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定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分.微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想,‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用.定义：设函数f(x)在［a,b]上有界，在[a,b ］中任意插入若干个分点 a=X0〈X1〈...〈Xn —1<Xn=b 把区间[a ，b ］分成n 个小区间 [X0，X1]，..。
[Xn —1，Xn]。
在每个小区间[Xi —1，Xi ］上任取一点ξi(Xi -1≤ξi≤Xi ），作函数值f(ξi ）与小区间长度的乘积f(ξi ）△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对［a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法,只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f （x)在区间[a ，b]上的定积分， 记作: ()dx x f a b⎰即： ()()ini ia bx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x ）作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b ，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.在[a ，b]上任取子区间[x ，x+dx ］，在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F （x ）在区间［a,b ］上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a 〈b ），求电场力所做的功。
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
定积分的含义和计算定积分是微积分中的一种运算方式，通过计算函数在一个区间上的面积来求解。
它是反应函数变化的量的一种数值特征，同时也是分析函数性质和解决实际问题中的重要工具之一。
在本文中，我们将详细介绍定积分的含义、计算方法及其应用。
首先，我们来探讨定积分的含义。
定积分可以理解为函数曲线与坐标轴之间的有向面积。
具体而言，对于一个函数$f(x)$，我们可以将其限定在一个区间$[a,b]$上，然后使用一根尺直角下压在曲线上，该尺的长度与曲线上相应点的纵坐标相关。
当我们将尺从$a$点移动到$b$点时，这根尺覆盖的面积就是定积分。
同时，定积分还可以表示曲线上方的面积减去曲线下方的面积，即上减下。
为了更形象地理解定积分的含义，我们可以以一个例子进行说明。
假设有一个自由落体运动，其运动方程为$s(t) = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$，其中$v_0$是初始速度，$g$是重力加速度，$t$是时间。
现在我们想知道在给定的时间区间$[t_1,t_2]$内自由落体运动所覆盖的空间距离。
这时，我们可以使用定积分来解决这个问题。
根据定义，自由落体运动的空间距离可以表示为$s(t)$在区间$[t_1,t_2]$上的定积分：$$\int_{t_1}^{t_2}(v_0t - \frac{1}{2}gt^2)dt$$其中$\int$表示求和的符号，$(v_0t - \frac{1}{2}gt^2)dt$表示被积函数，$dt$表示积分变量。
这个定积分的结果就是自由落体运动在区间$[t_1,t_2]$内所覆盖的空间距离。
接下来，我们将介绍定积分的计算方法。
在实际计算中，定积分可以通过多种方式求解，例如几何法、牛顿-莱布尼茨公式和数值积分等。
几何法是一种直观易懂的计算方式，它利用几何图形的性质来求取定积分的值。
具体而言，对于一个函数$f(x)$，我们可以通过绘制函数曲线与坐标轴之间的图形，然后根据几何图形的性质来计算面积。
定积分的计算与应用定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下的面积、质量、体积等问题。
本文将介绍定积分的计算方法和应用场景。
一、定积分的计算方法定积分的计算基于微积分中的积分运算，可以通过以下方法进行计算：1. 几何解释法：定积分可以视为曲线下的面积，因此可以利用几何图形的面积公式进行计算。
将曲线下的区域分割成无数个小矩形，并求取它们的面积之和，即可得到定积分的近似值。
通过增加小矩形的个数，可以不断提高计算精度。
2. 集合解释法：定积分可以被视为一组数的和，其中这组数是将函数值与对应的间隔长度相乘而得到的。
通过将曲线下的区域分割成若干个小区间，并计算每个小区间内的函数值与对应的间隔长度的乘积，再将这些乘积进行加和，即可得到定积分的近似值。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：对于可微函数，可以使用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分的计算。
该公式表达了函数的原函数（即不定积分）与定积分之间的关系。
通过求取函数的原函数，并在积分的上下限处进行代入计算，即可得到定积分的准确值。
二、定积分的应用场景定积分在物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
以下将介绍一些常见的应用场景：1. 面积计算：最简单的应用是计算平面图形的面积。
通过确定曲线的方程以及积分的上下限，可以计算出曲线所围成区域的面积。
2. 质量计算：如果将曲线下的区域视为物体的密度分布，则可以利用定积分计算物体的质量。
通过将物体分割成无数个小区域，并计算每个小区域内的密度值与对应的区域面积的乘积，再将这些乘积进行加和，即可得到物体的总质量。
3. 体积计算：类似质量计算，定积分可以被用于计算三维物体的体积。
通过将物体分割成无数个小体积，并计算每个小体积的大小，再将这些体积进行加和，即可得到物体的总体积。
4. 概率计算：在概率论中，定积分可以用于计算随机变量的概率密度函数下的概率。
通过计算概率密度函数在某个区间上的定积分，可以得到该区间内事件发生的概率。
5. 积累量计算：定积分还可以用于计算积累量，例如距离、速度、加速度等。
定积分求法一、定积分求法定积分是指把一段区间内的一种函数值相加以求出总和的方法。
它是微积分中的一种重要运算，可以用来解决一些微分方程的问题，也应用于电力学、力学、热学等领域。
1.求面积定积分的一个重要应用就是求一维函数在一段区间上的积分值，假定函数y=f (x)的定积分表示为∫a bf (x)dx，a、b是两个定义域，f (x)为一个定义域上的函数，这个函数的积分值可以用来表示其定义域内的面积。
2.求曲线的长度定积分也可以用来求出曲线的长度。
假设曲线由一个自变量x描绘出，那么曲线长度就等于∫a b(1+y' )^ dx，其中y'=dy/dx，同样可以利用定积分求出。
3.求体积定积分也可以用来求函数描绘的物体的体积。
假设物体的高度为z=f (x,y)，那么物体的体积就等于∫a b∫a bf (x, y) dx dy，这也是定积分的应用。
4.求重心定积分也可以用来求函数描绘的物体的重心坐标。
假设物体的重量为w=f (x,y,z)，那么物体的重心坐标就是(∫a b∫a b∫a bxf (x, y, z) dx dy dz / ∫a b∫a b∫a bw (x, y, z) dx dy dz, ∫a b∫a b∫a byf (x, y, z) dx dy dz/ ∫a b∫a b∫a bw (x, y, z) dx dy dz,∫a b∫a b∫a bzf (x, y, z) dx dy dz/ ∫a b∫a b∫a bw (x, y, z) dx dy dz)，同样也是定积分的应用之一。
二、定积分求法的两种类型定积分求法一般分为两类，一类是区间定积分，一类是积分形式定积分。
1.区间定积分所谓区间定积分，是指在一个定义域上，由两个端点定义的定义域内的函数求积分。
比如，假定函数y=f (x)在[a, b]上是定义的，求函数f (x)在[a, b]上的定积分，称为区间定积分。
2.积分形式定积分积分形式定积分是指在一个定义域上，由函数f (x)和定义域上的函数值g (x)求函数f (x)在定义域内的定积分。
第2章 定积分的求法2.1 定积分概念定义1：设闭区间[a ,b ]上有1-n 个点，依次为a =0x <1x <2x <…<1-n x <n x =b ,它们把[a ,b ]分成n 个小区间i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,n .这些分点或这些闭子区间构成对[a ,b ]的一个分割，记为 =T {0x ,1x ,…,n x }或{1∆,2∆,…,n ∆}。
（详见[1][3]）定义2：设f 是定义在[a ,b ]上的一个函数。
对于[a ,b ]的一个分割 =T {1∆,2∆,…,n ∆}，任取点i ξ∈i ∆,i =1,2, …,n ，并作和式∑=∆ni iixf 1)(ξ，称此和式函数f 在[a ,b ]上的一个积分和。
（详见[1][3]）定义3：设f 是定义在[a ,b ]上的一个函数，J 是一个确定的实数。
若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a ,b ]的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集{i ξ}，只要T <δ,就有εξ<-∆∑=J xf ni ii1)(，则称函数f 在区间[a ,b ]上可积；数J 在[a ,b ]上的定积分，记作⎰=b adx x f J )(.其中，f 称为被积函数，x 称为积分变量，[a ,b ]称为积分区间，a 、b 分别称为这个定积分的下限和上限。
（详见[1][3]）2.2 定积分的求法2.2.1 运用定义求定积分首先，我们考虑用定积分的定义来求解。
根据定义，分三步求解：将[a ,b ]分成n 个小区间，求得分割T ；近似求和∑=∆ni iixf 1)(ξ；取极限⎰b adx x f )(i ni i T x f ∆=∑=→)(lim 1ξ.例1 用定义计算⎰12dx x .解 （1）分割 把]1,0[等分，T =,2,1,0{nn …，}1 （2）近似求和 取i ξ=ni ， ∑=∆ni i i x f 1)(ξ=∑=⋅⋅ni n ni 1221=∑=⋅n i i n 1231=)12)(1(6113++⋅n n n n（3）取极限⎰12dx x i ni i T x f ∆=∑=→)(lim 1ξ=)12)(1(611lim3++⋅∞→n n n n n =31说明：这种利用定义，“三步走”的方法，求出积分和的极限来计算定积分一般而言是比较困难的。
定积分简单计算例题及解析
一、积分简介
积分是给出一种对函数进行求解的数学运算解法，它可以用来求解微分方程。
积分可分为定积分和不定积分，在定积分的过程中，我们利用某种数学运算方法，在一定的范围内把一个函数的定义域划分为多个小范围，并将该函数进行分段积分，最终得出的结果就是定积分的值。
二、积分计算例题及解析
例1：求解∫2 sinx dx
解：定积分，先使用积分公式将函数分段，
∫2sin x dx=∫0^2 sin x dx+∫2^2-2sin x dx
将分段积分求和，
∫2sin x dx= [-cosx]^2_0 + [-cosx]^2_2 - 2∫2^2-2sin x dx
消去 -2，得
∫2sin x dx= - cos2 + cos0 + 2∫2^2-2sin x dx
再次积分，
∫2^2-2sin x dx = x - 2∫ sin x dx
将它带入上面得，
∫2sin x dx= - cos2 + cos0 + 2(-2sin2 + 2sin20)
化简，
∫2sin x dx=-cos2 + 2sin20
最终结果得：
∫2sin x dx=-cos2 + 2sin20
三、总结
定积分是积分中一种重要的求解方法，它可以用来求解微分方程。
定积分的求解过程需要将函数分段，最后求得定积分的最终结果。
以上我们通过定积分的例题，总结出定积分的求解步骤，这也让我们对定积分的概念有了进一步的理解。
定积分的运算法则与公式定积分啊，这可是数学里挺重要的一块儿知识呢！咱先来说说定积分的运算法则。
定积分有个线性运算法则，就比如说，有两个函数 f(x) 和 g(x) ，还有常数 a 和 b ，那么∫[a 到b] [af(x) + bg(x)]dx = a∫[a 到b] f(x)dx + b∫[a 到 b] g(x)dx 。
这就好像是搭积木，每个函数都有自己的“分量”，加在一起就是总的“成果”。
还有个可加性法则，假如积分区间被分成了两部分，比如说从 a 到c 再从 c 到 b ，那么∫[a 到b] f(x)dx = ∫[a 到c] f(x)dx + ∫[c 到 b] f(x)dx 。
这就好比是你跑一段长路，分成几段来跑，总的路程还是不变的。
再来说说定积分的公式。
常见的比如∫[a 到 b] x^n dx = [(1/(n + 1)) * x^(n + 1)] [从 a 到 b] 。
我想起之前给学生们讲定积分的时候，有个学生特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就给他举了个例子，咱们把定积分想象成计算一堆书叠起来的厚度。
每本书的厚度不一样，就像是不同的函数，但是通过定积分的法则和公式，就能算出这堆书总的厚度。
就拿计算一个简单的定积分∫[0 到 2] x^2 dx 来说吧。
根据公式，先求出原函数是 (1/3)x^3 ，然后把 2 和 0 分别代入，得到 (1/3) * 2^3 - (1/3) * 0^3 = 8/3 。
定积分在实际生活中的应用可不少呢！比如说计算不规则图形的面积。
假设咱们有一块形状奇怪的地，不好直接测量它的面积。
这时候就可以通过建立函数，然后用定积分来算算它的大小。
还有在物理学中，计算变力做功也会用到定积分。
力在不断变化，但是通过定积分就能把这一段过程中的总功给算出来。
总之，定积分的运算法则和公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习、多思考，就会发现它其实挺有用，也没有那么难啦！希望同学们都能把定积分这部分知识掌握好，在数学的海洋里畅游得更欢快！。
1．定积分的概念一般地，如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑（其中x ∆为小区间长度），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作________，即1()d lim ()nbi an i b af x x f nξ→∞=-=∑⎰． 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()d f x x 叫做被积式．2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[,]a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()d baf x x ⎰表示由直线,()x a x b a b ==≠，0y =和曲线()y f x =所围成的__________．这就是定积分()d baf x x ⎰的几何意义．3．定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： ①()d __________(ba kf x x k =⎰为常数）； ②1212[()()]d ()d ()d bb ba aaf x f x x f x x f x x ±=±⎰⎰⎰；③()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（其中a c b <<）． 4．微积分基本定理一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么___________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．为了方便，我们常常把()()F b F a -记成()|ba F x ，即()d ()|()()bb a af x x F x F b F a ==-⎰．微积分基本定理表明，计算定积分()d baf x x ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x ．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x ．学&科网5．定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线所围图形的面积．由曲边梯形面积的求法，我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题，进而用定积分求出面积．6．定积分在物理中的应用①变速直线运动的路程：我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即________s =．②变力做功：一物体在恒力F (单位：N )的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s （单位：m ），则力F 所做的功为W Fs =．已知某物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且该物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到()x b b a =>，求变力()F x 所做的功W ，与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样，可用“四步曲”解决，得到_________W =．K 知识参考答案：6．①()d bav t t ⎰②()d baF x x ⎰K —重点 定积分的几何意义，定积分的基本性质，运用微积分基本定理计算定积分，定积分的应用 K —难点 运用微积分基本定理计算定积分，用定积分求几何图形的面积 K —易错 运用微积分基本定理计算定积分时，弄错积分的上、下限利用定积分的几何意义计算定积分利用定积分所表示的意义求()d baf x x ⎰的值的关键是确定由曲线()y f x =，直线x a =，直线x b =及x轴所围成的平面图形的形状．利用定积分的几何意义求π22π22()sin d d cos x x f x x x --+⎰⎰，其中21,0()31,0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩．【答案】6-． 【解析】ππ20222ππ2222d d d ()sin cos (31)(21)sin cos d d f x x x x x x x x x x x x ----+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰．∵sin cos y x x =为奇函数，∴π2π2sin cos d 0x x x -=⎰．利用定积分的几何意义，如下图：学科@网∴271(31)28d 2x x -+-=-⨯=-⎰，2031(21)122d x x +-=⨯=⎰，故π22π22()sin co 6d s 820d f x x x x x --+=-++=-⎰⎰．【名师点睛】（1）利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．（2）设函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续，则若()f x 是偶函数，则0()d 2()d aaaf x x f x x -=⎰⎰；若()f x 是奇函数，则()d 0aaf x x -=⎰．利用微积分基本定理计算定积分求函数()f x 在某个区间上的定积分时，要注意：（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的函数．当这个函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差． （2）精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．计算下列定积分：（1）221(23)d x x x ++⎰； （2）πcos d (e )x x x --⎰； （3）π22d sin 2x x⎰；（4）94(1)d x x x +⎰．【答案】（1）253；（2）π11e -；（3）π24-；（4）2716．【名师点睛】微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到被积函数的一个原函数．定积分在几何中的应用对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时， （1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． （2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差． 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积（画出图形）．【答案】图形见解析，平面图形的面积为1S =．【解析】画出曲线22y x =+与3y x =，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形．解方程组223y x y x ⎧=+⎨=⎩，可得12x x ==或．故平面图形的面积为322312221201133(2)3d 3(2)d (2)|(2)|3223x x x x S x x x x x x x x =+-+-+=+-+--⎰⎰1=，所以所求图形的面积为1．【名师点睛】（1）定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的．（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．学科&网定积分在物理中的应用（1）已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．（2）利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功． 【答案】将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为22.5J ．【名师点睛】求解时注意单位的换算，把cm 换算为m ．1．定积分()d baf x x ⎰的大小A ．与()f x 和积分区间[],a b 有关，与i ξ的取法无关B ．与()f x 有关，与区间[],a b 以及i ξ的取法无关C ．与()f x 以及i ξ的取法有关，与区间[],a b 无关D ．与()f x 、区间[],a b 和i ξ的取法都有关2．在求由抛物线26y x =+与直线1x =，2x =，0y =所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为 A ．1[,]i in n- B ．1[,]n i n in n +-+ C ．[1,]i i -D ．1[,]i i n n+3．已知31()d 56f x x =⎰，则A ．21()d 28f x x =⎰ B ．32()d 28f x x =⎰C ．212()d 56f x x =⎰D ．2312()d ()d 56f x f x x x +=⎰⎰4．定积分1(2e )d x x x +=⎰A ．e 2+B ．e 1+C ．eD ．e 1-5．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22B ．42C ．2D ．46．计算：11||d x x -=⎰A ．11d x x -⎰B ．11d x -⎰C ．11()d d x x x x --+⎰⎰D ．110d ()d x x x x -+-⎰⎰7．由直线0y =，e x =，2y x =及曲线xy 2=所围成的封闭图形的面积S = A ．2ln 23+ B ．3 C ．22e 3-D ．e8．定积分0|sin cos |d x x x π-=⎰A ．22+B ．22-C ．2D ．229．已知1201d 3x x =⎰，2217d 3x x =⎰，则220(1)d x x +=⎰________________． 10．计算：121(sin )d x x x -+=⎰________________．11．计算π220sin d 2xx =⎰________________．12．若11(2)d 3ln 2ax x x+=+⎰，则实数a =________________．13．已知函数22()31f x x x =++，若11()()d 2f x x f a -=⎰成立，则实数a =________________． 14．已知函数2max (),{}f x x x =，则22()d f x x -=⎰________________．15．已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积S ．16．如图，抛物线的方程为21y x =-，则图中阴影部分的面积可表示为A ．220()1d x x -⎰ B ．|220()1d x x -⎰|C ．220||1d x x -⎰D ．1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰17．设113d a x x =⎰，120d b x x =⎰，130d c x x =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a b c =>D ．a c b >>18．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m /s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+D ．450ln 2+19．下列命题不正确的是A ．若()f x 是连续的奇函数，则()d 0aa f x x -=⎰B ．若()f x 是连续的偶函数，则0()d 2()d aa af x f x x x -=⎰⎰C ．若()f x 在[],a b 上连续且恒正，则()d 0bax f x >⎰D ．若()f x 在[),a b 上连续且()d 0baf x x >⎰，则()f x 在[),a b 上恒正20．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是A ．1B ．2C ．π2D ．π21．已知()f x 是一次函数，若1()d 5f x x =⎰，117()d 6x x x f =⎰，则函数()f x 的解析式为 A ．3(4)f x x =+B ．4(3)f x x =+C ．2(4)f x x =-+D ．4(3)f x x =-+22．已知分段函数21,0()e ,0x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则31(2)d f x x -=⎰A ．13e + B ．2e - C ．713e-D ．12e-23．已知π207sin()d 4x x ϕ-=⎰，则sin 2ϕ=________________． 24．若0cos 2cos d tt x x =-⎰，其中,()0t ∈π，则t =________________．25．已知函数21,10()1,01x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，则11()d f x x -=⎰________________． 26．如图，求由曲线1y x=，2y x =与直线2x =，0y =所围成的阴影部分的面积．1．【答案】A【解析】由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤，可知定积分()d baf x x ⎰的大小与()f x 和积分区间[],a b 有关，与i ξ的取法无关，故选A ．学#科网2．【答案】B【解析】在区间[1,2]上等间隔地插入1n -个点，将它等分成n 个小区间[1，1n n +]，[1n n +，2n n+]， (1),]n i n i n n +-+，…，[21n n-，2]，所以第i 个区间为1[,]n i n in n +-+ 1,2,(),i n =．故选B ．3．【答案】D 【解析】由题可得323112()d ()d ()d 56f x f x x x x f x =+=⎰⎰⎰，故选D ．4．【答案】C 【解析】121212000(2e )d (e )|(1e )(0e )e x x x x x +=+=+-+=⎰，故选C ．5．【答案】D【解析】由已知得23242001(4)d (2)|44S x x x x x =-=-=⎰，故选D ． 6．【答案】C7．【答案】B【解析】由题可得1e21e010122d d 2ln 3S x x x x x x=+=+=⎰⎰，故选B ．8．【答案】D 【解析】44044|sin cos |d (cos sin )d (sin cos )d (sin cos )(sin cos )x x x x x x x x x x x x x πππππππ-=-=-=++--=⎰⎰⎰22，故选D ．9．【答案】143【解析】根据定积分的性质可得2122220011714(1)d d d 22333x x x x x x +=++=++=⎰⎰⎰． 10．【答案】23【解析】12311112(sin )d (cos )33x x x x x --+=-=⎰．学*科网 11．【答案】π24- 【解析】πππ22220001cos 1π2sin d d (sin )2224x x x x x x --==-=⎰⎰． 12．【答案】2【解析】221111111(2)d 2d d ln 1ln 3ln 2aa a aa x x x x x x xa a xx +=+=+=-+=+⎰⎰⎰，解得2a =．13．【答案】1-或1314．【答案】112【解析】如图，可得222,0(){},01,1max ,x x x f x x x x x x ⎧≤=⎪=<<⎨⎪≥⎩，所以201222221d d d d 11()2f x x x x x x x x --=++=⎰⎰⎰⎰． 15．【答案】（1）2()21f x x x =++；（2）9．【解析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意可得240222b ac ax b x ⎧-=⎨+=+⎩，所以1,2,1a b c ===，所以2()21f x x x =++．（2）由2221341y x x x y x x ⎧=++⎪⇒=-⎨=--+⎪⎩或0x =， 所以022320332[(41)(21)]d (3)|93S x x x x x x x --=--+-++=--=⎰． 16．【答案】C【解析】由图形可知阴影部分的面积为1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰，而21220||(1)d 1d x x x x -=-+⎰⎰221()1d x x -⎰，故选C ．17．【答案】B【解析】由题可得141133033d 44a x x x===⎰，1231011d 33b x x x ===⎰，1341011d 44c x x x===⎰，因为113434<<，所以a b c >>．故选B ． 18．【答案】C【解析】令25()7301v t t t =-+=+，解得4t =或83t =-（舍去）．故所求距离是4025(73)d 1t t t -+=+⎰242033[725ln(1)]|74425ln 5425ln 522t t t -++=⨯-⨯+=+，故选C ． 19．【答案】D20．【答案】B【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从π2x =-到π2x =与x 轴围成的面积与从π2x =到3π2x =与x 轴围成的面积相等，故阴影部分的面积ππ22ππ22cos d sin 2S x x x--===⎰，故选B ．21．【答案】A【解析】由题可设((0))f x ax b a =+≠，则11001()d ()d 52f x ax b x x a b =+=+=⎰⎰，1()d xf x x =⎰11117()d 326x ax b x a b +=+=⎰，所以152a b +=且1117326a b +=， 解得4a =，3b =，所以3(4)f x x =+．故选A ．学科@网 22．【答案】C23．【答案】916【解析】由题可得πππ2220sin()d (sin cos cos sin )d (cos cos sin sin )|x x x x x x x ϕϕϕϕϕ-=-=-+=⎰⎰7(sin cos )4ϕϕ--=，两边同时平方可得71sin 216ϕ-=，所以9sin 216ϕ=．24．【答案】π2【解析】由于00cos 2co s s s d in in tt t t x xx -=--==⎰，所以22sin sin 10t t --=，所以sin 1t =（负值舍去），又,()0t ∈π，所以t =π2． 25．【答案】124π+ 【解析】由题可得21012011121π1()d ()d d ()1|22144f x x x x x x x x ---π=+=++++=-⎰⎰⎰．26．【答案】2ln 23+．【解析】由题图知阴影部分的面积3121220101122d d|ln|ln233S x x x x xx=+=+=+⎰⎰．。
3.4专题 定积分与微积分基本定理
【一】基础知识
【1】定积分的定义
【2】定积分的几何意义
当()0f x ≥时，定积分()b
a f x dx ⎰表示由直线,x a x
b ==和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.
【3】定积分的基本性质
（1）
()()b b a a kf x dx k f x =⎰⎰ （2）
()()()()1212b b b
a a a f x f x dx f x dx f x dx +=+⎰⎰⎰ （3）()()()
b
c b
a a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰
【4】微积分基本定理
如果函数()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么
()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰.
【二】例题分析
【模块1】利用微积分基本定理求定积分
【例1】计算下列定积分的值：
（1）3
2dx =⎰ .（2）46cos 2xdx ππ=⎰ .
【例2】计算定积分
()121sin x x dx -+=⎰ .
【例3】计算定积分
()11cos x e x dx -+=⎰ .
【例4】计算定积分
2211x x dx x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎰ .
【例5】
201x dx -=⎰ .
【例6】
3201x dx -=⎰ .
【例7】若函数()3sin ,112,12
x x x f x x ⎧+-≤≤=⎨<≤⎩，则()21f x dx -=⎰ .
【模块2】利用定积分求平面图形的面积
【例1】由直线,,033x x y ππ=-
==与曲线cos y x =所围成的封闭图像的面积为 .
【例2】由直线,,022x x y ππ=-
==与曲线sin y x =所围成的封闭图像的面积为 .
【例3】由曲线23,y x y x ==所围成的封闭图形的面积为 .
【例4】有曲线2,23y x y x ==+所围成的封闭图形的面积为 .
【例5】定积分
0=⎰ .
【例6】求曲线5sin ,0,4y x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
与x 轴所围成的图形的面积.。
