状态空间描述(二)

整理得：
则得能观标准形状态空间表达式：
̇1 = −an xn + bu ⎧ x ⎪ x ̇2 = x1 − an−1 xn ⎪ ⎪ ⋮ ⎨ ⎪x ̇n−1 = xn−2 − a2 xn ⎪ ̇n = xn−1 − a1 xn ⎪ ⎩ x
̇ ⎞ ⎛0 ⎛x ⎜ 1⎟ ⎜ ⎜x ̇ ⎟ ⎜1 ⎜ 2⎟=⎜ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜⋮ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜x ⎟ ⎜ ⎝ ̇n ⎠ ⎝ 0
⎡0 ̇=⎢0 x ⎢ ⎢ ⎣ −6 y = [1 0 1 0⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥u 0 1 ⎥x+⎢ ⎢0 ⎥ ⎢ −11 −6 ⎥ ⎦ ⎣6 ⎥ ⎦ 0] x
…
2
-an-1 -an
（b）化为能观测标准形 其系统结构图如下所示
u
̇3 x
取状态变量：
6
∫
-6
x3
∫
x2
∫
x1
1
y
-11
2
-6
⎧ x1 = y ( n−1) + a1 y ( n−2) + ⋯ + an−3 y ''+ an−2 y '+ an−1 y ⎪ n−2 n −3 ⎪ x2 = y ( ) + a1 y ( ) + ⋯ + an−3 y '+ an−2 y ⎪ ⎪ x3 = y ( n−3) + a1 y ( n−4) + ⋯ + an−3 y ⎨ ⋮ ⎪ ⎪ x = y ' + a 1y ⎪ n−1 ⎪ ⎩ xn = y
+ an −1 z
( n −1)
̇ + a0 z = u + ⋯ + a1 z
以及
̇ + b0 z = y bn −1 z ( n −1) + ⋯ + b1 z
选择状态变量如下： x1 = z ̇1 = x2 = z ̇ x
̇2 = x3 = ̇ ̇ x z ┆ ( n −1)
̇n −1 = xn = z x ̇n = z ( n ) = −a0 x1 − a1 x2 − ⋯ − −an −1 xn + u x
1.3.2 由系统微分方程建立状态空间表达式
本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常 微分方程建立系统的状态空间模型 ,分别讨论 由不含输入量导数项和 由含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型。 本节关键问题: 如何选择状态变量
关键
1. 微分方程中不包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动 态行为，不包含有输入量的导数项时的线性定系数常 微分方程为 y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu (1-22) 其中y和u分别为系统的输出和输入； n为系统的阶 次。 这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动 态系统的如下状态空间数学模型--状态空间模型
(n)
= −a1 y ( n −1) − ⋯ − an y + b0u ( n ) + b1u ( n −1) + ⋯ ̇ − β n − 2u ̇̇ − ⋯ − β 0u + bn u − β n −1u
(n)
a n− 2
（二）辅助变量法
则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导 数项的状态空间模型
1 ... 0 ⎤ ⎡ 0 ⎢ ... ... ... ... ⎥ ⎥ A=⎢ ⎢ 0 0 ... 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣- an - an −1 ... - a1 ⎦ C = [1 0 ... 0]
⎡0⎤ ⎢...⎥ B=⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣b ⎦
上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式，该矩 阵的最后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关 系，前n-1行为1个n-1维的零向量与 (n-1)×(n-1)的单位 矩阵。 �该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统 的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵，这在 后面的章节中可以看到。
⎪ ...... ⎪ ⎨ ̇n−1 = xn ⎪x ⎪ x ⎩ ̇n = −a1xn − ... − an x1 + bu
将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有
1 0 ⎡ 0 ⎢ 0 0 1 ⎢ ̇=⎢ ⋮ x ⋮ ⋮ ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣ − an − an −1` − an − 2 y = [1 0 ⋯ 0 0] x ⋯ 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⋯ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⋱ ⋮ ⎥ x + ⎢⋮ ⎥ u ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⋯ − a1 ⎥ ⎣b ⎥ ⎦ ⎦
( n −1) (n)
β0=b0 β1=b1-a1β0 β2=b2-a1β1-a2β0
( n −1)
̇ − β n − 3u ̇̇ − ⋯ − β 0 u − βn−2u
= xn + β n −1u
⎡1 ⎢a ⎢ 1 ⎢a2 ⎢ ⎢⋮ ⎢an ⎣
…… βn =bn-a1βn-1-…-anβ0
即βi(i=0,1,…,n)满足如下方程组
0 1 a1 ⋮ an−1 0 0 1 ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0⎤ ⎡ β 0 ⎤ ⎡b0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎢ β1 ⎥ ⎢ b1 ⎥ 0⎥ ⎢ β 2 ⎥ = ⎢b2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋮ ⎥⎢ ⋮ ⎥ ⎢ ⋮ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎥ ⎦ ⎣ β n ⎦ ⎣bn ⎦
̇ − β n − 2u ̇̇ − ⋯ − β 0u − β n −1u
1 0 ⋯ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎡ β1 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢β ⎥ 0 1 ⋯ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ̇=⎢ ⋮ x ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⎥ x + ⎢ ⋮ ⎥u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 1 ⎥ ⎢ 0 ⎢ β n −1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ −an −an −1` −an − 2 ⋯ −a1 ⎥ ⎦ ⎣ βn ⎥ ⎦ y = [1 0 ⋯ 0 0] x + β 0 u
̇1 = x2 ... x ̇n−1 = xn ⎧x ⎨ ̇ x = − a x − ... − an x1 + b0u(n) + ... + bnu 1 n ⎩ n
̇ = Ax + Bu ⎧x ⎨ ⎩ y = C x + Du
� 建立该状态空间模型的关键是如ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ选择状态变量 ?
�根据微分方程解的存在性和唯一性条件，要求输 入u(t)为分段连续，而上述状态方程中输入 u的各 阶导数可能不连续，从而使微分方程解的存在性 和唯一性的条件不成立。 �因此，状态方程中不应有输入 u的导数项出现，即 不能直接将输出 y的各阶导数项取作状态变量。
其中βi(i=0,1,…,n)为待定系数。 即：
⎧ x1 = y − β0u ⎨ ̇i −1 − βi −1u ⎩xi = x
i = 2,3,⋯, n
若待定系数 βi(i=0,1,…,n)满足如下关系式 因此，有
̇1 = y ̇ − β 0u ̇ = x2 + β1u x ̇2 = ̇̇ ̇ − β 0u ̇̇ = x3 + β 2u x y − β1u ⋮ ̇n −1 = y x ̇n = y x
̇ + b0 z = b0 x1 + b1 x2 + ⋯ + bn −1 xn y = bn −1 z ( n −1) + ⋯ + b1 z
⎡ x1 ⎤ ⎥ y = [b0 b1 ⋯ bn −1 ]⎢ ⎢⋮⎥ ⎢ ⎣ xn ⎥ ⎦ 注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则 有d。 b s n −1 + ⋯ + b1s + b0 Y ( s ) bn s n + ⋯ + b1s + b0 = = d + n −1 n n R( s ) an s + ⋯ + a1s + a0 an s + ⋯ + a1s + a0
【例7】已知描述系统的微分方程为 ̇y ̇̇ + 18 ̇ ̇ + 192 y ̇ + 640 y = 160 u ̇ + 640 u y 试求系统的状态空间表达式。
解 （1）待定系数法 选择状态变量如下
于是系统的状态空间表达式为 ̇1 ⎤ ⎡ 0 ⎡x ⎢x ̇2 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢x ⎥ ⎢ ̇3 ⎦ ⎣ ⎣ − 640 1 0 − 192 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎥⎣ ⎢ x3 ⎦ ⎥ − 18 ⎦ ⎡ 0 ⎤ ⎢ 160 ⎥ u ⎢ ⎥ ⎢ − 2240 ⎦ ⎥ ⎣
为避免状态方程中显示地出现输入的导数，通常采用 �（1）待定系数法 可利用输出 y和输入u以及其各阶导数的线性组合 来组成状态变量，其原则是 : �使状态方程中不显含输出 u的各阶导数。 �（2）辅助变量法 �利用Laplace变换，引入辅助变量 z
（一）待定系数法
根据待定系数法，选择状态变量如下
⎧ x1 = y − β 0u ⎪ x2 = y ̇ − β1u − β 0u ̇ ⎪ ̇ ̇ ̇ ̇̇ x = y − β u − β u ⎨ 3 2 1 − β 0u ⎪ ⋮ ⎪ ( n −1) ̇ − ⋯ − β 0 u ( n−1) − β n−1u − β n−2u ⎩ xn = y
设 n 阶微分方程为：
̇ + a0 y = bn −1u ( n −1) + ⋯ + b1u ̇ + b0u y ( n ) + an −1 y ( n −1) + ⋯ + a1 y
Laplace变换，求传递函数
(1-24)
Y ( s ) bn −1s n −1 + bn − 2 s n − 2 + ⋯ + b1s + b0 = U (s) s n + an −1s n −1 + ⋯ + a1s + a0 引入辅助变量 z
̇ = Ax + Bu ⎧x ⎨ ⎩ y = Cx + Du