留数定理在定积分计算中的应用论(参考模板)

留数定理在定积分中的应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文介绍留数定义和留数定理以及一些改进的留数计算方法，并讨论了留数理论在定积分计算中的应用。

关键词 留数定理；定积分；应用1． 留数定义定理及其他一些定理1．1 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．1．2 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1 []1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分）()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．2．留数定理在计算积分中的应用2．1 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。

iax iaz CR k 1
K
故，我们得到
R iax R CR
0
iaz
Jordan引理3.1见下页
K
R ( x )e dx R ( z )e dz 2i Re s[ R ( z )e iaz , z k ]
k 1
从上面可以看出 本方法可以计算下列形式的积分： ,

R
R
R( x ) cos axdx R( x ) sin axdx ，
于是 1 p2 1 p4 I 2i 2 2ip 2ip 2 (1 p 2 )
6
(2) 形如 R( x)dx的积分


(有理函数积分)
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
用z替换 x
要求！！
z n a1 z n 1 a n (1) 设R ( x ) R ( z ) m , m n 2. m 1 z b1 z bm 且 R ( z )在实轴上没有奇点.
用z替换 x
且 R ( z )在实轴上没有奇点.
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
取积分路线如图，则构成了一个 闭路C C R [ R, R ], 使得R ( z )e
iaz
(2)
z2 zK
CR
z1
-R
R
在上半平面内所有的奇点都含于C内.
于是，有


R
R
R( x )e dx R ( z )e dz 2i Re s[ R ( z )e iaz , z k ]
函数R( z )在上半平面内的所有奇点为z ai, 且都为一级极点.
ze iz ea Re s[ R( z )e , ai] lim ( z ai) z ai ( z ai)( z ai) 2 于是，有

0
π
dx 2 ( a 0). a sin x
8
§ 5.3
例2
π
留数在定积分中的应用
计算
0
π
dx 2 ( a 0). a sin x
π dx dx 1 π d2 x 解： 0 2 a sin x 0 a 1 cos 2 x 2 0 a 1 cos 2 x 2 2 令 2x t,
留数，从而简化计算.
1
主要内容：
一、形如 二、形如
0 R(cos , sin )d R( x )dx

2π
三、形如
R( x )e aixdx (a 0)
四、小结与思考
2
§ 5.3
2π
留数在定积分中的应用
一、形如 0 R(cos , sin )d 的积分
z1. .
CR
zk 都包在这积分路线内.此时
R
.
0
.
R
x
C R 与 R, R 一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其
内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
此式不因 C R 的半径 R 不断增大而有所改变.
18
§ 5.3
因为
留数在定积分中的应用
1 z
z
mn
R( z )

1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
1

2
f z dz 2 i Re s f z , z k 其中C为单位圆： z 1 正向.
C k 1
n
zk k 1,2,, n 为包含在C内的f(z)的孤立奇点.
f(z)为z的有理函数,且在C上分母不为零,满足留数定理的条件,而
例1 计算I
为了使积分路线不通过奇点,取图示路线。
按照柯西-古萨基本定理,有
e e e e C R z dz R x dx Cr z dz r x dx 0
r R
iz
ix
iz
ix
从而上式中
r e R ix
ix e R r e r e dx ， 令 x t， 则 R dt r dx R x t x
0

i Re sRz , zk
1 R x dx R x dx 2
应用公式 R x dx 2 i Re sRz , zk 要注意:

(1) R(x)中分母的次数至少比分子的次数高二次.并且R(z)在实轴 上没有孤立奇点. (2)zk是 R(z)所有的在上半平面内的奇点. 2 x dx .a 0, b 0的值。 例2 计算积分 I 2 2 2 2 x a x b [解] 这里 m 4, n 2, m n 2， z2 并且实轴上Rz 2 z a 2 z 2 b 2 没有孤立奇点,因此积分是存在的。
aRsin e d 0
2 ay e ds z

aR
2 2
0
2 1 e aR aR


y 1

2
y
2

p]


lim
z p
(
z

p)
1 z4 2iz2(1 pz)(z

p)
因此

1 2ip2 (1
p4 p2
, )
I

2π
i
1 p2 2ip2

1 2ip2 (1
p2 p2 )

2π 1
p2 p2
.
例2
计算
π
0
1

dx sin 2
. x
解
π
0
1

dx sin 2
x

π
0
1

1
dx cos
2x

0π 2

d2 x 1 cos
2
x
2
令 2x t,

02 π
3
dt cos
t
1


z 1
3

(z2
1)
dz 2z 2

6
z

. 1
极点为 : z1 3 2 2
z2 3 2 2
CR Q(z)

0
P(R ei Q( R
)iR ei ei )
d
;
由于分母Q(z)的次数比分子P(z)的次数至少高两次,则
zP(z) 0, 当z 时. 即 Q(z)
P( R ei )R ei Q(R ei )
0,
当z

R 时.
从而
R :
R(z)dz 0 ;
m ema. 4a
注意 以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴

0
2
Res[R(z), zk ].
例 4
计算
x2
x4
x2
dx 1
z 4 z 2 1 (z 2 1)2 z 2 (z 2 z 1)(z 2 z 1) 0
f (z) z 2 的四个一阶极点为: z4 z2 1
1 z1,2 2
3
1
2
i, z3,4
2
3 2
i,
其中z1
R
|z|1
z2 1, 2z
z2 1
2iz
dz iz
|z|1
f
(z)d
z
其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有
n
f (z) d z 2π i Res[ f (z), zk ]
|z|1
k 1
其中zk (k=1,2,...,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.
§5.3 留数在定积分计算上的应用
留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积 分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利 用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的， 要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的 一部分。
b
l2
如图，对于实积分 a f (x)dx ，变量 x
定义在闭区间 [a,b] (线段 l1 )，此区间
rx
z CR
z Cr
R sin x
eiz
eiz
2i
dx dz dz .
rx
z CR
z Cr
因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限
lim eiz dz与lim eiz dz
z R CR
z r0 Cr

3
§5.3 留数在定积分计算中的应用
第 五 章 P120 例5.24
留 解 由 1 2 p cos p2 (1 p)2 2 p(1 cos ) 及 0 p 1,
数 及
可知被积函数的分母不为零，因而积分是有意义的。
其 应
(1) 令 z ei ,
用
则 d d z , cos z z1 ,
在上半平面内， i 为一阶极点，
数
及 其
eiaz
Res[ f (z) , i ] 2z
ea
. 2i
应
z i
用
(2)
e ia x
ea
x2 1 dx 2 πi 2i
πea,
0
cos a x x2 1
dx
πea
2
;
同理
0
cos b x x2 1
iz
2
cos 2 ei2 ei2 z2 z2 ,
2
2
4
§5.3 留数在定积分计算中的应用
第
五
章
留
数
解
(2)
I
| z|1
z2 z2 2

1
2
p
z
1
z 1

p2
dz iz
及
2
其 应 用
| z|1
1 z4 2i z2(1 pz)(z
及
其 应
(3)

x2
x cos 2x
x
10
dx

π 3
e3 (cos1 3sin1);
用

x2

个有界区域，函数 f(z) 在 D 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,..., zn外处处解析. C是D内包围各 奇点的一条正向简单闭曲线,那么我们有：
n

C
f ( z )dz 2i Res[ f理的基本思想
D
zn C3 Cn z1 z2
z3
C1
显然，函数在z0处的留数C1就是积分 1 f ( z )dz 2 i C 的值.
其中，C为函数f ( z )的去心邻域0 z - z0 R 内绕z0的闭曲线，方向为逆时针方向.
注：留数Res[f(z), z0] 与圆C的半径r无关.
二、留数定理
定理 5.1 （留数定理）设 D 是复平面上的一

C
f ( z )dz 0
如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不 一定等于零。
定义5.1 设z0是解析函数f ( z )的孤立奇点， 我们把f ( z )在z0处的洛朗展开式中负一次 幂项的系数C1称为f ( z )在z0处的留数.记作 Re s[ f ( z ), z0 ]，即 Re s[ f ( z ), z0 ] C-1
求沿闭曲线C积分 求C内各孤立奇点处的留数.
三、留数的计算
求函数在孤立奇点处的留数的一般方法 ——将函数在以z0为中心的圆环内展开为 洛朗级数，求出级数中C-1(z-z0)-1项的系数C-1
如果z0是可去奇点，则Res[f(z), z0]=0;
如果z0是本性奇点，则往往只能用展开成洛朗
级数的方法来求C-1.
Res[f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) P( z0 ) / Q '( z0 ).

z2 (z2 + a2 )(z2 + b2 )
的一级极点为± , , 在上半平面内. 的一级极点为±ai, ±bi, 其中 ai 与 bi 在上半平面内.
11
z2 Res[R(z), ai] = lim(z − ai) 2 2 2 2 z→ai (z + a )(z + b ) 2 −a a = , 2 2 = 2 2 2ai(b − a ) 2i(a − b )
6
2. 形如 ∫−∞ R( x)d x 的积分 当被积函数 R(x)是 x 的有理函 是 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)在 在 实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 不失一般性, 不失一般性, 设
2 ∞
在∫
+∞
0
2.∫ sin x d x = ∫
0
∞
0
1 π cos x d x = 2 2
2
17
−∞
R , 如果 ( x)为偶函数
∫
+∞
0
R( x)d x = πi∑Res[R(z), zk ]
10
例计算下列积分： 例计算下列积分：
x2 I =∫ dx(a > 0, b > 0) 2 2 2 2 −∞ ( x + a )( x + b )
+∞
的值. 的值. =4,n=2, =2,并且实轴 没有孤立奇点, [ 解] 这里 m=4, =2, - n=2, 并且实轴上 R(z)没有孤立奇点, =4, =2,m- =2, 并且实轴上 没有孤立奇点 因此积分是存在的. 函数 因此积分是存在的.

∫
+∞ ∞
Pn ( x ) iα x Pn ( z ) iε z e dx = 2π i ∑ Re s[ e , zk ]. Qm ( x ) Qm ( z ) Im zk > 0
还可计算积分
因为
∫
+∞ ∞
+∞ P ( x ) Pn ( x ) n cos α xdx ∫∞ Qm ( x ) sin α xdx . 和 Qm ( x )
Qm ( z ) 是 m 次多项式且 m ≥ n + 2 , 则 λ = 0, 这时
Pn ( z ) lim ∫ dz = 0 ( m ≥ n + 2 ). R→+∞ SR Q ( z ) m
由此得到
Pn ( z ) f (z) = 在实轴上没有奇点， 若 Qm ( z ) 在实轴上没有奇点，且 m ≥ n + 2 , 则
α > 0 且 lim f ( z ) = 0( 0 ≤ arg z ≤ π ), 则 0, z→∞ 若
R→+∞ CR
lim
∫
f ( z )eiα z dz = 0.
Pn ( z ) f (z) = 特别地， 特别地，若 Qm ( z ) 且 m ≥ n + 1 , 则它满足 Jordan
引理条件, 引理条件,这时
a b = π i[ + ] 2 2 2 2 2i ( a b ) 2i ( b a )
2
2
=
π
2( a + b )
.
四、计算形如∫∞
+∞
f ( x )e iα x dx (α > 0) 的积分
引理2（ 引理）： 引理 （Jordan引理）： 引理

R es[ f (z),- 1]}
由规则1, 得
Res[
f
( z ),1]
lim( z
z1
-1)
z ez z2 -1
lim
z1
z ez z 1
e 2
Res[
f
(z), -1]
lim ( z
z-1
1)
z ez z2 -1
lim
z-1
z ez z -1
e-1 2
.
因此
ÑC
z z2
ez -
1
d
z
2πi(e 2
讨论问题：柯西积分定理、柯西积分公式与留数定理 的关系如何？
n
f(z)dz2πiRefs(z[),zk]
C
k1
三、留数的计算 1、留数只对孤立奇点而言才有意义。
2、求罗朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数c-1。
如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利。 1）如z0是f (z)的可去奇点, 则Res[f (z), z0]=0;
z
z
(
ez z-
1) 2
lim
z 0
(z
ez - 1)2
1.
Resf[(z)1,](2-11)!lzi m1 ddz(z-1)2
留数定理和定积分计算上的应用
§1 留数定理 §2 留数在定积分计算上的应用（一） §3 留数在定积分计算上的应用（二）
§1 留数定理
如果函数f (z)在z0的邻域内解析, 根据柯西积分定理
f (z)dz 0.
C
如果z0为f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去
心邻域0<|z-z0|<R内，包含z0的任意一条正向简单闭

题目：留数在计算积分中的应用学院：数学院专业：信息与计算科学姓名：指导教师：完成日期：2013年5月15摘要留数是复变函数论中一个重要的概念. 留数的概念最早由柯西于1825年提出. 由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项10()z z --，因此称为留数. 它在很多问题上都有重要应用，如定积分计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为部分分式,将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近估计等.本文将分别梳理留数定理的相关概念及其在计算积分上的应用.给出孤立奇点的定义和分类. 接着给出函数零点与极点的关系，留数定理的相关定义与定理及其求法. 本文的核心内容是留数定理在计算积分上的应用.关键词：孤立奇点；留数；留数定理；积分；AbstractResidue is an important concept in the complex variable function theory. The concept of residue is put forward first by Cauchy in 1825. As a result of the function of the Laurent expansion during integral leaving only 10()z z -- so called residue. It has important application in many issues, such as definite integral computation, function zeros and poles number calculation, will be launched as part of the meromorphic function fraction, the entire function as an infinite product, stability theory, the asymptotic estimate, etc.This article will combing the related concepts of residue theorem and its application, the definition and classification of isolated singularity will be given. The next section will be give the relationship between function zeros and poles, and relevant definition and theorem of residue and its calculation methods. The core content of this article is the applications of the residue theorem integral calculation.Keywords: isolated singularities; residue; residue theorem; integral;目录序言 ............................................................................................... 1 第1章基本定理 (2)1.1 孤立奇点 ............................................................................................. 2 1.2 孤立奇点的分类 .................................................................................. 2 1.3 解析函数在无穷远点的性态................................................................. 5 1.4 函数的零点与极点的关系 .................................................................... 6 1.5 留数定理 ............................................................................................. 6 1.6 留数的计算 (7)第2章 留数计算在积分中的应用 (10)2.1 型如20(cos ,sin )R d πθθθ⎰的积分 (10)2.2 型如20()R x dx π⎰的积分 (11)2.3 型如(),(0)iax R x e dx a +∞-∞>⎰的积分 (13)2.4 应用多值函数来计算实变函数的积分 (14)第3章 总结 ................................................................................ 17 参考文献 ...................................................................................... 18 致谢 (19)序言留数又称残数，是复变函数论中一个重要的概念. 留数的概念最早由..A L -柯西于1825年提出. 如果0z 是解析函数()f z 的孤立奇点，把()f z 在0z 处的洛朗展式中一次幂项的系数1C -称为()f z 在0z 处的留数. 记作 0Re [(),]s f z z ，即01Re [(),]s f z z C -=. 由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项 10()z z --，因此称为留数. 它在很多问题上都有重要应用，如定积分计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为部分分式，将整函数展开为无穷乘积，稳定性理 论,渐近估计等.本文将从两大部分分别梳理留数的相关概念及其应用.在第1章的基本概念部分中，将给出孤立奇点的定义和分类、函数零点与极点的关系. 我们把不解析的点称做奇点，函数()f z 点0z 不解析，但在0z 的某个去心领域 00||z z r <-<内处处解析，则称0z 为()f z 的孤立奇点.根据洛朗展式的不同形式又将其分为可去奇点、极点和本性奇点. 本文将讨论无穷远点的性态，函数零点与极点的关系，接着将介绍留数定义和留数定理及留数的4种计算规则. 留数定理：D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线C . 设函数()f z 在内除去有孤立奇点 1z ，2z ，，n z 外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点也解析.那么我们有1()2Re (,)nn k Ck f z dz i s f z π==∑⎰.第2章将重点介绍利用留数定理计算3种经典类型的积分，它们分别是形如20(cos ,sin )R d πθθθ⎰，20()R x dx π⎰，(),(0)iax R x e dx a +∞-∞>⎰.最后将通过对 0(1)dx I x x α+∞=+⎰和30ln (1)xI dx x +∞=+⎰的计算简单的了解应用多值函数来计算实变函数的积分.第1章基本定理本章将首先讨论留数相关的基本定理. 讨论孤立奇点,孤立奇点的分类，无穷远点，极点与零点的关系，这是对留数定理及留数的计算是必要的准备. 接着开始对留数的讨论，给出留数定理，留数的计算. 首先将从孤立奇点开始.1.1 孤立奇点我们把不解析的点称做奇点. 下面我们讨论孤立奇点的定义[2]:若函数()f z 点0z 不解析，但在0z 的某个去心领域 00||z z r <-<内处处解析，则称0z 为()f z 的孤立奇点.例如,0z =是函数 1()f z z=的孤立奇点. 0z =和1z =-都是21()(1)f z z z =+ 的孤立奇点. 但并不是所有的奇点都是孤立奇点. 如0z =和负实轴上的点都是函数 ()ln f z z =的奇点.但它们不是孤立奇点.下面我们看一下函数()f z 在 00||z z r <-<内的洛朗展式0()()n n f z C z z +∞-∞=-∑ , (1.1)101()(0,1,2,)2()pn n C f C d n i z ζζπζ+==±±-⎰ . (1.2) 1.2 孤立奇点的分类根据(1.1)式，可将孤立奇点分为如下几类. 1.2.1可去奇点当(1.1)中0n <时，0n C =，则称孤立奇点0z 为()f z 的可去奇点，即2010200()()()n n C C z z C z z C z z +-+-++-+. (1.3)此时，式(1.2)的和函数()S z 在0z 点解析. 当0z z ≠时，()()f z S z =；当 0z z =时0()S z C =. 但由于 000lim ()lim ()z z z z f z S z C →→===，所以不论()f z 在0z 有无定义.若令00()f z C =，则在0||z z r -< 内有2010200()()()()n n f z C C z z C z z C z z =+-+-++-+. (1.4)于是()f z 在0z 点解析. 这就是孤立奇点0z 被称可去奇点的原因. 例如，sin ()zf z z=，0z =为可去奇点. 这是由于()f z 在0z =的洛朗级数 35111z ()3!5!f z z z z -+（）=24613!5!7!z z z =-+-+.中不含负幂项，若约定函数sin ()z f z z =在0z =处的值为0. 则函数 sin ()zf z z= 在0z =处解析.定理1.1[1] 设函数()f z 在 00||z z r <-<(0)r <≤+∞内解析，那么0z 是()f z 的可去极点的必要与充分条件是：存在着极限 00lim ()x x f x C →=其中0C 是一个复数.定理1.2[1] 在定理1.1的假设条件下，0z 是()f z 的可去极点的必要与充分条件是：存在着某一正数r p ≤，使得()f z 在 00||z z p <-<内有界. 1.2.2 极点如果只有有限个（至少一个）整数0n <，使得0n C ≠，那么我们说0z 是函数()f z 的极点. 如果式(1.1)只含有有限多个0z z -的负幂项，且关于0z z -的最高次幂项为 0()m z z --，即1201001020()()()()()m m f z C z z C z z C C z z C z z ----=-++-++-+-+(1.5)其中1m ≥，0m C -≠. 称孤立奇点0z 为()f z 的m 阶极点. 令21020()+m m m g z C C C --+-+=++（z-z ）（z-z ）.则(1.4)式可表示为 01()=()z-mf zg z （z ），其中()g z 在 0||z z r -<内解析，且0()0g z ≠. 反之，若(1.4)式成立，则称0z 是()f z 的m 阶极点. 按照1m =或1m >，我们也说0z 是()f z 的单极点或m 重极点.定理1.3[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<<≤+∞内解析，那么0z 是()f z 的极点的必要与充分条件是 0lim ()z z f z →=∞．定理1.5[2] 0z 是函数()f z 的m 阶极点的充要条件是 01()=()z-mf zg z （z ）. 其中，()g z 在0z 点解析，且0()0g z ≠.例如，2()(1)(2)zf z z z =-+，1z =，2z =分别是()f z 的一阶极点和二阶极点.1.2.3 本性奇点在(1.1)式中如果有无穷多个0z z -的负幂项，则称孤立奇点0z 为()f z 的本性奇点. 例如,1()zf z e =,0z =是本性奇点，这是由于()f z 在0z =的去心领域的洛朗级数+中含有无穷多个z 的负幂项. 不难发现， 当z 沿负实轴趋于0时，有10ze →. 当z 沿正实轴趋于0时，有 1ze →+∞.故01lim z z→不存在，也不为∞.定理1.6[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<<≤+∞内解析，那么0z 是()f z 的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无限的极限0lim ()z z f z →.定理1.7[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<<≤+∞内解析，那么0z 是 内一定有收敛于0z 的序列{}n z ，使得 lim ()n n f z p →+∞=.定理1.8[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<<≤+∞内解析，那么0z 是()f z 的本性奇点的必要与充分条件是：对任何复数p ≠∞，至多有一个例外，在00||z z r <-<内，一定有一个收敛于0z 的序列{}n z ，使得 ()(1,2,3)n f z p n ==.1.3 解析函数在无穷远点的性态设函数()f z 在区域||(0)r z r <<+∞≥内解析，那么无穷远点称为()f z 的孤立奇点. 在这区域内，()f z 有洛朗级数展式：()nnn f z C z+∞=-∞=∑. (1.6)其中n C 由(1.2)相似的公式确定.令1z w =，按照00r r >=或，我们得到在 10||0||+w w r<<<<∞或内解析的函数 1()()w f wϕ=，其洛朗级数展式是：()nnn C w wϕ+∞=-∞=∑. (1.7) 如果是()w ϕ的可去奇点、（m 阶）极点或本性奇点. 这样，(1) 如果当1,2,3n =时，0n C =那么z =∞是函数()f z 的可去奇点.(2) 如果只有有限个（至少一个）整数0n >，使得0n C ≠, 那么z =∞是()f z 的极点. 设对于正数m ，0m C ≠；而当n m >时，0n C =，那么z =∞是()f z 的（m 阶）极点. 按照1m =或1m >，我们也说z =∞是()f z 的单极点或m 重极点.(3)如果有无穷个整数0n >，使得0n C ≠，那么z =∞是()f z 的本性奇点.定理1.8[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<≤内解析，那么z =∞是()f z 的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是： 存在着有限、无穷极限lim ()z z f z →或不存在有限或无穷的极限0lim ()z z f z →.定理1.9[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<≥内解析，那么z =∞是()f z 的可去奇点的必要与充分条件是： 存在着某一数0r ρ≥， 使得()f z 在 0||z ρ<<+∞内有界．1.4 函数的零点与极点的关系如果函数()f z 在0z 点解析且 0()0f z =则称0z 为()f z 的零点；若()f z 能表示成0()()()m f z z z z ϕ=-.(1.8)其中()z ϕ在0z 解析，且0()0z ϕ≠，m 为正整数，则0z 为()f z 的m 极零点. 例如，z i =-与1z =是 32()(1)()f z z z i =-+的2级零点和1级零点．由此我们有下面的定理：定理1.10[1] 设函数()f z 在0z 解析，则0z 为()f z 的m 级零点的充要条件是()()0(0,1,2,,1)n f z n m ==-，()()0n f z ≠.例如，1z =是 3()1f z z =-的1级零点. 因为(1)0f =，(1)30f '=≠.函数的零点与极点有下面的关系：定理1.11[2] 0z 是()f z 的m 极极点的充要条件是0z 是1()f z 的m 级零点. 例如，1z =是 31()1f z z =-的1级极点，是 3()1f z z =-的1级零点. 1.5 留数定理留数定义[3] 设0z 是解析函数()f z 的孤立奇点，我们把()f z 在0z 处的洛朗展式中一次幂项的系数1C -称为()f z 在0z 处的留数. 记作0Re [(),]s f z z ，即01Re [(),]s f z z C -=.显然，留数1C -就是1()2cf z dz i π⎰在0z 处的值，其中C 为解析函数()f z 的0z 的去心领域内绕0z 的闭曲线. 关于留数我们有如下定理：定理1.12（留数定理[1]） 设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线C . 设函数()f z 在 内除去有孤立奇点1z ，2z ，，n z 外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点也解析.那么我们有1()2Re (,)nn k Ck f z dz i s f z π==∑⎰. (1.9)这里沿C 的积分是关于区域D 的正向取的.证 以D 内每一个孤立奇点k z 为心，做圆k γ，使以它以边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点.从D 中除去以这些k γ为边界的闭圆盘得以区域G ，其边界是C 以及k γ在G 及其边界所组成的闭区域G 上，()f z 解析.因此根据柯西定理，1()()knCk f z dz f z dz γ==∑⎰⎰.这里沿C 的积分是按关于区域D 的正向取的，沿k γ的积分是按反时针方向取的.根据留数的定义可推出(1.9).1.6 留数的计算在本段中，我们讲述在几种常见的情形下如何计算留数.先考虑一阶极点的情形. 设0z 是函数()f z 一个一阶极点. 这就是说，在去掉中心0z 的某一圆盘内0()z z ≠，01()()f z z z z ϕ=-. 其中()z ϕ在这圆盘内包括在0z z =解析，其泰勒级数展式是：00()()n n n z C z z ϕ+∞==-∑， (1.10)而且 00()0C z ϕ=≠. 显然，在()f z 的洛朗级数中，01z z -的系数等于0()z ϕ. 因此00Re (,)lim()()n z x s f z z z f z →=-.如果容易求解出展式(1.10)，那么由此可得 0Re (,)n s f z C =；否则要采用其它方程求留数.如果在上述去掉中心0z 的圆盘内0()z z ≠，()()()P z f z Q z =. (1.11) 其中()P z 及()Q z 在这圆盘内包括在0z z =解析，0()0P z ≠，0z 是 ()Q z 的一阶零点，并且()Q z 在这圆盘内没有其它零点，那么0z 是()f z 的一阶极点，因而有规则1 如果0z 是()f z 的一阶极点，则00Re (,)lim()()z z s f z z z f z →=-. (1.12)规则2 设00()()()P z f z Q z ='，()R z 和()Q z 在0z 都解析，如果0()0P z ≠，0()0Q z ≠，0()0Q z '≠，则0z 为()f z 的一阶极点，并且000()Re (,)()P z s f z Q z ='. (1.13) 例 1.1 函数 2()1iz e f z z =+有两个一阶极点z i =±，这时()1()2izP z e Q z z='. 因此 Re (,)2i s f i e =-，Re (,)2i s f i e -=. 其次，我们考虑高阶极点的情形，设0z 是函数()f z 的一个k 阶极点. 这就是说，在去掉中心0z 的某一圆盘内0()z z ≠，01()()()kf z z z z ϕ=-. 其中()z ϕ在这圆盘内包括在0z z =解析，而且0()0z ϕ≠. 在这圆盘内，0()z ϕ有展式(1.13). 由此可见01Re (,)k s f z C -=. (1.14)因此问题成了求解()z ϕ的泰勒展式的系数.显然，0(1)(1)01()()lim(1)!(1)!k k k z z z z C k k ϕϕ---→==--. 因此，我们还可有以下规则规则3 如果0z 是()f z 的一阶极点，则01001[()()]1Re (,)lim (1)!k k k z z d z z f z s f z k dz--→-=-. (1.15)例1.2 函数 3sec ()zf z z =在0z =有三阶极点.因此 1Re (,0)2s f =. 由(1.15)有，Re (,0)s f 也可以由下列公式求得：232301sec 1Re (,0)lim 22z d z s f z dz z →⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.下面给出函数在无穷远点处的留数 规则4211Re (,)Re ,0s f s f z z ⎛⎫⎛⎫∞=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. (1.16)第2章 留数计算在积分中的应用在本章中，我们将讲述留数计算积分的应用. 在数学分析以及实际问题中，往往要求一些定积分或反常积分的值，而这些积分中被积函数的原函数，不能用初等函数，有的即便可以求出原函数，计算也往往比较复杂.利用留数定理，要计算某些类型的定积分或反常积分，只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数.我们只考虑几种特殊类型的积分，并且指出怎样计算这些类型的积分的问题化为计算留数的问题，重点讨论几种单值函数.2.1 型如20(cos ,sin )R d πθθθ⎰的积分被积函数(,s i n )R c o n θθ为cos θ与sin θ的有理函数. 令i z e θ=，那么i d z i e d z θ=,211sin ()2i i z e e zi iz θθθ--=-=，211cos ()2i i z e e z zθθθ-+=+=. 从而，所求积分化为沿正向单位圆的积分22||1||111,()22z z z z dz R f z dz z iz iz==⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎰⎰. (2.1) 其中()f z 在曲线||1z =上为z 的有理函数，且在单位圆上分母不为零. 所以，满足留数定理的条件，根据留数定理，得所求的积分值为 012Re ((),)nk i s f z z π=∑.其中 (1,2,,)k z k n =为包含()f z 的孤立奇点例 2.1 计算积分20sin dtI a tπ=+⎰. (2.2)其中常数1a >.令it e z =，那么 11sin 2t z i z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，dz dt iz =，而且当t 从0增加到2π时，z 按反时针方向绕圆 :||1C z =一周. 因此2221c dzI z iaz =+-⎰. (2.3)于是应用留数定理，只须计算2221dzz iaz +-在||1z <内极点处的留数，就可求出I .积分(2.3)中被积函数有两个极点：211z ia i a =-+-及221z ia i a =---. 显然，1||1z <，2||1z >. 因此被积函数在||1z <内只有一个极点1z ，而它在这点的留数是2121221z ia i a =+-. 于是求得 2212211I i i a a ππ=⋅=--. 例2.2 计算积分 220sin dxa xπ+⎰，(0)a >2222202211sin 2sin (12)cos 22(12)cos 2dx dx dx d a x a x a x a πππππππθθ---===+++-+-⎰⎰⎰⎰ 令i z e θ= ，则 1cos 2z z θ-+=，dz dz iz =当θ有π-变到π时，z 依反时针方向绕圆:1C z =一周，从而有：212(12)cos 22(21)1()()C C d dz dzi i a z a z z z ππθθαβ-==+--++--⎰⎰⎰ 其中 2(21)(21)1a a α=+++-，2(21)(21)1a a β=+-+- 是被积函数的一阶极点，显然1α>，1β<. 故被积函数的两个极点中只有β在C 内，而11Re ,()()4(1)dz s z z a a βαββα⎡⎤==-⎢⎥---+⎣⎦ 有留数定理得：22012sin ()()4(1)2(1)C dx dz i i i a x z z a a a a πππαβ⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪+--++⎝⎭⎰⎰ 2.2 型如20()R x dx π⎰的积分令1111()()()n n nm m mz a z a P z R z Q z z b z a --+++==+++，(2)m n -≥. (1) ()Q z 比()P z 至少高两次. (2) ()Q z 在实轴上无零点.(3) ()R z 在上半平面0m I z >内的极点为(1,2,,)k z k n =，则有1()2Re ((),)nk k R x dx i s R z z π+∞-∞==∑⎰.例 2.3 计算积分22,(0)ixe dx a x a+∞-∞>+⎰. (2.4) 令221()F z z a=+，选择积分路径，则()F z 在R C 内只有一个一阶极点z ai =对于R z C ∀∈，显然有2222lim lim ()R ix ixiz C R R e e dx dx F z e dz x ax a +∞+∞-∞-∞→+∞→+∞=+++⎰⎰⎰ 222Re ,iz a e i s ai z a ae ππ⎛⎫== ⎪+⎝⎭. 例 2.4 计算积分221(1)I dx x +∞=+⎰. (2.5) 显然，该积分收敛，应用留数定理来计算它比较简单. 为此，考虑函数221(1)z +这函数有两个二阶极点，在上半平面的一个是||z i =作以O 为心、r 为半径的圆盘. 考虑着一圆盘在上平面的部分，设其边界为r C . 取1r >，那么z i =包含在r C 的内区域. 沿r C 取221(1)z +的积分，我们有22222112Re ,2(1)(1)(1)42r rr dx dz i s i i x z z i πππ-Γ⎛⎫+==⋅= ⎪+++⎝⎭⎰⎰. (2.6) 其中r Γ表示r C 上的圆弧部分，沿它的积分是按辐角增加的方向取的.现在估计(2.6)左边第二个积分. 我们有22221(1)(1)r dz r z r πΓ≤⋅+-⎰. 因此22lim0(1)rr dzz Γ→+∞=+⎰.在(2.6)式中令r 趋于+∞，就得到221(1)2dx x π+∞-∞=+⎰. 从而4I π=. 2.3 型如(),(0)iax R x e dx a +∞-∞>⎰的积分()R x 是真分数，在实轴上无奇点，则()()2Re ((),)()niaxiaxk k iP x R x e dx e dx i s f z z Q x π+∞+∞-∞-∞===∑⎰⎰. 其中()()iax f z R z e =.定理2.1[1] 设()f z 是闭区 12Argz θθ≤≤,0||r z ≤<+∞012(0,0)r θθπ≥≤<≤ 上连续的复变函数，并且设r Γ是以O 为心、r 为半径的圆弧在这闭区域上的一段0()r r ≥. 如果当z 在闭区域上时，lim ()0z f z →∞=. (2.7)那么我们有lim ()0riz r f z e dz Γ→+∞=⎰. (2.8)例 2.5 计算积分 20cos 1xI dx x +∞=+⎰. 取0r >，我们有22200cos 112(1)21ix ix ixrr r r x e e e dx dx dx x x x --+==+++⎰⎰⎰. (2.9)函数 21ixz z +在 0y ≥上除去有一阶极点 z i =外，在其每一点解析. 取 1r >.于是我们有2222Re ,111r ix iziz rre e e dx dz i s i x z z eππ-Γ⎛⎫+== ⎪+++⎝⎭⎰⎰. (2.10) 其中r Γ的意义及沿它的积分的方向同(2.6)由定理(2.1)取 1221(),0,,21f z r z θθπ====+，那么在这定理(2.1)中所设各条件显然成立. 因此在(2.10)在令r 趋于+∞，就得到 2lim1ix rrr e dx x eπ-→+∞=+⎰；从而由(2.9)，可见积分I 收敛，并且 2I eπ=.()iax R x e dx +∞-∞⎰中()f z 在 Im 0z ≥上时可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，并且当z 在 Im 0z ≥上时，(2.7)成立.对于例2.5还可以有如下的做法： 对任意0R >均有22200cos 112(1)21ix ix ixRR R R x e e e dx dx dx x x x --+==+++⎰⎰⎰. 令21()1F z z =+，则()F z 在R C 内只有一个一阶极点z i = 22220cos 11lim 2Re ,1211212R ix iziz R R C R x e e e dx dx dz i s i x x z z eππ+∞-→∞⎛⎫⎛⎫=+=⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 2.4 应用多值函数来计算实变函数的积分下面我们再讨论多值函数来计算某些实变函数的积分.应用多值函数来计算实变函数的积分，需要对多值函数的某些解析分支应用留数定理. 对此，先要在复平面上取适当的割线，使得在得到的区域内可以把多值函数分成解析分支. 在此，本文仅作简单讨论.例2.6 计算积分(1)dxI x xα+∞=+⎰. (2.11) 其中01α<<.考虑多值函数1(1)z zα+. 在平面上取正实轴作割线. 得一区域，并且在这区域内除去1z =-. 在最后所得到区域内，这函数可以分成解析分支；取在割线上沿取实值的解析分支，并且用 01(1)()z z α+表示它. 显然它在1z =-有一阶极点.把1(1)()z z α+沿着如下的一条闭合曲线(),C r ε积分：首先沿着正实轴的上沿从ε到 ()01r r ε<<<<+∞；其次按反时针方向，沿以O 为心、ε为半径的圆r Γ.1(1)()z z α+在(),C r ε的内区域有唯一极点1z =-. 又由于在正实轴下沿，20()||i z e z απαα=，我们有()2001(1)(1)()(1)()r ri dx dz dze x x z z z z επααααεΓΓ-+++++⎰⎰⎰022Re ,1(1)()i dzi i s z z eαπαππ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭. (2.12) 现在我们估计(2.12)中 第三个积分. 我们有10(1)()(1)1r dz z z αααπεπεεεε-Γ≤=+--⎰.因此 0lim 0(1)()dz z z εαεΓ→∞=+⎰. 类似可证明 0lim 0(1)()r r dzz z αΓ→∞=+⎰. 在(2.12)中令ε趋近于0，r 趋进于+∞，我们就可看出(2.11)中的积分I 收敛，并且 ()221i i i e I e παπαπ-=，因此 sin I ππα=. 例2.7 计算积分3ln (1)xI dx x +∞=+⎰. (2.13) 考虑多值解析函数 23()(1)Lnz z +. 在复平面上取正实轴作割线，得一区域. 在这一区域内除去1z =-，在最后所得区域内，可把 23()(1)Lnz z +分成解析函数分支；取在割线上沿实值的一分支，并用 23()(1)lnz z +表示它. 显然，它在-1有三阶极点. 作闭合曲线 (,)(01)C r r εε<<<. 于是 23()(1)lnz z +的极点1z =-在εΓ及r Γ之间. 因而2233(,)()()2Re ,1(1)(1)C r lnz lnz dz i s z z επ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰， (2.14)其中沿 (,)C r ε的积分是按例2.4中同样的方向取的.另一方面，在正实轴下沿，22(ln )(ln 2)z x i π=+. 因此2222233333(,)()(ln )(ln )(ln 2)(ln )(1)(1)(1)(1)(1)r r r C r lnz x z x i z dz dx dz dx dz z x z x z εεεεπΓΓ+=++++++++⎰⎰⎰⎰⎰2223333ln (ln )(ln )44(1)(1)(1)(1)r rr x dx z z i dx dz dz x x z z εεεππΓΓ=-+++++++⎰⎰⎰⎰ 由于 2233(ln )(ln 2)(1)(1)z z z z z z π≤+++，我们有 23(ln )lim 0(1)z z z z →+∞⋅=+, 于是与例2.6一样，22330(ln )(ln )lim lim 0(1)(1)r z z z dz dz z z εεΓΓ→+∞→==++⎰⎰. 结合(2.13)及(2.14)，并且我们取0,r ε→→+∞时的极限. 由于 3(1)dxx +∞+⎰存在，可见(2.13)中的积分I 存在，并且我们有2233(ln )442Re ,1(1)(1)dxz iI i s x z πππ+∞⎛⎫-+=- ⎪++⎝⎭⎰. (2.15) 现在求上式右边的留数，ln z 在1z =-有泰勒展式[]21ln ln 1(1)(1)(1)2z z i z z π=-++=-+-++，而2(ln )z 在1z =-的展式恰好是上一展式的平方，其中含2(1)z +项的系数是1i π-. 因此 23(ln )Re ,11(1)z s i z π⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭. 把这一结果代入(2.15)，并比较两边的虚部就得到 12I =-.第3章 总结本文通过两大部分分别梳理了留数的相关概念及其应用. 在第1章的基本概念部分中，给出了孤立奇点的定义和分类、函数零点与极点的关系. 根据洛朗展式中n 的不同范围又可分为可去奇点、极点和本性奇点，讨论了无穷远点的性态，函数零点与极点的关系，接着介绍了留数定义，留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念. 留数的概念最早由..A L -柯西于1825年提出. 如果0z 是解析函数()f z 的孤立奇点，把()f z 在0z 处的洛朗展式中一次幂项的系数1C -称为()f z 在0z 处的留数. 记作 0Re [(),]s f z z ，即01Re [(),]s f z z C -=. 由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项10()z z --，因此称为留数. 留数定理：1()2Re (,)nn k C k f z dz i s f z π==∑⎰，留数的4种计算规则.第2章将重点介绍利用留数定理计算3种经典类型的积分，它们分别是形如20(cos ,sin )R d πθθθ⎰，20()R x dx π⎰，(),(0)iax R x e dx a +∞-∞>⎰ 的积分计算，最后通过对 0(1)dx I x x α+∞=+⎰和30ln (1)x I dx x +∞=+⎰的计算简单的了解了应用多值函数来计算实变函数的积分.而本文的主要内容是留数在计算积分上的应用，其中重点是应用单值解析函数计算积分. 除本文介绍的之外，留数还应用在将亚纯函数展开为部分分式，将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近估计等.参考文献[1] 余家荣.复变函数[M]. 北京:高等教育出版社,2007.[2] 张鸿艳.复变函数与积分变换[M]. 北京:化学工业出版社,2010.[3] 钟玉泉.复变函数论[M]. 北京:高等教育出版社,2007.[4] 路线.复变函数与积分变换[M]. 北京:科学出版社,2010.[5] 杨降龙，杨帆.复变函数与积分变换[M]. 北京:科学出版社,2011.[6] 李汉龙，繆淑贤.复变函数[M]. 北京：国防工业出版社，2011.[7] 孙清华，孙昊. 复变函数内容、方法与技巧[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2003.[8] 祝同江.工程数学—复变函数[M].北京：电子工业大学出版社，20009.[9] 李庆忠.复变函数[M]. 北京：科学出版社，2000.[10] 孙清华，孙昊. 复变函数疑难分析与解题方法[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2010.致谢首先非常感谢辽宁大学给了我这么好的一个继续深造的机会，通过四年的计算数学学习，使我不仅获得了很多知识，而且实际工作的能力也有很大的提升. 在此特别感谢我的毕业论文指导导师赵胜芝老师，在论文撰写期间，导师给予了我很大的帮助和指导、孜孜不倦地审阅和改进意见，使我受益匪浅，顺利地完成论文.同时感谢各位授课老师，在我大学期间，正是你们的教诲使我能够顺利完成学业，你们的潜移默化使我在这四年多的学习生涯中积累了一笔宝贵的财富，这将使我在今后的学习工作中受益终生. 感谢我的大学同学、感谢我的家人和朋友，在我求学的过程中，给予我莫大的支持和帮助，没有你们就没有我今天的收获和成果.本论文撰写过程中，参考并引用了许多作者的文献，他们的研究成果给了我极大的帮助和启迪，在此谨表示衷心的感谢! 最后向在百忙之中抽出时间对本论文进行评审及评阅的各位专家表示衷心的感谢!陆林2013年5月于沈阳。

9
由留数定理:
∫− R R( x )e
+∞
R
aix
dx + ∫ R( z )e dz = 2π i ∑ Res[ R( z )e , zk ]
aiz
aiz
R → +∞ :
∫C
CR
R( z )e aiz dz → 0 .
R
∫−∞ R( x )e
+∞
aix
dx = 2π i ∑ Res[ R( z )e , zk ]
6
取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点
zk 都包在这积分路线内. 这里可补线 C R
(以原点为中心 , R为半径的在上半平面的半圆周)
y
CR
C R 与 [− R, R]一起构成封闭曲线C ,
R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点） 处处解析. 根据留数定理得 :
. −R
+∞
0
. R
x
∫− R R( x )dx + ∫C
8
aix ( ) dx (a > 0) 的积分 R x e 三、形如 ∫−∞
+∞
积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次 数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上 无孤立奇点. 同前一型: 补线 C R
C R 与 [− R, R] 一起构成封闭
y . −R
CR
0
. Rx
曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点 zk 都 包在这积分路线内 .
2 1 z − 1 cosθ = (e iθ + e − iθ ) = z + 1 , 1 iθ − iθ , sinθ = (e − e )= 2 2z 2i 2iz 2

一绪论1研究背景及意义留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路径的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了充分的基础[1 ] .1825 年,柯西(Cauchy) 在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义[2 ] . 随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义[3],若函数f(z)在D（a，r）\｛a｝上全纯，其中r＞0.a为f （z）的孤立奇点，f（z）在a的留数定义为Res（f，a）=柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一些学科, 并在相关学科中产生了深远影响, 成为一个极其重要的概念. 因而很自然地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义.二留数定理2.1 留数的定义如果函数f（z）在点a的邻域K：|z-a|＜R内解析，围线C全含于K（包围a或不包围a），则但如果a是f（z）的孤立奇点，即f（z）在点a的去心邻域K-｛a｝：0<|z-a|<R内解析，围线C是K-｛a｝中包围a的围线，则上式不一定成立，故留数定义如下：定义如果函数f（z）以a为孤立奇点，即f（z）在K-｛a｝：0<|z-a|<R中解析，则积分：|z-a|=称为f（z）在点a处的留数或残数（residue），记作f（z），或简记为Resf（a）或Res（f，a）。

显然，只要，上述积分的数值与的大小无关．2.2 Cauchy 留数定理利用Cauchy 积分定理，可以推出下面关于围线积分的Cauchy 留数定理设函数f（z）在围线或复围线C所围成的区域D中有孤立奇点a1、a2、……、an，，此外f（z）在上解析，则有.利用Cauchy 留数定理，只要算出各孤立奇点处的留数，即可得出围线积分，所以关键在于计算留数．2.3留数的算法设a为f(z)的n阶极点,f(z)=,其中在点a解析，则证：推论 1 设a为f（z）的一阶极点则.推论 2 设a为f（z）的一阶极点, 则.三留数定理的应用3.1用留数定理计算实积分A.计算型积分这里表并且在[0,2π]上连续.若命z=,则,,。

)
,
I
2
π
i
1 p2 2ip2
1 p4
2ip2
(1
p2)
2π 1
p2 p2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2
计算 I
dx ,
0 1 cos 2x
0 1的值.
解：令 2x , d 2dx; x :0 , :0 2
z2 z2
1
dz
1 z4
I |z|1
2
1
2
p
z
z 1
p2
iz
|z|1 2iz2 (1 pz)(z p) dz |z|1 f (z)dz
2
z2 z2
1
1
{
2
1 2 p
z z1 p2
iz
2
z4 1
1
z4 1
1
2iz2 z pz2 p p2z 2iz2 z(1 pz) p(1 pz)
z
| 足够大时)
R(z)d z | R(z) | d s M π R M π 0
CR
CR
R2
R
R
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
因此
R(x)d x 2 πi
Res[R(z), zk ].
如果R( x)为偶函数,
R(x)d x 1
2.
形如 R(x)d x的积分
当被积函数 R(x)是 x 的有理函
数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)
在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.

山西师范大学本科毕业论文留数在积分计算中的应用姓名杨瑛学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级12级双学位学号1154050131指导教师籍慧洁答辩日期成绩留数在积分计算中的应用内容摘要积分计算不但是高等数学中的一大主要内容，还是其他学科在处理实际生活问题时需要解决的一大问题。

有的被积函数往往很难求出原函数，这时我们需要用到新的计算积分的方法——留数。

留数是积分计算的又一重要工具，一般的积分计算我们可以采用牛顿—莱布尼茨公式、柯西积分定理、高阶求导公式、换元法等方法，而相对复杂的积分计算则需要采用新的运算方法，而留数及留数理论就起到至关重要的作用。

本文首先，系统的归纳总结了留数在有限奇点及无穷远点处的定义，留数定理及相关理论以及留数的计算方法；其次具体的介绍了留数定理在定积分计算中的应用，主要包括三角函数有理式积分计算、有理函数积分计算、有理函数乘三角函数积分计算、两类特殊的广义积分计算以及利用泊松积分 202π=⎰∞+-dx e x 作辅助函数计算弗莱聂耳积分⎰+∞2cos dx x 及⎰+∞2sin dx x ；最后对本文进行了小结.本文对留数理论的应用进行了分析总结，旨在为解决复杂积分问题提供理论依据，同时也为解决生活实际中的积分问题提供理论方法.【关键词】留数 留数定理 复积分 实积分 极点 零点 广义积分Application of Residue in Regulation CaculatingAbstractIntegral computation is not only the main contents in higher mathematics, or other subjects in dealing with real life need to solve a major problem. Some integrand is often difficult to find out the function, at this moment, we need to use new method for calculating integral residue.Residue is the important tool of integral calculation, the general integral calculation we can use Newton, leibniz formula,Cauchy integral theorem, higher-order derivative formula, change element method and other methods but relatively complex integral calculation requires new methods of operation, so the residue and residue theory will play a crucial role. Summarized in this paper, first of all, the system residue in limited singularity at infinity and place, the definition of residue theorem and the related theory and the method for calculating the residue; Second specific residue theorem is introduced in the application of the definite integral calculation, mainly including trigonometric function rational expression of integral calculation, rational function integral calculation, rational function by trigonometric function integral calculation, the generalized integral calculation of two kinds of special and Poisson integral is used as the auxiliary function calculation the Frensnel integral; Finally, this article has carried on the summary.In this paper, the application of residue theory are analyzed and summarized, aimed to provide theoretical basis for solving the problem of complex integral, as well as provide theoretical method to solve the integral problem in actual life.【Key Words】Residue The residue theorem Complex function integral Real integral The pole Zero Generalized integral目录一、引言 (1)二、留数的定义及相关定理 (1)（一）定义 (1)（二）主要定理及证明 (1)三、留数的求法及应用 (4)（一）留数的求法 (4)（二）应用留数求复积分 (6)四、应用留数计算定积分 (8)（一）三角函数有理式积分 (8)（二）有理函数积分 (9)（三）三角函数乘有理函数积分 (12)（四）两类特殊路径上的广义积分 (15)（五）利用函数2cz e计算积分 (19)五、小结 (21)参考文献 (22)致谢 (23)留数在积分计算中的应用学生姓名：杨瑛 指导老师：籍慧洁一、引言积分计算不仅是高等数学的重要内容，也是其他学科在处理实际问题时需要解决的重要问题。