第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得： 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy= -4 τxy = +2由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A zz A Aγσγ⋅⋅===⋅；所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：z z z E Eσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22z z z z z z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=ooooV ；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆===oV ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
试确定外法线为n i（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P v、正应力σn 及剪应力τn 。
第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。
现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。
虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。
三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。
应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。
2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。
平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。
在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。
在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。
t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。
在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。
上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。
图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。
应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。
第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。
但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。
实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。
因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。
即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。
⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。
或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。
下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。
⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。
并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。
当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。
因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。
（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。
