材料成形原理-第4章本构关系综述

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材料成形原理第4章

L
S
L
图从柱状枝晶的外生生长转变为等轴枝晶的内生生长
树枝晶形态：在液体内部自由形核生长，从自由能的角度看应该是球体。但为什么又成为树枝晶的形态呢？在近平衡状态下,多面体的棱角前沿液相中的溶质浓度梯度较大,其扩散速度较快；而大平面前沿液相中溶质梯度较小, 其扩散速度较慢；这样棱角处晶体长大速度大,平面处较小, 近于球形的多面体逐渐长成星形,从星形再生出分枝而成树枝状。宏观上，平面生长、胞状生长和柱状树枝晶生长都属于晶体自形壁生核，然后由外向内单向延伸的生长方式，称为外生生长。而等轴晶是液体内部自由生长的，称为内生生长。
热平衡方程导出：
GS S GLL vL
所以：
GS S GL L v L
式中 λS，λL — 固、液两相的导热系数； ρ，L — 合金的密度和结晶潜热。单相合金晶体生长中同时受到传热和传质过程的影响，要保持平界面生长方式，温度梯度要高，而生长速度要低。合金的性质也有影响，C0和愈大，k偏离1愈远，DL愈大，界面愈趋向于平面生长。
图
立方晶系枝晶的生长方向
a）小平面生长
b）非小平面生长
（2）枝晶间距取决于潜热的散热条件，即冷却速度一次枝晶间距：
d1 A1G
1 3
1/ 2 1/ 2 L
v
3
二次枝晶间距：或
d 2 A2 (ts )
1 3
1
d 2 A2 T GL R
1
3
枝晶间距指的是相邻同次枝晶之间的垂直距离。主轴间距为d1，二次分枝间距为d2，三次分枝间距为d3。在树枝晶的分枝之间，充填着溶质含量高的晶体，产生溶质偏析，导致材质或形成产品的性能降低。
非规则共晶：金属－非金属（非小平面－小平面）相非金属－非金属（小平面－小平面）相

塑性成形原理-本构关系

xy yz zx
1 2G xy 1 2G yz 1 2G zx
即：
' ' y x z' xy yz zx 1 ' ' ' x y z xy yz zx 2G
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x xy yz zx 2G
广义虎克定律改写为：
结论：在弹性变形中包括改变体积的变形和改变形状的变形。前者与球应力分量成正比，后者与偏差应力分量成正比。写成张量形式：
弹性变形时的应力应变关系的特点：
应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合。
弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程无关），应力与应变之间存在统一的单值关系。弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化，泊松比小于 0.5。
p 3 d P e ij' d ij d ij' 2 e d e 1 d ' 1-2 d ——Hook定律求微分 ij ij m ij 2G E
四、全量理论
简单加载，各应力分量按同一比例增加应力分量比例增加，中途不能卸载，因此加载从原点出发；应力主轴与应变主轴重合变形体不可压缩
2 2
2 2
6d xy 2 6 xy 2d 2
2
2
6d yz 2 6 yz 2d 2
6d zx 2 6 zx 2d 2
(d z d x ) ( z x ) d
等效应力和等效应变的关系
平面问题和轴对称问题讨论：P291
2、应力-应变速率方程

材料力学第四章本构关系

W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ，和称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数；伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切应力。由（20）可得
第四章本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材料性质联系起来的。力学量（应力，应力速率等）和运动学量（应变，应变速率等）之间的关系式称之为本构关系或本构方程。本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关系——广义胡克定律。

材料成型原理第四章答案.

第四章1．何谓结晶过程中的溶质再分配?它是否仅由平衡分配系数K 0所决定?当相图上的液相线和固相线皆为直线时，试证明K 0为一常数。

答：结晶过程中的溶质再分配：是指在结晶过程中溶质在液、固两相重新分布的现象。

溶质再分配不仅由平衡分配系数K 0决定，还受自身扩散性质的制约，液相中的对流强弱等因素也将影响溶质再分配。

当相图上的液相线和固相线皆为直线时K 0为一常数，证明如下：如右图所示：液相线及固相线为直线，假设其斜率分别为m L 及m S ，虽然C *S 、C *L 随温度变化有不同值，但L m S m L S m T T m T T C C K /)(/)(0****--===S L m m =常数，此时，K 0与温度及浓度无关，所以，当液相线和固相线为直线时，不同温度和浓度下K 0为定值。

2．某二元合金相图如右所示。

合金液成分为C B =40%，置于长瓷舟中并从左端开始凝固。

温度梯度大到足以使固-液界面保持平面生长。

假设固相无扩散，液相均匀混合。

试求：①α相与液相之间的平衡分配系数K 0；②凝固后共晶体的数量占试棒长度的百分之几?③凝固后的试棒中溶质B 的浓度沿试棒长度的分布曲线。

解：（1）平衡分配系数K 0 的求解：由于液相线及固相线均为直线不同温度和浓度下K 0为定值，所以：如右图，当T=500℃时，K 0 =**L C C α=%60%30=0.5 K 0即为所求 α相与液相之间的平衡分配系数. （2）凝固后共晶体的数量占试棒长度的百分数的计算:由固相无扩散液相均匀混合下溶质再分配的正常偏析方程)1(00-*=K L L f C C图 4-43 二元合金相图K 0＜1C 0K 0C 0/K 0T C *S C *L C 0C T *Tm代入已知的*L C = 60％ , K 0 = 0.5, C 0= C B =40%可求出此时的L f = 44.4％由于T=500℃为共晶转变温度,所以此时残留的液相最终都将转变为共晶组织,所以凝固后共晶体的数量占试棒长度的百分数也即为44.4％.（3）凝固后的试棒中溶质B 的浓度沿试棒长度的分布曲线 (并注明各特征成分及其位置)如下:3．在固相无扩散而液相仅有扩散凝固条件下，分析凝固速变大（R 1→R 2，且R 2＞R 1）时，固相成分的变化情况，以及溶质富集层的变化情况。

第四章塑性本构关系

一、理想材料的加卸载准则理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上，应力增量 d 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。 d 加载 f ( ij ) 0, 弹性状态
d
n
f ( ij ) 0, f df d ij 0 ij

（4-1）

其中张量写法：
G E / 2(1 )
ij 3 ij m ij 2G E
1 m kk 为平均正应力。 3
（4-2）
其中
本构关系
将三个正应变相加，得：
kk
3 1 2 m kk kk 2G E E
kk
(5 37)
对理想塑性材料，比例系数d要联系屈服条件来确定。 1 dw sij ( dsij d sij ) 2G 1 dJ 2 2 J 2 d dWe dW p 2G
进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。
e d ij d ij d ijp
（4-30）（4-31）（4-32）
由Hooke定律， d
e ij
d ij 2G

3 d m ij E
由Drucker公设，d d ij
p ij
其中为加载函数。塑性加载 d 0，中性变载或卸载时 0 时 d
e
注意到（5 - 5）式，We可表示为：
1 1 1 1 1 2 2 W J 2 G 2G 2 2 2 6G
e
本构关系
§4.2 Drucker公设
两类力学量外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。内变量只能根据一定的假设计算出来。关于塑性应变和塑性功的假设： 1、材料的塑性行为与时间，温度无关。

材料成形基本原理(上)复习总结

第一章1.液体与固体及气体比较的异同点2.长程无序是指液体的原子分布相对于周期有序的晶态固体是不规则的，液体结构宏观上不具备平移、对称性。

有序是指相对于完全无序的气体，液体中存在着许多不停“游荡”着的局域有序的原子集团3．如何理解实际液态金属结构及其三种“起伏”特征？答：理想纯金属是不存在的，即使非常纯的实际金属中总存在着大量杂质原子。

实际金属和合金的液体由大量时聚时散、此起彼伏游动着的原子团簇、空穴所组成，同时也含有各种固态、液态或气态杂质或化合物，而且还表现出能量、结构及浓度三种起伏特征，其结构相当复杂。

能量起伏是指液态金属中处于热运动的原子能量有高有低，同一原子的能量也在随时间不停地变化，时高时低的现象。

结构起伏是指液态金属中大量不停“游动”着的原子团簇不断地分化组合，由于“能量起伏”，一部分金属原子（离子）从某个团簇中分化出去，同时又会有另一些原子组合到该团簇中，此起彼伏，不断发生着这样的涨落过程，似乎原子团簇本身在“游动”一样，团簇的尺寸及其内部原子数量都随时间和空间发生着改变的现象。

浓度起伏是指在多组元液态金属中，由于同种元素及不同元素之间的原子间结合力存在差别，结合力较强的原子容易聚集在一起，把别的原于排挤到别处，表现为游动原子团簇之间存在着成分差异，而且这种局域成分的不均匀性随原子热运动在不时发生着变化的现象。

4．总结温度、原子间距（或体积）、合金元素或微量元素对液体粘度η高低的影响。

答：粘度η与温度T的关系受两方面（正比的线性及负的指数关系）所共同制约，但总的趋势随温度T而成反比。

下降。

粘度随原子间距δ增大而降低，与3合金组元或微量元素对合金液粘度的影响比较复杂。

通常，表面活性元素使液体粘度降低，非表面活性杂质的存在使粘度提高。

5.分析物质表面张力产生的原因以及与物质原子间结合力的关系。

答：表面张力是由于物体在表面上的质点受力不均所造成。

由于液体或固体的表面原子受内部的作用力较大，而朝着气体的方向受力较小，这种受力不均引起表面原子的势能比内部原子的势能高。

4-本构关系

x′ z′ z P (x, y, -z) z)
弹性对称面
O
y′
在新坐标下，由于弹性对称，在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变 {σ ′} = [C ]{ε ′} 但P点坐标和应力应变分量发生变化点坐标和应力应变分量发生变化
x′ y′ 0 1 0
T
z′ 0 0 -1
两坐标系三轴的方向余弦为
广义胡克（二. 广义胡克（Hooke）定律定律
受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关胡克定律）的启发，系（胡克定律）的启发，线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式 σ x = c11ε x + c12ε y + c13ε z + c14γ xy + c15γ yz + c16γ zx
正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9 材料弹性常数为产生正应力，切应变仅产生切应力。产生正应力，切应变仅产生切应力。工程上一般用三个弹性模量（），三个泊松工程上一般用三个弹性模量（Ex、 Ey 、 Ez ），三个泊松和三个切变模量（比（Poisson）（µxy、 µ yz、µ zx）和三个切变模量（Gxy、 Gyz、（ Gzx）表示。表示。煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹正交各向异性性体。性体。
弹性对称
弹性有个对向，称向，对称向上弹性性，力关系。称为弹性对称弹性对称。称为弹性对称。
弹性
弹性对称
向
相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向弹性对称面。弹性对称方向和相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴弹性主轴。垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。

《材料成型原理》教学大纲(金属凝固原理及塑性成形原理部分,基础知识点概括,考研必备)

§ 9–1 液态金属的脱氧先期脱氧（焊接）、预脱氧（熔炼）、沉淀脱氧、扩散脱氧、真空脱氧；各种脱氧原理的概念及优、缺点；锰、硅沉淀的脱氧的比较，温度、熔渣的性质对其脱氧效果的影响； § 9–2 液态金属的脱碳反应液态金属的脱碳精炼反应原理、目的及工艺原则； § 9–3 液态金属的脱硫液态金属的脱硫原理及脱硫效果的影响因素、目的及工艺原则； § 9–4 液态金属的脱磷液态金属的脱磷原理及脱磷效果的影响因素、目的及工艺原则；
小于 180o，所以，非均质形核功Δ G he 远小于均质形核功Δ G ho ，越小，Δ G he 小，夹杂界面
的非均质形核能力越强，形核过冷度越小； §3-4 晶体长大液-固界面自由能及界面结构类型、本质及其判据；晶体长大方式
第四章单相及多相合金的结晶
本章从凝固过程溶质再分配的规律谈起，着重讨论所涉及到的“成分过冷”条件及其对合金凝固组织的影响规律、单相固溶体合金及多相合金的凝固。并为后续章节的内容的讨论奠定基础。 §4-1 凝固过程中溶质再分配
《材料成型原理》教学大纲
总学时： 96→ 总学分： 6 一、课程的目的和任务《材料成型原理》是材料成形及控制专业主要的院定必修课之一。本课程的任务是对材料的凝固成形、塑性成形、焊接成形等近代材料成形技术中共同的物理现象、基本规律及各成形技术的基本原理、理论基础、分析问题的方法加以阐述，使学生对材料成形过程及原理有深入广泛的实质性理解，为后续的成形技术具体工艺方法、设备控制等课程的学习，为开发新材料及其成形技术、分析和解决成形过程中的质量缺陷问题奠定理论基础。二、本课程的基本要求 1. 了解液态金属和合金的结构、性质，掌握液态金属与合金凝固结晶的基本规律及结晶过程中的伴随现象，了解冶金处理对凝固组织与材料性能的影响。 2. 掌握材料成形过程中的物理、化学冶金现象及内部规律。 3. 掌握塑性成形力学基础理论、塑性成形过程中的分析方法与原理。三、与其它课程的联系与分工本课程的理论基础是数学、物理、物理化学、冶金传输原理、工程力学、金属学与热处理。本课程重点在于阐述成形技术的理论基础、基本原理、分析问题的方法，而不涉及具体成形工艺方法及参数。各种具体的成形工艺方法、原理过程及控制等将在后续专业课程中学习。四、课程内容与学时分配章次一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五十六十七十八十九内容绪论液态金属的结构和性质凝固温度场金属凝固热力学与动力学单相及多相合金的结晶铸件宏观组织及其控制特殊条件下的凝固与成形液态金属与气相的相互作用液态金属与渣相的相互作用液态金属的净化与精炼焊接热影响区的组织与性能凝固缺陷及控制粉末冶金原理金属塑性成形的物理基础应力分析应变分析屈服准则材料本构关系金属塑性变形与流动问题塑性成形力学的工程应用总学时数 2 4 6 4 4 2 4 4 4 4 4 12 4 4 6 4 3 8 4 9 课堂讲授学时数 2 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 8 4 4 6 4 3 6 2 9 2 2 4 2 实验时数

材料成型基本原理完整版

第一章：液态金属的结构与性质1雷诺数Re：当Re>2300时为紊流，Re<2300时为层流。

Re=Du/v=Duρ/η，D为直径，u 为流动速度，v为运动粘度=动力粘度η/密度ρ。

层流比紊流消耗能量大。

2表面张力：表面张力是表面上平行于切线方向且各方向大小相同等的张力。

润湿角：接触角为锐角时为润湿，钝角时为不润湿。

3压力差：当表面具有一定的曲度时，表面张力将使表面的两侧产生压力差，该压力差值的大小与曲率半径成反比，曲率半径越小，表面张力的作用越显著。

4充型能力：充型过程中，液态金属充满铸型型腔，获得形状完整轮廓清晰的铸件的能力，即液态金属充型能力。

5长程无序、近程有序：液体的原子分布相对于周期有序的晶态固体是不规则的，液体结构宏观上不具备平移、对称性，表现出长程无序特征；而相对于完全无序的气体，液体中存在着许多不停游荡着的局域有序的原子集团，液体结构表现出局域范围内的近程有序。

拓扑短程序：Sn Ge Ga Si等固态具有共价键的单组元液体，原子间的共价键并未完全消失，存在着与固体结构中对应的四面体局域拓扑有序结构。

化学短程序：Li-Pb Cs-Au Mg-Bi Mg-Zn Mg-Sn Cu-Ti Cu-Sn Al-Mg Al-Fe等固态具有金属间化合物的二元熔体中均有化学短程序的存在。

6实际液态金属结构：实际金属和合金的液体由大量时聚时散、此起彼伏游动着的原子团簇空穴所组成，同时也含有各种固态液态和气态杂质或化合物，而且还表现出能量结构及浓度三种起伏特征，其结构相对复杂。

能量起伏：液态金属中处于热运动的原子的能量有高有低，同一原子的能量也在随时间不停的变化，时高时低，这种现象成为能量起伏。

结构起伏：由于能量起伏，液体中大量不停游动的局域有序原子团簇时聚时散，此起彼伏而存在结构起伏。

浓度起伏：游动原子团簇之间存在着成分差异，而且这种局域成分的不均匀性随原子热运动在不时发生着变化，这一现象成为浓度起伏。

材料成型第四章课程PPT课件

9
❖ （三）压制成形
❖ 1、钢模压制：指在常温下，用机械式压力机或液压机，以一定的比压将钢模内的松装粉末成形为压坯的方法。
❖ 2、流体等静压制：利用高压液体同时从各个方向对粉末材料施加压力而成形的方法。
❖ 3、三向压制：综合了单向钢模压制和等静压制的特点。这种方法得到的压坯密度和强度超过用其他成形方法得到的压坯。它它适用于成形形状规则的零件，如圆柱形、正方形、长方形等。
3
❖ 一、粉末冶金发展现状 ❖ （一）粉末冶金产业发展现状
现代粉末冶金产业主要起源于20世纪初。
❖ （二）粉末冶金技术发展现状
4
❖ 二、粉末压制成形过程
❖ 粉末压制是用金属粉末做成原料，经压制成形后烧结而制造各种类型的零件和产品的方法。其特点是：
❖ 1、能够生产出其他方法不能或很难制造的制品。
16
❖ （三）多孔性材料及摩擦材料
❖ 1、多孔性材料
❖ 多孔性材料制品有过滤器、热交换器、触媒以及一些灭火装置等。过滤器是最典型的制品，主要用来过滤燃料油、交换空气、以及化学工业上过滤液体与气体等。常使用的粉料有青铜、镍、不锈钢等。
❖ 2、摩擦材料
❖ 摩擦材料用来制作刹车片、离合器片等，用于制动与传递扭矩。
第四章
粉末压制和常用复合材料成形过程
1
❖ 美国金属粉末工业联合会（MPIF）将粉末冶金定义为：
❖ 制造金属（或无机非金属）粉末和利用金属（或无机非金属）粉末生产大块材料和一定形状零件的方法。
❖ （The arts Of producing metal powders and Of the utilization Of metal powders for the production of massive materials and shaped objects）。

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s
s k2
适合于经过较大的冷变形量之后，并且其加工硬化率几乎不变的金属材料
O

材料弹性本构关系

广义虎克定律
1 x [ x ( y z )]; E 1 y [ y ( z x )]; E 1 z [ z ( x y )]; E
O

等效应力——等效应变简化模型

幂指数硬化材料模型幂指数硬化材料模型的数学表达式为

n=1 k n = 0.3 n=0 理想刚塑性线弹性
k
n
k为强度系数或者称为强化（硬化）系数 n为硬化指数，0<n<1 适合于大多数金属材料可以简化为线弹性模型和理想刚塑性模型
O

等效应力——等效应变简化模型

增量本构理论又称为流动理论
材料增量塑性本构关系

Levy—Mises理论
材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总应变增量；材料服从Mises屈服准则，即 s ；塑性变形时体积不变，即应变增量张量就是应变增量偏张量；
在以上假设基础上可假设应变增量与应力偏张量成正比
理想弹塑性材料模型理想刚塑性材料模型幂指数硬化（强化）材料模型刚塑性非线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型刚塑性线性硬化材料模型

等效应力——等效应变简化模型

理想弹塑性材料模型理想弹塑性材料模型的特点是应力达到屈服应力前，应力与应变呈线性关系，应力达到屈服应力之后，保持为常数
应力与应变之间是线性关系
材料增量塑性本构关系

在塑性变形范围内，材料应力与应变的关系是非线性的，与加载历史或应变路径有关。因此用增量理论近似地描述加载历史和复杂的应变路径由于塑性变形比较复杂，历史上有许多学者提出了各种不同的本构理论应用广泛的有Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss 理论

刚塑性硬化材料模型刚塑性非线性硬化材料模型的数学表达式为

k1和m与材料性能有关 s 的参数
适合于预先经过冷加工的金属材料。材料在屈服前为刚性的，屈服后硬化曲线接近于抛物线
s k1
m
刚塑性非线性硬化
理想刚塑性
O

等效应力——等效应变简化模型

弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型的数学表达式为
实验结果表明，按不同应力组合得到的等效应
力——等效应变曲线基本相同

通常可以假设，对于同一种材料，在变形条件
相同的条件下，等效应力与等效应变曲线是单
一的，称为单一曲线假设

可以采用最简单的实验方法来确定材料的等效应力——等效应变曲线
材料塑性本构关系

常用实验方法有三种
P P
P
P
P
P
单向拉伸实验单向压缩实验
d d ij ij
d—正的瞬时比例系数，在加载的不同瞬时是变化的，在卸载时 d=0
材料增量塑性本构关系

Levy—Mises理论
d 的展开式为 d ij ij
2 1 d x 3 d[ x 2 ( y z )]; 2 1 d y d[ y ( z x )]; 3 2 d 2 d[ 1 ( )]; z z x y 3 2 d xy d xy d yz d yz d zx d zx
平面应变压缩实验
等效应力——等效应变简化模型

简单拉伸的名义应力——名义应变曲线

B
名义应力
D C
A
O
名义应变

等效应力——等效应变简化模型

简单拉伸的真应力——真应变曲线

B
名真义应应力力
D C
A
O
名义应变真应变

等效应力——等效应变简化模型

简单拉伸的真应力——真应变曲线
材料塑性本构关系

材料塑性应力与应变关系称为材料塑性本构关系，其数学表达式称为本构方程，也称为物理方程材料塑性变形时，应力不仅与应变有关，还与材料变形历史、组织结构等因素有关材料塑性变形时的应力与应变关系，可以归结为等效应力与等效应变之间的关系

f ( )
材料塑性本构关系

强化变形硬化变形理想塑性变形
真应力
弹性变形
真应变

等效应力——等效应变简化模型

一般由实验得到的真应力——真应变曲线（等效应力——等效应变曲线）比较复杂，不能用简单的函数形式来描述，在应用方面也不方便。因此通常都将实验得到的曲线处理成可以用某种函数表达的形式主要等效应力——等效应变简化模型
材料增量塑性本构关系

Levy—Mises理论正应变增量两两相减，并将切应变的表达式一起写出
d x d y d ( x y ); d y d z d ( y z ); d d d ( ); x z x z

当 e s E s E1 ( e ) 当 e
E1为塑性模量
适合于弹性变形不可忽略，且塑性变形的硬化率接近于不变的材料。例如合金钢、铝合金等
O e

等效应力——等效应变简化模型

刚塑性线性硬化材料模型如果弹性变形可以忽略，材料的硬化认为是线性的。其数学表达式为
yz zx xy
yz
2G
zx
2G
xy
2G
E—弹性模量；—泊松比；G—剪切模量
E G 2(1 )
材料弹性本构关系

Байду номын сангаас
广义虎克定律的张量表达式
1 1 2 ij ij m ij 2G E 1 i j 时 ij 0 i j 时

s
当 e E s E e 当 e 适合于应变不太大，强化程度较小的材料
O e

等效应力——等效应变简化模型

理想刚塑性材料模型理想刚塑性材料模型的特点是忽略材料的强化和弹性变形，数学表达式为

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适合于热加工和超塑性的金属材料

材料成形原理-第4章本构关系综述

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