在实数集上构造具有紧支集的 阶可导函数

数学分析十讲习题册、课后习题答案_数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）；解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数；解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解：习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解：（3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）；解：原式（2）求；解：原式（3）；解：原式（4）；解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得：3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ；解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。

又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明：2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则从而所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，，所以习题2-1 （此题已换）1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数证明：反证法. 假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界. （1）解：（2）解：（3）解：（4）. 解：3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且 .不妨设，则对有即矛盾. 下确界的唯一性类似可证习题2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取；……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足：是的下界，不是的下界. 由区间套定理，且. 下证：都有，而，即是的下界. 由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为；再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若，则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若，则记；若，则记按此方式继续下去，得一区间套，其中根据区间套定理可知，且有 . 因为在上连续，所以注意到可得，再由可知， . 习题2-3 1. 证明下列数列发散. (1), 证因为，所以发散.(2), 证明：因为所以发散. 2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明：由收敛数列与子列的关系，结论显然不妨假设数列单调递增，且存在收敛子列，由极限定义对任意给定的，总存在正整数，当时，，从而有；由于，对任意，存在正整数，当时，，取，则任意时，所以，即3. 设极限存在,证明：. 证明：记由海茵定理，取，得取，得取，得，解得（此题取消）4. 数列收敛于的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于（此题改为4）5. 已知有界数列发散，证明:存在两个子列和收敛于不同的极限. 证明：因为有界，由致密性定理，必有收敛的子列，设. 又因为不收敛，所以存在，在以外，有的无穷多项，记这无穷多项所成的子列为，显然有界.由致密性定理，必有收敛子列，设，显然 . 习题2-5 1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性(1) 解：所以，对，即为柯西列(2) . 解：所以，对，即为柯西列2. 满足下列条件的数列是不是柯西列? (1) 对任意自然数,都有解：不是柯西列，如，对任意的自然数，但数列不收敛。

实变函数试题库及参考答案（6） 本科一、填空题 1．设nE ⊂，称E 是 ，如果nT ∀⊂，()**m T m TE =+()*c m T E2．设E 是外测度为零的集合，且F E ⊂，则*m F 03.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E xf x a >是可测集E 上的 .4.设0x 是E (R ⊆)的点,则*__0m E .5． 设()f x 为可测集()n E R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值 6．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个递增函数的 7．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x ⇒ 8．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()Ef x dx =⎰二、单选题1．设n R E ⊂，则（ ）A ()E E = B 0E E ⊃ C E E '⊂ D E E '⊂2. 设P 的康托集，则( )（A ）P 为可数集 （B ）P 为开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 3. 设Q 的有理数集，则（ ）（A ）0mQ > （B ）Q 为闭集 （C ）0mQ = （D ）Q 为不可测集三、多项选择题1．设()()n f x f x ⇒，则（ ）A ()n f x 几乎处处收敛于()f xB ()n f x 一致收敛于()f xC ()n f x 有子列()n f x ，使()()n f x f x →..a e 于ED ()n f x 可能几乎处处收敛于()f x2．设nE ⊂是可测集，则（ ）EA c E 是可测集B mE <+∞C 的子集是可测集DE 的可数子集是可测集3． 设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则（）（A ）()f x 是[,]a b 上的有界变差函数 （B ）()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数 （C ）()f x 在[,]a b 上几乎处处收敛 （D ）()f x 在[,]a b 上几乎处处可导 4．设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ ）A ()f x +，()f x -都是E 上的非负可积函数B ()f x +和()f x -有一个在E 上的非负可积C ()f x 在E 上L 可积D ()f x 在E 上不一定L 可积四、判断题1. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体的测度大于0（ ）2. 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈ （ ）3. 设()f x 为可测集E 上的可测函数，则()Ef x dx ⎰一定存在. （ ）4. 设E 为零测集，()f x 为E 上的实函数，则()f x 不一定是E 上的可测函数 （ ）五、定义题1. 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.2. 简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？3. 简述nR 中开集的结构.六、计算题1. 设()[]230,1xx P f x xx P⎧∈⎪=⎨∈-⎪⎩，其中P 为康托集，求()[]01f x dx ⎰，.2. 求()[]22,0,11n nxf x E n x ==+，求()lim n n Ef x dx →∞⎰.七、证明题1. 证明集合等式 ：()()()\\\A B C A C B C =.2. 设[]{}00,1E =中的有理点，则0E为可测集且00mE =.3. 设()()f x L E ∈，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞ ，如果lim n n mE mE →∞=，则()()lim nn E Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰.4. 证明集合等式 ：()()()\\\A B C A B A C =.5. 设1E R ⊆，且0m E *=，则E 为可测集.6. 证明：1R 上的单调函数()f x 必为可测函数.7. 设()f x 为可测集nE R ⊆上的可测函数，则()()f x L E ∈的充要条件()()f x L E ∈.实变函数试题库及参考答案（6） 本科一、填空题1.可测集2.=3.可测函数4.>5.一定存在6.差7.()()f x g x8.()limnEn x dx ϕ→∞⎰二、单选题 1.A 2.C 3.C 三、多选题1.CD2.AD3.ACD4.AC 四、判断题 × ××× 五、定义题1.答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数.2.答：不一定 如()1111,11,1n n n +∞=⎡⎤---+=-⎢⎥⎣⎦3.答：n R 中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并六、解答题1.解：因为P 为康托集，故0mP =，[]()0,1\1m P = 所以()[]320,1P P f x x x χχ-=+ 所以()[][]()2330,10,1f x dx x mP x m P x =+-=⎰2.解：易知：[]()22lim00,11n nxx n x →∞=∈+令()()2221,1n nx f x g x n x x ==+， 则()()()22232222222221110111n nx n x nx n x nx g x f x nx nx x n x x x n x n x+-+--=-==≥+++ 所以()()[]()00,1,1n f x g x x n ≤≤∈≥ 又因为()g x 在[]0,1上Lebesgue 可积， 所以由控制收敛定理，得 22lim001n E Enxdx dx n x →∞==+⎰⎰七、证明题 1.证明 ()()()()()()\\\c c c AB C A B C A C BC A C B C ===2.证明 因为0E 为可数集，记为{}012,,,n E r r r =，0ε∀>，取()11,1,2,22n n n n n I r r n εε++⎛⎫=--= ⎪⎝⎭显然 01n n E I +∞=⊂，所以0011102n n nn n n E I m E I εε+∞+∞+∞*===⊂≤≤==∑∑，让0ε→，得00m E *=.n T R ∀∈，由于()()00c T TE T E = 所以()()00c m T m T E m TE ***≤+.又00,0c TE T m E *⊆=，所以()()()000c c m T m TE m T E m T E ****≥=+.故()()00c m T m TE m T E ***=+故0E 为可测集，且00mE =3.证明 因()f x 在E 上L 可积，由积分的绝对连续性知，对任意0ε>，存在0δ>，对任何A E ⊆，当mA δ<时有|()|Af x dx ε<⎰，由于lim n n mE mE →∞=<+∞，故对上述的0δ>，存在0k ，当0n k >时n E E ⊆，且有()n n mE mE m E E δ-=-<，于是\|()()||()|nnEE E E f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰，即lim ()()nE En f x dx f x dx →∞=⎰⎰4.证明()()()()()()()\\\ccc ccA B C A BC ABC A BA CA B A C ====5.证明 nT R ∀∈，由于()()n c T R T T E T E ∀∈=所以()()c m T m T E m T E ***≤+.又,0c TE T m E *⊆=，所以()()()c c m T m TE m TE m TE ****≥=+.故()()c m T m T E m T E ***=+所以E 为可测集6.证明 1,a b R ∀∈，不妨假设a b <，因为()f x 是1R 上的单调函数，不妨设()f x 为单调增函数，故()f x 是[],a b 上的单调增函数，即()()121212,,,x x E x x f x f x ∀∈<≤， 则1R α∀∈，有1） 当()sup x Ef x α∈≤时，();E xf x α⎡>⎤=∅⎣⎦ 2） 当()inf x E f x α∈>时，();E xf x E α⎡>⎤=⎣⎦3） 当()()inf sup x Ex Ef x f x α∈∈≤<时，必有10x ER ∈，使()()000,f x f x αα+>≤或()()000,0f x f x αα+≥-<.由()f x 的单调增知，()0(),E x f x Ex α⎡>⎤=+∞⎣⎦或[)0,E x +∞.在所有情况下，()E xf x α⎡>⎤⎣⎦都可测.即()f x 是[],a b 上的可测函数.由由,a b 的任意性可知，()f x 是1R 上的可测函数.7.证明 必要性 若()()f x L E ∈，因为()()()f x f x f x +-=+，且()()f x L E ∈ 所以()(),EEf x dx f x dx +-⎰⎰中至少有一个是有限值，故()()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=+⎰⎰⎰即()()f x L E ∈充分性 若()()f x L E ∈ 因为()()()f x fx f x +-=-，且()()f x L E ∈所以()(),EE f x dx f x dx +-⎰⎰中至少有一个是有限值，故()()()EEEf x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰，即()()f x L E ∈.。

《复变函数》 复习资料1一、判断题1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射（ ）2.3.4.5.6.7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。

（ ）8.9.10.二、解答题1.设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z到2z 各项）. 2.利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数).3.利用留数定理计算实积分θθθπd ⎰-20cos 452cos 4.三、解答与证明题1.如果在1z <内，函数()f z 解析，且1()1f z z≤-，求()(0)n f 的最优估计值. 2．（1）函数211x+当x 为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式： -+-=+422111x x x却只当1<x 时成立，试说明其原因； （2）利用惟一性定理证明：210(1)sin ,(21)!n n n z z n ++∞=-=+∑ 1z <.3.设)(z ϕ在:1C z =内解析且连续到C ,在C 上 ()1z ϕ<试证 在C 内部2()3z z z ϕ=+只有一个根0z .4. 设D 为单连通区域，()f z 在D 内解析，C 在D 内一条周线，0D 为C 的内部.若对于任意的0z D ∈都有1()Re 12C f d i z ξξπξ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭⎰，则在D 内恒有()f z 1ic =+，其中c 为实常数.答案一、1-5 FFTTF 6-10 TFFTF二、解答题1、设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项） 解：)1()(2z z e z f z+=211z e z z =+ =21(1)2!3!z z z ++++（2421(1)n n z z z -+-+-+）=215126z z z +--+（1||0<<z ）.2、利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数)解：因为 ||1a <，||1b <且a b ≠ 所以1||1()()n n z dzI z a z a ==--⎰=2i π[Re ()z a s f z =+Re ()z bs f z =] =12121(1)...(22)112(1)()0(1)!()()n n n n n n i n b a a b π---⎡⎤---+=⎢⎥---⎣⎦设2I =21az z e dz =⎰，因为在单位圆周1z =内2az e 只有一个本质奇点0z =，在该点的去心领域内有洛朗展式：2az e =22412!a a z z+++所以2Re 0az z s e ==，故20I =，因此原积分值为零。

实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。

以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。

而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。

3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。

如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。

4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。

5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。

积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。

6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。

如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。

7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。

如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。

以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。

构造可导抽象函数常见类型解析作者：齐飞来源：《试题与研究·教学论坛》2015年第20期抽象函数没有具体的函数解析式，因而在函数求导方面或多或少会有麻烦，但是抽象函数的导数是高中函数部分的难点和重点，成为高考数学的兵家必争之地。

抽象函数问题既能考查构造函数的概念和性质，又能考查函数的能力，所以它能成为高考的热点问题。

而且引入导数之后，为解决抽象函数的问题提供新的工具和方法。

本文作者从构造抽象的可导函数解题常见类型着手，去了解高考的考查难点。

一、构造可导的差函数对于f′（x）>g′（x），构造h（x）=f（x）-g′（x），一般地，遇到f′（x）>a（a≠0），即导函数大于某种非零常数（若a=0，则无须构造），则可构h（x）=f（x）-ax。

例1：已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）A.（1，+∞）B.（-∞，-1）C.（-1，1）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）审题思路：由于f（x）是抽象函数，因此f′（x）无具体函数解析式，因此可构造函数解析式去解决此类问题。

解析：构造一可导的函数F（x）=f（x）-2x-1，则F′（x）=f′（x）-2，f（x）的导数f ′（x）在R上恒有f′（x）1。

解后反思：研究不等式f（x）>h（x）时，如两边均是具体的函数，可通过“数形结合”开辟思路，如有不便，则应采取更一般化方法（特别是对于抽象函数），即将一侧化为零，利用构造函数解决问题。

二、构造可导的积函数类型一：若f′（x）g（x）+f（x）g′（x）≥0（或≤0），则构造F（x）=f（x）g（x），F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x），从而判断出利用已知条件来判断F（x）的单调性。

类型二：若f′（x）+f（x）≥0，构造函数F（x）=exf（x），则F′（x）=ex（f′（x）+f（x）），从而利用已知条件判断出F（x）的单调性。

实变函数的性质及应用实变函数是数学中常见的一类函数，其定义域和值域都是实数集。

在应用数学以及工程领域，实变函数的性质及应用非常广泛。

本文将探讨实变函数的一些基本性质，并介绍一些实际应用。

一、实变函数的基本性质1. 连续性与间断性：实变函数可以是连续函数，也可以是不连续函数。

连续函数在其定义域内不存在断裂点，而不连续函数可能存在跳跃或间断点。

2. 极限：实变函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋近情况。

极限的存在与否可以用来判断函数的光滑性和收敛性。

3. 导数：实变函数的导数是用来描述函数的变化率，即函数在某点处的切线斜率。

导数的存在与连续性密切相关，可用来解决最优化问题。

4. 凹凸性：凹凸函数是指函数图像在任意两点间的曲线部分都位于直线部分的下方或上方。

凹函数具有一些特殊的性质，如在图像上有唯一的极小值点。

二、实变函数的应用1. 数学模型：实变函数在数学模型的建立与求解中具有重要作用。

通过对实际问题的抽象和描述，可以建立相应的实变函数模型，并利用函数的性质求解。

2. 物理问题：实变函数在物理问题中也有广泛应用。

例如，针对某一物理过程可以建立实变函数模型，通过对函数性质的研究，可以得到物理问题的解析解。

3. 经济学：实变函数在经济学中的应用非常广泛。

例如，经济学中常常使用实变函数来描述供给、需求、效用函数等经济关系。

通过研究函数的性质，可以获得有关经济现象的一些结论。

4. 信号处理：实变函数在信号处理中起着重要作用。

例如，通过对声音、图像等信号的离散采样，可以将连续信号离散化为实变函数，并进一步对其进行处理分析。

5. 金融学：实变函数在金融学中的应用日益重要。

例如，在量化投资中，通过对股票市场等金融数据的建模，可以得到实变函数来预测市场走势。

总之，实变函数作为数学中的重要概念，在应用数学以及工程领域有着广泛的应用。

通过研究实变函数的性质，我们可以更好地理解和解决实际问题。

实变函数的性质以及在不同领域的应用，给我们提供了丰富的数学工具，为我们探索和创新提供了更大的空间。

§1.3 实数基本定理与函数的连续性一、主要知识点和方法1、实数基本定理闭区间套定理：设{[,]}n n a b 是一列闭区间，满足11[,][,]n n n n a b a b ++⊂及0n n b a -→，则存在唯一的[,]n n a b ξ∈(1,2,)n = 。

确界定理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。

聚点定理：有界无限点集必有聚点。

致密性定理：有界点列必有收敛子列。

有限覆盖定理：设H 是由一族开区间所成的集合，若H 覆盖了闭区间[a ,b ]，则存在H 的有限子集H 0，使得H 0也能够覆盖[a ,b ]。

单调有界定理：单调递增（减）有上（下）界的数列一定收敛。

柯西收敛准则：{}0,,n n m x N n m N x x εε⇔∀>∃>>-<收敛当时。

（当{}n x 满足柯西准则条件时，也称{}n x 为柯西列）以上七个定理称为实数基本定理，它们是相互等价的。

2、连续函数概念 （1）连续与间断设)(x f 在点a 的一个邻域内有定义，若lim ()()x af x f a →=，则称)(x f 在点a 连续。

“εδ-”定义：若0,0εδ∀>∃>，当x a δ-<时()()f x f a ε-<。

则称)(x f 在点a 连续。

若(0)lim ()()x af a f x f a -→-==，则称)(x f 在点a 左连续。

若(0)lim ()()x af a f x f a +→+==，则称)(x f 在点a 右连续。

)(x f 在点a 连续意味着下面三个条件同时成立：ⅰ）(0),(0)f a f a +-都存在；ⅱ）(0)(0)f a f a +=-； ⅲ）(0)()(0)f a f a f a +==-。

若（ⅰ）（ⅱ）成立，而（ⅲ）不成立，则称a 为)(x f 的可去间断点；若（ⅰ）成立，而（ⅱ）不成立，则称a 为)(x f 的的第一类间断点；若（ⅰ）不成立，则称a 为)(x f 的第二类间断点。

第七章 习题解答1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？解 不一定。

例如离散空间（X ，d ）。

)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。

因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。

2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义)()(1)()(max 21),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞=∑证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。

证明 （1）若),(g f d =0，则)()(1)()(max)()()()(t g t ft g t f r r r r bt a -+-≤≤=0，即f=g（2）)()(1)()(max 21),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞=∑ )()(1)()()()(1)()(max 21)()()()()()()()(0t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞=∑ )()(1)()(max 21)()(1)()(max 21)()()()(0)()()()(0t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r b t a r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞=≤≤∞=∑∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ）因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。

3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =⋂∞=1。

利用充分光滑的S形函数构造Meyer小波邵云虹;邓彩霞;贺鹏【摘要】为了在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果,必须尽量增大小波的正则性或者连续可微性.在Meyer小波构造中S形函数的选取影响着Meyer小波的可微性、光滑性和衰减速度等性质,所以S形函数的选取至关重要.给出一种构造充分光滑的S形函数的方法,并以一个充分光滑的非多项式S形函数为例,将其作为BP神经网络中的激励函数进行函数逼近得到好的逼近效果且训练次数少.然后通过充分光滑的S形函数得到Meyer小波的尺度函数,给出相应的具有充分光滑、高阶消失矩且无穷次可微性的频谱有限的Meyer小波.最后把充分光滑的Meyer小波与剪切波变换结合进行图像去噪,与传统的Meyer小波剪切波变换去噪相比较,峰值信噪比高于传统的Meyer剪切波变换且去噪后的图像纹理和边缘信息保留更加完整.【期刊名称】《哈尔滨理工大学学报》【年(卷),期】2019(024)002【总页数】8页(P127-134)【关键词】小波分析;Meyer小波;S形函数;尺度函数;高阶消失矩【作者】邵云虹;邓彩霞;贺鹏【作者单位】哈尔滨理工大学理学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学理学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学理学院,黑龙江哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】O174.220 引言小波分析是80年代中期新兴的一门学科，它是在Fourier分析的基础上创建起来的[1]。

由于它具有良好的时频特性，因此可以更好地实现信号的处理[2]、小波降噪[3-4]、模式识别[5-6]等。

1988年，Mallat提出多分辨率分析概念，为正交小波的构造提供可行性方法[7]。

正交小波按照其特点可以分成两类：一类是频谱有限函数，通常称为Meyer型小波，例如Meyer小波；另一类是正交小波在时间域上具有紧支集，称为Daubechies小波[8]。

Daubechies小波是工程中常用的小波，然而许多能量有限信号是频谱有限的，Daubechies小波在应用中受到一定限制，因此研究在频域内具有紧支撑的Meyer型小波是十分重要的。