2017届高三寒假作业五 数学理科

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π- B ．4π C ．18π- D ．与a 的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ）A ．45B ．50 C.55 D ．605.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于c e a ====2.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ）1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ）A．6 B．12C. 4 D．1210. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积S =，则ab 的最小值为（ ）A ．12B ．13 C. 16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03x x x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．4) B．)+∞C. D．12.已知直线y a =分别与函数1x y e +=和y =,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ）A ．3ln 22-B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若6(n x +的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和.18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 19. （本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A，111AC =，114C A A π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ；（2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C上，点P 到椭圆C.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分） 已知函数221()()(1)(22)2x f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值. 请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求222x y -+的最小值，并求相应点M 的坐标.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3.（1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.。

高三（理科）数学寒假作业（五） 作业时间：正月初四 家长签字：一、选择题1. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 2.某种元件的使用寿命超过一年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过一年的元件还能继续使用的概率为（）A.0.3B.0.5C.0.6D.1 3. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{}n a ，1,1n n a n -⎧=⎨⎩第次摸取红球，，第次摸取白球如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么73S =的概率为（ ） A.525712()()33C ⨯⨯ B. 225721()()33C ⨯⨯ C. 525711()()33C ⨯⨯ D.225712()()33C ⨯⨯4. 若a 和b 是计算机在区间(0,2)上产生的均匀随机数，则一元二次不等式()24400ax x b a ++>>的解集不是为R 的概率为（ ）A ．12ln 24+ B ．32ln 24- C ．1ln 22+ D ．1ln 22- 5. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A.175 B. 275 C.375 D.4756. 某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“⨯⨯考点⨯⨯考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是 ( )A ．276119B ．272119C ．136119D ．138119二、填空题7. 设随机变量ξ服从正态分布()22,σN （0σ>），若()020.4ξP <<=，则()4ξP <=.8. 将长为1的木棒任意地折成三段，则三段的长度都不超过21的概率为 .三、解答题9. 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？10. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知全集U R ，会合A{0,1,2,3,4,5}，B{ x | x2} ，则图中暗影部分表示的会合为（）A．{0,1}B．{1}C．{1,2}D．{0,1, 2}2.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数z的点是1i（）A．M B．N C．P D．Q3.如下图，墙上挂有边长为 a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的极点为圆心，半径为a的圆弧，某人向此板投镖.假定每次都能击中木板，2且击中木板上每个点的可能性都同样，则他击中暗影部分的概率是（）A．1B．C．1D．与a的取值相关4484.某公司为确立明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的广告支出m与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，获得以下表格中的数据：$6.5m 17.5 ，则p的值为经测算，年广告支出 m 与年销售额t知足线性回归方程 t（）A． 45B．50 C.55D．605.已知焦点在y轴上的双曲线C的中点是原点O，离心率等于5.以双曲线C的一2个焦点为圆心， 1 为半径的圆与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为（）A． y2x21B．y2x21 C. y2x21D． x2y21 1644446.已知某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A． 113B．35 C. 104D． 1073347.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无穷增添时，多边形面积可无穷迫近圆的面积，并创办了割圆术 .利用割圆术刘徽获得了圆周率精确到小数点后边两位的近似值 3.14，这就是有名的徽率 .如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 n 为（）（参照数据： 3 1.732 ,sin15°0.2588,sin7.5°0.1305）A． 12B．24 C. 36D．48.如图，周长为 1 的圆的圆心C在y轴上，极点A(0,1)，一动点M从A开始逆时针?，则函数 t f (x)绕圆运动一周，记走过的弧长 AM x ，直线AM与 x 轴交于点 N (t ,0)的图象大概为（）A ．B． C.D．9.三棱锥A BCD 的外接球为球 O ，球 O 的直径是 AD ，且 ABC ， BCD 都是边长为1 的等边三角形，则三棱锥 A BCD 的体积是（）A．2B．2C.2D．3 61241210. 在ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为a，b ，c，且 2c cosB 2a b .若ABC 的面积A．S13c ，则ab的最小值为（）121B．1C.1D．3 2360.5x21,x0,已知直线y mx 与函数f ( x)的图象恰巧有 3 个不一样的公共点，则11.2( 1 )x , x03实数 m 的取值范围是（）A．( 3,4)B．( 2,) C. (2,5)D．( 3,2 2)12.已知直线y a 分别与函数y e x 1和 y x 1交于 A, B 两点，则 A, B 之间的最短距离是（）A． 3 ln 2B． 5 ln 2 C. 3 ln 2D． 5 ln 2 2222第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若( x61)n的睁开式中含有常数项，则 n 的最小值等于________. x x14.已知抛物线方程为y2 2 px( p 0) ，焦点为F，O是坐标原点，A是抛物线上的uuur3 ，则p的值为一点， FA 与 x 轴正方向的夹角为 60o，若OAF的面积为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院起码安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不一样的分派方法总数为__________.x y 20,16.若不等式组x 5y 10 0, ，所表示的平面地区存在点( x0 , y0 ) ，使 x0 ay020 成x y 80立，则实数 a 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n， a11， a n 1S n1(n N * ,1) ,且 a1、2a2、 a33 为等差数列 { b n} 的前三项.（1）求数列{ a n} ,{ b n}的通项公式；（2）求数列{ a n b n}的前n项和 .18.（本小题满分 12 分）某市踊跃倡议学生参加绿色环保活动，此中代号为“环捍卫士 -12369”的绿色环保活动小组对 2015 年 1 月～ 2015 年 12 月（一年）内空气质量指数API进行监测，下表是在这一年随机抽取的 100 天统计结果：（1）若该市某公司每日由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量0,0t100,指数 API （记为 t ）的关系为：P 4t400,100 t300, ，在这一年内随机抽取一天，1500, t300,预计该天经济损失 P(200,600] 元的概率；（2）若本次抽取的样本数占有 30 天是在供暖季节，此中有 8 天为重度污染，达成2×2 列联表，并判断能否有 95%的掌握以为该市今年度空气重度污染与供暖相关？下边对界值表供参照：参照公式： k 2n( ad bc)2，此中 n a b c d .(a b)(c d )(a c)(b d )19.（本小题满分 12 分）已知在三棱柱ABC A1 B1C1中，侧面 ABB1 A1为正方形，延伸AB 到D ，使得 AB BD ，平面 AA1C1C平面ABB1A1，AC2AA ，C1 A1A.1114（1）若E, F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF / /平面ABB1A1；（2）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值 .20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C : x2y 21(a b 0) ，圆 Q ( x22 ) ( y2) 22的圆心 Q 在椭圆C上，点a2b2（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作相互垂直的两条直线l1, l2，且l1交椭圆C于A, B两点，直线l2交圆Q于C, D 两点，且M为CD的中点，求MAB 面积的取值范围.21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ( ax2bx a b)e x 1 ( x 1)(x22x 2)，a R，且曲线y f (x)与x轴切2于原点 O.（1）务实数a, b的值；（2）若f ( x) ?( x2mx n) 0恒成立，求m n的值 .请考生在 22、23 中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是 2 ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴成立平面x1t 直角坐标系，直线 l 的参数方程为2（ t 为参数）.y3t（1）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程；x 'x（2）设曲线C经过伸缩变换1获得曲线 C ' ，设M ( x, y)为曲线 C '上任一点，y '2y求 x23xy 2 y2的最小值，并求相应点M的坐标.23.（本小分 10 分）修 4-4：不等式已知数 a0, b0 ，函数 f ( x) | x a || x b | 的最大 3.（1）求a b 的；（2）函数g (x)x2ax b ，若于x a 均有g( x) f ( x)，求a的取范.2016～2017 学年度上学期高三年五考理科数学答案一、ADADC CBD BB BD二、填空13.514. 215.8416. a1三、解答（本大共8 ，共 70 分.解答写出文字明、明程或演算步，写在答的相地点）17.解：（1）Q a n1S n 1 n N*，a n S n 1 1 n2，a n 1a n a n，即 a n 1 1 a n n 2 , 1 0 ，又 a11,a2S11 1 ，数列 a n以 1 首，公比 1 的等比数列，⋯⋯⋯⋯2分a31 2，4 1 1123，整理得22 1 0，得1，⋯⋯⋯⋯4分a n2n 1 ,b n13n13n 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）a n b n3n 2 2n 1，T n11 421722⋯⋯3n 2 2 n 1 ⋯⋯⋯⋯①2T n 1 21 4 2 2 7 23⋯3n 5 2n 13n 2 2n ⋯⋯⋯⋯②⋯⋯⋯⋯ 8 分① —②得T n1 1 3 21 3 22 ⋯3 2 n 13n 2 2n21 2n 1 3n2 2n⋯⋯⋯⋯ 10 分1 31 2整理得： T n3 n 5 2n5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分18.（Ⅰ） “在今年内随机抽取一天， 天 失P 200,600 元” 事件 A 由200 4t400 600，得 150t 250， 数 39, P A39 ⋯⋯⋯⋯ 4 分100（Ⅱ）依据以上数据获得如表：非重度 重度 染合染供暖季 22830非供暖63770季合8515100⋯⋯⋯⋯8 分100 63 8 222K2的 K2785 15 304.575 3.841 .70因此有 95% 的掌握 某市今年度空气重度 染与供暖相关 .⋯⋯⋯⋯ 12 分19.（本 分12 分）解：（1）取 A 1C 1 的中点 G ，接 FG, EG ，在 A 1B 1C 1 中， EG 中位 ，GE WA 1 B 1 ,Q GE 平面 ABB 1 A 1 , A 1 B 1 平面 ABB 1 A 1 ， GEW 平面 ABB 1 A 1 ，同理可得 GEW 平面 ABB 1 A 1 ，⋯⋯⋯⋯ 2 分又GFI GEG ，因此平面 平面1 1，GEF WABB AQ EF平面 GEF ，EFW 平面 ABB 1 A 1 .⋯⋯⋯⋯ 4 分（2） 接 AC，在VAAC中，11 1C AA,AC 2AA ，1 11 114因此由余弦定理得 AC 12 AA 12 AC 1 12 2 AA 1 AC 1 1 cos AAC 1 1 AA 12 ,AA 1AC 1 , A 1 AC 1 是等腰直角三角形， AC 1 AA 1 ，又因 平面 AACC平面ABB AAAC CI平面 ABB A AA , AC1平面ABB A，1 11 1，平面1 11 111 1Q AB 平面 ABB 1 A 1 ， AC 1 AB ，⋯⋯⋯⋯ 7 分又因 面 ABB 1 A 1， 正方形，AA 1AB，分 以AA 1 , AB, AC 1 所在直 作xy， ，z 成立如 所示的空 直角坐 系，AB 1， A 0,0,0 , A 1 1,0,0 , B 1 1,1,0 , C 1 0,0,1 , C 1,0,1 , D 0,2,0 ，CB 11 11 10,1,0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分2,1, 1 , CD 1,2, 1 , AC1,0,1 , A Burur uuuurur uuuur，即x 1 z 1 0 ，令平面 A 1B 1C 1 的一个法向量 m x 1 , y 1 , z 1， m ? A 1 C 10,m ? A 1 B 1 0y 1x 1 1 ，y 2 1,z 2 3 ，r1,1,3 平面 CB 1D 的一个法向量，故 nur rur r 1 1 0 1 1 3 2 22因此 cosmWn，m, n ur r12 123211m n2平面 A 1 B 1 C 1 与平面 CB 1D 所成的 二面角的余弦222.1120.（本 分 12 分）解：（Ⅰ）因 C 的右焦点 F c,0 , PF 6, c 2 ，⋯⋯⋯⋯1 分4 2Q 2, 2 在 C 上，a2b 21，⋯⋯⋯⋯ 2 分由 a 2b 2 4 得 a 28,b 2 4 ，因此 C 的方程x 2y 2 1 .⋯⋯⋯⋯ 4 分84（Ⅱ）由 意可得 l 1的斜率不 零，当 l 1 垂直 x ， MAB 的面14 2 4，⋯⋯⋯⋯5 分2当 l 1 不垂直 x ， 直 l 1的方程 ： ykx2 ， 直 l 2 的方程 ：11 122x 2 y 222yx2, A，由 81消去 y 得1 2k x 4 2kx 4 0 ，因此k x , y , B x , y4ykx24 2k4 ，⋯⋯⋯⋯ 7 分x 1 x 2 12k 2, x 1x21 2k 224 1 k 24k 2 1AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分1 kx 1x 22k 2 1又 心 Q2, 2 到 l 2的距离 d 12 2 得 k 2 1 ，⋯⋯⋯⋯ 9 分1k 2又 MPAB ,QMCD ，因此 M 点到 AB 的距离等于 Q 点到 AB 的距离， d 2 ，即d 22k2 22 k，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分k 21 1 k 2第11页/共14页因此MAB 面4 k 4k22 2s1 AB d2 1k 4k12 42k 2 222k11，⋯⋯⋯⋯ 11 分，10, 12t 2245,4，令 t 2k 21 3,, S 43t 14 1 131t32t 22 t 283上， MAB 面 的取 范4 5.⋯⋯⋯⋯ 12 分3,421.解：（1）Q fxax 2 bx a b 2axb e x1 x2 2xx 12x2222 a b x a x1 3x 2，⋯⋯⋯⋯ 1 分axe2x2f 0a0 ，又 f 0 a b1 0, b 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）不等式 f xx 1 e xx 11 x2 x1 ，2整理得 x1 e x1 x2 x 1 0 ，2x 1 0x 1 0，⋯⋯⋯⋯ 6 分即 e x1 x2 x 10 或 e x1 x 2x 122令 g xe x1 x2 x 1 , h xg xe xx 1 , h xe x 1 .2当 x0 ， h xe x 1 0 ；当 x 0 ， h x e x1 0 ，h x在,0减，在0，+ 增，h x h 00 ，即 g x0 ，因此 g x 在 R 上 增，而 g 00 ；故 e x1 x2 x 1x 0;e x1 x2 x 1x 0 .22当 x 0 或 x 1 ， fx0 ；同理可得，当 0x1 ， fx 0 .当 f x x 2 mx n 0 恒成立可得，当 x 0 或 x 1 ， x 2mxn 0 ，当 0x 1 ， x 2mx n 0 ，故 0 和 1 是方程 x 2mx n0 的两根，进而 m1, n 0, mn1 .⋯⋯⋯⋯ 12 分第12页/共14页22.解:（1）由x 1 t，得t x 1，代入y23t ，得直的一般方程3x y 3 20 .由 p 2 ，得 p24,x2y2 4 .⋯⋯⋯⋯5分（2）Q x x, C 的直角坐方程x221 . y1yy42M 2cos,sin， x2cos, y sin .x23xy 2 y24cos223sin cos2sin 22cos233x1x1当 cos231，即y 3或y3，上式取最小 1.22即当 M1,3或 M1,3， x23xy2y2的最小 1.⋯⋯⋯⋯10分2223.解：（Ⅰ）f x x a x b x a x b a b ，⋯⋯⋯⋯2分因此 f x的最大 a b ，a b 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）当 x a ，f x x a x b x a x b a b3 ，⋯⋯⋯⋯6分于 x a ，使得g x f x 等价于x a ，g max x3成立，Q g x的称 x a，a2g x在 x a,减函数，g x的最大 g a a 2 a 2b2a 2 a 3，⋯⋯⋯⋯ 8 分2 a2a3 3 ，即2a2a0 ，解得a0 或a1，2又因 a0,b0,a b3，因此1a 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2第13页/共14页第14页/共14页。

数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π- B ．4π C ．18π- D ．与a 的取值有关4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+$，则p 的值为（ ）A ．45B ．50 C.55 D ．60 5.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于5.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C.2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为（）（参考数据：3 1.732≈,sin150.2588°）≈≈°,sin7.50.1305A．12 B．24 C. 36 D．48.如图，周长为1的圆的圆心C在y轴上，顶点(0,1)A，一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长¼AM x=，直线AM与x轴交于点(,0)N t，则函数()=t f x 的图象大致为（）A．B． C. D．9.三棱锥A BCD∆，BCD∆都是边长为-的外接球为球O，球O的直径是AD，且ABC1的等边三角形，则三棱锥A BCD-的体积是（）A2B．2 C. 2D310. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积12S =，则ab 的最小值为（ ） A ．12B ．13 C.16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．4) B．)+∞C. D． 12.已知直线y a =分别与函数1x y e +=和y =,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ） A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若6(n x +的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r与x 轴正方向的夹角为60o ，若OAF ∆p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+-=的圆心Q 在椭圆C 上，点2)P 到椭圆C 6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2x f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x t y t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y +的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题A D A D CC BD B BB D二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.1a ≤-三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17.解：（1）()*11n n a S n N λ+=+∈Q ，()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列， (2)分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分()12,13132n n n a b n n -∴==+-=-.………………6分（2）()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅- (10)分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分（Ⅱ）根据以上数据得到如表：…………8分2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（1）取11A C 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄W Q 平面1111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ，GE ∴W 平面11ABB A ，同理可得GE W 平面11ABB A ，…………2分 又GF GE G =I，所以平面GEF W平面11ABB A ，EF ⊂Q 平面GEF ，EF ∴W 平面11ABB A .…………4分（2）连接1AC ，在11AAC V 中，11111,24C A A AC AA π∠==， 所以由余弦定理得2222111111*********cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C I 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂Q 平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥， (7)分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -，()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-， (8)分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =u r ，则11110,0m A C m A B •=•=u r u u u u r u r u u u u r ，即1110x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =r为平面1CB D 的一个法向量，所以222222cos ,2113m nm n m n <>===⨯⨯++u r ru r r W u r r平面111A B C 与平面1CB D 22220.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,2F c PF c ==，…………1分(Q 在椭圆C 上，22421a b ∴+=，…………2分由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y += (4)分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，MAB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l的方程为：y kx =2l的方程为：()()11221,,,y x A x y B x y k =-+，由22184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()221240k x ++-=，所以12122412x x x x k -+==+，…………7分则12AB x -8分又圆心(Q 到2l的距离1d=<得21k >， (9)分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d，即2d =10分所以MAB∆面积212s AB d==11分令()2213,t k=+∈+∞，则110,,3St⎫⎛⎫∈==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，综上，MAB∆面积的取值范围为4⎤⎥⎝⎦.…………12分21.解：（1）()()()()221221222xf x ax bx a b ax b e x x x x⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦Q()()2212322xax a b x a e x x⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分()00f a∴==，又()010,1f a b b=-+=∴=.………………4分（2）不等式()()()2101112xf x x e x x x⎛⎫>⇔-⋅>-++⎪⎝⎭，整理得()211102xx e x x⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102xxe x x->⎧⎪⎨⎛⎫-++>⎪⎪⎝⎭⎩或2101102xxe x x-<⎧⎪⎨⎛⎫-++<⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分令()()()()()211,1,12x x xg x e x x h x g x e x h x e⎛⎫=-++==-+=-⎪⎝⎭.当0x>时，()10xh x e=->；当0x<时，()10xh x e=-<，()h x∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h∴≥=，即()0g x≥，所以()g x在R上单调递增，而()00g=；故2211100;10022x xe x x x e x x x⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴当0x<或1x>时，()0f x>；同理可得，当01x≤≤时，()0f x≤.∴当()()20f x x mx n⋅+-≥恒成立可得，当0x<或1x>时，20x mx n+-≥，当01x≤≤时，20x mx n+-≤，故0和1是方程20x mx n+-=的两根，从而1,0,1m n m n=-=∴+=-.…………12分22.解:（1）由1x t =-，得1t x =-，代入2y =+，20y -=.由2p =，得2224,4p x y =∴+=.…………5分（2）,12x xC y y⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩Q 的直角坐标方程为2214x y +=.∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.222224cos cos 2sin 2cos 233x y πθθθθθ⎛⎫∴+=-+=++ ⎪⎝⎭∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即1x y =⎧⎪⎨⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩时，上式取最小值1.即当M ⎛⎝⎭或1,M ⎛- ⎝⎭时，222x y +的最小值为1.…………10分23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+， (2)分所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+= (4)分（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-， (6)分对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x Q 的对称轴为2ax a =-<，()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数，()g x ∴的最大值为()22223g a a a b a a =---=-+-， (8)分2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<.………………10分。

吉林省2017届高三数学第五次模拟考试试题 理第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） （1）若集合[]2,3A =，{}2560B x x x =-+=，则AB =（A ）[]2,3 （B ）{}2,3（C ）∅（D ）()2,3（2）若复数52ii z +=，则复数z 在复平面内对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）命题“[]1,2x ∀∈，2320≤x x -+”的否定为 （A ）[]1,2x ∀∈，2320x x -+> （B ）[]1,2x ∀∉，2320x x -+>（C ）[]01,2x ∃∈，200320x x -+>（D ）[]01,2x ∃∉，200320x x -+>（4）函数()2ln 43y x x =-+的单调递减区间为（A ）()2,+∞（B ）()3,+∞（C ）(),2-∞（D ）(),1-∞（5sin cos 22αα⎫-=⎪⎝⎭，则sin α的值为（A ）13-（B ）13（C（D）（6）已知等差数列{}n a 知足：22a =，()3543n n S S n --=>，100n S =，则n =（A ）7（B ）8（C ）9（D ）10（7）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）36 （B ）30（C ）24（D ）20（8）已知向量a ，b 知足：1==+=a b a b ，则2+=a b （A ）3 （B（C ）7（D）（9）关于函数()222sin cos f x x x x x =+-，有如下命题： ①π12x =是()f x 的图象的一条对称轴；②x ∀∈R ，ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③将()f x 的图象向右平移π3个单4 俯视图 正视图侧视图AB C D EF GA 1B 1C 1D 1 其中真命题的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（10）已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左右极点别离为A 1，A 2，点M 为椭圆上不同于A 1，A 2的一点，若直线M A 1与直线M A 2的斜率之积等于12-，则椭圆的离心率为（A ）12（B ）13（C ）22（D ）33（11）若正数m ，n 知足3m n mn ++=，不等式()22130≥m n x x mn +++-恒成立，则实数x 的取值范围是 （A ）(]2,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）(]1,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭（C ）11,,23⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（D ）11,,26⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（12）已知函数()1,0ln ,0x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩，则关于x 的方程()()20f x f x a -+=⎡⎤⎣⎦()a ∈R 的实根个数不可能．．．为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部份．第（13）～（21)题为必考题，每一个试题考生都必需作答．第（22）、（23）题为选考题，考生依照要求作答．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）（13）已知2202010≥≤≥x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则函数3z x y =-的最小值为 ．（14）如图所示：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G别离为棱BC ，CC 1，CD 的中点，平面α过点B 1且与平面EFG 平行，则平面α被该正方体外接球所截得的截面圆的面积为 ．的动点，过点P 作（15）在平面直角坐标系xOy 中，点P 是直线3430x y ++=上圆C ：222210x y x y +--+=的两条切线，切点别离为A ，B ，则AB 的取值范围是 ．（16）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，对任意n N *∈，232≤n n n a a ++⋅，121≥n n a a ++恒成立，则数列{}n a 的前n 项和n S = ．三、解答题：（解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤．）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边别离是a ，b ，c ．已知()2cos cos 0b a C c B -⋅+⋅=． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若2c =，ABC S ∆=a ，b 的值．（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，12+n n a S -=()n N *∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）若点E 是AB 的中点，求证：BM ∥平面NDE ； （Ⅱ）若二面角D CE M --的大小为π6，求出AE 的长．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为32，过椭圆的核心且与长轴垂直的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点M 为椭圆上第一象限内一动点，A ，B 别离为椭圆的左极点和下极点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．EA BCDNMMABCD Oxy（21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，()()1g x ax a =-∈R ． （Ⅰ）讨论函数()()()h x f x g x =-的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()12x x <． （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：110y -<<，且12e e 2y y +>．（e 为自然对数的底数）请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度，成立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）别离写出曲线C 1的一般方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知M ，N 别离为曲线C 1的上、下极点，点P 为曲线C 2上任意一点，求PM PN +的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-．（Ⅰ）若不等式()3≤f x 的解集为{}15≤≤x x -，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数x ，使不等式()()5f x f x m ++<成立，求实数m 的取值范围．数学（理科）参考答案 第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCDADBBCCAA第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部份．第（13）～（21)题为必考题，每一个试题考生都必需作答．第（22）、（23）题为选考题，考生依照要求作答．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） （13）52-；（14）23π；（15）)3,2⎡⎣；（16）122n n +--．三、解答题：（解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤．） （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：()sin 2sin cos sin cos 0B A C C B -+=， …………2分 即sin cos cos sin 2sin cos B C B C A C +=， 即()sin 2sin cos B C A C +=，即sin 2sin cos A A C =． …………4分 因为sin 0A ≠，因此1cos 2C =． …………5分 又因为()0,C π∈，因此3C π=． …………6分（Ⅱ）因为13sin 32ABC S ab C ∆===4ab =①． …………8分由余弦定理得：2222cos a b c ab C +-=，因为2c =，3C π=，4ab =，因此228a b +=②． …………10分由①，②联立可得：22a b =⎧⎨=⎩． …………12分（18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为12+n n a S -=①， 因此当2≥n 时，12n n a S --=②，()()又因为212a S -=且112S a ==，因此24a =，因此212a a =， …………4分 即12+n na a =对任意n N *∈恒成立， 因此数列{}n a 为首相为2，公比为2的等比数列．因此1222n n n a -=⋅= …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：22log log 2n n n b a n ===，2n n n n c a b n =⋅=⋅ …………7分 因此1212222n n T n =⨯+⨯++⋅③，231212222n n T n +=⨯+⨯++⋅④， …………9分③－④，得：()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---，因此()1122n n T n +=-⋅+． …………12分（19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：连结AM ，设AM ND F =，连结EF ． …………2分因为四边形ADMN 为正方形，因此F 是AM 中点．又因为E 是AB 中点，因此EF ∥BM ． …………4分 又因为EF ⊂平面NDE ，BM ⊄平面ND E ，因此BM ∥平面NDE ． …………5分（Ⅱ）因为MD AD ⊥，平面ADMN ⊥平面ABCD ，交线为AD ，MD ⊂平面ADMN ，因此MD ⊥平面ABCD ．又因为AD DC ⊥，因此以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DM 所在直线别离为x ，y ，z 轴成立空间直角坐标系D xyz -，如图所示：…………6分 则()0,0,0D ，()0,6,0C ，()0,0,3M ． …………7分 设AE a =()06≤≤a ，则()3,,0E a ，()3,6,0EC a =--，()0,6,3MC =-， 设平面CEM 的法向量为(),,x y z =n ，则()360630x a y y z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，得：63ax -=，2z =，因此6,1,23a -⎛⎫= ⎪⎝⎭n ． …………9分又因为平面DCE 的一个法向量为()0,0,1=m ， …………10分 π因此22cos661143a π⋅==⋅-⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭m nm n，解得：()6306≤≤a a =-．因此，当二面角D CE M --的大小为π6时，63AE =-． …………12分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知可得：22223221c a b a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得：21a b =⎧⎨=⎩； …………3分因此椭圆C 的方程为：2214x y +=． …………4分（Ⅱ）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，因此()2,0A -，()0,1B -．…………5分设()(),0,0M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=．则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1C mx n =+； …………7分同理：直线AM 的方程为：()22n y x m =++，令0x =，得22D ny m =+． …………9分因此()()()2221121212212221ABCDm n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++．即四边形ABCD 的面积为定值2． …………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为()ln 1h x x ax =-+，因此()1h x a x'=-()0x >． …………1分 ①当0≤a 时，()0h x '>，函数()h x 在()0,+∞单调递增； …………2分 ②当0a >时，令()0h x '>，解得10x a <<；令()0h x '<，解得1x a>． 因此函数()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减． …………4分综上所述：当0≤a 时，函数()h x 在()0,+∞单调递增；1⎛⎫1⎛⎫（Ⅱ）（i ）函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()12x x <等价于函数()h x 有两个不同的零点x 1，x 2，()12x x <．由（Ⅰ）可知：当0≤a 时，函数()h x 在()0,+∞单调递增，不可能有两个零点； 当0a >时，函数()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．因此()max 1111ln 1ln h x h a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．当10≤h a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()h x 最多有一个零点，因此11ln 0h a a ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得01a <<，…………6分现在，2211e e a a <<，且1110e e e a a h ⎛⎫=--+=-< ⎪⎝⎭，()2222e e e 22ln 132ln 01h a a a a a a ⎛⎫=--+=--<< ⎪⎝⎭，令()()2e 32ln 01F a a a a =--<<，则()22222e e 20aF a a a a -'=-+=>，因此()F a 在()0,1上单调递增，因此()()213e 0F a F <=-<，即22e 0h a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．因此a 的取值范围是()0,1． …………8分（ii ）因为()0,1a ∈，因此1e ，110,a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，且10e h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()110h a =->，因此111ex <<，即()110f x -<<，即110y -<<． …………10分构造函数()()()222ln ln G x h x h x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10≤x a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则()21202a x a G x x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=<⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此()G x 在10,a ⎛⎤⎥⎝⎦递减，因为110x a <<，因此()110G x G a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭．又因为()()120h x h x ==，因此()1112222ln 10h x x a x h x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）得：212x x a >-，即122e e 2y y a+>>，即12e e 2y y +>． …………12分 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程22x y曲线C 2的一般方程为224x y +=． …………4分（Ⅱ）由曲线C 2：224x y +=，可得其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 因此设点P 的坐标为()2cos ,2sin αα，由题意可知(M ，(0,N ．因此PM PN +==， …………8分 ()214PM PN +=+．因此当sin 0α=时，()2PM PN +有最大值28，因此PM PN +的最大值为 …………10分（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3． …………2分又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2． …………5分 （Ⅱ）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|．设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5（当且仅当－3≤x ≤2时等号成立）得， g (x )的最小值为5． …………8分 从而，若存在实数x ，使不等式()()5f x f x m ++<成立，即g (x )min <m ，则m 的取值范围为()5,+∞． …………10分。

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】A【解析】试题分析：图中阴影部分表示的集合为(){}0,1UA B =ð,故选A. 考点：1.集合的图形表示；2.集合的运算.2. 已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q【答案】D选D.考点：1.复数的几何意义；2.复数的运算.3. 如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关 【答案】A考点：几何概型.4. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ）A ．45B ．50 C.55 D ．60【答案】D【解析】 试题分析：由表格可知，2456855m ++++==，所以 6.5517.550t =⨯+=，所以有 30405070505p ++++=，解得60p =，故选D. 考点：线性回归.5. 已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于c e a ====2.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 【答案】C考点： 双曲线的标准方程与几何性质. 6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133B ．35 C. 1043 D ．1074【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱柱去掉两个三棱锥，三棱柱的底面为底与高皆为4的等腰三角形，三棱柱的高为5，两个三棱锥的底面底与高皆为4的等腰三角形，高为1，因此几何体的体积为11110444524412323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ，故选C. 考点：1.三视图；2.多面体的表面积与体积.7. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ）3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．4【答案】B考点：1.数学文化；2.程序框图.8. 如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】D【解析】试题分析：由图象可知，函数1()tan ()2t f x x π==-，由此知此函数是由tan y x π=的图象向右平移12个单位得到的，由选项可知D 正确，故选D.看完考点：三角函数的图象与性质.9. 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ）A ．6B ．12 C. 4 D 【答案】B考点：1.球的切接问题；2.棱锥的体积.10. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积S =，则ab 的最小值为（ ）A ．12B ．13 C. 16D ．3 【答案】B【解析】试题分析：由2cos 2c B a b =+及正弦定理得2sin cos 2sin sin 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin C B A B B C B B C B C B =+=++=++，所以2sin cos sin 0B C B +=，又因为B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以1cos 2C =-，又1120,sin 2C S ab C =︒===，即3ab c =，由余弦定理可得 2222292cos 3a b c a b ab C ab ==+-≥，当且仅当a b =时等号成立，解此不等式得13ab ≥，即ab 的最小值为13，故选B. 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.基本不等式. 【名师点睛】本题综合考查解三角形与基本不等式，属中档题；利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．利用余弦定理主要解决已知两边及夹角求其它元素问题.11. 已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03x x x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．4) B．)+∞C. D．【答案】B考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．12. 已知直线y a =分别与函数1x y e+=和y =,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ） A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 【答案】D考点：导数与函数的单调性、极值、最值.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；利用导数求函数的最值是每年高考的重点内容，求函数在闭区间[,]a b 上的最值，先研究函数的单调性，若函数在该区间上单调，则两端点的值即为最值，若在区间上有极值，比较极值与两端点的值即可求其最值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若6(n x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.【答案】5考点：二项式定理.14. 已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆，则p 的值为__________.【答案】2【解析】 试题分析：抛物线的焦点为(,0)2p F ，准线为2p x =-，设00(,)A x y ，则02p AF x =+，又因为60AFM ∠=︒，00sin 60()22p y AF x =︒=+，所以001()282OAF p S OF y x ∆=⋅=+=082p x p =-，00)2p y x =+=，代入2002y px =得24882()2p p p p =-，解之得2p =或p =又当p =FA 与x 轴正方向的夹角为120，不符合题意，所以2p =.考点：抛物线的标准方程及几何性质.15. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.【答案】84【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生,①当有两所医院二人，一所医院一人时总数为22353333C C A A ⨯种，其中有甲、乙二人或丙、丁二人在同一组的有33334A A +种；②有两所医院分1 人另一所学校分三人有113223C C A .故满足条件的公法共有()223331135333322333484C C A A A C C A A ⨯-++=种方法. 考点：1.两个计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题考查两个计数原理与排列与组合，属中档题；涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．16. 若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1a ≤-考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．本题则是考查二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】(1) 12,32n n n a b n -==-；(2) ()3525n n T n =-⋅+.考点：1.n a 与n S 的关系；2.等差数列、等比数列的定义与性质；3.错位相减法求数列的和.【名师点睛】本题考查n a 与n S 的关系、等差数列、等比数列的定义与性质及错位相减法求数列的和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 18. （本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）39100；（2）列联表见解析,有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.（Ⅱ）根据以上数据得到如表：2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.…………………………12分 考点：1.古典概型；2.独立性检验.【名师点睛】本题考查古典概型与独立性检验，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的热点，高考命题角度主要有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.求2K 的观察值或已知观察值，判断命题的正确性. 19. （本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，111AC ，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（2）连接1AC ，在11AAC 中，11111,4C A A AC π∠=， 所以由余弦定理得2222111111111111112cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11110,0m A C m A B ∙=∙=，即1110x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量，所以cos ,2m n m n mn<>===⨯⨯， 平面111A B C 与平面1CB D考点：1.线面平行、面面平行的判定与性质；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用. 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>，圆22(2)(2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点P 到椭圆C .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.【答案】(1) 22184x y +=；(2)4⎤⎥⎝⎦.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值. 【答案】(1)0,1a b ==；(2)1m n +=-. 【解析】（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分 令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫''=-++==-+=- ⎪⎝⎭.当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10x h x e '=-<， ()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=，即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥，当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C上任一点，求222x y+的最小值，并求相应点M 的坐标.【答案】（120y --=,曲线C 的普通方程为224x y +=；（2）最小值为1，相应的点为M ⎛⎝⎭或1,⎛- ⎝⎭. ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩1.即当1,2M ⎛ ⎝⎭或1,2⎛-- ⎝⎭，222x y -+的最小值为1. 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.大陆架参数方程的应用. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围. 【答案】(1) 3a b +=；(2)132a <<.【考点】1.绝对值不等式的性质；2.函数与不等式.。

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+$，则p 的值为（ ） A ．45 B ．50 C.55 D ．605.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ） （参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长¼AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ） A ．26 B ．212 C. 24 D ．31210. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积1312S =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,4)B ．2,)+∞ C. 2,5) D ．3,2) 12.已知直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ）A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若6(n x x x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r与x 轴正方向的夹角为60o，若OAF ∆的面积为3，则p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点2)P 到椭圆C 6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题A D A D CC BD B BB D二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.1a ≤-三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.解：（1）()*11n n a S n N λ+=+∈Q ， ()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………2分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分()12,13132n n n a b n n -∴==+-=-.………………6分（2）()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分 （Ⅱ）根据以上数据得到如表：…………8分2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（1）取11A C 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄W Q 平面1111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ，GE ∴W 平面11ABB A ， 同理可得GE W 平面11ABB A ，…………2分 又GF GE G =I ，所以平面GEF W 平面11ABB A ， EF ⊂Q 平面GEF ，EF ∴W 平面11ABB A .…………4分 （2）连接1AC ，在11AAC V 中，11111,4C A A AC π∠=， 所以由余弦定理得2222111111111111112cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C I 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂Q 平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =u r ，则11110,0m A C m A B •=•=u r u u u u r u r u u u u r ，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =r为平面1CB D 的一个法向量，所以222222cos ,2113m n m n m n <>===⨯⨯++u r ru r r W u r r ，平面111A B C 与平面1CB D 22220.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,6,2F c PF c ==，…………1分 (2Q 在椭圆C 上，22421a b ∴+=，…………2分 由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.…………4分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，MAB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l的方程为：y kx =则直线2l的方程为：()()11221,,,y x A x y B x y k =-，由22184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()221240k x ++-=，所以12122412x x x x k -+=+，…………7分则12AB x -=，………………8分又圆心(Q到2l的距离1d <21k >，…………9分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d，即2d =10分所以MAB ∆面积212s AB d ==11分 令()2213,t k =+∈+∞，则110,,3S t ⎫⎛⎫∈=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，综上，MAB ∆面积的取值范围为4⎤⎥⎝⎦.…………12分21.解：（1）()()()()221221222x f x ax bx a b ax b e x x x x ⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦Q ()()2212322x ax a b x a e x x ⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分 ()00f a ∴==，又()010,1f a b b =-+=∴=.………………4分（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫=-++==-+=- ⎪⎝⎭. 当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=， 即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥， 当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分22.解:（1）由1x t =-，得1t x =-，代入2y =+，20y -=.由2p =，得2224,4p x y =∴+=.…………5分（2）,12x x C y y ⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩Q 的直角坐标方程为2214x y +=. ∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.222224cos cos 2sin 2cos 233x y πθθθθθ⎛⎫∴+=-+=++ ⎪⎝⎭ ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩时，上式取最小值1.即当M ⎛ ⎝⎭或1,M ⎛- ⎝⎭时，222x y +的最小值为1.…………10分 23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=.………………4分（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x Q 的对称轴为2a x a =-<， ()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数， ()g x ∴的最大值为()22223g a a ab a a =---=-+-，…………8分 2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<.………………10分。