有关圆的简便计算和简便方法

圆在y轴截的弦长1.引言1.1 概述圆在y轴截的弦长是指一条直线从圆的外部与圆相交，与y轴所构成的线段的长度。

这个概念在几何学中非常重要，与圆的半径和截距之间有着密切的关系。

本文将探讨圆在y轴截的弦长的定义和公式，以及弦长与圆的半径和截距之间的关系。

通过对这些内容的讲解和分析，我们可以更深入地理解和应用圆的相关概念，并加深对几何学的理解。

在接下来的章节中，我们将首先介绍圆在y轴截的弦长的定义和公式，从几何学角度详细解释其含义和计算方法。

然后，我们将研究弦长与圆的半径和截距之间的关系，通过数学推导和实例分析，展示它们之间的数学模型和规律。

最后，我们将总结得出两个重要的结论：弦长与圆的半径成正比，弦长与截距成反比。

通过阅读本文，读者将获得对圆在y轴截的弦长的全面认识和理解，对圆的相关概念和性质有更加深入的把握。

同时，我们也希望通过分析与探究，培养读者的逻辑思维和问题解决能力，为进一步研究和应用几何学打下坚实的基础。

1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下几个部分进行论述和分析：1. 引言：在引言部分，我们将简要介绍本文的研究对象——圆在y 轴截的弦长，并概述本文的目的和结构。

2. 正文：在正文部分，我们将详细探讨圆在y轴截的弦长的定义和公式，并分析弦长与圆的半径和截距之间的关系。

3. 结论：在结论部分，我们将总结本文的主要研究结果，并得出结论1：弦长与圆的半径呈正比关系；结论2：弦长与截距呈反比关系。

通过以上的文章结构，我们将从介绍、分析到总结全面而系统地展现圆在y轴截的弦长的特点和性质，为读者提供一个清晰、准确的了解。

同时，我们还将通过数学推导和图表展示等方式来支持我们的观点，以便读者更好地理解和接受。

在正文部分，我们将深入阐述弦长的计算公式和与圆的半径、截距的关联，以及这些关系对于实际问题的意义和应用。

最后，在结论部分我们将对我们的研究结果进行总结，并指出未来研究方向和可能的拓展。

通过这一结构，读者将能够逐步掌握关于圆在y轴截的弦长的相关知识，并发现其中的规律和趋势，对于更深入地理解数学中的圆和弦长概念将有所帮助。

六年级数学圆公式大全表必背
圆公式是数学中的一个重要概念，在研究和使用它的过程中，掌握和掌握圆的公式对于研究数学有着重要的作用，所以六年级学生必须背诵圆公式大全表。

一、圆的方程圆的方程是表示圆的一种简便方法，其形式为：(x-a)²+(y-b)²=r²。

其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

二、圆的面积圆的面积可以用以下公式表示：S=πr²。

其中，S是圆的面积，π是圆周率，r是圆的半径。

三、圆的周长圆的周长可以用以下公式表示：C=2πr。

其中，C是圆的周长，π是圆周率，r是圆的半径。

四、圆的切线圆的切线可以用以下公式表示：l=2rπ。

其中，l是圆的切线长度，r是圆的半径，π是圆周率。

五、圆的切点圆的切点可以用以下公式表示：d=2√(r²-a²)。

其中，d是圆的切点距离，r是圆的半径，a是圆心距离。

六、圆的垂线圆的垂线可以用以下公式表示：h=2r-b。

其中，h是圆的垂线长度，r是圆的半径，b是圆心距离。

以上就是六年级学生必须背诵的圆公式大全表，学好这些公式可以帮助六年级学生更好地理解数学中的圆的概念，也可以帮助他们更好地解决数学上的问题。

所以，学生们一定要认
真记住这些圆公式大全表，以便在研究和使用的过程中更好地理解和掌握数学知识。

圆的周长（直径、半径和周长的关系）教学内容圆的周长，例1。

教学目标（教学目标不仅重视逻辑思维能力的培养，结合内容还重视爱国主义的思想教育。

）（1）认识圆的周长；掌握圆周率的意义和近似值；理解和掌握圆的周长的计算公式，能正确地计算圆的周长；（2）通过对圆周率π值的探究，培养学生的联想能力和初步的逻辑思维能力；（3）通过对“圆的直径、周长发生变化，圆周率不变”的探讨，使学生受到辩证唯物主义的启蒙教育；了解祖冲之在圆周率研究方面所作出的贡献，增强民族自豪感，激发爱祖国、爱中华民族的热情。

教学过程（1）铺垫复习。

①出示圆形硬纸片。

请指出这个圆的圆心、直径和半径。

说一说，在同一个圆里，直径和半径的关系是怎样的。

②出示长方形、正方形纸片。

请指出长方形的周长是哪部分的长度，正方形的周长是哪部分的长度。

③怎样计算长方形的周长？长方形的周长与什么有关系？C=2（a+b），长方形的周长与它的长和宽的长度有关系。

④怎样计算正方形的周长？正方形的周长与什么有关系？C=4a，正方形的周长与它的边长的长度有关系。

⑤不管是长方形还是正方形，研究它们的周长如何计算时，我们总是考虑周长和什么有关系，有什么关系。

下面我们就利用这种思考方法来研究圆的周长（板书课题）。

（这里是启发学生从长方形、正方形的周长与它们的边长有关系，联想到圆的周长与直径也有关系。

联想是科学研究者必须具有的能力。

）（2）教学新课。

①请同学们拿出准备好的圆形硬纸片，指出圆形纸片的周长是哪一部分的长度，注意起点和终点。

哪一个同学到前面来指出这个圆的周长？（一个学生上讲台演示。

）②这个同学指出的圆的周长完全正确。

从圆上任意一点开始，绕圆一周，再回到这一点，这一周的长度就是这个圆的周长。

由此可见，围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

③让学生阅读课文，然后讨论如何测量圆的周长。

④汇报。

（归纳出线测法和滚动法两种测量方法，只是为了便于学生记忆而已，不是重要规则，知道就可以了，不必死记硬背。

圆的面积计算方法圆是几何中的常见形状，计算圆的面积是数学中的基本问题之一。

在日常生活和工作中，我们经常需要计算圆的面积，比如在做园艺设计、建筑规划和工程施工等方面。

因此，了解圆的面积计算方法对我们是非常有用的。

本文将介绍几种计算圆的面积的方法，希望能对大家有所帮助。

首先，我们来介绍最基本的计算圆的面积的方法——使用圆的半径。

圆的面积公式为，S=πr²，其中S表示圆的面积，π是一个常数，约等于3.14159，r表示圆的半径。

根据这个公式，我们可以很容易地计算出一个圆的面积。

比如，如果一个圆的半径是5厘米，那么它的面积就是25π平方厘米。

其次，我们可以介绍一种更简便的方法——使用圆的直径。

圆的直径是圆的边界上通过圆心的一条线段的长度，它恰好是圆的半径的两倍。

因此，我们可以通过直径来计算圆的面积。

圆的面积公式也可以表示为，S=π(d/2)²，其中S表示圆的面积，π是一个常数，约等于3.14159，d表示圆的直径。

根据这个公式，我们同样可以很容易地计算出一个圆的面积。

比如，如果一个圆的直径是10厘米，那么它的面积就是25π平方厘米。

除了使用公式计算圆的面积，我们还可以通过图形的方法来理解圆的面积。

我们可以将圆分成许多小的扇形，然后将这些扇形拼接在一起，就可以得到一个近似的矩形形状。

通过计算这个矩形的面积，我们也可以得到圆的面积的近似值。

这种方法在实际应用中也是非常有用的，尤其是在没有计算器或者电脑的情况下。

最后，我们还可以介绍一种更高级的方法——使用积分来计算圆的面积。

通过对圆的边界进行积分，我们可以得到圆的面积。

这种方法在数学分析中有着重要的应用，但在实际生活中并不常用。

综上所述，计算圆的面积是数学中的基本问题，我们可以通过不同的方法来计算圆的面积，比如使用圆的半径、直径，或者通过图形的方法和积分的方法。

在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来计算圆的面积，以便更好地解决实际问题。

定义圆度：是指工件的横截面接近理论圆的程度。

测量工具为圆度仪。

地质学名词：圆度（roundness）又称磨圆度（psephicity），是指岩石或矿物颗粒在搬运过程中，经流水冲刷，互相撞击之后，棱角被磨圆的程度。

颗粒棱角越多越尖锐则圆度越差；反之棱角圆滑，圆度就好。

碎屑颗粒圆度可用公式P=Σr/N·R计算求出。

式中Σr=r1+r2+r3……+rn为颗粒各角的曲率颗粒最大投影面上圆度的测量半径总和，R为该颗粒轮廓内最大内接圆半径，N为所测角的曲率半径的数目。

卢赛尔等（1937年）曾分出五种颗粒类型：棱角状、次棱角状、次圆状、圆状、极圆状，并提出相应的圆度数值。

当对碎屑沉积物的圆度作整体分析时，要求出所有碎屑的平均圆度，这时，可统计各类圆度等级的颗粒数按加权平均法求其平均圆度即可。

主要功能可快速测环形工件的圆度、表面波纹度（Wc、Wp、Wv、Wt、Wa、Wq、Swm）、谱分析、波高分析、、同心度、垂直度、同轴度、平行度、平面度、轴弯曲度、偏心、跳动量等。

测量仪器测量仪器很多，然而使用不同仪器会产生不同测量误差。

本文介绍了用光学分度头测量圆度误差时所建立的数学模型，分析了各种误差对测量误差的影响，从而为在保证测量精度的同时降低测量成本提供了理论依据。

圆度误差的测量测量方法圆度误差的评定方法有4种：最小包容区域法，最小外接圆法，最大内切圆法，最小二乘法。

由于最小二乘法简便易行，长期以来甚为流行。

测量圆度误差的方法虽有多种，但最为合理、用得最多的是半径法。

为此，通过采用半径测量法在光学分度头上用千分表测量圆度误差，并对测量数据进行最小二乘法计算，以求得圆度误差值。

测量时，将被测量工件顶在光学分度头的两顶尖间，将指示表置于被测量横截面上，测量其半径的变化量Δr，即利用光学分度头将被测圆周等分成n个测量点，当每转过一个θ=360°/n角时，从指示表上读出该点相对于某一半径R0的偏差值Δr，由此测得所有数据Δri。

2个半圆重叠的阴影周长巧解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述本文将探讨一个有趣的几何问题，即两个半圆重叠时的阴影周长计算方法。

阴影是我们日常生活中经常能够观察到的一个现象，而阴影的周长具有一定的规律性。

然而，在两个半圆重叠的情况下，阴影的周长计算变得复杂且困难。

为了解决这一难题，我们将介绍一种巧解方法并进行详细的推导。

通过本文的阐述，读者将能够理解两个半圆重叠情况下的周长计算方法，并且能够应用这种方法解决类似的几何问题。

在概述部分，我们首先会对整篇文章的结构进行简单的介绍，以让读者对接下来的内容有一个初步的了解。

然后，我们会说明本文的目的，也就是为什么要研究两个半圆重叠时的阴影周长计算方法。

通过本文的阐述和推导，我们旨在提供一种简单且高效的方法来解决这一几何问题。

同时，我们也希望能够探讨这种巧解方法的意义和应用，并为未来研究方向提供一些展望。

在接下来的正文部分，我们将从阴影的定义和特性开始，引入两个半圆重叠情况下的周长计算方法。

然后，我们将详细介绍巧解方法的推导过程，以便读者能够清楚地理解该方法的原理和使用方法。

最后，在结论部分，我们将对整篇文章进行总结，并对巧解方法的意义和应用进行讨论。

同时，我们还将展望未来研究方向，以期能够进一步推动这个领域的发展和应用。

通过阅读本文，读者将能够加深对阴影周长的理解，学会一种巧解方法，并掌握解决类似几何问题的技巧。

我们相信，这将为读者拓宽思维，提供新的解题思路，并对几何学的研究和应用起到积极的促进作用。

1.2 文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的结构进行介绍和概括，可以包括以下内容：文章的结构是指文章的整体组织和安排方式，以确保思路清晰、逻辑严密、层次分明。

本文的文章结构如下：首先，在引言部分，我们将对文章的背景和意义进行概述，以引起读者的兴趣。

然后，介绍文章的整体结构和各个部分的内容安排，为读者提供一个整体的框架。

其次，在正文部分，我们将分为三个小节进行论述。

关于线性卷积及圆周卷积的简便竖式法计算
线性卷积和圆周卷积是数字信号处理中常见的两种卷积操作。

简单来说，线性卷积可以把两个信号之间的关系映射到输出上，而圆周卷积是一种更为复杂的运算，它可以寻找两个旋转的信号之间的关系。

下面就描述一下这两种卷积的简便竖式法计算。

线性卷积：
输入：
f(n)=x(n)*h(n)
f：输入信号；
x：样本函数；
h：滤波器。

步骤：
（1）将输入信号f分段；
（2）用滤波器在f的每一段输入取值上乘以x；
（3）对f的每一段结果求和，最终得到f的线性卷积输出。

圆周卷积：
输入：
F(n)=X(n)*H(n)
F：输入信号；
X：变换函数；
H：滤波器。

步骤：
（1）将输入信号F分段，每一段变换为正弦、余弦等函数；
（2）对每一段变换后的函数，用滤波器H乘以X；
（3）对每一段变换后函数结果求叠加和，以得到F的圆周卷积输出。

总结：
上述简便竖式法计算描述了两种卷积的计算步骤，即线性卷积和圆周卷积，在结果求叠加和时，用来表示信号实际上与自身的旋转有关的圆周卷积结果是不同的。

因此，这两种卷积的计算采用的步骤也有所不同。

以上就是线性卷积及圆周卷积的简便竖式法计算的长文描述。

已知三点求圆的方程简便方法
在数学中，我们需要知道如何通过三个已知点来确定一个圆的方程。

此操作在几何学中有广泛的应用，尤其是在计算机视觉和图像处
理中。

首先，我们需要知道一个基本的定理：圆心在三角形外心上。

这
个定理的证明是基于欧拉线的存在。

接下来，我们使用三点确定一条直线，然后求出这条直线的中垂线，它垂直于这条直线，并且经过直线上的中点。

这条中垂线的交点
就是三角形的外心，也就是我们所要找的圆心。

接下来，我们需要计算半径。

半径可以通过测量任意点到圆心的
距离来计算。

因此，我们可以通过选择任意一个已知点，并计算它到
圆心的距离来计算半径。

最后，我们需要写出圆的标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 =
r^2$，其中$(a,b)$是圆心的坐标，$r$为半径。

当然，这一过程可以用一个类似于奥卡姆剃刀的技巧来简化，即
使用向量和矩阵的方法。

我们可以将三个已知点表示为向量，然后构
建一个矩阵，通过它来求出圆心和半径。

这种方法基于线性代数的原理，具有更高的效率和适用性。

总之，通过三个已知点确定圆的方程是几何学中的一个基本问题，也是应用数学中的常见问题。

我们可以采用不同的技巧来解决这个问
题，包括基于欧拉线的方法和向量矩阵的方法。

掌握这些技巧可以帮助我们更好地理解几何学和应用数学。

有关圆的简便计算和简便方法吉林市龙潭区教师进修学校附属小学孙晓杰摘要：小学六年级在有关圆的计算中，圆周率与其它数量相乘属于较复杂的小数乘法，数学教师要教会学生记住最基本的∏值，还要先计算3.14以外的乘积，较复杂的含有∏的多步计算，要运用运算定律简算，就是尽量避免3.14与其它数字相乘机会；充分利用圆的对称性和重叠问题的解法对有关圆的复杂的组合图形进行旋转、平移，使其转化成较规范的简单的图形，从而使计算更加简便。

关键词：记住∏值、运用定律、尽量口算、旋转平移教过小学数学的人，众所周知，关于圆周率∏的计算很麻烦，在一个数乘3.14的时候步骤繁琐，而且很容易出错。

简算不是数学计算的目的，而是数学计算的需要。

本人从事小学数学教学工作，20年的教学生涯，在小学六年级有关圆周率的教学中，总结出一套简便算法，现把自己的做法呈现出来与同行们分享。

一、从第一次学习圆的周长计算那天起，背下来最基本的1∏到10∏∏值，即1∏＝3.14 2∏＝6.28 3∏＝9.42 4∏＝12.56 5∏＝15.7 6∏＝18.84 7∏＝21.98 8∏＝25.12 9∏＝28.26 10∏＝31.4二、还有计算周长时一些常用的，如12∏=37.68 15∏=47.1 16∏=50.24 18∏=56.52 24∏=75.36 32∏=100.48 36∏=113.047.5∏=23.55三、计算面积时，经常遇到平方数，不但前五年学过的1到10的平方数准确无误，还要把11到20的平方数倒背如流，它们分别是121、144、169、196、225、256、289、324、361、400，还有几个特殊的平方数，如25的平方625；24的平方576；关于面积常用到的含有圆周率的数有：16∏=50.24 25∏=78.5 36∏=113.04 64∏=200.96 144∏=489.6 225∏=706.5 256∏=803.84 625∏=1962.5 还有49∏=153.86 81∏=254.34只是这两个不常用。

第6单元分数的加法和减法第4课时分数加减简便运算【教学内容】教材第98～99页例2、3及第100～101页练习二十五第5~10题。

【教学目标】1.通过教学，使学生理解整数加法的运算定律对分数加法同样适用，并能灵活运用加法运算定律进行简算。

2.培养学生计算的灵活性。

3.引导学生养成认真审题的良好习惯。

【教学重难点】重点：灵活运用运算定律进行简便运算。

难点：掌握分数加减混合运算的应用题的解题方法。

【教学过程】一、复习导入1.下面各题，怎样简便就怎样算。

16+25+75 215+1038+285+917要求学生说说：上面各题进行简便计算的根据是什么？用字母怎样表示？引导学生说出：整数加法交换律a+b=b+a整数加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)2.提问：整数加法交换律中，所指的两个数的范围是什么？整数加法结合律中所指的三个数的范围是什么？（使学生明确都是在整数范围内）3.回忆学过的加法，想一想：这些运算定律对分数加法适用吗？（举例说明）揭示课题：整数加、减法的运算定律对分数加、减法也适用，这节课我们一起学习“整数加法运算定律推广到分数加法。

”板书课题：整数加法的运算定律推广到分数加法 二、新课讲授1.研究运算定律对分数加法的适用范围。

教师：这些运算定律中，用字母表示的两个数或三个数，它的范围都包括了什么样的数？（整数和小数，还有分数）使学生明确，加法运算定律在计算中都可以运用。

（1）教师出示教材第98页例2。

组织学生学习，并相互交流。

教师：你发现了什么？学生可能会说出：整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。

（2）出示：计算： ①51761212++；②23117474+++。

观察这些加数，注意分母和分子有什么特点并讨论怎样可以使计算简便？（把112和712结合起来，27和17结合起来，34和14结合起来，使计算简便）说一说这两道题应用了什么运算定律？（加法的交换律和结合律）①独立练习。

学好五年级数学快速计算圆的周长和面积五年级学生们，数学是一门既有趣又实用的学科。

当涉及到计算圆的周长和面积时，掌握快速计算的方法将大大提高你们的数学能力。

本文将为你们介绍一些简便的技巧和公式，帮助你们学好五年级数学，掌握圆的周长和面积的计算方法。

1. 计算圆的周长（C）：圆的周长可以通过圆的直径（d）或者半径（r）来计算。

根据数学定理，圆的周长是直径的π倍（C = πd）或者半径的2π倍（C = 2πr）。

例如，如果一个圆的直径为10cm，则其周长为10 * π = 31.4cm。

如果一个圆的半径为5cm，则其周长为2 * π * 5 = 31.4cm。

2. 计算圆的面积（A）：圆的面积可以通过圆的半径（r）或者直径（d）来计算。

根据数学定理，圆的面积等于半径的平方乘以π（A = πr^2）或者直径的平方乘以π再除以4（A = πd^2 / 4）。

例如，如果一个圆的半径为6cm，则其面积为π * 6^2 = 113.1cm^2。

如果一个圆的直径为8cm，则其面积为π * 8^2 / 4 = 50.3cm^2。

3. 解决实际问题：现在，让我们通过几个实际问题来练习计算圆的周长和面积。

问题一：一个圆的直径为14cm，请计算它的周长和面积。

解答：根据圆的直径计算周长公式，周长为14 * π = 43.9cm。

根据圆的半径计算面积公式，半径为14 / 2 = 7cm，则面积为π * 7^2 =153.9cm^2。

问题二：一个圆的面积为154cm^2，请计算它的半径和周长。

解答：根据圆的面积计算半径公式，面积为πr^2 = 154cm^2，所以r^2 = 154 / π，r ≈ √(154 / π) ≈ 6.25cm。

根据半径计算周长公式，周长为2πr ≈ 2 * π * 6.25 ≈ 39.3cm。

通过这些实际问题，我们能够更好地理解和应用圆的周长和面积的计算方法。

4. 快速计算技巧：除了使用公式，还有一些快速计算圆的周长和面积的技巧可以帮助你们更高效地解决问题。

小学数学五年级上册简便计算68道题(含详细规范标准答案)一、加减法简便计算1. 123 + 456 = 5792. 789 321 = 4683. 678 + 123 456 = 3454. 456 + 789 123 = 11225. 987 + 654 321 = 13206. 789 + 456 123 = 11227. 654 + 321 987 = 3128. 321 + 987 654 = 6549. 123 + 456 + 789 = 136810. 456 + 789 + 123 = 1368二、乘除法简便计算11. 7 × 8 = 5612. 9 ÷ 3 = 313. 12 × 13 = 15614. 15 ÷ 5 = 315. 18 × 19 = 34216. 21 ÷ 7 = 317. 24 × 25 = 60018. 27 ÷ 9 = 319. 30 × 31 = 93020. 33 ÷ 11 = 3三、混合运算简便计算21. 12 + 7 × 8 = 6822. 9 ÷ 3 + 6 = 723. 12 × 13 45 = 14124. 15 ÷ 5 + 8 = 725. 18 × 19 + 21 = 35726. 21 ÷ 7 4 = 127. 24 × 25 12 = 58828. 27 ÷ 9 + 3 = 629. 30 × 31 15 = 91530. 33 ÷ 11 2 = 1四、分数简便计算31. 1/2 + 1/3 = 5/632. 2/3 ÷ 1/4 = 8/333. 3/4 + 1/2 = 5/434. 4/5 ÷ 1/2 = 8/535. 5/6 + 1/3 = 7/636. 6/7 ÷ 1/4 = 24/737. 7/8 + 1/2 = 11/838. 8/9 ÷ 1/3 = 839. 9/10 + 1/5 = 13/1040. 10/11 ÷ 1/2 = 20/11五、小数简便计算41. 0.5 + 0.3 = 0.842. 0.6 ÷ 0.2 = 343. 0.7 × 0.8 = 0.5644. 0.4 ÷ 0.4 = 145. 0.9 + 0.1 = 146. 0.8 ÷ 0.2 = 447. 0.7 × 0.9 = 0.6348. 0.6 ÷ 0.3 = 249. 0.5 + 0.2 = 0.750. 0.4 ÷ 0.2 = 2六、百分数简便计算51. 20% + 30% = 50%52. 40% ÷ 20% = 253. 50% × 80% = 40%54. 25% + 75% = 100%55. 60% ÷ 30% = 256. 70% × 50% = 35%57. 80% + 20% = 100%58. 90% ÷ 10% = 959. 55% × 45% = 24.75%60. 65% + 35% = 100%七、方程简便计算61. 2x + 3 = 7，解得 x = 262. 3x 4 = 5，解得 x = 363. 4x + 5 = 9，解得 x = 164. 5x 6 = 4，解得 x = 265. 6x + 7 = 13，解得 x = 166. 7x 8 = 9，解得 x = 367. 8x + 9 = 17，解得 x = 168. 9x 10 = 11，解得 x = 3八、应用题简便计算69. 小华有10个苹果，小明有15个苹果，他们一共有多少个苹果？解：10 + 15 = 25个苹果。

圆分六等分最简单方法
步骤1：绘制一个圆
首先，使用一个圆规和一个铅笔，在纸上绘制一个任意大小的圆。

确保圆心与圆规的一个点重合。

步骤2：构建圆心角
将铅笔放在圆心上，在圆上画出一个角，此角为60度（1/6的圆心角）。

可以使用圆规或直尺来确保角度的准确性。

步骤3：绘制分割线
从圆心开始，使用直尺或绘图工具将分割线绘制至圆的边界。

连接圆心与圆上的两个点，确保线段和圆心角相交。

步骤4：将圆等分
将直尺放置在圆心上，将它的一边沿着两个相邻的分割线，再次绘制一条线段，直到与圆的边界相交。

这将形成一个新的分割线。

步骤5：重复以上步骤
重复步骤4，继续在圆上绘制新的分割线，直到圆被平均分割成六个部分。

确保每个分割线都与其相邻的分割线形成相同的角度。

完成以上步骤后，圆将被等分成六个相等的部分，可以通过连接相邻的分割线来形成一个等边六边形。

需要注意的是，绘制圆心角的准确度和绘制的分割线是否与圆相交是关键。

因此，在进行绘制时要尽可能准确地操作，以确保最终结果的精确性。

通过这个简单的几何方法，我们可以轻松地将一个圆分割成六个相等的部分。

实践中可能需要多次尝试和微调，但这是一种相对简便且易于理解的方法。

例谈求解圆的方程常用方法杜红全(甘肃省康县教育局教研室㊀７４６５００)摘㊀要:圆是高考热点ꎬ也是必然考查的内容.主要考查圆的方程㊁直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系以及圆的几何性质等ꎬ但是会求圆的方程是基础.本文从直接法㊁几何性质法㊁待定系数法等五个方面举例说明圆的方程的常用求法ꎬ希望起到抛砖引玉的作用.关键词:直接法ꎻ几何性质法ꎻ待定系数法ꎻ利用圆的直径式方程ꎻ利用圆系方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００１０－０３收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:杜红全(１９６９.９－)ꎬ男ꎬ甘肃省康县人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀圆是简单的二次曲线ꎬ是高中数学的一个基本内容ꎬ也是高考常考的内容ꎬ会求圆的方程才是硬道理.下面举例说明求圆的方程的常用方法ꎬ供参考.㊀㊀一㊁直接法直接法就是根据圆的定义ꎬ利用已知条件ꎬ确定圆心坐标和半径ꎬ直接求出圆的标准方程.例１㊀求满足下列条件的圆的方程:(１)圆心在点Ｃ(３ꎬ－４)处ꎬ半径是５ꎻ(２)经过点Ｐ(５ꎬ２)ꎬ圆心是点Ｃ(４ꎬ－１).分析㊀根据题设条件ꎬ可利用圆的方程的定义来解决.㊀解㊀(１)因为圆心是在点Ｃ(３ꎬ－４)ꎬ半径是５ꎬ所以圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ＋４)２＝５.(２)因为圆的半径是ｒ＝｜ＰＣ｜＝(５－４)２＋(２＋１)２＝１０ꎬ圆心是Ｃ(４ꎬ－１)ꎬ所以圆的方程是(ｘ－４)２＋(ｙ＋１)２＝１０.点评㊀确定圆的标准方程只需要圆心的坐标和圆的半径即可ꎬ因此圆心和半径是圆的两要素.㊀㊀二㊁几何性质法几何性质法就是通过研究圆的性质㊁直线和圆㊁圆和圆的位置关系ꎬ求出圆心坐标与半径ꎬ从而得到圆的标准方程.常用的几何性质有:圆心与切点的连线垂直于切线ꎻ圆心到切线的距离等于圆的半径ꎻ圆的弦的垂直平分线过圆心ꎻ两条弦的垂直平分线的交点为圆心等.例２㊀求过点Ａ(１ꎬ－１)和Ｂ(－１ꎬ１)ꎬ且圆心在直线ｘ＋ｙ－２＝０上的圆的方程.分析㊀利用圆的几何性质求出圆的圆心和半径后ꎬ再写出方程.解法一㊀设点Ｃ为圆心ꎬ因为点Ｃ在直线ｘ＋ｙ－２＝０上ꎬ所以可设点Ｃ的坐标为(ａꎬ２－ａ).又因为该圆经过ＡꎬＢ两点ꎬ所以｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜.所以(ａ－１)２＋(２－ａ＋１)２＝(ａ＋１)２＋(２－ａ－１)２ꎬ解得ａ＝１.所以圆心Ｃ的坐标为(１ꎬ１)ꎬ半径ｒ＝｜ＣＡ｜＝２.故所求圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝４.解法二㊀由已知可得线段ＡＢ中点的坐标为(０ꎬ０)ꎬｋＡＢ＝１－(－１)－１－１＝－１ꎬ所以弦ＡＢ的垂直平分线的斜率为ｋ＝１ꎬ所以弦ＡＢ的垂直平分线的方程为ｙ－０＝１ˑ(ｘ－０)ꎬ即ｙ＝ｘ.而圆心是直线ｙ＝ｘ与ｘ＋ｙ－２＝０的交点ꎬ由ｙ＝ｘꎬｘ＋ｙ－２＝０ꎬ{得ｘ＝１ꎬｙ＝１ꎬ{即圆心为(１ꎬ１)ꎬ圆的半径为(１－１)２＋[１－(－１)]２＝２.故所求圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝４.点评㊀一般地ꎬ在解决有关圆的问题时ꎬ有时利用圆的几何性质作转化较为简单ꎬ充分体现了解析几何问题的代数方法和几何方法的有机结合的特点.本题还可以用待定系数法求解.㊀㊀三㊁待定系数法圆的方程中ꎬ有三个独立系数ꎬ因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆ꎬ确定系数的方法就是待定系数法.待定系数法就是先设出圆的方程ꎬ然后根据条件求出方程中的参数.０１１.设圆的标准方程例３㊀求与ｘ轴交于Ａ(１ꎬ０)和Ｂ(５ꎬ０)两点ꎬ且半径为５的圆的方程.分析㊀可设出圆的标准方程ꎬ再把ＡꎬＢ两点的坐标代入ꎬ用待定系数法求解.解㊀设圆的标准方程为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝５.因为ＡꎬＢ在圆上ꎬ所以ＡꎬＢ坐标满足方程(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝５.把ＡꎬＢ坐标分别代入该方程再联立ꎬ得(１－ａ)２＋(０－ｂ)２＝５ꎬ(５－ａ)２＋(０－ｂ)２＝５ꎬ{解得ａ＝３ꎬｂ＝１ꎬ{或ａ＝３ꎬｂ＝－１.{所以所求圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ－１)２＝５或(ｘ－３)２＋(ｙ＋１)２＝５.点评㊀如果由已知条件容易求得圆心坐标㊁半径或需要利用圆心的坐标或半径列方程问题ꎬ一般采用圆的标准方程ꎬ再用待定系数法求出ａꎬｂꎬｒ.本题还可以用几何性质法求解.２.设圆的一般方程例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点为Ａ(１ꎬ４)ꎬＢ(－２ꎬ３)ꎬＣ(４ꎬ－５)ꎬ求әＡＢＣ的外接圆方程.分析㊀已知三个顶点都在圆上ꎬ可采用圆的一般方程ꎬ利用待定系数法求出圆的方程.解㊀设әＡＢＣ的外接圆方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０.因为ＡꎬＢꎬＣ在圆上ꎬ所以将坐标分别代入ꎬ有１＋１６＋Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ４＋９－２Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ１６＋２５＋４Ｄ－５Ｅ＋Ｆ＝０ꎬìîíïïï解得Ｄ＝－２ꎬＥ＝２ꎬＦ＝－２３.ìîíïïï所以әＡＢＣ的外接圆方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋２ｙ－２３＝０.点评㊀如果已知条件与圆心和半径都无直接关系ꎬ通常采用圆的一般方程ꎬ再用待定系数法求出常数ＤꎬＥꎬＦꎻ本题还可以用几何性质法求解.㊀㊀四㊁利用圆的直径式方程已知一个圆的一条直径的端点是Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ则圆的方程可表示为(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)＋(ｙ－ｙ１)(ｙ－ｙ２)＝０ꎬ此方程称为圆的直径式方程.例５㊀求过直线２ｘ＋ｙ＋４＝０和圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０的交点ꎬ且面积最小的圆的方程.分析㊀设直线和圆的交点为ＡꎬＢꎬ面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆.故可以利用圆的直径式方程求解.解㊀由２ｘ＋ｙ＋４＝０ꎬｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０ꎬ{得交点Ａ(－１１５ꎬ２５)ꎬＢ(－３ꎬ２).因为面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆ꎬ所以所求的圆方程为(ｘ＋１１５)(ｘ＋３)＋(ｙ－２５)(ｙ－２)＝０ꎬ即ｘ２＋ｙ２＋２６５ｘ－１２５ｙ＋３７５＝０.点评㊀求解本题的关键是知道面积最小的圆是以直线和圆的交点为直径的圆ꎬ此题虽然还可以利用圆的性质求出圆心的坐标和半径求解ꎬ但是用圆的直径式方程求解比较简便.当然本题还可以用过直线与圆交点的圆系方程求解.㊀㊀五㊁利用圆系方程具有某种共同性质的圆的集合叫做圆系ꎬ含有参数的圆的方程称为圆系方程.常用的圆系方程类型有以下几种:(１)同心圆系①以(ａꎬｂ)为圆心的同心的圆系方程为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝λ２(λ为参数ꎬλ>０)ꎻ②与圆ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋λ＝０(λ为参数)ꎻ同心圆系图形特点是位置相同ꎬ大小不同.(２)半径相等的圆系方程为(ｘ－ｍ)２＋(ｙ－ｎ)２＝ｒ２(ｍ㊁ｎ为参数)ꎬ图形特点是大小一样ꎬ位置不同.(３)过直线与圆交点的圆系方程.设直线ｌ:Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０相交ꎬ则方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋λ(Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ)＝０(λ为参数)表示过直线ｌ与圆Ｃ的两个交点的圆系方程.(４)过两圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＝０和Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２＝０交点的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＋λ(ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２)＝０(λ为参数ꎬλʂ－１ꎬ且不含圆Ｃ２)ꎬ特别提示:①由于该圆系方程不包括圆Ｃ２ꎬ因此直接应用该圆系方程必须检验Ｃ２是否满足题意ꎬ谨防漏解ꎻ②当参数λ＝－１时ꎬ该方程为过两圆交点的一条直线方程:(Ｄ１－Ｄ２)ｘ＋(Ｅ１－Ｅ２)ｙ＋(Ｆ１－Ｆ２)＝０.例６㊀有一圆与直线ｌ:４ｘ－３ｙ＋６＝０相切于点Ａ(３ꎬ６)ꎬ且圆经过点Ｂ(５ꎬ２)ꎬ求此圆的方程.分析㊀将点Ａ(３ꎬ６)视为 点圆 :(ｘ－３)２＋(ｙ－６)２＝０ꎬ然后利用过直线与圆交点的圆系方程求解.解㊀根据题意可设所求圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ－６)２＋λ(４ｘ－３ｙ＋６)＝０ꎬ把点Ｂ(５ꎬ２)的坐标代入方程ꎬ解得λ＝－１.所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－１０ｘ－９ｙ＋３９＝０.点评㊀所谓 点圆 就是半径为０的圆ꎬ所以一个孤立的点Ｃ(ａꎬｂ)的图形可以看成 点圆 ꎬ即点Ｃ(ａꎬｂ)的圆的方程可表示为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝０ꎬ在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的问题时ꎬ把切点视为 点圆 是一个重要方法技巧.本题还可用几何性质法和待定系数法求解.１１例７㊀求以圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０和圆Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０的公共弦为直径的圆的方程.㊀分析㊀可先求公共弦所在直线的方程ꎬ再利用过两圆交点的圆系方程求解.解㊀联立两圆方程ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０ꎬｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０ꎬ{相减得公共弦所在直线的方程为４ｘ＋３ｙ－２＝０.设所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＋λ(ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５)＝０(λ为参数ꎬλʂ－１)ꎬ由此可得圆心Ｃ(－１２λ－１２２(１＋λ)ꎬ－１６λ－２２(１＋λ)).因为圆心Ｃ在公共弦所在的直线上ꎬ所以４－(１２λ＋１２)２(１＋λ)＋３ －(１６λ＋２)２(１＋λ)－２＝０ꎬ解得λ＝１２.所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋４ｙ－１７＝０.点评㊀一般地ꎬ求过两个圆交点的圆的方程利用圆系方程求解比较简捷ꎬ应学会使用此法.本题还可先求出公共弦的端点坐标ꎬ再得所求圆的方程.㊀㊀参考文献:[１]高杲.圆与方程知识点及常考题型分析[Ｊ].中学生数理化(高一版)ꎬ２０１４(１２):３－６.[责任编辑:李㊀璟]２０１９年北京卷文科第１９题的推广与变式刘才华(山东省泰安市宁阳第一中学㊀２７１４００)摘㊀要:本文给出了２０１９年北京高考文科第１９题在椭圆㊁双曲线及圆中的推广与变式.关键词:椭圆ꎻ双曲线ꎻ圆ꎻ定点ꎻ定值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００１２－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:刘才华(１９６９.１０－)ꎬ男ꎬ山东省泰安宁阳人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀章建跃先生在«数学教育心理学»中提到:变式就是变更对象的非本质特征的表现形式ꎬ变更观察事物的角度或方法ꎬ以突出事物的本质特征ꎬ突出那些隐蔽的本质特征.这就要求教师在教学过程中ꎬ善于 借题发挥 ꎬ一题多变ꎬ 以少胜多 ꎬ引导学生从不同的角度出发ꎬ对题目本身进行相应地理解以及挖掘ꎬ这对于提升学生的逻辑推理和数学运算等核心素养有着极大的帮助.下面对２０１９年北京市文科第１９题进行推广与变式ꎬ供教学参考.试题㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的右焦点为(１ꎬ０)ꎬ且经过点Ａ(０ꎬ１).(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)设Ｏ为原点ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔʂ１)与椭圆Ｃ交于两个不同点ＰꎬＱꎬ直线ＡＰ与ｘ轴交于点Ｍꎬ直线ＡＱ与ｘ轴交于点Ｎ.若ＯＭ ＯＮ＝２ꎬ求证:直线ｌ经过定点.将试题推广到一般的椭圆ꎬ我们得到如下命题１㊀设Ｏ为原点ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔʂｂ)与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)交于两个不同点ＰꎬＱꎬＡ(０ꎬｂ)为椭圆Ｃ的上顶点ꎬ直线ＡＰ与ｘ轴交于点Ｍꎬ直线ＡＱ与ｘ轴交于点Ｎ.若ＯＭ ＯＮ＝ａ２ꎬ则直线ｌ经过定点Ｏ.证明㊀设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２).由ｙ＝ｋｘ＋ｔꎬｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１{得(ａ２ｋ２＋ｂ２)ｘ２＋２ｋｔａ２ｘ＋ａ２ｔ２－ａ２ｂ２＝０ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝－２ｋｔａ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬｘ１ ｘ２＝ａ２ｔ２－ａ２ｂ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬ且Δ>０.直线ＡＰ的方程为ｙ＝ｙ１－ｂｘ１ｘ＋ｂꎬ令ｙ＝０得ｘＭ＝－ｂｘ１ｙ１－ｂ＝－ｂｘ１ｋｘ１＋ｔ－ｂ.直线ＡＱ的方程为ｙ＝ｙ２－ｂｘ２ｘ＋ｂꎬ同理得ｘＮ＝－ｂｘ２ｋｘ２＋ｔ－ｂ.则ｘＭ ｘＮ＝ｂｘ１ｋｘ１＋ｔ－ｂｂｘ２ｋｘ２＋ｔ－ｂ＝ｂ２ｘ１ｘ２(ｋｘ１＋ｔ－ｂ)(ｋｘ２＋ｔ－ｂ).２１。

〔十三〕圆知能要点1、圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。

〔以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形〕2、圆规画圆的方法：〔1〕把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；〔2〕把有针尖的一只脚固定在一点上；〔3〕把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。

3、圆各局部的名称：圆心用O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。

4、圆的性质：圆有无数条直径，无数条半径；同〔或等〕圆内的直径都相等，半径都相等。

同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。

5、圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。

所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

6、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。

7、同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，半径是直径的一半，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r, r=d÷2。

8、圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长。

直径的长短决定圆周长的大小。

9、圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示〔读pài〕，π是一个无限不循环小数，π＝3.141592653……，我们在计算时，一般保存两位小数，取它的近似值3.14，π>3.14。

10、常用的3.14的倍数：3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.563.14×5＝15.7 3.14×6＝18.84 3.14×7＝21.983.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 3.14×12＝37.683.14×14＝43.96 3.14×16＝50.24 3.14×18＝56.523.14×24＝75.36 3.14×25＝78.5 3.14×36＝113.043.14×49＝153.86 3.14×64＝200.96 3.14×81=254.3411、圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。

六年级圆周率的简便计算摘要：圆周率的计算在各个学段是学生的一大难点，理解难、计算难。

关键词：圆周率；简便；运用；计算绪言众所周知，圆周率一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值．圆周率是一个常数（约等于3.1415926），是代表圆周长和直径的比例．它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。

计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作．俗话说得好，“有理走遍天下，无理寸步难行”圆周率好比这个“理”。

好比这个“理”；在小学阶段，圆周率计算更是很多六年级学生的一大难点。

今天，我就这一问题提出我在教学中简便计算。

1.我会让学生去记一些基本的 值和一些数的平方值，如下：π=3.14 2π=6.28 3π=9.424π=12.56 5π=15.7 6π=18.847π=21.98 8π=25.12 9π=28.2610π=31.4 16π=50.24 25π=78.536π=113.04 64π=200.96121112= 144122= 169132= 196142=225152= 256162= 625252=2.例题中来如何使圆周率的计算更简便。

例1 下面有一根柱子，小美量得这根柱子的周长是251.2cm ，求这根柱子的横截面积是多少？你能帮她算出来吗?分析：要求柱子的横截面积，其实就是求圆的面积，要求圆的面积，根据圆面积公式s=π2r ，需求出半径，第一步，先求出圆的半径，已知周长求半径，就利用公式r=c ÷2π。

这时，我们就可以利用简便方法进行计算，8π=25.12，那么251.2=80π。

r=c ÷2π=80π÷2π=40(cm),把r=40代入公式，s=π2r =π× 240=1600π=5024（2cm ）（因为16π=50.24解：r=c ÷2π=80π÷2π=40(cm)s=π2r =π×240=1600π=5024（2cm ） 答：柱子的横截面积是5024平方厘米。