四川省宜宾市叙州区第一中学2021届高考数学第一次适应性考试试题 理

2021年高三数学第一次适应性测试试题理（含解析）新人教A版本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．参考公式：球的表面积公式棱柱的体积公式球的体积公式其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高棱台的体积公式其中R表示球的半径棱锥的体积公式其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，h表示棱台的高其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高如果事件互斥，那么一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．集合，，若，则（▲ ）。

A ．B ．C ．D ．【知识点】集合交集，并集A1【答案解析】A 解析：由 ，得=2，所以,.即，，因此【思路点拨】由集合交集概念，可以求出 ，再根据并集概念即可求解。

【题文】2．若 (为复数集)，则是的（ ▲ ）。

A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充分条件，必要条件 A2【答案解析】C 解析：当时，不满足，故充分性不成立； 由可得，所以必要性成立。

【思路点拨】判断充要条件时，应先明确条件和结论，由条件能推出结论，充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3．一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ▲ ）。

A ．B ．C ．D ． 【知识点】三视图，球体表面积G2，G8【答案解析】B 解析：由三视图可知，此几何体是四棱锥，是由正方体下底面四个顶点和上底面一个顶点构成。

2021年四川省宜宾市高考数学适应性试卷（理科）（三诊）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{2A =-，1-，0，1}，{0B =，1，2}，则()(U A B =⋂ ) A ．{2-，1}-B ．{0，1}C ．{0，3}D ．{2-，1-，3}2．（5分）已知i 为虚数单位，且3(1)i z i -=，则复数z 的虚部为( ) A ．12i -B ．12-C ．12 D ．12i3．（5分）某校课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：)C ︒的关系，由实验数据得到右面的散点图．由此散点图，最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A ．y a bx =+B ．y a blnx =+C ．x y a be =+D ．2y a bx =+4．（5分）51(1)(2)x x-+展开式中2x 的系数为( )A ．40B ．60C ．80D ．1205．（5分）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为( ) A ．310B ．710C ．920D ．11206．（5分）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：010()kt e θθθθ-=+-，(t 为时间，单位分钟，0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设一杯开水温度1100C θ=︒，环境温度020C θ=︒，常数0.2k =，大约经过多少分钟水温降为40C ︒？（结果保留整数，参考数据：20.7)(ln ≈ ) A ．9B ．8C ．7D ．67．（5分）函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>的图象如图，下列说法正确的是( )A ．()f x 的周期为2πB ．()f x 的图象关于(,0)6π-对称C ．()f x 的图象关于6x π=对称D ．将()f x 图象上所有点向左平移12π个单位长度得到2sin 2y x =的图象8．（5分）相传黄帝在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度上减去三分之一，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度上增加三分之一，即变为原来的三分之四．右图的程序框图算法思路源于“三分损益”，执行该程序框图，若输入2x =，则输出x 的值为( )A ．32B ．89C ．1627D ．32279．（5分）函数2()||2xf x xln x+=-的大致图象为( ) A ．B ．C ．D ．10．（5分）如图，1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于A ，B 两点，若1||2||AB F B =，且22||||AF BF =，则双曲线的离心率为()A ．7B ．4C ．233D ．311．（5分）已知y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，满足f （x +1）＝f （x ﹣2），下列说法： ①y ＝f （x ）的图象关于对称； ②y ＝f （x ）的图象关于对称；③y ＝f （x ）在[0，6]内至少有5个零点；④若y ＝f （x ）在[0，1]上单调递增，则它在[2021，2022]上也是单调递增． 其中正确的是（ ） A ．①④B ．②③C ．②③④D ．①③④12．（5分）已知三棱锥A ﹣BCD 的各个顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，BD ＝3，，E 是线段CD 上一点，且CD ＝3CE ．若球O 的表面积为40π，则过点E 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为（ ） A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数sin y x x =+在0x =处的切线方程为 ．14．（5分）已知向量(1,)a x =，(1,)b x =-，若2a b -与b 垂直，则||a 的值为 ． 15．（5分）平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)P -是α终边上的一点，则cos(2)3πα+= ．16．（5分）若点M 是直线l ：x ﹣2y ﹣2＝0上的动点，过点M 作抛物线C ：y ＝的两条切线，切点分别为A ，B （与坐标原点O 不重合），当＝0时，则直线AB 的方程为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）设{}n a 是等比数列，且1a e =，238lna lna +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 是数列{}n lna 的前n 项和，若24m m m S S S +++=，求m ．18．（12分）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植．该县农科所为了对比A ，B 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A ，B 两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在[40，64]内，根据亩产数据得到频率分布直方图如图：（1）从A 种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）根据频率分布直方图，用平均亩产来判断该县应选择种植A 种茶叶还是B 种茶叶，并说明理由．19．（12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，AD ⊥平面PEC ．（1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若22AB AE DE ===，3PC =，求平面PBC 和平面PAD 所成锐二面角的大小．20．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，焦距为2，过2F 作斜率存在且不为零的直线l 交C 于A ，B 两点，且△1F AB 的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知弦AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，求证：2||||PF AB 为定值． 21．（12分）已知函数()(1)()f x a x lnx a R =++∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）当2a =-时，若1x ，212()x x x <是方程()0f x m -=的两根，求证：210m x x em e -++<． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）如图，在极坐标系Ox 中，(23,)3A π，2(23,)3B π，弧1AM B 和2AM B 所在圆的圆心分别是(2,)2π，(4,)2π，曲线1C 是弧1AM B ，曲线1C 是弧2AM B ．（1）分别求出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）已知点P 是曲线1C ，2C 上的动点，直线:(cos 2sin )2l ρθθ-=，C ，D 是直线l 上的两点，且||2CD =，求PCD ∆面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||2|f x x x =++-． （1）解不等式()3f x ；（2）记函数()f x 的最小值为m ．若a ，b ，c 均为正实数，且22a b c m ++=，若2221(1)(1)()24a b c t -+-+-成立，证明：74t 或54t ．2021年四川省宜宾市高考数学适应性试卷（理科）（三诊）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{2A =-，1-，0，1}，{0B =，1，2}，则()(U A B =⋂ ) A ．{2-，1}-B ．{0，1}C ．{0，3}D ．{2-，1-，3}【解答】解：集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{2A =-，1-，0，1}，{0B =，1，2}， {2U B ∴=-，1-，3}， (){2U A B =-⋂，1}-．故选：A ．2．（5分）已知i 为虚数单位，且3(1)i z i -=，则复数z 的虚部为( ) A ．12i -B ．12-C ．12 D ．12i【解答】解：由3(1)i z i i -==-， 得22(1)1111(1)(1)1(1)22i i i i z i i i i --+-====---++-， ∴复数z 的虚部为12-． 故选：B ．3．（5分）某校课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：)C ︒的关系，由实验数据得到右面的散点图．由此散点图，最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A ．y a bx =+B ．y a blnx =+C ．x y a be =+D ．2y a bx =+【解答】解：由图知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是y a blnx =+． 故选：B ．4．（5分）51(1)(2)x x-+展开式中2x 的系数为( )A ．40B ．60C ．80D ．120 【解答】解：50514232323445555555511(1)(2)(1)(22222)x C C x C x C x C x C x x x-+=-⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅，开式中2x 的系数23325522804040C C ⋅-⋅=-=， 故选：A ．5．（5分）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为( ) A ．310B ．710C ．920D ．1120【解答】解：中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽． 从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序， 基本事件总数2520n A ==，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数236m A ==． 则这个音序中不含宫和羽的概率为632010m P n ===． 故选：A ．6．（5分）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：010()kt e θθθθ-=+-，(t 为时间，单位分钟，0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设一杯开水温度1100C θ=︒，环境温度020C θ=︒，常数0.2k =，大约经过多少分钟水温降为40C ︒？（结果保留整数，参考数据：20.7)(ln ≈ ) A ．9B ．8C ．7D ．6【解答】解：有题意可知0.24020(10020)t e -=+-， 10.24t ln ∴-=，1027t ln ∴=≈，故选：C ．7．（5分）函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>的图象如图，下列说法正确的是( )A ．()f x 的周期为2πB ．()f x 的图象关于(,0)6π-对称C ．()f x 的图象关于6x π=对称D ．将()f x 图象上所有点向左平移12π个单位长度得到2sin 2y x =的图象【解答】解：根据()f x 的图象，结合五点法作图可得5126ππωπ⨯+=，2ω∴=， 故()2sin(2)6f x x π=+．故它的周期为22ππ=，故A 错误； 令6x π=-，求得()1f x =-，故B 错误；令6x π=，求得()2f x =，为最大值，故C 正确；将()f x 图象上所有点向左平移12π个单位长度得到2sin(2)3y x π=+的图象，故D 错误， 故选：C ．8．（5分）相传黄帝在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度上减去三分之一，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度上增加三分之一，即变为原来的三分之四．右图的程序框图算法思路源于“三分损益”，执行该程序框图，若输入2x =，则输出x 的值为( )A ．32B ．89C ．1627D ．3227【解答】解：由题意，执行循环结构的程序框图，可得： 2x =，1i =，满足条件1x ，43x =，2i =，不满足判断条件4i ； 满足条件1x ，89x =，3i =，不满足判断条件4i ； 满足条件1x ，1627x =，4i =，满足判断条件4i ，退出循环，输出x 的值为1627．故选：C ．9．（5分）函数2()||2xf x xln x+=-的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|2}x x ≠±，排除选项D ， 又222()()||()(1||)||()222x x xf x x ln x ln ln xln f x x x x-++-=-=--==+--， 故函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A ，C ， 故选：B ．10．（5分）如图，1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于A ，B 两点，若1||2||AB F B =，且22||||AF BF =，则双曲线的离心率为()A ．7B ．4C ．23D ．3【解答】解：设1||BF t =，2||AF s =， 由1||2||AB F B =，且22||||AF BF =， 可得||2AB t =，2||BF s =，由双曲线的定义，可得12||||22AF AF t t s a -=+-=， 又21||||2BF BF s t a -=-=， 解得4s a =，2t a =，所以2ABF ∆是边长为4a 的等边三角形，在△12BF F 中，1||2BF a =，2||4BF a =，12||2F F c =，12120F BF ∠=︒，则2222212214164204cos 222416a a c a c F BF a a a +--∠=-==⋅⋅， 化为227c a =，即7c a =， 即有7ce a==． 故选：A ．11．（5分）已知y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，满足f （x +1）＝f （x ﹣2），下列说法： ①y ＝f （x ）的图象关于对称； ②y ＝f （x ）的图象关于对称；③y ＝f （x ）在[0，6]内至少有5个零点；④若y ＝f （x ）在[0，1]上单调递增，则它在[2021，2022]上也是单调递增． 其中正确的是（ ） A ．①④B ．②③C ．②③④D ．①③④【解答】解：由于y＝f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝f（x﹣2），所以f（x）＝f（x﹣3）＝﹣f（﹣x），整理得，f（x+3）＝f（x），故对于①函数f（x）的图象关于x＝对称，故①正确，②错误．对于③，函数f（0）＝0，f（3）＝0，f（6）＝0，由于f（x）＝f（x+3）＝﹣f（﹣x），令x＝﹣，所以f（）＝﹣f（），整理得，f（4.5）＝f（）＝0，故③正确；对于④，f（2021）＝f（673×3+2）＝f（2），所以函数f（x）在[0，1]上单调递增，则它在[2021，2022]上单调递增，故④正确；故选：D．12．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的各个顶点都在球O的表面上，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝3，，E是线段CD上一点，且CD＝3CE．若球O的表面积为40π，则过点E作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为（）A．4πB．6πC．8πD．10π【解答】解：依题意，AD，BD，CD两两互相垂直，取BC中点M，连接MD，由对称性可知，球心O在M点正上方，且OM⊥平面BCD，OA＝OB＝OC＝OD＝R，∵BD＝3，，∴BC＝6，则BM＝CM＝DM＝3，设球O的半径为R，则4πR2＝40π，解得，由，解得，∵OM⊥平面BCD，∴OM⊥ME，又，而，∴在△CEM中，由余弦定理有ME2＝CE2+MC2﹣2CE•MC•cos∠BCD＝3，故，在△OME中，，要使过E作圆O的截面面积最小，则此时截面与OE垂直，设此时截面圆半径为r，则，∴．故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数sin y x x =+在0x =处的切线方程为 2y x = ． 【解答】解：函数sin y x x =+的导数为cos 1y x '=+， 则函数sin y x x =+在0x =处的切线斜率为1cos02+=， 切点为(0,0)，则切线的方程为y x =． 故答案为：2y x =．14．（5分）已知向量(1,)a x =，(1,)b x =-，若2a b -与b 垂直，则||a 的值为 2 ． 【解答】解：根据题意，向量(1,)a x =，(1,)b x =-， 则2(3,)a b x -=，若2a b -与b 垂直，则2(2)30a b b x -=-+=， 解可得：3x =， 则||132a =+=， 故答案为：2．15．（5分）平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)P -是α终边上的一点，则cos(2)3πα+=7243+ ．【解答】解：由题意得4cos 5α=，3sin 5α=-，所以27cos22cos 125αα=-=，24sin 22sin cos 25ααα==-， 则131********cos(2)cos2sin 2()32222522550πααα++=-=⨯-⨯-=． 故答案为：724350+． 16．（5分）若点M 是直线l ：x ﹣2y ﹣2＝0上的动点，过点M 作抛物线C ：y ＝的两条切线，切点分别为A ，B （与坐标原点O 不重合），当＝0时，则直线AB 的方程为 y ＝x 或y ＝﹣3x +4 ． 【解答】解：设M （m ，），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），，∴A 处切线方程为，即2（y +y 1）＝x 1x ，同理B 处切线方程为：2（y +y 2）＝x 2x ，又因为两条切线均过M ，所以，∴直线AB 的方程为：2（）＝mx ，即2y ＝m （x ﹣1）+2， 联立，可得x 2﹣2mx +2m ﹣4＝0，△＝4m 2﹣8m +16＞0恒成立， x 1+x 2＝2m ，x 1•x 2＝2m ﹣4， ∵＝x 1x 2+y 1y 2＝2m ﹣4+＝2m ﹣4+，解得：m ＝2或﹣6，则直线AB 的方程为：y ＝x 或y ＝﹣3x +4．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）设{}n a 是等比数列，且1a e =，238lna lna +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 是数列{}n lna 的前n 项和，若24m m m S S S +++=，求m ．【解答】解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n a 是等比数列，且1a e =，238lna lna +=． 2323()8lna lna ln a a ∴+==，23823a a e q e ∴==，解得2q e =，{}n a ∴的通项公式为2121()n n n a e e e --=⨯=．（2）21n n a e -=，21n lna n ∴=-，又n S 是数列{}n lna 的前n 项和， 2(121)2n n n S n +-∴==． 24m m m S S S +++=，222*(2)(4)()m m m m N ∴++=+∈，解得：6m =．故m 的值为6．18．（12分）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植．该县农科所为了对比A ，B 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A ，B 两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在[40，64]内，根据亩产数据得到频率分布直方图如图：（1）从A 种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）根据频率分布直方图，用平均亩产来判断该县应选择种植A 种茶叶还是B 种茶叶，并说明理由．【解答】解：（1）由A 品种茶叶亩产的频率分布直方图得：A 种茶叶亩产的20个数据中，亩产不低于56千克的个数有：20(0.0250.0125)43⨯+⨯=个，亩产低于56千克的个数有：20(0.03750.050.0750.05)417⨯+++⨯=个，从A 种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为X ， 则X 的可能取值为0，1，2，217220136(0)190C P X C ===，1117322051(1)190C C P X C ===， 232203(2)190C P X C ===，X ∴的分布列为：数学期望13651357()012190190190190E X =⨯+⨯+⨯=． （2）种植A 种茶叶的平均为产量为：420.03754460.054500.0754540.054580.0254620.0125450.2A x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，种植B 种茶叶的平均为产量为：420.01254460.0254500.03754540.08754580.054620.0375454B x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，A B x x <，∴用平均亩产来判断该县应选择种植B 种茶叶．19．（12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，AD ⊥平面PEC ．（1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若22AB AE DE ===，3PC =，求平面PBC 和平面PAD 所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：因为底面ABCD 为平行四边形，所以//BC AD ， 因为AD ⊥平面PEC ，所以BC ⊥平面PEC ， 又因为PC ⊂平面PEC ，所以BC PC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =， 所以PC ⊥平面ABCD ．（2）解：过P 点作//PQ AD ，所以PQ 在平面PAD 上， 因为//BC AD ，所以//PQ BC ，所以PQ 在平面PBC 上， 所以平面PAD ⋂平面PBC PQ =，由（1）知AD ⊥平面PEC ，所以PQ PEC ⊥，因为PE 、PC ⊂平面PEC ， 所以PQ PE ⊥，PQ PC ⊥，所以EPC ∠为平面PBC 和平面PAD 所成锐二面角的平面角， 因为2222213CE CD DE =-=-=， 3tan CE EPC PC ∠==，所以30EPC ∠=︒， 故平面PBC 和平面PAD 所成锐二面角的大小30︒．20．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，焦距为2，过2F 作斜率存在且不为零的直线l 交C 于A ，B 两点，且△1F AB 的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知弦AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，求证：2||||PF AB 为定值． 【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2， 所以22c =，解得1c =，由椭圆的定义可得△1F AB 的周长为4a ， 又因为△1F AB 的周长为8， 所以48a =，解得2a =， 所以2223b a c =-=，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）证明：设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k -=+，设AB 的中点为0(Q x ，0)y ，所以212024234x x k x k +==+，0023(1)34ky k x k -=-=+， 当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线的方程为222314()3434k k y x k k k --=--++，令0y =，得2234k x k =+，所以222223(1)|||1|3434k k PF k k+=-=++，2212(1)||34k AB k ++， 所以222223(1)||13412(1)||434k PF k k AB k ++==++， 当0k =时，直线l 的方程为0y =， 此时||24AB a ==，2||1PF c ==， 所以2||1||4PF AB =， 综上，2||1||4PF AB =．21．（12分）已知函数()(1)()f x a x lnx a R =++∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）当2a =-时，若1x ，212()x x x <是方程()0f x m -=的两根，求证：210m x x em e -++<． 【解答】解：（1）()(1)f x a x lnx =++，定义域是(0,)+∞， 1()1f x a x'=++， ①1a -时，10a +，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞单调递增， ②1a <-时，10a +<，令()0f x '>，解得：11x a <-+， 令()0f x '<，解得：11x a >-+， 故()f x 在1(0,)1a -+单调递增，在1(1a -+，)+∞单调递减， 综上：1a -时，()f x 在(0,)+∞单调递增， 1a <-时，()f x 在1(0,)1a -+单调递增，在1(1a -+，)+∞单调递减． （2）证明：由题意可知1x ，2x 是函数()g x lnx x m =--的零点， 11()1xg x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '<，当01x <<时，()0g x '>， ∴函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故函数()g x 要有2个零点，必有g （1）10m =-->，即1m <-， 要证210m x x em e -++<即证21m x x em e -<--， 只需证明121m e x x em <<<<-①，由于1m <-，(0,1)m e ∈，()0m m g e m e m =--<，g （1）10m =-+>，∴函数()g x 在(m e -，1)上存在唯一零点1x ，即11m e x -<<②，又()()(1)g em ln em em m m -=-+-<-， 令()()(1)t m ln em em m m =-+-<-，11()1(1)t m e e m m'=+-=--， 1m <-，11(1,2)m∴-∈，故()0t m '>， ()t m 在(,1)-∞-上单调递增，故()(1)1120t m t e e <-=-+=-<，∴函数()h x 在(1,)em -上存在唯一零点2x ，即21x em <<③，由②③可知①成立，故210m x x em e -++<．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）如图，在极坐标系Ox 中，(23,)3A π，2(23,)3B π，弧1AM B 和2AM B 所在圆的圆心分别是(2,)2π，(4,)2π，曲线1C 是弧1AM B ，曲线1C 是弧2AM B ．（1）分别求出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）已知点P 是曲线1C ，2C 上的动点，直线:(cos 2sin )2l ρθθ-=，C ，D 是直线l 上的两点，且||2CD =，求PCD ∆面积的最大值．【解答】解：（1）点(23,)3A π，转换为直角坐标为(3,3)A ，点2(23,)3B π转换为直角坐标为(3,3)B -．弧1AM B 和2AM B 所在圆的圆心分别是(2,)2π转换为直角坐标为(0,2)，(4,)2π转换为直角坐标为(0,4)，故圆1C 22(3)(32)2+-=，圆2C 22(3)(32)2-+-=， 所以曲线圆1C 的方程为22(2)4x y +-=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩转换为极坐标方程为4sin (234)ρθρ=．曲线圆2C 的直角坐标方程为22(4)4x y +-=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为28sin 120(223)ρθρ-+=．（2）由（1）知曲线1C 的参数方程2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数，5)66ππα，直线:(cos2sin)2lρθθ-=，转换为直角坐标方程为220x y--=，所以点P到直线l的距离6255 d+==，（当cosα=时，等号成立），由于||2CD=，所以1()22PCD maxS∆==[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||2|f x x x=++-．（1）解不等式()3f x；（2）记函数()f x的最小值为m．若a，b，c均为正实数，且22a b c m++=，若2221(1)(1)()24a b c t-+-+-成立，证明：74t或54t．【解答】解：（1）113,21()3,2231,2x xf x x xx x⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪-⎪⎪⎩，故()3f x等价于12133xx⎧-⎪⎨⎪-⎩或12233xx⎧-<<⎪⎨⎪+⎩或2313xx⎧⎨-⎩，解得23x -或02x<或2x，即23x-或0x，∴所求不等式的解集为2(,][0,)3-∞-+∞．（2）证明：由（1）值，15()()22minm f x f==-=，25a b c∴++=，则112()32a b c t t-+-+-=-，22222222[(1)(1)()](112)[(1)(1)2()](32)a b c t a b c t t∴-+-+-++-+-+-=-，∴2222(32)(1)(1)()6ta b c t--+-+-，∴2(32)1624t-，解得74t或54t，即得证．第21页（共21页）。

四川省宜宾市叙州区第一中学2021届高三数学一诊模拟试题 文第I 卷 (选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．若复数21iz i-=+， 则||z = A ．1B ．10C ．102D ．32．已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A ⋂ A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]3．已知a 、b 为实数，则是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC ∆中，若2,23,30,a b A ===︒则B 等于 A ．30B ．30150︒︒或C ．60︒D ．60120︒︒或5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为A ．B ．C ．D ．6．已知点P 是椭圆22214x y a += (a ＞2)上的一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且△PF 1F 2的周长为12，则椭圆的离心率为 A ．45 B ． 56 C ．12 D ．227．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12B ．18C ．24D ．30 8．已知53)2cos(=+πα,则=α2cos A ．51-B ．51C ．257-D ．257 9．已知F 是抛物线2:2(0)C y px q =>的焦点，过点(2,1)R 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点，若5FA FB +=，则直线l 的斜率为 A ．3B ．1C ．2D ．1210．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为2的球面上，AB BC CA 22===，PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的体积为 A ．6B ．22C ．94D ．8311．已知三棱锥BCD A -中，,,AC AB AC AB ⊥=DC BD ⊥，6π=∠DBC ，若三棱锥BCDA -的最大体积为23，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 A.34πB.8πC.12πD.312π12．已知偶函数()f x （0x ≠）的导函数为'()f x ，且满足(1)0f =.当0x >时，'()2()xf x f x <，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(0,1)-D ．),1()0,1(+∞-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线22x y 12-=的离心率是__________.14．若00x y >>，，且4xy =，则11x y+的最小值为______； 14.为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则yx的值为 ． 16．平面上线段4GH =，如果三角形GPH 上的顶点P 永远保持2PG PH =，那么随着P 的运动,三角形GPH 面积的最大值等于_________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（12分）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：“车辆驾驶员血液酒精溶度（单位mg/100ml ）/在[)80,20，属于酒后驾驶；血液浓度不低于80，属于醉酒驾驶。

四川省宜宾市叙州区第一中学2021届高考数学第一次适应性考试试题 文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，集合B ＝{x ∈Z |x 2≤4x }，则∁R A ∩B ＝ A ．{x |0≤x ≤3} B ．{﹣1，0，1，2，3} C ．{0，1，2，3}D ．{1，2}2．已知复数z ＝sin2021°+cos2021°i ，则复平面表示z 的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《高中数学课程标准》（2021版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图（RadarChart ），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart ），可用于对研究对象的多维分析）A ．甲的直观想象素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数据分析素养C ．乙的数学建模素养与数学运算素养一样D ．乙的六大素养整体水平低于甲4．函数)232sin(3)(x x f -=π的一个单调递增区间是 A ． B ．C ．D ．5．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．已知函数f （x ）＝（x ﹣1）（ax +b ）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则f （3﹣x ）＜0的解集为 A ．（2，4） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤，4π-为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （）|恒成立，f （x ）在区间（﹣）上有最小值无最大值，则ω的最大值是 A ．11B ．13C ．15D ．179．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是A ．()sin x x y e e -=+B ．()sin x xy e e -=- C ．()cos x x y e e -=- D ．()cos x xy e e -=+10．已知四棱锥P ﹣ABCD 的棱长都是12，E ，F ，M 为PA ，PC ，AB 的中点，则经过E ，F ，M 的平面截四棱锥P ﹣ABCD 所得截面的面积为 A ．54B ．45C ．72D ．9611．如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则•的值为A ．4B ．5C ．7D ．612．已知双曲线＝1（a ＞0，b ＞0）与函数y ＝（x ≥0）的图象交于点P ，若函数y＝的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点F （﹣4，0），则双曲线的离心率是A ．B ．C ．D ．第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题1. a <0，b <0的一个必要条件为（ ）A ．a ＋b <0B ．a －b >0C．D．2. 已知，是曲线上一点，则的最小值为（ ）A．B．C ．D．3. 甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球（两个箱子中球的大小和形状完全相同），其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，记事件A 表示“从乙箱中取出的球是红球”，则（ ）A．B．C．D．4.已知函数，若函数的图象与轴的交点个数不少于2个，则实数的取值范围为A．B．C．D．5. 下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是（ ）A．B．C．D．6. 托马斯·贝叶斯(ThomasBayes )在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中称为的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（ ）A．B．C．D．7. 已知函数，则的图象可能为（ ）A．B．四川省宜宾市叙州区第一中学校2024届高三一模数学（理）试题(1)四川省宜宾市叙州区第一中学校2024届高三一模数学（理）试题(1)二、多选题三、填空题C．D．8. 已知双曲线(，)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )A．B．C．D．9. 红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，表示事件“甲调配出红色”；表示事件“甲调配出绿色”；表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ）A ．事件与事件是独立事件B ．事件与事件是互斥事件C．D．10. 设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）A．B ．若互为共轭复数，则C ．若，则D ．若复数为纯虚数，则11.已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．12. 已知函数，则（ ）A ．函数为奇函数B．当时，或1C．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为D ．若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为13.如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，且，已知四棱锥的表面积是，则它的体积为________．四、解答题14. 已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且与轴垂直的直线与交于点，且，则该双曲线离心率的取值范围是_____________________.15. 函数在处的切线方程是____________.16. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．17. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收．为了了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；(2)若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于的亩数；(3)将频率视为概率，若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析，设其亩产量不低于的亩数为，求随机变量的期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．18. 已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求a ，b 的值；（2）求函数的极值点；（3）设，若当时，不等式恒成立，求a 的最小值.19. 某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价（单位：元/件）456789月销售量（万件）898382797467(1)若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；(2)已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（1）中的计算正确的结果回答问题：当月销售单价为何值时，啇品的月销值额预报值最大，并求出其最大值.20. 在△ABC中，边a、b、c对应角分别为A、B、C，且．(1)求角B的大小；(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高．条件①：，b＝1；条件②：b＝2，；条件③：a＝3，c＝2．注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分．21. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的人（男、女各人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：(1)若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过步的概率；(2)已知某人一天的走路步数超过步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？参考公式及参考数据如下：。

2021年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)----307ed969-6ea2-11ec-bbe0-7cb59b590d7d2021年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）一、多项选择题：这道主题有10个子题，每个子题5分，总共50分。

每个子问题中给出的四个选项中只有一个符合问题的要求1．设集合a={x|x23x4＞0}，集合b={x|2＜x＜5}，则a∩b=（）a．{x|1＜x＜4}b．{x|2＜x＜1或4＜x＜5}c．{x|x＜1或x＞4}d．{x|2＜x＜5}在2的扩展中。

（12x）10，各种系数之和为（）a.1b．210c．1d．1或13.要获得y=3cos（2x+）的图像，只需将y=3cos 2x（a）的图像向左移动一个单位长度b．向右平移单位长度c．向左平移单位长度D.将单位长度向右移动4．下列说法错误的是（）a、“Ac2>BC2”是“a>b”的一个充分条件和不必要条件。

B.如果P∨ q是一个错误的命题，P∧ q是一个错误的命题。

C.命题“存在”∈ R、2“≤0”的否定是“对任意的x∈r，2x＞0”d、关于任意x的命题∈ R“，2x>x2”是一个正确的命题5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）第1页，共24页）a、 10b.3c.4d.5六．六个人从左到右排成一列，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法总数有（）a．48种b．384种c、 432种d．288种然后等于7.（中量积）已知向量，x，y满足|=|=1=0，和（A）b．c、二,d．58.如图所示，在立方体abcda1b1c1d1中，如果M是线段a1c1上的移动点，则以下结论不正确（）a．三棱锥mabd的主视图面积不变b．三棱锥mabd的侧视图面积不变c．异面直线cm，bd所成的角恒为d．异面直线cm，ab所成的角可为9．已知函数f（x）=x4+的图象为（）十、∈ (0,4). 当x=a时，f（x）得到最小值B，那么函数g（x）=a | x+B|第2页（共24页）a、不列颠哥伦比亚省。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：四川省2021年上学期宜宾市叙州区第一中学校高三数学理开学考试试题答案1．D2．D3．A4．C5．C6．A7．C8．C9．B10．B11．C12．A 13．1120XX ．()3,1-15．22(3)4x y -+=16．①③④17．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=，()112n n n S na d -=+，由题意，得1123,323152a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得172a d =-⎧⎨=⎩， ∴{}n a 的通项公式72(1)29n a n n =-+-=-，*n N ∈.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ，由（Ⅰ）得()443742162S ⨯=-⨯+⨯=-， ∴3416b S ==，∴2311644b q b -===-，∴2q 或2-，当2q时，()()12141242112n n n n b q T q+--⨯-===---，当2q =-时，241(2)(2)41(2)33n n n T +⎡⎤-⨯---⎣⎦==---.18．（1）A ，B ，C 三镇分别有基层干部50人，80人，70人，共200人，利用分层抽的方法选40人，则B 镇应选取804016200⨯=（人） 40名基层干部走访贫困户的平均数量x 为100.15200.25300.3400.2500.128.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为28.52005700⨯=（户） （2）由频率分布直方图得，从三镇的所有基层干部中随机挑选1人，其工作出色的概率为35易知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，且3~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()438145625P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()133423216355625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222423216255625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3142396155625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()421605625P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为 X4321P81625 216625 216625 96625 16625()312455E x =⨯=19．（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N AC A D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD 的中位线， 所以MN∥CD，又因为CD⊥平面11A ADD ，所以MN⊥平面11A ADD ．（2）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD⊥平面11A ADD ，所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角，即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角，即145ACA ∠=︒， 所以1MN =，2CD =，14AC =，1A A=AC = 如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，(122C，(100A ，C(2，2，0)，B(2，0，0)，在正方形ABCD 中，BD⊥AC，∴BD 是平面1A AC 的法向量，()220BD =-，，. 设平面1A CD 的法向量为()n x y z ，，=， 由()200DC =，，，(102DA =-，，所以有2020x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，∴0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为()021n =，，.设二面角1A A C D --的大小为α，则223cos 22?3α==. ∴．20．解：（1）将3y kx =+代入26x y =，得26180x kx --=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则126x x k +=，1218x x =-，从而MN ==因为O 到l 的距离为d =所以MON ∆的面积1182S d MN =⋅== ，解得k =（2）存在符合题意的点，证明如下：设()0,P b 为符合题意的点，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k .从而121212y b y b k k x x --+=+()()12121223kx x b x x x x +-+=()123663k k b x x -+-=. 当3b =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,3P -符合题意.故以线段OP 为直径的圆的方程为223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（或2230x y y ++=）21．（1）()()12a x f x x'-=当0a >时，令()()1100,022f x x f x x >⇒<⇒''<， 所以此时()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭递减； 当0a <时，令()()110,0022f x x f x x ''>⇒><⇒<<， 所以此时()f x 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭递增，10,2⎛⎫⎪⎝⎭递减； （2）令()()11ln 21x x g x f x ea x ax e --=+=-++，1x ≥，()()112,2x x a ag x a e g x a e x x--∴=-+∴=-+'， 令()()21122,x x a x e a h x a e h x x x--'-=-+=， 令()21x x x ea ϕ-=-，显然()x ϕ在1x ≥时单调递增，()()11x a ϕϕ∴≥=-；当1a ≤时，()()()()10,0,x h x h x ϕϕ'≥≥≥在[)1,+∞上递增， 所以()()110h x h a ≥=-≥，则()0g x '≥，()g x ∴在[)1,+∞上递增，()()1220g x g a ∴≥=-≥，此时符合题意；当1a >时，()10ϕ<，此时在[)1,+∞上存在0x ，使()x ϕ在()01,x 上值为负， 此时()0h x '<，()h x 在()01,x 上递减，此时()()110h x h a <=-<，()g x ∴在()01,x 上递减，()()1220g x g a ∴<=-<，此时不符合题意；综上：1a ≤22．（1）（2）2sin 111cos sin 10422PQ πααα⎛⎫-- ⎪+-+⎝⎭==min 11212PQ ∴=- 23．（Ⅰ）法一：当2m =，即解不等式1214x x ++-<时，13,1()3,1131,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象：结合图象及()f x 的单调性，又5()(1)43f f =-=所以()4f x <的解集为5(1,)3x ∈-．法二：1214x x ++-<等价于1134x x <-⎧⎨-<⎩或1134x x -≤≤⎧⎨-<⎩或1314x x >⎧⎨-<⎩解得x φ∈或(1,1]x ∈-或5(1,)3x ∈，即5(1,)3x ∈-．（Ⅱ）方法一：由()2f x m ≥得|1|(2|1|)x m x +≥--由0m <，所以1|1||1|2x x m-+≥--， 画出|1|2y x =--及1|1|y x m=-+的图象根据图象性质可得11m-≥，综上10m -≤<． 故的m 最小值为1-．方法二：(1)1,1()(1)1,11(1)1,1m x m x f x m x m x m x m x --+-<-⎧⎪=-+++-≤≤⎨⎪+-+>⎩，要使得()2f x m ≥恒成立，即min ()2f x m ≥． 则()f x 必有最小值．因此()f x 在(,1)-∞-必单调递减或为常函数，在(1,)+∞必单调递增或为常函数． 即10m --≤且10m +≥即1m ≥-． 又0m <，故()f x 在上[1,1]-是增函数，即min ()(1)2f x f m =-=．解(1)2f m -≥恒成立． 综上10m -≤<．故m 的最小值为1-．。

宜宾市高2021级一诊考试理科数学参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题题号123456789101112答案A C C D B D C A A B B C 二、填空题13．314．015．5416．25π8三、解答题(一)必考题：17．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a2+a7=9得：(a1+d)+(a1+6d)=9 ①又∵S9=45∴a1+4d=5 ②联立①②有a1=1 d=1∴a n=a1+(n-1)d=n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6分) (2)由(1)知a n=n∴b n=2n a n=n⋅2n所以T n=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n，③2T n=1×22+2×23+⋯+(n-1)×2n+n×2n+1，④由③-④有-T n=21+22+33+⋯+2n-n×2n+1=2×1-2n1-2-n×2n+1，=2n+1-2-n×2n+1，∴-T n=(1-n)2n+1-2，n∈N*．∴T n=2+(n-1)2n+1........................................(12分)18．证明：(1)如图所示，取AB中点G，连CG､FG.∵EF=FB，AG=GB,∴FG⋕12EADC⋕12EA,∴FG⋕DC∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC∴DF ∥平面ABC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(2)过A 作AM ⊥AC ,以AM ,AC ,AE 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (3,1,0),E (0,0,2),D (0,2,1)BE =(-3,-1,2),DE=(0,-2,1)设平面BDE 的一个法向量n 1=(x ,y ,z )则-3x -y +2z =0-2y +z =0，令y =1得z =2,x =3，即n 1=(3,1,2)AE ⊥平面ABC ,则可取平面ABC 的一个法向量n 2=(0,0,1),cos <n 1 ,n 2 >=28×1=22，平面BDE 与平面ABC 所成角的正弦值为：1-cos 2<n 1 ,n 2>=22⋯⋯⋯⋯⋯(12分)(2)另解：证明：∵EA ⊥平面ABC∴AE ⊥CG又△ABC 是正三角形，G 是AB 的中点∴CG ⊥AB ∴CG ⊥平面AEB 又∵DF ∥CG ∴DF ⊥平面AEB )延长ED 交AC 延长线于G ′，连BG ′由CD =12AE ，CD ∥AE 知，D 为EG ′的中点∴DF ∥BG ′又CG ⊥平面ABE ，FD ∥CG ∴BG ′⊥平面ABE∴∠EBA 为所求二面角的平面角在等腰直角三角形AEB 中，可得∠ABE =45°∴平面BDE 与平面ABC 所成的二面角的正弦值为22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)19．解：（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为C 2100，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为C 190C 110，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以P (A )=C 190C 110C 2100=211，即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为211；⋯(4分)（2）（ⅰ）因为μ+2δ=85，所以P (X >85)≈1-0.95452=0.02275故参赛学生中成绩超过85分的学生数约为0.02275×10000=2275人；⋯⋯⋯⋯⋯(8分)（ⅱ）由μ=65，得P (X >65)=12，即从所有参赛学生中堕机抽取1名学生，该生竞赛成绩在65分以上的概率为12，所以随机变量服从二项分布Y ~B (4,12)，所以P (Y =0)=C 04(12)4=116，P (Y =1)=C 14(12)4=14,P (Y =2)=C 24(12)4=38,P (Y =3)=C 34(12)4=14,P (Y =4)=C 44(12)4=116随机变量的分布列为：Y 01234P116143814116∴E (Y )=4×12=2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)20．解：(1)点P 到E 的焦点F 的距离为5,即点P 到E 的准线的距离为5，故4+p2=5，解得p =2.所以E 的标准方程为y 2=4x ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(2)由(1)知，y 20=4×4，且y 0>0，解得y 0=4，所以P (4,4). 设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则k PA =y 1-4x 1-4=y 1-4y 214-4=4y 1+4，同理可得，k PB =4y 2+4，则k PA ×k PB =4y 1+4×4y 2+4=-1，即4y 1+y 2 +y 1y 2+32=0.当直线AB 斜率存在时，直线AB 的方程为y -y 1=y 1-y 2y 214-y 224x -y 214，整理得4x -y 1+y 2 y +y 1y 2=0所以4x -32-y 1+y 2 (y +4)=0，即y +4=4y 1+y 2x -8所以直线AB 过定点(8,-4)；当直线AB 的斜率不存在时y 1+y 2=0，可得y 21=32,x 1=8.故直线AB 过定点(8,-4). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)21．解：(1)f (x )=−ln x ,f 1e =1,f 1e =2e-1，切线方程为：y −2e +1=1⋅x −1e g (x )=x +1e-1令h (x )=g (x )−f (x )=1e+x ln xh (x )=ln x +1,h (x )=0⇒x =1e∴h (x )在0，1e 单调递减，在1e ，+∞ 上单调递增∴h (x )≥h 1e=0，即g (x )≥f (x )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(2)∵f (x )=−ln x ,f (x )=0⇒x =1∴h (x )在0，1 单调递增，在1，+∞ 单调递减∴f (x )max =f (1)=0，x →0,f (x )→-1,f (e )=−1,x →+∞,f (x )→−∞∴-1<m <0，0<x 1<1<x 2<e 先求f (x )在x =e 的切线方程ϕ（x )f (e )=−1,f (e )=-1,y +1=−1(x −e )， ϕ（x )=-x +e −1 下面证明：ϕ（x )≥f (x )，令g (x )=ϕ(x )−f (x )=−2x +e +x ln xg (x )=ln x −1,g (x )=0⇒x =e ，g (x )在0，e 单调递增，在e ，+∞ 单调递减∴g (x )≥g (e )=0∴ϕ（x )≥f (x )设y =m 与g (x ),ϕ（x )交点的横坐标分别为x 3,x 4可知y =m =f (x 1)≤g (x 1)=x 1+1e −1⇒m ≤x 1+1e −1，即x 1≥m −1e+1 ① 可知y =m =f (x 2)≤ϕ(x 2)=-x 2+e −1⇒−x 2≥m +1−e ，即-x 2≥m +1−e ②因为上式两等号不能同时成立，由①+②得：x 1−x 2>2m +2−e −1e⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)(二)选考题：22．解：(1)将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入y =x (x ≥0)得ρsin θ=ρcos θ，所以tan θ=1，所以射线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ≥0)，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入x 24+y 2=1得ρ2sin 2θ+ρ2cos 2θ4=1，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+3sin 2θ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(2)由题意可设点P 的极坐标为ρ1,π4 ，点Q 的极坐标为ρ2,3π4，则ρ21=41+3sin 2π4=85，ρ22=41+3sin 23π4=85，因为ρ1>0，ρ2>0，所以ρ1=ρ2=2105，所以S △POQ =12ρ1ρ2=12×2105×2105=45.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)23．解：(1)由题意可得，f x =2x -1 +2x +1 =4x ,x >122,-12≤x ≤12-4x ,x <-12，则f x ≥3，即4x ≥3x >12 或2≥3-12≤x ≤12 或-4x ≥3x <-12，解得x ≥34或x ∈∅或x ≤-34，所以不等式的解集为x x ≤-34 或x ≥34 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(2)由(1)可知，f x min =2，所以m =2，则a +2b +3c =2，即a +c +2(b +c )=2，1a +c +1b +c =121a +c +1b +c[(a +c )+2(b +c )]=122(b +c )a +c +a +c b +c+32≥2+32，当且仅当2(b +c )a +c =a +cb +c,(a +c )2=2(b +c )2，即a +c =22-2,b +c =2-2时，等号成立.故1a +c +1b +c min=2+32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)。

2021届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|20}M x x x =->，{|3}N x x =>，则集合M 与N 的关系是( ) A ．M N ⋂=∅ B ．M N R = C ．M N N ⋃= D ．MN N =【答案】D【解析】化简集合A ，根据交集定义，即可求解. 【详解】由2{|20}{|0M x x x x x =->=<或2}x >，{|3}N x x =>， 得{|3}M N x x N ⋂=>=，{|0M N x x ⋃=<或2}x M >=， 故选:D . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，若复数22i z i ⋅=-，则z =（ ）A ．1B ．2C ．2D 【答案】D【解析】先根据复数代数形式的四则运算求出复数z ，再根据复数的几何意义求出复数的模． 【详解】解：∵22i z i ⋅=-， ∴()2222i ii zi --==-12i =--，∴2z ==， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模，属于基础题．3．如图，网格纸的正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．18C ．12D ．36【答案】A【解析】根据三视图可得几何体的直观图（如图所示），从而可求其体积． 【详解】作一个长，宽，高分别为4,3,3的长方体，根据三视图得该几何体为三棱锥A BCD -（如图），因为三棱锥A BCD -的四个顶点，都在同一个长方体中，所以三棱锥A BCD -体积为11433632A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=,故选A .【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系． 三棱锥体积的计算应该选择合适的底面（以顶点到该底面的距离的计算容易求为宜）. 4．已知等差数列的前15项和1530S =，则2139a a a ++=（ ） A ．7 B ．15C ．6D ．8【答案】C 【解析】【详解】设等差数列的等差为{},n d a 前15项的和1530S =，()11515302a a +∴=，可得172a d +=，则()()()2913111812a a a a d a d a d ++=+++++()1376a d =+=.故选：C.5．已知函数()42x xaf x +=是奇函数，则()f a 的值为（ ） A ．52-B ．52C ．32-D ．32【答案】C【解析】由()()f x f x -=-求出1a =-，然后可算出答案. 【详解】因为函数()42x xaf x +=是奇函数，所以()()f x f x -=-，即4422x x x x a a--++=-，即14422xxx xa a +⋅+=-，所以1a =- 所以()412x xf x -=，所以()()11413122f a f ---=-==- 故选：C 【点睛】本题考查的是函数的奇偶性的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题. 6．在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，2DA ED DF -=，则DF =（ ） A ．1324AB AD - B ．1223AB AD - C ．1334AB AD -D ．1323AB AD - 【答案】A【解析】利用基底向量,AB AD 表达2DA ED DF -=再根据向量的线性运算化简即可. 【详解】由题, 1322DA ED AD DC CE A AB D AD AD AB -=-++=-+-=-. 即3132224DF AD D AB F A AB D =-⇒=-.故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及基底向量的用法,需要根据题意确定基底向量,再化简运算即可.属于基础题.7．某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下：安全出口编号甲，乙乙，丙丙，丁丁，戊甲，戊疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．甲B．乙C．丁D．戊【答案】C【解析】先阅读题意，再结合简单的合情推理计算可得解．【详解】设某高铁换乘站设有编号为甲，乙，丙，丁，戊的五个安全出口疏散乘客时间分别为a、b、c、d、e，则a+b＝120，b+c＝220，c+d＝160，d+e＝140，a+e＝200，解得：a＝60，b＝60，c＝160，d＝0，e＝140，则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是丁，故选C．【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．8．已知α，β，γ为平面，l是直线，若α∩β＝l，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直，面面垂直的关系进行判断即可． 【详解】由α⊥γ，β⊥γ，在γ内任取一点P ，过P 作a 垂直于α，γ的交线，则a⊥α，又l ⊂α，则a⊥l ，同理，在γ内过P 作b 垂直于β，γ的交线，则b⊥l ， 可推出l ⊥γ，反过来，若l ⊥γ，α∩β＝l ，根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ， 故“α⊥γ，β⊥γ”是“l ⊥γ”的充要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间线面垂直关系是解决本题的关键． 9．在ABC ∆中，5,6AB AC ==，若2B C =，则向量BC 在BA 上的投影是（ ） A ．75-B ．77125-C ．77125D ．75【答案】B【解析】由正弦定理得，653cos sin sin sin 2sin 5AC AB C B C C C =⇒=⇒=,由余弦定理得，22211cos 25BC AC AB C BC AC BC +-=⇒=⋅,则77cos 125BC θ=- ，故选B. 10．已知点(,)M x y 是抛物线24y x =上的动点，则A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】A （3，1）和F （1，0）与在抛物线24y x =上的动点P 的距离之和，利用抛物线的定义将到F 的距离转到到准线的距离即可求解. 【详解】A （3，1）和F （1，0）与在抛物线24y x =上的动点P 的距离之和，又F （1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点P 到F （1，0）的距离等于到x=-1的距离，∴只需要过A 作x=-1的垂线交抛物线于P ，交准线于M ，则AM=4即为所求. 故选B. 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了两点之间的距离公式，属于基础题．11．若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y ++=所截得的弦长为3，则E 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】C【解析】设双曲线的一条渐近线方程为0bx ay +=，则可求出圆心到该渐近线的距离d ，代入弦长公式，可得,a c 关系，即可得答案. 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为0bx ay +=， 则圆心(3,0)-到该直线的距离3b d c==，由题意得，3=2234b c =，所以22222314c a a c c -=-=，所以2214a c =，即2c e a ==．故选：C 【点睛】本题考查求双曲线的离心率的求法，考查直线与圆相交的弦长问题，解题关键是求出圆心到渐近线的距离，进而表示出弦长.考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 12． 已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()()()()()0''g x f x g x f x g x ≠>，，且()()(0xf x ag x a =>且1)a ≠，()()()()115112f f g g -+=-，对于有穷数列()()(1,2,f n n g n = ,10)，任取正整数()110k k ≤≤，则前k 项和大于1516的概率是（ ） A ．310B ．25C ．12 D ．35【答案】D 【解析】【详解】由()()()()()()()2''0f x f x g x g x f x g x g x '⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦， ()()f xg x ∴单调递减，又()()x f x a g x =，故01a <<， 所以由()()()()115112f f g g -+=-，得12a = ()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是首项为()()1112f g =，公比为12的等比数列， 其前n 项和1151216nn S ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭5n ⇒≥， 所以，63105P ==. 故选：D.二、填空题 13．若二项式（x）n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数为__． 【答案】1120【解析】由题意可得：n =8.∴通项公式3882188((2)r r rr r rr T C x C x --+==-，令382r -=2，解得r =4. ∴展开式中含x 2项的系数为448(2)C -.故答案为1120.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 14．已知函数()32153f x x x ax =-+-在区间[]1,2-上不单调，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】()3,1-【解析】求导函数，先考虑其反面函数单调时a 的范围，再求结论的补集即可得到结论. 【详解】()()22211f x x x a x a '=-+=-+-，若函数()32153f x x x ax =-+-在区间[]1,2-上单调， 则()0f x '≥或()0f x '≤在[]1,2-上恒成立， 即10a -≥或()130f a '-=+≤， ∴1a ≥或3a ≤-，于是满足条件的实数a 的范围为()3,1-， 故答案为：()3,1-. 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键，属于中档题.15．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____. 【答案】22(3)4x y -+=【解析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解. 【详解】22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有: 2121222112y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为22(3)4x y -+=.故答案为：22(3)4x y -+= 【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标. 16．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数,a b 满足(2)(2)()()(),(2)2,(*),(*)2n n n n nf f f a b af b bf a f a n N b n N n ⋅=+==∈=∈，有以下结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列.其中正确结论的序号是____________. 【答案】①③④【解析】逐项排除，对于①②特殊值排除，对③④构造等差数列求通项. 【详解】已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数,a b 满足，有以下结论： 对于①，令0ab ，则(0)0f =，令1a b ==，则(1)2(1)f f =，(1)0f =，正确；对于②，若()f x 为偶函数，则(1)(1)0f f -==，(12)(2)2(1)(2)2(2)f f f f f -⨯=-+-=-=-≠，错误；对于③，令12,2n a b -==，得111(2)2(2)2(2)2(2)2n n n n n f f f f ---=+=+，所以1(2)(2)122n n n nf f -=+，由(2)n n f a n =，(*)n N ∈ ，得11(1)122n n n n na n a ---=+， 1(2)2a f ==，2n n na ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以 2n n a =，正确；对于④，由③知(2)n n f a n=，2nn a =，所以(2)(*)22n n n nn na f b n n N ===∈，正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查函数与数列的结合，构造数列求通项公式.三、解答题17．已知等差数列{}n a ，记n S 为其前n 项和(*n N ∈)，且33a =-，315S =-. （1）求该等差数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足14b =-，34b S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）29n a n =-，*n N ∈；（2）答案见解析. 【解析】（1）由条件建立方程组求解即可； （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由条件可求出2q 或2-，然后分两种情况讨论即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=，()112n n n S na d -=+，由题意，得1123,323152a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得172a d =-⎧⎨=⎩， ∴{}n a 的通项公式72(1)29n a n n =-+-=-，*n N ∈.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ， 由（1）得()443742162S ⨯=-⨯+⨯=-， ∴3416b S ==，∴2311644b q b -===-，∴2q 或2-，当2q时，()()12141242112n n n n b q T q+--⨯-===---，当2q =-时，241(2)(2)41(2)33n n n T +⎡⎤-⨯---⎣⎦==---.【点睛】本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 18．2019年10月17日是全国第五个“扶贫日”，在“扶贫日”到来之际，某地开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，调查基层干部走访贫困户数量．A 镇有基层干部50人，B 镇有基层干部80人，C 镇有基层干部70人，每人都走访了不少贫困户；按照分层抽样，从A ，B ，C 三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成5组：[)5,15，[)15,25，[)25,35，[)35,45，[)45,55，绘制成如下频率分布直方图．（1）求这40人中有多少人来自B 镇，并估算这40人平均走访多少贫困户？ （2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取4人，记这4人中工作出色的人数为X ，求X 的数学期望． 【答案】（1）16人，5700户（2）125【解析】（1）由分层抽样按比例分配原则求得B 镇比例，再从40人中按比例抽取即可；按照平均数等于各组中间数值乘以对应频率之和计算即可 （2）由频率分布直方图，计算出工作出色的概率为35，易知工作出色的人数符合二项分布，结合概率公式计算，列出分布列，即可求出数学期望 【详解】（1）A ，B ，C 三镇分别有基层干部50人，80人，70人，共200人，利用分层抽的方法选40人，则B 镇应选取804016200⨯=（人） 40名基层干部走访贫困户的平均数量x 为100.15200.25300.3400.2500.128.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为28.52005700⨯=（户） （2）由频率分布直方图得，从三镇的所有基层干部中随机挑选1人， 其工作出色的概率为35易知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，且3~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()438145625P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()133423216355625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222423216255625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3142396155625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()421605625P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为 X4321P 81625 216625 216625 96625 16625()312455E x =⨯=【点睛】本题考查分层抽样中某层抽样数的计算，频率分布直方图中平均数的计算，离散型随机变量期望的求解，属于中档题19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1A C 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1A C 与1A D 的中点，且1MN =.（1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求二面角1A A C D --的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析;（26. 【解析】（1）根据中位线定理可得MN∥CD，由长方体的性质可得CD⊥平面11A ADD ，从而可得结果；（2）以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，分别求出平面1A CD 与平面1A AC 的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式及同角三角函数之间的关系，可得结果. 【详解】（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N AC A D ，分别为，的中点，所以MN为1ACD△的中位线，所以MN∥CD，又因为CD⊥平面11A ADD，所以MN⊥平面11A ADD．（2）解：在长方体1111ABCD A B C D-中，因为CD⊥平面11A ADD，所以1CA D∠为1A C与平面11A ADD所成的角，即1CA D∠=30，又因为1A A⊥平面ABCD，所以1ACA∠为1A C与平面ABCD所成的角，即145ACA∠=︒，所以1MN=，2CD=，14AC=，1A A=22，22AC=，如图2，分别以AB，AD，1AA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A xyz-，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，(12222C，(10022A，C(2，2，0)，B(2，0，0)，在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD是平面1A AC的法向量，()220BD=-，，.设平面1A CD的法向量为()n x y z=，，，由()200DC=，，，()10222DA=-，，，所以有202220xy z=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，∴0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为()021n =，，. 设二面角1A A C D --的大小为α，则cos 3α==，∴sin 3α=． 二面角1A A C D --. 【点晴】本题主要考查线面垂直的判定、利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：26x y =与直线l ：3y kx =+交于M ，N 两点. （1）若MON ∆的面积为18，求k ；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？若存在，求以线段OP 为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）k =2）存在，方程为2239()24x y ++=（或2230x y y ++=） 【解析】（1）联立直线与抛物线方程，设出M ，N 两点坐标，结合韦达定理，由弦长公式求出MN ，由点到直线距离公式求出O 到l 的距离，再由1182S d MN =⋅=即可求出结果；（2）OPM OPN ∠=∠等价于直线PM ，PN 倾斜角互补，所以只需求出使直线PM ，PN 斜率之和为0的P 点坐标即可，进而可求出结果.【详解】解：（1）将3y kx =+代入26x y =，得26180x kx --=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则126x x k +=，1218x x =-， 从而MN ==因为O 到l的距离为d =所以MON ∆的面积1182S d MN =⋅== ，解得k =（2）存在符合题意的点，证明如下：设()0,P b 为符合题意的点，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k . 从而121212y b y bk k x x --+=+ ()()12121223kx x b x x x x +-+=()123663k k b x x -+-=.当3b =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,3P -符合题意.故以线段OP 为直径的圆的方程为223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（或2230x y y ++=）【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，以及圆的方程，通常需要联立直线与抛物线方程，结合弦长公式和韦达定理等，即可求解；求圆的方程时，只需求出圆心和半径即可求出结果，属于常考题型.21．已知函数()ln 21f x a x ax =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）对任意的1≥x ，不等式()10x f x e -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1a ≤【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）设()1()x g x f x e -=+问题转化为求min ()0g x ≥，通过讨论a 的范围，求出()g x 的最小值即可． 【详解】 （1）()()12a x f x x'-=当0a >时，令()()1100,022f x x f x x '>⇒<<<⇒>'， 所以此时()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减； 当0a <时，令()()110,0022f x x f x x ''>⇒><⇒<<， 所以此时()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减； （2）令()()11ln 21x x g x f x ea x ax e --=+=-++，1≥x ，()()112,2x x a ag x a e g x a e x x--∴=-+∴=-+'， 令()()21122,x x a x e a h x a e h x x x --'-=-+=，令()21x x x ea ϕ-=-，显然()x ϕ在1≥x 时单调递增，()()11x a ϕϕ∴≥=-；当1a ≤时，()()()()10,0,x h x h x ϕϕ'≥≥≥在[)1,+∞上递增， 所以()()110h x h a ≥=-≥，则()0g x '≥，()g x ∴在[)1,+∞上递增，()()1220g x g a ∴≥=-≥，此时符合题意；当1a >时，()10ϕ<，此时在[)1,+∞上存在0x ，使()x ϕ在()01,x 上值为负， 此时()0h x '<，()h x 在()01,x 上递减，此时()()110h x h a <=-<，()g x ∴在()01,x 上递减，()()1220g x g a ∴<=-<，此时不符合题意；综上：1a ≤ 【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知点()1cos ,sin P αα+，[]0,απ∈，点Q 在曲线C：104ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭上.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求PQ 的最小值.【答案】（1）点P 的轨迹方程为()2211x y -+=，曲线C 方程为100x y -+=；（2）12-. 【解析】(1)利用题中所给的条件求解点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程即可； (2)求解直线与圆心距离的最小值，然后减去半径可得PQ的最小值为12-. 【详解】（1）由题意可知点P 的轨迹方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数，0)απ≤≤， 消去参数得点P 的轨迹方程为()2211x y -+=，由1010sin cos 4ρπθθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 曲线C 方程为100x y -+=（2）1PQ==min 1PQ ∴=. 23．已知函数()1 1.f x x m x =++-（Ⅰ）当2m =时，求不等式()4f x <的解集； （Ⅱ）若0m <时，()2f x m ≥恒成立，求m 的最小值．【答案】（Ⅰ）51,3⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ；（Ⅱ）1-. 【解析】（Ⅰ）作出函数的图象，结合函数图象可得不等式的解集为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅱ）先化简式子可得1|1||1|2x x m-+≥--，然后画出|1|2y x =--及1|1|y x m=-+的图象，可得m 的最小值为1-. 【详解】（Ⅰ）法一：当2m =，即解不等式1214x x ++-<时，13,1()3,1131,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象：结合图象及()f x 的单调性，又5()(1)43f f =-=所以()4f x <的解集为5(1,)3x ∈-． 法二：1214x x ++-<等价于1134x x <-⎧⎨-<⎩或1134x x -≤≤⎧⎨-<⎩或1314x x >⎧⎨-<⎩解得x φ∈或(1,1]x ∈-或5(1,)3x ∈，即5(1,)3x∈-．（Ⅱ）方法一：由()2f x m≥得|1|(2|1|)x m x+≥--由0m<，所以1|1||1|2x xm-+≥--，画出|1|2y x=--及1|1|y xm=-+的图象根据图象性质可得11m-≥，综上10m-≤<．故的m最小值为1-．方法二：(1)1,1()(1)1,11(1)1,1m x m xf x m x m xm x m x--+-<-⎧⎪=-+++-≤≤⎨⎪+-+>⎩，要使得()2f x m≥恒成立，即min()2f x m≥．则()f x必有最小值．因此()f x在(,1)-∞-必单调递减或为常函数，在(1,)+∞必单调递增或为常函数．即10m--≤且10m+≥即1m≥-．又0m<，故()f x在上[1,1]-是增函数，即min()(1)2f x f m=-=．解(1)2f m-≥恒成立．综上10m-≤<．故m的最小值为1-．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，解题关键是正确去掉绝对值号，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.。