2018-2019学年陕西省延安市黄陵县黄陵中学高新部高一下学期期末数学试题(解析版)
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2018-2019学年陕西省延安市黄陵县黄陵中学高新部高一下学期期末数学试题一、单选题1．观察下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个视图完全相同的是（ ）①正方体 ②圆锥 ③正三棱柱 ④正四棱锥 A ．①② B ．②④C ．①③D ．①④【答案】B 【解析】【详解】正方体的三个视图都相同，①不符合；圆锥的正视图和侧视图相同都是三角形，俯视图为圆，②符合；正三棱柱的俯视图是等边三角形，正视图和侧视图都是长方形，但是长不同宽相同，③不符合；正四棱锥的俯视图是正方形，正视图和侧视图都是相同的等腰三角形，④符合，故选B.2．如右图所示的直观图，其表示的平面图形是 （A ）正三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）直角三角形【答案】D 【解析】略3．在△ABC 中，若2a =，b =030A =，则B 等于( )A ．60B ．60或120C ．30D ．30或150【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理可得：sin 60sin sin 2a b B B A B =⇒=⇒=或120．【考点】正弦定理解三角形．4．已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 5+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16C ．20D ．24【答案】D【解析】由等差数列的性质可得()2581167248a a a a a a +++=+=，则6724a a +=，故选D.5．已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ．4 B ．5C ．8D ．6【答案】A【解析】试题分析：由题意可得，4y x x=+满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以4y x x=+，故选A【考点】利用基本不等式求最值；6．如右图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k 则A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．132k k k <<D ．321k k k <<【答案】C【解析】试题分析：由图可知10k <，230k k >>，所以231k k k >>，故选C ． 【考点】直线的斜率．7．倾斜角为135,在y 轴上的截距为1-的直线方程是 A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++=【答案】D【解析】试题分析：倾斜角135θ=tan 1k θ∴==-，直线方程截距式110y x x y =--∴++=【考点】斜截式直线方程点评：直线斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y kx b =+，求直线方程最终结果整理为一般式方程8．在空间中，可以确定一个平面的条件是（ ） A ．一条直线 B ．不共线的三个点 C ．任意的三个点 D ．两条直线 【答案】B【解析】试题分析：根据平面的基本性质及推论，即确定平面的几何条件，即可知道答案．解：对于A ．过一条直线可以有无数个平面，故错； 对于C ．过共线的三个点可以有无数个平面，故错； 对于D ．过异面的两条直线不能确定平面，故错； 由平面的基本性质及推论知B 正确． 故选B ．【考点】平面的基本性质及推论．9．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ）A ．2B ．2C 2D ．2【答案】C【解析】判断三棱锥是正四面体，它的表面积就是四个三角形的面积，求出一个三角形的面积即可求解本题. 【详解】由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a ，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即224=， 所以C 选项是正确的. 【点睛】本题考查棱锥的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题. 10．已知α，β是平面，m ，n 是直线，则下列命题不正确．．．的是（ ） A ．若//,m n m α⊥，则n α⊥ B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥ D ．若//,m n ααβ=，则//m n【答案】D【解析】由题意找到反例即可确定错误的选项. 【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取直线m 为11B C ，平面α为ABCD ，满足//m α， 取平面β为平面11ABB A ，则,αβ的交线为AB ， 很明显m 和n 为异面直线，不满足//m n ，选项D 错误；如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以A 正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以B 正确；由A 选项和面面垂直的判定定理可得C 也正确. 本题答案为D. 【点睛】本题主要考查线面关系有关命题真假的判断，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属基础题.11．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ） A ．22(6)(5)10x y -+-= B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-= D ．22(5)(6)10x y +++=【答案】A【解析】在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为222(6)(5)x y r -+-=,然后根据圆过点B （3，6），代入方程可求出r 的值，得到圆的方程.【详解】因为||BC ==又因为圆心为C （6，5）,所以所求圆的方程为222(6)(5)x y r -+-=,因为此圆过点B （3，6），所以222(36)(65)r -+-=,所以210r =，因而所求圆的方程为22(6)(5)10x y -+-=.【考点】圆的标准方程.12．已知正方体ABCD-A B C D 中,E 、F 分别为BB 、CC 的中点,那么异面直线AE 与D F 所成角的余弦值为( )A ．45B ．45-C ．35D ．35- 【答案】C 【解析】【详解】连接DF,因为DF 与AE 平行,所以∠DFD 即为异面直线AE 与D F 所成角的平面角,设正方体的棱长为2,则FD =FD=,由余弦定理得cos ∠DFD ==.二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前三项为1,1,23a a a -++，则此数列的通项公式为______【答案】23n a n =-【解析】由题意可得，21123a a a +=-++（）（）（）， 解得0a = ． ∴等差数列{}n a 的前三项为-1，1，3．则1121212n a d a n n =-=∴=-+-=-，．（） 3． 故答案为23n a n =- ．14．已知原点O （0，0），则点O 到直线x+y+2=0的距离等于 ．【解析】【详解】由点到直线的距离公式得：点O 到直线x+y+2=0的距离等于=15．经过两圆和的交点的直线方程为______．【答案】【解析】利用圆系方程，求解即可． 【详解】 设两圆和的交点分别为，则线段是两个圆的公共弦．令，，两式相减，得，即，故线段所在直线的方程为． 【点睛】本题考查圆系方程的应用，考查计算能力．16．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .【答案】3:1:2 【解析】【详解】 设球的半径为r,则2322V r r r ππ=⨯=圆柱,3212233r V r r ππ=⨯=圆锥， 343V r π=球，所以33324::2::3:1:233r V V V r r πππ==圆柱圆锥球，故答案为3:1:2.【考点】圆柱，圆锥，球的体积公式.点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为22314,,33V r h V r h V r πππ===圆柱圆锥球.三、解答题17．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ； （2）求∠A ．【答案】（1）5b =；（2）∠A ＝120°. 【解析】由正弦定理求得b ，由余弦定理求得cos ∠A ，进而求出∠A 的值． 【详解】（1）由正弦定理得sin b B ＝sin c C可得， c b ＝sin sin C B ＝35，所以b ＝533⨯＝5． （2）由余弦定理得cos A ＝2222c b a c b+-⋅⋅＝92549235+-⨯⨯＝12-，又因为()0,180A ︒︒∈，所以∠A ＝120°． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出b 的值，是解题的关键．18．求经过直线L 1：3x + 4y – 5 = 0与直线L 2：2x – 3y + 8 = 0的交点M ，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直； 【答案】（1）；（2）。
【解析】试题分析：先通过两直线方程联立解方程组求出交点坐标.（1）根据两直线平行，斜率相等，设出所求直线方程，将交点坐标代入即可求出平行直线的方程. （2）根据两直线垂直，斜率之积等于-1,设出所求直线的斜截式方程，然后将交点坐标代入所求直线的方程，即可得解.解得--------2分所以交点（-1，2） （1）-----4分直线方程为--------6分（2）---------8分直线方程为--------10分.【考点】两直线平行与垂直的判定..点评：两直线平行：斜率都不存在或斜率相等.两直线垂直：斜率之积等于-1或一条直线的斜率不存在，另一条斜率等于0.19．如图所示，已知的斜边长，现以斜边横在直线为轴旋转一周，得到旋转体．（1）当时，求此旋转体的体积；（2）比较当，时，两个旋转体表面积的大小．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）根据旋转体的形状，可利用两个圆锥的体积和得到所求（2）分别计算两个圆锥的侧面积求和即可.【详解】沿斜边所在直线旋转一周即得到如图所示的旋转体．∵，，∴，，，∴．（2）当，其表面积；当，其表面积．通过计算知，，∴．【点睛】本题主要考查了旋转体的形成，圆锥的体积、面积求法，属于中档题.20．已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切．【答案】（1）m＝0；（2）m＝±2。
【解析】试题分析：（1）直线平分圆，即直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程可得m 值（2）根据圆心到直线距离等于半径列方程，解得m值试题解析：解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线y＝x＋m上，即有m＝0.(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，∴d＝＝2，m＝±2.即m＝±2时，直线l与圆相切．点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．21．已知在三棱锥S-ABC中，∠ACB=90，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.【答案】证明见解析【解析】先由SA ⊥面ABC ，得BC ⊥SA ，又BC ⊥AC ，得BC ⊥面SAC ，故BC ⊥AD ，又SC ⊥AD ，所以AD ⊥面SBC. 【详解】证明：因为SA ⊥面ABC ， BC ⊂面ABC ， 所以BC ⊥SA ；又由∠ACB=90，得BC ⊥AC ，且AC 、SA 是面SAC 内的两相交线， 所以BC ⊥面SAC ； 又AD ⊂面SAC ， 所以 BC ⊥AD ，又已知SC ⊥AD ，且BC 、SC 是面SBC 内两相交线， 所以 AD ⊥面SBC. 【点睛】本题考查了线面垂直的证明与性质，属于基础题.22．求过三点()()()00,0,1,1,4,2A B 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．【答案】（x ﹣4）2+（y+3）2=25，圆的半径为()5,4,3-圆心坐标为【解析】设出圆的一般方程，把()()()00,0,1,1,4,2A B 代入所设,得到关于,,D E F 的方程组，求解,,D E F ,即可求得圆的一般方程，化为标准方程，进一步求得圆心坐标与半径. 【详解】设圆的方程为：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣4，E=3，F=0，∴圆的方程为x 2+y 2﹣8x+6y=0，化为（x ﹣4）2+（y+3）2=25，可得：圆心是（4，﹣3）、半径r=5． 【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于简单题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.第 11 页共 11 页。
