2019-2020学年九年级数学下册 第27章 圆 27.3 圆中的计算问题教学课件 (新版)华东师

27.3圆中的计算问题学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并能利用这些公式解决有关问题。

2、了解圆锥的侧面展开图是一个扇形，掌握圆锥的侧面积和全面积计算公式，并会用公式解决问题。

【重点难点】1、弧长公式和扇形面积公式及运用公式求弧长和扇形面积。

2、圆锥的侧面展开图及侧面积和全面积的计算。

知识概览图扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形圆锥：可以看成一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一 周而形成的图形弧长公式：l ＝180n Rπ扇形面积公式：S 扇＝2180n R π；S 扇＝12lR (l 为扇形的弧长)S 侧＝xrlS 全＝πrl ＋πr 2新课导引【生活链接】某中学的体育场上有一跑道，第一跑道每圈400米，跑道分直道和弯道，直道为相等的平行线段，弯道为同心的半圆形，弯道与直道相连接，已知直道长 85米，跑道宽为1米，现在要画出4×100米的起点. 你能求出两个弯道的直径长吗?【问题探究】由于每圈跑道400米，其中两直道长为85×2＝170米，故两个弯道长为400－170＝230米，两个弯道均为半圆，故可看作是一个圆形(周长为230米)，进而利用圆的周长公式可求出其直径．【点拨】400852230ππ-⨯=(米)．教材精华知识点1 弧长公式圆中的计算问题扇形与圆锥的定义 弧长与扇形面积公式圆锥的侧面积与全面积的计算公式弧长公式．因为圆心角是1°的弧长等于圆周长的1360，所以圆心角是n °的弧长l ＝n ·2360r π＝n 180rπ，其中的n 表示1°的圆心角的倍数，不带单位，180也不带单位． 所以弧长公式为l ＝180n rπ． 拓展 在弧长公式l ＝180n rπ中有三个变量l ，n ，r ，已知其中的任意两个变量，可求出第三个变量．探究交流 (1)如图28－104(1)所示，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在的圆的半径分别是20 cm ，10 cm ，∠AOB ＝120°，求这个广告标志的周长；(精确到0．1 cm)(2)如图28－104(2)所示，⊙O 1的半径是⊙O 2的直径，C 是⊙O 1上的一点，O 1C 交⊙O 2于点B ．若⊙O 1的半径等于5，AC 的长等于⊙O 1的周长的110，求AB 的长．点拨 (1)本题是对弧长公式的实际应用．广告标志的周长由四部分组成，不要漏算AC 和BD 的长．设半径为20 cm ，10 cm 的圆的弧长分别是l 1，l 2．根据题意得l 1＝24020801803π⨯⨯=π(cm)，l 2＝24010401803π⨯⨯=π(cm)． ∴广告标志的周长为： l 1＋l 2＋AC ＋BD ＝803π＋403π＋(20－10)×2＝40π＋20≈145．7(cm)．(2)本题主要考查弦长公式与圆周角、圆心角的综合应用．连接BO 2．∵AC 的长等于⊙O 1的周长的110，∴∠CO 1A ＝110×360°＝36°，∴∠BO 1A ＝36°，∴∠BO 2A ＝72°． 由已知得O 1A ＝2O 2A ＝5，∴O 2A ＝52，∴l AB ＝5722180π⨯＝π．知识点2 扇形的定义及面积公式 扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．如图28－105所示的阴影部分为一扇形，扇形的圆周包括两条半径和一条弧，扇形的周长＝2R ＋l ．扇形的面积公式：(1)S 扇＝360n πR 2；(2)S 扇＝12lR ．n 是1°的圆心角的倍数；无单位，R 是半径，l 是弧长．拓展 已知S 扇，l ，n ，R 四个变量中的任意两个变量，可求出另外两个变量． 探究交流 (1)n °的圆心角所对的弧长为圆周长的 ； (2)n °的圆心角的扇形的面积为圆面积的 ；(3)弧长大小和扇形面积与 有关；(4)如图28－106所示，⊙A ，⊙B ，⊙C ，⊙D ，⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形 ABCDE ，则五个扇形(阴影部分)的面积之和是 ( )A ．πB ．1．5πC ．2πD ．2．5π点拨 (1) 360n (2) 360n(3)圆心角、半径的大小 (4)图中五个扇形的圆心角的度数和就是五边形ABCDE 的五个内角的度数和．设∠A ，∠B ，∠C ，∠D ，∠E 的大小分别为α°，β°，γ°，δ°，θ°，则S 阴影＝2222211111360360360360360360απβπχπδπθππ++++=(α＋β＋γ＋δ＋θ)＝360π×(5－2)×180＝32π＝1．5π．故选B ．知识点3 圆锥的侧面积和全面积圆锥的相关概念．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线长的扇形面积，圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和，即S 全＝S 侧＋S 底． 有关的计算公式． (1)圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr ＝πrl (l 为母线长，r 为底面的半径)．(2)圆锥的全面积(表面积)：S 全＝S 侧＋S 底＝πr (l ＋r )(l 为母线长，r 为底面的半径)．拓展 不要把圆锥的底面半径当作其侧面展开图形即扇形的半径，注意区分圆锥侧面展开图中的各元素与圆锥间的各元素的对应关系，以免在解题中出现错误．例如：如图28－107所示，圆锥的母线长AB ＝6，底面半径r ＝ 2，求圆锥的侧面展开图即扇形的圆心角．分析 圆锥的母线长是侧面展开图即扇形的半径，底面圆周长等于扇形的弧长．解：设扇形的半径是R ，弧长是l ，则有R ＝AB ＝6，l ＝2πR ＝4π．∵l ＝180n R π，∴n ＝18018046l R πππ⨯=＝120． ∴圆锥的侧面展开图即扇形的圆心角为120°．拓展 (1)在本节的学习中渗透了“从特殊到一般”的数学思想，应注重培养归纳、推理能力和类比方法的运用．(2)本节的学习内容大多与生活实际紧密相连，要深刻体会数学来源于生活又反作用于生活的辩证思想．课堂检测基础知识应用题1、在半径为10的圆中，60°的圆心角所对的弧长为．2、已知扇形的弧长为20 cm，半径为5 cm，求扇形的周长及面积．3、如图28－108所示，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OC长为8 cm，贴纸部分的CA长为15 cm，则贴纸部分的面积为 cm2．(保留π)4、如图28－109所示，有一个圆心角为120°，半径长为 6 cm的扇形，若将OA，OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是 ( )A．C．．5、如图28－110所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6 cm，AB＝．(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．综合应用题6、已知圆锥形的烟囱帽的底面直径是80 cm，母线长是 50 cm，求这个烟囱帽的侧面展开图的面积．7、已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．(1)求扇形的弧长；(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面的面积是多少?8、如图28－112所示，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC＝1，AC AB＝2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线长是多少?9、某抗震帐篷的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径为10米，母线长为 6米，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，则所需油毡的面积至少是 ( )A．30米2 B．60米2C 30π米2 D．60π米210、现有一把折扇和一把团扇，已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，则哪一种扇子的面积大?从而得到的风量也大．11、如图28－114所示，△ABO中，OA＝OB，以O为圆心的圆经过AB的中点C，且分别交OA，OB于点E，F．(1)求证AB是⊙O的切线；(2)若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB＝，求ECF的长．探索与创新题12、如图28－115所示，有一直径是1 m的圆形铁皮，要从中剪一个最大的圆心角是90°的扇形AB C．(1)求被剪掉的阴影部分的面积；(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面的半径是多少?(结果可用根号表示)13、如图28－116所示，扇形的半径OA＝2 cm，圆心角为90°，半圆O1与半圆O2外切，求阴影部分的面积S．体验中考1、如图28－118所示，小红同学要用纸板制作一个高4 cm，底面周长是6∏cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 ( )A．12π cm2 B．15π cm2 C．18π cm2 D．24π cm22、如图28－119所示，在⊙O中，∠AOB＝60°，AB＝3 cm，则劣弧AB的长为 cm．3、如图28－120所示，小刚制作了一个高12 cm ，底面直径为 10 cm 的圆锥，这个圆锥的侧面积是 cm 2．4、如图28－121所示，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．πB ．πC ．3πD ．2π5、如图28－122所示，若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是 ( )A ．1．5B ．2C ．3D ．66、如图28－123所示，圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面积是 ( ) A ．24π B ．12π C ．6π D ．127、已知圆锥的底面半径为5 cm ，侧面积为65π cm 2；设圆锥的母线与高的夹角为θ(如图28－124所示)，则sin θ的值为 ( )A ．512B ．513C ．1013D ．1213学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 本题考查对弧长公式的基本应用，l ＝180n R π＝6010101803ππ=．故填103π． 2、分析 本题主要考查扇形周长与面积公式的基本应用．已知扇形的弧长，求面积时应采用公式S ＝12rl ．解：扇形的周长＝2×5＋20＝30(cm)．扇形的面积＝12×20×5＝50(cm 2)．3、分析 先计算扇形OAB 的面积，再求扇形OCD 的面积，相减即可．S 贴＝S 扇OAB －S 扇OCD ＝22120()12023603OC CA OC πππ+-=(232－82)＝155π(cm 2)．故填155π．4、分析 半径为6，圆心角为120°的扇形弧长为1206180π＝4π，即底面圆的周长为4π，所以底面圆的半径为2，所以OC =．故选A ．5、分析 (1)⊙O 的半径OC (2)S 阴＝S △BOC －S 扇形DO C ． 解：(1)连接OC ，则OC ⊥A B ．又OA ＝OB ，所以AC ＝BC ＝12AB ＝12×．所以⊙O 3(cm)．(2)因为OC ＝12OB ，所以∠B ＝30°，∠COD ＝60°， 所以扇形OCD 的面积为S 扇＝260333602ππ⨯⨯=， 所以阴影部分的面积为S 阴＝S △OCB －S 扇OCD＝12OC ·CB －32π32-π(cm 2)．6、分析 这是一道实际应用问题，应先转化为数学问题，再代入公式求解．解：S 侧＝12l ·2πr ＝12×50×2×40π＝2000π(cm 2)．∴这个烟囱帽的侧面展开图的面积是2000π cm 2．7、分析 本题主要考查的是扇形的弧长公式与等腰三角形的综合应用．将扇形卷成圆锥时，圆锥的轴截面应是一个等腰三角形，并且腰长应是扇形的半径的长．解：(1)设扇形的半径为R cm ．∵2120360R π＝300π，∴R ＝30．∴扇形的弧长l ＝12030180π⨯＝20 π(cm)．(2)如图28－111所示，设新圆锥的底面半径为r ， 由题意知，在轴截面即等腰三角形ABC 中， AB ＝AC ＝R ＝30，BC ＝2r ．∵2πr ＝20π，∴r ＝10，∴高AD ＝20 ，∴S △ABC ＝12×20×200×(cm 2)． 【解题策略】 圆锥的侧面展开图是扇形．8、分析 本题是对弧长公式的应用的考查，可分两个弧长求得．解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝1，AC AB ＝2， ∴∠ABC ＝60°，∴∠ABA ′＝120°．∴l AA ′＝120241803π⨯=π，同理，l A ′A ″=π．∴点A 经过的路线长为43ππ＝(43)π．9、分析 圆锥的侧面展开图是一个扇形，即求扇形的面积可用S 扇形＝12Rl ，其中，R 为母线长，l 是底面圆的周长，l ＝2π·102＝10π，故S 扇＝12×6×10π＝ 30π(米2)．故选C 。

27.3圆中的计算问题一．选择题1．如图，从一块半径为20cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（）A．200πcm2B．100πcm2C．100πcm2D．50πcm22．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．2πB．8 C．8﹣2πD．16﹣2π3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC的中点O为圆心，OB的长为半径作半圆交AC于点D，若AD＝1，DC＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．3π﹣24．将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为120o的扇形，则（）A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为8cmB．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC．圆锥形冰淇淋纸套的高为D．圆锥形冰淇淋纸套的高为5．如图，边长为4的正方形ABCD外切于圆O，则阴影部分面积为（）A．2π﹣4 B．2π+4 C．15 D．146．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE （阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．1 C．D．7．如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π+8．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）A．10πB．9πC．8πD．6π9．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．π10．如图，点O为Rt△ABC的斜边AB的中点，∠C＝90°，∠A＝30°，以点O为旋转中心顺时针旋转△ABC得到△A1B1C1，若BC＝2，当BC∥A1C1时，图中弧BC1所构成的阴影部分面积为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，若AB＝5，则图中阴影部分的面积为．12．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为．13．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC 的长为半径作弧CD交OB于点D，点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA＝4，则阴影部分的面积为．14．圆锥的母线长为5，圆锥高为3，则该圆锥的侧面积为．（结果保留π）15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA2为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则点A2021的坐标是．三．解答题16．如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．（1）求证：∠CGO＝∠CDE；（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．17．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．（1）求证：AE＝BC；（2）若AE＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．18．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m的值．参考答案一．选择题1．解：作OD⊥AB于D，如图，则AD＝BD，∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴OD＝OA＝10，AD＝OD＝10，∴AB＝2AD＝20，∴扇形围成的圆锥的侧面积＝＝200π（cm2）．故选：A．2．解：∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵AB＝4，∴AC＝BC＝AB×sin45°＝4，∴S△ACB＝＝8，S扇形ACD＝＝2π，∴图中阴影部分的面积是8﹣2π．故选：C．3．解：连接OD、BD、作DE⊥BC于点E，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠BCD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DBC，又∵∠ADB＝∠BDC，∴△ADB∽△BDC，∴，∵AD＝1，DC＝3，∴，∴BD＝，∴BC＝＝2，∴∠DCB＝30°，OD＝OC＝，∴∠DOC＝120°，∵DE⊥BC，∴DE＝1.5，∴阴影部分的面积是：＝π﹣＝，故选：A．4．解：半径为12cm，圆心角为120°的扇形弧长是：（cm）设圆锥的底面半径是r（cm）则：2πr＝8π，解得：r＝4即个圆淋的底面半径是4cm；圆锥形冰淇淋纸套的高为＝8（cm）．故选：C．5．解：如图，连接HO，延长HO交BC于点P，∵正方形ABCD外切于⊙O，∴∠A＝∠B＝∠AHP＝90°，∴四边形AHPB为矩形，∴∠OPB＝90°，又∠OFB＝90°，∴点P与点F重合则HF为⊙O的直径，同理EG为⊙O的直径，由∠D＝∠OGD＝∠OHD＝90°且OH＝OG知，四边形BGOH为正方形，同理四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形，∴DH＝DG＝GC＝CF＝2，∠HGO＝∠FGO＝45°，∴∠HGF＝90°，GH＝GF＝＝＝2，则阴影部分面积＝S⊙O+S△HGF＝•π•22+×2×2＝2π+4，故选：B．6．解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，底面圆的周长等于弧长：∴2πr＝，解得r＝．答：该圆锥的底面圆的半径是．故选：D．7．解：连接CD、OC、OD．∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC、△OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵弧CD的长为，∴＝，解得：r＝1，∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．故选：A．8．解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝10π∴图中阴影部分的面积＝10π，故选：A．9．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝﹣﹣＝，故选：B．10．解：设A1C1与AB的交点为D，连接OC1，作DE⊥OC1于E，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∠ABC＝60°，∵点O为Rt△ABC的斜边AB的中点，∴OC＝AB＝2，∴OC1＝OA1＝2，∴∠A1＝∠A1C1O＝30°，∴∠A1OC1＝120°，∵BC∥A1C1，∴∠ADA1＝∠ABC＝60°，∵∠A1＝∠A＝30°，∴∠A1OD＝90°，∴∠DOC1＝30°，∴∠DOC1＝∠A1C1O，∴OD＝DC1，∴OE＝EC1＝1，∴DE＝OE＝，∴S阴影＝S扇形﹣S＝﹣＝﹣，故选：A．二．填空题11．解：作DM⊥AB于M，∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，AB＝5，∴△AED的面积＝△ABC的面积，∠BAD＝45°，AB＝AD＝5，∴DM＝AD＝，∴S△ABD＝＝×＝，∵图中阴影部分的面积＝△AED的面积+△ADB的面积﹣△ABC的面积＝△ADB的面积，∴S阴影＝，故答案为：．12．解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝10π∴图中阴影部分的面积＝10π，故答案为10π．13．解：如图，连接AB，CD，OE，OE交CD于J．∵OC＝AC，OD＝DB，∴CD∥AB，∵＝，∴OE⊥AB，∴CD⊥OE，∵OC＝OD＝2，∴CJ＝OJ，∵∠COD＝90°，∴CD＝＝＝2，∴S四边形OCED＝•CD•OE＝4，∴S阴＝S扇形AOB﹣S四边形OCED＝•π•42﹣4＝4π﹣4，故答案为：4π﹣4．14．解：圆锥的底面圆的半径为＝4，所以该圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π．故答案为20π．15．解：A（1，1），由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．∵2021＝505×4+1，∴A2021的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．三．解答题16．解：（1）连接OC交DE于F，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，∴四边形CEOD是矩形，∴CG＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，∵CG是⊙O的切线，∴∠OCG＝90°，∴∠OCD+∠GCD＝90°，∴∠ECF＝∠GCD，∵∠DCG+∠CGD＝90°，∴∠FCD＝∠CGD，∴∠CGO＝∠CDE；（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，∴∠DCO＝60°，∴∠COD＝30°，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2，OD＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣2×2＝π﹣2．17．（1）证明：连接BD，∵AB，CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠AEB＝90°，∵点B恰好为的中点，∴＝，∴∠A＝∠C，∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，∴∠ABE＝∠CDB，∴＝，∴AE＝BC；（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴∠A＝∠ABE，∴∠A＝30°，在Rt△ABE中，cos∠A＝，∴AB＝＝＝4，∴⊙O的半径为2．（3）连接OE，∵∠A＝30°，∴∠EOB＝60°，∴△EOB是等边三角形，∵OB＝OE＝2，∴S△EOB＝×2×＝，∴S阴＝S扇形﹣S△EOB＝﹣＝﹣．18．解：（Ⅰ）连接BH，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，∵AB＝4，AH＝2，∴sin∠ABH＝＝＝，∴∠ABH＝30°，∴∠HKA＝∠ABH＝30°；（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，∴∠BAH＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，∴CH＝AC﹣AH＝6；（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，过H作HE⊥AO于E，则HE＝，∵AC＝8，CD＝AB＝4，∴AD＝4，∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，∵OA＝2，∴AQ＝，∴AK＝2AQ＝2，∴m＝2．。

27.3 圆中的计算问题第1课时教学目标1、掌握扇形的弧长和面积计算公式，会用公式求阴影部分的面积；2、对图形进行正确的切分，综合运用所学知识进行计算。

教学重难点重点：掌握扇形的弧长和面积计算公式；会用公式求阴影部分的面积。

难点：对图形进行正确的切分，综合运用所学知识进行计算。

教学准备：课件教学方法：讲授法教学过程：一、引入1、提出问题：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°，你能求出这段铁轨的长度吗？（精确到0.1米）2、学生回答后，老师总结：3、提出新的问题：如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？二、思考与探索1、思考：如图，各圆心解所对的弧长分别是圆周长的几分之几？2、探索（1）圆心角是180°，占整个周角的180360，因此它所对的弧长是圆周长的；（2）圆心角是90°，占整个周角的90360，因此它所对的弧长是圆周长的；（3）圆心角是45°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的；（4）圆心角是1°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的；（5）圆心角是n°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的。

3、教师总结如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r，那么，弧长为因此弧长的计算公式为4、提出问题扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关。

圆心角越大，扇形的面积也越大。

怎样计算圆心角为n的扇形的面积呢？三、思考与探索扇形的面积1、思考：如下图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几？2、探索（1）圆心角是180°，占整个周角的180360，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的；（2）圆心角是90°，占整个周角的90360，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的；（3）圆心角是45°，占整个周角的，因此圆心角是45°的扇形面积是圆面积的；（4）圆心角是1°，占整个周角的，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的；（5）圆心角是n°，占整个周角的，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的。

2018-2019学年九年级数学下册第27章圆27.3 圆中的计算问题27.3.1 弧长和扇形的面积同步练习（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第27章圆27.3 圆中的计算问题27.3.1 弧长和扇形的面积同步练习（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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27。

3 圆中的计算问题第1课时弧长和扇形的面积知|识|目|标1．通过计算特殊角度的圆心角所对的弧长，能推导并理解弧长公式．2．通过计算特殊角度的圆心角所对的扇形面积，能由特殊到一般地推导理解扇形面积公式．目标一能推导并理解弧长的计算公式例1 教材练习第1题针对训练(1）如图27－3－1,AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4,则错误!的长为（)图27－3－1A。

错误! B。

错误!C.错误! D。

错误!（2）教材补充例题若一个扇形的圆心角为60°，它的弧长为2π cm，则这个扇形的半径为( ）A．6 cm B．12 cmC．2错误! cm D。

错误! cm【归纳总结】利用弧长公式进行计算的一般步骤：第一步:从问题中找出公式所涉及的三个量(弧长l、弧所对的圆心角n°、半径r)中的两个；第二步：把已知的两个量代入弧长公式；第三步：求出公式中的未知量．目标二能归纳并掌握扇形面积公式例2 (1)教材例1针对训练在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形AOB的面积是( )A．6π cm2 B．8π cm2C．12π cm2 D．24π cm2（2）教材补充例题已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，求该扇形的弧长．【归纳总结】扇形面积公式的选择:(1）当已知半径r和圆心角的度数求扇形的面积时,选用公式S＝错误!；(2）当已知半径r和弧长l求扇形的面积时，选用公式S＝错误!lr。

华师大版数学九年级下册第27章第3节圆中的计算问题课时练习一、单选题（共15小题）1．如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288°B．144°C．216°D．120°答案：A解析：解答：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则2×4x=5 180n x π⨯，解得：n=288，故选：A．分析：由底面圆的半径与母线长比的关系去设，然后利用底面圆的周长等于弧长列式计算．2．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A．24cm B．48cm C．96cm D．192cm答案：B解析：解答：设这个扇形铁皮的半径为r cm，由题意得300180rπ=π×80，解得r=48．故这个扇形铁皮的半径为48cm．故选：B．分析：底面周长=展开图的弧长3．在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥的底面半径为（）A．4 B．16 C．2D．8答案：A解析：解答：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2πr= 9016 180π⨯，解得r=4．故小圆锥的底面半径为4．故选：A．分析：圆锥的底面圆半径为r，由圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．4．圆锥的侧面展开图是一个弧长为12π的扇形，则这个圆锥底面积的半径是（）A．24 B．12 C．6D．3答案：C解析：解答：设底面圆半径为r，则2πr=12π，化简得r=6．故选：C．分析：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长．5．若用一张直径为20cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（）A．3B．5C．5152cm D．10cm答案：A解析：解答：设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr =18010180π⨯，解得r =5，所以这个圆锥的高= 22105- =53（cm ）． 故选：A ．分析：设圆锥的底面半径为r ，由圆锥的底面周长和弧长公式得到2πr =18010180π⨯，解得r =5，在利用勾股定理计算这个圆锥的高．6．如图，用一个半径为30cm ，面积为300πcm 2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r 为（ ）A ． 5cmB ． 10cmC ． 20cmD ． 5πcm答案：B解析：解答：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器底面半径为r ， 则由题意得R=30，由12R l =300π得l =20π； 由2πr =l 得r =10cm ． 故选： B ．分析：由圆锥的几何特征，圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径． 7．将圆心角为90°，面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ） A ． 1cm B ． 2cmC ． 3cmD ． 4cm答案： A解析：解答：设扇形的半径为R ，根据题意得290360R π =4π，解得R=4，设圆锥的底面圆的半径为r ，则12•2π•r •4=4π，解得r =1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm ． 故选：A ．分析：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（ ） A ． 6cm B ． 9cmC ． 12cmD ． 18cm答案：C解析：解答：圆锥的弧长为：24018180π⨯=24π，∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12． 故选： C分析：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．9．将弧长为2πcm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高及侧面积分别是（ ）A ．cm ，3πcm 2 B ．cm ，3πcm 2 C ．cm ，6πcm 2 D ，6πcm 2答案：B解析：解答：（2π×180）÷120π=3（cm ）， 2π÷π÷2=1（cm ），（cm ）， 21203360π⨯=3π（cm 2）．故这个圆锥的高是，侧面积是3πcm 2． 故选：B ．分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10．已知圆锥的侧面积是20πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥的底面半径为（ ） A ． 2cmB ． 3cmC ． 4cmD ． 6cm答案：C解析：解答：∵圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l =2s r =405π=8π， ∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴r =2l π=82ππ=4（cm ）． 故选：C分析：圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径．11．一个圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，它侧面展开图的圆心角的度数是（ ） A ． 60° B ． 90°C ． 120°D ． 150°答案：C解析：解答：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为6cm ，弧长为4πcm ， 代入扇形弧长公式l =180n rπ， 即2π=3180n π⨯， 解得n =120，即扇形圆心角为120度． 故选：C ．分析：圆锥的母线长等于扇形的半径，圆锥的底面周长等于扇形的弧长．因而根据扇形的弧长公式就可以求出n 的值．12．如图，从一块半径是1m 的圆形铁皮（⊙O ）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A ，B ，C 在⊙O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A．36m B．312m C．32m D．1m答案：A解析：解答：如图所示连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=12∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°=32．则3则扇形的弧长是：603180=33，设底面圆的半径是r，则2πr=33，解得：r3故选：A．分析：连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB的长可以求得，利用弧长公式即可求得弧长；再利用圆的周长公式即可求得半径．13．已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（）A．100cm B．10C． 10cm D．1010cm答案：C解析：解答：设母线长为R ，圆锥的侧面积=2360n R π=10π，∴R=10cm 故选：C分析：利用了扇形的面积公式求解，扇形的面积公式=2360n r π．14．如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（ ）厘米．A ． 12B ．22C ． 2D ．2答案：B解析：2222+2厘米，∴扇形的弧长为902180π⨯2π厘米，2122故选：B分析：利用弧长公式可求得扇形的弧长，圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长． 15．已知圆锥形模具的母线长、半径分别是12cm 、4cm ，求得这个模具的侧面积是（ ） A ． 100πcm 2 B ． 80πcm 2C ． 60πcm 2D ． 48πcm 2答案：D解析：解答：半径是4cm ，则底面周长=8πcm ，侧面积=12×8π×12=48πcm 2． 故选：D分析：利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．二、填空题（共5小题）16．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是．答案：24π解析：解答：底面周长是：2×3π=6π，则侧面积是：12×6π×5=15π，底面积是：π×32=9π，则全面积是：15π+9π=24π．故答案为：24π．分析：首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．17．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．答案：2解析：解答：扇形的弧长=1206180π⨯=4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2分析：圆锥的弧长等于底面周长．18．已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的高是cm．答案：8解析：解答：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得12•2π•r•10=60π，解得r=6，所以圆锥的高（cm）．故答案为8分析：设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到r，然后根据勾股定理计算圆锥的高．19．用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 ． 答案：1解析：解答：根据扇形的弧长公式l =180n r π=904180π⨯=2π，设底面圆的半径是r ， 则2π=2πr ∴r =1． 故答案为：1分析：圆锥的底面周长等于扇形的弧长．20．已知圆锥的底面半径是1cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为 cm 2． 答案：3π解析：解答：圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π． 故答案为：3π分析：圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 三、解答题（共5小题）21．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面半径为6米，高为4米，下方圆柱高为3米．（1）求该粮仓的容积； 答案：解答：体积V=π×62×3+13×π×62×（4﹣3）=108π+12π=120π； （2）求上方圆锥的侧面积．（计算结果保留根号）答案：解答：圆锥的母线长为l 2261+37，所以圆锥的侧面积为s 3737π．解析：分析：（1）确定该几何体为圆锥和圆柱的组合体，然后计算圆锥和圆柱的体积的和；（2）利用圆锥的侧面积公式直接计算．22．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =2cm ，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h 的长．答案：解答：如图所示：1202360ABr ππ=，而r =2，∴AB=12， ∴由勾股定理得：AO 2=AB 2﹣OB 2，而AB=12，OB=2， ∴AO=235．即该圆锥的高为235．解析：分析：运用弧长公式求出AB 的长度，即可．23．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积．答案：解答：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5， 圆锥的母线长22512+=13，圆锥的表面积=π•52+12•2π•5•13=90π．解析：分析：根据三视图可判断该几何体是圆锥，利用勾股定理计算出母线长，然后求底面积与侧面积的和即可．24．已知一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积及侧面展开图的圆心角（结果保留π）．答案：解答：∵如图所示可知，圆锥的高为4，底面圆的直径为6，∴圆锥的母线为：5，∴根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×3×5=15π，底面圆的面积为：πr2=9π，∴该几何体的表面积为24π．∴圆心角的度数：6360216 10ππ⨯︒=︒解析：分析：根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，即可得出表面积．25．在△ABC中，3，2，BC=1．（1）求证：∠A≠30°；答案：解答：证明：∵BC2+AC2=1+2=3=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．∵1sin sin3023BCAAB==>=︒，∴∠A≠30°．（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．答案：解答：将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，∴圆锥的底面圆的半径，∴圆锥的底面圆的周长π，23π+π×）2π+2π．解析：分析：（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，利用三角函数计算出sin A，然后与sin30°进行比较判断∠A≠30°；（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，几何体的表面积分为底面积和侧面积，分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算．。