均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布

所以 X 的分布律为
X pk
3
0 .1
4
0 .3
5
0 .6
例4、 向[0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标. 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间 长度成正比，求 X的分布函数. 解：F x P { X x } 当 x 时 0,
F x 0 ;
1, 当 x 时
F A B 0 1 1 2 A B 2 A F B 1 2
1 1 所以 F r c t a n x x a 2

例2. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 F ( x )
X
pk
0 1 3
1
2
1 2
1 6
F ( x ) P { X x } 解:
F x 1
当0 时 , x 1
F ( x ) P { X x } P { 0 X x } kx
特别,令 x 1, P k 1 { 0 X 1 } k 1 1
, x0 0 F (x ) ＝ P { X x } ＝ , 0x1 x 1 x1 ,
F ( x ) F ( x ) P { X x } 2 1 1
同理，还可以写出 P P { x X x } { x X x }, 1 2 1 2
二、分布函数的性质
，则 F ⑴ 单调不减性： ( x ) F ( x ) 若 x 1 2 1 < x2
F ( x ) 1，且 F ( ) l i m F () x 0 , ⑵ 0
一般地，设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X x } p , k 1 , 2 , 3 , k k

常见的几种分布函数概率论中，分布函数（distribution function）是描述随机变量取值的概率分布的函数。

常见的几种分布函数包括离散型分布函数、连续型分布函数以及混合分布函数。

1. 离散型分布函数离散型分布函数是指随机变量在有限或可数个点上取值的分布函数。

离散型分布函数的特点是其概率质量函数只在有限或可数个点上取值，或者说离散型分布函数所描述的随机变量的取值是离散的。

比较常见的离散型分布函数有：- 二项分布函数：二项分布函数是描述n个独立的、相同概率的随机试验中成功的次数的分布函数。

- 泊松分布函数：泊松分布函数是描述一定时间间隔内一个随机事件发生次数的分布函数。

- 几何分布函数：几何分布函数是描述进行一系列独立的、相同概率的实验，成功的次数需要进行多次才能得到的情况的分布函数。

2. 连续型分布函数连续型分布函数是指随机变量的取值范围为连续区间的分布函数。

连续型分布函数所描述的随机变量的取值是连续的。

比较常见的连续型分布函数有：- 正态分布函数：正态分布函数又称高斯分布函数，是一种描述随机变量分布最为常用的分布函数之一。

- 均匀分布函数：均匀分布函数是描述随机变量在一定区间内取值时等概率分布的分布函数。

- 指数分布函数：指数分布函数是描述随机变量取值时间间隔的分布函数。

3. 混合分布函数混合分布函数是指一个随机变量可以同时满足两种或两种以上的分布函数时的情况。

比较常见的混合分布函数有：- 混合正态分布函数：混合正态分布函数是指由多个正态分布函数混合而成的分布函数。

- 混合伯努利分布函数：混合伯努利分布函数是指由多个伯努利分布函数混合而成的分布函数。

总之，分布函数是描述随机变量的 one-stop-shop，而离散型、连续型和混合型都是这一目的下的不同实现方式。

不同的分布函数有不同的特点和应用场景，选择合适的分布函数是进行概率论研究和应用的前提。

数学期望：随机变量最根本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

又称期望或均值。

它是简单算术平均的一种推广。

例如*城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为*，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(*)=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：1、一个完全符合分布的样本2、这个样本的方差概率密度的概念是：*种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。

比方*地*次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知*=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。

下列图为概率密度函数图(F(*)应为f(*)，表示概率密度)：离散型分布：二项分布、泊松分布连续型分布：指数分布、正态分布、*2分布、t分布、F分布二项分布〔binomial distribution〕：例子抛硬币1、重复试验〔n个一样试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验〕2、P(*=0), P(*=1), P(*=3), ……….所有可能的概率共同组成了一个分布，即二项分布泊松分布〔possion distribution〕：1、一个单位〔时间、面积、空间〕*稀有事件2、此事件发生K次的概率3、P(*=0), P(*=1), P(*=3), ……….所有可能的概率共同组成了一个分布，即泊松分布二项分布与泊松分布的关系：二项分布在事件发生概率很小，重复次数n很大的情况下，其分布近似泊松分布均匀分布(uniform distribution)：分为连续型均匀分布和离散型均匀分布离散型均匀分布：1、n种可能的结果2、每个可能的概率相等(1/n)连续型均匀分布：1、可能的结果是连续的2、每个可能的概率相等()连续型均匀分布概率密度函数如下列图：指数分布〔e*ponential distribution〕：用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比方旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

⎧ 1 ⎪ f ( x ) = ⎨800 e 800 , x > 0 ;⎩P ( A ) = P ( A ) = P ( A ) = P ( X > 1000) = ⎰+∞1000 800 P ( X > 1000) = ⎰+∞ P ( X ≥ s + t X ≥ s ) = P ( A B ) = P ( AB )1) 7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率．解：设随机变量 X 表示“乘客的候车时间”，则 X 服从 [0 , 5] 上的均匀分布，其密度函数为⎧1 5, x ∈ [0 , 5]f ( x ) = ⎨⎩0, x ∉ [0 , 5]于是有 P (0 ≤ X ≤ 3) = ⎰ 33 f ( x )dx = = 0.6.5二、已知某种电子元件的使用寿命 X (单位:h)服从指数分布，概率密度为x- ⎪0 , x ≤ 0.任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用 1000h 以上的概率．解：设 A 表示“至少有１个电子元件能使用 1000h 以上”； A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能 123使用 1000h 以上”．则1 2 3 1 x x 5 e -800 dx = - e -800 +∞ = e -4 ≈ 0.2871000P ( A ) = P ( A ⋃ A ⋃ A ) = P ( A ) + P ( A ) + P ( A ) - P ( A A ) - P ( A A ) - P ( A A ) + P ( A A A )1231231 2231 31 23= 3 ⨯ 0.287 - 3 ⨯ 0.287 2 + 0.287 3 ≈ 0.638（另解）设 A 表示“至少有１个电子元件能使用 1000h 以上”．则1 1000 800x x 5 e -800 dx = - e -800 +∞ = e - 4 ≈ 0.2871000从而有 P ( X ≤ 1000) = 1 - P ( X > 1000) = 1 - e- 5 4≈ 0.713 ，进一步有P ( A ) = 1 - [P ( X ≤ 1000)]3 ≈ 1 - 0.7133 ≈ 0.638三、(1) 设随机变量 X 服从指数分布 e (λ ) ．证明：对于任意非负实数 s 及 t ，有P ( X ≥ s + t X ≥ s ) = P ( X ≥ t ).这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数 X 服从指数分布 e (0 ． ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率．解：（１）因为 X ~ e (λ ) ，所以 ∀x ∈ R ，有 F ( x ) = 1 - e -λx ，其中 F ( x ) 为 X 的分布函数．设 A = X ≥ s + t ， B = X ≥ t ．因为 s 及 t 都是非负实数，所以 A ⊂ B ，从而 AB = A ．根据条件 概率公式，我们有P ( A ) P ( X ≥ s + t ) 1 - P ( X < s + t )= = =P ( B ) P ( B ) P ( X ≥ s ) 1 - P ( X < s )1 - [1 - e -λ ( s +t ) ] = = e -λt ．1 - [1 - e -λs ]另一方面，我们有1 / 32p0.216ppf ( x ) = ⎨π ( x 2 + 1) ⎩ P ( X ≥ t ) = 1 - P ( X < t ) = 1 - P ( X ≤ t ) = 1 - F (t ) = 1 - (1 - e -λt ) = e -λt ．综上所述，故有P ( X ≥ s + t X ≥ s ) = P ( X ≥ t ) ．（２）由题设，知 X 的概率密度为⎧0.1e -0.1x ， x > 0 ；f ( x ) = ⎨⎩0 ，x ≤ 0 ． 设某人购买的这台旧电视机已经使用了 s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5 年以上的概率为P ( X ≥ s + 5 X ≥ s ) = P ( X ≥ 5) = ⎰ +∞f ( x )dx = 0.1⎰ +∞ e -0.1x d x = -e -0.1x55+∞ 5= e -0.5 ≈ 0.6065 ．答：该电视机还能使用 5 年以上的概率约为 0.6065 ．四、设随机变量 X 服从二项分布 B (3, 0.4) ，求下列随机变量函数的概率分布：（1） Y = 1 - 2 X ；（2） Y = X (3 - X)12解： X 的分布律为．Xp0.216（1） Y = 1 - 2 X 的分布律为11 2 30.432 0.288 0.064Y11 - 10.432 - 3 0.288 - 5 0.064（2） Y =2X (3 - X )2Y2的分布律为0 1 1 00.216 0.432 0.288 0.064即Y2五、设随机变量 X 的概率密度为0 10.28 0.72⎪⎪0 ,⎧ 2, x > 0;x ≤ 0.求随机变量函数 Y = ln X 的概率密度．解：因为 F ( y ) = P (Y < y ) = P (ln X < y ) = P ( X < e y ) = F (e y )Y X所以随机变量函数Y = ln X 的概率密度为2/3π (e 2 y + 1)π (e 2 y + 1)2e yf ( y ) = F ' ( y ) = F ' (e y )e y = f (e y )e y = (-∞ < y < +∞) ，即Y Y X2e yf ( y ) = (-∞ < y < +∞) ．Y3 / 3。