中考数学一轮复习专题圆中角度长度计算问题

中考数学角度、长度和面积的计算（讲义）一、知识点睛●几何计算、证明的基本思考流程1．标注条件，合理转化2．分析结构，整合信息3．由因导果，执果索因●几何中常见的思考角度1．角①同位角、内错角、同旁内角常用来证；②内角、外角、对顶角、余角、补角，常用来；③圆中，常找的角是、_________________；④直角，常考虑、、、、______；⑤特殊角30°、45°、60°等，常放在中，求三角形关系．2．中点的常用方法有_____________、____________________、________________________、_________________________．3．角平分线、垂直平分线常考虑性质．4．面积①公式法（规则图形）；②割补转化法（分割求和、补形作差）；③性质法（相似类、同底类、共高类、构造平行同底等高转移类）．二、精讲精练1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是__________．ADOE CF B2．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B'处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在直线EB'与AD 的交点'C 处，则BC :AB 的值为 ．B 'C 'FEDC BAADFEBC第2题图 第3题图 3．如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于E ，F为AD 的中点，若∠AEF =54°，则∠B =___________． 4．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为________．FEBAGDC G FB ECD A第4题图 第5题图5．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，∠C =60°，BC =2AD =23，点E 是BC 边的中点，△DEF 是等边三角形，DF 交AB 于点G ，则△BFG 的周长为_____________． 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC ＝5，OC ＝62，则另一直角边BC 的长为 ．C BOAED7．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(32，0)、（0，2），P 是△AOB 外接圆上第一象限内的一点，且∠AOP =45°，则点P 的坐标为 ． OAxPyBADEBC F第7题图 第8题图8．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上的一点，且AD =23AB ，DF ∥BC ，E 为BD 的中点．若EF ⊥AC ，BC =6，则四边形DBCF 的面积为 ．9．如图，△ABC 的面积为63，D 是BC 上的一点，且BD ∶CD ＝2∶1，DE ∥AC 交AB 于点E ，延长DE 到F ，使FE ∶ED ＝2∶1，则△CDF 的面积为 ．EBDCAF OF GE DCB A第9题图 第10题图10．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积为 ．11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，BD ⊥DC ，BD =DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N ，下列结论：①BH =DH ；②EH CH )12(+=；③ECEHS S EBH ENH =，其中正确的是 ．A DH N EBCCFM PND AEB第11题图 第12题图12．如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AB =BC =2AD ，点E 、F 分别是AB 、BC 边的中点．连接AF 、CE 交于点M ，连接BM 并延长交CD 于点N ，连接DE 交AF 于点P ，则下列结论：①∠ABN =∠CBN ；②DE ∥BN ；③△CDE 是等腰三角形；④EM ∶BE =5∶3； ⑤18EPM ABCD S S =△梯形，其中正确的是 ．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．①平行②转化计算③圆周角、圆心角④互余、勾股定理、高、距离、直径⑤直角三角形、边角2．倍长、三线合一、中位线、直角三角形斜边中线等于斜边的一半3．轴对称二、精讲精练1．50°2．33．72°4．155．3+36．77．()31,31++8．159．42 10．74S11．②③12．①②③④。

圆内有关角度、长度的计算一、选择题1．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2：3：6,则∠D 的度数是（ ）A 、︒5.67B 、︒135C 、︒5.112D 、︒110 2．如图1所示，圆的内接四边形ABCD ，DA 、CB 延长线交于P ，AC 和BD 交于Q ，则图中相似三角形有（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对 3．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（ ） A 、215 B 、315 C 、2315 D 、2215 4．下列四边形中，有外接圆的四边形是（ ） A 、有一个角为︒60的平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、直角梯形5．如图2，四边形ABCD 是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为︒240，那么 ∠C 等于（ ）A 、︒120B 、︒80C 、︒60D 、︒40 6．若四边形ABCD 内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n ，则（ ） A 、5m=4n B 、4m=5n C 、m+n=9 D 、m=n=︒180二、填空题1．（南通市，2006）圆内接四边形ABCD 中∠A ：∠B ：∠C=4：5：2，则∠D=________。

2．（无锡市，2007）如图21-5，⊙O 的内接四边形ABCD 的边AB 与DC 的延长线交于点P ，已知∠DAB=60°，∠ABC=100°则∠P=________度。

3．（河北省，2006）若三角形的三边长分别为3、4、5，则其外接圆直径的长等于________。

ACBPQ图1ADB C· O 图24．（山西省2007）三角形的一边长为a,它的对角30°，则此三角形外接圆的半径为________。

5．（吉林省，2006）圆内接四边形ABCD 中，如果∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，那么∠D=________度。

6．（三明市，2007）圆内接四边形ABCD 中，如果∠A=2∠C ，那么∠C=________度。

人教版九年级数学上册《圆中的角度计算》必考题型专项分类专题练习《圆中的角度计算》必考经典题型专项分类专题练习题型一：垂径定理中的角度计算1.如图,AB是☉O的直径,BC?=CD?=DE?,∠COD=34°,则∠AEO的度数是________.=AC?,∠A=30°,则∠B= ( )2.如图所示,在☉O中,ABA.150°B.75°C.60°D.15°3.如图,在☉O中,直径AB∥弦CD,若∠COD=120°,则∠BOD=________°.=AC?,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠COA.4.如图,在☉O中,AB题型二：和圆周角、圆心角相关的角度计算=AC?,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )1.在☉O中,ABA.40°B.30°C.20°D.15°2.如图,A,B,C是☉O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是( )A.150°B.140°C.130°D.120°3.如图,点A,B,C在☉O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B= 。

4.如图,已知经过原点的☉P与x,y轴分别交于A,B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB= 。

5.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,求∠CAD的度数。

题型三：和切线有关的角度计算1.如图,AB是☉O的直径,AC切☉O于A,BC交☉O于点D,若∠C=70°,则∠AOD 的度数为( )A.70°B.35°C.20°D.40°2.在△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,点I为△ACD 的内切圆圆心,则∠AIB的度数是( )A.120°B.125°C.135°D.150°【解析】选C.如图所示,因为I 为△ACD 的内切圆圆心,则IA 平分∠BAC,即∠IAD=∠IAC,则△AIB ≌△AIC,则∠AIB=∠AIC.在△AIC 中,∠AIC=180°-12∠DAC-12∠ACD=180°-12(∠DAC+∠ACD). 又∠DAC+∠ACD=90°,所以∠AIC=180°-12×90°=135°,即∠AIB=135°.3. 如图,△ABC 中,内切圆I 和边BC,AC,AB 分别相切于点D,E,F,P 为EF ?上任一点,若∠BAC=40°,求∠EDF 和∠EPF 的度数.4. 如图,在△ABC 中,以BC 为直径的圆交AC 于点D,∠ABD=∠ACB.(1)求证:AB 是圆的切线.(2)若点E 是BC 上一点,已知BE=4,tan ∠AEB=53,AB ∶BC=2∶3,求圆的直径.题型四：扇形、多边形中的角度计算1.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若直线PA与☉O相切于点A,则∠PAB= ( )A.30°B.35°C.45°D.60°2.如图,AB是以BC为直径的半圆O的切线,D为半圆上一点,AD=AB,AD,BC的延长线相交于点E.(1)求证:AD是半圆O的切线.(2)连接CD,求证:∠A=2∠CDE.的长.(3)若∠CDE=27°,OB=2,求BD3. (1)如图,EF是☉O的直径,请仅用尺规作出该圆的内接正方形ABCD,要求所作正方形的一组对边AD,BC垂直于EF.(见示意图;不写作法,保留作图痕迹). (2)连接EA,EB,求出∠EAD,∠EBC的度数.《圆中的角度计算》必考经典题型八项分类专题练习（答案版）题型一：垂径定理中的角度计算1.如图,AB是☉O的直径,BC?=CD?=DE?,∠COD=34°,则∠AEO的度数是________.【解析】∵BC?=CD?=DE?,∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°.又∵OA=OE,∴∠AEO=∠OAE,×(180°-78°)=51°.∴∠AEO=12答案:51°=AC?,∠A=30°,则∠B= ( )2.如图所示,在☉O中,ABA.150°B.75°C.60°D.15°【解析】选B.∵在☉O中,AB?=AC?,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C.又∠A=30°,∴∠B=180°?30°=75°.23.如图,在☉O中,直径AB∥弦CD,若∠COD=120°,则∠BOD=________°.【解析】∵OC=OD,∴∠C=∠D,∵∠COD=120°,∴∠C=∠D=30°,∵AB∥CD,∴∠BOD=∠D=30°.答案:30=AC?,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠COA.4.如图,在☉O中,AB【证明】∵AB?=AC?,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∵∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA,∴∠AOB=∠BOC=∠COA.题型二：和圆周角、圆心角相关的角度计算=AC?,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )1.在☉O中,ABA.40°B.30°C.20°D.15°【解析】选C.由AB?=AC?可知,AB?与AC?所对的圆心角的度数相等,又因为×40°=20°.∠AOB=40°,所以AC?所对的圆心角的度数为40°,所以∠ADC=122.如图,A,B,C是☉O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是( )A.150°B.140°C.130°D.120°【解析】选A.∵A,B,C是☉O上的三点,∠B=75°,∴∠AOC=2∠B=150°.3.如图,点A,B,C在☉O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B= 。

2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练基础题1. (2023江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第1题图2. (2023广东省卷)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()第2题图A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°3. (2023广元)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，A C.若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是()A. 56°B. 33°C. 28°D. 23°第3题图4. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC ＝40°，则∠DBC的度数为()第4题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A. 60°B. 54°C. 48°D. 36°第5题图6. (2023赤峰)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC ＝2∠COD，则∠CBD的度数是()第6题图A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7. [新考法—数学文化](2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合下图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是() A. 674寸 B. 25寸C. 24寸D. 7寸第7题图8. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝()第8题图A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°9. (2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为()第9题图A. 20 mB. 28 mC. 35 mD. 40 m10. (2023凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝()A. 1B. 2C. 2 3D. 4第10题图11. 如图，点A，B，D在⊙O上，CD垂直平分AB于点C.现测得AB＝CD＝16，则圆形宣传图标的半径为()第11题图A. 12B. 10C. 8D. 612. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是________；⊙O内一点D的坐标为(－2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．第12题图13. (2023武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BA C.(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(2)若AB＝4，BC＝5，求⊙O的半径．第13题图拔高题14. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是()A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°第14题图15. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 为弧AB 的中点，连接DE 与AB 交于点F .若AB＝1，记△ADF 的面积为S 1，△AEF 的面积为S 2，则S 1S 2的值为________．第15题图16. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，且点A 的坐标为(－2，0)，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠OCD ＝75°，则AD 的长为________．第16题图参考答案与解析1. D 【解析】本题考查了确定圆的条件及圆的有关定义及性质．∵过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，∴要经过题中所给的3个点画圆，除选定直线l 外的点P 外，再在直线l 上的A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个即可画圆．∵从A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个点的方法可以是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种，∴最多可以画出圆的个数为6.2. B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，∴∠ACB ＝90°，∠B ＝180°－50°－90°＝40°.∵AC ＝AC ，∴∠D ＝∠B ＝40°.3. C 【解析】∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°－124°＝56°，∴∠ACD ＝12∠AOD ＝28°. 4. B 【解析】∵BD 经过圆心O ，∴∠BCD ＝90°.∵∠BDC ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝90°－∠BDC ＝50°.5. D 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BAE ＝（5－2）×180°5＝108°，∠COD ＝360°5＝72°，∴∠BAE －∠COD ＝108°－72°＝36°. 6. A 【解析】∵∠BCD ＝105°，∴∠BAD ＝180°－105°＝75°，∴∠BOD ＝150°.∵∠BOC＝2∠COD ，∴∠COD ＝13 ∠BOD ＝50°，∴∠CBD ＝12∠COD ＝25°. 7. C 【解析】∵BD 是圆的直径，∴∠BCD ＝90°.∵BD ＝25，CD ＝7，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BC ＝252－72 ＝24(寸).8. D 【解析】如解图，连接OC ，∵∠ABC ＝19°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝38°.∵半径OA ，OB 互相垂直，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°－38°＝52°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝26°.第8题解图9. B 【解析】如解图，在Rt △OAB 中，由勾股定理，得AO 2＋AB 2＝OB 2，即(R －7)2＋(372)2＝R 2，解得R ≈28(m).第9题解图10. B 【解析】如解图，连接OB ，设OA 交BC 于点E ，∵∠ADB ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ⊥BC ，BC ＝23 ，∴BE ＝12 BC ＝3 .在Rt △BOE 中，sin ∠AOB ＝BE OB，∴sin 60°＝3OB ＝32，∴OB ＝2，∴OC ＝2.第10题解图11. B 【解析】如解图，连接OA ，设圆形宣传图标的半径为R ，∵CD 垂直平分AB ，AB＝CD ＝16，∴CD 过点O ，AC ＝BC ＝12 AB ＝12×16＝8，∠DCA ＝90°.∵AO ＝OD ＝R ，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC 2＋AC 2＝OA 2，即(16－R )2＋82＝R 2，解得R ＝10，即圆形宣传图标的半径为10.第11题解图 12. 552 ；552 －5 【解析】如解图，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BC ＝12 AB ＝32.由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2 ＝552.当OD ⊥AB 时，点D 到AB 的距离最小，由勾股定理，得OD ＝22＋12 ＝5 ，∴点D 到AB 的距离的最小值为552 －5 .第12题解图13. (1)证明：由圆周角定理，得∠ACB ＝12 ∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC . ∵∠ACB ＝2∠BAC ，∴∠AOB ＝2∠BOC ；(2)解：如解图，过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，连接BD .则∠DOB ＝12∠AOB ，AE ＝BE . ∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠DOB ＝∠BOC .∴BD ＝BC .∵AB ＝4，BC ＝5 ，∴BE ＝2，DB ＝5 .在Rt △BDE 中，∵∠DEB ＝90°，∴DE ＝BD 2－BE 2 ＝1.在Rt △BOE 中，∵∠OEB ＝90°，∴OB 2＝(OB －1)2＋22，∴OB ＝52， 即⊙O 的半径是 52.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠BAC ＝70°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝140°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2＝20°.∵点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，∴0°<∠OCP <20°.∵∠BPC ＝∠BOC ＋∠OCP ＝140°＋∠OCP ，∴140°<∠BPC <160°，故选D.第14题解图15. 2(2 ＋1) 【解析】如解图，连接OE 交AB 于点G ，连接AC .根据垂径定理的推论，得OE ⊥AB ，AG ＝BG .由题意可得，AC 为⊙O 的直径，AC ＝2 ，则圆的半径是22.根据正方形的性质，得∠OAF ＝45°，∴OG ＝12 ，EG ＝2－12.∵OE ∥AD ，∴△ADF ∽△GEF ，∴FE FD ＝EG DA ＝2－12 .∵△ADF 与△AEF 等高，∴S 1S 2 ＝S △ADF S △AEF＝DF EF ＝2(2 ＋1).第15题解图16. 23 【解析】如解图，连接OD ，BD .∵A (－2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴AB ＝4.∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝75°，∴∠DOC ＝180°－2×75°＝30°，∴∠DOB ＝90°－30°＝60°，∴∠DAB ＝12∠DOB ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB ·cos 30°＝23 .第16题解图。

九年级圆求角度题知识点圆是我们数学学习中的重要概念之一，它涉及到很多有趣而又实用的知识点，其中包括圆求角度题。

在本文中，我们将详细介绍关于九年级圆求角度题的知识点。

1. 弧度与角度的转换在圆的求角度题中，我们常常会遇到弧度与角度之间的转换。

弧度是表示角度大小的一种单位，在圆的内部，弧度与半径长和弧长之间存在一定的关系。

具体转换方法如下：- 弧度到角度：角度 = 弧度* (180/π)- 角度到弧度：弧度 = 角度* (π/180)其中，π（pi）是一个著名的数学常数，约等于3.14159。

2. 弧长与半径、圆心角的关系在圆的求角度题中，我们还需要熟悉弧长、半径及圆心角之间的关系。

当我们已知圆心角的大小时，可以通过以下公式计算弧长：弧长 = 圆心角/ 360° * 2πr其中，r表示圆的半径。

3. 圆周角与弧度的关系圆周角是指整个圆的内角总和，它的大小恒定为360°或2π弧度。

因此，在圆的求角度题中，我们经常会用到圆周角与弧度之间的换算。

4. 弦与弧的关系在圆的求角度题中，弦是一个重要概念。

弦是连接圆上两点的线段，它可以将圆分成两个弧。

对于相同半径的圆，相等弧对应的弦也相等。

5. 切线角与弦的关系切线是与圆相切的直线，与切线相交的弦所对应的角被称为切线角。

在圆的求角度题中，我们需要掌握切线角与弦的关系。

当切线与弦相交时，切线角等于所对应的弦上的圆心角的一半。

6. 弧度制求解圆求角度题弧度制是一种用弧长与半径比值表示角度大小的单位制。

在解决圆的求角度题时，使用弧度制可以更方便地计算。

比如，通过转化角度为弧度制，我们可以利用等于弧长与半径的比值来求解各种圆求角度题。

以上就是关于九年级圆求角度题的一些重要知识点。

在实际问题中，我们可能会结合这些知识点，进行复杂的角度计算。

通过不断练习，我们可以提高在圆的求角度题中的解题能力，更好地理解圆的几何性质。

希望本文对你的数学学习有所帮助！。

备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合练习一：1．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC 于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB＝4，且点E是的中点，求DF的长为；②取的中点H，当∠EAB的度数为30°时，求证：四边形OBEH为菱形．2．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．3．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，点C，D，E均在⊙O上（不与A，B重合），EA 的延长线交DC的延长线于点F，过点A作⊙O的切线AG交DF于点G，连接AC，AD，DE，DB．（1）求证：∠DAG＝∠FCA．（2）填空：①当DB＝，△ACG是等腰直角三角形；②当DB＝，四边形ODCA是平行四边形．4．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求∠APC的度数．（2）求证：△PCM为等边三角形．（3）若PA＝1，PB＝3，求△PCM的面积．5．以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D．（1）如图1，过点D作⊙O的切线交AC于E，若点E为线段AC中点，求证：AC与⊙O相切．（2）在（1）的条件下，若BD＝6，AB＝10，求△ABC的面积．（3）如图2，连OC交⊙O于E，BE的延长线交AC于F，若AB＝AC，CE＝AF＝4，求CF的长．练习二：6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点F．连接AE．（1）求证：AE平分∠CAD；（2）连接DF，交AE于点G，若⊙O的直径是12，AE＝10，求EG的长；（3）连接CD，若∠B＝30°，CE＝2，求CD的长．7．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切于点D、E、F．（1）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，求证：内切圆半径r＝（a+c﹣b）（2）若AD交圆于P，PC交圆于H，FH∥BC，求∠CPD；（3）若r＝3，PD＝18，PC＝27，求△ABC各边长．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O．AC为直径，AC、BD交于E，＝．（1）求证：AD+CD＝BD；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，求证：EA2+CF2＝EF2；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB、BC的垂线垂足分别为G、H，连GH、BO交于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O半径．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且BE＝2，CD＝8，点G是⊙O上一动点，连结AD，AG，GD，BC．（1）求直径AB的长；（2）若G是上任意一动点，请找出图中和∠G相等的角（不在原图中添加线段或字母），并说明理由；（3）当△ADG和△CEB相似时，求此时AG的长．10．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则＝；（2）①当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当＝时，求的值．练习三：11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．12．P是以AB为直径的半圆上一动点（P与A、B不重合），O为圆心，CO⊥AP，OC、BC与AP分别相交于D、E两点，AB＝12．（1）若∠ABC＝35°，求∠PAB的度数；（2）若AP平分线段BC，求弦AP的长度；（3）是否存在点P，使△PBC的面积为整数，如果存在，这样的P点有几个？（直接写出结果，不需写出解题过程．）13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．（1）求∠BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．14．定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形（1）求美角∠C的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为2，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD＝AC．15．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G．（1）求∠DGE的度数；（2）若＝，求的值；（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若＝k，求的值．（用含k的式子表示）参考答案1．解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴∠ADF＝∠BDG＝90°∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°∴∠DAF＝∠DBG∵∠ABD+∠BAC＝90°∴∠ABD＝∠BAC＝45°∴AD＝BD∴△ADF≌△BDG（ASA）；（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是的中点，∴∠BAE＝∠DAE∵FD⊥AD，FH⊥AB∴FH＝DF，∵sin∠ABD＝＝sin45°＝，∴，即BF＝FD，∵AB＝4，∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，∴，∴＝4﹣2．故答案为：4﹣2．②证明：如图3，连接OH，EH，OE，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，∴∠ABE＝60°，∵点H是的中点，∴∠AOH＝∠HOE＝60°，∵OH＝OE＝OB，∴△OEH和△OBE都是等边三角形，∴OB＝OH＝HE＝BE，∴四边形OBEH为菱形．2．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠DCA＝∠B，∴∠DCA＝∠OCB，∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∴CD⊥OC，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AD⊥CD∴∠ADC＝∠ACB＝90°又∵∠DCA＝∠B∴△ACD∽△ABC∴＝，即＝，∴AC＝4，即AC的长为4；（3）解：AC＝BC+EC；理由如下：在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，如图2所示：∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵∠DAB＝45°，∴△AEB为等腰直角三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝∠ECA＝45°，AE＝BE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（SAS），∴EF＝CE，∠AFE＝∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝90°+45°＝135°，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣135°＝45°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴△EFC为等腰直角三角形．∴CF＝EC，∴AC＝AF+CF＝BC+EC．3．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵AG是⊙O的切线，∴∠OAG＝90°，即∠DAG+∠DAB＝90°，∴∠DBA＝∠DAG，∵四边形ACDB是⊙O的内接四边形，∴∠DCA+∠DBA＝180°，又∵∠DCA+∠FCA＝180°，∴∠FCA＝∠DBA，∴∠DAG＝∠FCA；（2）解：①如图1所示：∵△ACG是等腰直角三角形，∴CG＝AG，AG⊥CG，∴∠CAG＝∠GCA＝45°，∵AG是⊙O的切线，∴∠CBA＝∠CDA＝∠CAG＝45°，∴点D与点C重合，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝×4＝2，故答案为：2；②如图2所示：连接OC，∵四边形ODCA是平行四边形，∵OA＝OD，∴平行四边形ODCA是菱形，∴OC＝OA＝AC，∴△OAC是等边三角形，∴∠BAD＝∠OAC＝×60°＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴DB＝AB＝×4＝2，故答案为：2．4．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠ABC＝60°；（2）∵∠BPC＝∠BAC＝60°，∵CM∥BP，∴∠PCM＝∠BPC＝60°，又由（1）得∠APC＝60°，∴△PCM为等边三角形；（3）解：∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM＝∠BCP+∠PCA，∴∠BCP＝∠ACM，在△BCP和△ACM中，，∴△BCP≌△ACM（SAS），∴CM＝CP，AM＝BP＝3，∴CM＝PM＝1+3＝4，作PH⊥CM于H，在Rt△PMH中，∠PMH＝60°，PM＝4，∴PH＝2，∴S △PCM＝PH•CM＝×4×2＝4．5．证明：（1）连接OD，OE，AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵点E为线段AC中点，∴AE＝EC，∴AE＝DE，在△ODE与△OAE中，∴△ODE≌△OAE（SSS），∴∠ODE＝∠OAE，∵⊙O的切线交AC于E，∴∠ODE＝90°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AC，即AC与⊙O相切；（2）如图1，连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝8，∵tan∠ABD＝，∴∴AC＝，∴S△ABC＝×AC×AB＝＝；（3）如图，作FH∥AB交OC于H，设半径为r△FEH为等腰三角形∵AC＝AB＝2r∴CF＝2r﹣4∵△CFH∽△OAC∴∴HF＝r﹣2∴EH＝r﹣2∴HC＝4﹣（r﹣2）＝6﹣r∵△CFH∽△OAC∴∴∴r＝1±∴r＝1+∴CF＝2r﹣4＝2﹣26．证明：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵BC是⊙O切线∴OE⊥BC∴∠OEB＝90°，且∠ACB＝90°∴OE∥AC∴∠CAE＝∠AEO∴∠CAE＝∠EAO∴AE平分∠CAD（2）连接DE，∵AD是直径∴∠AED＝90°，∵AD＝12，AE＝10∴DE＝＝2∵∠EDF＝∠EAC＝∠EAD，∠AED＝∠AED ∴△DEG∽△AED∴∴DE2＝AE×EG∴44＝10×EG∴EG＝4.4（3）如图，过点D作DP⊥BC于点P∵∠B＝30°，∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°，AB＝2AC∵AE平分∠CAB∴∠CAE＝∠BAE＝30°∴∠B＝∠EAB＝30°∴AE＝BE，∵∠CAE＝30°，CE＝2，∠ACB＝90°∴AE＝2CE＝4，AC＝CE＝6，∴AB＝2AC＝12∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，AE＝4∴DE＝4，AD＝8∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4∵PD⊥BC，∠B＝30°，BD＝4∴PD＝2，PB＝2，∴CP＝CE+BE﹣PB＝2+4﹣2＝4在Rt△CDP中，CD＝＝27．解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE ∴∠B＝∠ODB＝∠OFB＝90°∴四边形BDOF是矩形∵OD＝OF＝r∴矩形BDOF是正方形∴BD＝BF＝r∴AE＝AF＝AB﹣BF＝c﹣r，CE＝CD＝BC﹣BD＝a﹣r∵AE+CE＝AC∴c﹣r+a﹣r＝b整理得：r＝（a+c﹣b）（2）取FH中点O，连接OD∵FH∥BC∴∠AFH＝∠B＝90°∵AB与圆相切于点F，∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH＝∠ODB＝90°∴∠CPD＝∠DOH＝45°（3）设圆心为O，连接DO并延长交⊙O于点G，连接PG，过O作OM⊥PD于M ∴∠OMD＝90°∵PD＝18∴DM＝PD＝9∵BF＝BD＝OD＝r＝，∴OM＝∴tan∠MOD＝∵DG为直径∴∠DPG＝90°∴OM∥PG，∠G+∠ODM＝90°∴∠G＝∠MOD∵∠ODB＝∠ADB+∠ODM＝90°∴∠ADB＝∠G∴∠ADB＝∠MOD∴tan∠ADB＝＝tan∠MOD＝3∴AB＝3BD＝3r＝∴AE＝AF＝AB﹣BF＝设CE＝CD＝x，则BC＝+x，AC＝+x ∵AB2+BC2＝AC2∴解得：x＝∴BC＝12，AC＝15∴△ABC各边长AB＝，AC＝，BC＝8．解：（1）延长DA至W，使AW＝CD，连接WB，∵＝，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AB＝BC，∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD+∠WAB＝180°，∴∠BCD＝∠WAB，在△BCD和△BAW中，，∴△BCD≌△BAW（SAS），∴BW＝BD，∴△WBD是等腰直角三角形，∴AD+DC＝DW＝BD；（2）如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，则α+β＝45°，过B作BE的垂线BN，使BN＝BE，连接NC，在△AEB和△CNB中，，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°，∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN，∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）得EA2+CF2＝EF2，∴EA2+CF2＝EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形COMH＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∴AE＝3，CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），∴（3）2+[（k+3）]2＝[（8k﹣3）]2，整理，得7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1，∴AB＝12，∴AO＝AB＝6，∴⊙O半径为6．9．解：（1）如图1，连接OC，设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，∵BE＝2，∴OE＝r﹣2，∵直径AB⊥CD，∴CE＝CD＝4，在Rt△OEC中，根据勾股定理得，OC2﹣OE2＝CE2，∴r2﹣（r﹣2）2＝16，∴r＝5，∴AB＝2r＝10，即：直径AB的长为10；（2）∠AGD＝∠ABC＝∠ADC，理由：∵直径AB⊥CD，∴，∴∠ABC＝∠AGD（等弧所对的圆周角相等），∵∠ADC＝∠ABC，∴∠AGD＝∠ABC＝∠ADC；（3）∵CD⊥AB，∴∠BEC＝90°，由（2）知，∠AGD＝∠CBE，∵△ADG与△CEB相似，∴∠ADG＝∠BEC＝90°或∠DAG＝∠BEC＝90°，①当∠ADG＝90°时，∴AG是⊙O的直径，∴点G和点B重合，此时，AG＝AB＝10；②当∠DAG＝90°时，∴DG是⊙O的直径，DG＝10，如图2，在Rt△BEC中，BE＝2，CE＝4，∴BC＝＝2，∵△DAG∽△CEB，∴，∴，∴AG＝2，即：当△ADG和△CEB相似时，AG的长为10或2．10．解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为的中点，∴，∴∠ADC＝∠BDC＝45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∴∠DAE＝∠DBE＝45°，∴AE＝BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC＝AB，在等腰直角三角形DAB中，DA＝DB＝AB，∴DA+DB＝AB＝CD，∴＝；（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知，∴AC＝BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，∴∠NBC＝∠MCA，在△NBC和△MCA中，，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN＝AM，∵AC＝BC，∴∠BDC＝∠CDA＝∠DAM＝45°，∴AM＝DA，DN＝DB，∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），即DA+DB＝DC；②在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2＝m2，∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB＝DC＝t，∴（t）2＝m2+2DA•DB，∴DA•DB＝t2﹣m2，∴S△ADB＝DA•DB＝t2﹣m2，∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝t2﹣m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则HE＝GE，四边形DHEG为正方形，由（1）知，∴AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∵，设PD＝9，则AC＝20，AB＝20，∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴，∴，∴DB＝16，∴AD＝＝12，设NE＝ME＝x，∵S△ABD＝AD•BD＝AD•NE+BD•ME，∴×12×16＝×12•x+×16•x，∴x＝，∴DE＝HE＝x＝，又∵AO＝AB＝10，∴＝×＝．11．（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．（2）证明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△BAD∽△CDP，∴＝，∴AB•CP＝BD•CD．（3）解：∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，∴BD＝CD＝，∵AB•CP＝BD•CD．∴PC＝＝．12．解：如图连接BP，CP，OP，（1）∵∠ABC＝35°，∴∠AOC＝2∠ABC＝70°，∵CO⊥AP，∴∠PAB＝90°﹣70°＝20°；（2）∵AB是圆的直径，∴BP⊥AP，∵CO⊥AP，∴OC∥BP，∠CDE＝∠BPE＝90°，∵CE＝BE，∠CED＝∠BEP，∴△BPE≌△CDE，∴CD＝BP，∵AO＝BO，OC∥BP，∴2OD＝BP，∴CD＝2OD，∵OC＝AB＝6，∴OD＝2，BP＝4，由勾股定理可得，AP＝＝＝8；（3）∵OC∥BP，∴S△BPC＝S△BOP，∵OB＝6，∴当点P到OB距离为，，…，6时，S△BPC为整数，∴这样的P点有35个．13．解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠BAD＝180°，∵∠C＝2∠BAD，∴∠C＝120°，∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝120°；（2）如图1连接OC，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC＝60°，∵OB＝OC＝OD，∴△BOC和△DOC都是等边三角形，∴OB＝OC＝OD＝BC＝DC，∴四边形OBCD是菱形，（3）如图2，连接OA，过点A作BO的垂线交BO的延长线于点N，∵∠BOD＝120°，OB＝OD，∴∠ODM＝30°，∵∠BOM＝∠DOM，∴OM⊥BD，∴OM＝r，DM＝r，∴BD＝2DM＝r，∴，∵∠ODA＝45°，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠AOD＝90°，∴，∵∠BOD＝120°，∠AOD＝90°，∴∠AOB＝150°，∴∠AON＝30°，∴AN＝OA＝r，∴S△AOB＝r2，∴△ABD的面积为r2+r2+r2＝（+）r2．14．解：（1）∵四边形ABCD是圆美四边形，∴∠C＝2∠A，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝120°；（2）由（1）知，∠A＝60°，如图1，连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，∴∠E＝∠A＝60°，∵⊙O的半径为2，∴DE＝2×2＝4，在Rt△DBE中，BD＝DE•sin E＝4×＝6；（3）如图2，在CA上截取CF＝CB，由（1）知，∠BCD＝120°，∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△BCF是等边三角形，∴BC＝BF，∠BFC＝60°，∴∠AFB＝120°，∠AFB＝∠BCD，在△ABF和△BCD中，，∴△ABF≌△DBC（AAS），∴AF＝DC，∴AC＝CF+AF＝BC+CD．15．解：（1）∵BC＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠CDB＝∠COB＝30°，∵OC＝OD，点E为CD中点，∴OE⊥CD，∴∠GED＝90°，∴∠DGE＝60°；（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3∵∠COB＝60°∴OH＝＝1，∴HF＝OH＝，HB＝OB﹣OH＝2，在Rt△BHF中，BF＝＝，由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°，又∵∠OGB＝∠DGE＝60°，∴∠OGB＝∠OCB，∵∠OFG＝∠CFB，∴△FGO∽△FCB，∴，∴GF＝，∴；（3）过点F作FH⊥AB于点H，设OF＝1，则CF＝k，OB＝OC＝k+1，∵∠COB＝60°，∴OH＝，∴HF＝，HB＝OB﹣OH＝k+，在Rt△BHF中，BF＝，由（2）得：△FGO∽△FCB，∴，即，∴GO＝，过点C作CP⊥BD于点P∵∠CDB＝30°∴PC＝CD，∵点E是CD中点，∴DE＝CD，∴PC＝DE，∵DE⊥OE，∴．。

重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。

解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

考点一：正多边形和圆例1 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（） A. 2 B． 3 C．3D．32OD对应训练1．正六边形的边心距与边长之比为（）A．3：3 B．3：2 C．1：2 D．2：21．B考点二：圆周长与弧长例2 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为6π．解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，AB=4，BC=3，∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC （BD ）=5． ∵根据旋转的性质知，∠ADA ′=90°，AD=A ′D=BC=3， ∴点A 第一次翻滚到点A ′位置时，则点A ′经过的路线长为：90331802ππ⨯=． 同理，点A ′第一次翻滚到点A ″位置时，则点A ′经过的路线长为：904180π⨯=2π． 点″第一次翻滚到点A 1位置时，则点A ″经过的路线长为：90551802ππ⨯=． 则当点A 第一次翻滚到点A 1位置时，则点A 经过的路线长为：35222πππ++=6π． 故答案是：6π． 对应训练2．如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ） A ．32πcmB ．（2+32π）cm C ．43πcmD ．3cm2．C考点三：扇形面积与阴影部分面积π⨯，解得：r=1cm．2πr=1203180故选D．对应训练4．一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）A．60°B．90°C．120°D．180°4．D考点五：圆的综合题例5如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；，求cos∠ACB的值．（3）若AC=12，tan∠F=12解答：（1）证明：连接OA，∵PA 与圆O 相切， ∴PA ⊥OA ，即∠OAP=90°， ∵OP ⊥AB ，∴D 为AB 中点，即OP 垂直平分AB ， ∴PA=PB ，∵在△OAP 和△OBP 中，AP BP OP OP OA OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△OAP ≌△OBP （SSS ）， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴BP ⊥OB ，则直线PB 为圆O 的切线；（2）答：EF 2=4DO •PO ．证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA ， ∴△OAD ∽△OPA ， ∴OA ODOP OA=，即OA 2=OD •OP ， ∵EF 为圆的直径，即EF=2OA ，【聚焦中考】1．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ） A ．6，32 B ．3 2，3 C ．6，3 D ．62，321．B2．如图，正方形ABCD 中，分别以B 、D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ） A ．πaB ．2πaC ．12πaD ．3a2．A3．如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB=90°，以AB 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．4πB ．π-12C ．12D ．4π + 12．C4．将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A ．22B ．2C ．10D ．32．A5．在半径为5的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 （结果保留π）． ．56π6．已知一个扇形的半径为60cm ，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 cm ． 257．如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是 ．．433π- 8．若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（ ） A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π．B9．如果一个扇形的弧长是43π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（ ）A．40°B．45°C．60°D．80°A10．已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm．B11．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．3πD．4π．A12．用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm12．B，13．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ=13则该圆锥的侧面积是（）A．242πB．24πC．16πD．12π．D14．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E 、B ，E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．9πB ．39πC ．33322π-D ．33223π-D二、填空题1．已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm ，则扇形的半径为 cm ． ．152．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．．π-23．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为 cm2．．404．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为．．95．如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为 cm．．4π6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为．π6．2547．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O 重合，点A在x轴上，点B在反比例函数k=位于第一象限的图象上，则k的值yx为．．93三、解答题1．如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长．`．解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则：πl=2πr，∴l=2r，∴母线与高的夹角的正弦值=12r l =，∴母线AB 与高AO 的夹角30°．2.如图，在矩形ABCD 中，AB=2DA ，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交DC 于点E ，交AD 的延长线于点F ，设DA=2．（1）求线段EC 的长；（2）求图中阴影部分的面积．2．解；（1）∵在矩形ABCD 中，AB=2DA ，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE=2223AE AD -=，∴EC=CD-DE=4-23；（2）∵sin ∠DEA=12AD AE =， ∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴图中阴影部分的面积为：S 扇形FAB -S △DAE -S 扇形EAB=290413602π⨯-×2×23-2304360π⨯=83π-23．3．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AC2=AD•AB；（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．3．（1）证明：如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥EF，∴OC⊥EF，∵OC为半径，∴EF是⊙O的切线．。

2023年中考数学总复习一轮讲练测（浙江专用）专题25圆的有关计算（讲练）1.理解弧长计算公式的推导过程，掌握弧长公式并能熟练应用于计算；2.理解扇形面积公式的推导过程，掌握扇形面积计算公式并能熟练应用于计算；3.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；4.能运用图形割补、等积变形等方法将不规则图形转化为规则图形求面积.一．选择题（共7小题）1．（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（）A．（840+6π）m2B．（840+9π）m2C．840m2D．876m22．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m3．（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（）A．36πcm2B．24πcm2C．16πcm2D．12πcm24．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．πB．3πC．5πD．15π5．（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C．D．2π6．（2021•绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°二．填空题（共2小题）8．（2022•温州）若扇形的圆心角为120°，半径为，则它的弧长为．9．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．三．解答题（共3小题）10．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．（1）求证：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．11．（2020•浙江）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．（1）求弦AB的长．（2）求的长．12．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连结AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n 边形，求n 的值．1．圆的周长公式：C ＝ (半径为R )．圆的面积公式：S ＝ (半径为R )．2．在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为：l ＝ ．在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的扇形(弧长为l )面积的计算公式为：S 扇形＝ ＝12lR . 3．圆柱的侧面展开图是 ，这个 的长和宽分别是底面圆的 和圆柱的 ．圆柱侧面积公式：S圆柱侧＝ ；圆柱全面积公式：S 圆柱全＝ (其中圆柱的底面半径为r ，高为h )．4．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ．(1)圆锥的侧面积公式：S 圆锥侧＝ ．(2)圆锥的全面积公式：S 圆锥全＝ ．(3)圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：θ＝ ．5．正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的 ，正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．作相等的 就可以等分圆周，从而得到相应正多边形．6．不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有:(1)直接用公式求解.(2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解.(3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.(4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.考点一、正多边形与圆例1（2022•大名县校级四模）如图1所示的正六边形（记为“图形P1”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形P2”），作出图形P2的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；②把图2中空白部分记作“图形P3”，则图形P1，P2，P3的周长之比为3：2：；③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．以上结论正确的是（）A．②③B．①③C．②D．①【变式训练】1．（2022•顺平县校级模拟）已知，如图，⊙O的半径为6，正六边形ABCDEF与⊙O相切于点C、F，则的长度是（）A．2πB．3πC．4πD．5π2．（2022•亭湖区校级三模）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（）A．4B．2C．2D．43．（2022•丛台区校级模拟）如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB＝3cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（）cm．A．18B．C．9D．4．（2022•峄城区校级模拟）如图⊙O是正方形ABCD的内切圆，四边形DEFG是矩形，点F在⊙O上，ED ＝8cm，EF＝4cm，则⊙O的半径为（）A．4B．4或20C．20D．5或165．（2022•凤泉区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，AB＝2．将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2．﹣2）C．（﹣3，﹣3）D．（﹣2，﹣3）考点二、弧长的计算例2（2022•丹东模拟）在平行四边形ABCD中，∠B＝70°，BC＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2022•峄城区校级模拟）若扇形的圆心角为75°，半径为12，则该扇形的弧长为（）A．2πB．4πC．5πD．6π2．（2022•新平县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则劣弧的长为（）A．πB．2πC．πD．π3．（2023•汉阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC＝8，BC＝6，CD平分∠ACB交⊙O于点D，则劣弧AD的长为（）A．πB．πC．2πD．π4．（2022•兴平市模拟）如图，△ABC内接于⨀O，CD⊥AB于点D，若CD＝BD，⨀O的半径为4，则劣弧的长为（）A．5πB．4πC．3πD．2π5．（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（）A．B．C．D．考点三、扇形面积的计算例3（2022•金凤区校级二模）如图，⊙O内有一个正方形，且正方形的各顶点在圆上，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．8π﹣8B．8π﹣4C．4π﹣8D．4π﹣4【变式训练】1．（2023•黔江区一模）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（）A．2πB．4πC．6πD．8π2．（2022•昭阳区校级模拟）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为（）A．π+2B．π+4C．+πD．π﹣3．（2022•台山市校级一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．2﹣B．1﹣C．2﹣D．﹣14．（2022•金凤区校级二模）如图，在矩形ABCD中，，BC＝1，以点B为圆心，BC为半径画弧交矩形的边AB于点E，交对角线AC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．5．（2022•香洲区校级三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO ＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．考点四、圆锥的计算例4（2022•十堰模拟）如图，将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱，当圆柱的侧面面积最大时，圆柱的底面半径是（）A．B．C．1cm D．2【变式训练】1．（2022•义乌市模拟）已知一个底面半径为3cm的圆锥，它的母线长是5cm，则这个圆锥的侧面积是（）cm2．A．15πB．45πC．30πD．20π2．（2022•五华区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DB得到扇形DAB（阴影部分），且扇形DAB的面积为4π．若扇形DAB正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（）A．1B．2C．3D．43．（2022•瑶海区三模）已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝12cm、斜边AC＝13cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的底面积是（）A．90πcm2B．209πcm2C．155πcm2D．25πcm24．（2022•南丹县二模）如图，圆锥体的高，底面圆半径r＝1cm，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°5．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A．B．2C．D．411/ 1212/ 12。

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。

关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。

2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

圆的专题1——与圆有关的角度计算
一运用辅助圆求角度
1、如图，△ABC内有一点D，DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20︒，∠DAC＝30︒，
则∠BDC＝.
2、如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若∠C＝100︒，则∠BAD＝.
3、如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20︒，∠BDC＝30︒，则
∠BAD＝.
第1题第2题第3题
4、如图，□ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若∠D＝60︒，
则∠AEC＝.
5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70︒，
则∠DAO＋∠DCO＝.
6、如图，四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90︒，∠ADC＝25︒，则∠ABC＝.
第4题第5题第6题
二运用圆周角和圆心角相互转化求角度
7、如图，AB为⊙O的直径，C为AB的中点，D为半圆AB上一点，则∠ADC＝.
第10题 第11题 第12题
第7题 第8题 第9题 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ .
9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ .
10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50︒，则∠ADC ＝ .
11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BOC ＝ .
12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30︒， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题）
初中数学试卷
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回归教材重难点07 圆中的角度与长度计算本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。

（2022年青海省中考数学试卷第17题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径长为m．故答案为：．点评：本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧圆中的计算主要考察的九年级《圆的基本性质》里面的内容，其中，有关角度计算用到的知识点有：圆心角定理、圆周角定理以及相关推论；有关长度的计算用到的考点主要有垂径定理及其推论。

在不同问题中还需要熟练掌握圆的基本性质中的考点，做到融会贯通。

本考点是中考五星高频考点，难度中等或中等偏上，个别难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。

技法01：圆中的角度计算①圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系②圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD ；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON ；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

③圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）技法02：圆中的长度计算（1）圆中线段计算口诀——“圆中求长度，垂径加勾股”弦长、半径、直径是圆中的主要线段，相关计算主要利用垂径定理及其推论，构造“以半径、弦心距、弦长一半为三边的直角三角形”，通过勾股定理列方程求解；（2）圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB ⊥CD ；②AE=EB ；③AD 过圆心O ；④⋂⋂=BC AC ；⑤⋂⋂=BD AD ；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。