2020高考数学全国卷——新高考数学山东卷

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =（）A.{x |2<x ≤3} B.{x |2≤x ≤3} C.{x |1≤x <4} D.{x |1<x <4}2.2i12i-=+（）A.1B.−1C.iD.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20° B.40° C.50° D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62% B.56% C.46% D.42%6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A.()2,6- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-+∞ D.[1,0][1,3]- 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则CC.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线10.下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A.πsin(3x +B.πsin(2)3x - C.πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A.2212a b +≥B.122a b-> C.22log log 2a b +≥- D.≤12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C.若1(1,2,,)i p i n n== ，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．14.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．16.已知直四棱柱ABCD –A1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国一卷（山东卷）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A B =A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<答案：C解析：利用并集的定义可得{|14}A B x x =≤< ，故选C.2．2i 12i -=+A ．1B ．−1C ．iD ．−i 答案：D 解析：222i (2i)(12i)(22)(41)i i 12i 125----+--===-++，故选D3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种答案：C解析：不同的安排方法有123653C C C 60⋅⋅=4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°答案：B 解析：因为晷面与赤道所在平面平行，晷针垂直晷面，所以晷针垂直赤道所在平面，如图所示，设AB 表示晷针所在直线，且AB OB ⊥，AC 为AB 在点A 处的水平面上的射影，则晷针与点A 处的水平面所成角为BAC ∠，因为OA AC ⊥，AB OB ⊥，所以BAC AOB ∠=∠，由已知40AOB ∠=︒，所以40BAC ∠=︒，故选B5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%答案：C解析：既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例=60%+82%－96%=46%，故选C6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，。

2020年⼭东省新⾼考数学试卷⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

1．（5分）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4} 2．（5分）＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）6名同学到甲、⼄、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，⼄场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排⽅法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4．（5分）⽇晷是中国古代⽤来测定时间的仪器，利⽤与晷⾯垂直的晷针投射到晷⾯的影⼦来测定时间．把地球看成⼀个球（球⼼记为O），地球上⼀点A的纬度是指OA与地球⾚道所在平⾯所成⻆，点A处的⽔平⾯是指过点A且与OA垂直的平⾯．在点A处放置⼀个⽇晷，若晷⾯与⾚道所在平⾯平⾏，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的⽔平⾯所成⻆为（）A．20°B．40°C．50°D．90°5．（5分）某中学的学⽣积极参加体育锻炼，其中有96%的学⽣喜欢⾜球或游泳，60%的学⽣喜欢⾜球，82%的学⽣喜欢游泳，则该中学既喜欢⾜球⼜喜欢游泳的学⽣数占该校学⽣总数的⽐例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%6．（5分）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天7．（5分）已知P是边⻓为2的正六边形ABCDEF内的⼀点，则•的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，6）8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x ﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]⼆、选择题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）
A. {x |2<x ≤3}
B. {x |2≤x ≤3}
C. {x |1≤x <4}
D. {x |1<x <4} 2.（ ） 2i 12i -=+A. 1
B. −1
C. i
D. −i
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A. 120种
B. 90种
C. 60种
D. 30种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）。

2020年全国新高考Ⅰ卷高考数学（山东卷）副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|1x3}，B={x|2<x<4}，则A B=()A. {x|2<x3}B. {x|2x3}C. {x|1x<4}D. {x|1<x<4.}2.=()A. 1B. −1C. iD. −i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬，则晷针与点A 处的水平面所成角为()A. B. C. D.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例时()A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%6.基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(t)=描述累计感染病例数(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足=1+rT.有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(20.69)()A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是()A. (−2,6)B. (−6,2)C. (−2,4)D. (−4,6)8.若定义在R上的奇函数f(x)在(−，0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)0的x的取值范围是()A. [−1,1][3,+)B. [−3,−1][0,1]C. [−1,0][1,+)D. [−1,0][1,3]二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知曲线C:+=1()A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=D. 若m=0，n>0，则C是两条直线10.如图是函数y=(x+)的部分图象，则(x+)=()A. (x+)B. (−2x)C. (2x+)D. (−2x)11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A. +B. >C. a+b−2D. +12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且P(X=i)=>0(i=1,2，，n)，=1，定义X的信息熵H(X)=−()A. 若n=1，则H(x)=0B. 若n=2，则H(x)随着的增大而增大C. 若=(i=1,2，，n)，则H(x)随着n的增大而增大D. 若n=2m，随机变量Y的所有可能取值为1，2，，m，且P(Y=j)=+(j=1,2，，m)则H(X)H(Y)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.斜率为的直线过抛物线C:=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=__________．14.将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{}，则{}的前n项和为__________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC DG，垂足为C，ODC=，BH DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为__________．16.已知直四棱柱ABCD−的棱长均为2，BAD=，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，，__________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知公比大于1的等比数列{}满足+=20，=8．(1)求{}的通项公式;(2)记为{}在区间(0,m](m)中的项的个数，求数列{}的前100项和．19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度(单位：g/)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据，完成下面的22列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关?附：=，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.8416.63510.82820.(12分)如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为．(1)证明：l平面PDC;(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21.已知函数f(x)=−x+a.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)1，求a的取值范围．22.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．(1)求C的方程;(2)点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查并集运算，属于容易题．【解答】解：A⋃B={x|1≤x<4}．故选C2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数除法运算，属于容易题．【解答】解：2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−i．故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查组合问题，属于容易题．【解答】解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安排到丙场馆，安排方法有C61C52C33=60.故选C4.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间线面角问题，考查空间想象能力，属于容易题．【解答】解：作截面图可知，晷针与点A处的水平面所成角α=40∘．故选B5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题．【解答】解：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为A·B事件，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A·B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例，46%．故答案为：C．6.【答案】B【解析】【分析】本题结合实际问题考查指数对数化简求值，属于基础题．【解答】解：将R0=3.28，T=6代入R0=1+rT，得r=R0−1T =3.28−16=0.38,由2=e0.38t得t=ln20.38=0.690.38≈1.8.故选B．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积，属于中档题． 【解答】解：AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >, 由投影定义知，当点P 与点F 重合时， AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=4cos120∘=−2,当点P 与点C 重合时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=8×(cos30∘)2=6.故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(−2,6)． 故选A ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查函数奇偶性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，难度一般． 【解答】解：根据题意，不等式xf(x −1)⩾0可化为{x ⩾0f(x −1)⩾0 或{x ⩽0f(x −1)⩽0, 由奇函数性质得，f(x)在上单调递增，所以{x ⩾0x −1⩾0x −1⩽2或{x ⩽0x −1⩽0x −1⩾−2，解得1⩽x ⩽3或−1⩽x ⩽0．满足xf(x −1)⩾0的x 的取值范围是x ∈[−1,0]∪[1,3]． 故选D ．9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，难度一般． 【解答】解：mx 2+ny 2=1可化为x 21m+y 21n=1，若m>n>0，则1m <1n，故x21m+y21n=1表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；若m=n>0，mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n ，表示圆心为原点，半径为√1n的圆，故B错误；若mn<0，则C是双曲线，令mx2+ny2=0,故其渐近线方程为y=±√−mnx，故C正确；若m=0，n>0，mx2+ny2=1可化为y2=1n ，即y=±√1n，表示两条直线，故D正确．故选ACD．10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，难度一般．利用排除法逐一判断即可．【解答】解：由图可知x=π6时，y=0，逐一代入可排除A；x=0时，y>0，逐一代入可排除D；x=π3时，y<0，BC满足，且sin(π3−2x)=cos(2x+π6)，综上，可知BC正确．故选BC．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查利用不等式比较大小，函数性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．结合各选项依次判断即可．【解答】解：因为a>0，b>0，且a+b=1，所以a 2+b 2=a 2+(1−a)2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12，故A 正确； 由已知得0<a <1，0<b <1，所以−1<a −b <1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b)24=−2，当且仅当a =b 时，等号成立，故C 错误；(√a +√b)2=a +b +2√ab ≤1+2√(a+b)24=2，则√a +√b ≤√2，当且仅当a =b 时，等号成立，故D 正确， 故选ABD ．12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的应用，重点考查对新定义的理解，属于难题． 【解答】解：A 选项中，由题意知p 1=1，此时H(X)=−1×log 21=0，故A 正确； B 选项中，由题意知p 1+p 2=1，且p 1∈(0,1)，H(X)=−p 1log 2p 1−p 2log 2p 2=−p 1log 2p 1−(1−p 1)log 2(1−p 1)， 设f(x)=−xlog 2x −(1−x)log 2(1−x)，x ∈(0,1) 则f′(x)=−log 2x −1ln2+log 2(1−x)+1ln2=log 2(1x −1)， 当x ∈(12,1)时，f′(x)<0，当x ∈(0,12)时，f′(x)>0， 故当p 1∈(0,12) 时，H(X)随着p 1的增大而增大， 当p 1∈(12,1) 时，H(X)随着p 1的增大而减小，故B 错误； C 选项中，由题意知H(X)=n ×(−1n )log 21n =log 2n ， 故H(X)随着n 的增大而增大，故C 正确．D 选项中，由题意知H(Y)=−∑(p j +p 2m+1−j )m j=1log 2(p j +p 2m+1−j )，H(X)=−∑p j 2m j=1log 2p j =−∑(p j m j=1log 2p j +p 2m+1−j log 2p 2m+1−j )，H(X)−H(Y)=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j m j=1−∑(log 2p j p j+m j=1log 2p 2m+1−j p 2m+1−j ) =∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j p jp j p 2m+1−jp 2m+1−jm j=1=∑log 2(p j +p 2m+1−j )pj (p j +p 2m+1−j )p 2m+1−jp jp j p2m+1−jp 2m+1−j m j=1=∑log 2(1+p 2m+1−j p j )p j (1+p jp 2m+1−j)p 2m+1−jm j=1>0,故D 错误， 故答案为AC ．13.【答案】163【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，焦点弦的求法，属于基础题．先求出抛物线的交点坐标，从而求出直线方程，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系从而可求得焦点弦． 【解答】解：抛物线C:y 2=4x 的焦点为(1,0)， 则直线AB 的方程为y =√3(x −1)， 联立{y =√3(x −1),y 2=4x得3x 2−10x +3=0， 所以x 1+x 2=103，从而 |AB |=x 1+x 2+p =103+2=163，故答案为：163．14.【答案】3n 2−2n【解析】【分析】本题考查数列的特定项与性质以及等差数列求和，是基础题． 【解答】解：数列{2n −1} 的首项是1，公差为2的等差数列；数列{3n−2}的首项是1，公差为3的等差数列；公共项构成首项为1，公差为6的等差数列;故{a n}的前n项和S n为：S n=1×n+n×(n−1)2×6=3n2−2n．故答案为3n2−2n．15.【答案】52π+4【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，结合题意确立对应的角和边的长度以及比例关系，最后算出大的扇形面积和三角形面积减去小半圆的面积即可求解，是中档题．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x，由题意中的长度关系易知∠AGD=45∘，同理∠AHO=45∘，可得▵AOH为等腰直角三角形，可得OJ=AJ=√22x，OL=JK=5−√22x，DL=DK−LK=DK−OJ=7−√22x，其中OLDL =35，可得5−√22x7−√22x=35，解得x=2√2，S阴影=S扇形+S▵AOH−12S圆O=12×3π4×(2√2)2+12×(2√2)2−12π=52π+4cm2，故答案为52π+4．16.【答案】√2π2【解析】【分析】本题考查空间几何体的外接球与面的交线问题，注意球心到面的距离和形成的交线位置与所对应得圆弧和圆心角，这是本题的难点．【解答】解：直四棱柱边长为2，底面是边长为2的菱形，侧面是边长为2的正方形，又∵∠BAD= 60∘,可得∠D1C1B1=60∘，点D1到面BB1C1C的距离即为点D1到线B1C1的距离，即为√3，则根据勾股定理可得截面的圆半径为r=√5−3=√2，与侧面BB1C1C所形成的为一段圆弧长，其圆心角为π2，故形成得交线长为l=π2×√2=√22π．故答案为√2π2．17.【答案】解：sin A=√3sin B，故有a=√3b，C=π6，由余弦定理得：，有；假设三角形存在，若选①，有ac=√3，则有，则a=√3,b=1,c=1．故存在满足题意的三角形，c=1．若选②，有csin A=3，则有，则sin A=√32，故c=2√3，a=6,b=2√3,．故存在满足题意的三角形，c=2√3．若选③，其中由题意有a=√3b,a=√3c，则有b=c，这和c=√3b矛盾，故不存在满足题意的三角形．【解析】本题考查解三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，判断三个边的关系与求值，是中档题．若选①，可利用已知条件得到的a,b,c 的关系，代入ac =√3 求解即可． 若选②，可利用已知条件得到的a,b,c 的关系，求出cos A ，从而求出c =2√3． 若选③，可利用已知条件得到的a,b,c 的关系，和第三个条件矛盾，从而无此三角形．18.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q ，且q >1，∵a 2+a 4=20，a 3=8，∴{a 1q +a 1q 3=20a 1q 2=8,解得{a 1=32q =12(舍)或{a 1=2q =2, ∴数列{a n }的通项公式a n =2n ;(2)由(1)知a 1=2，a 2=4，a 3=8，a 4=16，a 5=32，a 6=64，a 7=128， 则当m =1时，b 1=0，当m =2时，b 2=1，以此类推，b 3=1，b 4=b 5=b 6=b 7=2，b 8=...=b 15=3，b 16=...=b 31=4，b 32=...=b 63=5，b 64=...=b 100=6，∴S 100=b 1+b 2+...+b 100=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480.【解析】本题考查了数列求和及等比数列通项公式，属中档题．(1)根据等比数列通项公式列出方程，求出首项和公比，即可求出通项公式; (2)根据等比数列通项公式，归纳数列{b m }的规律，从而求出其前100项和． 19.【答案】解：(1)根据题意可知，基本事件总数为100， “该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的基本事件个数为64， 由古典概型概率公式p =64100=1625，即事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率1625； SO 2 PM2.5[0,150](150,475] [0,75] 64 16 (75,150]10 10(3)由(2)中的数值，代入公式k 2=100×(64×10−10×16)2(64+16)×(10+10)×(64+10)×(16+10)≈7.484>6.635， 因此，有99％的把握认为该市一天空气中P M 2.5浓度与SO 2浓度有关．【解析】本题考查了独立性检验、2×2列联表及古典概型，属中档题．(1)根据题意确定基本事件总数和满足条件的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可;(2)根据题意确定各范围内对应的数量即可；(3)利用(2)中的2×2列联表里的数值，代入公式计算即可．20.【答案】解：底面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，，∵ABCD 为正方形，∴AD ⊥DC ，又∵PD ∩DC =D ，且PD 、DC 在平面PDC 内， ∴AD ⊥平面PDC ，∵AD//BC ，且BC ⊂平面PBC ，平面PBC ， ∴AD//平面PBC ，又∵平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，且AD ⊂平面PAD ， ∴AD//l ，∴l ⊥平面PDC ；(2)建立空间直角坐标系如图所示：由PD =AD =1，得P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设点Q 的坐标为(t,0,1)，平面QCD 的法向量为n⃗ =(x 0,y 0,z 0)， 则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0,1)，即有{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，亦即{y 0=0tx 0+z 0=0, 取x 0=1，得n⃗ =(1,0,−t)， 又设PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 夹角为α，PB 与平面QCD 所成角为θ， 则cosα=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1×1+1×0+(−1)×(−t)√3×√1+t 2=1+t √3×√1+t 2，于是sinθ=|1+t|√3×√1+t 2=1√3×√1+2t+t 21+t 2，当t =0时，sinθ=√33，当时，sinθ=1√3×√1+2t+t 21+t 2=1√3×√1+2−[1(−t)+(−t)]，又−[1(−t)+(−t)]≤−2(当且仅当t =−1 时，取等号)，即得0≤sinθ<√33，当时，sinθ=√3×√1+2t+t 21+t 2=√3√1+21t+t，又1t +t ≥2(当且仅当t =1 时，取等号)，即得√33<sinθ≤√63，综上可知，PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为√63.【解析】本题考查了线面角的求解及线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理和性质定理，难度较大．(1)本题先证明AD⊥平面PDC，再证明AD//平面PBC，再利用线面平行性质定理证得AD//l，从而证得l⊥平面PDC；(2)本题可以建立空间直角坐标系，设出Q点坐标，求出PB⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面QDC的法向量，再利用向量夹角公式求解，再结合基本不等式可求出PB与平面QCD所成角的正弦值最大值．21.【答案】解：▵当a=e，f(x)=e x−lnx+1，f′(x)=e x−1x,k=f′(1)=e−1,f(1)=e+1，所以切线方程为：y−e−1=(e−1)(x−1)，即y=(e−1)x+2，所以切线在y轴上截距为2，在x轴上的截距为21−e，所以三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1．▵f(x)=ae x−1−lnx+lna=e lna+x−1−lnx+lna，要使f(x)≥1，只需e lna+x−1−lnx+lna≥1，即e lna+x−1+lna−1≥lnx，即e lna+x−1+lna−1+x≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(x)=e x+x，故只需g(lna+x−1)≥g(lnx)，因为g(x)为增函数，只需证lna+x−1≥lnx，即lna≥lnx+1−x，设ℎ(x)=lnx+1−x，ℎ′(x)=1x −1=1−xx，所以ℎ(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，ℎ(x)max=ℎ(1)=0，所以lna ≥0，a ≥1，即a 的取值范围为[1,+∞)．【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性问题，属于较难题． ▵根据导数的几何意义进行计算即可．▵把条件进行等价转化，利用导数研究函数的单调性、最值，再根据函数的单调性得不等式，求解即可．22.【答案】▵解：由题意可知c a =√22，4a 2+1b 2=1，a 2=b 2+c 2， 解得a 2=6，b 2=3， 所以椭圆方程为x 26+y 23=1．▵证明：设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 因为AM ⊥AN ，所以y 1−1x1−2⋅y 2−1x 2−2=−1，所以y 1y 2−(y 1+y 2)+1=−x 1x 2+2(x 1+x 2)−4，① 设MN:y =kx +m ， 联立{y =kx +m,x 2+2y 2=6得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0， 由Δ>0，得6k 2−m 2+3>0，由根与系数的关系得x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m 1+2k 2， y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−6k 21+2k 2，代入①式化简可得4k 2+8km +(m −1)(3m +1)=0， 即(2k +m −1)(2k +3m +1)=0， 所以m =1−2k 或m =−2k+13，所以直线方程为y =kx +1−2k 或y =kx −2k+13，所以直线过定点(2,1)或(23,−13)， 又因为(2,1)和A 点重合，故舍去， 所以直线过定点E(23,−13)，所以AE 为定值，又因为▵AED 为直角三角形，AE 为斜边， 所以AE 中点Q 满足|QD|为定值2√23，此时Q(43,13)．【解析】本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题． ▵根据条件列方程求解即可．▵联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为−1化简即可证明．。

保密★启用前2020年山东省高考数学试卷题号—四总分得分注意事项：1.答题前境写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选飓I-设集合』=国1安3,刀二（同254},则二（）A.{x|2<x<3}B.{x|2冬3}C.{x\l<x<4}D.(x|l<.r<4}c2・i<)】+2iA.1B.-1C.iD.—i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，何名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种4.日曹是中国占代用来测定时间的仪器，利用与昌面玳立的岩针投射到岳面的影子来测定时间.把地球看成-•个球（球心记为O），地球上一点刃的纬度是指&4勺地球赤道所在平面所成角，点/处的水平而是指过点.4旦与OA垂宜的平面.在点X处放迎一个日号，若妙面与赤道所在平面平行，点X处的纬度为北纬40。

则曷针与点为处的水平面所成角为（）oA.20°B.40C.S(PD.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生总欢足球或游泳，60%的学生O 喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（A.62%B.56%，C.46%D.42%6.基本再生数/?。

.与世代间隔r是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指•个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/«）=矿描述累计感染病例数/（，）随时间r（单位:天）的变化规O 体，指数增长率尸与R。

，7•近似满足汽。

=1+尸70学者基于己有数据估计出仇=3.2X,E>.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（1应二0.69）A. 1.2天B. 1.8天C.25天D. 3.5天7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点.则而•而的取值范围是（A.(-2.6)B,(—6,2)O※※粟※※她※※^ !※※急※※上※※漓※※七※※共※※/※※磐※米C.(-2,4)D.(-4,6)8.若定义在A的奇函数/W在gO）单调递减,且.42）=0,则满足xf（x-\）>Q fiijx的取值范闱是（A.[-U1UIX+X)B.[-X-1JUI0J]£C•[一l,0]u[l,E D.[T,0]5L3]评卷人得分O.。

2020年山东新高考数学试题
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=
A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}
2．2i
12i
-
=
+
A．1B．−1C．i D．−i
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A．120种B．90种C．60种D．30种
4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为
A．20°B．40°C．50°D．90°。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1 B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 的一点，则AP AB ⋅的取值围是A ．()2,6-B ．()6,2-C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国I 卷（山东）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =＜＜，则 A B =∪ （ ）A .}{23xx ＜≤B .}{23xx ≤≤C .}{14x x <≤D .}{14x x ＜＜ 2.2i=12i-+（ ）A .1B .1-C .iD .i -3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A .120种B .90种C .60种D .30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A .20︒B .40︒C .50︒D .90︒5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A .62%B .56%C .46%D .42%6.基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数()It 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln20.69≈）（ ） A .1.2天B .1.8天C .2.5天D .3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围 （ ） A .()2,6-B .(6,2)-C .(2,4)-D .(4,6)-8.若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A .[)1,1][3,-+∞B .3,1][,[01]--C .[1,0][1,)-+∞D .[1,0][1,3]-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.已知曲线22:1C mx ny +=（ ）A .若0m n ＞＞，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B .若=0m n ＞，则C是圆，其半径为C .若0mn ＜，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D .若0m =，0n ＞，则C 是两条直线10.下图是函数() siny x ωϕ=+的部分图像，则()sin x ωϕ+=（ ）A .πsin(3x +）B .πsin(2)3x -毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题-------------------无------------------效----------------C .πcos(26x +）D .5πcos(2)6x - 11.已知0a ＞，0b ＞，且1a b +=，则（ ）A .2212a b +≥B .122a b -＞C .22log log 2a b +-≥D12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，L ，n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p =====∑＞，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑（ ）A .若1n =，则()0HX =B .若2n =，则()H X 随着1p 的增大而增大C .若1(1,2,,)ip i n n==，则()H X 随着n 的增大而增大D .若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则()()H X H Y ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.C ：24y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 14.将数列{}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3an 5t ODC ∠=，BH DG ∥，12 cm EF =， 2 cm DE =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________2cm ．16.已知直四棱柱1111–ABCD A B C D 的棱长均为2，60BAD ∠=︒．以1D径的球面与侧面11BCC B 的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在①ac ②sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度（单位：3），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．21.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+． （1）当e a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．-------------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________22.已知椭圆C：22221(0)x y a b a b+=＞＞的离心率为2，且过点()2,1A．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国I 卷（山东）数学答案解析一、选择题 1．【答案】C【解析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==，故选C ． 【考点】集合并集【考查能力】基本分析求解 2．【答案】D【解析】()()()()212251212125i i i ii i i i ----===-++-，故选D ． 【考点】复数除法【考查能力】分析求解 3．【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种．故选：C ．【考点】分步计数原理和组合数的计算【考查能力】运算求解 4．【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线．m 是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC ∠=︒，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒，故选B ．【考点】中国古代数学文化，球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质5．【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．故选C ．【考点】事件的概率公式 6．【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t ee +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天．故选：B ． 【考点】指数型函数模型的应用 【考查能力】运算求解 7．【答案】A【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【考点】有关平面向量数量积的取值范围 【考查能力】运算求解 8．【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x ＞，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x ＜，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x ⎧⎨---⎩＜≤≤或≥或001212x x x ⎧⎨---⎩＞≤≤或≤或0x =，解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D ．【考点】函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式 【考查能力】分类讨论思想方法 二、选择题 9．【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n ＞＞，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n ＞＞，所以11m n＜， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =＞，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn ＜，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0m =，0n ＞，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选ACD ． 【考点】曲线方程的特征 【考查能力】运算求解 10．【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A ，当2536212x πππ+==时，1y =-，∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．而5cos 2cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选：BC ． 【考点】诱导公式变换【考查能力】运算求解11．【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭=+- ⎝≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=--＞，所以11222a b --=＞，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+===- ⎪⎝⎭≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，所以，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD ． 【考点】不等式的性质 【考查能力】运算求解 12．【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确． 对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⎡⋅+-⋅-⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误．对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确．对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m =）．()2222111log log m mi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅． ()()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m H Y p p p p p p p p p p p p -+-+=+⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m =＞，所以2111i i m i p p p +-+＞，所以222111log log i i m ip p p +-+＞，所以222111log log i i i i m i p p p p p +-⋅⋅+＞，所以()()H X H Y ＞，所以D 选项错误．故选：AC ．【考点】新定义“信息熵”的理解和运用 【考查能力】分析、思考和解决问题 三、填空题 13．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点FAB的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==，所以12116||||3|33AB x x =--= 解法二：10036640∆=-=＞，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=， 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示．12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【考点】抛物线焦点弦长 【考查能力】运算求解14．【答案】232n n -【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -．【考点】等比数列的通项公式和前n 项和公式 【考查能力】运算求解15．【答案】542π+【解析】设OB OA r ==，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =， 因为5AP =，所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=， 因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以2125=，解得r = 等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+．故答案为：542π+．【考点】三角函数在实际中应用 【考查能力】运算求解16．【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为60BAD ∠=︒，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以111D B C △为等边三角形，所以1DE =，111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111A B C D ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，1D E =||EP 所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E，因为||||EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ， 因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得FG π==． ． 【考点】直棱柱的结构特征，直线与平面垂直的判定 【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解四、解答题17．【答案】解法一：由sin 3sin AB可得：ab=不妨设(),0a b mm ==>， 则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =．选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯=1m ∴=，此时1c m ==．选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A =sin 32c A m =⨯=，则：c m ==选择条件③的解析：可得1c mb m==，c b =，与条件c =矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+，∴()sin6A A C A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()1sin 2A A C A A +=⋅，∴sin A A =，∴tan A =，∴23A π=，∴6BC π==，若选①，ac =，∵a ==2=，∴1c =；若选②，sin 3c A =3=，c =;若选③，与条件c =矛盾． 【考点】正弦定理、余弦定理、三角恒等变换 【考查能力】化归与转化，运算求解 18．【答案】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得12,2a q ==，或1132,2a q ==（舍），所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =．（2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15，则89153b b b ====，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31，则1617314b b b ====，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63，则3233635b b b ====，即有52个5；6465100,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100，则64651006b b b ====，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【考点】等比数列基本量的计算【考查能力】分析思考与解决问题的能力 19．【答案】（1）0.64 （2）答案见解析 （3）有【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； （2（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈＞，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关．【考点】古典概型的概率公式 【考查能力】逻辑推理，运算求解 20．【答案】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥ 且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为CD PD D =，所以l ⊥平面PDC ； （2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ， 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-，设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y mx z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，则cos ,=3n PB n PB n PB⋅=⋅＜＞根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>===，当且仅当1m =时取等号，所以直线PB 与平面QCD ． 【考点】线面平行的判定和性质【考查能力】推理论证，运算求解，抽象概括 21．【答案】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-．(1)1f e =+，∴切点坐标为()11e +,， ∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--，即()12y e x =-+，∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --，∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--； （2）解法一：1()ln ln xf x ae x a -=-+，11()x f x ae x-'∴=-，且0a ＞．设()()g x f x ='，则121()0,x g x ae x -'=+＞∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=，∴()()11min f x f ==，∴()1f x ≥成立．当1a ＞时，11a＜ ，111a e -∴＜，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a -''∴=--＜， ∴存在唯一00x ＞，使得01001()0x f x ae x -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '＜，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '＞，0101x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 11a x a a a x =++-+≥-++＞， ∴()1,f x ＞∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时，(1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[1)+∞，． 解法二：()111x lna x f x ae lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-+=+≥，令()x g x e x =+，上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥，显然()g x 为单调增函数，∴又等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 1a x x -+≥，令()1h x lnx x =-+，则()111xh x x x-=-=' 在()0,1上()’0h x ＞，()h x 单调递增；在(1)+∞，上()0h x '＜，()h x 单调递减， ∴()()10max h x h ==，ln 01a a ≥，即≥，∴a 的取值范围是[1)+∞，． 【考点】导数几何意义【考查能力】综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想22．【答案】（1）由题意可得：222222411c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=． （2）设点()()1122,,,M x y N x y ．因为AM AN ⊥，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，如图1． 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++②，根据1122,y kx m y kx m =+=+，代入①整理可得： ()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=，将②代入，()()()22222264k 121401212m kmkm k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，∵()2,1A 不在直线MN 上，∴210k m +-≠， ∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，如图2．代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=，结合2211163x y +=，解得()1122,3x x ==舍，此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于AE 为定值，且ADE △为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE=． 由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值．【考点】椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题 【考查能力】数形结合，化归与转化。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A.{x |2<x ≤3} B.{x |2≤x ≤3}C.{x |1≤x <4} D.{x |1<x <4}2.2i12i-=+（）A.1B.−1C.iD.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是（）A.()2,6-B.(6,2)-C.(2,4)- D.(4,6)-8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-⋃+∞ D.[1,0][1,3]-⋃二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C 是圆，其半径为C.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线10.下图是函数y =sin(ωx +φ)A.πsin(3x +）B.πsin(2)3x - C.πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A.2212a b +≥B.122a b->C.22log log 2a b +≥- D.≤12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C.若1(1,2,,)i p i n n== ，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.斜率为的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．14.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．16.已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D BCC 1B 1的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（山东卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。

锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=L .第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =U ∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.2.复数31ii--等于（ ）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2. 【解析】:223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C. 答案:C【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算. 3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =3. 【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22sin y x x =+=,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+4π+C. 2π+π【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为2133⨯=所以该几何体的体积为2π+答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地侧(左)视图正(主)视图俯视图计算出.几何体的体积.5. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的 一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件.答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.6. 函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.7.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）DABC P第7题图A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 【解析】:因为2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选C 。

2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国一卷（山东卷）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A B =A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<答案：C解析：利用并集的定义可得{|14}AB x x =≤<，故选C.2．2i 12i -=+ A ．1 B ．−1C ．iD ．−i答案：D 解析：222i (2i)(12i)(22)(41)i i 12i 125----+--===-++，故选D3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种答案：C解析：不同的安排方法有123653C C C 60⋅⋅=4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°答案：B解析：因为晷面与赤道所在平面平行，晷针垂直晷面，所以晷针垂直赤道所在平面，如图所示，设AB 表示晷针所在直线，且AB OB ⊥，AC 为AB 在点A 处的水平面上的射影，则晷针与点A 处的水平面所成角为BAC ∠，因为OA AC ⊥，AB OB ⊥，所以BAC AOB ∠=∠，由已知40AOB ∠=︒，所以40BAC ∠=︒，故选BCBO赤道A5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%答案：C解析：既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例=60%+82%－96%=46%，故选C6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天答案：B 解析：设从1t 到2t 累计感染数增加1倍，即21()2()I t I t =，因为(e )rt I t =，所以21e 2ert rt =，所以21()e 2r t t -=，所以21()ln 2r t t -=.因为R 0 =1+rT ，所以01R r T-=，所以210ln 2ln 260.69 1.81 2.28T t t r R ⨯-==≈≈- 7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是A ．()2,6-B ．()6,2-C ．()2,4-D ．()4,6-答案：A解析：如图，过P 作PG AB ⊥，G 为垂足，则()||||cos ,AP AB AG GP AB AG AB AG AB AG AB ⋅=+⋅=⋅=⋅〈〉，当G 点落在AB 的反向延长线上时，cos ,1AG AB 〈〉=-，这时0||||cos 60AG AF <<︒，即0||1AG <<，所以这时20AP AB -<⋅<；当G 点落在AB 上或AB 的延长线上时，cos ,1AG AB 〈〉=，这时0||||cos 60AG AB BC ≤<+︒，即0||3AG ≤<，所以06AP AB ≤⋅<.综上所述，AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选A。