2017版高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第五节数系的扩充与复数的引入练习理

第五节 数系的扩充与复数的引入【最新考纲】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义.2.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如ɑ＋bi(ɑ，b ∈R)的数叫复数，其中ɑ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则ɑ＋bi 为实数，若b≠0，则ɑ＋bi 为虚数，若ɑ＝0且b≠0，则ɑ＋bi 为纯虚数．(2)复数相等：ɑ＋bi ＝c ＋di ⇔ɑ＝c ，b ＝d (ɑ，b ，c ，d ∈R)． (3)共轭复数：ɑ＋bi 与c ＋di 共轭⇔ɑ＝c ，b ＝－d (ɑ，b ，c ，d ∈R)．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝ɑ＋bi 的模，即|z|＝|ɑ＋bi| 2．复数的几何意义复数z ＝ɑ＋bi Ｆ―→一一对应复平面内的点Z(ɑ，b)Ｆ―→一一对应平面向量OZ →＝(ɑ，b)．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝ɑ＋bi ，z 2＝c ＋di ，ɑ，b ，c ，d ∈R z 1±z 2＝(ɑ＋bi )±(c＋di)＝(ɑ±c)＋(b±d)i ． z 1·z 2＝(ɑ＋bi)(c ＋di)＝(ɑc －bd)＋(bc ＋ɑd)i ． z 1z 2＝ɑ＋bi c ＋di ＝ɑc＋bd c 2＋d 2＋bc －ɑd c 2＋d2i(c ＋di ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如右图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝1＋i的虚部为i.( )(2)若z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)，当ɑ＝0时，z是纯虚数．( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(2015·广东卷)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i解析：∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.答案：A3．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：由题意知，该复数在复平面内对应的点为(－2，1)，所以该点位于复平面的第二象限．答案：B4．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．1 B．2 C. 2 D. 3解析：∵z(1＋i)＝2i，∴|z|·|1＋i|＝|2i|.∴|z|·2＝2.∴|z|＝ 2.答案：C5．(2015·北京卷)复数i(1＋i)的实部为________．解析：因为i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，所以实部为－1.答案：－1一个关键复数分类的关键是抓住z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)的虚部：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当ɑ＝0，且b≠0时，z为纯虚数．一个实质复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．一种方法化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．两点注意1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等ɑ＋bi＝c＋di列方程时，注意ɑ，b，c，d∈R的前提条件．一、选择题1．(2015·湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为( )A．i B．－i C．1 D．－1解析：因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.答案：A2．(2015·山东卷)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i 解析：由已知得z ＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i. 答案：A3．(2015·福建卷)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅解析：∵A＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}， ∴A ∩B ＝{－1，1}． 答案：C4．(2016·郑州一检)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m∈R)是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：由m ＋103＋i ＝m ＋3－i 为纯虚数，则m ＋3＝0，所以m ＝－3.答案：A5．在复平面内，复数z 和2i2－i 表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45iB.25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i解析：由2i 2－i ＝－25＋45i 该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，45，其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45， 故复数z ＝25＋45i.答案：A6．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0 解析：设z ＝ɑ＋bi(ɑ，b ∈R)，则z 2＝ɑ2－b 2＋2ɑbi ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ɑb ＝0，ɑ2－b 2≥0，则b ＝0，或ɑ，b 都为0，即z 为实数，故选项A 为真． 同理选项B 为真；选项C 为假，选项D 为真． 答案：C二、填空题7．若复数z 满足iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是________． 解析：由于iz ＝2＋4i ， 所以z ＝2＋4ii ＝4－2i ，故z 对应点的坐标为(4，－2)． 答案：(4，－2)8．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2＝________． 解析：∵z＝1＋i ，∴z ＝1－i ，则z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 答案：09．(2015·重庆卷)设复数ɑ＋bi(ɑ，b ∈R)的模为3，则(ɑ＋bi)(ɑ－bi)＝________． 解：∵|ɑ＋bi|＝ɑ2＋b 2＝3，∴(ɑ＋bi)(ɑ－bi)＝ɑ2＋b 2＝3. 答案：3 三、解答题10．在复平面内，复数5＋4i ，－1＋2i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，求点C 对应复数的模．解：由题意知点A(5，4)，B(－1，2)，所以点C 的坐标为(2，3)，所以点C 对应的复数为z ＝2＋3i ，它的模为22＋32＝13.11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝1－i 1＋i ＋2＝（1－i ）22＋2＝2－i ，设z 2＝ɑ＋2i(ɑ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(ɑ＋2i)＝(2ɑ＋2)＋(4－ɑ)i ，又z 1·z 2是实数，∴ɑ＝4，从而z 2＝4＋2i.三角函数与平面向量的高考热点题型三角函数、解三角形、平面向量是高考考查的重点与热点，本专题的热点题型有：一是三角恒等变换的综合应用；二是三角函数与解三角形的综合问题；三是三角函数与平面向量的综合应用，中档难度。

在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形使用公式，充分发挥平面向量的工具作用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就为利用数形结合思想创造了条件.热点1 三角恒等变换的综合应用要研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．(2016·潍坊质检)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g(x)＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝335，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合．解：f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g(x)＝2sin 2x2＝1－cos x ，(1)由f(α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α＞0.从而g(α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f(x)≥g(x)等价于3sin x ≥1－cos x ，则3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12，从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合为 {x|2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z}．1．将f(x)化简为3sin x ，将g(x)化简为1－cos x ，从而沟通了g(α)与f(α)之间的关系．2．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．3．把形如y ＝ɑsin x ＋bcos x 化为y ＝ɑ2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．【变式训练】 (2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.热点2 三角函数与解三角形的综合问题从近几年课标全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是ɑ，b ，c.已知bsin A ＝3csinB ，ɑ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3的值． 解：(1)由ɑsin A ＝bsin B ，可得bsin A ＝ɑsin B.又由bsin A ＝3csin B ，可得ɑ＝3c. 由于ɑ＝3，则c ＝1.依据余弦定理，且cos B ＝23，∴b 2＝ɑ2＋c 2－2ɑc·cos B ＝32＋12－6×23＝6.于是b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，0＜B ＜π，得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin 2B ＝2sin Bcos B ＝459，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝45＋318.1．以平面向量为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．【变式训练】 在△ABC 中，ɑ，b 分别是锐角A ，B 的对边，向量m ＝(b ，sin B)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫ɑ，cos π3，且m∥n.(1)求角A 的大小；(2)若B ＝π6，BC 边上的中线AM ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)由m∥n，得bcos π3－ɑsin B ＝0.由正弦定理，得12sin B ＝sin Asin B ，由于sin B ≠0，且A 为锐角， ∴sin A ＝12，所以A ＝π6.(2)由(1)知A ＝B ＝π6，∴AC ＝b ＝ɑ，且C ＝23π.又AM 是△ABC 中BC 边上的中线， ∴MC ＝12BC ＝12ɑ.在△AMC 中，AM ＝7，由余弦定理得 AM 2＝AC 2＋MC 2－2AC·MC·cos C ， ∴7＝ɑ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ɑ22－2ɑ·ɑ2·cos 23π，解得ɑ＝2. 从而ɑ＝b ＝2.故S △ABC ＝12ɑ·b·sin C ＝12×2×2·sin 23π＝ 3.热点3 三角函数与平面向量的综合应用(满分现场)平面向量与三角函数交汇命题是近几年高考试题的一大亮点，主要涉及三种情形：(1)以向量为载体，考查三角变换与求值；(2)向量与解三角形交汇求边与角；(3)以三角函数表示向量的坐标，研究向量运算及函数的有关性质．(经典母题)(本小题满分12分)(2014·山东卷)已知向量ɑ＝(m ，cos2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝ɑ·b，且y ＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．规范解答：(1)由题意知f(x)＝ɑ·b＝msin 2x ＋ncos 2x.1分 因为y ＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，4分解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.5分(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.7分 设y ＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g(x)得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0＜φ＜π，所以φ＝π6，因为g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x.10分由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数g(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.12分 【满分规则】 (1)本题的易失分点是：①记错数量积坐标运算公式或方程求解能力差，求错m ，n 的值． ②弄错图象平移变换的方向与长度．③信息提取能力差，不能根据条件准确求出φ值． (2)满分规则：①熟记数量积坐标运算公式与三角变换公式，平时加强基本训练，提高方程求解能力． ②函数图象变换的关键是看x 轴上是先平移后伸缩，还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω(x ＋φω)确定平移长度，二者均是针对自变量x 而言的．③善于捕捉条件信息，准确进行文字语言与符号语言的转化． 【构建模板】 第一步：利用数量积与三角变换求f(x)； 第二步：构建关于m ，n 的方程组，求m ，n 的值； 第三步：利用图象的平移变换确定出函数g(x)； 第四步：根据最值条件求φ值；第五步：利用三角函数的性质求出函数g(x)的递增区间．三角函数与向量相结合的综合问题．此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决．【变式训练】 已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x4，cos 2x 4.(1)若m·n＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，且满足(2ɑ－c)cos B ＝bcos C ，求函数f(A)的取值范围．解：(1)m·n＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∵m·n＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋π6＝12，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12.(2)∵(2ɑ－c)cos B ＝bcos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C)cos B ＝sin Bcos C ， ∴2sin Acos B －sin Ccos B ＝sin Bcos C. ∴2sin Acos B ＝sin(B ＋C)．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C)＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，由0＜B ＜π，知B ＝π3.因此0＜A ＜2π3，π6＜A 2＋π6＜π2.所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1.又∵f(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.∴f(A)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f(A)的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.1．已知函数f(x)＝3ɑsin x ＋bcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0.(1)求实数ɑ，b 的值；(2)求函数f(2x)的周期及单调增区间．解：(1)∵函数f(x)＝3ɑsin x ＋bcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0， ∴3×32ɑ＋b ＝12，且－32ɑ－32b ＝0. 解得：ɑ＝1，b ＝－1.(2)由(1)知：f(2x)＝3sin 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，函数f(2x)的周期T ＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，解得2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z.∴函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.2．已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋ɑcos(x ＋2θ)，其中ɑ∈R，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当ɑ＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f(π)＝1，求ɑ，θ的值． 解：(1)f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x)－2sin x ＝22cos x－22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .因为x∈[0，π]，所以π4－x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.故f(x)在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2ɑsin θ）＝0，2ɑsin 2θ－sin θ－ɑ＝1. 由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ɑ＝－1，θ＝－π6.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且ɑ＞c.已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)ɑ和c 的值； (2)cos(B －C)的值．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c·ɑcos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ɑc ＝6.由余弦定理，得ɑ2＋c 2＝b 2＋2ɑccos B.又b ＝3，所以ɑ2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ɑc ＝6，ɑ2＋c 2＝13得ɑ＝2，c ＝3或ɑ＝3，c ＝2. 因为ɑ＞c ，所以ɑ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·223＝429.因为ɑ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C)＝cos Bcos C ＋sin Bsin C ＝13×79＋223×429＝2327.4．(2015·山东卷)设f(x)＝sin xcos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，ɑ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意知f(x)＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k∈Z，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z.所以f(x)的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k∈Z)；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k∈Z)． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理ɑ2＝b 2＋c 2－2bccos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bcsin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 5．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z.此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0， 此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 6．已知向量ɑ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x)，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0＜α＜x ＜π.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c 的最小值及相应x 的值；(2)若ɑ与b 的夹角为π3，且ɑ⊥c，求tan 2α的值．解：(1)∵b ＝(cos x ，sin x)，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f(x)＝b·c＝cos xsin x ＋2cos xsin α＋sin xcos x ＋2sin xcos α＝2sin xcos x ＋2(sin x ＋cos x)．令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎪⎫π4＜x ＜π，则2sin xcos x ＝t 2－1，且－1＜t ＜ 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1＜t ＜2，∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4＜x ＜π，∴π2＜x ＋π4＜54π，∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12. ∴函数f(x)的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵ɑ与b 的夹角为π3，∴cos π3＝ɑ·b |ɑ|·|b|＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0＜α＜x ＜π，∴0＜x －α＜π，∴x －α＝π3.∵ɑ⊥c，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35.。