广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年第一学期高二期中考试数学试题

东华高级中学 2020 学年上学期期中考试高二数学（理）试题一、选择题 ( 本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．已知等差数列 10,7,4, ，则该数列的第 10项为（）A ．17B ． 20C ． 17D ． 202．不等式 ( x1)( 3x) 0 的解集是（ ）2 2A. { x |1x 3} B.{ x | x1 或x3}2 22 2 C. { x |1x 3} D.{ x | x1或x 3} 2 2223．已知等比数列 { n } 的公比为正数，且 a 3 a 9 2a 5 2， a 2 1，则 a 1（）a A ．1B．2C． 2D． 2224．在 ABC 中， a2,b2, B，则 A 等于（）6A ． B． 或3C．D．344 4345. 以下结论正确的选项是（）A ．当 x 0且 x 1 时，lg x1≥ 2 ； B ．当 x 0时， x1≥2；lg xxC ．当 x ≥ 2 时， x1的最小值为 2 ；D．当 0 x ≤ 2 时， x1无最大xx值。

6. 以下说法错误的选项是（ ）A ．假如命题 " p " 与命题“ p q ”都是真命题，那么命题 q 必定是真命题；B ．命题“若 a0 ，则 ab 0 ”的否命题是“若 a0 , 则 ab 0 ”；C ．若命题： p : xR, x 2 x 1 0, 则 p :x R, x 2 x 1 0 ；1"是" 30 " 的充分不用要条件D． "sin27. 若ABC 的内角 A 、 、 所对的边 a 、 、c 知足 a b 2c 24，且C 60 ，B C b则 ab 的值为（ ）A ．4B ．843C ．1D．2338. 已知 a R , 则“ a 2 ”是“ a 2 2a ”的( )A. 充分不用要条件B. 必需不充分条件C ． 充要条件D.既不充分也不用要条件 9．数列 a n 知足 a 11, a n 1 1 1 ，则 a 2013 等于（）2 a nA 、1B、 1C、 2D、 32x ≥ 010 ． 已知点 M (a,b) 在由 不等式组y ≥ 0确立的平面地区内，则点xy ≤ 2N (a b,ab) 组成的平面地区的面积是（）A ． 2B ．4C ．1D ．124二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )11. 不等式x 12 的解集为 x12. 已知正数 x, y 知足 2x y 1，则1 1的最小值为x y13. 已知数列 { a n }中,a 11, na n 12(a 1 a 2a n )(n N *) ，则数列 { a n } 的通项为14. 如图，已知点 C 的坐标是 (2 ，2) 过点 C 的直线 CA 与 X 轴交于点 A ，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 Y 轴交于点 B ，设点 M 是线段 AB的中点，则点 M 的轨迹方程为三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 80 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )15. （此题满分 12 分）已知等差数列的前 n 项和为 S n , a 3 0, S 44 .（1）求数列a n的通项公式；（ 2）当n为什么值时 ,S n获得最小值.16.（此题满分 13 分）已知a 0, a 1 ，命题p :函数 y log a ( x 1) 在 (0, ) 上单调递减，命题 q : 曲线y x2 (2 a 3) x 1 与 x 轴交于不一样的两点，若p q 为假命题， p q 为真命题，务实数 a 的取值范围。

2020-2021学年广东省东莞市高二上学期期中数学试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．在△ABC 中，已知b ＝6√3，c ＝6，C ＝30°，则a ＝（ ） A ．6B ．12C ．6或12D ．无解2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝12，S 9＝72，则S 10＝（ ） A ．73B ．81C ．83D ．853．已知x ＝2是不等式m 2x 2+（1﹣m 2）x ﹣4m ≤0的解，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月份入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人1月份的入贯数为（ ） A ．5B ．10C ．12D ．155．若正数a ，b 满足a +3b ＝1，则1a+3b的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．186．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝2√3，b ＝2，则角B 为（ ） A ．30°或150°B ．45°C ．45°或135°D ．30°7．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，210S 30﹣（210+1）S 20+S 10＝0，则公比q 等于（ ） A ．12B ．13C ．14D ．28．已知x ＞0，y ＞0，lg 4x +lg 2y ＝lg 8，则12x+4y的最小值是（ ）A ．3B ．94C ．4615D ．9二．多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的有（ ） ①ab ≤1；②√a +√b ≤√2；③a 2+b 2≥2；④1a +1b≥2．A ．①B ．②C ．③D ．④10．下列选项正确的有（ ） A ．若x ＞0，则x +1x+1有最小值1B ．若x ∈R ，则2xx 2+1有最大值1C ．若x ＞y ，则x 3+2xy 2＞y 3+2x 2yD ．若x ＜y ＜0，则1x＞1y11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＝0，a 4＝8，则有（ ） A ．S n =2n 2−6n B ．S n =n 2−3nC ．a n ＝4n ﹣8D ．a n ＝2n12．在△ABC 中，AB =√3，AC ＝1，B =π6，则△ABC 的面积可以是（ ） A ．√32B ．1C ．√33D ．√34三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2且4+bc ＝b 2+c 2，则角A ＝14．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且8a 3+a 6＝0，则S 5S 2= ．15．若f （x ）+f （1﹣x ）＝2，a n ＝f （0）+f （1n）+f （2n）+…+f （n−1n）+f （1）（n ∈N *），则数列{a n }的通项公式是 ．16．若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y −6≤0x +y −2≥0，则z ＝3x +2y 的最大值是 ．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分） 17．（1）解不等式：x （3﹣x ）≤x （x +2）﹣1；（2）已知关于x 的一元二次不等式x 2+2mx +m +2≥0的解集为R ，求实数m 的取值范围．。

第 1 页 共 16 页2020-2021学年广东东莞市高二上学期期中考试数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．下列不等式中成立的是（ ）A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＜b ＜0，则a 2＜ab ＜b 2D ．若a ＜b ＜0，则1a ＞1b2．不等式x−2x+2＜0的解集是（ ）A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，2]C ．（﹣2，0）D ．（0，2）3．已知等比数列{a n }的公比大于1，a 3a 7＝72，a 2+a 8＝27，则a 12＝（ ）A ．48B ．64C ．72D ．964．若a ＞0，b ＞0，ab ＝a +b +1，则a +2b 的最小值为（ ）A ．3√2+3B ．3√2−3C ．3+√13D ．75．在不等式x +2y ﹣1＞0表示的平面区域内的点是（ ）A ．（1，﹣1）B ．（0，1）C ．（1，0）D ．（﹣2，0）6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝﹣3，2a 4+3a 7＝9，则S 7的值等于（ ）A ．21B ．1C ．﹣42D ．07．设A 、B 、C 为三角形的三个内角，sin A ＝2sin B cos C ，该三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形8．已知集合A ＝{x ∈R |x 2≤4}，B ＝{x ∈N |√x ≤3}，则A ∩B ＝（ ）A ．（0，2]B ．[0，2]C ．{1，2}D ．{0，1，2}9．已知数列a n =14n 2−1(n ∈N +)，则数列{a n }的前10项和为（ ）A ．2021B ．1819C ．1021D ．91910．在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sin A ：sin B ：sin C ＝6：5：4，则sin B ＝（） A ．√74 B ．34 C ．5√716 D ．91611．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且a 6a 5=1113，当S n 取最大值时，n 的值为（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．1212．数列{a n }中，a n =1n(n+1)，前n 项和为45，则项数n 为（ ）。

第 1 页 共 16 页2020-2021学年东莞市高二上学期期中考试数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17+a 18+a 19+a 20的值为（ ） A ．9B ．12C ．16D ．172．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c =√7，则角C ＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．在下列函数中，最小值是2的是（ ） A ．y =x 5+5x（x ∈R 且x ≠0） B ．y =lgx +1lgx(1＜x ＜10) C ．y ＝3x +3﹣x （x ∈R ）D ．y =sinx +1sinx (0＜x ＜π2） 4．已知数列{a n }是等比数列，函数y ＝x 2﹣5x +3的两个零点是a 1、a 5，则a 3＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．±√3D ．√35．已知不等式ax 2﹣bx +1≥0的解集是[−13，14]，则不等式x 2﹣bx +a ＜0的解集是（ ） A ．（﹣3，4）B ．(−14，13)C ．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）D ．(−∞，−14)∪(13，+∞)6．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为（ ）A ．√3a kmB ．a kmC ．√2a kmD ．2a km7．若对于任意的x ＞0，不等式mx ≤x 2+2x +4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，4]B ．（﹣∞，6]C ．[﹣2，6]D ．[6，+∞）8．设A 、B 、C 为三角形的三个内角，sin A ＝2sin B cos C ，该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．直角三角形9．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第。

2020-2021学年广东省东莞市高二上学期期中数学试卷解析版一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．在△ABC中，已知b＝6√3，c＝6，C＝30°，则a＝（）A．6B．12C．6或12D．无解解：∵b＝6√3，c＝6，C＝30°，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得36＝a2+108﹣2×a×6√3×√32，整理可得：a2﹣18a+72＝0，∴解得a＝12，或6，故选：C．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝12，S9＝72，则S10＝（）A．73B．81C．83D．85解：设等差数列{a n}的公差为d，由题设得：{a1+8d=129a1+9×8d2=72，解得：{a1=4d=1，∴S10＝10a1+10×9d2=40+45＝85，故选：D．3．已知x＝2是不等式m2x2+（1﹣m2）x﹣4m≤0的解，则m的值为（）A．1B．2C．3D．4解：x＝2是不等式m2x2+（1﹣m2）x﹣4m≤0的解，所以4m2+2（1﹣m2）﹣4m≤0，m2﹣2m+1≤0，（m﹣1）2≤0，解得m＝1，所以m的值为1．故选：A．4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月份入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人1月份的入贯数为（）A．5B．10C．12D．15解：设每个月的收入为等差数列{a n}．公差为d．第1 页共11 页。

高二数学第一学期期中考试试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)(每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案写在题号前) 1. 已知数列{a n }的通项公式为n n a n -=2，则下列各数中不是数列中的项的是( ) A.2 B.40 C.56 D.90 2. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若12231a ==S ，，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14 3. 若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是( ) A.b a22> B.a 2ab > C.ab b 2> D.b <a4. 等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 4这三项构成等比数列，则公比q=( ) A.1 B.2 C.1或2 D.1或21 5. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 1=，a n n 2a 1=+，则S 5=( ) A.32 B.48 C.62 D.93 6. 若椭圆122=+kyx 的离心率是21，则实数k 的值为( ) A.3或31 B.34或43 C.2或21 D.32或237. 已知双曲线C ：12222=-bya x ()0,0a >>b 的一条渐近线方程为x 3y =，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线方程为( )A.16222=-y x B.12622=-y x C.1322x=-y D.13yx 22=-8. 若关于x 的不等式a xx ≥+4对于一切∈x （0，+∞）恒成立，则实数x 的取值范围是( )A.(-∞，5]B.(-∞，4]C.(-∞，2]D.(-∞，1] 9. 已知椭圆12222=+bya x ()0a >>b 的两个焦点分别为F F 21,，若椭圆上存在点P 使得∠PFF 21是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0，22) B.(22，1) C.(0，21) D.(21，1)10. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()02y 2>=p px 上任意一点，M 是线段PF 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.22B.1C.2D.2 二、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)11. 在数列0，41，83，…，2n 1-n ，…中，94是它的第______项.12. 在等差数列{a n }中，542a =+a ，则=a 3______.13. 请写出一个与1322=-yx 有相同焦点的抛物线方程：____________.14. 椭圆14222=+ayx 与双曲线12222=-y a x 有相同的焦点，则实数a=______. 15. 函数()()111>-+=x x x x f 的最小值是______；此时x=______. 16. 要使代数式01a 2<-+ax x 对于一切实数x 都成立，则a 的取值范围是______.17. 已知椭圆的两个焦点1222=+yxFF 21,，点P 在椭圆上，且PF PF21⊥，则PF2=______.18. 在数列{a n }中，5,12113-==a a ，且任意连续三项的和均为11，则a 2019=______；设S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得100≤S n 成立的最大整数n=______.三、解答题(本大题共5小题，共70分)19. 设{a n }是等差数列，-101=a ，且a a a a a a 6483102,,+++成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值.20. 已知数列{a n }的前n 项和n n S n +=2，其中N n +∈. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设12+=nn b ，求数列{b n }的前n 项和T n .21. 已知函数()R a ax x f x ∈-=,22.（Ⅰ）当a=1时，求满足()0<x f 的x 的取值范围； （Ⅱ）解关于x 的不等式()a x f 32<.22. 已知抛物线C ：()022>=p px y ，经过点（2，-2）. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线02=--y x 与抛物线相交于B A ,两点，求证：OA ⊥OB .23. 已知椭圆C ：的右焦点为12222=+by a x ()，且经过点，01F ().10，B （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线()2:+=x k y l 与椭圆C 交于两个不同的点N M ,，若线段MN 中点的横坐标为32-，求直线l的方程及ΔFMN的面积.。

2020-2021学年广东省东莞市东华高级中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{x||x|＞}，则A∩B＝（）A．（5，+∞）B．（1，）C．（﹣，5）D．（，5）2．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1+的虚部为（）A．1B．3C．﹣1D．23．（5分）“净拣棉花弹细，相合共雇王孀．九斤十二是张昌，李德五斤四两．纺讫织成布匹，一百八尺曾量．两家分布要明彰，莫使些儿偏向．”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两，共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布．共织成布匹一百零八尺长，则（）（注：古代一斤是十六两）A．按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了B．按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了C．按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了D．按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了4．（5分）已知直线l⊂平面α，则“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B，A，C成等差数列，且b＝a cos C+ac cos A，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．πD．6．（5分）若函数f（x）＝e|2x﹣m|，且f（2x﹣1）＝f（1﹣2x），则f（ln3）+f（﹣ln3）＝（）A．0B．C．12D．187．（5分）曲线y＝e x+1+x在x＝﹣1处的切线与曲线y＝x2+m相切，则m＝（）A．4B．3C．2D．18．（5分）已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为，球O1为该三棱锥的内切球，若球O2与球O1相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球O2与球O1的表面积之比为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．（5分）如图为某城市2017年～2019年劳动力市场供求变化统计图．注：求职倍率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率＝需求人数÷求职人数．它表明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近1，劳动力供需关系越稳定．根据统计图可知，该城市在2017年～2019年中（）A．该市求职人数最多的时期为2019年第三季度B．该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度C．每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低D．通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善10．（5分）已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则（）A．C的准线方程为x＝﹣4B．F点的坐标为（0，4）C．|FN|＝12D．三角形ONF的面积为16（O为坐标原点）11．（5分）设x，y为实数，满足﹣1≤x≤2，0＜y≤1，则（）A．x+y的取值范围（﹣1，3]B．x﹣y的取值范围[﹣2，2）C．xy的取值范围[﹣1，2]D．的取值范围[1，+∞）12．（5分）定义：M I表示函数y＝f（x）在I上的最大值．已知奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，f（x）＝x，正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则（）A．M[0，a]＝2B．M[0，a]＝4C．a的取值范围为[4，9]D．a的取值范围为[6，9]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，，，则m＝14．（5分）将函数f（x）＝sin（4x+φ），（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到奇函数g（x）的图象，则φ的最大值是15．（5分）某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有种．16．（5分）已知F1为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是双曲线右支上一点，线段PF1与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A，B两点，＝＝，则该双曲线的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①2b+c＝2a cos C；②△ABC的面积为；③c sin A＝3a sin B 这三条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC的周长；若问题的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b，c＝1，_______？18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝，且对于任意m，t∈N*，都有a m+t＝a m•a t．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC，AA1的中点．（1）证明：OM∥平面CB1A1；（2）若四边形BB1C1C为正方形，求平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值．20．（12分）已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同．现从甲盒中任取三个球放入乙盒中．（1）求乙盒中红球个数X的分布列与期望；（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率．21．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，斜率为k（k≠0）的直线l交E于A，B两点．当k＝时，|AB|＝，且△OAB的面积为．（O为坐标原点）（1）求椭圆E的方程；（2）设F为E的右焦点，垂直于l的直线与交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且|MA|＝|MO|，求k的值．22．（12分）已知函数f（x）＝（x2+4x+3）ln（x+1）﹣x2+（a﹣3）x．（1）当a＝﹣8时，求f（x）的单调性；（2）如果对任意x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{x||x|＞}，则A∩B＝（）A．（5，+∞）B．（1，）C．（﹣，5）D．（，5）解：∵，∴．故选：D．2．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1+的虚部为（）A．1B．3C．﹣1D．2解：由图可知，z1＝1+2i，z2＝2﹣i，则z1+＝＝＝1+2i+＝1+3i．∴复数z1+的虚部为3．故选：B．3．（5分）“净拣棉花弹细，相合共雇王孀．九斤十二是张昌，李德五斤四两．纺讫织成布匹，一百八尺曾量．两家分布要明彰，莫使些儿偏向．”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两，共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布．共织成布匹一百零八尺长，则（）（注：古代一斤是十六两）A．按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了B．按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了C．按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了D．按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了解：九斤十二两等于9.75斤，五斤四两等于5.25斤，所以按×108＝70.2尺，李德×108＝37.8尺，故选：B．4．（5分）已知直线l⊂平面α，则“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若直线m垂直于平面α，则直线m必垂直平面内的直线l，但直线m要垂直于平面α，则m要垂直于平面α内的两条相交直线，故m⊥l无法推知直线m⊥平面α，故“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B，A，C成等差数列，且b＝a cos C+ac cos A，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．πD．解：因为B，A，C成等差数列，所以2A＝B+C，又A+B+C＝π，所以A＝，因为b＝a cos C+ac cos A，所以由正弦定理可得sin B＝sin A cos C+a sin C cos A，又sin B＝sin A cos C+sin C cos A，可得a＝1，所以△ABC外接圆的半径为＝，△ABC外接圆的面积S＝（）2•π＝．故选：A．6．（5分）若函数f（x）＝e|2x﹣m|，且f（2x﹣1）＝f（1﹣2x），则f（ln3）+f（﹣ln3）＝（）A．0B．C．12D．18解：∵函数f（x）＝e|2x﹣m|，且f（2x﹣1）＝f（1﹣2x），∴e|4x﹣2﹣m|＝e|2﹣4x﹣m|，解得m＝0，∴f（x）＝e|2x|，f（ln3）+f（﹣ln3）＝e|2ln3|+e|﹣2ln3|＝9+9＝18．故选：D．7．（5分）曲线y＝e x+1+x在x＝﹣1处的切线与曲线y＝x2+m相切，则m＝（）A．4B．3C．2D．1解：y＝e x+1+x的导数为y′＝e x+1+1，曲线y＝e x+1+x在x＝﹣1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝e x+1+x在点（﹣1，0）处的切线方程为y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0．由于切线与曲线y＝x2+m相切，设切点（x0，y0），由y＝x2+m，得y'＝2x，∴k＝2x0＝2，得x0＝1，代入切线方程2x﹣y+2＝0，得到y0＝4，故切点坐标（1，4），又切点满足曲线y＝x2+m，得4＝1+m，即m＝3．故选：B．8．（5分）已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为，球O1为该三棱锥的内切球，若球O2与球O1相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球O2与球O1的表面积之比为（）A．B．C．D．解：如图，取△ABC的外心O，连接PO，AO，则PO必过O1，O2，且PO⊥平面ABC，可知∠PAO为侧棱与底面所成的角，即．取AB的中点M，连接PM，MC，设圆O1，O2的半径分别为R，r，令OA＝2，则，所以，即PO2＝4r，从而PO1＝4r+r+R＝5r+R，所以，则，所以球O2与球O1的表面积之比为．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的0分，部分选对的得3分.9．（5分）如图为某城市2017年～2019年劳动力市场供求变化统计图．注：求职倍率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率＝需求人数÷求职人数．它表明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近1，劳动力供需关系越稳定．根据统计图可知，该城市在2017年～2019年中（）A．该市求职人数最多的时期为2019年第三季度B．该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度C．每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低D．通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善解：由某城市2017年～2019年劳动力市场供求变化统计图知：对于A，该市求职人数最多的时期为2019年第三季度，故A正确；对于B，该市劳动力市场供需差最大的为2017年第一季度，故B错误；对于C，2017年至2019年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低，故C错误；对于D，通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善，故D正确．故选：AD．10．（5分）已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则（）A．C的准线方程为x＝﹣4B．F点的坐标为（0，4）C．|FN|＝12D．三角形ONF的面积为16（O为坐标原点）解：由题意可得：抛物线的焦点F（4，0），B错误，所以准线方程为：x＝﹣4，A正确，设点N（0，t），由中点坐标公式可得M（2，），代入抛物线方程可得：＝16×2，即t2＝128，则|t|＝8，所以|FN|＝＝，C正确，S△OFN＝＝＝16，D正确，故选：ACD．11．（5分）设x，y为实数，满足﹣1≤x≤2，0＜y≤1，则（）A．x+y的取值范围（﹣1，3]B．x﹣y的取值范围[﹣2，2）C．xy的取值范围[﹣1，2]D．的取值范围[1，+∞）解：由1≤x≤3，0＜y≤1，可得：1＜x+y≤4，即x+y的取值范围是（1，4]，选项A正确；由﹣1≤﹣y＜0，得﹣2≤x﹣y＜2，即x﹣y的取值范围是[﹣2，2），选项B正确；当x＝﹣1，y＝1时，xy＝﹣1为最小值，当x＝2，y＝1时，xy＝2为最大值，所以xy的取值范围是[﹣1，2]，选项C正确．由0≤x2≤4，≥1，所以0≤≤4，即的取值范围是[0，4]，所以选项D错误．故选：ABC．12．（5分）定义：M I表示函数y＝f（x）在I上的最大值．已知奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，f（x）＝x，正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则（）A．M[0，a]＝2B．M[0，a]＝4C．a的取值范围为[4，9]D．a的取值范围为[6，9]解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0．∵f（x+4）＝f（4﹣x），∴f（x+16）＝f（x），可得f（x）是周期函数T＝16．当x∈（0，4]时，f（x）＝x，作出图象，根据M I表示函数y＝f（x）在I上的最大值，对于A，B选项：根据图象可知M[0，a]＝4，∴A错误，B正确；对于C：D选项：要满足M[0，a]≥2M[a，2a]成立，即2≥M[a，2a]，由图象可得，a≥6且2a≤18，∴a的取值范围为[6，9]，故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，，，则m＝4解：∵向量，，，∴（+）•（﹣）＝﹣＝1+m﹣5＝0，求得m＝4，故答案为：4．14．（5分）将函数f（x）＝sin（4x+φ），（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到奇函数g（x）的图象，则φ的最大值是解：将函数f（x）＝sin（4x+φ），（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到奇函数g（x）＝sin（4x++φ）的图象，故+φ＝kπ，k∈Z，令k＝1，可得φ的最大值是﹣，故答案为：﹣．15．（5分）某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有16种．解：农场主人中间有A44＝24种，农场主人站在中间，两名男生相邻共有2A22A22＝8种，故不同的站法共有24﹣8＝16种，故答案为：16．16．（5分）已知F1为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是双曲线右支上一点，线段PF1与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A，B两点，＝＝，则该双曲线的离心率为．解：设F2为双曲线的右焦点，取AB的中点M，则OM⊥PF1，∵＝＝，∴M是PF1的中点，则OM∥PF2，|OM|＝|PF2|，设|AB|＝t，则|PF1|＝3t，|PF2|＝3t﹣2a，|AM|＝．∵|OM|2+|AM|2＝|OA|2，∴t＝，则，，又∵，∴，解得．∴该双曲线的离心率为e＝．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①2b+c＝2a cos C；②△ABC的面积为；③c sin A＝3a sin B 这三条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC的周长；若问题的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b，c＝1，_______？解：若选择①2b+c＝2a cos C，因为2b+c＝2a cos C，所以2sin B+sin C＝2sin A cos C，即2sin（A+C）+sin C＝2sin A cos C，整理可得sin C（2cos A+1）＝0，因为sin C≠0，所以cos A＝﹣，可得A＝，又因为a＝b，所以sin A＝sin B，即sin B＝，可得B＝，所以C＝，则由正弦定理，可得a＝，b＝1，所以△ABC的周长为2+．若选择②△ABC的面积为＝bc sin A，所以bc sin A＝，解得tan A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝，又因为a＝b，所以sin A＝sin B，即sin B＝，可得B＝，所以C＝，则由正弦定理，可得a＝，b＝1，所以△ABC的周长为2+．若选择③c sin A＝3a sin B，则ac＝3ab，可得b＝＝，因为a＝b，所以a＝，又a+b＝+＜c，则问题中的三角形不存在．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝，且对于任意m，t∈N*，都有a m+t＝a m•a t．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，可得令m＝n，t＝1，则有a n+1＝a n•a1＝a n，故数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，∴a n＝•（）n﹣1＝（）n，n∈N*．（2）由（1），可得b n＝＝（﹣1）n﹣1•2n•2n+1＝（﹣1）n﹣1•22n+1，∴T n＝b1+b2+b3+b4+…+b n＝23﹣25+27﹣29+…+（﹣1）n﹣1•22n+1＝23×[1﹣22+24﹣26+…+（﹣1）n﹣1•22n﹣2]＝23×[1+（﹣22）1+（﹣22）2+（﹣22）3+…+（﹣22）n﹣1]＝23×＝﹣（﹣1）n•．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC，AA1的中点．（1）证明：OM∥平面CB1A1；（2）若四边形BB1C1C为正方形，求平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值．【解答】（1）证明：取B1C的中点N，连接ON，A1N，∵O是BC的中点，N是B1C的中点，∴ON∥BB1，ON＝BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴BB1∥AA1，BB1＝AA1，又M是AA1的中点，∴A1M∥ON，A1M＝ON，∴四边形MONA1是平行四边形，∴OM∥A1N，又OM⊄平面CB1A1，A1N⊂平面CB1A1，∴OM∥平面CB1A1．（2）解：∵△ABC是BC为斜边的等腰直角三角形，∴AO⊥BC，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴BB1⊥平面ABC，又ON∥BB1，∴ON⊥平面ABC，以O为原点，以OB，ON，OA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，不妨设正方形BB1C1C的边长为2，则O（0，0，0），M（0，1，1），B1（1，2，0），A1（0，2，1），C（﹣1，0，0），∴＝（0，1，1），＝（1，2，0），＝（﹣1，0，1），＝（1，2，1），设平面MOB1的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令y1＝1可得＝（﹣2，1，﹣1），平面A1B1C的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，令z1＝1可得＝（1，﹣1，1），∴cos＜，＞＝＝＝﹣，∴平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值为＝．20．（12分）已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同．现从甲盒中任取三个球放入乙盒中．（1）求乙盒中红球个数X的分布列与期望；（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率．解：（1）由题意知X＝0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，则X的分布列为：X0123PEX＝0×+1×+2×+3×＝．（2）记从甲盒里任取三个球为事件A，记从乙盒中任取一球是红球为事件B，A1＝{从甲盒里任取三个球为白球}，A2＝{从甲盒里任取三个球为两个白球一个红球}，A3＝{从甲盒里任取三个球为一个白球两个红球}，A4＝{从甲盒里任取三个球为红球}，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，则A＝A1∪A2∪A3∪A4，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）+P（A4）P（B|A4），＝×0+×+×+×＝，故从乙盒中任取一球是红球的概率是．21．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，斜率为k（k≠0）的直线l交E于A，B两点．当k＝时，|AB|＝，且△OAB的面积为．（O为坐标原点）（1）求椭圆E的方程；（2）设F为E的右焦点，垂直于l的直线与交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且|MA|＝|MO|，求k的值．解：（1）由当k＝时，△OAB的面积为，可知此时B为椭圆的下顶点.∴k＝，|AB|＝，得a2＝4，b2＝3．∴椭圆E的方程为；（2）设B（x B，y B），直线l的方程为y＝k（x﹣2），由方程组，消去y，整理得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．解得x＝2或x＝，由题意得，从而.∵|MA|＝|MO|，∴M的坐标为（1，﹣k），因此直线MH的方程为y＝，则H的坐标为（0，），由BF⊥HF，得．由（1）知，F（1，0），则，，∴，解得k＝﹣或k＝，∴直线l的斜率k＝﹣或k＝．22．（12分）已知函数f（x）＝（x2+4x+3）ln（x+1）﹣x2+（a﹣3）x．（1）当a＝﹣8时，求f（x）的单调性；（2）如果对任意x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．解：（1）当a＝﹣8时，f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f'（x）＝（2x+4）ln（x+1）﹣4x﹣8＝（2x+4）[ln（x+1）﹣2]，令f'（x）＝0，解得x＝e2﹣1，当﹣1＜x＜e2﹣1时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣1，e2﹣1）上单调递减；当x＞e2﹣1时，f'（x）＞0，f（x）在（e2﹣1，+∞）上单调递增．综上所述，f（x）在（﹣1，e2﹣1）上单调递减，在（e2﹣1，+∞）上单调递增．（2）当x≥0时，f'（x）＝（2x+4）ln（x+1）﹣4x+a，设g（x）＝f'（x）＝（2x+4）ln（x+1）﹣4x+a，则g'（x）＝2ln（x+1）﹣，设h（x）＝g'（x）＝2ln（x+1）﹣，x∈[0，+∞），则h'（x）＝≥0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0，即g'（x）≥0，∴f'（x）在[0，+∞）上单调递增，当a≥0时，f'（x）≥f'（0）＝a≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，又f（0）＝0，符合题意；当a＜0时，设f'（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）＝0，不符合题意，综上所述，a的取值范围为[0，+∞）．。

2023-2024学年广东省东莞市东华高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线过点（﹣1，2），(2，2+√3)，则此直线的斜率是（ ） A ．√33B ．−√33C ．√3D ．−√32．若点P （1，3）到直线l ：4x +3y +a ＝0（a ＞0）的距离为3，则a ＝（ ） A ．2B ．3C ．32D ．43．已知空间向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，a →⋅b →=1，则|2a →−b →|的值为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．44．如图在空间四边形OABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于（ ）A ．12OA →−23OB →+12OC →B ．−23OA →+12OB →+12OC →C ．12OA →+12OB →−12OC →D ．23OA →+23OB →−12OC →5．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过M(1，√3)作圆O 的切线l ，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．23πD ．56π6．若直线ax +y ﹣4＝0与直线x ﹣y ﹣2＝0的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，2） B ．（﹣1，+∞）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）7．M 点是圆C ：（x +2）2+y 2＝1上任意一点，AB 为圆C 1：(x −2)2+y 2=3的弦，且|AB|=2√2，N 为AB 的中点．则|MN |的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，若|MF 1|＝3|NF 1|，且∠MF 1N =90o ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．23C ．√54D ．√104二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年东莞市东华高级中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知二次函数，且函数在上恰有一个零点，则不等式的解集为()A. B.C. D.2.复数i−21+i在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下表为随机数表的一部分：080151772745318223742111578253772147740243236002104552164237已知甲班有60位同学，编号为00～59号，规定：利用上面随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第10位同学的编号是()A. 14B. 15C. 25D. 374.命题甲：f(x)在区间(a,b)内递增；命题乙：对任意x∈(a,b)，有f′(x)>0.则甲是乙的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，则()A. a+c=2bB. a+c≥2bC. a+c≤2bD. a+c与2b的大小不能确定6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=−f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=12x，则使f(x)=−12的x的值是()A. 2n(n∈Z)B. 2n−1(n∈Z)C. 4n+1(n∈Z)D. 4n−1(n∈Z)7.若点A(t,0)与曲线y=e x上点P的距离的最小值为2√3，则实数t的值为()A. 4−ln23B. 4−ln22C. 3+ln33D. 3+ln328. 在三棱锥P −ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB =1，AC =5，PA =√10，则三棱锥P −ABC 的外接球的体积为( )A. 9πB. 18πC. 36πD. 72π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在第一次全市高三年级统考后，某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将数学成绩按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85)，…，第八组[135,145]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，如图所示，则下列结论正确的是( )A. 第七组的频率为0.008B. 该班级数学成绩的中位数的估计值为101分C. 该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分D. 该班级数学成绩的方差的估计值大于2610. 设A 、B 是抛物线y =x 2上的两点，O 是坐标原点，且OA ⊥OB ，则下列结论成立的是( )A. 点O 到直线AB 的距离不大于1B. 直线AB 过定点(1,0)C. 直线AB 过点(0,14)D. |OA||OB|≥211. 已知变量x ，y 满足{x +y −3≥0x −y −5≤0x −2y +6≥0，则下列说法正确的是( )A. 3y −x 的最大值为17B. 使得2y −x 取最小值的最优解有无数组C. |x −2y −4|的最小值为2D. 若当且仅当x =4，y =−1时，x +ay 取得最小值，则a >112.下列命题正确的有()A. ∃a，b∈R，|a−2|+(b+1)2≤0B. 若a>b>0，则a1+a >b1+bC. 函数f(x)=x+1x−2(x>0)的最小值为4D. ab=0是a2+b2=0的充要条件三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,x)，向量b⃗ =(−1,2)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数x=______ ．14.知函数y=Asin(ωx+φ)x+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为______ 15.5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有__________种．(用数字作答)16.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知acosC+ccosA=2bcosA．(Ⅰ)求角A的值；(Ⅱ)若a=1，求b+2c的取值范围．18.(本小题满分13分)在数列{a n}中，a1=1，a n=n2[1+++⋯+](n≥2,n∈N)(1)当n≥2时，求证：=(2)求证：(1+)(1+)…(1+)<419. 如图，在三棱柱BCD −B 1C 1D 1与四棱锥A −BB 1D 1D 的组合体中，已知BB 1⊥平面BCD ，四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC =120°，AB =√2，AD =3，BB 1=1． (1)设O 是线段BD 的中点，求证：C 1O//平面AB 1D 1；(2)求直线AB 1与平面ADD 1所成的角．20. 一批产品共10件，其中n(0<n <5,n ∈Z ∗)件是不合格品，从中随机抽取2件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为ξ.若先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件，当抽到不合格产品数ξ=1时，概率为2150(Ⅰ)求n 的值；(Ⅱ)若一次性随机抽取2件，求抽到不合格产品数ξ的概率分布及数学期望．21. 已知P(√3,12)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，F 为右焦点，PF ⊥垂直于x 轴，A ，B ，C ，D 为椭圆上的四个动点，且AC ，BD 交于原点O ．(1)求椭圆C 的方程；(2)判断直线l ：m+n2x +(m −n)y =√3+12m +√3−12n(m,n ∈R)与椭圆的位置关系； (3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)满足y 1y 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15，判断k AB +k BC 的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD 面积的最大值，否则说明理由．22. 已知函数f(x)=x 3−a2x 2+bx +2．(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x −2y +1=0，求a ，b 的值；(2)当0≤a ≤2，b =0时，记函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为M ，最小值为N ，求M −N 的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了函数的零点的判断应用及一元二次不等式的解法．解：由题设易知，解得：又∵a∈Z，∴a=−1，∴f(x)=−x2−x+1即有−x2−x+1>1，∴不等式解集为(−1,0)．故选：B．2.答案：B解析：解：i−21+i =(i−2)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+3i2=−12+32i，其在复平面内对应点(−12,32)，位于第二象限．故选：B．根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何含义，即可求解．本题考查了复数的几何含义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.答案：A解析：本题主要考查简单随机抽样的应用，属于基础题．根据随机数表，依次找出随机数即可得到结论．解：选取方法是从随机数表从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数中小于60的编号依次为15，17，53，18，22，37，42，11，25，14，则抽到的第10位同学的编号是14．故选：A．。

2023-2024学年广东省东莞市重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1．直线√3x +3y +2=0的倾斜角为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．已知向量a →=(−3，2，1)，b →=(2，2，−1)，c ＝（m ，4，0），若a →，b →，c →共面，则m ＝（ ） A ．2B ．3C ．﹣1D ．﹣53．圆x 2+y 2﹣2x +6y +8＝0的周长等于（ ） A ．√2πB ．2πC ．2√2πD ．4π4．若抛物线x 2＝2py （p ＞0）上一点M （m ，3）到焦点的距离是5p ，则p ＝（ ） A ．34B ．32C ．43D ．235．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD ，侧面A 1ADD 1都是正方形，且二面角A 1﹣AD ﹣B 的大小为120°，AB ＝2，若P 是C 1D 与CD 1的交点，则AP ＝（ ）A ．√3B ．√5C ．√7D ．36．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数√5−12(√5−12≈0.618)，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线x 2a−y 2=1是黄金双曲线，则a ＝（ ）A ．√5−12B ．√5−12C ．√5+12D ．√5+127．圆x 2+y 2＝1与圆x 2+y 2﹣2x +2y ＝2的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．18．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 2⊥F 1F 2，过P 作F 1P 的垂线交x 轴于点A ，若|AF 2|=12c ，记椭圆的离心率为e ，则e 2＝（ ） A ．3−√52B ．3−√5C ．√2−1D ．12二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9．已知直线l 1：ax +2y +3a ＝0和直线l 2：3x +（a ﹣1）y +3﹣a ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 2一定过点(−23，1) B ．若l 1⊥l 2，则a =25C ．若l 1∥l 2，则a ＝3D ．点O （0，0）到直线l 1的距离的最大值为210．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列说法正确的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是（2√55，√55，0）C ．AB →和BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）11．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1C 1的中点，点P 是底面ABCD 上的一点，且D 1P ∥平面A 1C 1B ，则下列说法正确的是（ ）A ．D 1P ⊥DB 1 B ．存在点P ，使得A 1P ⊥BEC ．D 1P 的最小值为√6D ．PA 1→⋅PE →的最大值为612．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：x 23+y 2=1，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，直线l 的方程为√2x +y ﹣4＝0，M 为椭圆C 的蒙日圆上一动点，MA ，MB 分别与椭圆相切于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝4B ．记点A 到直线l 的距离为d ，则d ﹣|AF 2|的最小值为0C ．一矩形四条边与椭圆C 相切，则此矩形面积最大值为4√3D ．△AOB 的面积的最大值为√32三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．已知直线l 1：ax +y +1＝0与l 2：2x ﹣by ﹣1＝0相交于点M （1，1），则a +b ＝ ． 14．已知圆心为（a ，0）的圆C 与直线l ：y =√33x 相切于点N(3，√3)，则圆C 的方程为 ．15．已知直线过点A （1，﹣1，﹣1），且方向向量为（1，0，﹣1），则点P （1，1，1）到直线l 的距离为 ．16．定义：点P 为曲线L 外的一点，A ，B 为L 上的两个动点，则∠APB 取最大值时，∠APB 叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为抛物线C ：y 2＝4x 上的动点，设P 对圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝1的张角为θ，则cos θ的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18，19，20，21，22题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17．（10分）已知BA →=(−1，−2，2)，BC →=(−2，2，1)，AC →=(−1，4，−1)，设a →=BA →，b →=BC →，c →=AC →．（1）判断△ABC 的形状；（2）若(−2a →+kb →)∥c →，求k 的值．18．（12分）直线l 1：x +2y ﹣11＝0与直线l 2：2x +y ﹣10＝0相交于点P ，直线l 经过点P ． （1）若直线l ⊥l 2，求直线l 的方程；（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．19．（12分）在平面内，A （3，0），B （﹣1，0），C 为动点，若AC →⋅BC →=5． （1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l ：x ﹣y +3＝0与曲线C 交于M ，N ，求|MN |的长．20．（12分）已知双曲线C 的焦点坐标为F 1(−√5，0)，F 2(√5，0)，实轴长为4． （1）求双曲线C 标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得PF 1⊥PF 2，求△PF 1F 2的面积．21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，∠BCD ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，AD ⊥PB ．（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB ＝PD ，点E 满足PE →=2EC →，且三棱锥E ﹣ABD 的体积为4√33，求平面P AD 与平面BDE 的夹角的余弦值．22．（12分）已知圆F 1：（x +1）2+y 2＝r 2与圆F 2：（x ﹣1）2+y 2＝（4﹣r ）2（1≤r ≤3）的公共点的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q 两点．试问：AP →⋅AQ→是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年广东省东莞市重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1．直线√3x +3y +2=0的倾斜角为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°解：由直线的方程可得直线的斜率k =−√33，设直线的倾斜角为α，且α∈[0，π）， 所以tan α＝k =−√33，所以α=56π，即α＝150°． 故选：A ．2．已知向量a →=(−3，2，1)，b →=(2，2，−1)，c ＝（m ，4，0），若a →，b →，c →共面，则m ＝（ ） A ．2B ．3C ．﹣1D ．﹣5解：因为a →，b →，c →共面，所以c →=xa →+yb →，即（m ，4，0）＝x （﹣3，2，1）+y （2，2，﹣1）＝（﹣3x +2y ，2x +2y ，x ﹣y ）， 所以{−3x +2y =m2x +2y =4x −y =0，解得x ＝1，y ＝1，m ＝﹣1．故选：C ．3．圆x 2+y 2﹣2x +6y +8＝0的周长等于（ ） A ．√2πB ．2πC ．2√2πD ．4π解：∵圆的一般方程为x 2+y 2﹣2x +6y +8＝0， ∴将圆化成标准方程，得（x ﹣1）2+（y +3）2＝2 由此可得圆的圆心为C （1，﹣3），半径r =√2 因此该圆的周长为2πr =2√2π 故选：C ．4．若抛物线x 2＝2py （p ＞0）上一点M （m ，3）到焦点的距离是5p ，则p ＝（ ） A ．34B ．32C ．43D ．23解：根据抛物线的几何性质可得：p 2+3=5p ， ∴p =23，故选：D ．5．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD ，侧面A 1ADD 1都是正方形，且二面角A 1﹣AD ﹣B 的大小为120°，AB ＝2，若P 是C 1D 与CD 1的交点，则AP ＝（ ）A ．√3B ．√5C ．√7D ．3解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形DD 1C 1C 是平行四边形， 又P 是C 1D ，CD 1的交点，所以P 是C 1D 的中点，所以AP →=AD →+DP →=AD →+12(DC →+DD 1→)=12AB →+AD →+12AA 1→，由题意AB →⋅AD →=0，AB →⋅AA 1→=−2，AD →⋅AA 1→=0，所以AP →2=(12AB →+AD →+12AA 1→)2=14AB →2+AD →2+14AA 1→2+AB →⋅AD →+AD →⋅AA 1→+12AB →⋅AA 1→=5，即AP =√5． 故选：B ．6．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数√5−12(√5−12≈0.618)，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线x 2a−y 2=1是黄金双曲线，则a ＝（ ）A ．√√5−12B ．√5−12C ．√√5+12D ．√5+12解：双曲线x 2a−y 2=1是黄金双曲线，可得√a+1√a=√5−1，解得a =√5−12． 故选：B ．7．圆x 2+y 2＝1与圆x 2+y 2﹣2x +2y ＝2的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．1解：由题意得圆x 2+y 2＝1的圆心为（0，0），半径为1， 圆x 2+y 2﹣2x +2y ＝2的圆心为（1，﹣1），半径为2，则两圆圆心距为√2，而2−1＜√2＜2+1，即圆x 2+y 2＝1与圆x 2+y 2﹣2x +2y ＝2相交，故将x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣2x +2y ＝2相减得2x ﹣2y +1＝0，即圆x 2+y 2＝1与圆x 2+y 2﹣2x +2y ＝2的公共弦所在直线方程为2x ﹣2y +1＝0， 令x ＝0，则y =12；令y ＝0，则x =−12，故2x ﹣2y +1＝0与两坐标轴所围城的三角形面积为12×|−12|×12=18．故选：C ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 2⊥F 1F 2，过P 作F 1P 的垂线交x 轴于点A ，若|AF 2|=12c ，记椭圆的离心率为e ，则e 2＝（ ） A ．3−√52B ．3−√5C ．√2−1D ．12解：由于椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 2⊥F 1F 2，过P 作F 1P 的垂线交x 轴于点A ，|AF 2|=12c ，记椭圆的离心率为e ， 则由射影定理可得|PF 2|2=|F 1F 2|•|AF 2|＝2c ×c2=c 2，∴|PF 2|＝c ． Rt △△PF 1F 2中，|PF 1|=√c 2+(2c)2=√5c ．再根据椭圆的定义，可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ，即√5c +c ＝2a ， ∴e =c a =√5−12，则e 2=3−√52， 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9．已知直线l 1：ax +2y +3a ＝0和直线l 2：3x +（a ﹣1）y +3﹣a ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 2一定过点(−23，1) B ．若l 1⊥l 2，则a =25C ．若l 1∥l 2，则a ＝3D ．点O （0，0）到直线l 1的距离的最大值为2解：对于选项A ：因为3x +（a ﹣1）y +3﹣a ＝0，即a （y ﹣1）+3x ﹣y +3＝0，所以直线l 2过定点(−23，1)，故选项A 正确；对于选项B ：由l 1⊥l 2，可得a ×3+2×（a ﹣1）＝0，解得a =25，故选项B 正确； 对于选项C ：由l 1∥l 2，可得a ×（a ﹣1）＝2×3，解得a ＝3或a ＝﹣2． 当a ＝3时，直线l 1：3x +2y +9＝0，直线l 2：3x +2y ＝0，此时l 1∥l 2；当a ＝﹣2时，直线l 1：﹣2x +2y ﹣6＝0，即x ﹣y +3＝0，直线l 2：3x ﹣3y +5＝0，即x −y +53=0，此时l 1∥l 2．综上可知若l 1∥l 2，则a ＝3或a ＝﹣2，故选项C 错误； 对于选项D ：因为点O （0，0）到直线l 1的距离d =|3a|√a 2+2，所以当a ＝0时，d ＝0； 当a ≠0时，d =|3a|√a 2+2=√9a 2a 2+4=√91+4a 2＜3，则点O （0，0）到直线l 1的距离的最大值不存在，故选项D 错误． 故选：AB ．10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列说法正确的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是（2√55，√55，0）C ．AB →和BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）解：空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），对于A ，AB →=（2，1，0），AC →=（﹣1，2，1），∴AB →与AC →不是共线向量，故A 错误；对于B ，AB →=（2，1，0），AB→|AB →|=（2√55，√55，0），故B 正确； 对于C ，AB →=（2，1，0），BC →=（﹣3，1，1）， ∴AB →和BC →夹角的余弦值是： cos ＜AB →，BC →＞=AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|=−5√5⋅√11=−√5511，故C 错误；对于D ，AB →=（2，1，0），AC →=（﹣1，2，1）， 设平面ABC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB →=2x +y =0n →⋅AC →=−x +2y +z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣2，5），故D 正确． 故选：BD ．11．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1C 1的中点，点P 是底面ABCD 上的一点，且D 1P ∥平面A 1C 1B ，则下列说法正确的是（ ）A ．D 1P ⊥DB 1 B ．存在点P ，使得A 1P ⊥BEC ．D 1P 的最小值为√6D ．PA 1→⋅PE →的最大值为6解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A 1（2，0，2），B （2，2，0），C 1（0，2，2），B 1（2，2，2），E （0，1，2），D 1（0，0，2），所以DB 1→=(2，2，2)，A 1C 1→=(−2，2，0)，BA 1→=(0，−2，2)， 所以DB 1→⋅A 1C 1→=0，DB 1→⋅BA 1→=0， 即DB 1⊥A 1C 1，DB 1⊥BA 1，因为BA 1∩A 1C 1＝A 1，BA 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1B ， 所以DB 1⊥平面A 1C 1B ，又D 1P ∥平面A 1C 1B ，所以DB 1⊥D 1P ，故A 正确； 设P （x ，y ，0）（0≤x ≤2，0≤y ≤2），所以D 1P →⋅DB 1→=(x ，y ，−2)⋅(2，2，2)=2x +2y −4=0， 解得y ＝2﹣x ，所以P(x ，2−x ，0)(0≤x ≤2)，BE →=(−2，−1，2)，A 1P →=(x −2，2−x ，−2)(0≤x ≤2)，BE →⋅A 1P →=(−2，−1，2)⋅(x −2，2−x ，−2)=0， 解得x ＝﹣2， 又因为0≤x ≤2，所以不存在点P ，使得A 1P ⊥BE ，故B 错误；因为|D 1P →|=√x 2+y 2+4=√2(x −1)2+6，0≤x ≤2， 所以|D 1P →|min =√6，故C 正确；PA 1→=(2−x ，x −2，2)，PE →=(−x ，x −1，2)，所以PA 1→⋅PE →=(2−x)(−x)+(x −1)(x −2)+4=2x 2−5x +6=2（x −54）2+238，0≤x ≤2， x =54时，PA 1→⋅PE →取到最小值238，x ＝0时，PA 1→⋅PE →取到最大值6，所以PA 1→⋅PE →∈[238，6]，故D 正确． 故选：ACD ．12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：x 23+y 2=1，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，直线l 的方程为√2x +y ﹣4＝0，M 为椭圆C 的蒙日圆上一动点，MA ，MB 分别与椭圆相切于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝4B ．记点A 到直线l 的距离为d ，则d ﹣|AF 2|的最小值为0C ．一矩形四条边与椭圆C 相切，则此矩形面积最大值为4√3D ．△AOB 的面积的最大值为√32解：由题意可知：a =√3，b =1，c =√a 2−b 2=√2，对于选项A ：当直线MA ，MB 一条斜率为0，另一条斜率不存在时，则M(±√3，±1)， 当直线MA ，MB 斜率均存在时，设M （x 0，y 0），切线方程为：y ＝k （x ﹣x 0）+y 0， 联立方程{y =k(x −x 0)+y 0x 23+y 2=1得：(1+3k 2)x 2−6k(kx 0−y 0)x +3(kx 0−y 0)2−3=0， 由Δ=36k 2(kx 0−y 0)2−12(1+3k 2)[(kx 0−y 0)2−1]=0，整理可得：(x 02−3)k 2−2x 0y 0k +y 02−1=0，则k MA ⋅k MB=y 02−1x 02−3，又因为MA ⊥MB ，则k MA •k MB ＝﹣1，即y 02−1x 02−3=−1，整理得x 02+y 02=4，所以M 点轨迹为x 2+y 2＝4，且M(±√3，±1)也满足x 2+y 2＝4，所以蒙日圆的方程为x 2+y 2＝4，故A 正确；对于选项B ，因为A 为椭圆C 上的点，则|AF 1|+|AF 2|=2√3，即|AF 2|=2√3−|AF 1|， 可得d −|AF 2|=d −(2√3−|AF 1|)=d +|AF 1|−2√3，因为d +|AF 1|的最小值为点F 1到直线l 的距离，且F 1(−√2，0)， 可知(d +|AF 1|)min =|−2−4|√1+2=2√3， 所以(d −|AF 2|)min =2√3−2√3=0，故B 正确；对于选项C ：因为矩形四条边均与C 相切，可知该矩形为蒙日圆的内接矩形， 设矩形的长为m ，宽为n ，蒙日圆的半径r ＝2，则m 2+n 2＝16， 可得mn ≤m 2+n 22=8，当且仅当m =n =2√2时，等号成立， 所以此矩形面积最大值为8，故C 错误；对于选项D ：设A （x 1，y 1）位于椭圆上，下证：在A 处的切线方程为x 1x 3+y 1y =1，由x 123+y 12=1，即3y 12=3−x 12，可知A （x 1，y 1）在直线x 1x 3+y 1y =1上，联立方程{x 1x3+y 1y =1x 23+y 2=1，消去y 得(3y 12+x 12)x 2−6x 1x +9−9y 12=0，即x 2−2x 1x +x 12=0，解得x ＝x 1，即直线x 1x 3+y 1y =1与椭圆相切，所以在点A 处的切线方程为x 1x 3+y 1y =1，同理可知：在点B 处的切线方程为x 2x 3+y 2y =1，设M （x 0，y 0），则{x 1x 03+y 1y 0=1x 2x 03+y 2y 0=1，可知A ，B 坐标满足方程x 0x3+y 0y =1，即切点弦AB 所在直线方程为：x 0x 3+y 0y =1，当y 0＝0时，M （±2，0），此时AB 所在直线方程为：x =±32，可得|AB|=2√1−943=1，S △AOB =12×32×1=34，当y 0≠0时，由{x 0x3+y 0y =1x 23+y 2=1得：(3y 02+x 02)x 2−6x 0x +9−9y 02=0，由A 知：x 02+y 02=4，可得(12−2x 02)x 2−6x 0x +9x 02−27=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=3x 06−x 02，x 1x 2=9x 02−2712−2x 02， ∴|AB|=√1+x 029y 02⋅√(3x 06−x 02)2−4×9x 02−2712−2x 02=√x 02+9y 02⋅√9−2x 02(6−x 02)2，又原点O 到直线AB 的距离d =1√x 09+y 02=3√x 0+9y 0，∴S △AOB =12|AB|⋅d =32√9−2x 02(6−x 02)2， 令t =16−x 02∈[16，12)，则x 02=6−1t ， 可得S △AOB =32√2t −3t 2≤√32，当且仅当t =13时，等号成立，综上所述：△AOB 的面积的最大值为√32，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．已知直线l 1：ax +y +1＝0与l 2：2x ﹣by ﹣1＝0相交于点M （1，1），则a +b ＝ ﹣1 ． 解：把M （1，1）分别代入直线l 1和直线l 2的方程， 有a +1+1＝0，2﹣b ﹣1＝0 所以a ＝﹣2，b ＝1， 所以a +b ＝﹣1． 故答案为：﹣1．14．已知圆心为（a ，0）的圆C 与直线l ：y =√33x 相切于点N(3，√3)，则圆C 的方程为 （x ﹣4）2+y 2＝4 ．解：因为圆心为（a ，0）的圆C 与直线l ：y =√33x 相切于点N(3，√3)，所以√33−a=−√3，解得a ＝4，所以圆心为（4，0），半径为r =√(4−3)2+(√3)2=2， 所以圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2＝4． 故答案为：（x ﹣4）2+y 2＝4．15．已知直线过点A （1，﹣1，﹣1），且方向向量为（1，0，﹣1），则点P （1，1，1）到直线l 的距离为 √6 ．解：取直线l 的方向向量为a →=(1，0，−1)， 因为A （1，﹣1，﹣1），P （1，1，1）， 所以AP →=(0，2，2)，所以|AP →|=√02+22+22=2√2，所以AP→|AP →|=(0，√2，√2)，所以AP→|AP →|⋅a →=0×1+0×√2+(−1)×√2=−√2，所以点P 到直线l 的距离为d =√|AP →|2−(AP →|AP →|⋅a →)2=√(2√2)2−(−√2)2=√6．故答案为：√6．16．定义：点P 为曲线L 外的一点，A ，B 为L 上的两个动点，则∠APB 取最大值时，∠APB 叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为抛物线C ：y 2＝4x 上的动点，设P 对圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝1的张角为θ，则cos θ的最小值为 34．解：如图，cos θ＝cos ∠APB ＝cos2∠APM ＝1﹣2sin 2∠APM ， 要使cos θ最小，则sin ∠APM 最大，故|PM |最小， 设P （a 24，a ），则|PM |=√(a 24−3)2+a 2=√116(a 2−4)2+8． ∴当a 2＝4，即a ＝±2时，|PM|min =2√2，此时P （1，2）或（1，﹣2），(cosθ)min =1−2sin 2∠APM =1−2×(12√2)2=34．故答案为：34．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18，19，20，21，22题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17．（10分）已知BA →=(−1，−2，2)，BC →=(−2，2，1)，AC →=(−1，4，−1)，设a →=BA →，b →=BC →，c →=AC →．（1）判断△ABC 的形状；（2）若(−2a →+kb →)∥c →，求k 的值．解：（1）∵BA →=(−1，−2，2)，∴|BA →|=√(−1)2+(−2)2+22=3， 同理|BC →|=3，|AC →|=3√2，∴|AC →|2=|BA →|2+|BC →|2，且|BA →|=|BC →|， 所以△ABC 是等腰直角三角形．（2）∵−2a →+kb →=(2−2k ，4+2k ，k −4)，又(−2a →+kb →)∥c →， ∴2−2k −1=4+2k 4=−4+k −1，解得k ＝2．所以k 的值为2．18．（12分）直线l 1：x +2y ﹣11＝0与直线l 2：2x +y ﹣10＝0相交于点P ，直线l 经过点P ． （1）若直线l ⊥l 2，求直线l 的方程；（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． 解：（1）联立{x +2y −11=02x +y −10=0，解得{x =3y =4，即P （3，4）．∵l ⊥l 2，不妨设直线l 的方程为x ﹣2y +λ＝0， 将点P （3，4）代入x ﹣2y +λ＝0，得λ＝5， ∴直线l 的方程为x ﹣2y +5＝0．（2）当直线l 经过坐标原点时，直线l 的方程是y =43x ，即4x ﹣3y ＝0； 当直线l 不经过坐标原点时，设直线l 的方程为xa +y a =1，将点P （3，4）代入x a+y a=1，得a ＝7，∴直线l 的方程为x 7+y 7=1，即x +y ﹣7＝0．综上所述，直线l 的方程是4x ﹣3y ＝0或x +y ﹣7＝0．19．（12分）在平面内，A （3，0），B （﹣1，0），C 为动点，若AC →⋅BC →=5． （1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l ：x ﹣y +3＝0与曲线C 交于M ，N ，求|MN |的长． 解：（1）设C （x ，y ），AC →=（x ﹣3，y ），BC →=（x +1，y ）， 所以AC →⋅BC →=（x ﹣3，y ）•（x +1，y ）＝（x ﹣3）（x +1）+y 2＝5， 所以x 2﹣2x +y 2﹣8＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝9，所以点C 的轨迹方程为（x ﹣1）2+y 2＝9．（2）由（1）可知点C 的轨迹为以P （1，0）为圆心，3为半径的圆， 若曲线C 截直线l 所得的弦长最小，则圆心P 到直线l 的距离最大， 又圆心P 到直线l 的距离为√2=2√2，所以由弦长公式可得弦长为|MN |=2√9−(2√2)2=2．20．（12分）已知双曲线C 的焦点坐标为F 1(−√5，0)，F 2(√5，0)，实轴长为4． （1）求双曲线C 标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得PF 1⊥PF 2，求△PF 1F 2的面积． 解：（1）由条件c =√5，2a ＝4，∴b ＝1， 双曲线方程为x 24−y 2＝1，（2）．由双曲线定义|PF 1|﹣|PF 2|＝±4， ∵|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2＝20， ∴|PF 1|•|PF 2|＝2，∴△PF 1F 2的面积S =12|PF 1|•|PF 2|=12×2＝1 21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，∠BCD ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，AD ⊥PB ．（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB ＝PD ，点E 满足PE →=2EC →，且三棱锥E ﹣ABD 的体积为4√33，求平面P AD 与平面BDE 的夹角的余弦值．证明：（1）∵四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ， 且∠BCD ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，AD ⊥PB ， ∴△BCD 为等边三角形， ∴AB ＝2BD ＝4，又四边形ABCD 为梯形，AB ∥DC ，则∠ABD ＝60°， 在△ABD 中，根据余弦定理可知：AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcos∠ABD =42+22−2×4×2×12=12， ∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD ，∵AD ⊥PB ，PB ∩BD ＝B ，PB ，BD ⊂平面PBD ， ∴AD ⊥平面PBD ，又AD ⊂平面ABCD ， ∴平面PBD ⊥平面ABCD ；解：（2）四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，∠BCD ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，AD ⊥PB ，若PB ＝PD ，点E 满足PE →=2EC →，且三棱锥E ﹣ABD 的体积为4√33， ∵O 为BD 中点，PB ＝PD ，∴PO ⊥BD ， 由（1）可知，平面PBD ⊥平面ABCD ，又平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，利用面面垂直的性质定理， ∴PO ⊥平面ABCD ，连接OC ，则OC ⊥BD ，且OC ⊂平面ABCD ， 故PO ⊥OC ，PO ⊥BD ， ∴PO ，BD ，OC 两两垂直，以OB →为x 轴正方向，以OC →为y 轴正方向，以OP →为z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A(−1，−2√3，0)，B(1，0，0)，C(0，√3，0)，D(−1，0，0)，设P （0，0，t ）且t ＞0，∵PE →=23PC →，则E(0，2√33，t3)，∵三棱锥E ﹣ABD 的体积为4√3313×12×2×2√3×t 3=4√33，∴t ＝6，∵PE →=23PC →，∴E(O ，2√33，2)，∴DE →=（1，2√33，2），DB →=（2，0，0），DP →=（1，0，6），DA →=2CO →=（0，﹣2√3，0），设平面P AD 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)， 则{m →⋅DP →=a +6c =0m →⋅DA →=−2√3b =0，取m →=(−6，0，1)，设平面BDE 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅DB →=2x =0n →⋅DE →=x +2√33y +2z =0，取n →=(0，√3，−1)， ∴平面P AD 与平面BDE 的夹角余弦值为：|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=137×2=√3774．22．（12分）已知圆F 1：（x +1）2+y 2＝r 2与圆F 2：（x ﹣1）2+y 2＝（4﹣r ）2（1≤r ≤3）的公共点的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q 两点．试问：AP →⋅AQ →是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）设公共点为P ，则PF 1＝r ，PF 2＝4﹣r ， 所以PF 1+PF 2＝4＞F 1F 2，故公共点P 的轨迹为椭圆， 则2a ＝4，所以a ＝2，又c ＝1，所以b 2＝3， 所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1；（2）当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√127，代入椭圆x 24+y 23=1，y =±√127，所以OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx +m ， 因为直线PQ 与圆O 相切，所以√k 2+1=r ，解得m 2=127(k 2+1)， 将直线PQ 的方程代入椭圆x 24+y 23=1中，可得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=−8km 4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，所以OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2 ＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(k 2+1)(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2=7m 2−12(k 2+1)4k 2+3，将m 2=127(k 2+1)代入上式，化简可得OP →⋅OQ →=0，故OP ⊥OQ ，综上所述，恒有OP ⊥OQ ，所以AP →⋅AQ →=−|AP →||AQ →|=−|OA →|2=−127．。

东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是（ ）A ．2,x x R e x ∀∈≤B ．0200,x x R ex ∃∈> C ．0200,x x R e x ∃∈≤ D ．2,x x R e x ∀∈<2．若椭圆的右焦点为F ，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于P ，Q 两点，则的周长为（ ）A ．B ．C ．6D ．83．不等式260x x -++<的解集是（ ）A ．{}23x x -<< B ．1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ C ．{3x x >或}2x <- D ．13x x ⎧>-⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭4．下列命题为真命题的是（ ）'F 60C PQF △A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b c >>>，则c c a b< C ．若0a b <<，则2a ab < D ．若0a b <<，则11a b< 5．在∆ABC 中，已知45A =︒，30B =︒，2c =，则a =（ ）A ．62-B ．62+C ．31-D ．31+6．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S = A ．55B ．11C ．50D ．607．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则楼高AB 约为（ ）． A ．92米 B ．83米 C ．74米D ．65米8．从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且AB BO OC CD ===，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5二、多项选择题：本题共4小题 ，每小题满分 5 分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

2020-2021东莞市高中必修一数学上期中试卷含答案一、选择题1．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．2．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)24．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-5．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）6．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）7．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,38．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．789．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．010．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 11．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．212．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．5222+C ．32D ．2二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______. 14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 15．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 16．函数的定义域为______________．17．已知()21f x x -=，则()f x = ____.18．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________． 19．若4log 3a =，则22a a -+= ．20．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________． 三、解答题21．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 23．计算下列各式的值：（Ⅰ)22log lg25lg4log (log 16)+- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+24．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 25．已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足6P =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．2．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥--()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．3．B解析：B 【解析】 函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.4．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.5．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．9．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.10．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C11．D解析：D 【解析】试题分析：当时,11()()22f x f x+=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．考点：函数的周期性和奇偶性．12．B解析：B【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【详解】当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣12）2﹣1144≥-，当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=12时，f（12）=14-．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=14 -．即4x2+4x﹣1=0，解得x=24444432248-±+⨯-±=⨯=421282-±-±=，∴此时x=122-，∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，12122m--≤≤，∴n﹣m的最大值为2﹣122--=5222+，故选：B．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数 解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x ---【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝ x -＋1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x ---,故填1x ---.16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.17．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力 解析：()21?x + 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】 令 1t x -=则 t 1,x =+代入 ()21f x x -=可得到()()21f t t =+ ,即()()21f x x =+. 【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本代换求解能力.18．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．19．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算【解析】 【分析】 【详解】∵4log 3a =，∴432a a =⇒=222a -+== 考点：对数的计算20．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】 【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.三、解答题21．（1）1,0a b ==；（2）4k <. 【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可. 【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩.解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立 所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<. 【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 22．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型.23．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,ma a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn mm a a a a a-===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24．（1）()1124xf x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】 【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解. 【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅, 因为()f x 是()1,1-上的奇函数 所以()()1124x f x f x -=--=+⋅, （2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x-⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭, 所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故135********20182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题.25．（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】 【分析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ． 【详解】解：（1）()42log [116]f x x x =+∈Q ，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈Q ，， ()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13．【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．26．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益()50f =167024+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元,所以()f x =()1612024x +-+=126,4x -+ 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()12640804x x -+≤≤,令t =,则t ⎡∈⎣,所以y =21264t -++=21(444t --+.当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.。