量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较

论文题目：一维无限深势阱简述制作人：刘子毅（应用物理（1））学号：09510113一维无限深势阱一、引言Hu = Eu,,2222Eu Vu dxu d m =+- (1) 在图中Ⅰ区，-a/2<x<a/2,式中的V=0；在图中Ⅱ区，x<-a/2和x>a/2, V=∞. 现在解Ⅰ区情况的方程，V=0，（1）式成为.2,22222mEk u k u mE dx u d =-=-= 设axe u =，那么u a u n2=，代入上式，u k u a 22-= ik a ±=所以ikx ikx Be Ae u -++=kx D kx C u sin cos += （2）（2）式是Ⅰ区的通解。

2、一维无限深阱电子的基态222222282n mdh n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理：以波尔半径2200m e a ε=里德伯20242ε me R y =分别为长度和能量单位能量可化为21d E π3、数值模拟当n=1时，1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下： 设d 从0.3 3.0 include ‹stdio.h › include ‹math.h ›main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ‹10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”，&e)； d=d+0.3;} }d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ，纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0，能量化简为：21dE π=模拟如下：。

6.ξ一维无限深势阱考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内：0,,x x a U x a⎧<⎪=⎨∞≥⎪⎩ 如右图这种势叫一维无限深势阱因x U 不含 t ，属于定态问题。

体系所满足的定态薛定谔方程是：()2222d E x a dx ψψμ-=<① ()22022d U E x a dx ψψψμ-+=≥② ②中，0U →∞由波函数应满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，②式才能成立，所以，有：ψ=0，x a ≥现求解①式，改写为：2221222222020sin cos ,d E dxE d x a dx A x B x x aψψμψμααψψαα+=⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭=+<令：则：，其解为： （本身上方说的解可表为如下振荡函数形式：sin x α，cos ,i x x e αα±，但因现在势阱具有空间反射不变性，()()x x U U -=能量本征函数必定有确定的宇称曾书——P49——所以，只能取sin x α，或cos x α的形式。

根据ψ的连续性，因②式得ψ=0，x a ≥，于是：,sin cos 0sin cos 0sin 0cos 0x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得： 因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。

（物理问题对ψ的要求）所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2)n a n απ== 合并，即有：,1,2,3,4,5 (2)n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2n a απ=代回1222E μα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得体系的能量本征值为：2222,8n n E n a πμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。

量子力学中的无限深势阱问题量子力学是描述微观世界的物理学理论，它在解释和预测微观粒子行为方面具有重要的作用。

其中，无限深势阱问题是量子力学中的一个经典问题，它帮助我们理解波函数的性质以及粒子在势场中的行为。

无限深势阱问题是指一个粒子被限制在一个势能在某个区域内为无限大，在区域外为零的势场中运动。

这个问题可以用一维的情况来描述，假设势阱的宽度为L，那么势阱内的势能函数可以表示为：V(x) = 0, 0 < x < LV(x) = ∞, x < 0 或者 x > L在经典力学中，粒子在势场中的运动是由牛顿第二定律描述的，而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。

波函数是量子力学中的基本概念，它是一个复数函数，可以用来描述粒子的位置和动量。

对于无限深势阱问题，我们可以使用定态薛定谔方程来求解。

定态薛定谔方程可以表示为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)其中ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ψ(x)是粒子的波函数。

在势阱内部，势能V(x)为零，因此定态薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² = Eψ(x)这是一个简化的定态薛定谔方程，可以通过求解这个方程来得到粒子在势阱内部的波函数。

根据边界条件，当x=0或者x=L时，势能V(x)为无穷大，因此波函数必须为零。

这意味着在势阱的两个边界处，波函数的值为零。

根据上述条件，我们可以得到波函数的一般形式为：ψ(x) = A * sin(kx)其中A是归一化常数，k是波数，可以通过边界条件来确定。

当x=0时，波函数为零，因此有sin(0) = 0，这意味着kx = 0，即k = 0。

当x=L时，波函数为零，因此有sin(kL) = 0，这意味着kL = nπ，其中n是一个整数。

通过边界条件，我们可以得到k的取值为：k = nπ/L由于波函数必须是归一化的，我们可以通过归一化条件来确定归一化常数A。

一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数一维无限深势阱是量子力学中常用的模型之一，它能够帮助我们理解粒子在一维空间中的运动以及对应的能级和波函数。

首先，我们来看一下什么是一维无限深势阱。

这是一个理想化的模型，由两堵非常高的无限高势垒所夹，其中粒子的运动只能在这一段距离内进行，并且在势垒外是无法找到粒子的。

这种模型可以用来描述电子在原子中的运动，或者光子在光导纤维中的传播。

在量子力学中，波函数是描述粒子性质的数学函数。

对于一维无限深势阱模型，波函数可以通过解薛定谔方程获得。

薛定谔方程可以用来描述波函数随时间的演化，它是量子力学的基本方程之一。

对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以简化为亥姆霍兹方程的形式。

亥姆霍兹方程是一个常微分方程，它的解由定态波函数给出。

定态波函数允许我们计算粒子在一维无限深势阱中的能量和波函数。

解一维无限深势阱的亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能量的解，这些能量称为能级，用n来表示。

每个能级都对应着一个定态波函数，这些波函数描述了粒子在势阱内的运动方式。

对于一维无限深势阱，能级的表达式为En = (n^2 *h^2)/(8*m*L^2)，其中n为能级的序数，h为普朗克常数，m为粒子的质量，L为势阱的宽度。

对应于每个能级，还有一个对应的波函数。

波函数用Ψ(x)来表示，描述了在不同位置概率密度的分布。

在一维无限深势阱中，波函数能够取到零点以外的任意位置。

波函数的形式为Ψn(x) = sqrt(2/L) * sin(n * π * x / L)，其中x为位置，L为势阱的宽度，n为能级的序数。

通过求解亥姆霍兹方程，我们可以得到多个能级和对应的波函数，它们描述了粒子在一维无限深势阱中的运动和性质。

这些能级和波函数不仅在理论计算中起到了重要作用，而且在实验中也得到了验证。

总之，一维无限深势阱模型是量子力学中研究粒子运动和性质的重要工具。

通过解亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能级和对应的波函数，这些能级和波函数描述了粒子在势阱中的行为。

一维无限深势阱薛定谔方程求解一维无限深势阱是量子力学中最经典的问题之一，其求解对于理解基本的量子力学原理以及波函数的性质具有重要的意义。

薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的行为的基本方程，通过求解薛定谔方程，我们可以获得系统的波函数及其相应的能级。

让我们来考虑一个无限深势阱，这个系统可以简单地用一个势能函数来描述。

在这个系统中，粒子只能在一个有限的空间区域内运动，而且势能在这个区域内是常数为零的。

首先，我们需要写出薛定谔方程。

对于一维情况，薛定谔方程可以写成：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx²+ V(x)ψ(x) = Eψ(x)。

其中，ψ(x)是系统的波函数，V(x)是势能函数，E是波函数对应的能量。

对于无限深势阱，势能函数在阱内为零，在阱外为无穷大。

因此，V(x)在阱外的值可以视为一个很大的正数。

接下来，我们需要考虑边界条件。

在无限深势阱中，粒子是被约束在一个有限空间内的。

因此，在边界处，粒子的波函数必须为零。

对于一个无限深势阱，边界条件可以写为ψ(0)=ψ(a)=0，其中，a是阱的宽度。

现在，让我们尝试求解薛定谔方程。

由于系统的势能在阱内为零，薛定谔方程可以简化为：-d²ψ(x)/dx² = k²ψ(x)，其中，k=√(2mE/ħ²)。

这是一个常微分方程，我们可以通过分离变量和积分来求解。

假设ψ(x)可以分解为两个函数的乘积：ψ(x) = X(x)Y(y)。

将这个假设代入方程中，并整理得：1/X(x) * d²X(x)/dx² = -1/Y(y) * dY(y)/dy = -k²。

我们可以分别对X(x)和Y(y)进行求解，然后将两个解再组合起来得到系统的波函数。

针对常微分方程1/X(x) * d²X(x)/dx² = -k²，我们可以得到其解为X(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)，其中，A和B是常数。

一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题在量子力学中，无限深方势阱问题是一个简化理想化的问题。

无限正方形势阱是有限大小的正方形势阱。

井内电势为0，井外电势无穷大。

在阱中，粒子可以不受任何力地自由移动。

但是阱壁无限高，粒子完全被约束在阱里。

通过 schr\ddot{o}dinger 方程的解答，明确地呈现出某些量子行为，这些量子行为与实验的结果相符合，然而，与经典力学的理论预测有很大的冲突。

特别令人注目的是，这些量子行为是自然地从边界条件产生的，而非人为勉强添加产生的。

这解答干净利落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；无限深方势阱问题的粒子的量子行为包括：1.能量的量子化:粒子量子态的本征函数，伴随的能量不是任意的，而只是离散能级谱中的一个能级。

2.基态能量:一个粒子允许的最小能级，称为基态能量，不为零。

3.节点:与经典力学相反，薛定谔方程预言了节点的存在。

这意味着在陷阱的某个地方，发现粒子的概率为零。

这个问题再简单，也能因为能完整分析其薛定谔方程，而导致对量子力学更深入的理解。

其实这个问题也很重要。

无限深正方形势阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统，例如直的极细纳米线中导电电子的量子行为。

为了简化问题，本文从一维问题出发，讨论了粒子只在一维空间中运动的问题。

一个粒子束缚于一维无限深方势阱内，阱宽为 l 。

势阱内位势为0，势阱外位势为无限大。

粒子只能移动于束缚的方向（ x 方向）。

一维无限深方势阱的本征函数 \psi_{n} 于本征值 e_{n} 分别为\psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{n\pi x}{l})e_{n}=\frac{n^2 h^2}{8ml^2}其中， n 是正值的整数， h 是普朗克常数， m 是粒子质量。

一维不含时薛定谔方程可以表达为-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+v(x)\psi(x)= e\psi(x)其中， \psi(x) 是复值的、不含时的波函数， v(x) 是跟位置有关的位势， e 是正值的能量。