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工程塑性理论(本构关系)

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材料工程塑性理论(本构关系)

材料工程塑性理论(本构关系)

L
d
p i
用来描述硬化程度
i
H(
L
d
p i
)
对上式求导，有：
H
di
d
p i
d 3dip 3di 2i 2iH
等效塑性应变总量：沿应变路径累积
Levy-Mises方程：
d ij
d ij '
3d i 2 iH
ij
'
Levy-Mises硬化材料本构方程
d x
3d i 2 iH
x
dy 23diHi y
d z
3d i 2 iH
z
d ij
3d
2
i
iH
ij
4. 全量理论（形变理论）
Hencky 全量理论，1924 应力偏量分量与塑性应变偏量分量（不含弹性部分）应相似且同轴：
p x
p y
p z
p xy
p yz
p zx
' x
' y
' z
xy
yz
zx
或
ij
' ij
物理概念： 1）塑性应变全量与应力主轴重合 2）塑性应变全量的分量与应力偏量分量成比例
dij d ij
Note:（1）已知应变增量分量且对于特定材料，可以 求得应力偏量分量或正应力之差 ，但一般不能求出正 应力的数值 ，因为这时平均应力未知。 （2）已知应力分量，能求得应力偏量，但只能求得应 变增量的比值而不能求得应变增量的数值（对于理想 塑性材料）。理想塑性材料应变分量的增量与应力分 量之间无单值关系（很多解），dλ不是常数。 （3）若两正应力相等，则由于应力偏量分量相同，相 应的应变增量也相同，反之亦然。 （4）若某一方向的应变增量为零，则该方向的正应力 应等于平均应力。

第4章 塑性应力应变关系(本构方程)

第4章 塑性应力应变关系(本构方程)

强化材料卸载：
f ( ij ) 0,
f df d ij 0 ij
4.3 增量理论
在塑性变形时，全量应变和加载历史有关，要建立普遍的全量应变与应力 之间的关系是很困难的，所以主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系 。这种关系叫做增量理论，其中包括：密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程 。前两者适用于理想刚塑性材料，后者适用于弹塑性材料。
x

y 4G2 x y
2
2
2 2 6 xy 4G 2 xy 6
2 2 2 2 2 2 xy yz xz 等式左边为： x y y z z x 6
1 等效应力为：
1 i 2 1
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy 2 2 2
则等效应变与弹性应变强度关系为： 当 =0.5 时
3 i = 2(1 )

i
弹性应力应变关系特点： 1.应力与应变成线性关系 2.弹性变形是可逆的，应力应变关系单值对 应 3.弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化;物体形状的改变只是由应力偏张量引 起的。 4.应力主轴与应变2G
同理可得：
y m
1 - E 1 - E
x
z m z
m


1 y y 2G
1 z z 2G

m
x

1 x 2G
1 y y 2G 1 z z 2G
d
2 2 2 x d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d xz 2 2 2

弹塑性_塑性力学基本方程和解法

弹塑性_塑性力学基本方程和解法

在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k

第三章 塑性状态下的本构关系

第三章 塑性状态下的本构关系
⎧d ε p1 = (σ 1 − σ m ) ⋅ d λ ⎪ p ⎨d ε 2 = (σ 2 − σ m ) ⋅ d λ ⎪ p ⎩d ε 3 = (σ 3 − σ m ) ⋅ d λ
（3.26）
同济大学水利工程系
李遇春编
由（3.26）式得：
( dε
p 1
2 2 2 − d ε p 2 ) + ( d ε p1 − d ε p 3 ) + ( d ε p 2 − d ε p 3 ) = ( d λ ) ⎡ ⎣(σ 1 − σ 2 ) + (σ 1 − σ 3 ) + (σ 2 − σ 3 ) ⎤ ⎦ 2 2 2 2
复杂应力状态
同济大学水利工程系
李遇春编
′+ + σ s′− = 2σ s 单向应力状态 σ s
复杂应力状态
f * (σ ij ) − c = 0
（初始屈服面）
m ) − c = 0 （后继屈服面） f * (σ ij + σ ij
m ：应力位移 σ ij
， c 不变。见图 3.9,屈服面作平移，位置改变，大小与形状不变。
N
d ε p ij
（塑性应变）
2 产生塑性变形为 d ε 过程○
p ij
，其塑性功为： (σ ij + dσ ij − σ ij )d ε
o
p ij
o = (σ ij − σ ij )d ε p ij
若
塑性功满足下式：
同济大学水利工程系
李遇春编
o (σ ij − σ ij )d ε p ij = dσ ij d ε p ij ≥ 0
⇓
平均弹性正应变增量
dsij deeij
= 2G

塑性理论2

塑性理论2
p
(20) (21)
2 d i （d 1p d 2p ) 2 （d 2p d 3p ) 2 +(d 3p d 1p ) 2 3
式(19)说明d 是由塑性变形过程中某瞬时 i 和 i 来确定。对于 理想刚塑性材料，式中的 i = s 将式（19）代入（17），得
一、Drucker公设
1. 稳定材料和不稳定材料. 材料的拉伸应力应变曲线可能有: ， 0 应变都增 加 0 ，材料是硬化的。 在这一变形工程中， 附加应力在应变增量上作正功，这种特性的材料被称为稳定材 料或硬化材料。 b 、 c 所示，应力应变曲线在过D点以后， 应变增加，应力减 小，存在 0 ，此时应力增量作负功， 这种特性的材料 被称为材料不稳定或软化材料
f d ij 2[(2 1 2 3 ) d 1 (2 2 1 3 ) d 2 ij (2 3 2 1 ) d 3 ] 从
(0) ij
f ， d ij = 8 104 MPa，为卸载； ij
塑性本构关系
塑性本构关系即塑性力学中应力与应变之间的关 系，即本构关系，建立的方程称为本构方程或物性方 程。由于塑性变形规律的复杂性， 到目前为止这个塑 性本构关系问题还没有得到满意的解决。经典塑性本 构关系的理论分为两大类: 增量理论：建立了应力偏量与应变偏量间的正比关系； 全量理论：也叫形变理论，它建立了应力与应变全量 间的关系。
1870年St-Venant就提出，在塑性应变时，应力主轴与 应变增量主轴相重合的见解，并发表了应力分量与 应变速率分量成正比的等式关系。1871年Levy提出 了应力与应变增量的比例关系。直到1913年Mises独 立提出了与Levy相同的塑性变形方程，才形成了著 名的Levy-Mises(莱维-米泽斯)增量理论的本构方程。

第十七章 塑性应力应变关系(本构关系)

第十七章 塑性应力应变关系(本构关系)

• 广义胡克定律的比例式：
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x xy yz zx 2G
弹性应力应变关系的特点
• 应力与应变完全呈线性关系，应力主轴与应变主 轴重合。 • 弹性变形是可逆的，应力与应变单值对应。 • 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化， 泊松比υ＜0.5

' y

z

' z

xy
xy

yz
yz

zx
zx
d
d 3 2

x y
z x d x y y z z x 1 2 2 3 3 1 d 1 2 2 3 3 1
• 流动理论是描述材料处于塑性状态时，应 力与应变增量或应变速率之间关系的理论。 该理论针对是加载过程的任一瞬间，认为 应力状态确定的不是全量应变，而是该瞬 时的应变增量，从而撇开了加载路线和加 载历史的影响。
Levy—Mises方程
' ' ij ij d
x

' x

y
第五节 塑性应力应变关系（本构关系）
• 一、弹性应力应变关系———Hooke’s Law 对于各向同性材料，有广义虎克定律：
1 1 x y z ; xy xy E 2G 1 1 y y x z ; yz yz E 2G 1 1 z z x y ; zx zx E 2G
• 弹塑性
塑性应变

塑性本构方程


这是七个方程
1 2 ii ii E
1 eij Sij 2G
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入等效应力的表达式 就可以得到下面的第二式, 然后有 G / 3 再代回上面第 一式得到下面的第二式. 3 • 所以也可写成如下形式 eij Sij 3G 2 • 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
O

0 O 0

O
0

a 所示的材料,随加载应力,应变都增加,材料是硬化的. 在这
一变形工程中,附加应力在应变增量上作正功,这种特性的材料 被称为稳定材料或硬化材料. b 所示,应力应变曲线在过D点 以后, 应变增加,应力减小,此时应力增量作负功, 这种特性的材 料被称为材料不稳定或软化材料. c 所示,与能量守恒矛盾,所 以不可能.
d d p 0


ij
ij

ij
d ij d ijp 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
Drucker公设在塑性力学中有 重要意义.
3. 屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性 •我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积. 0 p 0 p n d d ij ij ij ij ij ij cos 0 C d p ij 0 A0 A AC cos 0 图示即 ij ij

工程塑性理论应力应变关系


2
E
m
y
m
1 E
y
z
x
1 2
E
m
z
m
1 E
z
x y ｛｝
1
2
E
m
x m , y m ,
x y
x m , y m ,
xy y z
xyzymmmm
,
z z m
z
z
m
Gz 2z1Em
x
1 2G
x
,
y
1 2G
y
,
z
1 2G
z
,
xy
yx
1 2G
xy
即应变增量张量就是应变增量偏张量。
在上述假设基础上，可假设应变增量与 应力偏张量成正比，即
d ij ij d
d x d y d z d xy d yz d zx d x m y m z m xy yz zx
式中：dλ—正的瞬时常数，在加载的不同 瞬时是变化的，在卸载时，dλ=0。
d ij ij d
d x x m d
x
x
y
3
z
d
2 3
d
x
1 2
y
z
d x
2 3
d
x
1 2
y
z
,
d y
2 3
d
y
1 2
z
x ,
d z
2 3
d
z
1 2
x
y
,
d xy
xy
d
d yz yzd
d zx zx d
将上式正应变两两相减，并写出切应变公式：
yz
2G
zx

塑性力学-塑性本构关系

第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论（形变理论）：在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。

Il’yushin(伊柳辛)理论。

•增量理论（流动理论）：在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。

Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。

3-5 全量理论的适用范围简单加载定律变形：小变形加载：简单加载适用范围：物体内每一点应力的各个应力分量，在加载过程中成比例增长简单加载：()0ij ijt σασ=0ijσ非零的参考应力状态()t α随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点：应力和应变的主方向都保持不变应力和应变的主分量成比例增长应力Lode参数和应力Lode角保持常数应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下，判断简单加载的条件：荷载按比例增长（包括体力）；零位移边界材料不可压缩应力强度和应变强度幂函数关系m i iA σε=实际应用：满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6 卸载定律卸载：按照单一曲线假设，应力强度减小•外载荷减小，应力水平降低•塑性变形发展，应力重分布，局部应力强度降低简单卸载定律：•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载，按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量塑性本构关系的基本要素•初始屈服条件–判断弹性或者塑性区•后继屈服条件–描述材料硬化特性，内变量演化•流动法则–应变增量和应力以及应力增量之间的关系，包括方向和分配关系Saint-Venant(1870):应变增量和应力张量主轴重合•继承这个方向关系•提出分配关系()0ij ij d d S d ελλ=≥应变增量分量和应力偏量分量成比例Levy-Mises 流动法则(M. Levy,1871 & Von Mises,1913)适用范围：刚塑性材料3-7 流动法则－－Levy-Mises & Prandtl-Reuss。

第十一章塑性本构关系


其中：k

E
31 2


0

2 3

-体积模量
§11-2 加卸载判别准则
一、理想弹塑性材料
屈服面
当 d ij 与屈服面相切时，为加载，这时可发生 任意的塑性变形。当d ij 指向屈服面内时，则 为卸载，此时不产生新的塑性变形。
f ij 0, f ij dij 0 加载

,


E
2 1

8
当ξβ固定时，（3）式
11

1 E
11

22
33 ,23

1
E

23

化为应力率与应变率之 间的弹性关系：
11

1 E
22

33
11 ,31

1
E
31
rp
s
0 r rp
s rp r R
卸去的应力： （按弹性计算） e M pr
Mp

2R3 s
3

1
1 4

rp R

I
3
p

4r s
3R

1
ijp ，相应的应力为

3
ij


2
ij
ij
。最后，
再通过某一弹性卸载路径使应力由

3回到初值
ij

4
ij


1
ij
，此段材料未产
生新的塑性变形。
得不等式：

2
ij
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2
R0 R90 1 R0 1 R90
x h y k2 2
2 2 p xy
2
a 22
c 2a
h R0 1 R90 1 R0 R90
参数p隐函数，通过迭代方法（代数方程数值解）
r
2m sm x y
（a）
弹性应变增量
e ij
e ，服从虎克定律 d ij
1 1 2 d d ij d m ij 2G E
（b）
（a）+（b），及Prandtl-Reuss方程
1 1 2 d ij d ij d ij d m ij 2G E
d ij 或 d ij 1 d ij 2G
弹性变形时任意应力状态下等效应力与等效 应变关系
用应力差与应变差成比例的形式表示为：
1 2 2 3 3 1 E 2G 1 2 2 3 3 1 1
1 2 2 3 3 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1
超塑性锻造
板料（管） 各向同性 成形 厚向各向异 性 各向异性 模具 线弹性 各向异性弹性 Prandtl方程 （弹塑性） Mises
刚粘塑性模型
(1)幂函数硬化 (2)拉伸数据
k,n K, n, r
K, n, r0, r45,r90
Hill
LS-dyna 37#
Barlet-Lian
LS-dyna 36#
1.44
1.51
1.50
1.47
1.43
1.42
2、各向异性材料（Barlat-Lian）本构关系 （LS-Dyna 36＃材料模型）
ak1 k2 a(k1 k2 ) c(2k2 ) 2
m m m
对于面心立方材料：m=8, 体心立方材料, m=6
k1
m s
x h y
G
E 2(1 )
用主应力、主 3 E 1 2 2 3 1 E 1 3 3 1 2 E

弹性本构关系：本构方程 塑性本构关系：（1）本构方程；（2）屈服条 件；（3）硬化条件（应力－应变关系曲线）
本构关系是材料物理性质，取决于材料本身, 与应力状态无关

2、加载方式
简单加载：各应力分量按比例增大，应力主轴方向保持不变
ij
o ij
η—常数或单调增量函数
复杂加载：应力分量之间无一定关系，应力主轴方向变化
4、全量理论
1 1 2 3 2 i 1 2 2 3 1 i 2 i 1 3 3 1 2 i 2
1 i i
i A(B i )n
第三节、增量理论
1、Levy-Mises增量理论
（1）材料为理想刚塑性，服从Mesis 屈服准则 （2）应变增量主轴与应力主轴重合 (3) 应变增量与应力偏量成比例
d ij d ij '
塑性变形体积不变，只有形状的变化 塑性应变增量就是总的应变增量
（2）非线性
xy
D B P
A
C
σ
x
（3）依赖于加载路径（应力状态不仅与应力状态有关，而 且与加载路径或历史有关）
硬化材料的塑性变形量完全取决于第一 次到达加载曲面时的应力状态。必须以加载为 前提，立足于每一加载瞬间，来建立塑性变形 时的应力应变关系。换句话说，建立塑性变形 时的应力应变关系必须考虑加载历史。
3、加载准则（条件）
单向应力状态： d 0 加载，塑性应力应变关系 d 0 卸载，服从弹性规律 d 0 载荷不变，应变值不变 塑性变形功
dw p 0 dw p 0
复杂应力状态： id i 0 加载
id i 0
id i 0
卸载
i 不变） 中性变载（应力分量可能变化，
应力偏量与应变偏量关系
1 m 2G 1 m
2 m 2G 2 m 3 m 2G 3 m
ij ' 2G ij '


应力偏量与应变偏量成正比 形状的变化是由应力的偏张量引起的
1
定义迭代函数，用45度方向r值，求其数值解
g ( p)
2m s2 x y
1 r450
圆形件拉深（凸耳现象）
厚向各向异性（37＃）
各向异性（36＃）
3、可压缩材料（粉末材料）本构关系
2 2 F AJ BJ C 屈服准则（函数） 2 1 S 0 J 2 -应力偏量第二不变量
平面应力状态下（板料成形），Hill正交异性屈服准则：
1 2r i [ 2 1 2 ]2 s r 1 2 1 2
r 2r45 r90 r 0 4
B r t
Levy-Mises增量理论：
d1 d i
i
( 1
r 2) 1 r
r d 2 ( 2 1) i 1 r
E E1, E2, E3
3 1 2 4
B B
T
不锈钢和碳钢应力应变关系曲线
1Cr18Ni9Ti
600
SUS304
500
stress MPa
400
300
STKM13B（日本）碳钢
200
100
0 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
Strain
铝合金硬化曲线随温度变化
0.15 120
（2）双线性硬化模型
E tg
硬化模量： E1
tg
塑性：
i E i
E E1 100 0 i
i s E1( i s ) i
（3）幂函数硬化模型 多数金属材料，最常用
i K in
n值：板料成形重要参数，抗拉伸失稳能力 钢：n=0.22-0.24 不锈钢：n=0.3-0.4 （4）swift模型
4、硬化条件（单一曲线假设）
单向拉伸/压缩：应力-应变曲线
( )
加载点A：屈服应力 A ( A ) 含义：硬化材料 屈服应力随变形程度而提高， 且为瞬态应变函数。
复杂应力（二维、三维）， i s 达到屈服，硬化后 等效应力 i 提高， i 与等效应变 i
1 2 d m d m E
由于考虑了弹性变形，引入了球张量，已知 d ij 求出 ij 对于硬化材料，变形过程每瞬时
d
为定值， d ij 与 ij
完全单值关系
3、硬化材料的增量理论
在复杂加载条件下，等效塑性应变总量

L
d i p
i H d i
L
p
d i H p 切线模量 d i
x
1
1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E
3
xy
1 XY G
. . . .
1 [ 3 ( 1 2 )] E
材料常数E， 钢：E 210GPa 铝：E 70GPa 0.3
Material: 5A02 Condition: Cold drawing Size: Φ65×1.5mm
镁合金硬化曲线随温度变化
Engineering Plasticity 工程塑性理论
塑性本构关系
苑世剑
2005年12月
2005级硕士研究生
第一节、弹性本构关系
第一节、弹性本构关系
1、单向应力
E
2、各向同性材料——虎克定律
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( z x )] E 1 z [ z ( x y )] E
1）简单加载 2）小塑性变形（塑性变形数量 与弹性变形相当） n 3）硬化材料 i K i 或理想弹 塑性材料
1924年 Mesis提出增量理论 1943年 依留申提出全量理论
第四节
各向异性材料和可压缩材料增量理论
1、正交各向异性材料（LS-Dyna 37＃材料模型）
板料/管材成形考虑各向异性（r值） 各向异性扎制加工过程成形
体积应变与平均应力（静水压、应力球张量） 关系 1 2 1 2 3 1 2 3 E
式中
1 2 3 3 m
1 2 m m E
——体积变化率
1 2 3 3 m——三倍的平均应力
所以，体积的变化率与平均应力成正比
J1
应力张量第一不变量
A、B、C-材料孔洞体积分数
F ij ij
本构方程：
3 1 1 ij ij kk ij 3 A 18B
B , A 1 不可压缩材料
第五节、材料模型选择
工艺 体积 成形 冷成形 等温成形 材料模型 本构方程 Levy-Mises 方程 （忽略弹性变形） 屈服条件 Mises 硬化条件 刚塑性（硬化） 理想刚塑性（硬化） 提供参数
3、弹性应力应变关系特点 1) 线性 2) 单值 3) 可逆 4) 应力主轴与应变主轴重合 5) 体积变化（平均应变）与静水应力成比例 6) 应变偏量与应力偏量成比例 7) 单向拉伸时的应力应变关系可以适应（推 广）任意应力状态
第二节、塑性本构关系特点与基本概念
1、塑性变形应力应变关系的特点