最新定积分及应用61887

·153·第二节 定积分及其应用一、内容精要 （一） 基本概念定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。

定义3.3 设函数f(x)在闭区间[]b a ,上有定义，在闭区间[a,b]内任意插入n-1个分点将[]b a ,分成n 个小区间],[i i x x x -，记),,2,1(n i x x x i i i =-=∆，],[1i i x x -∈∀ξ，作乘积i i x f ∆)(ξ（称为积分元），把这些乘积相加得到和式∑=∆ni iixf 1)(ξ（称为积分和式）设{}n i x i ≤≤∆=1:max λ，若∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ极限存在唯一且该极限值与区是[a,b]的分法及分点i ξ的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数f(x)在[]b a ,上的定积分，记作dx x f ba)(⎰，即i i ni b a x f dx x f ∆=⎰∑=→)()(1lim 0ξλ.否则称f(x)在[]b a ,上不可积.注1由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。

注2若dx x f ba )(⎰存在，区间[]b a ,进行特殊分割，分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。

注3定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即.)()()(du u f dt t f dx x f ba ba ba ⎰=⎰=⎰定积分的几何意义: 若f(x)在[]b a ,上可积，且,0)(≥x f 则dx x f ba)(⎰表示曲线)(x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形的面积.同样，变力所作的功dx x f w ba )(⎰=（其中f(x)是变力）变速直线运动的路程dt t v S ba )(⎰=（)(t v 是瞬时速度），密度不均质直线段[]b a ,的质量dx x M ba )(μ⎰=（其中)(x μ是线密度）。

n
注意 当 f ( i ) xi 的极限存在时，其极限 I 仅与被积函数 f (x) 及积分区间 [ a, b] 有关，如果既不
i1
改变被积函数 f (x) 也不改变积分区间 [a, b] ，不论把积分变量 x 改成其它任何字母，如 t 或 u ，此和的极
限都不会改变，即定积分的值不变．就是
b
f ( x)dx
就越高，若把区间 [a, b] 无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极
限就可定义为曲边梯形的面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：
（ 1）将区间 [ a, b] 划分为 n 个小区间，即在区间 [ a, b] 内任意插入 n 1 个分点：
a x0 x1 x2
记为 Ai (i 1,2, , n) ，在每个小区间 [ xi 1, xi ] 上任取一点 i ( xi 1 i xi ) ，用以 [ x i 1 , x i ] 为底、 f ( i )
为高的窄矩形近似代替第 i 个小曲边梯形 (i 1,2, , n) ，则 Ai f ( xi ) xi ， (i 1,2, , n) ．这样得到
b
方，按照定义， 这时定积分 f ( x)dx 的值应为负， 因此 a
表示上述曲边梯形面积的负值；
b
f ( x)dx
a
（ 3）若在区间 [ a, b] 上， f ( x) 既取得正值又取得负值时，对
应的曲边梯形的某些部分在 x 轴的上方，某些部分在 x 轴的下方，
这时定积分
b
f ( x)dx 表示由直线 x a 、 x b 、 x 轴和曲线
b
a
（ 1）当 a b 时， f ( x)dx 0 ；即 f ( x)dx 0 ．

第六章 定积分及其应用习题6-11、利用定积分的定义计算下列定积分：(1)⎰-21xdx ；解：①令]2,1[)(-∈=C x x f ,因此]2,1[)(-∈R x f ,②取∆为]2,1[-的n 等分,此时有]31,)1(31[],[1nin i x x i i i +--+-==∆-,nx i 3=∆=∆,.,,2,1n i =③取i i i nix ∆∈+-==31ξ,于是)3(33)31()(],[111∑∑∑===+-=+-=∆=∆ni ni ni i i i n n n n n i x f S ξξ2)1(932++-=n n n ,④23293]2)1(93[lim ],[lim 20||||2 1 =+-=++-=∆=∞→→∆-⎰n n n S xdx n ξ.(2)⎰1dx e x .解：①令]1,0[)(C e x f x∈=,因此]1,0[)(R x f ∈,②取∆为]1,0[的n 等分,此时有],1[],[1nin i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i =③取i i i nix ∆∈==ξ,于是∑∑∑=====∆=∆n i nini ni ni i i e n n e x f S 11111)(],[ξξ,④nn n n i n in xee e n e n S dx e 1110||||10 111lim )1(lim ],[lim --==∆=∞→=∞→→∆∑⎰ξ11lim)1(11lim)1(01-=--=--=→∞→e e te e ne tt nn .2、利用定积分的几何意义,说明下列等式：(1)121=⎰xdx ；解：因x y 2=,1=x 及0=y 围成的三角形的面积为1,因此由定积分的几何意义知121=⎰xdx .(2)4112π=-⎰dx x ；解：因圆形122=+y x 的面积为π,那么122=+y x ,0=x 及0=y 围成的是圆形在第一象限的部分,其面积当然为4π,因此由定积分的几何意义知4112π=-⎰dx x .(3)0sin =⎰-ππxdx ；解：因x s in 为奇函数,那么由0=y ,x sin ,π≤≤x 0围成的面积为⎰πsin xdx ,而由0=y ,x sin ,0≤≤-x π围成的面积为⎰-0sin πxdx ,由定积分的几何意义知,两个面积大小相等,符号相反,因此0sin =⎰-ππxdx .(4)⎰⎰=-222cos 2cos πππxdx xdx .解：因x c o s 为偶函数,那么由0=y ,x cos ,20π≤≤x 围成的面积为⎰2c o s πx d x ,而由0=y ,x cos ,02≤≤-x π围成的面积为⎰-2cos πxdx ,由定积分的几何意义知,两个面积大小相等,符号相同,因此⎰⎰=-222c o s 2c o s πππx d xx d x .3、讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=.,0, ,1)(为无理数为有理数x x x D 在区间]1,0[上的可积性.解：取∆为]1,0[的n 等分,此时有],1[],[1nin i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i =取i ξ为i ∆中的某个有理数,i η为i ∆中的某个无理数,于是11)1()(],[111∑∑∑=====∆⋅=∆=∆ni n i i n i i i nx x D S ξξ,0)0()(],[11=∆⋅=∆=∆∑∑==ni i n i i i x x D S ηη,由于1],[lim =∆∞→ξS n ,0],[lim =∆∞→ηS n ,于是)(x D 在]1,0[上的不可积.4、用定积分表示下列极限：(1) ∑=∞→+ni n i n n122lim； 解：⎰∑∑∑+=∆=+=+=∞→=∞→=∞→1 0 211212211)(lim 1)(11lim lim dx x x f nni i n n n i i i n n i n n i n ξ.其中：①]1,0[11)(2C xx f ∈+=,]1,0[)(R x f ∈, ②取∆为]1,0[的n 等分,此时有],1[],[1nin i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i =③取i i i nix ∆∈==ξ,于是n ni x f S ni n ni i i 1)(11lim )(],[121∑∑=∞→=+=∆=∆ξξ,④∑∑⎰=∞→=∞→+=+=+n i n n i n i n nnni dx x 122121 0 2lim 1)(11lim 11.(2) ∑=∞→+ni n i n 11lim； 解：⎰∑∑∑+=∆=+=+=∞→=∞→=∞→1 0 11111)(lim 111lim 1lim dx x x f n ni i n n i i i n n i n n i n ξ.其中：①]1,0[11)(C xx f ∈+=,]1,0[)(R x f ∈,②取∆为]1,0[的n 等分,此时有],1[],[1nin i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i =③取i i i nix ∆∈==ξ,于是n ni x f S ni n ni i i 111lim )(],[11∑∑=∞→=+=∆=∆ξξ,④∑∑⎰=∞→=∞→+=+=+ni n n i n i n nni dx x 1110 1lim 111lim 11.习题6-21、估计下列积分的值：(1)⎰-412)1(dx x ；解：1)(2-=x x f ,]4,1[∈∀x ,1612≤≤x ,15102≤-≤x ,那么⎰-⋅<-<-⋅412)14(15)1()14(0dx x ,∴⎰<-<4 1245)1(0dx x .(2)⎰+4542)cos 1(ππdx x ；解：x x f 2cos 1)(+=,]45,4[ππ∈∀x ,21cos 1≤≤-x ,1cos 02≤≤x , 2cos 112≤+≤x ,那么)445(2)cos 1()445(145 42ππππππ-⋅<+<-⋅⎰dx x ,∴ππππ2)cos 1(45 42<+<⎰dx x .(3)⎰3 31arctan xdx x ；解：x x x f arctan )(=,]3,31[∈∀x ,3arctan 6ππ≤≤x ,33arctan 36ππ≤≤x x ,那么)313(33arctan )313(363 31 -⋅<<-⋅⎰ππxdx x ,)13(3arctan )311(63 31 -<<-⋅⎰ππxdx x ,∴32arctan 93 31ππ<<⎰xdx x .(4)⎰-022dx e xx.解：41)21(22)(---==x xx eex f ,]2,0[∈∀x ,49)21(02≤-≤x ,24841)21(412=≤--≤-x ,241)21(412e e e x ≤≤---那么)02()02(220 412-⋅<<-⋅⎰--e dx eexx ,2241222e dx e exx<<⎰--,∴4122222---<<-⎰e dx e e xx.2、比较下列各题中的两个积分的大小：(1) ⎰=121dx x I ,⎰=142dx x I ；解：由于24x x ≤,]1,0[∈x ,所以112142I dx x dx x I =<=⎰⎰.(2) ⎰=2121dx x I ,⎰=2142dx x I ；解：由于42x x ≤,]2,1[∈x ,所以22142121I dx x dx x I =<=⎰⎰.(3) ⎰=431ln xdx I ,⎰=4332)(ln dx x I ；解：由于3)(ln ln 1x x ≤<,]4,3[∈x ,所以2433431)(ln ln I dx x xdx I =<=⎰⎰.(4) ⎰=11xdx I ,⎰+=12)1ln(dx x I ；解：由于x x ≤+)1ln(,]1,0[∈x ,所以1112)1ln(I xdx dx x I =<+=⎰⎰.(5) ⎰=11dx e I x,⎰+=12)1(dx x I .解：由于xe x ≤+1,]1,0[∈x ,所以1112)1(I dx e dx x I x =<+=⎰⎰.3、设)(x f 及)(x g 在],[b a 上连续)(b a <,证明：(1)若在],[b a 上0)(≥x f ,且0)(≡/x f ,则0)( >⎰badx x f ；证明：因)(x f 在],[b a 上连续,0)(≥x f ,且0)(≡/x f ,则),(0b a x ∈∃..t s 0)(0>x f ,这样0>∃δ..t s)(21)(0x f x f >,],[),(00b a x x x ⊂+-∈δδ,那么⎰⎰⎰⎰++--++=bx x x x abadxx f dx x f dx x f dx x f 0000)()()()(δδδδ0)(2)(210)(21000 000>=⋅=++≥⎰+-x f x f dx x f x x δδδδ.(2)若在],[b a 上0)(≥x f ,且0)( =⎰badx x f ,则在],[b a 上0)(≡x f ；证明：由(1)显然.(3)若],[b a 在上)()(x g x f ≤,且⎰⎰=babadx x g dx x f )()(,则若],[b a 在上)()(x g x f ≡.证明：由条件知在],[b a 上0)()()(≥-=x f x g x F ,0)(≥x F ,且0)( =⎰badx x F ,由(2)知在],[b a 上0)(≡x F ,即)()(x g x f ≡.习题6-31、计算下列各导数：(1) ⎰+3 0 21x dt t dx d ；解：62232 0 213)(1313x x x x dt t dxd x +=+=+⎰.(2) ⎰+42 21x x t dt dx d ；解：48322243 21214)(12)(14142xx x x x x x x t dt dx d x x +-+=+-+=+⎰.(3) ⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解：x x x x dt t dxd x x cos ])(sin cos[sin ])(cos cos[)cos(22cos sin 2⋅-⋅-=⎰πππ.2、计算下列各积分：(1) 2)2()3(230230 2a a x x dx x x aa-=-=-⎰；(2)82124632312223132)313()1(3333321332142==⋅-⋅=⋅-=-=+⎰x x dx x x ；(3)67)2132()232()1(0122301-=+-=+=+⎰x x dx x x ；(4) 631 arctan arctan 101312π-=-==+⎰x x dx ；(5) 621 arcsin arcsin 121210 2π===-⎰x x dx；(6) aa a xa x a dx aa33arctan 1arctan1303 022π===+⎰；(7) 621 arcsin 2arcsin 41012π===-⎰x x dx；(8)21)arctan 2()123(12330130 1 2201 224π+=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x ；(9) 1|1|ln 12121 -=+=+------⎰e e x dx x dx ；(10)41)(tan )1(sec tan 404242πθθθθθθπππ-=-=-=⎰⎰d d ；(11)dxx dx x dx x ⎰⎰⎰-=ππππ2 02 0sin sin |sin |422cos cos 20=+=+-=πππθθ；(12)dx x f ⎰2)(,其中⎩⎨⎧≥<=.1 ,,1 ,)(2x x x x x f解：617)3138(2132)(21310221212=-+=+=+=⎰⎰⎰x x dx x dx x dx x f .3、求下列极限：(1)1lim 1lim lim 222200000====→→→⎰⎰x x x x t x x t x e e dt e dx d x dt e ；(2)32022003202200320220sin sin sin 2lim sin )sin (lim sin )sin (lim x x dt t x dt t t dx d dt t dx d dtt t dt t x x x x x x xx ⎰⎰⎰⎰⎰→→→==；322030203020220cos 3sin lim 2)(sin sin lim 2sin sin lim sin lim 2x x x x dxd dt t dx d x dt t x x x xx xx x →→→→===⎰⎰ 32cos 1lim sin lim 3230220==→→x x x x x .4、设⎰=xtdt x f 0sin )(,求)0(f ',)4(πf '.解：显然x x f sin )(=',于是0)0(='f ,224sin)4(=='ππf .5、求由方程0cos 0=+⎰⎰xyt tdt dt e 所确定的隐函数)(x y y =的导数dxdy.解：方程两端对x 求导,得0cos =+x dx dy ey,所以y exdx dy cos -=.6、求函数⎰-=xt dt te x f 02)(的极值.解：令0)(2=='-x xe x f ,得0=x ,由于当0<x 时,0)(<'x f ,当0>x 时,0)(>'x f ,所以函数有极小值0)0(=f .7、设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且0)(<'x f ,证明函数⎰-=xa dt t f ax x F )(1)( 在),(b a 内的二阶导数0)(<''x F . 题目有误：例如,设x x f -=)(,01)(<-='x f ,有2)(1)(0x dt t x x F x -=-=⎰,21)(-='x F ,0)(=''x F .习题6-41、计算下列定积分：(1)ππππππππππ333)3cos()3()3sin()3sin(+-=++=+⎰⎰x x d x dx x02121)33cos()3cos(=-=+++-=ππππ.(2)16921)49(81)49()49(41)49(122123123=+-=++=+---⎰⎰x x x d x dx .(3)31cos 31cos cos cos sin 203202202=-=-=⎰⎰πππϕϕϕϕϕϕd d .(4)2)2sin 412(22cos 1sin )cos 1(022πθθθθθθθθππππ=-=-==-⎰⎰⎰d d d .(5)232)2(31)2(22122232202222=--=---=-⎰⎰x x d x dx x x .(6)⎰⎰⎰======-==2022022sin cos 1222sin 41cos sin 1ππtdttdt t dx x xtx tdt dx16)4sin 41(81)4cos 1(812020πππ=+=-=⎰t t dt t .(7)61)315(81)5(81 451331324554112=--=--=====-⎰⎰-=-=-t t dt t xxdx x t t x .(8)32ln 2223ln 22)]1ln([212 12121412+=-=+-=+=====+⎰⎰==t t t tdt xdx x t t x .(9))1(2121211110210222-----=-==⎰⎰e e dt e dt te t t t.(10))12ln 1(2ln 12ln 1)ln 1(ln 1212121-+=+=++=+⎰⎰x xx d x x dx.(11)4)2arctan(1)2()2(5412122122π=+=+++=++------⎰⎰x x x d x x dx .(12)32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x .(13)34)(cos 34cos cos 2cos cos 22320223=-=-=-⎰⎰-ππππx x d x dx x x .(14)⎰⎰⎰==+202cos 22cos 22cos 1πππxdxdx x dx x22sin 2220==πx .2、利用奇偶性计算下列定积分：(1)⎰⎰⎰=-=--210221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)6(32)21(arcsin 32)(arcsin 323332103ππ====x .(2)012sin 552432=++⎰-dx x x x x .3、证明下列各题：(1) ⎰⎰+=+xx x dx x dx 1121211,)0(>x ； 证明：⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=+-===+=xx x x x t x x dx t dt tdt t t dt t x dx 1121121122112211211)1(11)1(1)1(1.(2)⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n n m ；证明：⎰⎰⎰⎰-=-=--===--=111110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n nm nm xt nm .(3)⎰⎰=2010010cos 2cos ππxdx xdx .证明：因⎰⎰⎰=--===-=20100210210cos )(cos cosππππππtdt dt t xdx xt ,所以⎰⎰⎰⎰=+=201021021010cos 2cos cos cos πππππxdx xdx xdx xdx .证明：⎰⎰⎰⎰==--===---=201022102210210sin 2sin )2(cos cos ππππππππtdttdt dt t xdx tx⎰⎰==20102010cos 2cos 2ππxdx tdt .证明：⎰⎰⎰======-2010221010cos 2cos cos πππππxdx x xd xdx 偶函数周期.习题6-51、计算下列定积分：(1)1)1(1011011=--=-=-==⎰⎰⎰e e ee dx e xexdedx xe x xx xx.(2)ee e e ex e xdx x x xdx xdx x 12211212142121ln 21ln 21ln -=-==⎰⎰⎰)1(4141421222+=+-=e e e .(3)πππππππ2sin 2cos cos cos sin 2020202020-=+-=+-=-=⎰⎰⎰x xdx x x x xd xdx x .(4)2ln 33|cos |ln 33tan tan tan cos 30303030302-=+=-==⎰⎰⎰πππππππx xdx x x x xd x xdx .(5)42ln 842ln 82ln 2ln 2ln 4141414141-=-=-==⎰⎰⎰x xdx x x x d x dx x x.(6) ⎰⎰⎰+-==10221210210121arctan 21arctan 21arctan dxx x x x xdx xdx x214)41(218)arctan (2181-=--=--=ππππx x .(7)⎰⎰⎰-==12202202202sin 2sin sin cos xdxe x e x d e xdx e x xxxπππ⎰⎰-+=+=1220222cos 4cos 2cos 2xdx e x e e x d e e x xxππππ,∴)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x .(8)⎰⎰-=eeedxx x x dx x 111)cos(ln )sin(ln )sin(ln⎰⎰-+-=--=ee edxx e e dx x x x e 111)sin(ln 11cos 1sin )sin(ln )cos(ln 1sin∴)11cos 1sin (21)sin(ln 1+-=⎰e e dx x e.(9)⎰⎰+-+=+2121211)1ln()1ln(dx x x x x dx x)2ln 13ln 2(2ln 3ln 2)]1ln([2ln 3ln 221+----=+---=x x1427ln12ln 23ln 3-=--=.(10)⎰⎰⎰-======πππ0cos 2sin 2sin 22t td tdt t dx x x t t x πππππ2sin 22cos 2cos 2000=+=+-=⎰t tdt t t .(11)1)1(ln ln 111=--=-=⎰⎰e e dx xx xdx ee e,12)11(1ln ln 111111-=--=-=⎰⎰e e e dx x x xdx ee e ,)11(2ln ln |ln |1111exdx xdx dx x e e e e -=+-=⎰⎰⎰.2、利用递推公式计算：(1)⎰=π0100100sin xdx x J ；解：由于⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,于是⎰⎰⎰===2 0100 0100100100sin sin2sinπππππxdx xdx xdx x J2!!100!!992!!100!!992πππ⋅=⋅⋅=.(2)⎰-=1299299)1(dx xI .解：2!!100!!99cos )1(20100sin 1299299ππ⋅=====-=⎰⎰=xdx dx x I tx .习题6-61、判别下列各广义积分的收敛性,如果收敛计算广义积分的值：(1)⎰+∞13x dx ；解：由于13>=p ,01>=a ,故积分⎰⎰+∞+∞=a p xdx x dx13收敛,且211113=-==-∞+∞+⎰⎰p a x dx x dx p a p .(2)⎰+∞13xdx ；解：由于131<=p ,01>=a ,故积分⎰⎰+∞+∞=a p x dx xdx 13发散.(3)⎰+∞-04dx e x ；解：41410404=-=+∞∞+-⎰xx edx e ,积分收敛.(4)⎰+∞-0sin xdx e x ；解：由于xxd e x e x d e x xd ex x x x⎰⎰⎰------=-=cos cos cos sinx xd e x e x e x d e x e x x x x x ⎰⎰-------=--=sin sin cos sin cos ,有C x x e x xd e x x++-=--⎰)cos (sin 21sin ,于是21)cos (sin 21sin 0=+-=+∞-∞+-⎰x x e xdx e x x ,积分收敛.(5)⎰+∞∞-++542x x dx；解：πππ=--=+=+++=++∞+∞-+∞∞-+∞∞-⎰⎰)2(2)2arctan(1)2()2(5422x x x d x x dx ,积分收敛.(6)⎰-121xxdx ；解：1)1(011)1(211102102212=--=--=---=-⎰⎰x xx d x xdx,积分收敛.(7)⎰-23)1(x dx；解：由+∞=-=-=-=-+++→-→-→⎰⎰)2121(lim )1(21lim )1(lim )1(210201030103εεεεεεx x dx x dx ,知⎰-103)1(x dx 发散,故积分⎰-203)1(x dx发散.(8)⎰-211x xdx ；解：38)131(2)3(2)1(211131021121212=+=+=+====-=-⎰⎰⎰-=+=t t dt t x xdx x xdx x t t x ,积分收敛.2、当k 为何值时,广义积分⎰+∞2)(ln kx x dx收敛？当k 为何值时,这广义积分发散？当k 为何值时,这广义积分取得最小值？解：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=-=-===---∞+∞+⎰⎰.1 ],)2(ln )[(ln 11)(ln 11,1 ,2ln ln ln ln ln ln )(ln ln )(ln 1121222k b k x kk b x x xd x x dx k k b k b k k(1)当1=k 时,+∞=-=+∞→+∞⎰)2ln ln ln (ln lim )(ln 2b x x dxb k ,积分发散；(2)当1<k 时,+∞=--=--+∞→+∞⎰])2(ln )[(ln 11lim )(ln 112k k b k b k x x dx ,积分发散；(3)当1>k 时,1)2(ln ])2(ln )[(ln 11lim )(ln 1112-=--=---+∞→∞+⎰k b kx x dx k kk b k ,积分收敛,作1)2)(ln 1()(--=k k k ϕ,令2ln ln )2)(ln 1()2(ln )(11---+='k k k k ϕ0)2ln ln 11(2ln ln )2(ln 1=+-=-k k得2ln ln 110-=k ,当0k k <时,0)(>'x ϕ, 当0k k >时,0)(<'x ϕ,可见当0k k =时,)(k ϕ取得最大值,于是当2ln ln 110-==k k 时,积分)(1)(ln 2k x x dx k ϕ=⎰+∞取得最小值.3、用Г－函数表示下列积分,并计算积分值[已知π=Γ)21(](1)!)1(01)1(0m m dx e x dx e x xm xm =+Γ==⎰⎰+∞--++∞-, (m 为自然数)；(2)2)21(21)121()23(01230π=Γ=+Γ=Γ==⎰⎰+∞--+∞-dx e xdx e x x x；(3)1!221)3(2121022522=⋅=Γ=====⎰⎰+∞-+∞∞-==-ds e s dx ex s x s xdx ds x .习题6-71、求由下列曲线所围图形的面积：(1)x y =,x y =；解：由 ⎩⎨⎧==xy x y , 得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==11y x ,612132232)(1022310 =-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x A .(2)xe y =,0=x ,e y =；解：1)()(11=-=-=⎰xxe ex dx ee A .(3)23x y -=,x y 2=；解：由 ⎩⎨⎧=-=232x y x y , 得⎩⎨⎧-=-=63y x 或⎩⎨⎧==21y x ,332935)33(]2)3[(132310 2=+=--=--=-⎰x x x dx x x A .(4)22x y =,822=+x y (两部分都要计算)；解：由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=82222x y x y , 得⎩⎨⎧=-= 22y x 或⎩⎨⎧==22y x ,342)68222arcsin 4()28(223222221+=--+=--=--⎰πx x x x dx x x A ,346)342(82-=+-=πππA .(6)xy 1=与x y =,2=x ；解：2ln 23212ln 2)ln 2()1(21221-=--=-=-=⎰x x dx x x A .(7)x e y =,xe y -=,1=x ；解：2)()(111-+=+=-=---⎰e e e e dx e e A x x x x .(8)x y ln =,0=x ,a y ln =,b y ln =(0>>a b ).解：a b edy e A b ayba y -===⎰ln ln ln ln .2、求由下列各题中的曲线所围图形绕指定轴旋转的旋转体的体积：(1)3x y =,0=y ,2=x 绕x 轴、y 轴；解：712872720 622ππππ====⎰⎰xdx x dx y V x ,564)534()4()2(835832822πππππππ=-=-=-⋅=⎰⎰y y dy y dy x V y .(2)2x y =,2y x =绕y 轴；解：y x =1,22y x =,10≤≤y ,10352)52()()(1521412221πππππππππ=-=-=-=-=⎰⎰y y dy y y dy x x V y .(3)16)5(22=-+y x 绕x 轴；解：21165x y -+=,22165x y --=,44≤≤-x ,24424422211601620)(ππππ=-=-=⎰⎰--dx x dx y y V x .(4)222a y x =+绕b x =(0>>a b ).解：221y a x --=,222y a x -= ,a y a ≤≤-,dy y a b dy x b dy x b dV y 2222214)()(-=---=πππ,222224ππb a dy y a b V aa=-=⎰-.3、用平面截面积已知的立体体积公式计算下列各题中立体的体积：(1)以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为H 的正劈锥体．解:y H x A 221)(⋅=22x R H -=,R x R ≤≤-,⎰⎰---==RRR R dx x R H dx x A V 22 )(2)(H R 22π=.(2)半径为R 的球体中高为H )(R H <的球缺．解:)()(22y R y A -=π,R y H R ≤≤-,yORxR-RR-hyx])([3)()(332 22 H R R H R dy y R dx x A V RH R R H R ---=-==⎰⎰--πππ)3(3232HR H H RH -=-=πππ.(3)底面为椭圆12222≤+b y a x 的椭圆柱体被通过x 轴且与底面夹角α(20πα<<)的平面所截的劈形立体．解:αtan 1121)(2222a xb a x b x A -⋅-=),1(tan 2222a x b -⋅=α )(a x a ≤≤-,ααtan 32)1(tan 2)(2 222 ab dx a x b dx x A V a a a a =-==⎰⎰--.习题6-81、已知边际成本为xx C 257)(+=',固定成本为1000,求总成本函数.解：因x x t t dt tdt t C C x C x xx507)507()257()()0()(00 0 +=+=+='=-⎰⎰,所以x x x x C x C 5071000507)0()(++=++=.2、已知边际收益bx a x R -=')(,求收益函数.解：20 2)()()0()()(x b ax dt bt a dt t R R x R x R x x-=-='=-=⎰⎰.3、已知边际成本为x x C 2100)(-=',求当产量由20=x 增加到30=x 时,应追加的成本数.12222=+b y a x yO axa-xyαbα解：应追加的成本数为500)100()2100()()20()30(3020230203020=-=-='=-⎰⎰x x dx x dx x C C C .4、已知边际成本为x x C 430)(+=',边际收益为x x R 260)(-=',求最大利润(设固定成本为0).解：2020230)230()430()()0()()(x x t t dt t dt t C C x C x C xx x +=+=+='=-=⎰⎰,202060)60()260()()0()()(x x t t dt t dt t R R x R x R xxx-=-=-='=-=⎰⎰,于是x x x C x R x L 303)()()(2+-=-=,令0306)(=+-='x x L ,得5=x ,而06)5(<-=''L ,所以最大利润为7553053)5(2=⨯+⨯-=L .5、某地区居民购买冰箱的消费支出)(x W 的变化率是居民总收入x 的函数,xx W 2001)(=',当居民收入由4亿元增加至9亿元时,购买冰箱的消费支出增加多少？解：消费支出增加数为01.01001100200)()4()9(949494===='=-⎰⎰xx dx dx x W W W (亿元).6、某公司按利率%10(连续复利)贷款100万元购买某设备,该设备使用10年后报废,公司每年可收入b 万元. (1) b 为何值时,公司不会亏本？ (2) 当20=b 万元时,求内部利润(应满足的方程)； (3) 当20=b 万元时,求收益的资本价值. 解：已知利率1.0=r ,10=T 年,b t P =)(,(1)公司保本的条件是：10年总收入的现值＝100万元,即)1(10)(1001101.00----===⎰⎰e b dt be dt e t P t T rt ,82.151101≈-=-e b ,所以,当82.15≈b 万元时,公司不会亏本；(2)设内部利润为μ,那么)1(2020)(1001010μμμμ----===⎰⎰e dt e dt e t P t Tt,μμ1015--=e ,01510=-+-μμe ,%94.151594.0=≈μ,所以,当20=b 万元时,内部利润为%94.15；plot(5*x+exp(-10*x)-1,x=0.15936..0.15937);(3) 收益的资本价值＝收益流的现值－投入资金的现值,即100)1(20010020100)(1101.00--=-=----⎰⎰e dt e dt e t P t Trt42.262001001≈-=-e (万元).。

3 y = x 2
2
1 2
x
x2 + y2 = 1
3 例5 求由 x + y = 1与 y = x 围成的图形中 2 y 轴旋转而成的体积. 较小的一块分别绕 x 轴、 轴旋转而成的体积
2 2
2
解 V y = 2 ⋅ π [ 1 − y 2 ) 2 − ( 2 y 2 ) 2 ]dy ∫0
3
7 3 = π. 10
S = ∫ [ϕ ( y ) − ψ ( y )]dy
c d
y d
y
d
x = ψ ( y) c o x = ϕ ( y)
x = ϕ ( y)
x = ψ ( y) o x
x c
y
y = f ( x)
对 x 积分 求面积
(1) S = ∫ f ( x )dx
b
y
y = f ( x)
(3)
(1)
o a
y
3 2
y
3 2
1 3 ( , ) 2 2
3 y = x 2
2
o
x
x2 + y2 = 1
三.经济中应用 经济中应用 已知边际函数求该函数在某一间隔的改变量: 已知边际函数求该函数在某一间隔的改变量 由
f (b) − f (a) =
∫
b
1.已知 总产量的变化率为 Q′(t ) 已知 区间 [a , b] 上的产量
y
(4)
x = ψ ( y)
x = ϕ ( y)
c o
d c
x
c o
(4) S = ∫ [ϕ ( y ) −ψ ( y )]dy
c d
x
(3) S = ∫ [ϕ ( y ) −ψ ( y )]dy

定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。

本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。

一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。

通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。

定积分的结果是一个数值。

二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。

例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。

这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。

三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。

例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。

定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。

四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。

例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。

定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。

五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。

例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。

定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。

六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。

例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。

定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。

七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。

根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。

八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。

液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。

定积分与应用定积分是微积分学中的重要概念之一。

它不仅在数学中具有重要的作用，也在其他学科和实际生活中有着广泛的应用。

本文将围绕定积分及其应用展开讨论。

一、定积分的定义和性质定积分是将一个区间上的函数进行分割，然后求出每个小区间上函数值与区间宽度的乘积之和，这个和在区间无限分割的极限情况下，称为定积分。

定积分的定义可以用以下式子表示：∫[a,b]f(x)dx = lim(n→∞)∑(i=1 to n)f(xi*)Δxi其中，f(x)是定义在[a,b]上的函数，Δxi为小区间的宽度，xi*为小区间内某点的取值。

定积分具有一些重要的性质，如线性性、保号性和积分中值定理。

线性性表明定积分具有加法性和数乘性，即∫[a,b](f(x)+g(x))dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx，以及∫[a,b]k·f(x)dx = k·∫[a,b]f(x)dx；保号性则表示如果在[a,b]上，f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx ≥ 0；积分中值定理则说明如果在[a,b]上，f(x)是连续函数，那么必然存在一个点c，使得∫[a,b]f(x)dx = f(c)·(b-a)。

二、定积分的几何意义定积分的几何意义是确定函数图像与坐标轴之间的面积。

当函数在[a,b]上为非负函数时，∫[a,b]f(x)dx表示曲线与x轴、[a,b]之间的面积。

当函数在[a,b]上有正有负时，定积分的几何意义可以理解为对曲线上部分的面积与对曲线下部分的面积进行抵消，最终求出的是坐标轴与曲线围成的区域的有向面积。

三、定积分的应用定积分在数学中有着丰富的应用，特别是在对曲线长度、曲线面积、体积、质量等问题的求解中起到了重要作用。

1. 曲线长度定积分可以用来计算曲线的长度。

对于一条曲线段，若知道曲线段在坐标轴上的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中a≤t≤b，那么曲线段的长度可以用定积分求出：L = ∫[a,b]√[f'(t)²+g'(t)²]dt其中，f'(t)和g'(t)分别表示x=f(t)，y=g(t)的导数。

定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。

本文将从三个方面来论述定积分的应用。

一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。

以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。

其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。

以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。

最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。

二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。

比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。

若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。

三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。

比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。

而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。

在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。

在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。

总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。

熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。

定积分的应用解析定积分是微积分中重要的一部分，它在物理学、经济学、统计学等各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨定积分的应用，并通过具体的例子说明其解析过程。

一、图形面积的计算定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负，可将该图形分割为许多矩形或梯形，并逐渐将分割趋于无穷细，那么这些矩形或梯形的面积之和就可以通过定积分来表示。

例如，我们计算函数y=x^2在区间[0,1]上的曲线与x轴所围成的图形面积。

首先，将该区间分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n，其中a=0，b=1。

然后，选取小区间中的一点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，再计算出每个小区间的面积Ai=f(xi)Δx。

最后，将所有小区间的面积之和进行求和运算，即可得到图形的面积：S = ∑(i=1到n) Ai = ∑(i=1到n) f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，即Δx趋近于0，上述求和运算将趋近于定积分∫(a到b) f(x)dx。

因此，图形的面积可以表示为：S = ∫(0到1) x^2dx二、物理学中的应用在物理学中，定积分在描述物体的运动、力学、流体力学等方面有着广泛的应用。

1. 位移、速度与加速度设一个物体在某一时刻t的位移为s(t)，那么在时间区间[t1,t2]内的位移可以通过定积分来计算：∫(t1到t2) s(t)dt类似地，速度和加速度可以分别表示为位移的一阶和二阶导数。

通过对速度和加速度的定积分，我们可以获得物体在某一时间区间内的位移和速度。

2. 力学工作与功力学工作可以表示为力F在位移s下的力学作用。

假设力在位移方向上的大小与位移成正比，那么力学工作可以通过定积分来进行计算。

工作W = ∫(a到b) F(x)dx功则表示物体由于力的作用而发生的位移，并可以通过力的积分来计算。

功A = ∫(a到b) F(x)ds三、经济学中的应用在经济学中，定积分在计算总量、均值等方面有着广泛的应用。

定积分的若干应用定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来计算曲线下面的面积、求解物理学中的质心、计算概率密度函数等。

下面将分别介绍定积分在这些应用中的具体应用。

一、计算曲线下面的面积定积分最基本的应用就是计算曲线下面的面积。

具体来说，如果我们要计算函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲线下面的面积，可以使用下面的公式：$$\int_a^b f(x)dx$$其中，$\int$表示积分符号，$a$和$b$分别是积分区间的下限和上限，$f(x)$是被积函数。

这个公式的意义是将区间$[a,b]$分成无数个小区间，然后计算每个小区间内$f(x)$的面积，最后将所有小区间的面积相加得到整个区间$[a,b]$下面的面积。

二、求解物理学中的质心在物理学中，我们经常需要求解物体的质心。

如果物体是由一些离散的质点组成的，那么可以使用下面的公式求解质心：$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n m_ix_i}{\sum_{i=1}^n m_i}$$其中，$\bar{x}$表示质心的位置，$m_i$表示第$i$个质点的质量，$x_i$表示第$i$个质点的位置。

但是，如果物体是由一些连续的质点组成的，那么就需要使用定积分来求解质心。

具体来说，如果物体的密度分布函数为$\rho(x)$，那么可以使用下面的公式求解质心：$$\bar{x}=\frac{\int_a^b x\rho(x)dx}{\int_a^b \rho(x)dx}$$其中，$a$和$b$分别是物体的起始点和终止点。

这个公式的意义是将物体分成无数个小区间，然后计算每个小区间内的质心位置和质量，最后将所有小区间的质心位置和质量相加得到整个物体的质心位置。

三、计算概率密度函数在概率论中，我们经常需要计算概率密度函数。

如果一个随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，那么可以使用下面的公式计算$X$在区间$[a,b]$内的概率：$$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)dx$$其中，$P(a\leq X\leq b)$表示$X$在区间$[a,b]$内的概率。

定积分及其应用嘿，朋友！想象一下这样一个场景：你走进一家蛋糕店，看到那一排排精美诱人的蛋糕，是不是瞬间就心动了？老板告诉你，他们要计算每个月蛋糕的销售总量，这时候，定积分就派上用场啦！定积分，这听起来似乎有点高大上，让人摸不着头脑。

但其实，它就像我们生活中的小助手，默默地发挥着巨大的作用。

咱先来说说定积分到底是啥。

你可以把它想象成一把神奇的尺子，能够测量出那些不规则图形的面积。

比如说，你画了一个奇奇怪怪的形状，用普通的方法根本没法算出它的面积。

这时候定积分就跳出来说：“别担心，交给我！”它能把这个复杂的形状分割成无数个小小的部分，然后一点点计算，最后得出总面积。

那定积分在实际生活中有啥用呢？这用处可多了去啦！比如说，工程师们在设计桥梁的时候，需要计算桥梁的受力情况。

这可不是简单的事情，桥梁的形状可不规则啦，这时候定积分就能帮助他们精确地算出受力面积和压力大小，从而确保桥梁的安全稳固。

这就好像是给工程师们配备了一副超级厉害的眼镜，让他们能看清那些隐藏在复杂结构中的关键数据。

再比如，你开车在路上，想知道在一段时间内汽车行驶的路程。

速度可不是一直不变的呀，一会儿快一会儿慢。

这时候定积分又出马了，它能根据速度随时间的变化，算出这段时间内汽车行驶的总路程。

这不就像是给你的行程做了一个精确的记录员嘛！还有哦，在医学领域，医生们要计算药物在人体内的浓度变化，定积分也能大显身手。

它能帮助医生准确地把握药物的作用效果和代谢情况，从而制定出更合理的治疗方案。

你看，定积分虽然听起来有些深奥，但它其实就在我们身边，默默地为我们解决着各种各样的问题。

它就像一个默默无闻的超级英雄，不张扬，却有着强大的力量。

现在，你是不是对定积分有了新的认识？是不是觉得它其实并没有那么遥不可及？定积分，就是这样一个神奇而实用的工具，在各个领域发挥着不可或缺的作用，为我们的生活带来便利和保障！。

性质
1 线性性质
定积分的线性性质使得我们能够对函数的和、差、乘以常数进行积分。
2 区间可加性
在一个区间上的积分等于在多个子区间上的积分之和。
3 保号性质
当函数在一个区间上不改变符号时，其定积分保持正负性质。
计算方法
换元法
通过变量代换，将原本复杂的积分转化为简单 的积分。
分部积分法
将原本难以求解的函数积分转换成两个易于求 解的函数之积分。
定积分的应用
通过物理、经济学相关实例展示定积分在实际中 的应用价值。
总结与回顾
在本课件中，我们深入学习了定积分的定义、性质、计算方法以及应用。希 望这些知识能够帮助你更好地理解和应用定积分，在解决实际问题中发挥重 要作用。
《定积分及其应用》PPT 课件
欢迎大家来到本次关于《定积分及其应用》的PPT课件，本课件将带领你深 入探索定积分的世界，揭示其定义、性质、计算方法以及广泛的应用。让我 们开始这个精彩的学习之旅吧！
定义
定积分代表曲线和x轴之间的面积，可以看作是无穷多个微小的面积的累加。
区别。
应用
几何意义
定积分可以计算曲线和x轴之间的面积，可以应用于计算图形的面积、弧长、体积等。
物理应用
定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量等问题的求解。
经济学应用
定积分可以应用于经济学中的边际效应、总收益、总成本等的分析和计算。
综合实例展示
曲线的定积分
通过实际例子展示如何计算曲线和x轴之间的定 积分。

定积分的应用在微积分中，定积分是一种重要的概念和工具。

它不仅可以用于求解曲线下的面积，还可以应用于多个领域，包括物理、经济学和工程学等。

本文将介绍定积分的应用，并通过实际问题进行说明。

一、曲线下的面积定积分最基本的应用之一是求解曲线下的面积。

假设有一个函数f(x)，我们想要计算其在区间[a, b]上的曲线下的面积。

我们可以将[a, b]的区间划分为若干小区间，然后在每个小区间上取一个点，通过计算这些小区间的面积之和来逼近整个曲线下的面积。

随着小区间数目的增加，逼近的精度也会提高，最终可以得到非常准确的结果。

二、物理学中的应用定积分在物理学中有广泛的应用。

例如，在力学中，我们可以利用定积分来计算物体的质量、速度和加速度等。

通过将物体运动过程中的力和加速度关系用函数表示，然后对这个函数在一定时间内的积分，就可以得到物体在该时间内的位移。

同样地，通过对速度函数在一段时间内的定积分，可以计算出物体在该时间内的位移。

三、经济学中的应用定积分在经济学中也有重要的应用。

一种常见的应用是计算曲线下的总收益或总成本。

假设有一个企业的收益函数为R(x)，我们可以通过对该函数在某个时间段内的定积分，得到该时间段内企业的总收益。

同样地，如果有一个成本函数C(x)，我们可以通过对该函数在某个时间段内的定积分，得到该时间段内企业的总成本。

这种方法可以帮助经济学家更好地了解企业的经营状况并作出相应的决策。

四、工程学中的应用定积分也在工程学中有广泛的应用。

例如，在建筑工程中，我们可以利用定积分来计算建筑物的体积。

假设有一个建筑物的截面曲线为f(x)，我们可以通过对该曲线在一定范围内的定积分，得到该范围内建筑物的体积。

同样地，在水力学中，我们可以利用定积分来计算河流的流量，以便更好地了解水流情况并采取相应的措施。

综上所述，定积分是一种重要的工具，可以应用于求解曲线下的面积、物理学、经济学和工程学等多个领域。

通过对函数在一定范围内的定积分，我们可以得到与实际问题相关的重要信息，从而更好地理解和解决问题。

定积分的应用定积分是数学中的一个重要概念，它在许多领域中具有广泛的应用。

本文将介绍定积分的基本概念和性质，并探讨其在几何学、物理学和经济学等领域中的应用。

首先，让我们回顾一下定积分的定义。

在数学中，定积分是一个函数与另一个函数之间的一种关系，通常表示为∫f(x)dx。

其中，f(x)是被积函数，x是积分变量，dx表示对x的微小变化。

定积分表示的是函数f(x)在给定区间[a,b]上的面积或曲线下的总体积。

定积分具有以下几个重要的性质。

首先，如果f(x)是[a,b]上的连续函数，那么定积分存在且唯一。

这一性质保证了定积分的可靠性和确定性。

其次，定积分的值可以通过积分的上限和下限来计算。

换句话说，定积分是一个函数的区间值。

最后，定积分的值可以通过一种基本定理来计算，即牛顿—莱布尼茨公式。

该公式告诉我们，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么定积分可以通过求F(x)在区间[a,b]上的差值来计算。

在几何学中，定积分有着广泛的应用。

通过计算曲线下的面积，我们可以求解两个曲线之间的交集、计算物体的体积等。

例如，如果我们要求解一个曲线和x轴之间的面积，我们可以将该曲线表示为y=f(x)，然后计算∫f(x)dx在所给区间上的值。

同样地，我们可以使用定积分来计算曲线的弧长，通过公式∫√(1+(dy/dx)^2)dx来实现。

定积分在几何学中的应用还包括求解曲线的重心和弦长等问题。

物理学是另一个应用定积分的领域。

在物理学中，物体的质量、力、功和能量等都与空间的分布有关。

通过将物体分成许多微小的部分，并计算每个部分的质量或力的大小，我们可以使用定积分来对整个物体的质量或力进行求和。

例如，我们可以使用定积分来计算一个线密度为λ(x)的细线段的质量，通过公式∫λ(x)dx来实现。

同样地，我们可以使用定积分来计算一个变力F(x)在区间[a,b]上所做的功，通过公式∫F(x)dx来实现。

定积分在物理学中的应用还包括计算速度、加速度和热量等。

定积分的计算及应用定积分，作为微积分中的重要概念之一，是对曲线下面积的求解方法。

在现实生活中，定积分有着广泛的应用，既可以用于求解几何图形的面积，也可以应用于物理学、经济学等领域。

本文将重点介绍定积分的计算方法及其应用。

一、定积分的定义定积分的定义是通过极限的概念来描述的。

对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用极限进而表示为：∫(a到b) f(x) dx = lim(Δx→0) ∑[i=1到n] f(xi)Δx其中，Δx = (b-a)/n，xi是区间[a, b]上的任意一点。

二、定积分的计算方法1. 几何法利用几何图形的面积求解定积分是较为直观的方法。

例如，要计算y=f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以先将函数图像和x轴围成的区域分为若干个小矩形，然后计算每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。

2. 积分基本公式对于一些常见的函数，可以利用积分基本公式来求解定积分。

如常数函数的积分、幂函数的积分、三角函数的积分等。

这些基本公式能够简化定积分的计算过程，提高计算效率。

3. 换元法换元法也是定积分计算中常用的方法之一。

通过引入新的变量进行替换，将原函数转化为一个更易处理的形式，从而简化定积分的计算。

常见的换元法包括代换法和三角换元法。

4. 分部积分法对于乘积形式的函数，可以通过分部积分法将其转化为定积分的形式，从而进行求解。

分部积分法是一种利用导数和积分之间的关系来求解定积分的方法，通过反复应用可以将复杂的积分化简为简单的形式。

三、定积分的应用1. 几何应用定积分广泛应用于几何学中的面积计算。

通过对函数曲线与x轴之间的面积进行定积分，可以计算出曲线所围成的图形的面积，如矩形、三角形、梯形等。

同时，定积分也可以应用于求解平面图形的重心、离心率等相关问题。

2. 物理应用在物理学中，定积分被应用于求解物体的质量、速度、加速度等相关问题。

例如，根据质点的速度函数，可以通过定积分计算出质点在某段时间内的位移、位移函数的增量、加速度函数的平均值等。

第五章 定积分及其应用第一节 定积分的概念一、问题提出 1、曲边梯形面积(1)曲边梯形:由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f ,],[b a x ∈、x 轴与 两条直线a x =、b x =所围成.(2) 计算曲边梯形面积的思路：用矩形面积近似取代曲边梯形面积.显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积． 图形> with (student):rightbox(x^2, x=0..1,5,color=MAGENTA); leftbox(x^2, x=0..1,60,color=MAGENTA);(3) 计算曲边梯形面积如图：在区间],[b a 内任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，把区间],[b a 分成n 个小区间，],[1i i x x -长度为 1--=∆i i i x x x ,在每个小区间上任取一点i ξ,以为],[1i i x x -底,)(i f ξ为高的小矩形面积为)(x f y =axyOAb )(x f y =a x y O b AxyO)(x f y =A1x 0x a =2x bx n =1-n x 1-i x ix 1ξ2ξi ξn ξ)(x f y =a x y O b Ai i i x f A ∆=)(ξ, 曲边梯形面积的近似值为 i ni i x f A ∆≈∑=)(1ξ,当分割变细即小区间的最大长度0},,max{21→∆∆∆=∆n x x x 时,有i ni i x f A ∆=∑=→∆)(lim 1ξ.2、变速直线运动的路程 (1) 路程问题:设某物体作直线运动,已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上t 的一个连续函数,且0)(≥t v ,求物体在这段时间内所经过的路程s .(2) 计算思路：把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.(3) 计算变速直线运动的路程在区间],[21T T 内任意插入若干个分点212101T t t t t t T n n =<<<<<=- ，把区间],[21T T 分成n 个小区间，],[1i i t t -长度为1--=∆i i i t t t ,在每个小区间上任取一时刻i τ,以i τ为时的速度)(i v τ近似代替],[1i i t t -上的平均速度,得到相应路程的近似值i i i t t s ∆≈∆)(τ,物体运动路程的近似值为 ini it v s ∆≈∑=)(1τ,当分割变细即小区间的最大长度0},,max{21→∆∆∆=∆n t t t 时,有i ni i t v s ∆=∑=→∆)(lim 1τ.二、定积分定义 1、积分和(1) 区间],[b a 的分割∆：将],[b a 分成n 个小区间],[1i i i x x -=∆,.,,2,1n i =i s ∆1T 2T 1-i t i t i t ∆)(t v∆:b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 . 注: ∆可以有无穷多,而且不一定是等分的.(2) 分割∆的细度∆：}{max }{max 111-≤≤≤≤-=∆=∆i i ni i ni x x x .显然: ∆≤∆i x ,.,,2,1n i =(3) 区间i ∆中的介点i ξ：任取的i i ∆∈ξ,.,,2,1n i =用ξ表示取定的一组介点),,,(21n ξξξ .(4))(x f 在],[b a 上关于∆及ξ的部分和：∑=∆=∆ni iix f S 1)(],[ξξ2、定积分的定义设)(x f 在],[b a 上有界,J 为一常数. 若∆∀, i i ∆∈∀ξ,恒有 J xf S ni ii=∆=∆∑=→∆→∆1||||0||||)(lim],[lim ξξ则：(1)称)(x f 在],[b a 上可积,记作],[)(b a R x f ∈.(2)称J 为)(x f 在],[b a 上的定积分,记作⎰badx x f )(,即x f dx x f ni i ba∆=∑⎰=→∆)(lim )(1ξ.其中：① )(x f 称为被积函数； ② dx x f )(称为被积表达式. ③ x 称为积分变量, ④ b 、a 称为积分上、下限；⑤ ],[b a 称为积分区间.注：(1)积分变量x 也可以换成其他字母如t 、u 等等,即⎰⎰=babadt t f dx x f )()(.(2)规定①0)( =⎰aadx x f ；② ⎰⎰-=baa bdx x f dx x f )()(, b a <.3、定积分的几何意义：由曲线)(x f y =、直线a x =、b x =及0=y 围成的曲边形的面积.)(x f y =xyO1x 0x a =2x bx n =1-n x 1-i x ix 1ξ2ξiξnξ4、定积分存在定理(1) 定理：设)(x f 在],[b a 上有界,只有有限个间断点,则],[)(b a R x f ∈. (证明略,可参看华东师范大学《数学分析》)(2) 推论:① ],[)(b a C x f ∈⇒],[)(b a R x f ∈. ② ],[)(b a C x f ∈⇒],[|)(|b a R x f ∈.例1 计算⎰12dx x .解：(1) 令]1,0[)(2C x x f ∈=,因此]1,0[)(R x f ∈.(2) 取∆为]1,0[的n 等分. 此时有],1[],[1nin i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i =(3) 取i i i nix ∆∈==ξ于是 ∑∑∑=====∆=∆n i ni ni i i i n n n i x f S 12312111)()(],[ξξ236)12)(1()12)(1(611n n n n n n n ++=++⋅= (4) 31626)12)(1(lim],[lim 20||||1 0 2==++=∆=∞→→∆⎰n n n S dx x n ξ.其中：=+++22221n )12)(1(61++n n n . 这是由于 133)1(233+++=+n n n n , 有xy O )(x f y =a b ++-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+⋅+⋅=-+⋅+⋅=-+-+-=--++=-+.1131312,1232323,1)1(3)1(3)1(,133)1(233233233233n n n n n n n n 从而 n n n n ++++++++=-+)21(3)21(31)1(2223 ,那么n n n n 31)21(]1)1[(31213222-+++--+=+++)1(21)33(3123+--++=n n n n n n )33(61)462(61223n n n n n +-++= )32(6123n n n ++=)12)(1(61)132(612++=++=n n n n n n .第二节 定积分的性质一、定积分的性质假设以下各函数都是可积的，且b a <.(1-4对b a >也成立) 1、⎰⎰⎰±=±ba bab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明：∑⎰=→∆∆±=±ni iiib ax g f dx x g x f 1|||| )]()([lim )]()([ξξ∑∑=→∆=→∆∆±∆=ni iin i iix g x f 1||||1||||)(lim )(limξξ⎰⎰±=babadx x g dx x f )()(.2、⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(, (k 为常数).证明：⎰∑∑⎰=∆=∆==→∆=→∆bani i i n i i i badx x f k x f k x kf dx x kf 1||||1|||| )()(lim )(lim )(ξξ.3、⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(.证明：(1)先假设b c a <<.设1∆与2∆是],[c a 与的],[b c 分割,那么1∆与2∆联合起来构成了],[b a 的分割∆. 于是∑⎰=→∆∆=ni i i bax f dx x f 1|||| )(lim )(ξ∑∑=→∆=→∆∆+∆=22111220||||1110||||)(lim)(limn i i in i i ix f x f ξξ⎰⎰+=bccadx x f dx x f )()((2) 若c b a <<,有⎰⎰⎰+=cbbacadx x f dx x f dx x f )()()(于是⎰⎰⎰⎰⎰+=-=bcc ac bc abadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )()()()()(.(3) 若b a c <<,同(2)可证. 4、a b dx dx baba-==⎰⎰∆1.证明：a b a b xxf dx ni ini iiba-=-=∆=∆=→∆=→∆=→∆∑∑⎰)(lim lim)(lim||||1||||1|||| ξ.5、若],[,0)(b a x x f ∈≥,则0)( ≥⎰badx x f .注：若)(x f 在],[b a 连续非负且不恒为零,则0)( >⎰ba dx x f .证明：因],[,0)(b a x x f ∈≥,而0>∆i x ,于是0)(1≥∆∑=ni iixf ξ,所以 0)(lim )(1|||| ≥∆=∑⎰=→∆ni i i bax f dx x f ξ.推论：(1) 若],[),()(b a x x g x f ∈≤,则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(.证明：因],[,0)()()(b a x x f x g x F ∈≥-=,于是⎰⎰⎰≥=-bababadx x F dx x f dx x g 0)()()(，所以 ⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(.(2)⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(|)(.证明：因],[|,)(|)(|)(|b a x x f x f x f ∈≤≤-,于是⎰⎰⎰≤≤-bab ab adx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,所以⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(|)(.例2 比较积分值dx x ⎰12和dx x ⎰13的大小.解： 因32x x>,)1,0(∈x , dx x dx x ⎰⎰>∴13102.6、设M 与m 为)(x f 在],[b a 上的最大值与最小值,则)()()( a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰.证明：因],[,)(b a x M x f m ∈≤≤,所以 )()()( a b M Mdx dx x f mdx mdx m a b m bab ab aba-=≤≤==-⎰⎰⎰⎰.例3 估计积分dx x ⎰+π03sin 31的值. 解： ,sin 31)(3xx f += ],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31s i n 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰≤+≤πππ .3sin 31403πππ≤+≤∴⎰dx x7、积分中值定理(1)定理：设],[)(b a C x f ∈,则],[b a ∈∃ξ,..t s ))(()( a b f dx x f ba-=⎰ξ.证明：因],[)(b a C x f ∈,)(x f 在],[b a 上存在最大值M 与最小值m ,于是 )()()( a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰或 M dx x f ab m ba ≤-≤⎰ )(1 由连续函数介值定理知：],[b a ∈∃ξ,..t s⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ, 即 ))(()( a b f dx x f b a -=⎰ξ.二、几何意义在区间],[b a 上至少存在一个点ξ,使得以区间],[b a 为底边，以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而 高为)(ξf 的一个矩形的面积。

定积分的应用(13定积分是高中数学中十分重要的概念之一，其应用范围很广。

在这篇文章中，我们将会介绍一些定积分的应用。

1. 计算曲线下的面积对于一个平面上的曲线，我们可以通过计算它与 $x$ 轴之间的定积分来计算它所占的面积。

如果我们已知一个函数 $f(x)$，并且想要计算它的图像和 $x$ 轴之间的面积，可以使用下面的公式：$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$其中，$a$ 和 $b$ 是积分的上下限。

这个公式是一个重要的几何概念，可以用于计算圆的面积、三角形的面积等。

2. 计算速度和位移可以使用定积分来计算物体的速度和位移。

当物体的速度是一个连续函数时，我们可以用定积分来计算它的位移。

例如，一个物体的速度曲线可以表示为 $v(t)$，则物体的位移可以通过下面的公式计算：这个公式表示的是从时间 $a$ 到时间 $b$ 的总位移。

如果我们知道物体的位移曲线，并且想要计算它的速度，可以通过求导来得到速度曲线。

3. 动量和力的计算在物理学中，动量是一个十分重要的概念。

如果我们知道一个系统中各个物体的质量和速度，可以使用下面的公式计算它的总动量：$$p = \sum_{i=1}^{n}m_iv_i$$其中，$m_i$ 表示物体 $i$ 的质量，$v_i$ 表示它的速度。

如果我们需要计算某个时间段内系统的总动量，可以使用在这个时间段内速度的平均值。

其中，$F_i$ 表示物体 $i$ 受到的力。

4. 发现未知函数的性质定积分可以帮助我们发现一个未知函数的性质。

例如，我们可以通过计算一个函数在所有可能的 $x$ 值上的定积分，来探究函数的奇偶性、增减性等。

同时，如果我们已知一个函数的一些性质（如连续性、单调性等），可以使用定积分来证明这些性质。

总的来说，定积分在科学和工程领域中有着广泛的应用。

无论是求解面积、计算速度和位移、计算动量和力、还是探究未知函数的性质，所有这些应用都用到了定积分的概念。

定积分是数学中一个极为重要的工具，掌握定积分的应用是我们进行科学研究和实践工作的必备技能。