--第一章--集合与函数概念复习课

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第一章集合与函数概念
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§1.1 集合
【知识梳理】
一、集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质: 、 和 ；
2.集合的3种表示方法： 、 和 ；
3.集合中元素与集合的关系：
4.常见集合的符号表示
数集 自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集 其他
符号
N
*N 或+N
R
借助于 交、并、补符号
二、 集合间的基本关系
表示关系 文字语言
符号语言
相等 集合A 与集合B 中的所有元素都相同 B A ⊆且A ⊆B ⇔B A =
子集 A 中任意一元素均为B 中的元素 B A ⊆或A B ⊇
真子集 A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素 A
B
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
A ⊆φ，φ
B （φ≠B ）
三、集合的基本运算及常用性质 1.集合的运算 交
并
补
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{|,}
A B x x A x B =∈∈I 且
{|,}
A B x x A x B =∈∈U 或
U C A ={}
x x U x A ∈∉且
2.常用性质：
①B A ⊆，C B ⊆，则 ②φφ=I A ，A A =φY ； ③φ=A C A U I ；U
A C A U =Y ，
④
B A A B A ⊆⇔=I ，
A B A B A ⊆⇔=Y ；
⑤
A
B A ⊆I ，
A B A ⊇Y ；
⑥
()()()()card A B card A card B card A B =+-U I
⑦集合1
2
3
{,,,,}n
a a a a ⋅⋅⋅的所有子集的个数为 ，
所有真子集的个数为 .
【典例分析】
例1、已知全集},
32,4
,2{2
2-+-=a a a U 若{},2A a =,{}
5U
C
A =求实数a 。

例2、已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．
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例3、设集合{}0
232
=+-=x x x A ，{}0)5()1(222
=-+++=a x a x
x B
（1）若{}
2=B A I ，求实数a 的值；
（2）若A B A =Y ，求实数a 的取值范围，
§1.2 函数及其表示
【知识梳理】
一、函数的概念
1．函数的定义与函数的三要素：定义域、值域和对应法则
2．映射的概念（表示映射的方法，计算映射的个数）
二、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
三、分段函数与复合函数
是看待函数结构特点的一个角度，更是解决函数问题的一种思维方式
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例如：x x x f =)(，⎩
⎨
⎧<-≥=;
01
,01
)(x x x g 是否表示同一函数？
【典例分析】
例1、（1）集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，
从B 到A 的映射个数是__________.
（2）若函数2
34y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4
--，，则m 的取值范围是（ ）
A ．(]4,0；
B ．3[3]2，；
C ．3[]2，4；
D ．3
[2
+∞，）
（3）
若
()f x =，那么，
(21)
y f x =+的定义域
为 ，(21)y f x =+的值域为
（4）设函数f (x )＝⎩⎨
⎧
|x －1|(0<x <2)，
2－|x －1|(x ≤0或x ≥2)，则函数y ＝f (x )与y ＝1
2
的交点个数是________．
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（5）对任意两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：(a ，b )⊗(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p 、q ∈R ，若(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )＝( ) A ．(0，－4) B ．(0,2) C ．(4,0) D ．(2,0)
★★ 求定义域的方法：
1、根据解析式有意义求定义域：
⑴ 整式：x R ∈ ⑵ 分式：分母不等于0 ⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0 ⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0 2、根据对应法则的意义求定义域
3、实际问题中，根据自变量的实际意义确定定义域．
例2、求值域
（1）函数2
46,[3,5]y x x x =-+∈的值域是 （2）已知函数)(6242
R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，
求3
a
f的值域
=a
a
-
)
2
(+
★★求值域的几种常用方法：
（1）配方法（二次型函数）（2）换元法（具有基本函数形式结构的函数）
（3）分离常数法（常用来求“分式型”函数的值域。

）
（4）函数的单调性（5）分段函数的值域
（6）数形结合（图象与几何意义）
例3、（1）已知()
，
f x是一次函数，且()43
=+
f f x x
⎡⎤
⎣⎦
求()
f x
（2）已知二次函数)(x f满足
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5
64)12(2+-=+x x x f ，求)(x f
★★掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）代入法
（4）构造关于()f x 的方程组去解. (例如：函数
)
(x f 满足x x
f x f 3)1(2)(=+，求)(x f ) §1.3 函数的基本性质
【知识梳理】
一．函数的单调性与最值
注意：单调性的概念即性质 理解单调性离不开图象 复合函数的单调性
二、函数的奇偶性1、判断奇偶性的第一步是
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2、奇函数的定义： 或
3、偶函数的定义： 或 三、函数图像自身的对称：
【典例分析】
例1、（1）函数b
a bx ax x f +++=3)(2
是定义域为]
2,1[a a -的偶函数，则b a +=
（2）设函数
)
(x f (x ∈R)为奇函数，
2
1
)1(=
f ，
)
2()()2(f x f x f +=+，求(5)f 。

（3）若()f x 是奇函数，且在()0,+∞内是增函数，又(3)0f =，则()0xf x <的解集 是
（4）定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)() A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6 B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6 D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
例2、函数f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，
函数的解析式为f(x)＝2
x－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当x＜0时，函数的解析式．
例3、已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实根．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域；
(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，试判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论．
例4、定义在R上的函数)(x f
f，当x＞
y=，0
)0(≠
0时，1
f，且对任意的a、b∈R，有f
x
)
(>
（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围。