

摆一摆：“怎么能证明这样算出来的就是对的呢？”“我们还可以用正方形摆摆看。

”学生一摆，发现结果和算的一样。

比一比：“为什么它的面积就等于长乘宽呢？”学生看着桌面上还没收起的正方形，有人突然“顿悟”：“老师，我发现我们沿着长摆了12个正方形，沿着宽摆了4个正方形，说明一共需要12×4=48个这样的正方形才能将课桌面刚好摆满，也就是课桌面的面积是48平方分米。

这个12和4刚好是我们刚刚量得的长和宽……”“有观察，有比较，有思考，好极了！”“是不是其他的长方形都有这样的规律呢？想找找看吗？”学生跃跃欲试。

利用“节外生枝”演绎课堂精彩利用“节外生枝”演绎课堂精彩在学习过程中，学生在经历、体验或探索活动中，提出的问题、发表的见解，不同的思考角度、解决问题多样化的策略与方法，乃至错误的回答，有些往往出乎教师的预料，我们往往把这些现象视作“节外生枝”，在很多情况下，这些“节外生枝”往往是学生们创造的生动的教学资源。

面对这种情况，教师应该尊重每个学生在过程中的独特体验，抓住这些转瞬即逝的生成性资源，满足学生在活动中生成的需求，使数学课堂演绎出应有的精彩。

一、妙用争辩，因势利导。

案例：教学第十一册《利息》，我给学生介绍银行存款的各种利息，突然，一学生对信息中一个数据提出疑问：“为什么三年期年利率为2. 70％，这里“0”有什么作用呢？”随即有学生小声嘀咕“一定是老师故意写错，让我们自己发现错误”，也有学生说：“我以前好像看见过这样的写法。

”我索性把问题抛给学生：“这样写是否错了，你有什么理由证明？”然后通过举手表决将学生分成甲方和乙方，甲方观点：“这样写是错的”（许多学生为了表示自己有善于发现问题的慧眼和敢于提出问题的勇气便站在了甲方），乙方观点：“正确的”，争辩由此开始。

甲方首先发言：请问大家是否记得，小数的性质？小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。

所以这里的0完全没有必要。

乙方：这里的0是用来占位的。

（显然没有理直气壮）甲方：前一阶段我们学百分数时，除不尽的只要保留百分号前一位小数。

乙方：可能银行里有规定要保留两位小数呢?甲方：那为什么下面月利率又是三位小数呢？请乙方拿出证据来。

这时乙方中有人站出来：我妈妈在银行工作，我可以问一问。

……反思：孩子们的发言实在是太精彩了，瞧同学们那头头是道的认真劲，我站在一边都为之感动，不禁为自己的这个即兴设计暗暗叫好。

学生因为小数末尾的0应不应该写，而嘀嘀咕咕，于是教者因势利导，把问题抛给学生，在学生中展开了激烈的争论，虽然在本课例中争论没有得到最后结果，但学生所学知识得以应用，问题意识得以培养，在这里，我们欣慰地看到数学的价值得以体现，教学也因此才闪现出创造的光辉和人性的魅力。

“节外生枝”是课堂的一份美丽，学生的一个动作和一句话，课堂里的一个偶发事件，甚至突如其来的“干扰”，都可以成为难得的教育资源。

对于这些突然出现、稍纵即逝的课程资源，只要教师及时地抢抓并有效利用，运用教学智慧巧妙发挥，就能活跃课堂气氛，使教学充满情趣、充满活力、充满智慧。

我们要努力把数学课上得简单、快乐，使数学课充满生机与乐趣，使数学课成为学生学习创造的乐园。

让每一个学生都能体会“数学好玩”，让每一个学生都能在数学学习中享受数学，让每一个学生都拥有一个美丽的数学童年。

数学与生活天然地联系在一起，数学来源于生活，又应用于生活。

公园里有数学、体育中有数学、购物中有数学、图案中有数学、科技中有数学……生活中处处有数学。

数学教学要让每一位学生拥有一双发现数学、欣赏数学的眼睛，引导学生用数学眼光观察生活、思考世界。

教学天下创设情境，以用引算浅谈建构主义学习理论认为：数学知识不是通过教师讲授获得的，而是学生在一定的情境中，通过有意义的建构方式获得。

因此，计算教学中要创设适合计算的教学情境，把教学内容融入具体的情境之中，从具体的情境中引出计算。

新教材中出现的大量的主题图和情景图，给计算教学提供了具体、丰富的生活情景。

如：采松果、青蛙吃害虫、小小图书馆，乘车、乘船、套圈游戏等等，使原来枯燥的计算教学有了丰富的现实背景，同时背景又是学生所熟悉的，从熟悉的现实背景中引导出计算问题，才能激起学生的学习热情，愿学乐学，才能使学生知道了为什么要计算，达到“引算”的目的。

例如：一年级下册《小兔请客》师：同学们，你们喜欢听故事吗？今天老师就给你们带来了一个故事，[板书：小兔请客]请大家认真听：有一天，天气非常的好，小白兔到森林里摘了好多的果子，它想这些果子我不能自己吃，我要和我的好朋友一起分享，于是，他就想到了一个好主意，把好朋友请到家里来做客，白兔非常的热情，早早就把果子准备好了，好朋友们接二连三的都到了，小白兔一看来了这么多的朋友，担心果子不够吃，就又取来了些果子，边走边说：“朋友们，尽情的吃吧，每盘有10个果子呢！”（出示第一幅主题图）故事讲到这，老师可要考考大家了，看看谁听的最认真，看的最仔细师：你们发现了哪些数学信息？生：每盘有10个果子生：小白兔先端来了3盘果子，又端来了2盘子果子生：小白兔先端来的果子是30个生：小白兔后端来的果子是20个师：谁能根据你们得到的这些数学信息提出一些数学问题呢？生：小白兔一共端来多少个果子？师：这个问题怎么解答呢？生：用20+ 30就可以算出一共多少个?师：那么20+30=？现自己想办法，你能用什么方法算出得数呢？然后在小组内交流。

课堂中“节外生枝”处理心得体会课堂中“节外生枝”处理心得体会敏捷处理课堂中的"节外生枝"细心呵护学生的创新萌芽1、背景我从事小学低年级数学教学已有多年，多年来的教学实践使我体会到：低年级小学生思想单纯，想象丰富，在课堂学习中不会像高校生那样揣摩老师的想法，根据老师的教学思路来回答问题，往往是我怎么想怎么做就怎么说，有时会对正常的课堂教学有一些干扰。

然而，这些"节外生"的"枝"有时却往往是学生创新萌芽的展露。

针对课堂中的这些节外生枝，老师应树立正确的教学理念，仔细对待，敏捷处理，既要爱护学生的自尊心，又要正确引导，使学生"节外生"的"枝"有朝一日能长成的创新的"大树"。

下面就我在执教"苏教版"九年义务教化小学数学第一册中的实践活动课"好玩的拼搭"中的两个片断，谈谈我对该问题的一些看法，以抛砖引玉，与各位同行一起探讨。

2、案例内容："**版"九年义务教化小学数学第一册实践活动课"好玩的拼搭"中的"滚一滚"。

教材情景：用长方体木板搭成斜面，把四种立体图形的积木放在上面滚动，看看那一个滚得快。

片断一：师：现在，我们就来玩"滚一滚"，先用合适的形态搭成斜坡，然后把各种形态的积木都放在上面滚一滚，留意视察并在小组里相互说一说，什么滚得快，什么不易滚动？生：（小组合作，搭成斜面，把各种形体放在上面滚动。

）师：好了。

老师发觉每个小组都做得很好，探讨得也很热情，现在我们就来沟通一下，哪个小组先说？生1：我们小组发觉球和圆柱简单滚动。

生2：我们小组发觉正方体和长方体不简单滚动。

生3：我不同意××同学（指生1）的看法，圆柱不简单滚动。

（其他学生纷纷表示不同意生3的看法）师：那你能不能说一说，为什么圆柱不简单滚动？生3：圆柱是这样放（演示竖放）不简单滚动。

节外生枝激活思维摘要：教师在备课中给学生留有思维的空间。

当教学处在低迷阶段时，节外生枝的问题，往往能激活思维，引起了学生的思考、讨论，把学生的思维又带到了一片新天地，激起了学生的学习兴趣，使教学出现新的高潮。

关键词：课堂教学；节外生枝；激活思维心理学研究证明：一节课45分钟学生的认识积极性呈现波浪性，只有教师要及时的变化课堂活动方式，才能使其注意力反弹，以巩固所学知识。

针对职校生学习基础差的实际情况，如果教师在课堂上相机“节外生枝”设疑问题，一定能出奇制胜。

职业中专中的历史课作为文科类学生的必修课，不仅能扩展知识，开拓视野，而且提高学生审美鉴赏能力。

笔者在指导学生完成《世界历史》“大河流域的亚非古国”学习后，发现大多学生处在低迷阶段，于是设计一个问题“假如亚非文明古国不处在大河流域这个有利的位置，那么，结合我国的实际，这些地区能不能成为文明古国？”一石激起千层浪，课堂气氛活跃起来了，学生展开激烈的讨论。

有的学生说：“如果这些地区不处在大河流域，就缺少了便利的灌溉条件，农业生产就得不到良好的发展，也就不可能成为文明古国。

”而有的同学认为：“优越的地理环境固然很重要，但是，如果没有古代埃及等国劳动人民的辛苦劳动，没有当时统治阶级的励精图治，那么，即使地理环境再优越，上述地区也成不了文明古国。

”也有的学生持这样的观点：“只有生产力发展了，才能对自然条件更好地利用。

大河流域——优越的地理环境，也要靠人来改造的。

否则就根本谈不上优越，说不定还会给人类带来一定的灾难。

”通过设问，激起了学生的积极讨论，在争论中形成统一，在矛盾中获得了真理——地理环境虽是社会发展不可缺少的必要条件，但它不能成为社会发展的决定因素。

这个问题看似是节外生枝，但是这一问，却引起了学生的思考、讨论，把学生的思维又带到了一片新天地，激起了学生的学习兴趣，上升为对事物的认识，甚至是思维方式的形成，使教学出现新的高潮。

正如教育家苏霍姆林斯基所说：“教育的技巧并不在于能预见到课的所有细节，在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉之中做出相应的变动。

善待“节外生枝”优化课堂教学在新课程理念下，课堂教学过程是师生交往，相互探讨的互动过程。

因此经常会遇到这样一种情况：当教学活动在教师的指导下，朝着预设的轨道进行时，经常出现一些“节外生枝”的突发事件，。

若对“节外生枝”给予重视，可能会影响整个教学设计，若置之不理，则会严重挫伤学生的积极性。

那么如何处理课堂教学中的“节外生枝”，从而优化我们的课堂教学呢？本人结合两个亲身经历的教学案例，对此进行探讨。

案例1 高三教师在进行不等式教学时，给出题目：已知求证:在教师的点拨下，课堂气氛活跃，同学们给出了4种不同的证法：作差比较法、分析法、综合法、三角换元法，教师对此感到很满意。

突然，一个学生冒出一句：“我还有一种证法，运用数列求和知识证明”教师脸上露出十分意外的表情，未等学生说完，就用十分不悦的口吻说：“本题不等式的证明与数列知识好像没有多大关系，虽然是一题多证，思维发散，但也不可胡思乱想。

”其余学生一片喧哗，学生无奈，红着脸，低着头，无心听课，时而还东张西望。

老师却趣味盎然地开展了她早已设计好的证法：放缩法的讲解。

下课后，作为听课教师，我要到了那位同学的练习本，带到办公室，打开一看，呈现在眼前的是一种构思巧妙，精彩简洁的证明：对此我不禁拍案叫绝！评析：课堂教学中，进行一题多证的开放式教学，对发展学生创新意识和能力，无疑是十分有利的，但它的前提是教师必须尊重学生的积极发言，发扬民主教学。

在本案例中，那位学生利用无穷等比数列各项和的公式来证明不等式的奇思妙想，由于是完全出自于教师意料之外，而没有机会得到表达和交流，令人十分惋惜！教师对学生的发言所采取的断然否定的教学态度，而导致错过一次激励学生思维发展和创造的良机，令人痛心。

因此课堂上教师如果仅凭一时武断，漠视这些“节外生枝”，就会让学生失去一次展现自己聪明才智的机会，从而产生消极的影响。

教学中我们应该多深思和反省，多审视自己的教育观念和教学方式，让课堂“节外生枝”演绎出独特的价值，从而优化我们的课堂教学。

什么样的教学才是成功的教学?这是每一个教师都在思考的问题。

教师们都企盼着自己能上出一节好课，随着课程标准的出台，新的教育教学理念的不断深入，成功的教学究竟离我们有多远?下面的案例能带给我们一些启发。

案例中的教师善于抓住学生的“节外生枝”，引导学生们学得主动，在同学们探究失去方向的时候“理一理”，在同学们思维不够深入的时候“引一引”。

“学生的头脑不是盛东西的容器，而是需要点燃的火把。

”新课程理念强调：课堂是开放的，是生成的。

因此，课堂上的不可预料的情况在所难免，对于课堂中的“节外生枝”，我们该如何对待呢?【案例1】这是特级教师吴正宪在上“分数的初步认识”中的教学片断：新知探究后银幕出示智慧人提问题，请大家判断。

“把一个圆分成两份，每份一定是这个圆的二分之一。

对吗?”话音刚落，全班同学已经分成两个阵营，有举“√”的，有举“×”的。

面对学生的不同答案，吴老师没有裁决，而巧妙地说：“老师最喜欢不同的声音了，那能说说你们的理由，让大家信服吗?”经过准备，小小辩论会开始了。

正方代表把手中的圆平均分成两份，问道：“我是不是把这个圆分成了两份?”反方代表点头应答：“是，是。

”正方举起其中的半个圆，问：“这份是不是这个圆的二分之一?”反方：“是，是啊。

”正方当然不让：“既然是二分之一，为什么不同意这种说法?”……此时，反方同学虽然口称“是，是”心理却很不服气，该是他们反驳的时候了。

只见，反方一个代表顺手从圆形纸片上撕下一块纸片，高举着分得的两部分大声问：“这是分成两份吗?”正方连忙回答：“是。

”反方接着把小小的一份举在面前，用挑战的口吻问到：“这是圆的二分之一吗?”正方的底气已经不那么足了，小声说了声：“不是。

”反方咄咄逼人：“既然不是二分之一，为什么你要同意这种说法呢?”正方服气地点了点头，不好意思地站到了反方的队伍中。

【案例2】教学“直线、射线、线段”这一内容，教师让学生举出生活中“三线”的例子，当一学生回答说“知识是直线”这一意外的尴尬信息时，就与学生演绎了一段精彩的对话。

节外生枝枝繁叶茂——一堂数学课的思考中国古语有句“一堂好课，节外生枝”，意思是一堂能触及学生的内心，有助学生探索未知的世界，而不仅仅是完成课本知识的传授。

为了让学生有更多的思考，可以不断地引领学生去探索，最好地实施自主学习。

在一堂数学课上，如何让学生深入思考，节外生枝，枝繁叶茂，让学生充分利用本节课的时间，总结归纳出规律，体会其中美感？
作为一名数学教师，我认为，教学过程中最重要的是要在知识和技能上让学生更加舒服，使他们能够学习得更深入，让学生的学习和思考达到一个新的高度。

首先，在教学过程中，要营造良好的氛围，使学生能够在轻松的氛围中学习，让他们不再感到紧张和畏惧，而是更加积极主动地与老师交流，从而提高学习效率。

此外，在课堂上，老师应该认真解答学生提出的问题，鼓励学生多积极发言、多主动思考、多挑战自我，给学生更多的思考的机会，让学生从思考中获得收获，提高学习的效率。

此外，老师也要根据学生的学习水平，调整听课的难度和节奏。

充分考虑到学生的不同水平，让每一个学生都能得到满足，找到自己的发展方向，实现自身的价值。

在课堂上，应注重培养学生的综合应用能力和实践能力，让学生能够灵活运用所学数学知识，进行实际问题的分析与解决，形成自己的分析思维和解决问题的能力。

最后，要鼓励学生多互动，引导学生之间相互学习，交流和互助，一起去发现数学的美丽，一起去发现每一个问题背后的神奇和精彩，一起去探索数学的奥秘。

在数学课堂上，只有把学生当作主角来教，让学生以学习为根本，能够有效地把知识从课本上落实到实际，才能让这一堂课变得异彩纷呈，节外生枝，枝繁叶茂，真正达到让学生探索未知的世界，获得知识的收获。

让课堂中的“节外生枝”变的“枝繁叶茂”周雯雯课堂是学生学习知识的主要阵地，学生是学习的主体。

教师的教，必须服务于学生的学，作为一条辅助线贯穿于学生的整个学习活动之中。

《语文课程标准》指出每个教师“要有强烈的资源意识，去努力开发，积极利用现有资源”。

教材是重要的课程资源，但学生生活经验、教师的教学经验、教学机智也是一种资源；学生间的学习差异，师生间的交流启发，乃至学生在课堂中出现的错误也都是有效的课堂资源。

所以，作为老师的我们应当改变“教师中心”、“教师权威”的观念，变师生关系为朋友关系，把“讲台”搬到学生中间去，在创新教育的课堂教学中。

不能只要教师的活动，学生必须参与。

要有学生充分动脑、动手、动口的时间和空间，创造一个宽松的课堂，使课堂气氛变的和谐、活跃，鼓励学生积极发言，从而使学生敢于发言。

使学生的思维不仅仅局限在课文内容上，而且可以拓宽到课文的深处。

强调学生自主学习的新课程课堂，更充满了不确定性和生成性。

有研究表明：同一教学班中，语文与数学、外语学科的来自于学生的课堂生成性资源的比为25：3：1。

语文课程的这一资源特点，使课堂中随时可能邂逅种种意外的“节外生枝”。

我们教师无法设防，也没有必要设防。

在我与学生的一堂作文课当中，有这样一个教学过程，要求学生赏析片段三，说出片段中表现出了鲁达怎样的性格特点，我的本意是让学生体会文中个性化的语言和动作，学生在自主交流后，有一位男生举手，于是我便请他起来谈谈他的看法，令我没想到的是，该生做了这样的回答：“我认为片段中史进说的这句话“直甚么，要哥哥还！”和他的动作：去包裹里取出一锭十两银子放在桌上。

表现出了他的性格豪爽。

”对于学生的回答，我首先给予了肯定，然后我又说了这样的一句话：“这位同学很会拓展，本来分析鲁达，没想到捎带也将史进这个人物形象进行了分析。

”紧接着另一位同学又举手示意，于是我便让他起来回答，没想到的是他也将史进进行了补充分析，因为当时正在录像，学生的回答和我的课前预设完全不一样，虽说当时内心有点紧张，但我还是将这两位学生可以说是“节外生枝”的回答进行了拓展，不仅最后回到了原来的预设问题上，而且，课堂气氛也由刚开始的紧张变为了轻松活跃。

巧用“节外生枝”,绽放课堂魅力作者：鲁艳来源：《学习导刊》2014年第04期新的语文课程标准指出：我们的教学应当是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。

学生是课堂教学的主体，在课堂教学中教师只有因势利导，创造性地组织起适合学生参与、自主、创新的教学活动，有效促成教学资源的生成和利用，才能使我们的课堂教学焕发出新的生命力。

叶澜教授也曾说过：“新的课堂需要我们教师不断捕捉、判断、重组课堂教学中从学生那里涌现出来的各种信息，推进教学过程在具体情境中的动态生成。

” 在这一过程中，常会出现一些“意外”情境、“独到见解”和“独特体验”。

但不管是突发性的，还是诱发性的课堂生成资源，只有被用来为课堂教学的充实、拓展、延伸服务时，才具有意义。

教师要把课堂生成的信息变为“活水”，有效地利用，让课堂更加灿烂，愈显生机。

下面是自己在教《花瓣飘香》的教学片段：师：其实小女孩送的不只是花瓣更是一份孝心，小女孩对母亲那份浓浓的情意正像悠悠飘香的花瓣一样，悄悄的飘进了作者的心，深深地打动了文中的“我”。

从文中什么地方可以看出来？生：作者买了两盆月季花。

生：作者送给小女孩一盆月季花，送给自己的母亲一盆月季花。

生：作者也学着小女孩送给自己母亲月季花。

学生说到这里，我正准备齐读最后一小节，揭示课题，结束今天的新课。

这时，我班姜德绩突然若有所悟地说：“老师，我觉得这是两盆不同的月季花，一盆是为了感谢小女孩，另一盆是为了孝敬自己的母亲。

”唉，姜德绩总爱突发奇想，节外生枝，我在备课时根本没有预料。

但看到同学们一齐向他投去疑惑的目光，我想到了新课程改革倡导“以学生为本”的教育新理念。

反映到具体的课堂教学当中,要求教师及时捕捉生成性课程资源,构建动态教学课堂。

我何不抛砖引玉，也许会有意想不到的收获呢。

师：哦，姜德绩认为作者送出的那两盆月季花表达的含义不一样，是吗？那咱们来猜一猜这两盆月季花表达的意思，好吗？咱们先来猜猜送给小女孩的那盆月季花。

节外生枝题外生智中考复习阶段时间紧、知识点多,精心组织教学尤为重要.言简意赅,合理地“节外生枝”,不仅不会降低课堂有效性,反而能促使学生在例题教学和习题讲评中学会触类旁通,提高课堂效率.一、举一反三,顺水推舟学生在解题时,往往碰到“陌生”面孔就无从下手,这是思维单向或局限的表现. 要培养学生思维的发散性,教师可以在例题教学中学会“一拖三”,拓展例题教学的深度和广度,提高课堂教学的有效性.例1 如图1的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形.根据图中数构成的规律可得:图中a所表示的数是.变式1 德国数学家莱布尼兹发现了如图2的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数). 根据前五行的规律,可以知道第六行的数依次是.变式2 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13, ,……(根据以上规律在横线上填适当的数)在完成例1的解法后,顺水推舟,补充变式1、变式2.两个变式题的充实,在赋予加法新面孔的同时,也挑战了学生已有的思维习惯,培养了学生思维的发散性. 数学史的无形渗透,更有助学习兴趣的提高.二、一题多法,殊途同归在很多静态问题的解决中,往往可以从不同角度找到多种处理方案,这就是所谓的“一题多法”. 题海茫茫,解题有径.与其交给学生很多所谓的“鱼”,不如授之以渔. 因而节外生枝地让学生发挥想象并证明他们的猜想,是提高课堂有效性的又一途径.例2 如图3,在△ABC中,D,E分别是边BC,AC上的点,且BD=DC,AE:EC=1:2. 连结AD,BE,交于点P. 求AP:PD.题干中涉及的三组线段比BD=DC,AE:EC=1:2及AP:PD分别在三条直线上,且数量之间缺乏联系的“桥梁”.为此,需要添加适当的平行线构造相似三角形,并在各组成比例的线段中探寻这三对线段的“中间比”,以求问题的解决. 在实际教学中,学生往往可以较快地找到类似添辅助线DF1,DF2的方法完成本题的求值. 此时,只要给学生留有一定的时间,学生就可以得到类似DF3的辅助线.如图4,添F4G4,F5G5的解法也将呼之欲出.通过对本题的16种不同解法的分析,不难得到一般的规律:解决成比例的线段在一直线上类似问题,可过任意已知顶点添任一平行线构造相似三角形,以寻求各对线段间的“中间比”,并利用相似及比例性质加以解决. 16种不同的解法,看似浪费了不少时间,得到的方法也并非是一个比一个简捷,但其中所蕴涵的化归、方程思想及对应用能力的培养远不是16个甚至是32个单一解法问题的训练所能达到的.三、一题多变,万变不离其宗透过现象看本质,找到题目中的关键词、基本图形是解决问题的主要策略.因而通过对不同题型的分析,找到问题的共性并提炼出基本图形是提高复习有效性的重要途径.例3 如图5,广场上空有一个气球A,地面上的B,C两点与点D在一条直线上,在点B和C分别测得气球A的仰角∠ABD 为45°,∠ACD为56°,又BC=20m.求气球A离地面的高度AD(精确到0.1m).变式1 如图6,一次函数y1=ax+3,y2=-x+3与y轴交于点A,与x轴分别交于B,C两点,且∠BAC=15°,求a.变式2 如图7,ON表示某市在背街小巷改建中某引水工程的一段设计路线,从O到N的走向为南偏东30°,在O的南偏东60°方向上有一点A,在A周围500m内为居民区,沿ON向前走400m到B处,测得BA的方向为南偏东75°,请通过计算说明如果不改变方向,输水线路是否会穿过居民区?本例从三角函数的应用出发,分别引入了方向角、一次函数和方位角.三个不同背景问题实质都是同一个基本图形(图5)的应用.看清了本质,问题就迎刃而解了.因而在复习中适当地节外生枝,让学生在变化的背景下把握问题的实质,对提高课堂效率是很有帮助的.四、多题同法,以不变应万变与“一题多法”相反,在动点问题中常隐含着不变的关系和不变的量,往往会出现“多题同法”.在这类问题的解决中,引导学生把握变化中“不变”的量和关系是关键.例4 如图8,直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C,过点A,B作l的垂线,垂足分别为E,F. 试判断线段EF,AE,BF的数量关系,并说明理由.变式1 若直线l绕点C旋转到如图9所示的位置,例4中的结论还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,则线段EF,AE,BF间应满足怎样的数量关系?变式2 若直线l绕点C旋转到如图10所示的位置,试猜想线段EF,AE,BF间的数量关系.通过对三种位置分析可知,当直线l绕点C旋转时,整个图形的形状发生了变化,但等腰直角三角形ABC中各边和角的大小不变;AC=BC,AE⊥l、BF⊥l三个关系不变. 在这两个不变的基础上,还可以推出当直线l绕点C旋转的过程中,∠ACE=∠CBF,△ACE≌△CBF始终成立.于是不难得到线段EF,AE,BF在图8至图10中分别满足EF=BF+AE,EF=BF-AE,EF=AE-BF.由此可见,一旦把握这类“运动”型问题中静止不变的量和不变的关系,也就把握了解决问题的“命脉”. 正可谓是“以静制动,以不变应万变”,从而也使这类“运动”型问题的解决变得有章可循,有法可依了,有章有法也就有了智慧.五、多题一线,从量变到质变节外生枝地把几个问题以一条主线串联在一起,粗看似乎“丈二和尚,摸不着头脑”,细看却是“拨云见日,一目了然”. 在节外生枝中,学生不知不觉地既掌握了知识又发展了能力.例5 如图11,A,B为反比例函数y= (k>0)图象上的两个不同点,过A,B分别作x轴的垂线段,垂足分别为D,C,试判断△ADO和△BCO的面积关系.变式1 如图12,A,B为反比例函数y= (k>0)图象上的两个不同点,且A( ,2),B( ,a),求△AOB的面积.变式2 如图13,已知直线y=x与双曲线y= (k>0)交于A,P 两点,且点A的横坐标为1.过原点O的另一条直线交双曲线y= (k>0)于B,Q两点(B点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为8,求点B的坐标.例5中,“判断△ADO和△BCO的面积关系”意在回顾反比例函数中类似三角形面积的不变性.变式1中求△AOB的面积,学生往往会利用S△AOG-S△OBG,S△HOC-S△AHO-S△OBG,S矩形FEOC-S△AFO-S△BOC-S△AEB中的关系式求解,学生一旦联系了例5就不难得到S△AB0=S梯形ABCD.此时顺理成章地出示变式2,由反比例函数的中心对称性可知S△AB0=2,于是问题转化为变式1. 随着主线(面积问题)节外枝条越生越多的同时,一个中考题的命制过程和解题思路就演绎的一清二楚了.。