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2020年2月普通高考[山东卷]全真模拟卷数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U ＝R ，A ＝2{|40}x x x -<，B ＝{|1}x x ≤，则()U A C B ⋂＝ A ．{}04x x <≤ B ．{}14x x ≤< C ．{}04x x << D ．{}14x x <<【答案】D【解析】A ＝2{|40}{04}x x x x x -<=<<，U {1}B x x =>ð，U (){14}A B x x ⋂=<<ð．故选:D ．2．是虚数单位，若，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题意得，所以 ，故选C ．3．已知实数a ，b ，c ，m 满足3m a =，13log b m =，log 3m c =，命题p ：若2020m =，则a c b >>；命题q ：若12020m =，则a b c >>，则下列命题中的真命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】当2020m=时，2020120203log20200,0log31,31<<<>Q，a c b∴>>，所以命题p是真命题；当12020m=时，12020113202031log30,log log2020302020<=>>Q，b a c∴>>，所以命题q 是假命题，q⌝是真命题，则()p q∧⌝为真命题．故选：C4．如图，lαβ=I，点,A Cα∈，点Bβ∈，且BAα⊥，BC β⊥，那么直线l与直线AC 的关系是A．异面B．平行C．垂直D．不确定【答案】C【解析】BAα⊥Q，lαβ=I，lα∴⊂，BA l∴⊥；同理BC l⊥；又BA BC B⋂=，l∴⊥平面ABC．AC⊂Q平面ABC，l AC∴⊥．故选：C．5．已知非零向量、满足，．设与的夹角为，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，，故选A．6．已知点p是直线0x y m-+=上的动点，由点p向圆22:1O x y+=引切线，切点分别为M，N且90MPN∠=︒，若满足以上条件的点p有且只有一个，则m=A．2B．2±C2D．2【答案】B【解析】由题得090,1PMO PNO MON MO ON∠=∠=∠===，∴四边形PMON是正方形，∴2，∵满足以上条件的点P有且只有一个，∴OP l ⊥， ∴2,211b b -=∴=±+．故选B ．7．已知函数()()2,log x a f x a g x x -==(0a >且1a ≠)，若()()440f g -<，则()(),f x g x 在同一坐标系内的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】恒成立，又，所以，，．所以函数在上单调递减，函数在上也单调性递减，故B 正确．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 3直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r，则该双曲线的离心率是 A 2 B 21C 13D ．53【答案】B【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，设点,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即12MF F ∆为直角三角形，且12F MF ∠为直角， 所以1212OM F F =，则222bm m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭上，解得m a =， 故(),M a b ，又(),0A a -，所以直线AM 的斜率32b k a ==，所以2243b a =，故该双曲线的离心率22211c b e a a ==+=．故选：B ． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
按秘密级事项管理★启用前2020 年普通高等学校招生考试全国统一考试（模拟卷）数 学注意事项：1.答卷前考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时 选出每个小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动 用 橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
回答非选择题时将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共 8 小题每小题 5 分共 40 分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A = {(x , y ) | x + y = 2} B = {(x , y ) | y = x 2}则 A B =A. {(1,1)}B. {(-2, 4)}C. {(1,1), (-2, 4)}D. ∅2.已知 a + bi (a , b ∈ R ) 是1- i的共轭复数 则 a + b =1+ iA. -1B. -1 2C. 1 2D. 13.设向量 a = (1,1) b = (-1, 3) c = (2,1)且 (a - b ) ⊥ c则=A. 3B. 2C. -24. ( 1 - x )10的展开式中 x 4的系数是xD. -3A. -210B. -120C. 120D. 2105.已知三棱锥 S - ABC 中 ∠SAB = ∠ABC =, S B = 4, S C = 22, AB = 2, BC = 6则三棱锥 S - ABC 的体积是133 2 A.4 B. 6C. 4D. 66.已知点 A 为曲线 y = x + 4(x > 0) 上的动点 xB 为圆 (x - 2)2 + y 2 = 1上的动点 则| AB | 的最小值是A. 3B. 4C. 3D. 47.设命题 P ：所有正方形都是平行四边形。
则 ⌝p 为A. 所有正方形都不是平行四边形B. 有的平行四边形不是正方形C. 有的正方形不是平行四边形D. 不是正方形的四边形不是平行四边形8.若 a > b > c > 1 且 ac < b2则A. log a b > log b c > log c aB. log c b > log b a > log a cC. log b c > log a b > log c aD. log b a > log c b > log a c二、多项选择题：本题共 4 小题每小题 5 分共 20 分。
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆, 若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =； 若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =,综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C . 本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少,可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
山东省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题2020.2注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭2.若1iz i =+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3．已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为4.《九章算术·衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱超过甲C.乙应出的税钱约为32D.丙付的税钱最少 5. 若()2sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=A. 59-B. 49-C. 59D. 496.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 7.若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则A. c a b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c b a <<8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若12||3||MF MF =，则双曲线的离心率为A.3B.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是A. 该公司2019年度冰箱类电器营销亏损B. 该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低10.已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是A. ()f x 不是周期函数B. ()f x 奇函数C. ()f x 的图象关于直线4x π=对称D. ()f x 在52x π=处取得最大值 11.设A,B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是 A. 若OA OB ⊥，则||||2OA OB ≥ B. 若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0) C. 若OA OB ⊥， O 到直线AB 的距离不大于1 D. 若直线AB 过抛物线的焦点F ，且1||3AF =，则||1BF = 12.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 A.存在某个位置，使得；B.翻折过程中，的长是定值；C.若，则；D.若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量,a b r r 的夹角为30o ，(1)c ma m b =+-r r r，0b c ⋅=r r，则m =______．14.已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点2,6)，则该双曲线的离心率为 .15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．16. 已知函数()22,,x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，①若1a =，则不等式()2f x ≤的解集为__________；②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）在①()222316 3c S b a =+-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,设ABC V 的面积为S ,已知 . (1)求tan B 的值;(2)若42,10S a ==,求b 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. （12分）已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ； （Ⅱ）求二面角P AG C --的余弦值.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-()*n ∈N ，数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++()*n ∈N . （I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T <.20．（12分）某销售公司在当地A 、B 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A 、B 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：销售件数89 10 11以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X 表示这两家超市每日共销售食品件数，n 表示销售公司每日共需购进食品的件数.（1）求X 的分布列；（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在19n =与n 20=之中选其一，应选哪个？21. （12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=uu r uur uuu r，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.22.（12分）已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.高三数学模拟题二参考答案一、CDBB ABAC二、9.ACD 10.AC 11.ACD 12.BD三、13. 4+ 14. 2 15. 8π 16. (1). (-∞ (2). (,2)(4,)-∞⋃+∞ 17.解: 17.解: (1)选择条件①.由題意得()2228 3acsin B a c b =+-.即2224sin 32a c b B ac+-=g整理可得344 cosB sinB sin B -=，…………4分 又 0sin B >.所以 0cos B >,所以sin 3cos 4B tan B B ==.…………5分 选择条件②.因为5cos 45b C c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+，即sin (45cos )0C B -=，…………3分在ABC V 中，sin 0C ≠，所以4cos 5B =，3sin 5B ==,所以3tan 4B =.…………5分(2)由3 4tan B =，得35sin B =,又42, 10S a ==， 则1131042225S acsin B c ==⨯⨯=,解得14c =.…………7分 将42, 10,14S a c ===代入()222261636c S c a =++-中，得()2222614164231410b ⨯=⨯++-，解得b =…………10分18.（Ⅰ）证明：取AD 的中点为O ，连结OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连结GH .因为//AD BC ，12AB BC CD AD ===， 四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形，OB AC ∴⊥，//OB CD ，CD AC ⊥，…………2分因为PAD V 为等边三角形，O 为AD 中点，PO AD ∴⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =.PO ⊂平面PAD 且PO AD ⊥，PO ∴⊥平面ABCD ，…………4分因为CD ⊂平面ABCD ，PO CD ∴⊥，因为H ，G 分别为OB ， PB 的中点， //GH PO ∴，GH CD ∴⊥.………………5分又因为GH AC H ⋂= ，,AC GH ⊂平面GAC ，CD \^平面GAC .…………6分（Ⅱ）取BC 的中点为E ，以O 为空间坐标原点，分别以,,OE OD OP uu u r uuu r uur的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 设4=AD ，则()0,0,23P ，()0,2,0A -，()3,1,0C，()0,2,0D ，31,,32G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝(0,2,23)AP =u u u r ，33(,,3)2AG =uuu r ，…………8分设平面PAG 的一法向量(),,n x y z →=.由00n AP n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu r 2230333022y z x y z ⎧+=⎪⇒⎨++=⎪⎩3y z x z ⎧=-⎪⇒⎨=⎪⎩.令1z =，则(1,3,1)n =-r .由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量(,0)CD =u u u r，…………10分cos ,||||n CD n CD n CD ⋅<>==r uu u rr uu u r r uu ur ∴二面角P AG C --的平面角的余弦值为.…………12分19.解析：（I ）由12n n S a a =-， 当2n ≥时，1112n n S a a --=-， 两式相减得12n n a a -=，…………3分 因为14n n nb S a =++， 所以11164a a =++，解得11a =，……4分 所以数列{}n a 是公比为2，11a =的等比数列，{}n a 的通项公式为12n n a -=.…………6分（Ⅱ）由1221nn n S a a =-=-，得11232nn n b -=++，……7分 即()()11122121n nn n b --=++1112121n n -=-++，………………9分 所以011211111111212121212121n n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1112212n =-<+. ……………………12分 20.解：（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为12115555，，， .X 取值为16，17，18，19，20，21，22. ………………1分()111165525P X ==⨯=，()1241725525P X ==⨯⨯=；()22116182555525P X ==⨯+⨯⨯=； ()121161922555525P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11215202555525P X ==⨯+⨯⨯=； ()1122125525P X ==⨯⨯=()111225525P X ==⨯=，………………5分所以X 的分布列为………………6分（2） 当19n =时，记1Y 为A B ，销售该食品利润，则1Y 的分布列为()11466521145016001750190019502000205025252525252525E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1822=. ………………9分当20n =时，记2Y 为,A B 销售该食品利润，则2Y 的分布列为()21466521140015501700185020002050210025252525252525E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1804=.因为()()12E Y E Y > ，故应选19n =. ………………12分21. 解：(Ⅰ)由22222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2,a b c ===………………3分得椭圆C 的方程为22142x y +=. ………………4分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =-或1x =， 此时四边形OADB．………………5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222124240k x kmx m ⇒+++-= ()228420k m∆=+->，2121222424,1212km m x x x x k k--+==++ , ………………7分 ()121222212m y y k x x m k +=++=+AB =,点O 到直线AB的距离是d =………………9分由OA OB OD +=uu r uur uuu r 得，2242,1212D Dkm mx y k k -==++， 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，………………11分由题意四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为OADBS AB d===由22122k m+=得OADBS故四边形OADB．………………12分22.解：（1）由2()2lnf x x ax x=-+得2()2f x x ax'=-+；因为0x>，所以224xx+≥；因此，当4a≤时，2()20f x x ax'=-+≥在(0,)+∞上恒成立，所以()f x在(0,)+∞上单调递增；………………2分当4a>时，由2()20f x x ax'=-+>得2220x ax-+>，解得x>或4ax<<；由2()20f x x ax'=-+<得44a ax<<所以()f x在⎛⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；在⎝⎭上单调递减；………………4分综上，当4a≤时，()f x在(0,)+∞上单调递增；当4a>时，()f x在⎛⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；在44a a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭上单调递减.………………5分（2）若()f x有两个极值点()1212,x x x x<，由（1）可得，12,x x是方程2220x ax-+=的两不等实根，所以122ax x+=，121x x=，………………6分因此()()2221222111(2ln)(2ln)f x f x x ax x x ax x-=-+--+222222211212122222211212()()2ln 2ln 2ln x x x x x x x x x x x x x x x -++=-+=-+=+-，…7分 令22t x =，则2222222111()()2ln 2ln f x f x t t x x x t-=-+=-+； 由（1）可知2x =，当a ≥2x =≥=， 所以[)22,e t x ∈=+∞，………………10分 令1()2ln g t t t t=-+，[),t e ∈+∞， 则222221221(1)()10t t t g t t t t t-+-'=--+=-=-<在[),t e ∈+∞上恒成立； 所以1()2ln g t t t t=-+在[),t e ∈+∞上单调递减， 故max 1()()2g t g e e e==-+. 即()()21f x f x -的最大值为12e e -+.………………12分。
山东省2020年高考数学模拟考试试题及答案按珈密级苇项管理*启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）数学asw 项：1. 答卷前，考生务必将口己的姓名、考生号等填遞在答题卡和试卷指定位匿匕工回答选择题时，选岀每小题答案屁用铅抠把答题R上对应题冃的答案折号涂熾如磁动,用橡皮掠干净后，再选涂苴他答案标号*回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
另在本试卷上无效，生考试结束存*将本试卷和答題卡…井交回。
—、单项选择题：本趣共$小舐每小題§分・共豹分。
在每小题给出的四个选琐中，只有一项是符合髒目要求的“1, 迎集合/訂（工』）ix+?=2｝, 则*n七A. ｛（ij）｝氐｛（一签4）｝ C HM）J-2f4）｝6 02. 已知◎牛bi⑷b左R）是上二的共扳复数・则a^b =1 +1A- -1 B.-丄C- ；D・ 12 23* Bt向fi4-（.1,1）t A = c»（2,!）> 且（■-几血）丄―则丄“A. 3 氐2 G -2-34. 幵式中『抽系数足xA.-210B. -12QC. 120D. 2105+已知三按锥$_仙C中，ZSAB = ZABC= y * 5^-4• SC = 1J\3. XB = 2,5C = 6, 则三棱锥S 亠ABC的体积是A. 4B. 6 G 4巧D+ M6. 己知点丄为曲纯y二工+毀工:>0）上前动点，月为圆2F +/=!上的动点’则皿鋼X的最小值是九3 B•斗G迈 D. 4^27, 设命題戸所有正方形都是平行叫边母*则「卩为d所宿疋方形罰不長平行四边形B-有的平行四边底不是正方舷C”有的iE方形不是平行四边形 D.不是正方形的四边彫不是平行四边形数学试题第1页：（共5贡）数学试題第2页（共5页〉数学试題第2页（共5页〉8. 若>1 且 MC F ・则4. log 」、1隅疋、teg 評 C. log f c> lo£fl 5> lo 空 a二、多項远择题*本题共4」卜駆•毎小题5^-共20分・存毎小额给岀的选项中、右 多项精合倾目蓉求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选措的得0分“ 9. 下国为茱地桜2006年〜2018年地方財政预算内收入、城乡居民储齧年未余额折线2财政预篇内收入*城乡居民储蓄年朮余额肉呈増怅趋势 R.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C. 赃政预畀内收入年平均增长虽局于城乡居民储蔷年末余额年平均增机帚 D, 城乡居艮储蓄年末余鈿与财政预算内收入的差報逐年增大w.已知艰曲线＜?过点Q 品且渐近钱为丿=±¥厂则下列结论正确的是A, C 的方程为■- / -I B ・0的离心翠为J5 C ・曲线经过C 的一于焦点 D.直线"逅厂1“与C 有两个公共点11正方陣」肌也GO 的梭长为1・E , F 、（?分别为5C, CC 「1?鸟的中点•则扎直线与直线曲垂直 B.直^Afi 与平面*防平行C 平面/EF 截正方体所得的載画面积为? D.点C?与点石到平而*EF 曲聊离相諄B- log"〉k 唱』a lug/ D, log/A 】0£ 占 > log/城乡尿民储雷叶朿 ♦余额C 百亿元】 亠地方财政预算内 收入f 百亿元）根据该折线I ］可Sb 该地区2006年-2018年\2.函数/(巧的定义域为K, fi7(^ + 1) f(x^2)都为奇函数，则A. 奇函数氐/V)为周期雷数C /(x + 3)为奇函数 D. /(I +4)X J®^I数三填空駆本题共4小题、每小题3分，共20分。
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合4=(x|-4<x<3}>B={-5,-4,一3,—2},则AC\B={)A.{一4,一3,—2}B.(-3,-2}C・(-4,-3} D. {-5,-4)2.设，是虚数单位.如果复数z=M，其实部与虚部互为相反数，那么实数々=（）A.—3B.3C.—iD.3.某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到甲||乙如图所示的茎叶图，已知甲班6名同学成绩的平均数为82,乙班6名同学[6|7成绩的中位数为77,则z-y=（）, 7?：?：6x1|R25A.3B.-3C.4D. -40L L4.过焦点为F的抛物线y2=i2x上一点M向其准线作垂线，垂足为N,若直线NF的斜率为—手则|MF|=（）A.2B.2^3C.4D.4屯5.如图是一个算法流程图，则输出的〃的值为（）A. 3B. 4C.5D.6y-x<0,6.设%,y满足约束条件x+2y<4,则z=x—3y的最大值为（）（x-2y<2,A.4B. IC. -：D・27.一个正三棱柱的三视图如图所示，则该校柱的表面积为（）A. 24 +V3B. 24 + 2V3C. 14V 字 D・ 12焰8, 在等比数列｛%｝中，若Q1 = 2, %=16，则｛%｝的前5项和晃等于（）A. 30 B. 31 C. 62 D. 649. 函数/'（x ） = /4sin （anr + <p ）（其中4 > 0, 3 > 0. M < ?）的图象如图所示.为了得到g （x ） = sin2x的图象，则只需将『侦）的图象（）A.向左平移:个长度单位C.向右平移:个长度单位 B.向右平移?个长度单位D.向左平移;个长度单位1!哗＞.』3 -:r), T 1 . n 则/(2019)=()A i B.j C. j IL 3、已知 lg2 = a. Ig3 = t,则也 12 等于()A. B. fe + 2« C. « + 2iD 蓦D・u +护r f -（3/w + 1）k +3,X 。
2020年2月普通高考（山东卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230A x x x =--<，102B x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，则A B =U A ．1322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．32x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭C ．1-12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}1x x >-【答案】D【解析】由题可得：{}23230=12A x x x x x ⎧⎫=--<-<<⎨⎬⎩⎭；11022B x x x x ⎧⎫⎧⎫=->=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ {}1A B x x ⋃=>-，故选D.2．已知i 为虚数单位，复数(,)z a bi a b R =+∈，若1zi i =+，则+a b 的值为 A ．0 B ．1C ．2D ．-2【答案】A【解析】∵1zi i =+，∵()11111i i i iz i i i i ++-+====-⨯-，又z a bi =+， ∵1a =，1b =-， ∵0a b +=．故选A ．3．已知2()2f x x bx c =-++，不等式()0f x >的解集为()-1,3.若对任意的[]1,0x ∈-，()4f x m +≥恒成立，则m 的取值范围是A ．](-2∞，B ．[)4+∞，C ．[)2+∞， D ．](-4，∞【答案】B 【解析】因为()0f x >的解集为()1,3-，故220x bx c -++=的两个根为1,3-，所以132132cb ⎧-=-⨯⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 即46bc =⎧⎨=⎩ ，令()()g x f x m =+，则()()22246218g x x x m x m =-+++=--++，由[]1,0x ∈-可以得到()min g x m =，因()4g x ≥在[]1,0-上恒成立，故4m ≥，故选B.4．若展开()(2)(3)(4)(5)a a a a a +1++++，则展开式中3a 的系数等于 A ．在23451，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和 B ．在23451，，，，中所有任取三个不同的数的乘积之和 C ．在23451，，，，中所有任取四个不同的数的乘积之和D ．以上结论都不对 【答案】A【解析】展开（a +1）（a +2）（a +3）（a +4）（a +5），则展开式中a 3的系数可以看成三个因式取a ， 其余的两个因式是从23451，，，，的5个数中任意取两个不同的数进行乘积，再作和．故选A ．5．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点，P 点在线段B 1C 上，则NP 与平面AMC 1的位置关系是A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．要依P 点的位置而定【答案】B【解析】连接B 1N ，因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点， 所以C 1M∵NC ．因为C 1M 不在平面NCB 1内，NC∵平面NCB 1， 所以C 1M∵平面NCB 1.同理可得AM∵平面NCB 1.又因为C 1M∩AM ＝M ，AM ⊂平面C 1AM ，C 1M ⊄平面C 1AM ， 所以平面C 1AM∵平面NCB 1.又因为P 点在线段B 1C 上，所以NP∵平面C 1AM ，故选B ． 6．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为A ．-7B ．7C ．1D ．-1【答案】B 【解析】因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=-，即tan 2α=-， 又()1tan 3αβ+=，则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7，故选B. 7．已知单位向量1e r 与2e r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-r r r 与123b e e =-r r r 的夹角为β，则cos β等于 A．3B．2C．3D．3【答案】C【解析】()2222121122329124912cos 49a e e e e e e α=-=-⋅+=-+=r r rr r r rQ3a ∴=r()222212112239696cos 18b e e e e e e α=-=-⋅+=-+=r r r r r r rQb ∴=r又()()221212112232399299cos 28a b e e e e e e e e α⋅=-⋅-=-⋅+=-+=r r r r r r r r r rcos 3a b a b β⋅∴===⋅r r r r ，故选C.8．已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，则点M 到直线3460x y --=的距离的最大值为 A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线与圆组方程组，224(2)4y k x x y =+⎧⎨++=⎩（）消y 得2222(1)(84)160k x k x k ++++=，212121222(84)4,(8)11k kx x y y k x x k k -++=+=++=++ 所以20202(42)1()21k x k k ky k ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参，消参得22(3)1x y ++=，圆心N(-3，0)到直线的距离1535d -==，所以最大值为d+r=4，故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，发生改变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】BCD【解析】中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选BCD ． 10．已知抛物线2:2C y px=()0p >的焦点为FF ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是A ．4p =B ．DF FA =u u u ru u u rC ．2BD BF = D ．4BF =【答案】ABC 【解析】如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l ，其倾斜角为60o ，//AE x Q 轴，60EAF ∴∠=o ，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=o ，则30PEF ∠=o ，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==Q ，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =u u u r u u u r，B 选项正确；60DAE ∴∠=o ，30ADE ∴∠=o ，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =Q ，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选ABC.11．如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连接1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥;B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π. 【答案】BD【解析】对于A ，取AD 的中点为E ，连接CE 交MD 于点F ，如图1则1//AB NE ，1//MB NF ，如果1CN AB ⊥，则EN CN ⊥， 由于11AB MB ⊥，则EN NF ⊥，由于三线,,NE NF NC 共面且共点，故这是不可能的，故不正确； 对于B ，如图1，由1NEC MAB ∠=∠，且11,2NE AB AM EC ==， ∴在CEN ∆中，由余弦定理得：2222cos NC NE EC NE EC NEC =+-⋅⋅∠，也是定值，故NC 是定值，故正确； 对于C ，如图2AB BM =Q ，即11AB B M =，则1AM B O ⊥若1AM B D ⊥，由于111B O B D B =I ，且11,B O B D ⊂平面1ODB ，AM ∴⊥平面1ODB ，OD ⊂平面1ODB ，OD AM ∴⊥，则AD MD =，由于AD MD ≠，故1AM B D ⊥不成立，故不正确； 对于D ，根据题意知，只有当平面1B AM ⊥平面AMD 时，三棱锥1B AMD -的体积最大，取AD 的中点为E ，连接1,,OE B E ME ，如图2，1AB BM ==Q ，则111AB B M ==，且11AB B M ⊥，平面1B AM ⋂平面AMD AM =1B O AM ∴⊥，1B O Ì平面1B AM1B O ∴⊥平面AMD ，OE ⊂平面AMD1B O OE ∴⊥，则AM =112B O AM ==11222OE DM AM ===，从而11EB ==， 易知1EA ED EM ===AD ∴的中点E 就是三棱锥1B AMD -的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4π，故D 正确； 故选BD.12．定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，若0a >，0b >，则下列结论中正确的是A ．()ln lnba b a ++=B ．()ln lnln ab a b +++=+C ．()lnln ln a b a b ++++≥+D ．()lnln ln ln 2a b a b ++++≤++【答案】AD【解析】对A ，当01a <<，0b >时，有01b a <<，从而()ln0ba +=，ln00b a b +=⨯=，所以()lnlnba b a ++=；当1a ≥，0b >时，有1b a ≥，从而()ln ln ln b ba ab a +==，ln ln b a b a +=，所以()lnlnba b a ++=．所以当0a >，0b >时，()ln lnba b a ++=，故A 正确．对B ，当14a =，2b =时满足0a >，0b >，而()1ln ln02ab ++==，1ln ln ln ln 2ln 24a b +++++=+=，所以()lnln ln ab a b +++≠+，故B 错误；对C ，令2a =，4b =，则()ln 24ln6++=，ln2ln 4ln 2ln 4ln8+++=+=，显然ln6ln8≠，故C 错误；对D ，由“正对数”的定义知，当12x x ≤时，有12ln ln x x ++≤，当01a <<，01b <<时，有02a b <+<， 从而()ln ln 2ln 2a b +++<=，lnln ln 200ln 2ln 2a b ++++=++=，所以()lnln ln ln 2a b a b ++++<++；当1a ≥，01b <<时，有1a b +>， 从而()()()()ln ln ln ln 2a b a b a a a ++=+<+=，()ln ln ln 2ln 0ln 2ln 2a b a a ++++=++=， 所以()lnln ln ln 2a b a b ++++<++；当01a <<，1b ≥时，有1a b +>， 从而()()()()ln ln ln ln 2a b a b b b b ++=+<+=，()ln ln ln20ln ln2ln 2a b b b ++++=++=， 所以()lnln ln ln 2a b a b ++++<++；当1a ≥，1b ≥时，()()ln ln a b a b ++=+，()ln ln ln 2ln ln ln 2ln 2a b a b ab ++++=++=，因为()()()2110ab a b ab a ab b a b b a -+=-+-=-+-≥，所以2ab a b ≥+，所以()lnln ln ln 2a b a b ++++≤++．综上所述，当0a >，0b >时，()ln ln ln ln 2a b a b ++++≤++，故D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．下列说法不正确的是_____________（填序号）．∵“若2560x x -+=，则2x =或3x =”的否命题为“若2560x x -+≠，则2x ≠或3x ≠”； ∵“11()()22xy>”是“ln ln x y <”的充要条件；∵“函数2()log f x x m =-在(16,)+∞上无零点”的充分不必要条件是“3m <”． 【答案】∵∵【解析】∵“若2560x x -+=，则2x =或3x =”的否命题为“若2560x x -+≠，则2x ≠且3x ≠”，故∵错；∵由11()()22xy>得，x y <，但,x y 正负不确定，不能推出ln ln x y <，故∵错；∵当(16,)∈+∞x 时，2()log (4,)=-∈-+∞f x x m m ，且2()log f x x m =-单调递增， 若函数2()log f x x m =-在(16,)+∞上无零点，则40-≥m ，即4m ≤，不能推出3m <；但由3m <能推出4m ≤，故函数2()log f x x m =-在(16,)+∞上无零点”的充分不必要条件是“3m <”， ∵正确. 故答案为∵∵14．元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有__________种不同取法．（用数字作答）【答案】1680【解析】由题可得共有993333331680A A A A =种不同的取法.15．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF ∆的内切圆与边AB ，2BF ，2AF 分别相切于点M ，N ，P ，且4AP =，则a 的值为________.【答案】2 【解析】由题意知BM BN =，22F P F N =，AM AP =.根据双曲线的定义，知1212BF BF MF NF -=-，212AF AF a -=，则122AF AF a =-，所以1212BF BF MA AF NF -=+- 222822MA AP PF a NF a a =++--=-=，所以2a =.16．（本题第一空2分，第二空3分）古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”，下图是第一至第四个四面体数，（已知()()22221211236n n n n +++++⋅⋅⋅+=）观察上图，由此得出第5个四面体数为______（用数字作答）；第n 个四面体数为______. 【答案】35()()1126n n n ++ 【解析】由题， 第一个四面体数为1； 第二个四面体数为()112++；第三个四面体数为()()112123+++++； 第四个四面体数为()()()11+2+1+2+3+1+2+3+4+ ……由此可归纳，第n 个四面体数为()()()112123123n +++++++++++LL即为()11362n n +++++L 设该式中的每个数从左至右的排列为数列{}n a ，即{}n a 为：1，3，6，10，…… 得到递推关系为212a a -=，323a a -=，…，1n n a a n --=，相加后得()()()21211222n n n a a nn +--==+-()212n a n n ∴=+，故数列{}n a 的和()()()()()()22222222111112233123123222n S n n n n ⎡⎤=+++++++=++++++++⎣⎦L L L ()()()()()1211111=1226226n n n n n n n n +++=⋅+⋅++ ∴当5n =时，1567356n S =⨯⨯⨯= 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件∵()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，∵sin cos()6a Bb A π=+，∵sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】若选∵：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-， 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选∵：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 22A A A =-，即tan 3A =，因为0A π<<，所以6A π=.又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc =24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选∵：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A +=π-， 所以cos 2sin cos 222A A A=，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠，1sin 22A ∴=，26A π=，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 18．（12分）已知n S 为数列n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+，且1n n a b =.(1)求数列{}n b 的通项公式n b ；(2)求满足122311...7n n b b b b b b ++++<的n 的最大值. 【解析】(1)当1n =时，13a =；当2n ≥时，2243n n n a a S +=+∵2111243n n n a a S ---+=+∵∵-∵整理得12n n a a --=21n a n =+，所以121n b n =+. (2)设111(21)(21)n n n c b b n n --==-+所以122311111111......235572121n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭1112321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭令1111023217n ⎛⎫--< ⎪+⎝⎭，解得10n <，所以n 的最大值为9. 19．（12分）由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题一讲题一再刷题”的模式，效果不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型一刷题一检测效果”的模式，并记录了某学生的记题型时间t （单位：h ）与检测效果y 的数据如下表所示.（1）据统计表明，y与t 之间具有线性相关关系，请用相关系数r 加以说明（若||0.75r ≥，则认为y 与t 有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）； （2）建立y 关于t 的回归方程，并预测该学生记题型8h 的检测效果；（3）在该学生检测效果不低于3.6的数据中任取2个，求检测效果均高于4.4的概率.参考公式：回归直线y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a yb x ∧∧=-，相关系数()()niix x y y r --=∑参考数据： 4.3y =，()7217.08ii y y =-=∑，()()7114i ii t ty y =--=∑14.08≈.【解析】（1）由题得123456747t ++++++==，()721941014928i i t t =-=++++++=∑，所以，()()70.990.75ii ty y r t--==≈>∑所以y 与t 有很强的线性相关关系.（2）由（1）可得()()()71721140.528ii i i i tty y b t t ∧==--===-∑∑，所以 4.30.54 2.3a y b t ∧∧=-=-⨯=， 所以y 关于t 的回归方程为0.5 2.3y t ∧=+. 当8t =时，0.58 2.3 6.3y ∧=⨯+=， 所以预测该学生记题型8h 的检测效果约为6.3.（3）由题知该学生检测效果不低于3.6的数据有5个，任取2个数据有()3.6,4.4，()3.6,4.8，3.6,( 5.2)，()3.6,5.9，()4.4,4.8，()4.4,5.2，()4.4,5.9，()4.8,5.2，()4.8,5.9，()5.2,5.9共10种情况，其中检测效果均高于4.4的有()4.8,5.2，()4.8.5.9，()5.2.5.9，共3种结果， 故所求概率为310. 20．（12分）如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证：平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 【解析】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =2BC =.又Q 平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFQ CD ⊂平面CDE ， ∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-u u u r，(,)0BM m DB ==u u u u r u u u r设平面BMC 的法向量为(),,n x y x =r00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v，即(100y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =3,y z m ==，平面BMC的一个法向量为)n m =r.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>r u u u r,n BD n BD==r u u u r r u u u r g∴当0m =，当m =时取最大值12故BD与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦.21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.()1求椭圆C 的方程；()2过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【解析】()1由题意得222222c b a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：221,42x y += ()2设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞22．（12分）已知函数()()ln 1x f x ax a R x-=-∈. （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若1a <-，求函数()f x 的单调区间； （3）若12a <<，求证：()1f x <-.【解析】（1）若0a =，则()11f =-，()()22,12lnxf x f x''-==， 所以()f x 在点()1,1-处的切线方程为230x y --=.（2）()()2220,,.ax lnxx f x x --∈+∞'= 令()22g x ax lnx =--，则()221ax g x x-='-.令()0g x '=，得x =依题意102a ->)由()0g x '>，得x >由()0g x '<，得0x <<所以，()g x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增所以，()52min g x g ==-因为1a <-，所以110,022a <-<<. 所以()0gx >，即()0f x '>.所以函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞.（3）由()0,1x f x ><-，等价于11lnx ax x--<-， 等价于210ax x lnx -+->. 设()21hx ax x lnx =-+-，只须证()0h x >成立.因为()212121,12,ax x h x ax a x x--='--=<<由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根.令其正根为0x ，则200210ax x --=.在()00,x 上()0h x '<，在()0,x +∞上()0h x '>则()hx 的最小值为()200001h x ax x lnx =-+-00001123.2x x lnx x lnx +=-+--=-又()131220,230,222a h a h a ⎛⎫⎛⎫=->=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭'⎝⎭'所以01 1.2x << 则030,0.2x lnx ->-> 因此0030,2x lnx -->即()00.h x > 所以()0h x >.所以()1f x <-.。
