概率统计B随机变量与概率分布

随机变量与概率分布的定义和性质随机变量是由随机试验的结果所确定的变量，它是数学中的一个重要概念。

我们可以通过一系列概率统计的方法来研究随机变量的定义和性质，以及相应的概率分布。

一. 随机变量的定义随机变量指在一定概率条件下随机出现的一种变量，以离散和连续两种形式出现。

离散型随机变量可以通过一组确定的取值来刻画变量的取值范围。

例如，在一次抛硬币的实验中，正面和反面这两个可能的结果就是抛硬币所构成的一个离散型随机变量。

而连续型随机变量则需要用一个函数来描述其取值范围。

例如，一个人的身高就是一个连续型随机变量，取值可以在一个连续的区间范围内，比如说 160cm 到 190cm。

二. 概率分布的定义概率分布是指各种不同取值对应的概率，在数学与统计学中，概率分布被广泛应用于随机变量的模型和分析中。

我们可以通过将随机变量的取值范围划分为有限或无限个数的区间，来定义概率分布。

离散型随机变量的概率分布由概率质量函数 (PMF) 描述，而连续型随机变量的概率分布则由概率密度函数 (PDF) 描述。

在实际中，我们通常更关心随机变量的期望值、方差以及分位数等方面的特征。

三. 概率分布的性质概率分布有一些重要的性质以及相关的推论，在实践中可以帮助我们更好地理解随机变量的数学模型。

以下是一些重要的性质：1. 概率分布的和等于1概率分布描述了随机变量每个取值出现的概率，因此，所有可能取值的概率和必须等于1。

即：$$ \sum_{i=1}^{n}P(X = x_i) = 1 $$2. 期望值的定义随机变量的期望值是它所有可能取值的平均值，用E(X) 表示。

期望值可以通过以下公式来计算：$$ E[X] = \sum_{i=1}^{n}x_iP(X=x_i) $$3. 期望值的线性性质期望值具有线性性质，即对任意两个随机变量 X 和 Y，有：$$ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $$其中，a 和 b 是常数。

统计学中的随机变量与概率分布统计学是一门研究如何收集、处理、分析、解释、推断数据的学科，其中随机变量和概率分布是其中非常重要的概念。

一、随机变量随机变量是指一个试验所涉及的结果是随机的，但是这些结果可以用数值来表示。

比如，掷一枚硬币的结果可能是正面或者反面。

这个试验中，随机变量可能表示为X，如果正面朝上，就表示为X=1；如果反面朝上，就表示为X=0。

有两种类型的随机变量：离散随机犹豫和连续随机变量。

离散随机变量是指可能的结果是一个有限或者无限的集合，比如抛硬币的结果只能是正反两面。

概率分布列可以用来描述离散随机变量的概率分布。

连续随机变量是指可能的结果是一个无限但是连续的集合，比如一个人的体重或者收入。

概率密度函数可以用来描述连续随机变量的概率分布。

二、概率分布概率分布是随机变量的所有可能结果的概率分布，它们的总和为1。

概率分布的形式取决于随机变量的类型。

1. 离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布可以用概率分布列来描述，即用一个数组来表示不同结果的概率。

例如，在抛掷一枚硬币的情况下，概率分布列可以表示如下：X 0 1P(X) 0.5 0.5其中，X是随机变量，0和1是离散随机变量的结果。

概率分布列表示X=0的概率为0.5，X=1的概率为0.5。

2. 连续随机变量的概率分布连续随机变量的概率分布不能用概率分布列来描述，因为连续随机变量的结果无限多，概率为0。

因此，使用概率密度函数。

概率密度函数描述了一个连续随机变量在某一点的概率密度，即该点附近可能出现的概率大小。

因此，概率密度函数只能表达相对概率，不能直接得到概率。

对于一个连续随机变量X，概率密度函数为f(x)，则概率计算可以使用积分来计算，如下所示：P(a <= X <= b) = ∫[a, b]f(x)dx其中，a和b是X的两个不同值，∫[a, b]表示从a到b的积分。

统计学中常用的连续随机变量概率分布包括正态分布、t分布和F分布等。

概率分布与随机变量的分布函数计算随机变量是概率论和统计学中一个重要的概念，它被用来描述随机试验的结果。

概率分布是随机变量的可能取值及其相应概率的分布。

在本文中，我们将讨论如何计算概率分布和随机变量的分布函数。

一、概率分布的计算概率分布可以通过概率质量函数（probability mass function，简称PMF）或概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述。

这取决于随机变量是离散型还是连续型。

1. 离散型随机变量的概率分布计算对于离散型随机变量，其概率分布可以通过概率质量函数来计算。

概率质量函数给出了每个可能取值的概率。

假设随机变量X的取值集合为{x1, x2, ... , xn}，对应的概率分布为{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}。

其中P(X=xi)表示X取值为xi的概率。

2. 连续型随机变量的概率分布计算对于连续型随机变量，其概率分布可以通过概率密度函数来计算。

概率密度函数是一个函数，描述了随机变量在某个取值点附近的概率密度。

假设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则X在区间[a, b]上的概率可以通过计算f(x)在该区间上的面积来得到，即P(a ≤ X ≤ b) = ∫(a to b)f(x)dx。

二、随机变量的分布函数计算随机变量的分布函数是一种用来描述随机变量取值分布情况的函数。

对于离散型随机变量和连续型随机变量，它们的分布函数的计算方式是不同的。

1. 离散型随机变量的分布函数计算离散型随机变量的分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）定义为随机变量小于等于某个取值的概率。

CDF可以通过累加概率质量函数来计算。

对于随机变量X的概率分布{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}，其对应的分布函数为F(x) = P(X≤x) = ∑(xi≤x) P(X=xi)。

概率与统计中的随机变量的分布与参数随机变量在概率与统计中扮演着重要的角色。

为了更好地理解随机变量的特征，我们需要研究它的分布与参数。

本文将介绍概率与统计中的随机变量的分布与参数的概念、常见的分布类型以及参数的估计方法。

一、随机变量的分布与参数随机变量是一个随机试验结果的数值化描述。

根据随机变量的取值类型的不同，可以将随机变量分为离散型和连续型。

对于离散型随机变量，我们可以通过概率分布函数（Probability Mass Function, PMF）来描述其取值的概率分布。

而对于连续型随机变量，则需要使用概率密度函数（Probability Density Function, PDF）来描述取值的概率分布。

每个分布都有其特定的参数。

这些参数可以用来刻画分布的位置、形状和尺度等特征。

对于一些常见的分布，比如正态分布、泊松分布等，它们的参数具有特定的含义，如均值、方差等。

二、常见的分布类型1. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的分布之一，也是许多自然现象和统计推断的基础。

它的形状呈钟形曲线，具有均值μ和方差σ²两个参数。

2. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述固定时间或空间间隔内事件发生的次数。

其概率质量函数由唯一参数λ决定，λ表示单位时间（或单位空间间隔）内事件出现的平均次数。

3. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布用于描述具有固定次数的独立重复实验的概率分布，每次实验的结果只有两种可能。

它由两个参数n和p决定，其中n表示重复实验的次数，p表示每次实验成功的概率。

4. 负二项分布（Negative Binomial Distribution）：负二项分布用于描述具有固定次数的独立重复实验的概率分布，每次实验的结果只有两种可能。

与二项分布不同的是，负二项分布关注的是实验的成功次数，直到达到了指定的失败次数。

概率与统计中的随机变量和概率分布的应用在概率与统计学中，随机变量与概率分布是两个重要的概念，它们在实际应用中起着至关重要的作用。

本文将探讨随机变量和概率分布在概率与统计学中的应用。

一、随机变量的概念及应用随机变量是概率论中的重要概念，它用于描述随机试验的结果。

随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。

离散随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量，比如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。

离散随机变量可以通过概率质量函数来描述其概率分布，该概率分布可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。

离散随机变量在实际应用中常用于描述离散的事件，如人口统计学中的男女比例、产品缺陷率等。

连续随机变量是指可以取任意实数值的随机变量，比如身高、体重等。

连续随机变量可以通过概率密度函数来描述其概率分布，该概率分布可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。

连续随机变量在实际应用中常用于描述连续的事件，如物理实验中的测量误差、金融领域中的股票价格等。

随机变量在概率与统计学中有着广泛的应用。

通过对随机变量的分析和建模，可以提取出潜在的规律和特征，进而做出合理的预测和决策。

例如，在金融领域中，通过对股票价格的随机变量建模，可以预测未来的股票价格走势，从而指导投资决策。

在医学领域中，通过对某种疾病的患病率随机变量建模，可以计算出患病风险，并采取相应的防控措施。

二、概率分布的概念及应用概率分布是指随机变量取各个值的概率。

概率分布可以分为离散概率分布和连续概率分布。

离散概率分布是指随机变量为离散型的概率分布，比如二项分布、泊松分布等。

离散概率分布可以通过概率质量函数来描述，该函数可以计算随机变量取各个值的概率。

离散概率分布在实际应用中常用于描述离散事件的发生概率。

例如，二项分布可以用于描述在多次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布，泊松分布可以用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。

连续概率分布是指随机变量为连续型的概率分布，比如正态分布、指数分布等。

随机变量与概率分布在统计学中的应用统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。

在统计学中，随机变量和概率分布是两个重要的概念，它们在统计学中的应用非常广泛。

本文将从随机变量的概念、概率分布的定义以及它们在统计学中的具体应用等方面进行探讨。

一、随机变量的概念随机变量是统计学中的一个重要概念，它可以用来描述随机现象的结果。

在统计学中，随机变量可以分为离散型和连续型两种。

离散型随机变量是指其取值有限且可数，例如掷骰子的点数；而连续型随机变量则是指其取值在某个区间内，例如人的身高。

随机变量可以用概率分布来描述，概率分布是随机变量取各个值的概率。

离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来表示，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来表示。

二、概率分布的定义概率分布是随机变量取各个值的概率，它可以用来描述随机变量的分布情况。

在统计学中，常见的概率分布有伯努利分布、二项分布、正态分布等。

伯努利分布是一种最简单的概率分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验，例如抛硬币的结果。

二项分布是多次独立重复进行伯努利试验的结果，例如抛硬币多次的结果。

正态分布是一种对称的连续型概率分布，它在统计学中的应用非常广泛。

三、随机变量和概率分布在统计学中有着广泛的应用。

首先，它们可以用来描述和分析随机现象的结果。

例如，在进行调查时，我们可以将被调查者的年龄视为一个随机变量，通过概率分布来描述不同年龄段的人口分布情况。

其次，随机变量和概率分布可以用来进行统计推断。

例如，在进行假设检验时，我们可以将待检验的统计量视为一个随机变量，通过概率分布来计算该统计量在给定假设下的概率，从而判断是否拒绝该假设。

此外，随机变量和概率分布还可以用来进行模型拟合和预测。

例如，在建立回归模型时，我们可以将自变量和因变量视为随机变量，通过概率分布来描述它们之间的关系，从而进行模型的拟合和预测。

总之，随机变量和概率分布在统计学中具有重要的应用价值。

它们不仅可以用来描述和分析随机现象的结果，还可以用来进行统计推断、模型拟合和预测等。

第二章随机变量及其分布在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.第一节随机变量的概念内容要点:一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示.2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.二、随机变量的定义定义设随机试验的样本空间为S, 称定义在样本空间S上的实值单值函数)X=(eX为随机变量.随机变量与高等数学中函数的比较:(1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.三、引入随机变量的意义随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.例题选讲：例1(讲义例1)在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为S{正面, 反面},=记赢钱数为随机变量X, 则X作为样本空间S的实值函数定义为⎩⎨⎧=-==.,1,,1)(反面正面e e e X例2 (讲义例2) 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H 、反面T 出现情况的试验中, 其样本空间};,,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S = 记每次试验出现正面H 的总次数为随机变量X , 则X 作为样本空间S 上的函数定义为1112223X TTTTTH THT HTT THH HTH HHT HHH e易见, 使X 取值为})2({2=X 的样本点构成的子集为},,,{THH HTH HHT A = 故 ,8/3)(}2{===A P X P 类似地，有.8/4},,,{}1{==≤TTT TTH THT HTT P X P例3 (讲义例3) 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=t t S 上的函数，即t t X X ==)(，是随机变量.课堂练习1. 一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.第二节 离散型随机变量及其分布函数内容要点:一、离散型随机变量及其概率分布定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =i x i , 称,2,1,}{===i p x X P i i为X 的概率分布或分布律, 也称概率函数.常用表格形式来表示X 的概率分布:n i n p p p p x x x X 2121二、常用离散分布退化分布 两点分布 n 个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.三、二项分布的泊松近似定理1 (泊松定理) 在n 重伯努利试验中, 事件A 在每次试验中发生的概率为n p (注意这与试验的次数n 有关), 如果∞→n 时, λ→n np (0>λ为常数), 则对任意给定的k , 有λλ-∞→=e k p n k b kn n !),,(lim .例题选讲：离散型随机变量及其概率分布例1 (讲义例1) 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X 的概率分布.例2 (讲义例2) 设随机变量X 的概率分布为:0,,2,1,0,!}{>===λλ k k aK X P k.试确定常数a .二项分布例3 (讲义例3) 已知100个产品中有5个次品, 现从中有放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率.例4 (讲义例4) 某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率.例5 (讲义例5) 设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由4人维护, 每人负责20台; 其二是由3人共同维护80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 几何分布例6 (讲义例6) 某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他每发命中的概率是p , 求所需射击发数X 的概率分布. 泊松分布例7 (讲义例7) 某一城市每天发生火灾的次数X 服从参数8.0=λ的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. 二项分布的泊松近似例8 (讲义例8) 某公司生产的一种产品300件. 根据历史生产记录知废品率为0.01. 问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?例9 (讲义例9) 一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数5=λ的泊松分布来描述, 为了以95%以上的把握保证不脱销, 问商店在月底至少应进某种商品多少件?例10 (讲义例10) 自1875年至1955年中的某63年间, 上海市夏季(5—9月)共发生大暴雨180次, 试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型.课堂练习1.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2, 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求X 的概率分布.第三节 随机变量的分布函数当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念.内容要点：一. 随机变量的分布函数定义 设X 是一个随机变量, 称)()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F为X 的分布函数.有时记作)(~x F X 或)(x F X .分布函数的性质1. 单调非减. 若21x x <, 则)()(21x F x F ≤；2. ;1)(lim )(,0)(lim )(==+∞==-∞+∞→-∞→x F F x F F x x3. 右连续性. 即).()(lim 00x F x F x x =+→二、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量X 的概率分布为n i n p p p p x x x X 2121则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx i xx i i i p x X P x X P x F )()()(.例题选讲：随机变量的分布函数例1（讲义例1）等可能地在数轴上的有界区间],[b a 上投点, 记X 为落点的位置(数轴上的坐标) , 求随机变量X 的分布函数.例2（讲义例2）判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.2/1,1,2/10,2/1,0,0)()3(;,1,0,sin ,0,0)()2(;0,1,02,2/1,2,0)()1(x x x x x F x x x x x F x x x x F ππ离散型随机变量的分布函数例3（讲义例3）设,2/16/13/1210i p X 求)(x F .例4 X 具有离散均匀分布, 即,,,2,1,/1)(n i n x X P i ===求X 的分布函数.例5（讲义例4）设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,19/15,21,19/9,1,0)(x x x x x F求X 的概率分布.课堂练习1．设随机变量X 的概率分布为4/12/14/1421i p X -,求X 的的分布函数，并求{},2/1≤X P {},2/52/3≤<X P {}.32≤≤X P第四节 连续型随机变量及其概率密度内容要点：一、 连续型随机变量及其概率密度定义 如果对随机变量X 的分布函数)(x F ,存在非负可积函数)(x f ,使得对于任意实数x 有.)(}{)(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为X 的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数. 关于概率密度的说明1. 对一个连续型随机变量X ,若已知其密度函数)(x f ,则根据定义,可求得其分布函数)(x F , 同时, 还可求得X 的取值落在任意区间],(b a 上的概率:⎰=-=≤<ba dx x f a Fb F b X a P )()()(}{2. 连续型随机变量X 取任一指定值)(R a a ∈的概率为0.3. 若)(x f 在点x 处连续, 则)()(x f x F =' (1)二、常用连续型分布 均匀分布定义 若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f 则称X 在区间),(b a 上服从均匀分布, 记为),(~b a U X .指数分布定义 若随机变量X 的概率密度为0.,0,0,)(>⎩⎨⎧>=-λλλ其它x e x f x则称X 服从参数为λ的指数分布.简记为).(~λe X正态分布定义 若随机变量X 的概率密度为.,21)(222)(∞<<∞-=--x e x f x σμσπ其中μ和)0(>σσ都是常数, 则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布. 记为).,(~2σμN X 注: 正态分布是概率论中最重要的连续型分布, 在十九世纪前叶由高斯加以推广, 故又常称为高斯分布. 一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布. 这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因. 例如, 产品的质量指标, 元件的尺寸, 某地区成年男子的身高、体重, 测量误差, 射击目标的水平或垂直偏差, 信号噪声、农作物的产量等等, 都服从或近似服从正态分布.标准正态分布正态分布当1,0==σμ时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用)(x ϕ和)(x Φ表示:,21)(22x e x -=πϕ ⎰∞--=Φxt dt e x 2221)(π标准正态分布的重要性在于, 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理 设),,(~2σμN X 则).1,0(~N X Y σμ-=标准正态分布表的使用：（1）表中给出了0>x 时)(x Φ的数值, 当0<x 时, 利用正态分布的对称性, 易见有);(1)(x x Φ-=-Φ（2） 若),1,0(~N X 则);()(}{a b b X a P Φ-Φ=≤< （3）若),(~2σμN X , 则),1,0(~N X Y σμ-=故X 的分布函数;}{)(⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=σμσμσμx x X P x X P x F⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤<-=≤<σμσμb Y a P b X a P }{.⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=σμσμa b例题选讲：连续型随机变量及其概率密度例1 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它,011,12)(2x x x f π求其分布函数)(x F .例2（讲义例1）设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f}.2/71{)3();()2(;)1(≤<X P x F X k 求的分布函数求确定常数例3（讲义例2）设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=x x x x x F 1,110,0,0)(2求 (1) 概率}7.03.0{<<X P ; (2) X 的密度函数.常用连续型分布 均匀分布例4 （讲义例3）某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率. 指数分布例5（讲义例4）某元件的寿命X 服从指数分布, 已知其平均寿命为1000小时，求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率. 正态分布例6（讲义例5）设)4,1(~N X , 求 .}2|1{|},6.10{),5(≤-≤<X P X P F 例7 设某项竞赛成绩N X ~（65, 100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应 定为多少？例8（讲义例6）将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d ℃，液体的温度X （以℃计）是一个随机变量，且 )5.0,(~2d N X(1) 若 09=d ℃，求X 小于89℃ 的概率；(2) 若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d 至少为多少？例9（讲义例7）某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工280人, 临时工20人; 报考的人数是1657人, 考试满分是400分. 考试后得知, 考试总平均成绩, 即166=μ分, 360分以上的高分考生31人. 某考生B 得256分, 问他能否被录取? 能否被聘为正式工? 例10（讲义例8）在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2. 假设电源电压X 服从正态分布N (220，252)，试求：(1) 该电子元件损坏的概率α;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率β.课堂练习1.已知)5.0,8(~2N X ，求 (1) );7(),9(F F (2) }105.7{≤≤X P ;(3) };1|8{|≤-X P(4) }.5.0|9{|<-X P2.某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布),(2σμN , 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%, 为使其寿命在x -μ和x +μ之间的概率不小于0.9, x 至少为多少?第五节 随机变量函数的分布讲解注意：一、 随机变量的函数定义 如果存在一个函数)(X g , 使得随机变量Y X ,满足:)(X g Y =,则称随机变量Y 是随机变量X 的函数.注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:导数、积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律.一般地, 对任意区间I , 令})(|{I x g x C ∈=, 则},{})({}{C X I x g I Y ∈=∈=∈ }.{})({}{C X P I x g P I Y P ∈=∈=∈注: 随机变量Y 与X 的函数关系确定,为从X 的分布出发导出Y 的分布提供了可能.二、离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量X 的概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i易见, X 的函数)(X g Y =显然还是离散型随机变量.如何由X 的概率分布出发导出Y 的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量X 的可能取值确定因变量Y 的所有可能取值, 然后对Y 的每一个可能取值,,2,1, =i y i 确定相应的},)(|{i j j i y x g x C ==于是},{})({}{i i i i C X y x g y Y ∈==== .}{}{}{∑∈==∈==ij C x ji i x X P C X P y Y P从而求得Y 的概率分布.三、 连续型随机变量函数的分布一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数.设已知X 的分布函数)(x F X 或概率密度函数)(x f X , 则随机变量函数)(X g Y =的分布函数可按如下方法求得:}.{})({}{)(y Y C X P y X g P y Y P y F ∈=≤=≤=其中}.)(|{y x g x C y ≤=而}{y C X P ∈常常可由X 的分布函数)(x F X 来表达或用其概率密度函数)(x f X 的积分来表达:⎰=∈yC X y dx x f C X P )(}{进而可通过Y 的分布函数)(x F Y , 求出Y 的密度函数.定理1 设随机变量X 具有概率密度),(),(+∞-∞∈x x f X ,又设)(x g y =处处可导且恒有0)(>'x g (或恒有0)(<'x g ), 则)(X g Y =是一个连续型随机变量,其概率密度为⎩⎨⎧<<'=其它,0|,)(|)([)(βαy y h y h f y f Y其中)(y h x =是)(x g y =的反函数, 且)).(),(max()),(),(min(+∞-∞=+∞-∞=g g g g βα例题选讲：离散型随机变量函数的分布例1（讲义例1）设随机变量X 具有以下的分布律, 试求2)1(-=X Y 的分布律.4.01.03.02.02101i p X -连续型随机变量函数的分布例2（讲义例2）对一圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上均匀分布, 求圆片面积的概率分布密度.例3（讲义例3）设⎩⎨⎧<<=其它,040,8/)(~x x x f X X , 求82+=X Y 的概率密度.例4 设)1,0(~N X , 求2X Y =的密度函数.例5（讲义例4）已知随机变量X 的分布函数)(x F 是严格单调的连续函数, 证明)(X F Y =服从]1,0[上的均匀分布.例6（讲义例5）的线性函数试证明设随机变量X N X ).,(~2σμb aX Y +=)0(≠a 也服从正态分布.例7 （讲义例6） 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布, 求X Y ln 2-=的概率密度.例8 （讲义例8） (对数正态分布) 随机变量X 称为服从参数为2,σμ的对数正态分布, 如果X Y ln =服从正态分布),(2σμN . 试求对数正态分布的密度函数.注： 在实际中, 通常用对数正态分布来描述价格的分布, 特别是在金融市场的理论研究中, 如著名的期权定价公式（Black —Scholes 公式）, 以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格. 设某种资产当前价格为0P , 考虑单期投资问题, 到期时该资产的价格为一个随机变量, 记作1P , 设投资于该资产的连续复合收益率为r , 则有re P P 01=从而0101ln ln lnP P P P r -== 注意到0P 为当前价格, 是已知常数,因而假设价格1P 服从对数正态分布实际上等价于假设连续复合收益率r 服从正态分布.例9（讲义例7）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 求}2,min{X Y =的分布函数.课堂练习1. 设X 的分布列为10/310/110/110/15/12/52101i p X -试求: (1) 2X 的分布列; (2) 2X 的分布列.2. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0,0,/2)(2其它ππx x x f求X Y sin =的概率密度.。

概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结在概率与统计学中，随机变量是一种具有概率分布的变量，它可以用来描述不确定性的现象和事件。

随机变量的理论是概率论的核心内容之一，掌握随机变量及其分布知识点对于理解概率与统计学的基本原理及应用具有重要意义。

本文将对概率与统计中的随机变量及其分布进行知识点总结。

一、随机变量的概念与分类随机变量（Random Variable）是指对于随机试验结果的数值描述。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。

1. 离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）的取值为有限个或可数个。

常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项分布随机变量、泊松随机变量等。

2. 连续型随机变量连续型随机变量（Continuous Random Variable）的取值可以是任意的实数。

通常用于表示测量结果或特定区间内的变化。

常见的连续型随机变量有均匀分布随机变量、正态分布随机变量等。

二、随机变量的分布函数与概率函数随机变量的分布函数和概率函数是描述随机变量的重要工具。

1. 分布函数分布函数（Distribution Function）是随机变量取值小于或等于某个值的概率，通常记作F(x)，其中x为随机变量的取值。

分布函数的性质包括：非递减性、右连续性、左极限性质。

2. 概率函数（密度函数）概率函数（Probability Density Function）用于描述连续型随机变量的概率分布情况，通常记作f(x)，其中x为随机变量的取值。

概率函数的性质包括：非负性、归一性。

三、常见的随机变量及其分布在概率与统计学中，有一些常见的随机变量及其分布是被广泛应用的。

1. 伯努利随机变量伯努利随机变量（Bernoulli Random Variable）是最简单的离散型随机变量，它只有两个取值，通常用来描述成功或失败的情况。

2. 二项分布随机变量二项分布随机变量（Binomial Random Variable）描述了n个独立的伯努利试验中成功的次数，其中n为试验次数，p为单次成功的概率。

概率与统计中的随机变量的分布函数与概率密度函数的关系随机变量是概率与统计中的重要概念之一，它可以用来描述随机事件的可能结果及其对应的概率分布。

在概率论和数理统计中，随机变量的分布函数和概率密度函数是两个用来描述随机变量的性质和行为的重要函数。

本文将重点介绍随机变量的分布函数与概率密度函数之间的关系。

一、随机变量的分布函数首先，我们需要了解随机变量的分布函数。

一个随机变量X的分布函数F(x)定义为对于任意实数x，函数F(x)给出的是X小于或等于x的概率。

换句话说，F(x)=P(X≤x)。

随机变量的分布函数具有以下性质：1. F(x)是一个非降的右连续函数；2. 当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；3. 当x趋于正无穷时，F(x)趋于1。

二、随机变量的概率密度函数接下来，我们介绍随机变量的概率密度函数。

对于一个连续型随机变量X，它的概率密度函数f(x)定义为由分布函数F(x)求导得到的函数。

换句话说，f(x)=dF(x)/dx。

随机变量的概率密度函数具有以下性质：1. f(x)大于等于0，即概率密度函数的取值必须非负；2. 在整个实轴上，概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)d x=1；3. 对于任意实数a和b（a<b），概率P(a≤X≤b)等于概率密度函数在区间[a,b]上的积分，即P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx。

三、随机变量的分布函数与概率密度函数的关系随机变量的分布函数F(x)和概率密度函数f(x)之间存在着紧密的关系。

根据导数的定义，我们可以将分布函数F(x)对于区间(a,b)内的任意两个实数a<b进行展开，得到：F(b) - F(a) = P(a < X ≤ b)= ∫[a,b]f(x)dx由此可以看出，随机变量分布函数F(x)可以通过对概率密度函数f(x)的积分得到。

相反地，我们可以通过对分布函数求导来获得概率密度函数。

设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在可积函数f(x)，使得对于任意实数x，有F(x) = ∫(-∞,x]f(t)dt，则称f(x)为X的概率密度函数。

第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布教学目的要求：使学生掌握随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念及其分布,会应用这些概念、分布求分布列.教材分析：1.概括分析：概率论所要考察的是与各种随机现象有关的问题,并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统规律性.为此,就有必要把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来.随机变量正是为适应这种需要而引进的。

随机变量实质上是定义在样本空间Ω={e}上的一个实值单值函数X(e).从此,对随机事件的研究转变为对随机变量的研究,通过随机变量将各个事件联系起来,进而去研究随机试验的全部结果.而且,随机变量的引入,使我们有可能借助于微积分等数学工具,把研究引向深入.2.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念及其分布函数.3.教学难点：求随机变量分布函数.教学过程：在第一章里,我们研究了随机事件及其概率,可以会注意到,在某些例子中,随机事件和实数之间存在着某种客观的联系.例如,在伯努利概型这一节中,曾经讨论过“在n 重伯努利试验中,事件A 出现k 次”这一事件的概率,如果令ξ＝n 重伯努利试验中事件A 出现的次数则上述“n 重伯努利试验中事件A 出现k 次”这个事件就可以简单地记作(ξ=k),从而有P(ξ=k)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n p k q n-k.并且ξ所有可能取到的数值也就是试验中事件A 可能出现的次数:0,1,…,n.在另一些例子中,随机事件与实数之间虽然没有上述那种“自然的”联系,但是我们常常可以人为地给它们建立起一个对应关系.例如抛掷一枚均匀的硬币,可能出现正面,也可能出现反面,现在约定若试验结果出现正面,令η=1,若试验结果出现反面,令η=0,这时就有:{试验结果出现正面}＝(η=1),{试验结果出现反面}＝(η=0).在上述例子中,对每一个试验结果ω,自然地或人为地对应着一个实数X(ω),这与高等数学中熟知的“函数”概念本质上是一致的.只不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在X(ω)的自变量是样本点ω.因为对每一个试验结果ω,都有实数X(ω)与之对应,所以,X(ω)的定义域是样本空间,显然值域是实数域.显然，一般来讲此处的实数X 值将随ω的不同而变换，它的值因ω的随机性而具有随机性，我们称这种取值具有随机性的变量为随机变量。

统计学中的随机变量与概率分布随机变量是统计学中的一个重要概念，用来描述随机实验结果的数值特征。

概率分布则是用来描述随机变量取值的可能性的分布情况。

在统计学的研究中，随机变量和概率分布是相辅相成的，相互之间密不可分。

一、随机变量随机变量是指在随机实验中所观察到的不确定结果所对应的数值。

随机变量可以分为离散型和连续型两种。

1. 离散型随机变量离散型随机变量只能取有限个或可数个数值。

例如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。

离散型随机变量可以通过概率分布函数来描述。

2. 连续型随机变量连续型随机变量可以取任意实数值，其取值区间通常是一个或多个连续的区间。

例如测量体重、长度等连续性的观测。

连续型随机变量可以通过密度函数来描述。

二、概率分布概率分布用来描述随机变量的取值与取值概率之间的关系。

常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。

1. 离散型概率分布离散型概率分布通常用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。

PMF给出了离散型随机变量取各个数值的概率。

常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布等。

2. 连续型概率分布连续型概率分布通常用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。

PDF给出了连续型随机变量在某个区间内取值的概率密度。

常见的连续型概率分布包括均匀分布、正态分布和指数分布等。

三、常见的概率分布统计学中有许多常见的概率分布，每种分布都有其独特的特点和应用场景。

1. 伯努利分布伯努利分布是一种简单的离散型概率分布，用来描述只有两个可能结果的随机实验。

例如抛硬币的正反面就是一个伯努利分布。

2. 二项分布二项分布是一种常用的离散型概率分布，用来描述多次独立重复进行的伯努利实验中成功次数的概率分布。

例如抛硬币多次，记录正面出现的次数。

3. 泊松分布泊松分布是一种常用的离散型概率分布，用来描述在一段时间或空间内某事件发生的次数的概率分布。