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量子力学2-2

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量子力学2

量子力学2

在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t)=dW(r,t)/dτ=C |Φ(r,t)|2 称为几率密度。
在体积V内，t 时刻找到粒子的几率为：
W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Φ(r,t)|2 dτ
6
（2 ）
平方可积
由于粒子在空间总要出现（不考虑粒子产生和湮灭情 况），所以在全空间找到粒子的几率总合应为1，即：
本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波干涉的结
果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力 学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数
决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学
的波叠加原理称为态叠加原理。
10
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那末它们 的线性叠加 Ψ = C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态.
几率密度是
dW (r , t ) r , t d
w(r, t ) r, t


r , t d 1
满足上式的波函数称为归一化波函数，该式称为归一化条件。把Φ 换成Ψ的步骤称为归一化。常数 C 称为归一化常数。
8
由于粒子在全空间出现的几率等于1，所以粒子在空间各点出 现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取 决于强度的绝对大小。因而，将波函数乘上一个常数后，所描 写的粒子状态不变。
（ 4）
将（3）、（4）两式代入（2）式中，有
•
i ( * * ) 2
令 则
J i ( * * ) 2
（ 5）
（ 6） （ 7）
w J 0 t

量子力学2

量子力学2
假设（1924 年 ）
量子力学基础
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性 .
E h
p
h

2
E mc h h 德布罗意公式 h h p mv 1）若 v c 则 m m0 注意
若
v c 则 m m0
2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测 量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性 .
理学院 黄玉
d sin k , k 1,2,3,
K=1 得 =16.5nm
德布罗意物质波理论 电子的德布罗意波长：
h p
量子力学基础
h 2meU
16.7 nm
理论值与实验结果符合的非常好！！
2 G .P .汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 ) 电子束透过多晶铝箔的衍射
mn 1.67 10
慢中子的德布罗意波长
理学院 黄玉
3 2 kT 3.85 10 eV 2 27
kg
24 1
p 2mn 4.5410 kg m s
h 0.146nm p
德布罗意物质波理论 11.5 德布罗意波的统计解释
量子力学基础
经典粒子 不被分割的整体，有确定位置和运动轨道 ； 经典的波 某种实际的物理量的空间分布作周期性的变 化，波具有相干叠加性 . 二象性 要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一 物体上 . 1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 . 统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在 该处邻近出现的概率成正比的 . 概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不 可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的 概率 . 理学院 黄玉
结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身的大 小可比，甚至还大。微观粒子的波粒二象性可用不确定 关系具体说明。

量子力学解答(1-2 章)

量子力学解答(1-2 章)

ψ (0) = 0, ψ ( a ) = 0,
B ≠ 0, ⇒ k =
⇒ A=0 ⇒ B sin ka = 0
归一化，
答
案
i ⎧ 2 nπ − h E n t sin xe , ⎪ 得： ψ n ( x, t ) = ⎨ a a ⎪ 0, ⎩
网
ww
∫
a
0
B 2 sin 2
nπx dx = 1, ⇒ B = a
&dx = ∫ mx & ∫ pdq = ∫ mx
后
3 h 2 k 2 n 2 1/ 3 ( ) , n = 1,2,3... 2 m v v kr ) 证明: 注意到 F = − = − kr , 径向牛顿力学方程为 r k k = ma n = mrω 2 , 即 rω 2 = m 0 0 v ˆ ⋅ dr = ∫ − kdr = kr 选取 r=0 为势能零点, 势能为 E p = ∫ − kr
ww
对全空间积分并注意可与对时间求导交换，得：
//
w.
∂ * h2 h2 * 2 2 * ih (ψ 1ψ 2 ) = − (ψ 1 ∇ ψ 2 − ψ 2 ∇ ψ 1 ) = − ∇ ⋅ (ψ 1*∇ψ 2 − ψ 2 ∇ψ 1* ) ∂t 2m 2m
粒子在一维势场 V(x) 中运动，V(x) 无奇点，设
v

∫ψψ
全 * 1
2
dτ
之值与时间无关. 证明: 由 Schrodinger 方程：
∂ψ 1 h2 2 ih = (− ∇ + V )ψ 1 ∂t 2m ih ∂ψ 2 h2 2 = (− ∇ + V )ψ 2 ∂t 2m ∂ψ 1* h2 2 = (− ∇ + V )ψ 1* ∂t 2m

量子力学英文格里菲斯Chapter2PPT课件

量子力学英文格里菲斯Chapter2PPT课件
14
Once we have found the separable solutions, then, we can immediately construct a much more general solution, of the form
It so happens that every solution to the (time dependent) Schrödinger equation can be written in this form — it is simply a matter of finding the right constants (c1, c2, c3, c4, …）so as to fit the initial conditions for the problem at hand.
4
Now the left side is a function of t alone, and the right side is a function of x alone.
5
The only way this can be possibly be true is if both sides are in fact constant, we shall call the separation constant E. Then
But before we get to that we would like to consider further the question:
7
What’s so great about separable solution ?
可分离的解（即 (x,t)=(x) f(t) ）为何如此重要？
After all, most solutions to the (time-dependent)

量子力学 2-2-晶格周期性和晶向晶面

量子力学 2-2-晶格周期性和晶向晶面
程序。
非晶：不具有长程序，但具有短程序。
准晶：粒子的排列有序，但不具有平移对称性，具有晶体所 不允许的旋转对称性。
固体物理学将晶体作为主要讨论对象，基本的出发点在于原子 排列周期性。本章主要讨论晶体内部原子的规则排列问题。
3
晶格的概念
•晶体内原子排列的具体方式称为晶体格子，或者简称晶格。
•不同晶体之间，如果原子排列方式不同，我们称为具有不 同晶格。 •不同晶体之间，如果原子排列方式相同，只是原子种类或 间距不同，我们称为具有相同晶格。
Ω = av1 ⋅ (av2 × av3 )
•由于基矢选择的不唯一性，原胞的选择也不是唯一的。但每 一中点阵都有约定的基矢和原胞选择方式。
19
基矢和原胞选择的非唯一性，但通常选择（1）。 20
立方晶格的原胞
•对于简单晶格（=布拉菲点阵）而言，一个原胞只包含一个原子。
简单立方晶格（sc）
k
体心立方（bcc）
复式晶格：包括两种或更多种不等价的原子（或离子）。包 括化学性质不等价和几何位置不等价。
例如：六角密排结构；金刚石结构； <几何位置不等价> 例如：NaCl结构；CsCl结构；闪锌矿结构 <化学性质不等价>
复式晶格可以看作各等价原子组成的晶格互相穿套而成的。
6
第二讲 固体结构
一些晶格实例（自己看） 简单与复式晶格 晶格周期性的几何描述 晶列和晶面 倒点阵 晶格宏观对称性和晶格分类
7
晶体最本质的特征是其结构的周期性或者平移对称 性。固体理论特别强调晶格的周期性。
晶格周期性的两种描述方法：
基元和点阵（布拉菲格子） 基矢和原胞
8
基元和点阵
一个实际晶格包含的原子可以是完全等价的（简单晶格）， 也可以是不完全等价的（复式晶格）。 无论是简单晶格还是复式晶格，都能找到一个最小的完全 等价的结构单元，一个理想的晶体可由这个全同的结构单元 在空间无限周期重复而得到。这个基本结构单元称为基元。

高等量子力学_第二章_算符

高等量子力学_第二章_算符

条件（1） ：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 AB AB

可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
条件（2） ：若 A 1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
CA 1 CA 2
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对 易式 [ Ai , B]和[ B, Ai ] ：
A A A A a A a
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
A A A A a A a
*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。 算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。 定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中每个右矢的作用结果即可。
A B
若两个算符 A和B 满足
[ A, B] AB BA
AB BA
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。 定义： (2.2)
经常使用的几个对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ [ F , G ] [G , F ]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [F , G M ] [F , G ] [F , M ]

周世勋量子力学课件第二章


单个粒子在该处出现 （微粒观点） 的概率大 粒子在某处出现的概率和该处波函数振幅的平方成正比
物质波的 强度大
假设衍射波波幅用 Ψ(r) 描述，与光学相 似，衍射花样的强度则用 |Ψ(r)|2 描述，但意义 与经典波不同。
|Ψ(r)|2 的意义是代表粒子出现在r点附近概率的 大小，确切地说，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz 表示 在r点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。 据此，描写粒子的物质波是概率波，反映微观客 体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为概 率波幅（概率幅）。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，由 波函数还可以得到体系的各种性质。这就是首先由 Born 提出的波函数的统计解释。 量子力学的第一条基本假定（或公设）
…………
同时粒子N出现在( rN , rN drN )中的几率
？
思考题1 设粒子波函数为 ( x, y, z) ，求在(x, x+dx)范围中找到粒子的几率。
思考题2 N粒子系的波函数为(r1, r2 ,...rN , t ) ， 求在( r1 , r1 dr1 )中找到粒子1的几率(其他粒子 的位置不限)。
屏上出现的 电子说明电 子的粒子性。
7个电子在观察 屏上的图像 100个电子在 屏上的图像
单个电子的去向是概率性的，但随着电子数目的增多 显示出统计规律性。

结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在 此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
(2) 粒子由波组成

电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际 结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包， 因此呈现出干涉和衍射等波动现象，并且认为 波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电 子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（波长）平面波 的迭加，强度只在空间有限区域中不为零。

量子力学第二章


ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t

量子力学第2章-周世勋


必须注意
（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设 （基本原理）。
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒 子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） （2）波函数一般用复函数表示。
这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新 的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理 中截然不同的物理图像。
德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复 函数 (r,t)来描述，函数 (r,t) — 称为波函数。
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
i(PrEt)
P(r,t)Ae
de Broglie 波
p (r ) r ,td r cp ,tp p d p cp ,t
因此
C (P ,t) 1 (r,t)eiP ,rd3r
(2 )3/2
(r ,t) C (P )P (r ,t)d 3 P
即
(r,t)(21)3/2
C (P ,t)eiP rd3P
显然,二式互为Fourer变换式,所以
做替换：
E i t
即得Schrödinger方程
p i
i (tr ,t) 2 2 2 U (r ,t) (r ,t)
（6）
i (tr ,t) 2 2 2 U (r ,t) (r ,t)
一（、1微）观含粒有波子函运数动对方时程间应的具一阶有导的数特点(r,t)
t
（2）方程必为线性的
（3）质量为 的非相对性粒子(即低速运动的粒
子), 其总能为
EP2
U(r,t)
2
二、自由粒子的运动方程 P (r,t)(21 )3/2e i(P ,rE)t

量子力学2波函数和薛定谔方程

传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包 物质波包会扩散， 电子衍射，
波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双
缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒 子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也 是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再 是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。 在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
也是一个可能的波动过程。
波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。 二、量子力学的态迭加原理
如果 1 和 2 是体系的可能状态，那么它们的线性 迭加： c11 c21（c1 ，c2是复数）也是这个体系 的一个可能状态。
三、电子双缝衍射 P
设 1 表示电子穿过上面窄
缝到达屏的状态，设 2 表 示电子穿过下面窄缝到达
二、波函数的(Born)统计解释
1、几率波
1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学
上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波
函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该
点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同 一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
dW 应正比于体积 d dxdydz 和强度 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
2
dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) d 1
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
的线性迭加： c11 c22 cn n cn n
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xa
A B
S 1 2 S 1 2
ik ikaa e ik ikaa e
从以上两式中消去A, B，即令上式中的A, B 等于下式中的A, B，得出
13
ik 1 ik 1

r
R
20
▲怎样理解粒子通过势垒区
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的 动能出现负值 量子物理： 粒子有波动性 遵从不确定原理 粒子经过垒区和能量守恒并不矛盾 只要势垒区宽度x = a不是无限大 粒子能量就有不确定量E
E p
2
2m
E
2 pp 2m
x = a很小时 p和E很大 E U 0 E
I
II
III
通解可取为
( x) Ae Be
x
x
o
?
a
x
(0 x a)
边界条件决定
不能写为ψ(x) ～e±kx 的形式。 其中

2m(V0 E )
利用势垒内外波函数及其导数的连续条件 求前面提到的反射和透射系数
10
在x 0点，， ' 连续，联立相关方程，有
o
a
x
11
类似地在x a点，由及 ' 连续条件得
Ae
a
Be
a
Se
ia
Ae
a
Be
a

ik

Se
ia
相加、减分别得
A B S 1 2 S 1 2 ik ikaa e ik ikaa e
Se Se
ik 1 1 ik 1 1
2 ik ik
14
2
由此解出
Se
ika

2ik / [1 (k / ) sha 2i (k / )cha
2
其中用到
shx
e e
得
T
16k
2 2
2
(k )
2 2
e
2a

16 E (V0 E ) V
2 0
2a exp
2m(V0 E )
18
由
T
16 E (V0 E ) V
2 0
2a exp
2m(V0 E )
可以看出：
T灵敏地依赖于a，m以及 (V0 E )。
利用 k ' 共振能量 2m( E V0 )
及 k ' a n 条件可得
E En V0
n
2 2
2
2ma
2
n 1,2,
29
可以看出，除了常数项-V0外，能级类似 宽度 a 的无限深势阱。
对于上面所说的“对称”方势阱情况， 如果粒子能量很小，按照前面的讨论，是 可能形成束缚态的, 相当于 n 较小的情况；
1 R A B (由连续得出) i (1 R ) ( A B) 或 ik (1 R ) A B (由 ' 连续得出) I
V (x)
V0
II
III
相加、减分别得
A B 1 ik 1 2 1 ik 1 2 ik R 1 ik R 1
2 2 2 2
(k ) sh a 4k
2 2 2 2 2
2
显然
| R |2 ：反射几率 2 2 | R | | S | 1 2 | S | ：穿透几率
16
| R | | S | 1 实际上是几率守恒的关系式。
2 2
可见在 E V0 的情况下，T 0
这是微观粒子波动性的体现
ikx ikx

V0
x0 xa
其中， k
2mE
左行波的出现是 经典上难以理解的
23
而阱中： d 2m( E V0 ) 0 2 2
2
dx

解为
Ae
ik ' x
Be
ik ' x
(0 x a)
其中
k'
2m( E V0 )
即上述 k ik '。
此时T 1 ，则反射系数 | R | 0 共振透射。
2
此条件为
k ' a n
n 1,2,
(n 0)
或按照 ' 2 / k '改写为
2a n '
n 1,2,
27
V ( x)
物理意义：
入射粒子进入势阱后， 碰到两侧阱壁时将发生 反射和透射。
E
a
2
1
对于给定势阱，透 射系数依赖于入射 粒子的能量E
T ( E ) 随 E 的变化 如右图所示。
26
由
sin ( k ' a ) T 1 4 E / V0 1 E / V0
2
1
可见，若E V0，则 T 一般很小。
除非 E 取某些特定值，使 sin( k ' a) 0。
隧道效应： 我们把微观粒子能够穿透比它 能量高的势垒的现象叫作隧道（隧穿）效应。 ？

经典

量子
4
下面按能量取值分区进行讨论（求解方程）
（ ）对E V0，在垒外，x 0，x a 1 经典允许区
V (x)
V0
Schrö dinger方程为
d
2
d x
2

2mE
2
0
I
II
III
2
1
当V0 0时, k k ' T 1
这是显然的
﹟
22
§2.2.5 方势阱的反射、透射与共振
把上述问题中的 V0 V0 (势阱, 如右图）
V ( x)
则对于
x 0，x a 区，
E
a

因为V 0， 仍如前，即
e R e ( x) ikx Se
o
它的两个线性无关的解为
a
x
5
( x) ~ e
ikx
，
其中
k
V (x)
V0
2mE /
意义:
e
ikx
~ 右行波；
e
ikx
~ 左行波
I
II
III
对应相同的能量E
o
a
x
同一个E，对应于两个，称能级二度简并
由入射条件来确定解。
6
设粒子从左边入射。由于势垒的存在，在 x<0的区域， 有右行的入射波 eikx，又有左行
§2.2.4 方势垒的反射与透射 1、方势垒的贯穿 经典力学：
V0 E<V0
小球的运动能量连续 不能越过高势垒 量子力学效应：
特点1
能量、动量 取分立值 特点2 不管小球的能量有多小，都能穿过比它 能量高得多的势垒！
1
简单的例子 :
有限深势阱，E V0时的阱外 | | ~ e
2 2 x
﹟
21
（2）对E V0， ik '，（k ' 为正）
k' 2m( E V0 )
利用尤拉公式很容易证明：sh( ia) isin( ik ' a)
所以透射系数为
T 4k k '
2 2 2 2 2 2 2 2
(k k ' ) sin (k ' a) 4k k '
1 k k' 2 1 sin (k ' a) 4 k' k
x
x
，chx
e e
x
x
2
2
因此透射系数为
T | S |
2

4k
2 2 2 2 2
2 2 2 2
(k ) sh a 4k ch a

4k
2 2 2 2 2
2 2 2
(k ) sh a 4k
(用到ch a sh a 1)
2 2
15
即
(k ) 2 sh a T | S | 1 2 2 4k


V0
如粒子的能量合适，使它在阱 内的波长 ' 恰好满足 n ' 2a，
则经过多次反射而透射出去的波相位相同
因而彼此相干叠加，使透射波幅大增，
出现共振透射；
28
与此相反，当 k ' a (n
1 2
)，n 0,1, 2,
1 2 ) '，透射最小
则反射最强，相应 2a (n
问题：左右行波是怎么产生的？
24
1 k k' T 1 sin( k ' a) 4 k' k
2
1
sin ( k ' a ) 1 2 2 2 2 2 4k ' k /( k ' k )
2
1
sin ( k ' a ) 1 4 E / V0 1 E / V0
ik R 1 ik R 1
ik S 1 ik S 1
ikaa e ikaa e
由上式可解出S, R。先消去R得
ika a ika a