广东省东莞市东华高级中学2017-2018学年高二9月月考数学试题 Word版含解析

2017-2018学年下学期高二数学月考试题07第I 卷（选择题）一、单项选择1. 若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( ) A ．0 B ．2C.52D ．52. 已知i 是虚数单位,则复数ii -+1)1(2的虚部等于 ( )A.1-B. i -C. iD. 13. 由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( ) A.329B ．2－ln3C ．4＋ln3D ．4－ln34. 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确5. 若函数1()ax f x e b=-的图象在0x =处的切线l 与圆22:1C x y +=相离,则点(,)P a b 与圆C 的位置关系是 ( )A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定6. 函数313y x x =+- 有（ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值27. 如图中阴影部分的面积是 （ ）A．．9-．323 D ．3538. 平面上有n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成)(n f 块区域,有8)3(,4)2(,2)1(===f f f ,则=)(n f ( )A.n 2B.22+-n nC.)3)(2)(1(2----n n n nD.410523-+-n n n9. 已知复数21iz i =-,则复数z 的共轭复数为( ) A.1i + B.1i -+ C.1i - D.1i --10. 下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y =2C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(11. 已知复数1co s 23s i n 23z i =+和复数2co s 37s i n 37z i =+,则21z z ⋅为( )A.i 2321+ B.i 2123+ C.i 2321- D.i 2123-12. 设复数满足i z i -=⋅2,则=z ( ) A.12i -+ B.12i -- C.12i + D.12i -第II 卷（非选择题）二、填空题13. 若函数)(x φ、)(x g 都是奇函数，()()()2f x a x bg x φ=++在(0,)+∞上有最大值5，则()()()2f x a x b g x φ=++在(,0)-∞上有最小值__________。

2017-2018学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=x D．y=x3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．135°或45°D．135°4．“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积不为0的是（）A．B． C． D．6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形7．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为，该椭圆的方程为（）A．B．C．D．9．南沙群岛自古以来都是中国领土，南沙海域有A、B两个岛礁相距100海里，从A岛礁望C岛礁和B岛礁成60°的视角，从B岛礁望C岛礁和A岛礁成75°的视角，我国兰州号军舰航在A岛礁处时候B岛礁处指挥部的命令，前往C岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离C岛礁距离是（）A．100（+1）海里B．50（）海里C．50海里D．50海里10．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在11．已知{a n}是首项为9的等比数列，S n是前n项和，且=，则数列{log3a n}前9项和为（）A．54 B．﹣18 C．18 D．﹣3612．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||=3||，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．已知数列{a n}的前n项和，则a n=．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为．15．直线y=x﹣2与抛物线y2=8x交于A，B两点，则|AB|=．16．下列四种说法：①垂直于同一平面的所有向量一定共面；②在△ABC中，已知，则∠A=60°；③在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，则A=④若a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2≥2；正确的序号有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知p：x2﹣6x+5≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若m=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2cosA=．（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．东莞某家具生产厂家根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产书桌、书柜、电脑椅共120张，且书桌至少生产20张．已知生产这些家（以千元为单位）20．设数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和T n，求使得成立的n的最小值．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．22．已知椭圆E：过点，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列51、47、43，…，得到等差数列的通项公式，让通项小于0得到解集，求出解集中最小的正整数解即可．【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=x D．y=x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，双曲线的a=2，b=4，可得渐近线方程为y=±2x．故选：A．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．135°或45°D．135°【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可解得：sinA=，从而A=45°或135°，由a＜b从而确定A=45°．【解答】解：由正弦定理知：，∵a=，b=，∠B=60°，代入上式，∴，故可解得：sinA=，从而A=45°或135°，∵a＜b，∴A＜B，∴A=45°．故选：B．4．“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【考点】的否定．【分析】根据全称的否定是特称即可得到结论．【解答】解：为全称，则的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积不为0的是（）A．B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立空间直角坐标系，求出各向量的坐标，计算数量积进行验证．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则=（0，1，1），=（0，1，﹣1），=（0，1，0），=（1，0，0），=（﹣1，1，1），=（1，1，0），∴=0；=0；=1，=0．故选：C．6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【考点】正弦定理．【分析】首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【解答】解：已知：acosA=bcosB利用正弦定理：解得：sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B所以：2A=2B或2A=180°﹣2B解得：A=B或A+B=90°所以：△ABC的形状一定是等腰或直角三角形故选：D7．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当a＞b＞0时，a2＞b2成立，当a=﹣3，b=﹣1时，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，即“a2＞b2”是“a＞b＞0”d的必要而不充分条件，故选：B．8．已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为，该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆的右焦点坐标，进一步得到c值，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），∴所求椭圆的右焦点为F（1，0），则c=1，又，得．∴，则椭圆方程为：．故选：A．9．南沙群岛自古以来都是中国领土，南沙海域有A、B两个岛礁相距100海里，从A岛礁望C岛礁和B岛礁成60°的视角，从B岛礁望C岛礁和A岛礁成75°的视角，我国兰州号军舰航在A岛礁处时候B岛礁处指挥部的命令，前往C岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离C岛礁距离是（）A．100（+1）海里B．50（）海里C．50海里D．50海里【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据∠A和∠B求出∠C，进而根据正弦定理求得AC．【解答】解：∠C=180°﹣60°﹣75°=45°根据正弦定理得，∴AC=50（+1），故选：B．10．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【分析】数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，可得=a m•a n，化简可得m+n=6．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，∴=a m•a n=，∴16=2m+n﹣2，∴m+n=6．则=（m+n）≥≥=，当且仅当n=2m=4时取等号．故选：A．11．已知{a n}是首项为9的等比数列，S n是前n项和，且=，则数列{log3a n}前9项和为（）A．54 B．﹣18 C．18 D．﹣36【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列前n项和公式求出q=，从而得到a n=（）n﹣3，进而log3a n==3﹣n，由此能求出数列{log3a n}前9项和．【解答】解：∵{a n}是首项为9的等比数列，S n是前n项和，且=，∴=1+q3=，解得q=，∴a n==（）n﹣3，∴log3a n==3﹣n，∴数列{log3a n}前9项和S9=9×3﹣（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=﹣18．故选：B．12．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||=3||，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由点到直线的距离公式可得||=b，则||=3b，cos∠F1OM=﹣，由此利用余弦定理可得a，b的关系，进而得到a，c的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由F2（c，0）到渐近线y=x的距离为d==b，即有||=b，则||=3b，在△MF1O中，||=a，||=c，cos∠F1OM=﹣，由余弦定理可知=﹣，又c2=a2+b2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，即有e==．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．已知数列{a n}的前n项和，则a n=4n﹣1．【考点】数列递推式．（n≥2）求得数列的通项公式．【分析】由数列的前n项和求得首项，再由a n=S n﹣S n﹣1【解答】解：由，得a1=S1=3；当n≥2时，=4n﹣1．验证n=1时，上式成立，∴a n=4n﹣1．故答案为：4n﹣1．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．15．直线y=x﹣2与抛物线y2=8x交于A，B两点，则|AB|=16．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直线y=x﹣2与抛物线y2=8x联立，求出A，B的坐标，即可求得|AB|．【解答】解：直线y=x﹣2与抛物线y2=8x联立，消去x可得y2﹣8y﹣16=0∴y=4±4∴x=6±4∴|AB|==16故答案为：1616．下列四种说法：①垂直于同一平面的所有向量一定共面；②在△ABC中，已知，则∠A=60°；③在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，则A=④若a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2≥2；正确的序号有①②④．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由共面向量的定义判断①；利用正弦定理结合已知判断②；由正弦定理和余弦定理求出A值判断③错误；利用基本不等式的性质判断④．【解答】解：①垂直于同一平面的所有向量一定共面，①正确；②在△ABC中，由，得==，即tanA=tanB=tanC，则∠A=60°，②正确；③在△ABC中，由sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，得a2=b2+c2+bc，故cosA==﹣，则A=，③错误；④若a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2≥（）2=2，④正确；故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知p：x2﹣6x+5≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若m=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】复合的真假．【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简p，q，然后利用p∧q为真，取交集求得实数x 的取值范围；（2）求解一元二次不等式化简q，结合p是q充分不必要条件，可得[1，5]⊊[1﹣m，1+m]，转化为关于m的不等式组得答案．【解答】解：（1）由x2﹣6x+5≤0，得1≤x≤5，∴p：1≤x≤5；当m=2时，q：﹣1≤x≤3．若p∧q为真，p，q同时为真．，则，即1≤x≤3；（2）由x2﹣2x+1﹣m2≤0，得q：1﹣m≤x≤1+m．∵p是q充分不必要条件，∴[1，5]⊊[1﹣m，1+m]，∴，解得m≥4．∴实数m的取值范围为m≥4．18．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2cosA=．（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式两边平方后整理可解得cosA=，而由已知及余弦定理可得=，从而解得m的值．（2）由（1）可求得sinA=，结合余弦定理可求得bc≤a2，即可由三角形面积公式求最大值．【解答】（本题满分为15分）解：（1）由2cosA=，两边平方可得：4cos2A﹣4cosA+1=0，解得：cosA=．…4分而a2﹣c2=b2﹣mbc可以变形为：=，即cosA==，所以m=1．…7分（2）由（1）知cosA=，则sinA=，又=．…9分所以bc=b2+c2﹣a2≥2bc﹣a2，即bc≤a2…12分故S△ABC=bcsinA≤•=．…15分19．东莞某家具生产厂家根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产书桌、书柜、电脑椅共120张，且书桌至少生产20张．已知生产这些家（以千元为单位）【考点】简单线性规划．【分析】设每周生产书桌x张、书柜y张，则生产电脑椅120﹣x﹣y张，产值为z千元，由题意列出关于x，y的不等式组，再求出线性目标函数z=4x+3y+2=2x+y+240，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设每周生产书桌x张、书柜y张，则生产电脑椅120﹣x﹣y张，产值为z千元，则依题意得z=4x+3y+2=2x+y+240，由题意得x，y满足，即，画出可行域如图所示．解方程组，得，即M（20，60）．做出直线l0：2x+y=0，平移l0过点M（20，60）时，目标函数有最大值，z max=2×20+60+240=340（千元）．答：每周应生产书桌20张，书柜60张，电脑椅40张，才能使产值最高，最高产值是340千元．20．设数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和T n，求使得成立的n的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n＞1），即a n=2a n﹣1（n＞1）．由a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）．解出即可得出．（2）利用等比数列的前n项和公式及其不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣a1，∴a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n＞1），即a n=2a n﹣1（n＞1）．从而a2=2a1，a3=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）．∴a1+4a1=2（2a1+1），解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故．（2）由（1）得．∴．由，得，即2n＞2016．∵210=1024＜2016＜2048=211，∴n≥11．于是，使成立的n的最小值为11．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥平面AMN．（2）求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，∴以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，由SA=AB，设AB=AD=AS=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（，0，），=（），=（﹣1，﹣1，1），•=﹣=0，∴，∴SC⊥⊥AM，又SC⊥AN，且AN∩AM=A，∴SC⊥平面AMN．解：（2）∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，且=（0，0，1），设平面ACM的法向量为=（x，y，z），=（1，1，0），=（），则，取x=﹣1，得=（﹣1，1，1），cos＜＞===，由图形知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角，∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．22．已知椭圆E：过点，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和A在椭圆上，满足椭圆方程，解方程即可得到所求椭圆的方程；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由，可得x1x2+y1y2=0，代入化简整理，再由直线和圆相切的条件，即可得到满足条件的圆存在；运用弦长公式，化简整理，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意得：e=，a2﹣b2=c2，且+=1，解得，a=2，b=1，所以椭圆E方程为；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，由得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4=0，令P（x1，y1），Q（x2，y2），可得，，∵，∴x1x2+y1y2=0∴，∴5m2=4k2+4，由直线PQ与圆相切，则，所以存在圆．当直线PQ的斜率不存在时，也适合．综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意．由弦长公式可得：==，又，代入上式可得：，令4k2+1=t，即，则，当时，即时，，当直线l的斜率k不存在时，，所以．2016年7月31日。

广东省东莞市2017-2018学年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．CDFN2．（5分）设集合M={x|y2=3x，x∈R}，N={y|x2+y2=4，x∈R，y∈R}，则M∩N等于（）A．B．[﹣2，2]C．D．[0，2]3．（5分）已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=（）A．﹣8 B．±8 C．D．4．（5分）若a=2x，b=log x，则“a＞b”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）已知，则sin2α等于（）A．B．C．D．6．（5分）设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个，其中正确的个数为（）①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．A．1B．2C．3D．47．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．68．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且||=||，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣9．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C． f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p=（）A．2B．4C．6D．8二、填空题（本大题共3小题，满分15分.分必做题和选做题.把答案填在题中的横线上）（一）、必做题：三个小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，则λ=．12．（5分）如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是．13．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=14相交于A、B 两点，则AB的最小值为．三、（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知两点的极坐标为、，则直线AB的直角坐标方程为．四、（几何证明选讲选做题）15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，已知A=45°，cosB=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求AB，CD的长．17．（12分）家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A类服务员12名，B类服务员x名（Ⅰ）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B类服务员的人数是16，求x的值；（Ⅱ）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有3名A 类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择①请列出该客户的所有可能选择的情况；②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率．18．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=0，a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，b1=1，点（T n+1，T n）在直线上，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．20．（14分）已知函数f（x）=+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2．（1）求实数a，b的值；（2）设g（x）=f（x）+是[2，+∞）上的增函数．①求实数m的最大值；②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；（3）过椭圆C1：+=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：+为定值．广东省东莞市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．CDFN考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．解答：解：∵（1+2i）z=4+3i，∴，则z的共轭复数是2+i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2．（5分）设集合M={x|y2=3x，x∈R}，N={y|x2+y2=4，x∈R，y∈R}，则M∩N等于（）A．B．[﹣2，2]C．D．[0，2]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．解答：解：由M中y2=3x≥0，得到x≥0，即M=[0，+∞），由N中x2+y2=4，得到﹣2≤y≤2，即N=[﹣2，2]，则M∩N=[0，2]．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=（）A．﹣8 B．±8 C．D．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解方程易得答案．解答：解：由等比数列的性质可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解得xz=4，y=﹣2，（y=2时，和x2=﹣y矛盾），∴xyz=﹣8．故选：A点评：本题考查等比数列的性质，属基础题．4．（5分）若a=2x，b=log x，则“a＞b”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先画出函数的图象，根据图象以及充分条件，必要条件的定义即可判断a＞b与x＞1的关系．解答：解：如图，x=x0时，a=b，∴若a＞b，则得到x＞x0，且x0＜1，∴a＞b不一定得到x＞1；∴a＞b不是x＞1的充分条件；若x＞1，则由图象得到a＞b，∴a＞b是x＞1的必要条件；∴a＞b是x＞1的必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查指数函数、对数函数图象，充分条件，必要条件，必要不充分条件的概念．5．（5分）已知，则sin2α等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，整理后求出tanα的值，然后将所求的式子分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化为sin2α+cos2α，分子利用二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以cos2α，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵tan（α﹣）==，∴tanα=2，则sin2α====．故选C点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6．（5分）设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个，其中正确的个数为（）①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．A．1B．2C．3D．4考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，判断①；②根据直线与平面平行的判定定理，得出②错误；③根据空间中的线面平行关系，判断③错误；④根据空间中的线面平行关系，得出④正确．解答：解：对于①，当m∥l，m⊥α时，l⊥α，∴①正确；对于②，当m∥l，m∥α时，l∥α，或l⊂α，∴②错误；对于③，当α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n时，l∥m∥n，或l、m、n交于一点，∴③错误；对于④，当α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β时，l∥m，∴④正确．综上，正确的为①④．故选：B．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础性题目．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．解答：解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．8．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且||=||，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣考点：直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．解答：解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．点评：若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．9．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C． f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．解答：解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在R上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选C．点评：本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p=（）A．2B．4C．6D．8考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴∴p=4故选：B．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题（本大题共3小题，满分15分.分必做题和选做题.把答案填在题中的横线上）（一）、必做题：三个小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，则λ=2．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由已知条件，求出λ+，利用共线向量的充要条件列出方程，求出λ的值．解答：解：∵向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+=（λ+2，2λ+3），又向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，∴（λ+2）×（﹣7）﹣（2λ+3）×（﹣4）=0，∴λ=2．故答案为：2．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时按照平面向量的运算法则进行计算，即可得出正确的答案，是基础题．12．（5分）如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先把三视图转换成立体图，进一步利用几何体的体积关系式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体是由一个棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH，沿相邻的三个侧面的对角线截去一个三棱锥E﹣AFH得到一个多面体．所以：V==故答案为：点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的相互转换，几何体的体积关系式的应用．主要考查学生的空间想象能力和应用能力．13．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=14相交于A、B 两点，则AB的最小值为4．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：通过约束条件画出可行域，确定P的位置使得到圆心的距离最大，然后求出弦长的最小值．解答：解：点P（x，y）满足，P表示的可行域如图阴影部分：原点到直线x+y=4的距离为OD，所以当P在可行域的Q点时，Q到圆心O的距离最大，当AB⊥OQ时，AB最小．Q的坐标由确定，Q（1，3），OQ==，所以AB=2=4．故答案为：4．点评：本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断P的位置，是解题的关键．三、（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知两点的极坐标为、，则直线AB的直角坐标方程为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用把A，B两点的周建彪化为直角坐标，再利用点斜式即可得出．解答：解：两点的极坐标为、，化为直角坐标A，B．斜率k==﹣．∴直线AB的直角坐标方程为y﹣=﹣，化为，故答案为：．点评：本题考查了把极坐标化为直角坐标、直线的点斜式，考查了计算能力，属于基础题．四、（几何证明选讲选做题）15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题．解答：解：由割线定理得，PA×PB=PC×PD，∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD，∴PD=8，∴CD=8﹣5=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．故填：30°或．点评：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，已知A=45°，cosB=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求AB，CD的长．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据三角形的内角和定理得到所求式子中C等于180°﹣A﹣B，而A=45°，得到C=135°﹣B，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinB和cosB 的值代入即可求出值；（II）利用三角函数的正弦定理求出边AB的长；利用三角形的余弦定理求出CD的长．解答：解：（Ⅰ）∵cosB=，且B∈（0°，180°），∴sinB==sinC=sin（180°﹣A﹣B）=sin（135°﹣B）=sin135°cosB﹣cos135°sinB=•﹣（﹣）•=（II）由（Ⅰ）可得sinC=由正弦定理得，即，解得AB=14在△BCD中，BD=7，CD2=72+102﹣2×7×10×=37，所以CD=点评：本题考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式、考查三角形中的正弦定理、余弦定理，是一道中档题．17．（12分）家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A类服务员12名，B类服务员x名（Ⅰ）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B类服务员的人数是16，求x的值；（Ⅱ）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有3名A 类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择①请列出该客户的所有可能选择的情况；②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）根据分层抽样即可求的x的值，（2）列举出所有的可能，找到满足最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况，根据古典概率公式计算即可．解答：解：（1）20﹣16=4，由，可得x=48（2）①设3名A类家政服务员的编号为a，b，c，2名B类家政服务员的编号为1，2，则所有可能情况有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）共10种选择．②该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况有：（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2）共6种选择，∴该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率为P=．点评：本题主要考查了分层抽样和古典概率的问题，关键是一一列举所有的基本事件，属于基础题．18．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC∥平面MFD；（Ⅱ）连接ED，设ED∩FC=O．根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC；（Ⅲ）先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值．解答：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分）所以NC∥MD，…（3分）因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD．…（4分）（Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，…（5分）因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．…（6分）又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．…（7分）所以FC⊥平面NED，…（8分）因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．…（9分）（Ⅲ）解：设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4．由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为．…（11分）所以．…（13分）当且仅当x=4﹣x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大．…（14分）点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查基本不等式的运用，掌握线面平行，线面垂直的判定方法，正确表示四面体NFEC的体积是关键．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=0，a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，b1=1，点（T n+1，T n）在直线上，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用递推式可得：a n+1=2a n+1，变形利用等比数列的定义即可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由点（T n+1，T n）在直线上，可得，利用等差数列的通项公式可得：，利用递推式可得b n=n．利用不等式，可得R n=，利用“错位相减法”可得：．对n分类讨论即可得出．解答：解：（Ⅰ）由a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，得a1+a2+a3+…+a n﹣1+n﹣1=a n（n≥2），两式相减得a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1）（n≥2），∵a1=0，∴a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），∴{a1+1}是以1为首项，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∵点（T n+1，T n）在直线上，∴，故是以为首项，为公差的等差数列，则，∴，当n≥2时，，∵b1=1满足该式，∴b n=n．∴不等式，即为，令，则，两式相减得，∴．由恒成立，即恒成立，又，故当n≤3时，单调递减；当n=3时，；当n≥4时，单调递增；当n=4时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的单调性，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2．（1）求实数a，b的值；（2）设g（x）=f（x）+是[2，+∞）上的增函数．①求实数m的最大值；②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2，建立方程组，即可求实数a，b的值；（2）①求导函数，利用g（x）是[2，+∞）上的增函数，可得g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，进一步利用换元法，确定函数的最值，即可求得m的最大值；②由①得g（x）=，证明图象关于点Q（1，）成中心对称即可．解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=x2﹣2x+a∵函数在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2，∴，∴．（2）①由=，得g′（x）=．∵g（x）是[2，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，即在[2，+∞）上恒成立．设（x﹣1）2=t，∵x∈[2，+∞），∴t≥1，∴不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立当m≤0时，不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．当m＞0时，设y=t+2﹣，t∈[1，+∞）因为y′=1+＞0，所以函数y=t+2﹣在[1，+∞）上单调递增，因此y min=3﹣m．∴y min≥0，∴3﹣m≥0，即m≤3，又m＞0，故0＜m≤3．综上，m的最大值为3．②由①得g（x）=，其图象关于点Q（1，）成中心对称．证明如下：∵g（x）=，∴g（2﹣x）==因此，g（x）+g（2﹣x）=．∴函数g（x）的图象关于点Q成中心对称．∴存在点Q（1，），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查图象的对称性，属于中档题．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；（3）过椭圆C1：+=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：+为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可；（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立l与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x1+x2与x1x2，根据∠AOB为锐角，得到•＞0，即x1x2+y1y2＞0，即可确定出k的范围；（3）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N 不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．解答：解：（1）由题意得：c=1，∴a2=b2+1，又因为点P（1，）在椭圆C上，∴+=1，解得：a2=4，b2=3，则椭圆标准方程为+=1；（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y得：（4k2+3）x2+16kx+4=0，∵△=12k2﹣3＞0，∴k2＞，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵∠AOB为锐角，∴•＞0，即x1x2+y1y2＞0，∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，整理得：（1+k2）•+2k•+4＞0，即＞0，整理得：k2＜，即＜k2＜，解得：﹣＜k＜﹣或＜k＜；（3）由题意：C1：+=1，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），∵M，N不在坐标轴上，∴k PM=﹣=﹣，∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣（x﹣x2），化简得：x2x+y2y=④，同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=⑤，把P点的坐标代入④、⑤得，∴直线MN的方程为x1x+y1y=，令y=0，得m=，令x=0得n=，∴x1=，y1=，又点P在椭圆C1上，∴（）2+3（）2=4，则+=为定值．点评：此题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．。

广东省东莞市东华高级中学2024-2025学年高二上学期第一次联合考试数学试卷一、单选题1．过点()0,3且倾斜角为150︒的直线l 的方程为（）A30y +-=B ．0x -=C ．0x +=D ．x --=2．已知向量()3,2,4a =- ，()1,,b λμ= ，若a ，b共线，则λμ+=（）A ．23B ．23-C ．43D ．43-3．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b ab的面积为，焦距为C 的离心率为（）A ．4B ．12C D 4．已知四面体ABCD 如图所示，点E 为线段CD 的中点，点F 为ABC V 的重心，则EF =（）A ．211362AB AC AD -- B ．211332AB AC AD --C ．112333AB AC AD--D ．111362AB AC AD--5．已知[]0,1t ∈，且点()2,53M t t +-，()0,1P -，则直线MP 的倾斜角的取值范围是（）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭6．已知O 为坐标原点，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点M 在C 上，且M 在x 轴上的射影为F ，若=，则C 的渐近线方程为（）A ．y =B ．2y x=±C ．2y =±D ．12y x=±7．若一束光线从点()1,1A -处出发，经过直线:3l y x =+上一点P 反射后，反射光线与圆()()22:441C x y -+-=交于点Q ，则光线从点A 到点Q 经过的最短路线长为（）A ．5B ．6C ．7D ．88．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是一个圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点P 在边长为6的正方形ABCD 内（包含边界）运动，且满足2PA PB =，则动点P 的轨迹长度为（）A ．16πB ．4πC ．16π3D ．4π3二、多选题9．已知向量()2,1,2a =--，()3,2,2b = ，则（）A ．()24,5,6a b -=---B ．aC ．a b⊥ D ．cos ,26a ab +=10．已知点()1,1A ，直线:230l x y -+=，圆22:440C x y x y ++-=，则（）A ．直线l 的一个方向向量为()1,2a =B ．点A 到直线lC ．圆C 上的点到点AD ．直线l 被圆C 11．已知12,F F 分别是双曲线22:13y C x -=的左、右焦点，经过点1F 且倾斜角为钝角的直线l与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，点P 为C 上第二象限内一点，则（）A ．若双曲线E 与C 有相同的渐近线，且E 的焦距为8，则E 的方程为221412-=x y B ．若()2,2M -，则1PF PM +的最小值是2C ．若12PF F 内切圆的半径为1，则点P 的坐标为()2,3-D ．若线段AB 的中垂线过点2F ，则直线l的斜率为三、填空题12．已知圆221:1C x y +=，圆()222:21C x y -+=，则12,C C 的公切线方程为．（写出一条即可）13．已知六面体ABCDE 如图所示，其由一个三棱锥C ABD -和一个正四面体ABDE 拼接而成，其中2CA CB CD ===，DE =F 为线段AC 的中点，则异面直线AD 与EF 所成角的余弦值为．14．已知1F ，2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF ⊥，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的取值范围是.四、解答题15．已知直线l 过点()3,5-．(1)若直线l 与直线:2710l x y -'-=垂直，求l 的方程；(2)若直线l 与圆22:280C x y y ++-=相切，求l 的方程．16．已知双曲线22:126x y C -=，直线l 与C 交于,M N 两点．(1)若l 的方程为30x y --=，求MN ；(2)若12MP MN =，且()1,3P ，求l 的斜率．17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1162AB BC AA ===，点,E F 分别是线段11,AA CC 上靠近1,A C 的四等分点．(1)求点1B 到平面1D EF 的距离；(2)求平面1D EF 与平面1B AC 的夹角的余弦值．18．已知等腰梯形ABCD 如图1所示，其中AD BC ∥，45BAD ∠=︒，点E 在线段AD 上，且BE AD ⊥，3AD BC =，现沿BE 进行翻折，使得平面ABE ⊥平面BCDE ，所得图形如图2所示．(1)证明：CD AE ⊥；(2)已知点F 在线段CD 上（含端点位置），点G 在线段AF 上（含端点位置）．（ⅰ）若2CF DF =，点G 为线段AF 的中点，求AC 与平面BEG 所成角的正弦值；（ⅱ）探究：是否存在点,F G ，使得AF ⊥平面BEG ，若存在，求出AGAF的值；若不存在，请说明理由．19．如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点M 作x 轴的垂线交其“伴随圆”于点N ，称点N 为点M 的“伴随点”．已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>上的点12⎫⎪⎭的一个“伴随点”为)．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()3,0-的直线l 与椭圆E 交于不同的两点,A B ，点C 与点A 关于x 轴对称．（ⅰ）证明：直线BC 恒过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的直线BC 所过的定点为T ，若,B C 在直线3x =-上的射影分别为11,B C （1B ，1C 为不同的两点），记1TBB △，1TCC △，11TB C △的面积分别为123,,S S S ，求123S S S +的取值范围．。

广东省东莞市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（A卷）（理科）一.选择题1．（5分）“若x＞2015，则x＞0”的否是（）A．若x＞2015，则x≤0 B．若x≤0，则x≤2015C．若x≤2015，则x≤0 D．若x＞0，则x＞20152．（5分）若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）在△A BC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=4，A=45°，B=60°，则b=（）A．2B．2C．2D．4．（5分）已知等比数列{a n}，a1=1，a3=，则a5=（）A．±B．﹣C．D．±5．（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S5=15，则数列{}的前10项和为（）A．B．C．D．7．（5分）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G是线段MN的中点，设，则x，y，z的值分别是（）A．B．C．D．8．（5分）设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为（）A．6B．3+2C．1D．9．（5分）方程px﹣qy2=0与px2﹣qy2=1（pq≠0）表示的曲线在同一坐标系中可能的是（）A．B．C．D．10．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．2B．C．D．4二.填空题11．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为．12．（5分）已知等差数列{a n}，a1=1，公差d≠0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=．13．（5分）若“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假，则实数a的取值范围为．14．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数m2（m＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点②曲线C关于坐标原点对称③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积的最大值为．其中所有正确结论的序号是．三.解答题15．（12分）在△A BC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．16．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？18．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1=1，S n+1=a n+1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b，其前n项和为T n，①求证：＜1②是否存在最小整数m，使得不等式＜m对任意真整数n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B 及C、D．（1）求椭圆的方程；（2）求+的值；（3）求|AB|+|CD|的最小值．广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（A 卷）（理科）参考答案与试题解析一.选择题1．（5分）“若x＞2015，则x＞0”的否是（）A．若x＞2015，则x≤0 B．若x≤0，则x≤2015C．若x≤2015，则x≤0 D．若x＞0，则x＞2015考点：四种．专题：简易逻辑．分析：否是既否定题设又否定结论，从而得到答案．解答：解：“若x＞2015，则x＞0”的否是：若x≤2015，则x≤0，故选：C．点评：要将的否定和否区分开来，本题属于基础题．2．（5分）若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案，解答：解：若a=2，则（a﹣2）（a+4）=0，是充分条件，若（a﹣2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．3．（5分）在△A BC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=4，A=45°，B=60°，则b=（）A．2B．2C．2D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得b=，代入已知即可求值．解答：解：由正弦定理可得：b===2．故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}，a1=1，a3=，则a5=（）A．±B．﹣C．D．±考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得a32=a1•a5，代值计算可得．解答：解：∵等比数列{a n}，a1=1，a3=，∴a32=a1•a5，∴=1×a5，解得a5=故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．5．（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线的方程，求出渐近线方程，可得a=2b，a2+b2=100，解方程即可得到双曲线的方程．解答：解：设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则渐近线方程为y=x，则有=，c=10，a2+b2=100，解得a2=80，b2=20，即有双曲线的方程为﹣=1．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S5=15，则数列{}的前10项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列性质计算可得，也可由S5=15直接求公差．推出通项公式，然后利用裂项法求解数列的和．解答：解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S5=15=×5，可得a5=5．d=1，a n=n，==，数列{}的前10项和为：==．故选：A．点评：本题考查数列的求和的方法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理应用．7．（5分）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G是线段MN的中点，设，则x，y，z的值分别是（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件，转化向量关系，通过平面向量的运算，推出结果即可．解答：解：空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G是线段MN的中点，可知，=，=．∴=，∵，∴x，y，z的值分别是．故选：A．点评：本题考查平面向量基本定理的应用，空间向量转化为平面向量的解题的关键．8．（5分）设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为（）A．6B．3+2C．1D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：是5a与5b的等比中项，可得a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵是5a与5b的等比中项，∴5a•5b==5，∴a+b=1．∵a＞0，b＞0，∴=（a+b）=3+=3+2．当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为3+2．故选：B．点评：本题考查了等比数列的性质、指数运算法则、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．9．（5分）方程px﹣qy2=0与px2﹣qy2=1（pq≠0）表示的曲线在同一坐标系中可能的是（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据圆锥曲线的定义，逐一判断和每个选项，即可得到答案解答：解：方程px﹣qy2=0可化为y2=x，这表示焦点在x轴的抛物线，排除D；当开口向右时，＞0，则pq＞0，所以px2﹣qy2=1（pq≠0）表示双曲线，排除C；当开口向左时，＜0，则pq＜0，所以px2﹣qy2=1（pq≠0）表示椭圆或圆或不表示任何图形，排除B；故选：A点评：本题考查了圆锥曲线的方程，利用排除法时选择题常用的方法，属于基础题10．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．2B．C．D．4考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1MF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即=﹣1，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即=1﹣，③联立②③得，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，即（+）2≤×4=，即+≤，当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．故选C．点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．二.填空题11．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：确定抛物线的焦点位置，根据方程即可求得焦点坐标．解答：解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4∴=1∴抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）故答案为：（0，﹣1）点评：本题考查抛物线的几何性质，先定型，再定位是关键．12．（5分）已知等差数列{a n}，a1=1，公差d≠0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=31．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得（1+d）2=1×（1+5d），解得d由等差数列的通项公式可得．解答：解：∵等差数列{a n}，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a6成等比数列，∴a22=a1•a6，代入数据可得（1+d）2=1×（1+5d），解得d=3，或d=0（舍去）∴a11=a1+10d=1+10×3=31故答案为：31点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及等比数列的通项公式，属基础题．13．（5分）若“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假，则实数a的取值范围为[﹣1，3]．考点：特称；的否定．专题：规律型．分析：根据特称为假，则对应的全称为真，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围．解答：解：∵“∃x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假，∴“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真，即对应的判别式△=（a﹣1）2﹣4≤0，即（a﹣1）2≤4，∴﹣2≤a﹣1≤2，即﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，3]．点评：本题主要考查含有量词的的应用，以及不等式恒成立问题，比较基础．14．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数m2（m＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点②曲线C关于坐标原点对称③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积的最大值为．其中所有正确结论的序号是②．考点：的真假判断与应用．专题：计算题；解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），由两点的距离公式得到动点的轨迹方程，代入原点，即可判断；②把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，即可判断；③求出面积，由轨迹方程解得y2，再配方求得最大值，即可判断．解答：解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：•=m2⇔[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]=m4（1）将原点代入验证，此方程不过原点，故①错；对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．故②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积S=×2|y|=|y|，由（1）式平方化简的：y4+[（x+1）2+（x﹣1）2]y2+（x2﹣1）2﹣m4=0⇒y2=﹣x2﹣1+或y2=﹣x2﹣1﹣（舍）把三角形的面积式子平方得：S2=y2对于y2=﹣x2﹣1+（2）令=t（t≥m2＞1）⇒x2=，代入（2）得y2=﹣+﹣1+t=﹣（t﹣2）2+≤，故可知S≤m2，故③错．故答案为：②．点评：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．三.解答题15．（12分）在△A BC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由已知可先求sinB的值，由ac=35，即可根据面积公式求S△ABC的值．（2）由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cosC的值，即可求出C的值．解答：解：（1）∵cosB=，且B∈（0，π），∴sinB==，又ac=35，…（3分）∴S△ABC=acsinB==14．…（6分）（2）由ac=35，a=7，得c=5，…（7分）∴b2=a2+c2﹣2accosB=49+25﹣2×=32，∴b=4，…（9分）∴cosC===…（10分）又C∈（0，π）…（11分）∴C=．…（12分）点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．16．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）若a=1，求出p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x 的取值范围；（2）求出p，q的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）若a=1，不等式为x2﹣5x+4＜0，即1＜x＜4，即p：1＜x＜4，由x2﹣4x+3≤0得（x﹣3）（x﹣1）≤0，则1≤x≤3，即q：1≤x≤3，若p∧q为真，则p，q同时为真，即，解得1＜x≤3，则实数x的取值范围是1＜x≤3；（2）∵x2﹣5ax+4a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣4a）＜0，若a＞0，则不等式的解为a＜x＜4a，若a＜0，则不等式的解为4a＜x＜a，∵q：1≤x≤3，∴若p是q的必要不充分条件，则a＞0，且，即≤a≤1，则实数a的取值范围是[，1]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．17．（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，建立目标函数和约束条件，利用线性规划进行求解即可．解答：解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则…（1分）…①…（5分）目标函数为z=0.3x+0.2y，…（6分）不等式组①等价于可行域如图所示，…（9分）当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数z取最小值．…（10分）解方程组得M的坐标（75，225）…（12分）所以z max=0.3×75+0.2×225=67.5．…（13分）答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元．…（14分）点评：本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键．18．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD 的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．解答：解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1．∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴面D1C1M与ABC1D1共面，作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，∴CN=，在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，∴D1N=∴cos∠D1CN===解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（﹣，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）．显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1=1，S n+1=a n+1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b，其前n项和为T n，①求证：＜1②是否存在最小整数m，使得不等式＜m对任意真整数n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）在数列递推式中取n=n﹣1得另一递推式，作差后即可证得数列为等比数列，代入等比数列的通项公式能求出数列{a n}的通项公式．（2）①把数列{a n}的通项代入b n=，利用错位相减法求数列{b n}的前n项和T n，由此能证明＜1．②把S k，T k代入，整理后利用裂项相消法化简，放缩后可证得数列不等式=，由此能求出m的取值范围．解答：（1）解：当n=1时，a2=S1+1=a1+1=2，当n≥2时，S n+1=a n+1，S n﹣1+1=a n，两式相减得a n+1=2a n，又a2=2a1，{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）①证明：由（1）得，∴=，∴T n=，①=，②①﹣②，得=﹣=﹣=，∴＜1，又{T n}是增数列，∴（T n）min=T1=1﹣=，∴＜1．②解：设c k=，则c k=====2（），∴==，∵＜m对任意正整数n恒成立，∴m≥2．点评：本题考查了等比关系的确定，考查了裂项相消法与错位相减法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B 及C、D．（1）求椭圆的方程；（2）求+的值；（3）求|AB|+|CD|的最小值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过椭圆的定义直接计算可得结论；（2）椭圆的右焦点为F2（1，0），分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论即可；（3）通过+=，利用基本不等式计算即得结论．解答：解：（1）由椭圆的定义可知：2a=|MF1|+|MF2|=+=4，∴a=2，由c=1得：b=，故椭圆的方程为：+=1；（2）椭圆的右焦点为F2（1，0），分两种情况讨论如下：1°．当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，∴+=；2°．当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则CD：y=﹣（x﹣1）．又设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y并化简得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，∴|AB|==•=•=，∴+==，综上所述，+为定值；（3）解：由（II）知+=，∴|AB|+|CD|=（|AB|+|CD|）（+）=（++）≥（+2）=，当且仅当=，即|AB|=4、|CD|=3时取等号，∴|AB|+|CD|的最小值为．点评：本题考查椭圆与直线方程，利用用韦达定理是解题的关键，需要较强的计算能力，属于中档题．。

东华高级中学2015-2016学年下学期前段考高二数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.第Ⅰ卷(选择题 共60分)参考公式：正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）； 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=,B ac c a b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=；一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(12)43z i i +=+，则z =（ ）A．2 D2．已知命题 :p x ∀∈R ，2x >，那么命题p ⌝为（ ） A ．002R x x ∃∈≤， B ．002R x x ∀∈<， C ．002R x x ∀∈≤， D ．002R x x ∃∈<，3．表示椭圆的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 4．在△ABC 中，若是 A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差（ ）A ．21B ．1C ．2D ．36．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．若角C B A ,,成等差数列，边c b a ,,成等比数列，则C A sin sin ⋅的值为 A ．43B ．43 C ．21 D ．41 7.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为2201x y mn m n>+=是sin :sin :sin 4A B C =ABC ∆A. 12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 8.若实数y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+00042y x y x ，则12-+=x y z 的取值范围为（ ）A ．),32[]4,(+∞--∞B ．),32[]2,(+∞--∞ C ．]32,2[-D ．]32,4[-9． 已知函数=)(x f ,把函数x x f x g -=)()(的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） A ．B ． C ． D ．10．已知函数若互不相等，且则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知21,F F 分别是双曲线1:2222=-by a x C 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3 B ．3 C ．2 D ．212.已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+．给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f ． 其中正确的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x 2)1(-=n n a n 1-=n a n )1(-=n n a n 22-=nn a |lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩,,a b c ()()(),f a f b f c ==abc(1,10)(5,6)(10,12)(20,24)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．三角形一边长为14，它对的角为︒60，另两边之比为5:8，则此三角形面积为____． 14．极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆2=ρ的公共点个数是________；15．已知)0,(),0,(21C F C F -为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P 在椭圆上，且21F PF ∆的面积为222b ，则=∠21cos PF F ． 16.在数列{}n a 中，若p a a n n =--212（*∈≥N n n ,2，p 为常数），则称数列{}n a 为“等方差数列”。

某某省某某市2016-2017学年高二数学下学期期初考试试题 文2017.3本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1.设i 为虚数单位，复数21a ii++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 22.变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示：若,x y 之间的线性回归方程为ˆˆ12.28ybx =+，则ˆb 值为（ ） A ．0.92- B ．0.94- C ．0.96- D ．0.98- 3.若sin sin 1αβ=，则()cos αβ+= A. 1 B. -1 C. 0 D. 0或-14.某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（ ） A.23 B.14 C.34 D.385．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为x ，设此次抽样中，某件产品A 被抽到的概率为y ，则x ，y 的值分别为（ ）.A 25，16.B 20，16.C 25，1600.D 25，146. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23a =，且12n n S S +=，则4a 等于 A. 6 B. 12 C. 16 D. 247. 已知函数()sin 2f x x =，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再向上平移2个单位移，得到函数()g x 的图象，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为 （ ） A．22⎡-⎢⎣⎦ B．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 0,12⎡+⎢⎣⎦D．⎡⎣ 8.数列{}n a 满足11112,1n n n a a a a ++-==+，其前n 项的积为n T ，则2016T 的值为（ ）A ．-3B ．1C ．2D ．139.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：()12100,3cos 1004y t y t πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则这两个声波合成后（即12y y y =+）的声波的振幅为A.3+10．ABC ∆中，23C π=，3AB =，则ABC ∆的周长为（ ） A ．6sin 33A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．6sin 36A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C．33A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ D．36A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭11.若变量,x y 满足的约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，且()6,3a ∈-，则y z x a =-仅在点11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭处取得最大值的概率为 A.19 B. 29 C. 13 D.4912.设R b a ∈,，)2,0[π∈c ，若对任意实数x 都有)sin()33sin(2c bx a x +=-π，则满足条件的c b a ,,的组数为（ ）A ．1组B ．2组 C.3组 D ．4组二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2015-2016学年广东省东莞市东华高中高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知z（1+2i）＝4+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x＜2B．∃x∈R，x≤2C．∀x∈R，x≤2D．∃x∈R，x＜2 3．（5分）mn＞0是+＝1表示椭圆的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要4．（5分）在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝：4：，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣＝1，则数列{a n}的公差是（）A．B．1C．2D．36．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sin A•sin C的值为（）A．B．C．D．7．（5分）若椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣＝1的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x 8．（5分）若实数x、y满足，则Z＝的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，]D．[﹣4，]9．（5分）已知函数f（x）＝，把函数g（x）＝f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．B．a n＝n﹣1C．a n＝n（n﹣1）D．10．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：﹣＝1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．3D．12．（5分）在f（m，n）中，m，n，f（m，n）∈N*，且对任意m，n，都有f（1，1）＝1，f（m，n+1）＝f（m，n）+2，f（m+1，1）＝2f（m，1）．给出下列三个结论：①f（1，5）＝9；②f（5，1）＝16③f（5，6）＝26其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为．14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是．15．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P在椭圆上，且△PF1F2的面积为，则cos∠F1PF2＝．16．（5分）在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12＝p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{}（k∈N+，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2B＝sin2A+sin2C ﹣sin A sin C．（1）求角B的值；（2）若b＝，S△ABC＝，求•及a+c的值．18．（12分）已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝a1（a n﹣1）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a n b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；（1）求的长；（2）求cos＜，＞的值；（3）求证：A1B⊥C1M．（4）求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y＝f（x）的单调性并求出单调区间．21．（12分）已知椭圆M：：+＝1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝（其中k∈R，e＝2.71828…是自然数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x∈（0，1]时，f′（x）＝0都有解，求k的取值范围；（3）若f′（1）＝0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．2015-2016学年广东省东莞市东华高中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知z（1+2i）＝4+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．【解答】解：∵z（1+2i）＝4+3i，∴|z（1+2i）|＝|4+3i|，即：|z||1+2i|＝|4+3i|，即：|z|，∴|z|＝故选：D．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x＜2B．∃x∈R，x≤2C．∀x∈R，x≤2D．∃x∈R，x＜2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p 为：∃x∈R，x≤2．故选：B．3．（5分）mn＞0是+＝1表示椭圆的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要【解答】解：mn＞0，当m，n都是正数且m≠n时，+＝1表示椭圆，+＝1表示椭圆⇒当m，n都是正数且m≠n⇒mn＞0．∴mn＞0是+＝1表示椭圆的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝：4：，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：依题意，由正弦定理得a：b：c＝：4：，令a＝，则最大角为C，cos C＝＜0，所以△ABC是钝角三角形，故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣＝1，则数列{a n}的公差是（）A．B．1C．2D．3【解答】解：S3＝a1+a2+a3＝3a1+3d，S2＝a1+a2＝2a1+d，∴﹣＝＝1∴d＝2故选：C．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sin A•sin C的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C，又A+B+C＝π，∴B＝，…（6分）又b2＝ac，由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝…（12分）另解：b2＝ac，＝cos B＝＝，…（6分）由此得a2+c2﹣ac＝ac，得a＝c，所以A＝B＝C，sin A sin C＝．故选：A．7．（5分）若椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣＝1的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x 【解答】解：椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则＝，即有＝，则双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝x，即有y＝±x．故选：A．8．（5分）若实数x、y满足，则Z＝的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，]D．[﹣4，]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域OBC．因为，所以z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，﹣2）两点直线的斜率．所以由图象可知当直线经过点P，C时，斜率为正值中的最小值，经过点P，O时，直线斜率为负值中的最大值．由题意知C（4，0），所以k OP＝﹣2，，所以的取值范围为或z≤﹣2，即（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）＝，把函数g（x）＝f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．B．a n＝n﹣1C．a n＝n（n﹣1）D．【解答】解：当x∈（﹣∞，0]时，由g（x）＝f（x）﹣x＝2x﹣1﹣x＝0，得2x＝x+1．令y ＝2x，y＝x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（﹣∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x＝0．当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）＝f（x﹣1）+1＝2x﹣1﹣1+1＝2x﹣1，由g（x）＝f （x）﹣x＝2x﹣1﹣x＝0，得2x﹣1＝x．令y＝2x﹣1，y＝x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x＝1．当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝f（x﹣1）+1＝2x﹣1﹣1+1＝2x﹣2+1，由g（x）＝f（x）﹣x＝2x﹣2+1﹣x＝0，得2x﹣2＝x﹣1．令y＝2x﹣2，y＝x﹣1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x＝2．依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x＝3，x＝4，…，x＝n+1．故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a n＝n ﹣1．故选：B．10．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab＝1，则abc＝c∈（10，12）．故选：C．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：﹣＝1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．3D．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为＝b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|＝2b，A为F2M的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2＝c2+4b2∴3c2＝4（c2﹣a2），∴c2＝4a2，∴c＝2a，∴e＝2．故选：A．12．（5分）在f（m，n）中，m，n，f（m，n）∈N*，且对任意m，n，都有f（1，1）＝1，f（m，n+1）＝f（m，n）+2，f（m+1，1）＝2f（m，1）．给出下列三个结论：①f（1，5）＝9；②f（5，1）＝16③f（5，6）＝26其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵f（m，n+1）＝f（m，n）+2∴f（1，n）＝2n﹣1故（1）f（1，5）＝9正确；又∵f（m+1，1）＝2f（m，1）∴f（n，1）＝2n﹣1∴（2）f（5，1）＝16也正确；则f（m，n+1）＝2m﹣1+2n∴（3）f（5，6）＝26也正确故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为．【解答】解：设另两边分别为8k和5k，由余弦定理可得142＝64k2+25k2﹣80k2cos60°，∴k＝2，故另两边分别为16和10，故这个三角形的面积为×16×10sin60°＝，故答案为：．14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是1．【解答】解：直线，即x+y＝，即x+y﹣2＝0．圆，即x2+y2＝2，表示圆心在原点，半径等于的圆．圆心到直线的距离等于＝，故直线和圆相切，故答案为1．15．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P在椭圆上，且△PF1F2的面积为，则cos∠F1PF2＝．【解答】解：∵F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P在椭圆上，且△PF1F2的面积为，∴，整理，得|PF1|•|PF2|＝，∵△PF1F2的面积为，∴×sin∠F1PF2＝，∴1﹣cos∠F1PF2＝sin∠F1PF2，∵sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2＝1，∴cos∠F1PF2＝．故答案为：．16．（5分）在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12＝p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{}（k∈N+，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为①②③④．（将所有正确的命题序号填在横线上）【解答】解：①因为{a n}是等方差数列，所以a n2﹣a n﹣12＝p（n≥2，n∈N×，p为常数）成立，得到{a n2}为首项是a12，公差为p的等差数列；②因为a n2﹣a n﹣12＝（﹣1）2n﹣（﹣1）2n﹣1＝1﹣（﹣1）＝2，所以数列{（﹣1）n}是等方差数列；③数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k，a k+1，a k+2，…，a2k，…，a3k，…数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，…因为a k+12﹣a k2＝a k+22﹣a k+12＝a k+32﹣a k+22＝…＝a2k2﹣a k2＝p所以（a k+12﹣a k2）+（a k+22﹣a k+12）+（a k+32﹣a k+22）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝a2k2﹣a k2＝kp，类似地有a kn2﹣a kn﹣12＝a kn﹣12﹣a kn﹣22＝…＝a kn+32﹣a kn+22＝a kn+22﹣a kn+12＝a kn+12﹣a kn2＝p 同上连加可得a kn+12﹣a kn2＝kp，所以，数列{a kn}是等方差数列；④{a n}既是等方差数列，又是等差数列，所以a n2﹣a n﹣12＝p，且a n﹣a n﹣1＝d（d≠0），所以a n+a n﹣1＝，联立解得a n＝+，所以{a n}为常数列，当d＝0时，显然{a n}为常数列，所以该数列为常数列．综上，正确答案的序号为：①②③④故答案为：①②③④三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2B＝sin2A+sin2C ﹣sin A sin C．（1）求角B的值；（2）若b＝，S△ABC＝，求•及a+c的值．【解答】解：（1）∵sin2B＝sin2A+sin2C﹣sin A sin C，利用正弦定理可得：b2＝a2+c2﹣ac，∴cos B＝＝，B∈（0，π），∴．（2）∵S△ABC＝，∴sin B＝，∴ac＝2，由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴＝a2+c2﹣2ac，化为（a+c）2﹣3ac＝3，即（a+c）2＝9，解得a+c＝3．•＝﹣ac cos B＝＝﹣1．18．（12分）已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝a1（a n﹣1）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a n b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝a1（a1﹣1），∵a1≠0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），化为a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，∴a n＝2n．（2）∵数列{b n}满足a n b n＝log2a n，∴b n＝＝．∴T n＝+…++，∴＝++…+，∴＝++…+﹣＝﹣＝1﹣﹣，∴T n＝．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；（1）求的长；（2）求cos＜，＞的值；（3）求证：A1B⊥C1M．（4）求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值．【解答】（1）解：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），∴||＝．（2）解：依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），∴＝（﹣1，﹣1，2），＝（0，1，2），•＝3，||＝，||＝，∴cos＜，＞＝．（3）证明：依题意，得C1（0，0，2），M（，2），＝（﹣1，1，2），＝（，0）．∴•＝﹣+0＝0，∴⊥，∴A1B⊥C1M．（4）解：∵A1B⊥C1M，AA1⊥C1M，∴＝（，0）是平面A1ABB1的法向量，＝（0，1，2），设CB1与平面A1ABB1所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴cosθ＝＝．∴CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值为．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y＝f（x）的单调性并求出单调区间．【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ax2+blnx，所以．又函数f（x）在x＝1处有极值，所以即可得，b＝﹣1．（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数y＝f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）21．（12分）已知椭圆M：：+＝1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【解答】解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c＝1，又b2＝3，所以a2＝4，所以椭圆方程为＝1；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y＝x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8＝0，所以△＝288，x1+x2＝，x1x2＝﹣，所以|CD|＝|x1﹣x2|＝×＝；（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x＝﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|＝0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y＝k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2＝﹣，x1x2＝，此时|S1﹣S2|＝2||y1|﹣|y2||＝2|y1+y2|＝2|k（x2+1）+k（x1+1）|＝2|k（x2+x1）+2k|＝＝≤＝＝，（k＝时等号成立）所以|S1﹣S2|的最大值为．22．（12分）已知函数f（x）＝（其中k∈R，e＝2.71828…是自然数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x∈（0，1]时，f′（x）＝0都有解，求k的取值范围；（3）若f′（1）＝0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【解答】解：（1）当k＝2时，f（x）＝的导数为f′（x）＝（x＞0），f′（1）＝﹣，f（1）＝，在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣＝﹣（x﹣1），即为y＝﹣x+；（2）f′（x）＝0，即＝0，即有k＝，令F（x）＝，由0＜x≤1，F′（x）＝﹣＜0，F（x）在（0，1）递减，x→0，F（x）→+∞，F（x）≥1，即k≥1；（3）证明：由f′（1）＝0，可得k＝1，g（x）＝（x2+x）f′（x），即g（x）＝（1﹣x﹣xlnx），对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1等价为1﹣x﹣xlnx＜（e﹣2+1），由h（x）＝1﹣x﹣xlnx得h′（x）＝﹣2﹣lnx，当0＜x＜e﹣2时，h′（x）＞0，h（x）递增，当x＞e﹣2时，h′（x）＜0，h（x）递减，则h（x）的最大值为h（e﹣2）＝1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）＝e x﹣（x+1），φ′（x）＝e x﹣1，x＞0时，φ′（x）＞0，φ（x）＞0，φ（x）＞φ（0）＝0，则x＞0时，φ（x）＝e x﹣（x+1）＞0即＞1．即1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1＜（e﹣2+1），故有对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．。