基于Simple算法的方腔驱动流问题数值模拟

方腔顶盖驱动流数值模拟王向伟（西安交通大学化学工程与工艺系 710049）摘要：在计算流体力学的研究中，通常要计算方腔驱动流问题来检验各种N-S数值方法的有效性。

要用Fluent软件对标准计算流体力学测试算例——方腔驱动流问题进行了模拟分析，其计算结果与文献中的标准解符合的比较好。

关键字：N-S方程方腔驱动流Fluent数值求解流体流动的数值模拟广泛应用于气象、航天、机械、采矿等自然研究和工程计算的各个领域。

近年来，随着高性能计算与通信的迅速发展，针对流体流动的数值模拟以及求解相应Navier Stokes方程(简称NS方程)的高级算法研究现已成为目前国内外备受关注的热点和前沿课题。

Fluent软件是用于模拟具有复杂外形的流体流动以及热传导的计算机程序，可以有效地模拟方腔驱动流问题，为计算流体力学的算法理论研究提供仿真参考。

1、N-S方程纳维司托克斯方程是描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。

简称N-S方程。

在直角坐标系中，可表达为如下所示：后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。

N-S方程反映了粘性流体流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。

它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。

2、数值计算2.1、物理模型在一个正方形的二维空腔中充满等密度的空气，方腔每边长为0.1m，其顶板以0.1m/s 的速度向右移动，同时带动方腔内流体的流动，流场内的流体为层流。

计算区域示意图如图1所示。

在fluent软件中建立方腔流动问题的模型在gambit软件中建立模型划分网络2.2 fluent软件求解计算迭代过程中的残差图如图3所示：图3 迭代过程中的残差图流函数等值线图如图4所示：图4 流函数等值线图速度矢量图如图5所示：图5 速度矢量图3、结论Fluent软件可以有效地模拟方腔驱动流问题，熟练的掌握了该款软件和该模拟方法。

《数值传热学》作业：顶盖驱动流数值模拟分析西安科技大学能源学院安全技术及工程申敬杰201112612顶盖驱动流数值模拟分析顶盖驱动流作为经典的数值计算模型，常常用来考核源程序和计算思想的正确性。

这种流动边界条件简单，而且不涉及模型的影响，便于直接评价差分格式的性能。

1.引言数值传热学，又称计算传热学，是指对描写流动与传热问题的控制方程采用数值方法，通过计算机求解的一门传热学与数值方法相结合的交叉学科。

数值传热学的基本思想是把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场（如速度场，温度场，浓度场等），用一系列有限个离散点上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点变量值之间关系的代数方程（称为离散方程）。

求解所建立起来的代数方程已获得求解变量的近似值。

由于实验方法或分析方法在处理复杂的流动与换热问题时，受到较大的限制，例如问题的复杂性，即无法做分析解，也因为费用的昂贵而无力进行实验测定，而数值计算的方法正具有成本较低和能模拟复杂或较理想的过程等优点，数值传热学得到了飞速的发展。

特别是近年来，计算机硬件工业的发展更为数值传热学提供了坚实的物质基础，使数值模拟对流动与传热过程的研究发挥了重要的作用。

目前，比较著名的数值模拟分析应用软件有FLUENT、CFX、STAR-CD、和PHOENICS等，而FLUENT是国内外比较流行的商用CFD软件包，该软件以其市场占有率高、计算准确、界面友好、使用简单、应用领域广、物理模型多而获得较高的市场占有率和用户的肯定。

2.物理模型在一个正方形的二维空腔中充满等密度的空气，方腔每边长为0.12m，取雷诺数为Re=12000，由Re=vd/υ，方腔的当量直径d ，计算知d=0.12m，又υ=15.7 ×10 ﹣6m2/s，则顶盖驱动流的速度v=1.57m/s，即其顶板以1.57m/s的速度向右移动，同时带动方腔内流体的流动，流场内的流体为紊流。

计算区域示意图如图1所示。

二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解胡园园;谢江;张武【摘要】针对不可压缩Navier-Stokes (N-S)方程求解过程中的有限元法存在计算网格量大、收敛速度慢的缺点,提出了基于面积坐标的三角网格剖分谱有限元法(TSFEM)并进一步给出了利用OpenMP对其并行化的方法.该算法结合谱方法和有限元法思想,选取具有无限光滑特性的指数函数取代传统有限元法中的多项式函数作为基函数,能够有效减少计算网格数量,提高算法的精度和收敛速度;利用面积坐标便于三角形单元计算的特点,选取三角单元作为计算单元,增强了适用性;在顶盖方腔驱动流问题上对该算法进行验证.实验结果表明,TSFEM较传统有限元法(FEM)无论是收敛速度还是计算效率都有了显著提高.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】6页(P42-47)【关键词】不可压缩N-S方程;OpenMP;方腔驱动流;高精度;无穷收敛性【作者】胡园园;谢江;张武【作者单位】上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学高性能计算中心,上海200444【正文语种】中文【中图分类】TP301.6Navier-Stokes (N-S)方程是流体力学中最重要的方程之一。

数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过求解N-S方程来进行解释和预言，因此研究N-S方程具有广泛的应用价值。

对N-S方程的研究距今已有200多年的历史，其弱解又称为Leray-Hopf弱解。

关于N-S方程强解的局部适定性、存在性与光滑性被列为21世纪7个价值100万美元的数学难题之一。

数学家断言，如果没有新的分析工具和数学思想，这个难题将很难得到解决。

但是,到目前为止,证明弱解的唯一性和正则性,即强解的整体存在性,仍是一个极具挑战性的问题。

只有极少数非常简单的流动问题才能求得其精确解，大多数还是要用离散的方法求得数值解。

力学流体simple算法完成一、简介力学流体（Computational Fluid Dynamics，CFD）是一种通过数值模拟来研究流体运动的方法。

它可以帮助工程师和科学家了解流体如何在各种条件下移动和相互作用，以及如何在不同的环境中优化设计。

其中simple算法是一种常用的求解Navier-Stokes方程的方法，本文将对其进行详细介绍。

二、simple算法基础1. Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它包含了三个主要部分：质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。

其中，质量守恒方程描述了质量在空间和时间上的变化；动量守恒方程描述了力对流体速度的影响；能量守恒方程描述了温度在空间和时间上的变化。

2. 离散化方法为了求解Navier-Stokes方程，需要将其离散化为有限个离散点上的代数形式。

这可以通过有限差分、有限元或谱方法等技术实现。

其中，有限差分法是最常用的离散化方法之一。

3. simple算法原理simple算法是一种求解Navier-Stokes方程的迭代方法，它采用了分步求解的策略。

simple算法包括三个主要步骤：预处理、压力修正和速度修正。

其中，预处理步骤用于确定初始速度场和压力场；压力修正步骤用于计算压力场的变化；速度修正步骤用于更新速度场。

通过迭代这三个步骤，可以逐渐收敛到稳定的解。

三、simple算法实现1. 离散化首先需要将Navier-Stokes方程离散化为有限差分形式。

例如，在二维情况下，可以将动量守恒方程离散化为：$ \frac{u_{i+1,j}^{n+1}-u_{i,j}^{n}}{\Delta t}+\frac{u_{i,j+1}^{n}-u_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y}-\frac{\nu}{\Delta x^2}(u_{i+1,j}^{n+1}-2u_{i,j}^{n+1}+u_{i-1,j}^{n+1})=-\frac{p_{i+1,j}-p_{i,j}}{\Delta x}$其中，$u$表示水平方向的速度，$v$表示垂直方向的速度，$p$表示压力，$\nu$表示粘性系数。

非正交曲线坐标下二维水流计算的SIMPLEC算法摘要：本文采纳Laplace方程坐标变换方式生成正交曲线网格，并对浅水流动的操纵方程进行坐标变换，方程离散时采纳B型交织网格。

利用“水位扫描法”结合壁面函数法来处置移动边界，用SIMPLEC算法解非正交曲线坐标下的k-ε两边程紊流模型，修正了由网格的非正交性引发的误差。

通过对美国Colorado洲Fall River的资料进行流场验证，计算结果与实测资料大体符合，显示了本模型在不规那么水域计算中的有效价值。

关键词：坐标变换 k-ε紊流模型水位扫描法壁面函数 SIMPLEC算法随着经济进展和社会进步，水利工程建设的步伐也在进一步加速，其中港航建设、大坝建设中的泥沙问题和近来倍受世人关注的水污染问题已经成为制约水利进展的瓶颈问题，弄清河流、湖泊、海洋中水动力因素，是解决以上问题的重要基础。

最近几年来，数学模型已慢慢取代物理模型实验成为研究水流的重要手腕，而浅水流动模型是处置大区域流场的一种超级有效的模型。

它属于非线性方程组，在目前只能用数值方式求解，因此，有必要研究一种简单、高效的方式来求解浅水流动问题。

自Patankar和Spalding[1]进展了SIMPLE算法以来，该方式被普遍应用于不可紧缩流场的数值模拟，而且该方式还取得了进一步的进展，要紧有SIMPLER算法[2]、SIMPLEC算法[3]、SIMPLEX 算法[4]和SIMPLET算法[5]等。

这些模型均成功地应用于速度—压力耦合的流场计算，深度平均的浅水流动模型是在静压假定下导出的，一样流体模型中的速度—压力耦合也就转换成浅水流动模型中的速度—水深耦合[6]。

天然河流、海湾的边界曲折、地形复杂，采纳坐标变换是解决问题的途径之一。

目前多数N-S方程的坐标变换中，流程全数采纳逆变分量，如此就增加了方程的复杂程度。

于是忽略掉方程中的非正交项，利用正交变换下的方程进行数值求解[7,8]。

关于具有复杂边界的海湾及弯曲的河流，坐标变换中很难保证每一个点都正交，专门是边界周围。

方腔拖曳流的数值模拟一、问题简介与方法概述我们考虑一个二维的方腔拖曳流，即在一个边长为0.1米的正方形二维空腔中充满空气，其顶板以一定的速度向右移动，同时带动方腔内流体流动。

已知空气的密度为1.225kg/m3，动力学粘度μ=1.8×10-5kg/(m∙s)。

计算区域如图1所示。

顶板移动速度为0.1m/s时，雷诺≈680.5，属层流状态。

数为Re=ρuLμ这是一个经典的流体力学问题，在雷诺数不同的情况下，流场内会出现数量不等的涡。

我使用了三种不同的网格，对不同雷诺数下的流动进行了数值模拟，并对计算所得流场进行比较和分析，体会了网格划分对数值模拟的影响以及雷诺数对方腔拖曳流的影响。

二、网格划分网格1：lid_driven_flow1.msh均匀的结构化网格，网格数为13689网格2：lid_driven_flow2.msh边缘加密的结构化网格，网格数为9801网格3：lid_driven_flow2.msh均匀的结构化网格，网格数为2401（一）材料设置腔体设为铝材，内部流体设为空气，密度为1.225kg/m3，动力学粘度μ=1.8×10-5kg/(m∙s)。

（二）边界条件顶盖边界设为无滑移Moving Wall，速度可根据需要改变，初始设为0.1m/s。

（三）方程方腔处于绝热状态且温度均匀，不加入能量方程。

简单起见，假设流动均为层流状态，也不加入湍流方程。

（四）计算设置停止计算的残差设为10-6，计算步数1000步。

1000步后残差基本保持在10-4～10-6左右，可以认为基本已收敛。

利用Fluent自带的后处理功能，画出各情况下的流线图（一）网格1u=0.1m/s，Re=680.5 u=0.2m/s，Re=1361u=0.5m/s，Re=3402.5 u=1m/s，Re=6805（二）网格2u=0.1m/s，Re=680.5 u=0.2m/s，Re=1361u=0.5m/s，Re=3402.5 u=1m/s，Re=6805（三）网格3u=0.1m/s，Re=680.5 u=0.2m/s，Re=1361u=0.5m/s，Re=3402.5 u=1m/s，Re=6805五、结果分析通过查阅文献[1]以及三个网格之间的互相比较，可以认为三种网格的计算结果都是比较可信的。

西安交通大学学报JOURNAL OF XI'AN JIAOTONGUNIVERSITY1999年　第33卷　第9期　Vol.33　No.9　1999NS方程的非结构化网格方法及其差分格式张楚华，　谷传纲，　苗永淼摘要：　采用同位非结构化网格上的有限体积法，对Navier-Stokes方程的SIMPLE算法及差分格式进行了研究．提出了适用于非结构化网格的不用求解单元顶点变量值的二阶混合差分格式．该格式的优点在于：1)减少了计算工作量；2)避免了普通混合差分格式因使用简单的一阶迎风差分格式所引起的网格界面方向相关性的问题．最后，采用三角形网格，利用提出的方法及差分格式，对方腔内的驱动层流及绕翼型湍流进行了数值计算，计算结果与基准解或实验值的符合程度优于普通混合差分格式．关键词：　非结构化网格；差分格式；有限体积法中国图书资料分类法分类号：　O357Unstructured Grid Method and Its Differential Schemes for NS EquationsZhang Chuhua,　Gu Chuangang,　Miao Yongmiao（Xi′an　Jiaotong　University，　Xi′an 710049，　China）Abstract：　The SIMPLE algorithm and differential schemes are used for solving Navier-Stokes equations through finite volume method with collocated unstructured grid. A two order hybrid scheme without the necessity of computing the variables at elements vertices is presented. Compared with the ordinary hybrid scheme, the advantages are :1)computation is reduced; 2) grid dependency problem, which is resulted from one order upwind interpolation in ordinary hybrid scheme on unstructured grid, can be avoided. Finally, the proposed method and schemes are used to calculate laminar flow in a lid-driven cavity and turbulent flow around an airfoil. The numerical results fit benchmark solutions and experiments better than those calculated through ordinary hybrid scheme.Keywords：　unstructured grid;differential scheme;finite volume method 长期以来，人们一直认为有限差分法(包括有限体积法)对复杂形状流动问题的处理能力不如有限元法，近年来发展起来的非结构化网格方法［1，2］正逐步改变这一看法．在非结构化网格上利用有限体积法来求解流动方程， 既能提高有限体积法处理复杂形状流动问题的能力，又能保持离散方程的局部守恒特性，而后者对数值求解非线性偏微分方程的收敛过程有时是至关重要的． 在非结构化网格上采用有限体积法求解流场，是计算流体动力学中很有发展前途的研究方向．当然这一领域仍然有一些棘手的问题亟待解决和完善，其中主要包括：1)高质量的非结构化网格生成问题；2)非结构化网格方法的计算工作量问题；3)非结构化网格上高精度差分格式的实现问题；4)快速稳定的非结构化代数方程组的求解问题；5)在高伸展比的非结构化网格单元上实现稳定性、经济性俱佳的计算格式；6)自适应问题．本文对2)、3)、4)的问题进行了研究，提出了一种适合于在非结构网格上计算的差分格式，并对驱动方腔内的流动及孤立翼型绕流进行了数值模拟，得到了满意的数值结果．1　控制方程 本文研究的问题为二维、定常、不可压缩流动，控制方程可写成如下通用方程 （1）其中： U m为沿着坐标方向x m的速度分量； Φ为求解变量； ΓΦ为广义扩散系数；为广义源项．式(1)的具体形式见文献［3］．2　计算方法2．1　通用方程的离散 利用Gauss定理，将控制方程(1)在任一边数为n的非结构化网格单元上离散为 （2）其中： ΔV为网格单元的体积．式(2)左端的第1部分为对流部分（ρVΦ.A）f＝m fΦf （3）式(2)左端的第2部分为扩散部分，文献［2，4］分别利用局部非正交坐标系及Gauss定理推导出的扩散部分的离散形式为 （4）式(4)中的第1项为正交扩散项，第2项为非正交扩散项．式中出现了单元顶点处的变量值．其中下标f为界面；下标il、ir、ist、iend分别表示边f的左单元、右单元、起点、终点；σV为界面积分体积；n f为单位法向矢量；　n i end为左、右单元连线的单位法向矢量． 式(3)与(4)中的m f为通过界面f的质量流量，引入Peclet准则，PΔ＝m f／D f，其中D f 为通过界面的扩导，，则PΔ数表示输运量Φ通过界面f的对流和扩散能力的相对大小．这与结构化网格上的研究结果是相同的，因此可以借用结构化网格的思想来进一步得出通用方程在非结构化网格上的离散形式．然而，它们之间也存在很大的差异，主要表现在：1)界面上Φf的计算；2)非正交扩散项的计算．这两项的计算方式对非结构化网格方法的精确性及计算工作量的影响都很大． 在计算Φf时，由于非结构化网格拓扑结构的无规律性，在较粗的非结构化网格上应用简单的一阶迎风格式容易出现网格相关性问题，而一些在结构化网格上行之有效的高阶差分格式，如高阶迎风格式、QUICK格式、MUSCL格式等很难在非结构化网格上实施．这是因为在采用这些格式确定界面上的对流项时，需要知道远上游结点处的变量值，而在非结构化网格拓扑结构中，远上游结点属于“游荡结点”［2］，无法从网格的拓扑结构中直接确定这些点的位置，只能在流场计算中，根据局部流动方向计算出远上游结点的位置，这给非结构化网格方法进一步增加了计算负担．本文根据线性重组建梯度方法及限制因子方法，提出了适合于非结构化网格上计算的二阶混合差分格式，界面上的变量计算公式为 （5）其中限制因子α根据文献［3］的方法计算，当α＝0时，上式就退化为普通混合差分格式． 式(4)中，非正交扩散项出现单元顶点处的变量值，这些值一般由相邻单元中心处的变量值插值而来．常用的插值方法有面积加权插值、距离负幂次函数加权插值、最小二乘插值方法．前两种方法实现简单，计算速度快，但计算精度低；后一种方法具有二阶精度，但实现复杂，可能出现奇性问题，计算速度慢，数值计算表明，在每轮迭代计算中，约有一半时间花在利用最小二乘法插值各类变量在单元顶点值的计算上．本文利用界面梯度近似关系式(Φ）f＝，其中表示线性插值运算，对式(4)中的非正交扩散项进行如下变换 （6）这样在非正交扩散项中不再出现单元顶点处的变量值，从而极大地减少了计算工作量，同时仍可以采用与结构化网格相同的处理方法，将正交项隐式处理，而将非正交项显式处理． 将式(3)、(5)、(6)代入式(2)，即得 （7）对于任一单元P，可将式(7)归纳为 （8） A P＝∑A nb A（PΔ）＝A（｜PΔ｜）＋［｜－PΔ，　0｜］ B（PΔ）＝A（PΔ）＋PΔ A（｜PΔ｜）＝［｜0，　1－0．5｜PΔ｜｜］其中　［｜，｜］表示求最大值运算；　Δr为左、右单元之间的长度矢量；　f1表示线性插值因子．2．2　压力修正方程 本文采用SIMPLE算法求解压力，压力修正量p′的方程在形式上与式(8)完全相同，相应的系数为 为了进一步减少非结构化网格的计算工作量，本文采用以界面序号为循环变量而不是直接以单元序号为循环变量来离散流动方程；采用预条件矩阵共轭梯度平方法［5］来加速离散代数方程组的收敛速度．3　计算结果3．1　方腔内的驱动流动 对Re＝1000时方腔内的驱动流动进行计算，与文献［6］相同，按层流计算．图1为计算网格，在方腔的每条边上布置21个结点，网格结点数Nn＝504，边数Nl＝1　429，单元数Ne＝926，网格疏密程度相当于31×31的结构化四边形网格．图2为通过方腔几何中线上的流动速度分布．图3为方腔内流动的速度矢量图．从图2可以看出，在相同疏密程度的网格上，利用本文所提出的不用求解单元顶点处变量值的二阶混合差分格式比一阶混合格式更接近于基准解．图1　方腔内的计算网格 （a）水平向速度(b)竖直向速度－.－：一阶格式；　——：二阶格式；　.：文献［6］图2　Re＝1　000时方腔几何中心线上的流动速度图3　速度矢量(Re＝1　000）3．2　孤立翼型绕流 对某大型轴流压缩机进口级动叶片中间截面的孤立翼型绕流进行了湍流数值计算．文献［7］给出了此翼型详细的几何尺寸及翼型表面压力的测量值，其中翼型弦长l＝0．0824m，自由来流速度U∞＝39.8m／s，翼弦雷诺数Re＝2×105．图4为计算网格在翼型附近的局部放大图．计算区域为翼型上、下游与上、下区域分别延长5倍长的范围，计算区域为双连通区域，网格节点数N n＝3061，边数N l＝9041，单元数N e＝5980．图5与图6分别为翼弦攻角为0°时翼型表面压力系数与翼型附近压力分布等值线图．由图可知，计算结果与实验值吻合很好．图4　孤立翼型绕流局部网格图5　翼型表面压力系数(i＝0°）图6　翼型附近等压线(i＝0°）4　结　论 （1）推导了同位非结构化网格上的SIMPLE算法，发现在非结构化网格上，Peclet 准则仍然是构造差分格式的基本出发点，这与结构化网格方法是一致的． （2）提出了一种适合于非结构化网格计算的不用求解单元顶点处变量值的二阶混合差分格式，该格式避免了普通混合差分格式在非结构化网格上容易出现网格相关性的问题，同时减少了计算工作量． （3）计算结果表明，本文提出的差分格式对数值解的准确性有所改善．作者简介： 张楚华，男，1967年10月生，能源与动力工程学院流体机械研究所，讲师．作者单位：张楚华，　谷传纲，　苗永淼 （西安交通大学，　710049，　西安)参考文献：［1］　Jameson A, Mavriplis D． Finite volume solution of two dimensional Euler equations on a regular triangular mesh. AIAA J, 1986, 24(4): 611～618．［2］　Sheng H M, Chen Y S. An unstructured grid method for flow computations at all speeds. 见：第六届全国计算传热学会议论文集．郑州，　1995．　35～44．［3］　张楚华.三维湍流流动的非结构化网格的数值解法及其在离心风机内的应用研究：［博士学位论文］．西安：西安交通大学能源与动力工程学院，　1999．［4］　Davidson L. A pressure correction method for unstructured meshes with arbitrary control volumes. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1996, 22(4):　265～281．［5］　Sonneveld P. CGS, a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems. SIAM J Sci Stat Comput, 1989, 10(1): 36～52．［6］　Ghia U, Chia K N, Shin C T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method. 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