2020高考数学知识考点精析25 随机就是及其分布 精品

第4讲 随机事件的概率1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S 下重复n 次实验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的□01次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A)＝□02n An 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的□03频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．3．事件的关系与运算4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：□010≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝□021. (3)不可能事件的概率P(F)＝□030. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P(A∪B)＝□04P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则P(A)＝□051－P(B)．1．概念辨析(1)若事件A ，B ，C 两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )(3)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．( ) (4)事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含结果组成集合的补集．( )(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．小题热身(1)下列事件中不可能事件的个数为( )①如果a>b ，c>d ，则a －d>b －c ；②对某中学的毕业生进行一次体检，每个学生的身高都超过2 m ；③某电视剧收视率为40%；④从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取2个，2个都是次品；⑤在不受外力作用的条件下，做匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ①是必然事件；②⑤是不可能事件；③④是随机事件．故选B .(2)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件也不是对立事件 答案 C解析 3名男生和2名女生，从中任选2名有以下可能：①全是男生；②恰有1名女生；③全是女生，所以“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．(3)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案 0解析 由概率的概念知，从中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，则①是假命题；抛硬币时出现正面的概率是12，不是37，则②是假命题；频率和概率不是同一个概念，则③是假命题．综上可知，正确的命题有0个．(4)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．答案 0.35解析 “抽到的不是一等品”与“抽到一等品”是对立事件，所以抽到的不是一等品的概率P ＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.题型 一 随机事件的关系1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对答案 A解析 “甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立．2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率为710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡 答案 A解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”的概率为710.判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．某小组有3名男生和2名女生，从中选2名同学去参加演讲比赛，下列有4个事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事件的是________(填序号)．答案 ①④解析 对于事件①，恰有1名男生是1男1女与恰有2名男生互斥；对于事件②，至少1名男生与至少1名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，至少1名男生与全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于事件④，至少1名男生和全是女生不可能同时发生，是互斥事件．题型 二 随机事件的频率与概率1．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：(1)求次品出现的频率(次品率)；(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？ 解 (1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05. (2)由(1)知，出现次品的频率mn在0.05附近摆动，故P(A)＝0.05.(3)设购进衬衣x 件，则x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故至少需进货1053件． 2．(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解(1)(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x1＝150×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x2＝150×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．(2)由频率与概率的关系得所求．2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求.(2019·福建基地综合测试)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求日利润y(单位：元)关于日需求量n(单位：件，n∈N )的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n (单位：件)，整理得下表：①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润(单位：元)的平均数；②若该店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润在区间[400,550]内的概率．解 (1)当日需求量n ≥10时，日利润为y ＝50×10＋(n －10)×30＝30n ＋200， 当日需求量n <10时，利润y ＝50×n －(10－n )×10＝60n －100. 所以日利润y 与日需求量n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30n ＋200，n ≥10，n ∈N ，60n －100，n <10，n ∈N .(2)50天内有9天获得的日利润为380元，有11天获得的日利润为440元，有15天获得日利润为500元，有10天获得的日利润为530元，有5天获得的日利润为560元．所以①这50天的日利润(单位：元)的平均数为380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×550＝477.2.②日利润(单位：元)在区间[400,550]内的概率为 P ＝11＋15＋1050＝1825.题型 三 互斥事件与对立事件的概率角度1 互斥事件概率公式的应用1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7 答案 B解析 设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，事件C 为既用现金支付也用非现金支付，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，因为P (A )＝0.45，P (C )＝0.15，所以P (B )＝0.4.故选B.角度2 对立事件概率公式的应用2．某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．解记事件“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k∈N，k≤5)，则事件A k彼此互斥．(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.求复杂的互斥事件概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)1．某城市2018年的空气质量状况如表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________．答案 35解析 由题意可知2018年空气质量达到良或优的概率为110＋16＋13＝35.2．(2018·扬州模拟)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)． 解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.7 10.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。

第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案❶，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法N＝m＋n种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤❷，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法N＝m×n种不同的方法(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.二、常用结论1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.考点一分类加法计数原理1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.答案：362.如图，从A 到O 有________种不同的走法(不重复过一点).解析：分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O 2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.答案：53.若椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.解析：当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7，共5个；当m ＝3时，n ＝4,5,6,7，共4个；当m ＝4时，n ＝5,6,7，共3个；当m ＝5时，n ＝6,7，共2个.故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.答案：204.如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2且a 2＞a 3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________.解析：若a 2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a 2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a 2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a 2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).答案：240考点二 分步乘法计数原理[典例精析](1)已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )(a ，b ∈M )表示平面上的点，则P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )A.6B.12C.24D.36(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.[解析] (1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a ，由于a ＜0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).[答案](1)A(2)120[解题技法]利用分步乘法计数原理解决问题的策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.[题组训练]1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况.答案：632.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答).解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数.若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数.答案：18 6考点三两个计数原理的综合应用[典例精析](1)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A.24B.48C.72D.96(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A.60B.48C.36D.24[解析](1)分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法.②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法.故共有24＋48＝72种涂色方法.(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.[答案](1)C(2)D(3)B[解题技法]1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.2.涂色、种植问题的解题关注点和关键(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.[题组训练]1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).答案：722.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).答案：40[课时跟踪检测]A级1.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9B.14C.15D.21解析：选B当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7.当x≠2时，∵P⊆Q，∴x＝y.∴x 可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A.504B.210C.336D.120解析：选A分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法.故共有7×8×9＝504种不同的插法.3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40B.16C.13D.10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.4.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A.32个B.34个C.36个D.38个解析：选A 将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C 12＝2(种).共有2×2×2×2×2＝32(个)子集.5.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A.3B.4C.6D.8解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，也有4个.故共有8个等比数列.6.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )A.6种B.12种C.18种D.24种解析：选A 根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A 或B 处，若8放在B 处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C 处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A 处，也有3种方法，所以共有6种方法.7.(2019·郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A.4 320种B.2 880种C.1 440种D.720种解析：选A 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法. 3 4 12 D 34 A C B 98.(2019·惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个解析：选B由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个).9.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.解析：分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝24(种).第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种).答案：2 88010.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.答案：8B级1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()A.24种B.4种C.43种D.34种解析：选C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种投法.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个解析：选B由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数.故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个).3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()A.24种B.72种C.84种D.120种解析：选C如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A―→B―→C―→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48种不同的涂法.(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36种不同的涂法.故共有48＋36＝84种不同的涂色方法.4.(2018·湖南十二校联考)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________.解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.答案：300－3，－2，－1，0，1，2，若a，b，c∈M，则：5.已知集合M＝{}(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.第二节 排列与组合1.排列、组合的定义2.排列数、组合数的定义、公式、性质正确理解组合数的性质：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的(1)C m n＝C n－mn方法数.＝C m n＋1：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特(2)C m n＋C m－1n殊元素A有C m n种方法；②含特殊元素A有C m－1种方法.n考点一排列问题[典例精析]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻.[解](1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37A44＝5 040(种).(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).[解题技法]求解排列应用问题的6种主要方法[题组训练]1.(2019·太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A.1 800B.3 600C.4 320D.5 040解析：选B先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A55种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A26种，所以共有A55A26＝3 600(种).2.(2019·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A.250个B.249个C.48个D.24个解析：选C①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有()A.1 108种B.1 008种C.960种D.504种解析：选B将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66－A22A55－A22A55＋A22A44＝1 008(种).考点二组合问题[典例精析]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？[解](1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)取法.所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100(种)取法.所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)法一：(间接法)选取3种商品的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.法二：(直接法)共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.[解题技法]组合问题的2类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.[题组训练]1.(2018·南宁二中、柳州高中第二次联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是()A.72B.70C.66D.64解析：选D从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C12·C17＋C17·C16＝56种选法，三个数相邻共有C18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法.2.(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.那么不同的搜寻方案有()A.10种B.40种C.70种D.80种解析：选B若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C15种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C24种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C 15C 24＝30种搜寻方案；若Grace 参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C 25种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C 25＝10种搜寻方案.综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案.3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)解析：从2位女生，4位男生中选3人，共有C 36种情况，没有女生参加的情况有C 34种，故共有C 36－C 34＝20－4＝16(种).答案：16考点三 分组、分配问题考法(一) 整体均分问题[例1] 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.[解析] 先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33＝15(种)方法.再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)分派方法. [答案] 90考法(二) 部分均分问题[例2] 有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.[解析] 先把4名学生分为2,1,1共3组，有C 24C 12C 11A 22＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A 33＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案.[答案] 36考法(三) 不等分问题[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法.[解析] 将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种取法.根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种取法.再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法.[答案] 360[题组训练]1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 11A 22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).2.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种.解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 122＋C 15C 242·A 33＝150(种).答案：150 考点四 排列、组合的综合问题[典例精析](1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A.300B.216C.180D.162(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个.(用数字作答)[解析] (1)分两类：第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C 23·C 22·A 44＝72(个)符合要求的四位数；第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C 12·C 23·(A 44－A 33)＝108(个)符合要求的四位数.根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个).(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是C23A33C14＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是A33C13＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个).当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为C23A33C14＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是C13C23A33C13＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个).根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个).[答案](1)C(2)324[解题技法]解决排列、组合综合问题的方法(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决，一般遵循先选后排的原则.[题组训练]1.(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A.36种B.24种C.22种D.20种解析：选B根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C23A22A22＝12种推荐方法.故共有24种推荐方法.2.(2019·成都诊断)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________.(用数字作答) 解析：根据题意，分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加，有C12·C46·A55＝3 600(种)；若甲、乙两人都参加，有C22·A36·A＝241 440(种).则不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.答案：5 040。

解密25概率考点1 古典概型题组一古典概型的概率求解调研1 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为A．112B．19C．16D．14【答案】B【解析】将先后两次的点数记为有序数实数对(x,y )，则共有6×6=36个基本事件， 其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4个， 则满足条件的概率为41369=． 故选B ．调研2 从装有大小、材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率为 A ．23 B ．12 C ．25D ．13【答案】C【解析】记3个红球分别为a,b,c ，3个黑球分别为x,y,z ，则随机取出两个小球共有26C 15=种可能，其中两个小球同色共有6种可能：ab,ac,bc,xy,xz,yz ， 根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为615=25， 故选C ．调研3 有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为 A ．12 B ．35 C ．13D ．56【答案】A【解析】有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则基本事件总数为24C 6=，取出的2张卡片中含有红色卡片包含的基本事件数为1113C C =3， 所以取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为3162=． 故选A ．☆技巧点拨☆在选择题或者填空题中利用枚举计数的方法考查古典概型，或结合排列、组合计数的方法考查古典概型，在解答题中常和概率、统计的其他知识结合考查古典概型和概率的性质.题组二用随机模拟估计概率调研4 规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.根据以往经验，某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1表示该次投掷未在8 环以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8 环以上，经随机模拟试验产生了如下20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】由所给数据可知，20组数据中有3组191，031，113不是优秀，其余17组是优秀，所以可以拿到优秀的概率为17 20，故选D．调研5 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A ．19 B ．318 C ．29D ．518【答案】C【解析】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：021，001，031，130，共4个基本事件， 根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为418=29， 故选C.考点2 几何概型题组一 几何概型的概率求解调研1 有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于l 的概率为 A ．13 B ．23 C ．34D ．14【答案】B【解析】设点P 到点O 的距离小于1的概率为P 1，由几何概型，得P 1＝322π13π12V V ⨯⨯⨯半球圆柱＝＝13， 故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23. 故选B.调研2 在区间[－π6，π2]上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是A ．12B ．34C ．38D ．58【答案】B【解析】由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，得22≤sin(x ＋π4)≤1，因为x ∈[－π6，π2]，所以在区间[－π6，π2]内，满足sin(x ＋π4)∈[22，1]的x ∈[0，π2]，故所求的概率为π2－0π2－(－π6)＝34.故选B ．【名师点睛】与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．调研3 ABC △中，AB =4,AC =6,AB ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,在线段AC 上任取一点P ，则PAB △的面积小于4√3的概率是 A ．12 B ．13 C ．23D ．35【答案】C【解析】由AB =4,AC =6,AB ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12得24cosA =12，1cos sin 2A A ∴∴=＝，则1sin 2ABC S AB AC A ⋅==△ ∴PAB △的面积小于23=． 故选C ．【名师点睛】与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．调研4 某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为______________． 【答案】16【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟， 所以等待时间不多于10分钟的概率为101606P ==． 调研5 一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________．【答案】π14 -【解析】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个14的圆的面积为π，又由边长为2的正方形的面积为4S=，根据面积比的几何概型可得概率为4ππ144 p-==-.题组二随机模拟的应用调研6 下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为A．254mnB．4mnC．425mnD．25mn【答案】D【解析】Q小正方形的边长为2，∴圆的半径为1，圆的面积为π，又Q大正方形的边长为5，∴正方形的面积为25，由几何概型的概率计算公式可得π25,π25m mn n≈≈，故选D．☆技巧点拨☆几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型.考点3 随机变量及其分布题组一离散型随机变量的分布列、均值与方差调研1 已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为 A ．3200 B ．3400 C ．3500D ．3600【答案】C【解析】设检测的机器的台数为x ,则x 的所有可能取值为2,3,4.则()()()()()1131223332222553A C A C A A 1332,3,4123,A 10A 105P x P x P x P x P x +========-=-==+ 所以Ex =2×110+3×310+4×35=3.5，所以所需的检测费用的均值为1000×3.5=3500.故选C ．调研2 已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则()E ξ=A ．145B ．135 C ．73D ．83【答案】A【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122()i i E p p p ξξξξ=++++L L 可求得数学期望．【解析】ξ的可能取值为2,3,4，2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故339(2)5525P ξ==⨯=；3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球或各取出一个白球，故322312(3)555525P ξ==⨯+⨯=；4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故224(4)5525P ξ==⨯=，所以912414()2342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故选A ．调研3 已知随机变量X 的分布列如下表：若EX =2，则a =______________；DX =______________． 【答案】0；52【解析】由题得11111,.3644b b +++=∴= 所以111123423464EX a =⨯+⨯+⨯+⨯=，解得a =0. 所以()()()()22221111502223242.34642DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= 调研4 在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.（1）由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示),请用正态分布的知识求P(36<Z ≤79.5); （2）在（1）的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: (ⅰ)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; (ⅱ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:现有市民甲要参加此次问卷调查,记X (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列与数学期望. 参考数据与公式：√210≈14.5,若X ∼N(μ,σ2),则①P(μ−σ<X ≤μ≤σ)=0.6827;②P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9545； ③P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)=0.9973.【解析】（1）E (Z )=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.故μ=65,又√210=14.5,∴P(50.5<Z ≤79.5)≈0.6827,P(36<Z ≤94)≈0.9545. ∴(3694)(50.579.5)(3650.5)0.13592P Z P Z P Z <≤-<≤<≤≈=.综上,P(36<Z ≤79.5)=P(36<Z ≤50.5)+P(50.5<Z ≤79.5)≈0.1359+0.6827=0.8186. （2）易知P(Z <μ)=P(Z ≥μ)=12. 获赠话费X 的可能取值为20,40,60,80.()13320248P X ==⨯=；()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=；()13111336024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11118024432P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为:∴()313312040608037.58321632E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 题组二 超几何分布调研 5 甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223,228]（单位：mm ）内的零件为一等品，其余为二等品，测量甲乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：（1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率； （2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）12；（2）65. 【解析】（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品； 乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率4565110102P ⨯+⨯==⨯.（2）X 可取0，1，2，3．0346310C C 1(0)C 6P X ===，1246310C C 1(1)C 2P X ===，2146310C C 3(2)C 10P X ===，3046310C C 1(3)C 30P X ===.X 的分布列为∴随机变量X 的期望()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 调研6 央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，它创新性地利用现代传媒手段实现了诗词娱乐化，用健康的娱乐化方式实现了“扩群”，体现了国人精神中对于优秀传统文化的呼唤与眷恋．在某市组织的诗词大赛中，某中学高中组与初中组成绩卓著．组委会进入该中学随机抽取了100名学生进行调查，将学生对诗词知识的掌握情况分为优秀、良好、一般三个等级，其中达到优秀等级的学生有70名． （1）若该中学共有8000名学生，试估计该中学的学生中达到优秀等级的学生人数；（2）若抽取的达到优秀等级的70名学生中，高中生有40名，初中生有30名，利用分层抽样的方法从中抽取7名学生，然后从这7名学生中随机抽取3名学生代表该市参加比赛，记这3名学生中高中生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．【解析】（1）因为所抽取的100名学生中，达到优秀等级的有70名，所以优秀率为70710010=． 故该中学的学生中达到优秀等级的学生人数约为78000560010⨯=． （2）从达到优秀等级的70名学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生， 则高中生有4名，初中生有3名，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P X ===，()124337C C 121C 35P X ===，()214337C C 182C 35P X ===，()3437C 43C 35P X ===，所以X 的分布列为所以()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 调研7 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考， 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ． 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）96625；（2）第一种方案；（3）分布列见解析，6()5E X =． 【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价进行比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果．【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5X B ， 所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X ===， （2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为134216548848()1618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯==， 因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个， 现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===，所以X 的分布列如下：所以()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【名师点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率． 题组三 二项分布及其应用调研8 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 A ．13 B ．25 C ．23D ．45【答案】A【解析】设甲获得冠军为事件A ,比赛进行了三局为事件B , 则P (AB )=1223118C ()=4464⨯⨯， P (A )=221233154C 44464⎛⎫⎛⎫+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()1(|).3P AB P B A P A ==故选A.调研9 已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则n ，p 分别等于A ．n =45，p =23 B ．n =45，p =13 C ．n =90，p =13D ．n =90，p =23【答案】C【解析】随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==， 根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得，()30,120np np p =-=， 解得1,903p n ==，故选C ． 调研10 抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个黄色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖.有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是 A ．6，0.4 B ．18，14.4 C ．30，10D ．30，20【答案】D【解析】由题可得中奖概率为23115153+=，而中奖人数服从二项分布， 故这90人中中奖人数的期望值为19030,3⨯=方差为1190(1)20.33⨯⨯-=故选D.调研11 为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表：（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组的中点值作代表).（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：(i)求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.(ii)学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X ，求X 的分布列和方差D(X).【解析】（1）由数据可知5615846012622064866561.850x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.（2）(i)由题意，“出现重度噪音污染”的概率为110，“出现轻度噪音污染”的概率为110，设事件A 为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，则2235111()C ()()101010000P A ==. (ii)由题意1~(3,)10X B ，则3319()C ()(),0,1,2,31010k k kP X k k -===.故分布列为()(1)0.27D X np p =-=.调研12 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有40人，不超过100km /h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有20人，不超过100km /h 的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5％的把握认为平均车速超过100km /h 的人与性别有关．（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望． 参考数据与公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n =a +b +c +d .【答案】（1）表格见解析，有关；（2）65. 【解析】（1）完成列联表如下：因为2K 的观测值k =100×(40×25−15×20)260×40×55×45≈8.429>7.879，所以有99.5％的把握认为平均车速超过100km h ⁄与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km h ⁄的车辆的概率为4021005=． X 可取的值是0，1，2，3，2(3,)5X B ~，有：()003323270C ()()55125P X ===，()112323541C ()()55125P X ===， ()221323362C ()()55125P X ===，()33032383C ()()55125P X ===， 则X 的分布列为()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 题组四 正态分布调研13 若ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，且(01)0.4P ξ<<=，则(02)P ξ<<=A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.2【答案】B【解析】由正态分布的图象和性质得(02)2(01)20.40.8P P ξξ<<=<<=⨯=． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．调研14 已知随机变量ξ服从正态分布N (1,1)，若p (ξ>−1)=0.9772，则P (−1<ξ<3)= A ．0.6827 B ．0.8522 C ．0.9544D ．0.9772【答案】C【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N (1,1)，所以其图象关于直线1x =对称， 因为(1)0.9772P ξ>-=，所以(1)10.97720.0228P ξ≤-=-=，所以(1)(3)0.0228P P ξξ≤-=≥=，所以(13)10.022820.9544P ξ-<<=-⨯=. 故选C.调研15 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)=0.3，试估计该班学生的数学成绩在110分以上的人数为 A ．20 B ．10 C ．14D ．21 【答案】A【解析】由数学成绩服从正态分布N(100,102)，且P(90≤ξ≤100)=0.3， 得12(90100)(110)0.22P P ξξ-≤≤≥==，所以估计该班学生的数学成绩在110分以上的人数为0.2×100=20.调研16 在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X~N(85 ， 9)，若已知P(80<X ≤85)=0.35，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为 A ．0.85 B ．0.65 C ．0.35D ．0.15【答案】D【解析】∵X ∼N (85,9),P (80<X ≤85)=0.35，∴P (85<X <90)=0.35， ∴P (X >90)=12×(1−0.35−0.35)=0.15，故选D ．调研17 随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，则μ=______________. 【答案】4【解析】∵ (ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，∴P (ξ>6)=1−0.2−0.6=0.2， 即P (ξ<2)=P (ζ>6)，∴μ=2+62=4.调研18 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量X （单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立. （1）求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率；（2）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)230270X ∈，时，没有影响；当[)270.310X ∈时，经济损失为10万元；当[)310,350X ∈时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由. 【解析】（1）由题得12703100.254P X ≤≤==（），设在未来3年里，河流的污水排放量[)270310X ∈，的年数为Y设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量[)270,310X ∈”为事件A ，则()()()01P A P Y P Y ==+=∴在未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率为2732. （2）方案二好，理由如下：由题得()2302700.74P X ≤≤=，()3103500.01P X ≤≤=.用123,,S S S 分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则1 3.8S =万元.2S 的分布列为：()220.99620.01 2.6E S =⨯+⨯=（万元）.3S 的分布列为：()300.74100.25600.01 3.1E S =⨯+⨯+⨯=（万元）.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.☆技巧点拨☆随机变量及其分布若以小题形式考查，则试题难度不大，多为容易题或中档题，重点考查正态分布知识，有时也考查离散型随机变量的分布列与期望知识．若以解答题形式考查，部分新课标地区有加大题目难度的趋势，但大部分还是中等难度.1．（重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考卷三）如图，过正方形ABCD 的顶点A 在BAD ∠内任意作射线AP ，则该射线与正方形的交点位于边BC 上的概率为A ．15 B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】本题符合角度型几何概率，故所求概率451902P ︒==︒，故选D ． 【名师点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．2．（湖北省鄂州市颚南高中2019-2020学年高三上学期10月月考）1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值．请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于(0)a a >，向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为A ．2pal B ．2al pC ．2l paD ．2pa l【答案】C【解析】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2l P a=π， 所以2lpaπ=，故选C ． 【名师点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目．3．（广东省深圳市宝安区2019-2020学年高三上学期期中）如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【思路分析】计算出正方形的面积，根据几何概型的原理可求得结果．【解析】正方形二维码的面积为339⨯=∴黑色部分的面积为1089484951089-⨯=，故选B ．4．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则()()()()P A B P A P B P AB =++U ，因为()()0.45,0.15P A P AB ==，所以()0.4P B =． 故选B ．5．（2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考）已知随机变量ξ满足下列分布列，当(0,1)p ∈且不断增大时，A ．()E ξ增大，()D ξ增大B ．()E ξ减小，()D ξ减小C ．()E ξ增大，()D ξ先增大后减小 D ．()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C【思路分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断． 【解析】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ， 易得()2()21()p D p E p ξξ==-，，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小． 故选C ．【名师点睛】本题考查二项分布的期望、方差．理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键．6．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三9月月考）从装有颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()D X =A ．85B ．65 C ．45D ．25【答案】B【思路分析】由题意知，X ～B （5，33m +），由()E X ＝533m ⨯=+3，知X ～B （5，35），由此能求出D （X ）．【解析】由题意知，X ～B （5，33m +）， ∴()E X ＝533m ⨯=+3，解得m ＝2，∴X ～B （5，35）， ∴D （X ）＝535⨯⨯（135-）65=．故选B ．【名师点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7．（江西省吉安市吉州区吉安市白鹭洲中学2019-2020学年高三上学期11月月考）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(14)0.85P ξ-<<=，则(05)P ξ<<=A ．0.15B ．0.30C ．0.70D ．0.85【答案】D【解析】(05)(04)(45)(04)(10)P P P P P ξξξξξ<<=<<+≤<=<<+-<≤(14)0.85P ξ=-<<=．故选D ．【名师点睛】本题考查正态分布，掌握正态分布中概率的性质是解题基础．设2(,)N ξμσ:，则()()(0)P m P m m μξμμξμ-<<=<<+>．8．（湖北省襄阳市第四中学2029-2020学年高三9月联考）如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是A ．116 B ．1124C ．1324D ．516【答案】B【思路分析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果．【解析】图①小球落在阴影部分的概率为212241341462P π⋅-ππ⋅=⋅=⋅， 图②小球落在阴影部分的概率为213P =， ∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为3113111(1)(1)11632424--⨯-=-=． 故选B ．【名师点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用．9．（2020年四川省内江市威远中学高三上学期第一次月考）设随机变量ξ~B(2，p)，η~B(4，p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)的值为 A ．1127B ．3281C ．6581D ．1681【答案】A【思路分析】利用二项分布概率计算公式结合条件P (ξ≥1)=59计算出p ，然后再利用二项分布概率公式计算出P (η≥2)．【解析】由于ξ~B(2，p)，则P (ξ≥1)=1−P (ξ=0)=1−(1−p )2=59，∴p =13，所以，η~B (4，13)，因此，P (η≥2)=1−P (η=0)−P (η=1)=1−(23)4−C 41⋅13⋅(23)3=1127， 故选A ．【名师点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题．10．（山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111,,234，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是 A ．2324B ．524C ．1124D ．124【答案】C【思路分析】由已知得三家企业中恰有1家购买该机床设备分三种情况：只是甲企业购买，只是乙企业购买或只是丙企业购买，设出每一个企业购买设备所表示的事件，并求其对立事件的概率，根据互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和求解得出答案．【解析】设“甲企业购买该机床设备”为事件A ，“乙企业购买该机床设备”为事件B ，“丙企业购买该机床设备”为事件C ，则()12P A =，()13P B =，()14P C =， 则()()111122P A P A =-=-=，()()121133P B P B =-=-=，()()131144P C P C =-=-=，设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事件D ， 则12311312111()()()()23423423424P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C ．【名师点睛】本题以实际问题为背景考查互斥事件的和事件的概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题．11．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市2019-2020学年高三上学期期中）已知随机变量,X Y 的分布列如下：。

高中数学知识点总结：随机变量及其分布随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率8、公式： .0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

)()()(B P A P B A P ⋅=⋅10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。

解密25概率考点1 古典概型题组一古典概型的概率求解调研1 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为A．112B．19C．16D．14【答案】B【解析】将先后两次的点数记为有序数实数对(x,y )，则共有6×6=36个基本事件， 其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4个， 则满足条件的概率为41369=． 故选B ．调研2 从装有大小、材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率为 A ．23 B ．12 C ．25D ．13【答案】C【解析】记3个红球分别为a,b,c ，3个黑球分别为x,y,z ，则随机取出两个小球共有26C 15=种可能，其中两个小球同色共有6种可能：ab,ac,bc,xy,xz,yz ， 根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为615=25， 故选C ．调研3 有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为 A ．12 B ．35 C ．13D ．56【答案】A【解析】有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则基本事件总数为24C 6=，取出的2张卡片中含有红色卡片包含的基本事件数为1113C C =3， 所以取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为3162=． 故选A ．☆技巧点拨☆在选择题或者填空题中利用枚举计数的方法考查古典概型，或结合排列、组合计数的方法考查古典概型，在解答题中常和概率、统计的其他知识结合考查古典概型和概率的性质.题组二用随机模拟估计概率调研4 规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.根据以往经验，某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1表示该次投掷未在8 环以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8 环以上，经随机模拟试验产生了如下20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】由所给数据可知，20组数据中有3组191，031，113不是优秀，其余17组是优秀，所以可以拿到优秀的概率为17 20，故选D．调研5 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A ．19 B ．318 C ．29D ．518【答案】C【解析】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：021，001，031，130，共4个基本事件， 根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为418=29， 故选C.考点2 几何概型题组一 几何概型的概率求解调研1 有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于l 的概率为 A ．13 B ．23 C ．34D ．14【答案】B【解析】设点P 到点O 的距离小于1的概率为P 1，由几何概型，得P 1＝322π13π12V V ⨯⨯⨯半球圆柱＝＝13， 故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23. 故选B.调研2 在区间[－π6，π2]上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是A ．12B ．34C ．38D ．58【答案】B【解析】由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，得22≤sin(x ＋π4)≤1，因为x ∈[－π6，π2]，所以在区间[－π6，π2]内，满足sin(x ＋π4)∈[22，1]的x ∈[0，π2]，故所求的概率为π2－0π2－(－π6)＝34.故选B ．【名师点睛】与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．调研3 ABC △中，AB =4,AC =6,AB ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,在线段AC 上任取一点P ，则PAB △的面积小于4√3的概率是 A ．12 B ．13 C ．23D ．35【答案】C【解析】由AB =4,AC =6,AB ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12得24cosA =12，1cos sin 2A A ∴∴=＝，则1sin 2ABC S AB AC A ⋅==△ ∴PAB △的面积小于23=． 故选C ．【名师点睛】与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．调研4 某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为______________． 【答案】16【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟， 所以等待时间不多于10分钟的概率为101606P ==． 调研5 一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________．【答案】π14 -【解析】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个14的圆的面积为π，又由边长为2的正方形的面积为4S=，根据面积比的几何概型可得概率为4ππ144 p-==-.题组二随机模拟的应用调研6 下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为A．254mnB．4mnC．425mnD．25mn【答案】D【解析】Q小正方形的边长为2，∴圆的半径为1，圆的面积为π，又Q大正方形的边长为5，∴正方形的面积为25，由几何概型的概率计算公式可得π25,π25m mn n≈≈，故选D．☆技巧点拨☆几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型.考点3 随机变量及其分布题组一离散型随机变量的分布列、均值与方差调研1 已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为 A ．3200 B ．3400 C ．3500D ．3600【答案】C【解析】设检测的机器的台数为x ,则x 的所有可能取值为2,3,4.则()()()()()1131223332222553A C A C A A 1332,3,4123,A 10A 105P x P x P x P x P x +========-=-==+ 所以Ex =2×110+3×310+4×35=3.5，所以所需的检测费用的均值为1000×3.5=3500.故选C ．调研2 已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则()E ξ=A ．145B ．135 C ．73D ．83【答案】A【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122()i i E p p p ξξξξ=++++L L 可求得数学期望．【解析】ξ的可能取值为2,3,4，2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故339(2)5525P ξ==⨯=；3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球或各取出一个白球，故322312(3)555525P ξ==⨯+⨯=；4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故224(4)5525P ξ==⨯=，所以912414()2342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故选A ．调研3 已知随机变量X 的分布列如下表：若EX =2，则a =______________；DX =______________． 【答案】0；52【解析】由题得11111,.3644b b +++=∴= 所以111123423464EX a =⨯+⨯+⨯+⨯=，解得a =0. 所以()()()()22221111502223242.34642DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= 调研4 在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.（1）由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示),请用正态分布的知识求P(36<Z ≤79.5); （2）在（1）的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: (ⅰ)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; (ⅱ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:现有市民甲要参加此次问卷调查,记X (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列与数学期望. 参考数据与公式：√210≈14.5,若X ∼N(μ,σ2),则①P(μ−σ<X ≤μ≤σ)=0.6827;②P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9545； ③P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)=0.9973.【解析】（1）E (Z )=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.故μ=65,又√210=14.5,∴P(50.5<Z ≤79.5)≈0.6827,P(36<Z ≤94)≈0.9545. ∴(3694)(50.579.5)(3650.5)0.13592P Z P Z P Z <≤-<≤<≤≈=.综上,P(36<Z ≤79.5)=P(36<Z ≤50.5)+P(50.5<Z ≤79.5)≈0.1359+0.6827=0.8186. （2）易知P(Z <μ)=P(Z ≥μ)=12. 获赠话费X 的可能取值为20,40,60,80.()13320248P X ==⨯=；()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=；()13111336024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11118024432P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为:∴()313312040608037.58321632E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 题组二 超几何分布调研 5 甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223,228]（单位：mm ）内的零件为一等品，其余为二等品，测量甲乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：（1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率； （2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）12；（2）65. 【解析】（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品； 乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率4565110102P ⨯+⨯==⨯.（2）X 可取0，1，2，3．0346310C C 1(0)C 6P X ===，1246310C C 1(1)C 2P X ===，2146310C C 3(2)C 10P X ===，3046310C C 1(3)C 30P X ===.X 的分布列为∴随机变量X 的期望()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 调研6 央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，它创新性地利用现代传媒手段实现了诗词娱乐化，用健康的娱乐化方式实现了“扩群”，体现了国人精神中对于优秀传统文化的呼唤与眷恋．在某市组织的诗词大赛中，某中学高中组与初中组成绩卓著．组委会进入该中学随机抽取了100名学生进行调查，将学生对诗词知识的掌握情况分为优秀、良好、一般三个等级，其中达到优秀等级的学生有70名． （1）若该中学共有8000名学生，试估计该中学的学生中达到优秀等级的学生人数；（2）若抽取的达到优秀等级的70名学生中，高中生有40名，初中生有30名，利用分层抽样的方法从中抽取7名学生，然后从这7名学生中随机抽取3名学生代表该市参加比赛，记这3名学生中高中生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．【解析】（1）因为所抽取的100名学生中，达到优秀等级的有70名，所以优秀率为70710010=． 故该中学的学生中达到优秀等级的学生人数约为78000560010⨯=． （2）从达到优秀等级的70名学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生， 则高中生有4名，初中生有3名，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P X ===，()124337C C 121C 35P X ===，()214337C C 182C 35P X ===，()3437C 43C 35P X ===，所以X 的分布列为所以()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 调研7 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考， 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ． 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）96625；（2）第一种方案；（3）分布列见解析，6()5E X =． 【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价进行比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果．【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5X B ， 所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X ===， （2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为134216548848()1618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯==， 因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个， 现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===，所以X 的分布列如下：所以()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【名师点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率． 题组三 二项分布及其应用调研8 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 A ．13 B ．25 C ．23D ．45【答案】A【解析】设甲获得冠军为事件A ,比赛进行了三局为事件B , 则P (AB )=1223118C ()=4464⨯⨯， P (A )=221233154C 44464⎛⎫⎛⎫+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()1(|).3P AB P B A P A ==故选A.调研9 已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则n ，p 分别等于A ．n =45，p =23 B ．n =45，p =13 C ．n =90，p =13D ．n =90，p =23【答案】C【解析】随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==， 根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得，()30,120np np p =-=， 解得1,903p n ==，故选C ． 调研10 抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个黄色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖.有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是 A ．6，0.4 B ．18，14.4 C ．30，10D ．30，20【答案】D【解析】由题可得中奖概率为23115153+=，而中奖人数服从二项分布， 故这90人中中奖人数的期望值为19030,3⨯=方差为1190(1)20.33⨯⨯-=故选D.调研11 为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表：（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组的中点值作代表).（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：(i)求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.(ii)学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X ，求X 的分布列和方差D(X).【解析】（1）由数据可知5615846012622064866561.850x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.（2）(i)由题意，“出现重度噪音污染”的概率为110，“出现轻度噪音污染”的概率为110，设事件A 为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，则2235111()C ()()101010000P A ==. (ii)由题意1~(3,)10X B ，则3319()C ()(),0,1,2,31010k k kP X k k -===.故分布列为()(1)0.27D X np p =-=.调研12 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有40人，不超过100km /h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有20人，不超过100km /h 的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5％的把握认为平均车速超过100km /h 的人与性别有关．（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望． 参考数据与公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n =a +b +c +d .【答案】（1）表格见解析，有关；（2）65. 【解析】（1）完成列联表如下：因为2K 的观测值k =100×(40×25−15×20)260×40×55×45≈8.429>7.879，所以有99.5％的把握认为平均车速超过100km h ⁄与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km h ⁄的车辆的概率为4021005=． X 可取的值是0，1，2，3，2(3,)5X B ~，有：()003323270C ()()55125P X ===，()112323541C ()()55125P X ===， ()221323362C ()()55125P X ===，()33032383C ()()55125P X ===， 则X 的分布列为()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 题组四 正态分布调研13 若ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，且(01)0.4P ξ<<=，则(02)P ξ<<=A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.2【答案】B【解析】由正态分布的图象和性质得(02)2(01)20.40.8P P ξξ<<=<<=⨯=． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．调研14 已知随机变量ξ服从正态分布N (1,1)，若p (ξ>−1)=0.9772，则P (−1<ξ<3)= A ．0.6827 B ．0.8522 C ．0.9544D ．0.9772【答案】C【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N (1,1)，所以其图象关于直线1x =对称， 因为(1)0.9772P ξ>-=，所以(1)10.97720.0228P ξ≤-=-=，所以(1)(3)0.0228P P ξξ≤-=≥=，所以(13)10.022820.9544P ξ-<<=-⨯=. 故选C.调研15 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)=0.3，试估计该班学生的数学成绩在110分以上的人数为 A ．20 B ．10 C ．14D ．21 【答案】A【解析】由数学成绩服从正态分布N(100,102)，且P(90≤ξ≤100)=0.3， 得12(90100)(110)0.22P P ξξ-≤≤≥==，所以估计该班学生的数学成绩在110分以上的人数为0.2×100=20.调研16 在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X~N(85 ， 9)，若已知P(80<X ≤85)=0.35，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为 A ．0.85 B ．0.65 C ．0.35D ．0.15【答案】D【解析】∵X ∼N (85,9),P (80<X ≤85)=0.35，∴P (85<X <90)=0.35， ∴P (X >90)=12×(1−0.35−0.35)=0.15，故选D ．调研17 随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，则μ=______________. 【答案】4【解析】∵ (ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，∴P (ξ>6)=1−0.2−0.6=0.2， 即P (ξ<2)=P (ζ>6)，∴μ=2+62=4.调研18 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量X （单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立. （1）求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率；（2）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)230270X ∈，时，没有影响；当[)270.310X ∈时，经济损失为10万元；当[)310,350X ∈时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由. 【解析】（1）由题得12703100.254P X ≤≤==（），设在未来3年里，河流的污水排放量[)270310X ∈，的年数为Y设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量[)270,310X ∈”为事件A ，则()()()01P A P Y P Y ==+=∴在未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率为2732. （2）方案二好，理由如下：由题得()2302700.74P X ≤≤=，()3103500.01P X ≤≤=.用123,,S S S 分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则1 3.8S =万元.2S 的分布列为：()220.99620.01 2.6E S =⨯+⨯=（万元）.3S 的分布列为：()300.74100.25600.01 3.1E S =⨯+⨯+⨯=（万元）.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.☆技巧点拨☆随机变量及其分布若以小题形式考查，则试题难度不大，多为容易题或中档题，重点考查正态分布知识，有时也考查离散型随机变量的分布列与期望知识．若以解答题形式考查，部分新课标地区有加大题目难度的趋势，但大部分还是中等难度.1．（重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考卷三）如图，过正方形ABCD 的顶点A 在BAD ∠内任意作射线AP ，则该射线与正方形的交点位于边BC 上的概率为A ．15 B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】本题符合角度型几何概率，故所求概率451902P ︒==︒，故选D ． 【名师点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．2．（湖北省鄂州市颚南高中2019-2020学年高三上学期10月月考）1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值．请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于(0)a a >，向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为A ．2pal B ．2al pC ．2l paD ．2pa l【答案】C【解析】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2l P a=π， 所以2lpaπ=，故选C ． 【名师点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目．3．（广东省深圳市宝安区2019-2020学年高三上学期期中）如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【思路分析】计算出正方形的面积，根据几何概型的原理可求得结果．【解析】正方形二维码的面积为339⨯=∴黑色部分的面积为1089484951089-⨯=，故选B ．4．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则()()()()P A B P A P B P AB =++U ，因为()()0.45,0.15P A P AB ==，所以()0.4P B =． 故选B ．5．（2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考）已知随机变量ξ满足下列分布列，当(0,1)p ∈且不断增大时，A ．()E ξ增大，()D ξ增大B ．()E ξ减小，()D ξ减小C ．()E ξ增大，()D ξ先增大后减小 D ．()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C【思路分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断． 【解析】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ， 易得()2()21()p D p E p ξξ==-，，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小． 故选C ．【名师点睛】本题考查二项分布的期望、方差．理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键．6．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三9月月考）从装有颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()D X =A ．85B ．65 C ．45D ．25【答案】B【思路分析】由题意知，X ～B （5，33m +），由()E X ＝533m ⨯=+3，知X ～B （5，35），由此能求出D （X ）．【解析】由题意知，X ～B （5，33m +）， ∴()E X ＝533m ⨯=+3，解得m ＝2，∴X ～B （5，35）， ∴D （X ）＝535⨯⨯（135-）65=．故选B ．【名师点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7．（江西省吉安市吉州区吉安市白鹭洲中学2019-2020学年高三上学期11月月考）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(14)0.85P ξ-<<=，则(05)P ξ<<=A ．0.15B ．0.30C ．0.70D ．0.85【答案】D【解析】(05)(04)(45)(04)(10)P P P P P ξξξξξ<<=<<+≤<=<<+-<≤(14)0.85P ξ=-<<=．故选D ．【名师点睛】本题考查正态分布，掌握正态分布中概率的性质是解题基础．设2(,)N ξμσ:，则()()(0)P m P m m μξμμξμ-<<=<<+>．8．（湖北省襄阳市第四中学2029-2020学年高三9月联考）如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是A ．116 B ．1124C ．1324D ．516【答案】B【思路分析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果．【解析】图①小球落在阴影部分的概率为212241341462P π⋅-ππ⋅=⋅=⋅， 图②小球落在阴影部分的概率为213P =， ∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为3113111(1)(1)11632424--⨯-=-=． 故选B ．【名师点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用．9．（2020年四川省内江市威远中学高三上学期第一次月考）设随机变量ξ~B(2，p)，η~B(4，p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)的值为 A ．1127B ．3281C ．6581D ．1681【答案】A【思路分析】利用二项分布概率计算公式结合条件P (ξ≥1)=59计算出p ，然后再利用二项分布概率公式计算出P (η≥2)．【解析】由于ξ~B(2，p)，则P (ξ≥1)=1−P (ξ=0)=1−(1−p )2=59，∴p =13，所以，η~B (4，13)，因此，P (η≥2)=1−P (η=0)−P (η=1)=1−(23)4−C 41⋅13⋅(23)3=1127， 故选A ．【名师点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题．10．（山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111,,234，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是 A ．2324B ．524C ．1124D ．124【答案】C【思路分析】由已知得三家企业中恰有1家购买该机床设备分三种情况：只是甲企业购买，只是乙企业购买或只是丙企业购买，设出每一个企业购买设备所表示的事件，并求其对立事件的概率，根据互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和求解得出答案．【解析】设“甲企业购买该机床设备”为事件A ，“乙企业购买该机床设备”为事件B ，“丙企业购买该机床设备”为事件C ，则()12P A =，()13P B =，()14P C =， 则()()111122P A P A =-=-=，()()121133P B P B =-=-=，()()131144P C P C =-=-=，设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事件D ， 则12311312111()()()()23423423424P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C ．【名师点睛】本题以实际问题为背景考查互斥事件的和事件的概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题．11．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市2019-2020学年高三上学期期中）已知随机变量,X Y 的分布列如下：。

圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+= 1．两点分布如果随机变量X 的分布列为 X1P 1-p p则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：(),0,1,2,3,...,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下： X1… mP00n M N MnNC C C -- 11n M N MnNC C C -- …m n m M N MnNC C C -- {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。

注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+三、相互独立事件设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。

()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. 四、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. n 次独立重复试验的公式：n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n kn n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()(1)0,1,2,,k kn k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，X 01… k … nP00nn C p q111n n C p q -…k k n kn C p q - …n n n C p q此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望） 一般地，随机变量X 的概率分布列为 Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1．若Y aX b =+，其中a ，b 为常数，则Y 也是变量 Y 1ax b + 2ax b + … i ax b + … n ax b +P p 1 p 2 … p i … p n则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+ 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=即若X 服从两点分布，则()E X p =3．若~(,)X B n p ，则()E X np =七、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为 Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n221122(())(())((.n DX x E X p x E X p x E X DX X =-+-+⋅⋅⋅+-则称并称为随机变量的标准差1．若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =- 2．若~(,)X B n p ，则()(1)D X np p =- 3．2()()D aX b a D X +=。

2020年全国高考数学 第53讲 随机变量及其分布考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。

2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。

3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。

命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。

2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。

3.有关正态分布的考题多为一道小题。

知识点精讲一、条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。

（2）若()=P B A PB （），即()=()()P AB P A P B ,称A 与B 为相互独立事件。

A 与B 相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。

即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。

（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A 在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n kk kn n P k C p p -=- .二、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质 （1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.表13-1①11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ; ②121n p p p ++=L .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++L ，反映随机变量ξ取值的波动性。

高中数学知识点总结：随机变量及其分布2页1.随机变量随机变量是定义在样本空间上的函数，它的取值是随机的。

如果随机变量只取有限个或无限个可列值，称为离散随机变量。

3.离散概率分布离散随机变量的取值及其对应的概率称为离散概率分布。

4.期望离散随机变量X的期望是各个取值与其对应的概率乘积之和，用E(X)表示。

5.方差6.二项分布重复独立地进行n次相同的试验，每次试验只有成功和失败两种可能，成功概率为p，失败概率为1-p，记X为n次试验中成功的次数，则X服从二项分布，用B(n,p)表示。

7.泊松分布在一定时间或空间内，事件发生的次数服从泊松分布，如果事件在单位时间或单位空间内出现的概率是λ，则X在一个时间或空间区间内出现x次的概率为e^(-λ)λ^x/x!。

9.概率密度函数连续随机变量X的概率密度函数是一个非负可积函数f(x)，满足积分从负无穷到正无穷等于1，即∫f(x) dx=1。

连续随机变量X的期望是∫xf(x) dx。

12.正态分布在许多自然界现象中，随机变量的分布往往服从正态分布，其概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π)) e^((-(x-μ)^2)/(2σ^2))，其中μ是期望，σ是标准差。

13.中心极限定理如果n个独立随机变量的和服从某个分布，当n趋于无穷大时，它们的和近似服从正态分布。

这就是中心极限定理。

14.卡方分布卡方分布是一种重要的概率分布，它是二项分布的极限情况。

在统计学中广泛应用，用于检验样本方差是否符合正态分布。

t分布是一种重要的概率分布，常用于小样本的统计推断，如t检验。

F分布是一种概率分布，广泛用于方差分析，也用于卡方检验、t检验等。

17.统计量统计量是由样本数据计算出来的统计量，是样本的函数，可以用于对总体进行推断，如均值、方差、相关系数等。

18.抽样分布抽样分布是一个统计量的分布，由样本数据计算得到，用于总体参数的估计和假设检验。

19.点估计点估计是使用样本数据得到总体参数的点估计值，如样本均值、样本标准差等。