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二维不可压缩navier-stokes-landau-lifshitz方程组的整体强解Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组是用来描述二维不可压缩流体运动的普遍方程。
它是对流体在动力、热力、物质等多种物理效应作用下进行多尺度模拟的有效工具，是研究复杂流体问题的关键。
1.Naviar-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的基本形式Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的基本形式包含了方程的结构定义、空间变量、时间变量和输入变量，组成如下：（1）流场方程：对密度，速度和压力的描述；（2）能量方程：描述传热过程；（3）物质守恒方程：将粒子的变量连同流量和能量一起涵盖；（4）边界条件：将流体运动于受定义空间或介质内，并约束方程组的解。
2. Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的解Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的整体强解是对流体运动过程的完整描述，它包括流体的结构、动力学、热力学等理论模型。
该方程组可以使用多种空间和时间分解技术解决，比如：（1）特征定积分分解技术：特征定积分计算方法，通过积分可以得到流体的历史数据，从而求出解；（2）Galerkin有限元分解技术：通过Galerkin有限元分解方法可以得到很小的解，这也是一种将初值和边界条件一起求解的方法；（3）局部分解技术：通过局部分解计算方法可以得到相对准确的解，这是计算复杂性处理较低的一种解法；（4）关联循环求解器：通过关联循环求解器就可以得到Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的解，同时也可以求解空间多尺度的复杂流体问题。
3. Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的应用Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的本质就是对二维不可压缩流体运动过程作出数学描述，应用适用于众多流体科学领域，主要包括：（1）宇宙飞行器：在设计宇宙飞行器时，舱壁的低速、高压、非定常流体流动一直是设计中重要的一环；（2）津浦发电厂：津浦发电厂是典型的斜坡发电厂，通过模拟流体在津浦斜坡水轮发电机间的流动，可以有效提升发电效率；（3）空心叶轮压气机：空心叶轮压气机的设计要求考虑到流体的动力学特性，流场方程则可以作为压气机设计的主要辅助工具；（4）船舶航行模拟：船舶在水域的航行特别是汽轮船的航行模拟，都可以使用Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组进行研究。
不可压缩Navier-Stokes方程及其耦合问题的空间迭代方法研究不可压缩Navier-Stokes方程及其耦合问题的空间迭代方法研究引言：不可压缩Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，对于许多工程和科学领域具有重要意义。
而这些方程在数值模拟中的求解一直是研究的热点和难点之一。
本文将重点讨论不可压缩Navier-Stokes方程及其在耦合问题中的数值求解方法，以期为相关领域的研究提供一定的参考。
1. 不可压缩Navier-Stokes方程简介不可压缩Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其主要用来描述流体的质量守恒和动量守恒。
对于不可压缩流体而言，物质密度不随时间和空间的变化而变化，由此导出了方程的不可压缩性。
在三维情况下，不可压缩Navier-Stokes方程可以表示为：∂u/∂t + u·∇u = -1/ρ ∇p + ν∇^2u∇·u = 0其中，u表示流体的速度场，p表示压强，ρ表示流体密度，ν表示运动粘度，∇表示偏微分算子。
2. 不可压缩Navier-Stokes方程的数值求解方法不可压缩Navier-Stokes方程的数值求解主要采用有限差分方法、有限元方法和谱方法等。
在本文中，将重点讨论有限差分方法。
2.1 有限差分方法有限差分方法是一种将偏微分方程转化为代数方程的方法。
在使用有限差分方法求解不可压缩Navier-Stokes方程时，通常先将连续的方程离散化为差分近似方程，然后通过迭代的方法求解离散化方程。
2.2 离散化方案为了将方程离散化，首先需要将空间进行网格划分，然后使用差分格式对方程进行近似。
在离散化的过程中，常用的差分格式有中心差分格式、向前差分格式和向后差分格式等。
2.3 空间迭代方法使用有限差分方法求解不可压缩Navier-Stokes方程时，空间迭代方法是解方程的关键步骤。
常见的空间迭代方法有雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法等。
不可压navier—stokes方程组的supg有限元数值解介绍：不可压Navier-Stokes方程组是描述流体力学模型的重要数学模型，它包含连续性方程和Navier-Stokes方程。
为了获得精确的物理描述，需要对Navier-Stokes方程组进行求解，因此使用数值方法对方程进行求解就成为了必要的手段。
本文将介绍一种采用SUPG有限元数值解法求解不可压Navier-Stokes方程组的方法。
步骤：步骤1：建立数学模型不可压Navier-Stokes方程组可以表示为以下形式：$$\frac{\partial u}{\partial t}+(u \cdot \nabla)u-\nu \Deltau+\nabla p = f$$$$\nabla \cdot u = 0$$其中，$u$为速度向量场，$p$为压力场，$\nu$为动力黏性系数，$f$为源项。
步骤2：将方程离散化在建立好数学模型后，需要将方程进行离散化求解。
采用SUPG有限元方法对不可压Navier-Stokes方程组进行求解可以表示为两个步骤：（1）斯托克斯方程求解将动量方程前一项线性化，然后在连续性方程中消去压力。
然后，将方程分离到速度和压力分别为未知变量的两个方程中。
这里我们采用稳态情况下关于u的1阶导数线性化来来week，用$\nablaw_h(\cdot)$代替 $\nabla u_h(\cdot)$$$-(\nu \Delta u, v_h)+(\nabla u^{\top} \cdot u,v_h) +(\nabla p, v_h) = (h^2 f,v_h) {\text{ for all }} v_h \in \hat V_h$$$$(\nabla \cdot u, q) = 0{\text{ for all }} q \in Q_h$$其中，$\hat V_h$ 表示速度空间，$Q_h$表示压力空间。
（2）SUPG有限元方法在斯托克斯方程求解的基础上，采用SUPG有限元方法对不可压Navier-Stokes方程组进行求解，该方法利用人工耗散机制可以让计算得到了物理合理的结果。
以下是不可压缩navier-stokes方程的具体描述和数学表达方式：
不可压缩Navier-Stokes方程是描述不可压缩流体运动的方程。
它是由法国数学家Navier和Stokes在19世纪初期研究流体运动时提出的。
不可压缩Navier-Stokes方程包含了流体运动的连续性方程和动量方程。
连续性方程描述了流体的质量守恒，即流体在任意时刻体积不变。
动量方程则描述了流体的动量守恒，即流体的加速度与施加于它的力成正比。
不可压缩Navier-Stokes方程的数学表达式如下：
连续性方程：
$$\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0$$
动量方程：
$$\rho \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \rho (\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \boldsymbol{f}$$
其中，$\boldsymbol{v}$是流体速度矢量，$\rho$是流体密度，$p$是压力，$\mu$是粘度系数，$\boldsymbol{f}$是外力源矢量。
不可压缩Navier-Stokes方程的求解非常困难，因为它包含了非线性项和高阶微分方程。
目前，只有一些特殊情况下的解析解可用，而大多数情况下需要使用数值方法进行求解。
非定常不可压Navier-Stokes方程基于Crank-Nicolson格式的两水平变分多尺度方法薛菊峰;尚月强【摘要】不可压缩粘性流是密度不发生变化的流体运动.它们被用来描述许多重要的物理现象,例如:天气、洋流、绕翼型流动和动脉内的血液流动.Navier-Stokes方程是不可压缩粘性流的基本方程.因此,求解Navier-Stokes方程的数值方法在近几十年得到了广泛的关注.本文主要给出非定常不可压Navier-Stokes方程基于Crank-Nicolson格式的两水平变分多尺度方法.该方法分为两步:第一步,在粗网格上求解稳定的非线性Navier-Stokes系统;第二步,在细网格上求解稳定的线性问题去校正粗网格上的解.通过该方法推导的速度的误差估计关于时间是二阶收敛的.数值实验验证了在粗细网格匹配合理的情形下,本文的方法与直接在细网格上使用单网格的变分多尺度方法相比,可以节约大量的计算时间.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2019(036)004【总页数】12页(P419-430)【关键词】Navier-Stokes方程;两水平法;Crank-Nicolson格式;误差估计【作者】薛菊峰;尚月强【作者单位】西南大学数学与统计学院,重庆 400715;西南大学数学与统计学院,重庆 400715【正文语种】中文【中图分类】O241.821 引言Navier-Stokes 方程数值求解是不可压缩粘性流近几十年研究的热点.求解该方程的有限元方法在很多文献中都有介绍[1,2].遗憾的是，对于大雷诺数流，标准的Galerkin 有限元方法不再适用.为了对大雷诺数流进行进一步的研究，亚格子稳定方法、有限元变分多尺度方法等大量的稳定化方法被提出[3-7].基于高斯积分的有限元变分多尺度方法是稳定化方法中的一种.对于离散的Stokes 和Navier-Stokes 方程，文献[8,9]中最先给出利用等阶的P1 −P1 有限元对来规避“inf-sup”条件的两个局部高斯积分的想法.文献[10]中进一步将该想法和常用的投影变分多尺度方法对定常的Navier-Stokes 方程进行比较.数值实验表明文献[10]中的有限元变分多尺度方法比一般的投影变分多尺度方法更有效.但是，文献[10]中并没有考虑该方法的收敛性和稳定项参数的取值.对于非定常的不可压Navier-Stokes 方程，文献[11–14]中仅利用一般离散格式的有限元变分多尺度方法求解并没有结合高斯积分.在文献[15]中，采用基于两个高斯积分的有限元变分多尺度方法对非定常的不可压Navier-Stokes 方程进行研究.文献[15]不仅证明了该方法的稳定性，推导了全离散解的误差估计，而且给出了算法参数取值的方法.但是当时间步长和网格尺寸较小时，求解Navier-Stokes 方程需要花费很多的计算时间.本文利用文献[13,15]给出基于两个高斯积分的两水平有限元变分多尺度方法求解非定常的不可压Navier-Stokes 方程.该方法需要分两步进行，第一步是在粗网格上求解稳定的非线性Navier-Stokes 系统，第二步是在细网格上求解稳定的线性问题去校正粗网格上的解.相比文献[15]，在解精确度基本相同的情况下，本文给出的方法可以节约大约一半的计算时间.2 预备知识考虑的Navier-Stokes 方程如下其中Ω 是在R2 上具有利普希茨连续边界的有界区域，u : Ω → R2 为速度矢量，p : Ω →R 表示压力，f : Ω → R2 为体积力，ν > 0 是流体粘性系数，u0 是使得∇ ·u0=0 的初始速度，并且针对上面给出的Navier-Stokes 方程，我们给出下面的希尔伯特空间其中(·,·)表示空间L2(Ω)2 或L2(Ω)的标准内积，(∇u,∇v)和∥∇u∥0 为空间X 上的一般数量积和范数.本文中的字母c 是一个与时间步长和网格参数无关的正常数而且在每个式子中代表的数值可能都不相同.三线性项b(·,·,·)的定义是它有如下的性质[1,3]方程(1)–(4)的变分形式为：对于任意的t ∈(0,T]，存在(u,p)∈X ×M，使得对于方程(8)的有限元离散，我们假设Tµ(Ω)={K}(µ=H,h,H >h)是准均匀的三角形网格剖分并且网格尺寸0 < µ < 1.细网格Th(Ω)可以被认为是由粗网格加密而形成的.协调有限元(Xµ,Mµ)对满足下面的两个假设.假设1 inf-sup 条件：存在常数β >0，使得假设2 对于任意的(u,p)∈ L2(0,T;Hs+1(Ω)2∩H10(Ω)2)×L2(0,T;Hs(Ω)∩L20(Ω))，存在(πµu,ρµp)∈ Xµ×Mµ，使得其中s=1,2.设速度空间Xµ满足∀ K ∈ Tµ(Ω),vµ ∈ Xµ,(∇vµ)|K 是线性的，那么本文中提到的方法仅适用于速度限制在(P2)2 上的有限元对.如：P2 −P1 元、P2 −P0 元和Scott-Vogelius元等.为了证明的需要，我们定义那么有如下的估计设PVµ :Y → Vµ 是L2 在Vµ 上的正交投影，则满足(ξ−PVµξ,vµ)=0,∀ ξ ∈ Y,vµ ∈ Vµ.3 Crank-Nicolson格式的变分多尺度方法设本文给出的数值格式中的变分多尺度稳定项为其中∫K,s(·)dx 表示K 上适当的高斯积分，该积分对于次数不超过s(s= m,1,m ≥2)的多项式是准确的.α>0 是一个自定义的稳定项参数.我们定义其中P0 是常量元素K 的空间，则标准的L2-正交投影Πµ :L →Lµ有下面的性质：根据式(13)和文献[15]，稳定项G(uµ,vµ)可以变形为根据稳定项的定义给出Navier-Stokes 方程的标准的有限元变分多尺度方法：给定使得其中让时间步长的尺寸∆t 满足0 < ∆t < 1,tn= n∆t,n=0,1,··· ,N − 1，并且N=[T/∆t].φn 表示函数φ 在时间tn 时的值，=PVµu0.引理1[15] 设f ∈L2(0,T;H−1(Ω)2)和u0 ∈L2(Ω)2，则由数值格式(17)得到的解是稳定的且满足对于任意的0<l ≤N，有引理2[15] Navier-Stokes 方程的精确解(u,p)满足u ∈ L∞(0,T;H1(Ω)2),utt∈L∞(0,T;H1(Ω)2),uttt ∈ L∞(0,T;L2(Ω)2)和ftt ∈ L∞(0,T;H−1(Ω)2).那么由格式(17)计算得到的全离散解有如下的估计下面给出我们的两水平有限元变分多尺度方法：给定存在步骤1 寻找粗网格上的一个解使得步骤2 寻找细网格上的一个解使得其中其中的可以由文献[15]的格式1 求得.4 误差估计为了对我们的数值格式进行误差估计，引进下面的引理.引理3[16] 离散Gronwall 引理：对于任意整数n ≥ 0，令△t,H 和an,bn,cn,dn 是非负数，满足和△tdn <1,∀n，有定理1 Navier-Stokes 方程的精确解(u,p)满足u ∈ L∞(0,T;H1(Ω)2),utt ∈L∞(0,T;H1(Ω)2),uttt ∈ L∞(0,T;L2(Ω)2)和ftt ∈ L∞(0,T;H−1(Ω)2).那么由式(21)和(22)得到的全离散解有下面的估计式：证明令对任意的n=1,2,··· ,N−1，在时间时，让(8)和(22)两式相减得：∀(vh,qh)∈(Xh,Mh)，有从而，我们有其中我们令利用(5)，在式(25)中取整理得其中的近似值.根据Vh 的定义，有由于χn+1 − χn⊥Vh，且利用正交算子Πh，有那么由式(26)和2(a − b,a)=a2 − b2+(a − b)2，可得首先，利用施瓦茨不等式和Young 不等式对式(27)下面的几项进行估计然后，由泰勒展式、施瓦兹不等式和Young 不等式，可得下面几项也是成立的.最后，对于三线性项，根据(6)和(7)，有以及由(6)，可得将上述所有不等式代入(27)，得不等式两边同时乘以2△t，并且从0 加到N −1.当时间t 足够小时，由引理3 和(12)，得结合三角不等式，式(23)得证.推论1 结合(10)、(11)和引理2，式(23)还可以变形为注：推论1 表明算法参数的选择满足α=O(Hs),h=O(H2)时，可以确保解得最佳精度.5 数值实验我们在本节利用FreeFem++[17]进行数值算例来验证理论的预测.在实验中，P2 −P1 元用于空间离散化，粗网格上的非线性迭代的迭代限差为10−6，并且非线性系统由牛顿迭代法求解.是标准的变分多尺度方法和两水平变分多尺度方法的稳定项，定义如下其中j 表示非线性迭代的次数.数值算例Navier-Stokes 方程的精确解为其中解的区域Ω=[0,1]×[0,1]⊂R2.定理1 的误差估计在理论上预测了能量范数对于O(h2)的空间收敛速度.在计算过程中参数取值为数值结果在表1中给出.表1的实验结果表明速度对空间和时间离散是二阶收敛的，这验证了我们理论分析的正确性和方法的有效性.表1: 本文的两水平变分多尺度方法近似解的误差H h △t ∥∇u−∇uh∥L2(0,T;L2(Ω)2) rate CPU(s)1/2 1/4 1/100 4.9242e−003 — 0.047 1/3 1/8 1/200 1.2701e−003 1.9550 0.188 1/4 1/16 1/400 3.2457e−004 1.96841.062 1/6 1/32 1/800 8.1918e−005 1.9863 7.719 1/8 1/64 1/16002.1280e−005 1.9447 56.095为了显示本文给出的方法的优越性，我们取同样的稳定项参数，时间步长和网格尺寸与文献[15]中的方法做对比.表2中给出数值结果.对比表1和表2可知：我们的两水平变分多尺度方法计算得到的解的精确度和收敛阶与标准的变分多尺度得到的几乎一致，但是本文给出的方法可以节约几乎一半的计算时间.为了进一步对比我们现在的方法和文献[15]中格式2 的标准变分多尺度方法，当网格尺寸H=1/7,h=1/49 和时间步长△t=1/800 时，我们分别计算ν=0.01, 0.001 和0.0001 时方程的解.数值结果在表3中给出.表3中的数值结果同样可以表明两种方法得到的速度的精确度和收敛阶相差不大，但是对比文献[15]中格式2 的标准变分多尺度方法，我们的两水平变分多尺度方法可以节约几乎一半的计算时间. 表2: 文献[15]的标准变分多尺度方法近似解的误差h △t ∥∇u −∇uh∥L2(0,T;L2(Ω)2) rate CPU(s)1/4 1/100 49385e−003 — 0.047 1/8 1/200 1.2698e−003 1.9595 0.281 1/16 1/400 3.2440e−004 1.9687 2.047 1/321/800 8.1690e−005 1.9896 15.891 1/64 1/1600 2.0467e−005 1.9970 130.813表3: 近似解的对比ν 本文的两水平变分多尺度方法文献[15]中格式2 的标准变分多尺度方法∥∇u − ∇uh∥L2(0,T;L2(Ω)2) CPU(s) ∥∇u − ∇uh∥L2(0,T;L2(Ω)2) CPU(s)0.01 3.6159e−005 16.937 3.48869e−005 37.594 0.001 3.9220e−005 16.359 3.49002e−005 37.469 0.0001 4.3496e−005 16.578 3.49245e−005 38.1416 结论本文结合两水平变分多尺度的离散方法和高斯积分的算法特征，给出了非定常不可压Navier-Stokes 方程基于Crank-Nicolson 格式的两水平变分多尺度方法.该方法理论上给出了全离散速度的误差估计，并且我们从对速度的误差估计式中可以直观地得出粗细网格尺度H 和h 的匹配关系.数值实验验证了在粗细网格匹配合理的情形下，本文的方法与直接在细网格上使用单网格的变分多尺度方法相比，可以节约大量的计算时间.参考文献：【相关文献】[1]Temam R.Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis[M].Amsterdam: North-Holland Publishing Company,1984[2]Girault V,Raviart P A.Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms[M].Berlin Heidelberg: Springer-Verlag,1986[3]Wang K.A new defect correction method for the Navier-Stokes equations at highReynolds numbers[J].Applied Mathematics and Computation,2010,216(11): 3252-3264 [4]Liu Q F,Hou Y R.A two-level defect-correction method for Navier-Stokesequations[J].Bulletin of the Australian Mathematical Society,2010,81(3): 442-454[5]Zhang Y,He Y N.Assessment of subgrid-scale models for the incompressible Navier-Stokes equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,234(2): 593-604[6]Shang Y Q.A two-level subgrid 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navierstokes方程的三种迭代法
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其解法通常涉及到数值计算。
以下是三种常见的迭代法：
有限差分法（Finite Difference Method）：
有限差分法是一种直接求解Navier-Stokes方程的方法。
它通过将连续的时间和空间离散化，将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近原方程的解。
这种方法简单直观，但可能对初值敏感，且在处理复杂边界条件时可能遇到困难。
有限元法（Finite Element Method）：
有限元法是一种基于变分原理的数值方法。
它将连续的流体域离散为有限个小的子域（或称为“元”），然后在这些子域上定义近似函数。
通过最小化近似函数与真实解之间的误差，可以得到原方程的近似解。
这种方法能够处理复杂的边界条件，且对初值不敏感，但计算量较大。
有限体积法（Finite Volume Method）：
有限体积法是一种介于有限差分法和有限元法之间的方法。
它将流体域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上定义离散的数值格式。
通过求解这些离散方程，可以
得到原方程的近似解。
这种方法在处理复杂边界条件和流场变化时具有较好的适应性，且计算效率较高。
以上三种迭代法各有优缺点，可以根据具体问题选择适合的方法进行求解。
Navier-Stokes-Navier-Stokes耦合方程的数值解法Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程的数值解法导言在流体力学领域中，Navier-Stokes方程是研究流体运动的基本方程。
然而，在某些特定的情况下，这一方程组的数值求解可能会变得相当困难。
针对这一问题，研究人员提出了一种耦合求解Navier-Stokes方程的方法，即Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程。
本文将介绍该方程的数值解法。
一、方程模型的建立Navier-Stokes方程是一组描述流体连续性、动量守恒和能量守恒的偏微分方程。
在求解流体运动问题时，一般需要将流体领域划分为无限小的控制体，并对每个控制体应用质量、动量和能量守恒方程。
而Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程则是在不同物理领域的控制体之间建立耦合关系，以实现多物理场的数值求解。
二、数值求解方法针对Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程的数值求解，常用的方法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。
这些方法各自具有自身的特点和适用范围。
1. 有限元法有限元法是一种广泛应用于流体力学问题的数值求解方法。
在求解Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程时，有限元法将流体领域离散成有限数量的单元，通过对每个单元内的方程进行近似求解，并通过单元之间的耦合关系得到整个流场的解。
有限元法的优势在于适用于复杂的几何形状和边界条件，并且能够处理非结构化网格。
然而，有限元法的计算量较大，对计算资源的需求较高。
2. 有限差分法有限差分法是一种利用离散化点上的函数值和函数导数之间的关系来近似求解微分方程的方法。
在求解Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程时，有限差分法将流体领域离散成网格点，并通过有限差分近似来求解偏微分方程。
有限差分法的特点在于简单易懂、计算效率高，特别适用于规则网格和稠密网格的情况。
流体力学中的偏微分方程模型与数值模拟流体力学是研究流体运动规律的一门学科，它涉及到许多复杂的数学模型和方程。
其中，偏微分方程模型在流体力学中扮演着重要的角色。
本文将介绍一些常见的偏微分方程模型，并探讨它们在数值模拟中的应用。
首先，我们来介绍一维不可压缩流体的模型。
一维不可压缩流体的流动可以用一维Navier-Stokes方程来描述。
该方程由连续性方程和动量守恒方程组成。
连续性方程描述了质量守恒，即质量在流体中的守恒性。
动量守恒方程描述了流体中的力和加速度之间的关系。
通过将这两个方程结合起来，我们可以得到一维Navier-Stokes方程。
在数值模拟中，我们可以使用有限差分或有限元方法来求解这个方程，从而得到流体的速度和压力分布。
接下来，我们来介绍二维不可压缩流体的模型。
二维不可压缩流体的流动可以用二维Navier-Stokes方程来描述。
与一维情况类似，二维Navier-Stokes方程由连续性方程和动量守恒方程组成。
不同的是，二维情况下的流体速度是一个矢量，而不是一个标量。
在数值模拟中，我们可以使用有限差分或有限元方法来求解这个方程，从而得到流体的速度和压力分布。
此外，为了简化计算，我们通常会引入一些近似方法，如雷诺平均Navier-Stokes方程，来减少计算量。
除了不可压缩流体，可压缩流体也是流体力学中的重要研究对象。
可压缩流体的流动可以用可压缩Navier-Stokes方程来描述。
可压缩Navier-Stokes方程由连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程组成。
连续性方程描述了质量守恒，动量守恒方程描述了流体中的力和加速度之间的关系，能量守恒方程描述了流体中的能量转换。
在数值模拟中，我们可以使用有限差分或有限元方法来求解这个方程，从而得到流体的速度、压力和温度分布。
在流体力学中，还有一些其他的偏微分方程模型，如输运方程和浸渗方程。
输运方程描述了流体中物质的输运过程，浸润方程描述了流体在多孔介质中的渗流过程。
二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解胡园园;谢江;张武【摘要】针对不可压缩Navier-Stokes (N-S)方程求解过程中的有限元法存在计算网格量大、收敛速度慢的缺点,提出了基于面积坐标的三角网格剖分谱有限元法(TSFEM)并进一步给出了利用OpenMP对其并行化的方法.该算法结合谱方法和有限元法思想,选取具有无限光滑特性的指数函数取代传统有限元法中的多项式函数作为基函数,能够有效减少计算网格数量,提高算法的精度和收敛速度;利用面积坐标便于三角形单元计算的特点,选取三角单元作为计算单元,增强了适用性;在顶盖方腔驱动流问题上对该算法进行验证.实验结果表明,TSFEM较传统有限元法(FEM)无论是收敛速度还是计算效率都有了显著提高.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】6页(P42-47)【关键词】不可压缩N-S方程;OpenMP;方腔驱动流;高精度;无穷收敛性【作者】胡园园;谢江;张武【作者单位】上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学高性能计算中心,上海200444【正文语种】中文【中图分类】TP301.6Navier-Stokes (N-S)方程是流体力学中最重要的方程之一。
数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过求解N-S方程来进行解释和预言，因此研究N-S方程具有广泛的应用价值。
对N-S方程的研究距今已有200多年的历史，其弱解又称为Leray-Hopf弱解。
关于N-S方程强解的局部适定性、存在性与光滑性被列为21世纪7个价值100万美元的数学难题之一。
数学家断言，如果没有新的分析工具和数学思想，这个难题将很难得到解决。
但是,到目前为止,证明弱解的唯一性和正则性,即强解的整体存在性,仍是一个极具挑战性的问题。
只有极少数非常简单的流动问题才能求得其精确解，大多数还是要用离散的方法求得数值解。
在利用数值方法对其进行求解时，计算格式的时间步长受制于CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)数，CFL=λ·Δτ/Δη，λ是与当地声速成正比的特征函数。
当流体近似不可压缩时，λ趋向于无穷大，而CFL数是一个定值，因此最大时间步长Δτ趋向于0。
如果用可压缩N-S方程求解近似不可压缩流场，计算效率将会变得极低，因此只能通过不可压缩N-S方程来计算近似不可压流场。
不可压缩N-S方程的主要优点是求解未知数的数量较少，将连续性方程和动量方程联立，求解得到速度和压力后，代入能量方程就可以得到温度，计算效率较高。
从原则上讲，不可压缩N-S方程作为描述粘性流体流动的微分方程能够求解流体运动的一切问题。
但是不可压缩N-S方程是非线性偏微分方程，在实践中，解决较为复杂的问题，往往要考虑方程的所有项，因此求解非常困难。
现如今，求解不可压缩N-S方程早已不单单是数学家关心的问题，其在工程实际中的应用日益广泛而深入，例如近十年里，对于飞机抖振问题已经逐渐由原来粘、位流分开计算的方法的研究转向基于不可压缩N-S方程的方法的研究[1]。
故而在求解过程中，不但计算外形越来越复杂，结构网格类型已经由单一的C型网格、O 型网格、H型网格发展到块结构网格、嵌套网格等形式；网格划分的精细程度也随着人们对计算结果可靠性要求的增高而越来越细密。
但是，单纯地从细分网格出发去追求计算精度显然是不切实际的，一味地细分网格只会因为计算量过大导致最后计算无法进行。
因此，如何从计算方法本身出发，提高计算方法的效率和准确性就成了越来越多的学者关心的问题[2-4]。
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值方法。
自20世纪50年代提出以来，随着矩阵理论、数值分析方法、特别是计算机技术的发展，有限元法无论是在基础理论还是在实现技术上都取得了巨大的进步[5]。
它从最初的固体力学领域拓展到传热学、电磁学、流体力学以及声学等其他物理场，从简单的静力分析发展到动态、非线性、多场耦合等复杂计算问题[5]。
由于有限元法可以对区域进行任意的划分，更适合用于复杂的计算域，故而在求解微分方程的实际计算中得到越来越多的应用[6]。
传统的有限元方法的通用性最好，但是有限元法在分析波的传播时需要使单元大小与波的波长相当，且时间分辨率也非常小，使得计算效率较低。
因此许多学者利用混合有限元法来求解微分方程。
由于不可压缩N-S方程具有速度和压力两个变量的性质，利用混合有限元对其进行求解时，离散方程经常不满足inf-sup稳定化条件[7]，并且会产生较大的数值震荡。
在此基础上，李剑等[8]和何银年等[9]提出了基于局部Gauss积分的稳定化方法。
该方法不需要稳定化参数，不需要考虑剖分网格边界的条件，也不需要考虑不同网格单元力的变化；只需要计算两个Gauss 积分值之差。
这个方法避开了inf-sup条件，稳定了一些低次有限元。
许进超[10]提出了用二层或多层网格的方法处理偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)问题。
该方法是在粗网格上处理一些离散的非线性问题，得到一个初始值，然后在细网格上求一个离散线性方程组。
Girault等[11]提出了一系列求解N-S方程的二层和多层方法。
采用两层稳定有限元方法求解N-S方程,可以保持稳定化方法在细网格上的精度，但是多层网格势必会增加计算量，且在粗细网格的交界处处理起来十分困难，如若处理不当，很容易造成二次人为误差。
除了有限元法以外，谱方法因其精度高的特点在求解不可压缩N-S方程上也有较为广泛的应用。
谱方法是加权余量法的一种，源于经典的Rize-Galerkin方法，它将未知量用正交函数代替，在整个计算区域内把微分方程离散成代数方程组。
这些正交函数往往是一些特殊二阶常微分方程的特征函数，在数学上称之为谱。
谱方法最大的魅力在于它具有“无穷阶”收敛性，即如果原方程的解无穷光滑，那么用适当的谱方法所求得的近似解以N-1的任意次速度收敛于精确解，这里的N为所选取的基函数的个数[12]。
已有的谱方法一般适用于有界直角区域问题和周期问题，然而，在不可压缩N-S方程的许多实际应用领域中的问题往往都是复杂边界或是无界区域问题和非周期问题。
因此，如何将有限元法与谱方法相结合，得到更为通用的高效求解方法是本文较为关注的问题。
谱有限元法是谱方法与有限元方法的结合，它既有谱方法的高精度和收敛快的特点，也有有限元方法可以模拟任何复杂介质模型的特点。
谱有限元法中最广为人知的是直接动态刚度矩阵法、确切成员方法和谱元法[13]。
谱有限元法和有限元法的主要区别是，有限元法是基于位移多项式的假设，谱有限元法是通过其插值函数来求解波动方程的精确值。
与传统有限元法相比，谱有限元法的先进性体现在可以通过单一的分析给出时域和频域两方面的结果[14]。
利用数值方法求解不可压缩N-S方程，随着网格划分数目越多，计算规模会越来越大，当计算规模达到足够大时，计算将会由于机器硬件资源的限制而无法进行。
近年来，随着多核处理器的发展，并行计算在一定程度上得以普及，设计合适的并行算法，既可以提高计算速度，又可以缓解内存的不足。
谱有限元法和有限元法一样，计算单元之间具有一定的独立性，因此可以采用并行计算，将大规模重复性的单元分析分配在不同的节点上同时进行，将会大大缩短计算的时间，提高计算的效率。
本文的主要工作是通过选取具有无限光滑特性指数函数作为基函数，构造了基于面积坐标的三角网格剖分谱有限元法(Triangular mesh Spectral Finite Element Method based on area coordinate， TSFEM)，并用其求解二维定常不可压缩N-S方程，对于方程中的非线性项采用迎风紧致格式计算，能够有效地抑制混淆误差[15]。
本文模拟了顶盖驱动的二维方腔流动，分析了实验所得到的结果，并与标准有限元法得到的结果相比较，得出并行TSFEM在求解二维定常不可压缩N-S 方程时具有精度高、适用性好和计算效率高的特点。
据连续介质力学知识，描述不可压缩粘性流的控制微分方程，包括动量平衡方程、连续方程、本构方程以及能量方程。
为了简单起见，假设x=(x1,x2)，流动占据空间Ω={0≤x1,x2≤1}是R2中的有限区域，其边界是Γ=∂Ω，且方程的系数和边界条件均以2π为周期。
u(x,t)和p(x,t)分别表示速度向量和压力对密度的比值，和f(x,t)∈(L2(Ω))2是已知函数不可压缩的N-S方程的齐次Dirichlet边值问题[16]是：方程(1)中，v是非负常数，称为粘性常数，且有设所求的近似解为：其中：Φk(x)为试探函数空间的基函数，为展开系数。
通常取Φk(x)=eikx有共轭且满足：k,l=0,1,2,…其中，由此可知构成了[0,2π]上的标准正交系。
对于Fourier谱方法，要求：其中：L是包含u和u关于空间变量倒数的算子，Lu=-v▽2u+(u·▽)u+▽p+f。
将式(3)代入式(5)得到：k∈[-N,N-1]由式(4)得：根据式(1)得：▽p+f)=0根据给定的初始条件，就可以求出，再代入方程(3)，就可以得出方程(1)的近似解uN(x,t)。
谱有限元法的基本思想是：首先利用有限元的思想将求解区域划分为若干单元，在每个单元内将微分方程进行变分，得到微分方程的积分弱形式；然后将特定参量和未知量在每个单元内用高阶正交多项式(如Chebyshev、Legendre和Fourier多项式等)进行谱近似，得到每个单元的线性方程组，进而得到单元刚度矩阵；利用有限元的技术进行单元的叠加，将单元刚度矩阵组合成总体刚度矩阵；最后得到总求解域的线性代数方程组，加入边界条件，从而求得整个区域的未知变量。
有限元法只能通过增加单元来提高精度，谱有限元法不仅可以通过增加单元，还能通过提高每个单元的插值多项式阶数来提高求解精度。
此外，采用面积坐标构建三角形单元能够有效地克服谱方法对复杂边界问题实用性不强的弱点。
这两方面的改进使得谱有限元法相比其他数值方法具有更大的优势。
2.1 三角形单元谱有限元法平面上有限元的计算单元通常有两种：三角形单元和四边形单元。
一般来说，有限元对区域的剖分要求很少，仅仅要求是相容的、正则的或者拟一致的这样一些轻微条件。
相对于三角形单元，四边形单元分割起来相对简单，计算精度较高，比较适合较为规则的区域；但是三角形单元适应性更好，求解具有复杂几何构形或具有复杂边界的流动问题时一般不会出现坏单元，若将区域分割成四边形单元很容易出现坏单元，导致计算不收敛。
因此对于复杂区域问题多采用三角形单元对其进行划分。
要在三角形单元上使用谱方法，必须建立起三角形区域上的正交多项式。
