2017高考数学一轮复习 第九章 计数原理概率和统计 第四节 随机抽样课件 理

【解】 (1)将每个人编一个号由 0001 至 1003； (2)利用简单随机抽样法找到 3 个号将这 3 名工人剔除； (3)将剩余的 1 000 名工人重新编号 0001 至 1000； (4)分段，取间隔 k＝1 10000＝100，将总体平均分为 10 段，每 段含 100 名工人； (5)从第一段即为 0001 号到 0100 号中随机抽取一个号 l； (6)按编号将 l,100＋l,200＋l，…，900＋l 共 10 个号选出， 这 10 个号所对应的工人组成样本．
解析：依题意知，应从一年级本科生中抽取4＋5＋4 5＋6×300 ＝60(名)．
答案：60
考点
互动探究
考点一 简单随机抽样
简单随机抽样的特点 (1)抽取的个体数较少； (2)逐个抽取； (3)是不放回抽取； (4)是等可能抽取．
简单随机抽样的显著特点是样本容量较小．
(2015·河北调研)总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个 体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机 数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数 字，则选出来的第 5 个个体的编号为( )
如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除，则抽样间隔为 k＝Nn， 如果总体容量 N 不能被样本容量 n 整除，可随机地从总体中剔除 余数，然后再按系统抽样的方法抽样．
某工厂有 1 003 名工人，从中抽取 10 人参加体检，试用系 统抽样进行具体实施．
【思路启迪】 由于总体容量不能被样本容量整除，需先剔 除 3 名工人，使得总体容量能被样本容量整除，取 k＝1 10000＝100， 然后再利用系统抽样的方法进行．
【拓展探究】 若从第 1 行的第 13 列和第 14 列开始选取， 结果如何？

第一类：取出白色球，有 2 种方法；
第二类：取出红色球，有 1 种方法；
由分类计数原理知，符合题意的取法共有 N＝2＋1＝3(种)．
【融会贯通】 一个书架上有 3 本语文书、4 本数学书、2 本英语书， 从中任取一本，是语文书或英语书的取法共有___5___种． 【解析】 取出一本书，可能是语文、数学或英语． 第一类：取出语文书，从 3 本语文书中任意取出一本，有 k1＝3 种方法； 第二类：取出英语书，从 2 本英语书中任意取出一本，有 k2＝2 种方法． 由分类计数原理知，是语文书或英语书的取法共有 N＝3＋2＝5(种)．
【解析】 任取一本书，可能是数学书或物理书，一步到位，所以，由
分类计数原理知，不同的取法共有 N＝6＋4＝10(种)，故选 A.
2．一个班的授课教师中有 3 名男教师和 4 名女教师，若从中选出 1
人担任班主任，则不同的选法有( C )
A．3 种
B．4 种
C．7 种
D．12 种
【解析】 从 3 名男教师和 4 名女教师中选 1 人，一步到位，所以由分
知识点1 知识点2 知识点3
2．分步计数原理 完成一件事情，需要分n个步骤，做第一步共有m1种不同方法，做 第二步有m2种不同方法……，做第n步有mn种不同方法，必须经过 每一步骤才能完成这件事，那么完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种 不同方法．
知识点1 知识点2 知识点3
3．对两个计数原理的理解 (1)分类计数原理是分类计数方法，又称为加法原理，即完成这件事 的方法总数等于各类方法数之和；分步计数原理是分步计数方法， 又称为乘法原理，即完成这件事的方法总数等于各步方法数之积． (2)两个基本计数原理的区别：分类计数原理——一步完成；分步计 数原理——一步不能完成，需多个步骤才能完成．

例2 在 2 − 3
10 的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.
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解：设 2 − 3
10
= 0 10 + 1 9 + 2 8 2 + ⋯ + 10 10 ∗ .
数和等于偶数项的二项式系数和，即C0 + C2 + C4 + ⋯ = C1 + C3 + C5 + ⋯ = 2−1 .
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常用结论
杨辉三角
杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表（如下），是我国数学史上一个伟大成
就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.
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（1）最外层全是1，第二层（含1）是自然数列1,2,3,4，⋯ ,第三层（含1，3）是
2
>
+1
时，C 随
2
+1
2
的增加而减少.如果二项式的幂指数是偶数，那么其展开式中间一项，即______的
+1
+1+1
二项式系数最大；如果是奇数，那么其展开式中间两项_____与_______的二项式系
2
2
数相等且最大.
2
（3）各二项式系数的和：C0 + C1 + C2 + ⋯ + C =____，且奇数项的二项式系
( ×)
（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.
( ×)
（3） + 的展开式中某一项的二项式系数与，无关.

第九章 统计与成对数据的统计分析
第一节 随机抽样、统计图表
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』
1．统计的有关概念
名称
定义
全面调查 对每一个调查对象都进行调查的方法叫全面调查，又称 普查
总体
在一个调查中，我们把 调查对象的全体 称为总体
个体
组成总体的 每一个调查对象 称为个体
根据一定目的，从总体中抽取一部分 个体 进行调查，并以此为 抽样调查
(4)注意：利用随机数表抽样时，①选定的初始数和读数的方向是任意的；②对各个
个体编号要视总体中的个体数情况而定，且必须保证所编号码的位数一致．
3．总体平均数与样本平均数
名称
定义
一般地，总体中有 N 个个体，它们的变量值分别为
总体均值 (总体平均数)
Y1，Y2，…，YN，则称 Y ＝Y1＋Y2＋N…＋YN＝N1∑ i＝N1Yi 为 总体均值 ，又称总体平均数 如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k(k≤N)个， 不妨记为 Y1，Y2，…，Yk，其中 Yi 出现的频数 fi(i＝ 1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形 式 Y ＝N1i∑＝k1fiYi
依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查
样本
从总体中抽取的那部分 个体 称为样本
样本量
样本中包含的 个体数 称为样本量
2.简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有 N(N 为正整数) 个个体，从中 逐个 抽取
n(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到
③频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( × ) (2)抽签法中，先抽的人抽中的可能大．( × ) (3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( × ) (4) 频 率 分 布 直 方 图 中 ， 小 矩 形 的 面 积 越 大 ， 表 示 样 本 数 据 落 在 该 区 间 的 频 率 越 大．( √ ) (5)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的 数据可以只记一次．( × )

√
解：因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率,样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为 ,故A正确.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为 ,故B正确.
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为 ,故D正确.由对称性（以7.5为对称轴），并进行割补，可知平均值超过7（大致在7.5附近），故C错误（或直接计算：该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 （万元），超过了6.5万元，故C错误）.故选C.
最多
平均值
平均数
中位数
众数
（4）总体离散程度的估计. ①方差、标准差的定义：一组数据，， ，，用 表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为_____________ ____________，标准差为_ ______________. ②方差、标准差的特点：标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度______；标准差越小，数据的离散程度______.在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.
（4）一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论. ( )
×
（5）在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数. ( )
√
2.【多选题】（教材题改编）某城市收集并整理了该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位： ）的数据，绘制了如图所示的折线图.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则( )
A. B. C.估计该样本数据的平均数为74D.估计全校社会实践时间在 以上的学生约为180人
√

是看它们是否符合简单随机抽样的四个特点．
[课堂记录] (1)不是简单随机抽样，因为这不是等可能抽样．
(2)不是简单随机抽样，因为这是 “一次性”抽取，而不是“逐 个”抽取． (3)不是简单随机抽样，因为这是有放回抽样． [思维拓展] 样的定义相符． 解答本题，关键是看所给的选项是否与简单随机抽
即时训练
同． 若m＝6，则在第7组中抽的号码是________．
解析： 由题设知，若 m ＝ 6 ，则在第 7 组中抽取的号码个位数
字 与 13 的 个 位 数 字 相 同 ， 而 第 7 组 中 数 字 编 号 顺 次 为
60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.
答案：63
热点之一 简单随机抽样的特点
[例1]
下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某
项活动．
(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验．
(3)一儿童从玩具箱中的 20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后 放回再拿出一件，连续玩了5件．
[思路探究]
要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键
B．3,13,23,33,43 D．2,4,8,16,32
解析： 根据系统抽样的规则，0 到9一段，10到19一段，如此 类推，那么每一段上都应该有号码． 答案：B
4 ．一个年级 210 人，某次考试中成绩优秀的有 40 人，成绩中
等的有150人，成绩较差的有20人，为了解考试情况，从中抽取一
个容量为 21 的样本，则宜采用 ________ 抽样方法，且各类成绩中
(1)从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个
体，每个个体被抽到的概率相等，那么总体中的每个个体被抽到

层在总体中所占比例
分层抽样
[基础自测]
1．利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10
的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，
则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.13
B.154
1
10
C.4
D.27
[解析] 由题意知n－9 1＝13，∴n＝28.∴P＝1208＝154.故选 B.
共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
易错警示18 随机数表的使用方法不当致误
• [解析] 由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样， 排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大， 可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按 照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.
各层抽样时在采用下简面单随的机抽抽样样或系方统抽法样中，最合理的抽样方法是(
)
(2)最常• 用的A简．单随简机单抽样随的方机法抽：_样_____和___B__．___按___性． 别分层抽样
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
例1 •(1)下C列．说法按正确学的个段数分是(层抽) 样 D．系统抽样
(1)定义：从元素个数为N的总体中__________抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有_____的可能性被抽到，这
D．7,17,27,37,47
[解析] 抽取 5 瓶，应将 50 瓶分 5 组．抽样间隔550＝10， 故选 D.
[答案] D
2．( •·中山3模．拟()为了·检新查某课超标市货卷架上Ⅰ的)饮为料是了否解含有某塑化地剂区，要的从编中号小依次学为1生到5的0的视塑料力瓶装情饮况料中，抽取拟5瓶从进行该检地验，区用每部分 选(1)取定的义号：码从的间元隔中素一个小样数的为学系N的统生总抽中体样中方抽_法__确取__定_部_所__选_分抽取取的学容5瓶生量饮为进料n的的行样编本号调，可如查能果是，每( 一事次) 抽先取已时总了体中解的到各个该个体地有区___小__的学可能、性初被抽中到，、这 种抽样方法高叫做中简三单随个机抽学样段． 学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，

(l＋k) (l＋2k) • 判一判：①是 ②是 ③否 ④是 • 3. 互不交叉 比例 差异明显
17
想一想：提示：①共同点：抽样过程中，每个个体被抽
到的机会均等．
②联系：系统抽样中分段确定第一个个体时采用简单随
机抽样．分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽
样．
填一填：20
提示：易知抽样比为
100 2000
22
• [变式探究] 今用简单随机抽样从含有6个个 体的总体中抽取一个容量为2的样本．问：
• (1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到 的概率是多少？
• (2)个体a不是在第1次被抽到，而是在第2次被 抽到的概率是多少？
• (3)在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是 多少？
23
答案：(1)13
4
• 2点必记提醒 • 1. 系统抽样最大的特点是“等距”，利用此
特点可以很方便地判断一种抽样方法是否是 系统抽样． • 2. 分层抽样中分多少层，如何分层要视具体 情况而定，总的原则是：层内样本的差异要 小，两层之间的样本差异要大，且互不重 叠．
5
• 3个必知特点 • 1. 简单随机抽样的特点：总体中的个体性质
＝
1 20
，故抽到中
型超市400·210＝20家.
18
核心要点研究
19
例1 [2013·西安模拟]利用简单随机抽样，从n个个体中
抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个
体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到
的概率为( )
1 A. 3
5 B. 14
1
10
C. 4
D. 27
1 (2)3
1 (3)3

答案
1 (1)2
(2)C
求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简 通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求 有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．
1．(2015·高考课标卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数
为( )
A．10
B．20
法二：∵kCkn＝kk！nn！－k！＝nk－1n－！1n！ －k！ ＝nCkn－－11， ∴原式＝nC0n－1＋nC1n－1＋…＋nCnn－ －11 ＝n(C0n－1＋C1n－1＋…＋Cnn－ －11)＝n·2n－1. 即C1n＋2C2n＋…＋nCnn＝n·2n－1.
解决组合数恒等式的问题，关键在于构造不同的二项式，利 用二项式的不同展开方法，比较系数得到相应的恒等式，有时取
2．(2015·高考天津卷)在 x－41x 6的展开式中，x2的系数为 ________．
解析：设通项为Tr＋1＝C6r x6－r－41xr＝C6r －14rx6－2r. 令6－2r＝2得r＝2，∴x2的系数为C26(－14)2＝1156. 答案：1156
考点二 二项式系数和或各项的系数和 [例2] 设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4. (1)求a0； (2)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (3)求a0＋a2＋a4； (4)求a1＋a3； (5)求a1＋a2＋a3＋a4； (6)求各项二项式系数的和．
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形 如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系 数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈ R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

第九篇 统计、统计案例(必修 3、选修 1-2)
第1节 随机抽样基础梳理考点突破基础梳理
知识整合
1.简单随机抽样
抓主干
固双基
(1)定义:设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽 取 n 个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各 个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单 随机抽样. (2)方法:抽签法和随机数法.
3.分层抽样
在抽样时,当总体由有明显差别的几部分组成时,将总 体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独 立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一 起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.
4.三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 简单 随机 从总体中逐个抽取 抽样 均为不放 回抽样,且 将总体均分成几部 系统 抽样过程 分,按事先确定的规 抽样 中每个个 则在各部分抽取 体被抽取 的机会 分层 相等 将总体分成几层,分 抽样 层进行抽取
思维导引:根据总体个数有限,逐个不放回抽取,每个个 体被抽到的机会均等几个方面进行考察. 解析:①不是简单随机抽样. ②不是简单随机抽样.由于它是放回抽样. ③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是 “逐个”抽取. ④不是简单随机抽样.因为指定个子最高的 5 名同学是 56 名中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样. 答案:①②③④
∴N=14,
故选 B.
4.某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1～50 号,并分组,第一组 1～5 号,第二组 6～10 号,…,第十组 46～50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第 八组中抽得号码为 的学生. 解析:易知组距为 5,因为在第三组中抽得号码为 12,所 以在第八组中抽得号码为 12+(8-3)×5=37. 答案:37

等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3
B．4
C．6
D．8
(2)(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数
字是偶数的四位数，这样的四位数一共有
个．(用数字作答)
(3)(2018·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使
种选法；再从余下的5本中选2本，有C
2 5
种选法；最后余下3本全
选，有C33种选法．
故共有C16C25C33＝60(种)．
②有序不均匀分组问题．
由于甲、乙、丙是不同的三人，在①的基础上，还应考虑再分配，共有C
2．分步乘法计数原理的用法及要求 (1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行“分步” 计算． (2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事，只有当各 个步骤都完成，才算完成这件事． 3．使用这两个原理时，分清是应用“加法”原理，还是“乘法”原理或是两者同时都 用．
答案：B
(3)在奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须 在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有
种．
答案：2 880
考点二|排列问题 (方法突破)
【例2】 (1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他
法三
(等机会法)：9个人全排列有A
9 9
种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，
依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241 920(种)．
法四 (间接法)：A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08
B.07
C.02
D.01
解析：从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左
到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为 65，不符合条
件，第二个数为 72，不符合条件，第三个数为 08，符合条件，
以下符合条件的依次为：02,14,07,01，故第 5 个数为 01.
2.系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. (1)编号：先将总体的 N 个个体编号；
(2)分段：确定分段间隔 k，对编号进行分段，当Nn(n 是样本 容量)是整数时，取 k＝Nn；
(3)确定首个个体：在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个 体编号 l(l≤k)；
(4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上 间隔 k 得到第 2 个个体编号 l＋k，再加 k 得到第 3 个个体编号 __l_＋__2_k__，依次进行下去，直到获取整个样本.
异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合
理的抽样方法是( C )
A.简单随机抽样
B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样
D.系统抽样
解析：由差异明显的几部分构成时，一般采用分层抽样，
显然根据学段分层抽样比较科学.
考点 1 简单随机抽样
例 1：(1)(2014 年四川，由人教版必修3 P100-1改编)在“世 界读书日”前夕，为了解某地 5000 名居民某天的阅读时间，从
3.分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照 一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出 的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样. (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽 样.