三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.8 圆锥曲线的综合问题知能训练

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8.6 双曲线1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】 巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1 (mn <0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a＝5，∴e ＝ 5.2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1 答案 A解析 由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.3．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋－k ＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2－k ＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为________． 答案3解析 双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±mmx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋3m ＋1＝3.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是__________．答案 (1,3]解析 ∵P 为双曲线右支上的任意一点，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，∴|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又双曲线的离心率大于1，∴答案为(1,3]．题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 双曲线定义的应用例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |， 所以|MC 1|－|AC 1|＝ |MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________________．(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________． 答案 (1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1解析 (1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 题型二 双曲线的几何性质例3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5(2)(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 答案 (1)C (2)2＋ 3 解析 (1)如图，∵FB →＝2FA →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴b a＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(b a)2＝4，∴e ＝2.(2)把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b2 ＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝b a. ∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca＝2＋ 3.思维升华 (1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2(2)(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 答案 (1)C (2)B解析 (1)如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a,0)，A 2(a,0)， 易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， 则2A C k ＝b 2aa －c，1A B k ＝b 2aa ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有1A B k ·2A C k ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1. (2)e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝ 1＋b ＋m 2a ＋m2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋ma ＋m(m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选B.题型三 直线与双曲线的综合问题例4 (1)(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3答案 D解析 右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23， ∴A (2,23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3.(2)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．①求k 的取值范围；②若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*) ∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝k 2－－k2－，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2.故k 的取值范围是{k |1<k <2}． ②由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2＋k2－k2k 2－2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， 所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点． ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－k 2，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. ∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2.∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k ，21－3k )．设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－22.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．12．忽视“判别式”致误典例 (14分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误． 规范解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [7分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k－k2－k2. 由题意，得k－k2－k＝1，解得k ＝2.[10分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[13分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[14分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[方法与技巧]双曲线标准方程的求法：(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1 (mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值． [失误与防范]1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.2．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴a －2＋－b 2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.4．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案 A解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(3，＋∞) B．(1，3) C ．(2，＋∞) D．(1,2) 答案 C解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，由圆心(0,2)到直线bx －ay＝0的距离d ＝2aa 2＋b2<1⇒2a <c ⇒ca>2，故选C. 6．(2015·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析 双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝________.答案 5解析 因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．8．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为______________． 答案 (3＋23，＋∞)解析 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)，∴OP →·FP →≥3＋2 3.9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b)， 所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|PA |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2)答案 B解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a)·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)，故选B.12.设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为( )A.213 B.193 C.53D. 3 答案 A解析 以F 1F 2为直径的圆的方程x 2＋y 2＝c 2，与双曲线的渐近线y ＝bax 交于点N (x 0，y 0)．根据对称性得M (－x 0，－y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝b a x 0，x 20＋y 20＝c 2，解得N (a ，b )，M (－a ，－b )．∵A (－a,0)，∠MAN ＝120°，|AN |＝4a 2＋b 2，|AM |＝b ，|MN |＝4a 2＋4b 2＝2c .由余弦定理，得4c 2＝(4a 2＋b 2)＋b 2－24a 2＋b 2·b ·cos 120°，整理得3c 2＝7a 2，因此离心率e ＝ca ＝213，故选A.13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|PA |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|PA |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)右支上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线离心率e 的取值范围为__________． 答案 [2，3＋1]解析 设双曲线左焦点为Q ，则由双曲线的对称性可知△AQF ≌△FBA ，AF ＝2c sin α，AQ ＝2c cos α，AF －AQ ＝2c sin α－2c cos α＝－2a .故e ＝1cos α－sin α＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－24，12， ∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，22，∴e ∈[2，3＋1]．。

§8.3直线与圆、圆与圆的位置关系Ａ组基础题组1.(2015浙江丽水中学期中)若过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-3)B.C.(-∞,-3)∪D.(-3,+∞)2.(2015安徽,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或123.(2013陕西,8,5分)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定4.(2013山东,9,5分)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=05.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2B.4C.6D.26.(2015浙江嘉兴一中一模,6)已知直线Ax+By+C=0(A2+B2=C2≠0)与圆x2+y2=4交于M,N两点,O为坐标原点,则·等于( )A.-2B.-1C.0D.17.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.8.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= .9.(2015山东,13,5分)过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·= .10.(2015浙江新高考研究卷五(杭州学军中学),12)已知圆C:(x-a)2+(y-2a)2=4(a>0)与直线y=x+2相交于P、Q两点,则当△CPQ的面积最大时,实数a的值为,当a变化时,圆系C的公切线方程为.11.(2015浙江名校(诸暨中学)交流卷四,13)圆心在抛物线y2=2x(y≥0)上,经过点(2,0)且面积最小的圆为☉C,直线y=kx+2与☉C相交于A,B两点,当|AB|取得最小值时,k= .12.(2015辽宁师大附中期中,14)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上恰有三个不同的点到直线l:y=kx 的距离为2,则k= .13.(2015课标Ⅰ,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.14.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.B组提升题组1.(2014浙江,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( )A.-2B.-4C.-6D.-82.(2016超级中学原创预测卷四,4,5分)已知直线x+y-a=0与圆C:(x-2)2+(y+2)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a=( )A.±B.C.±2D.23.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,2)直线(c-d)(x-a)=(a-b)(y-c)与曲线(x-a)(x-b)+(y-c)(y-d)=0的交点个数为( )A.0B.1C.2D.不确定4.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( )A.7B.6C.5D.45.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-6.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为( )A.πB.πC.(6-2)πD.π7.(2015浙江丽水一模,6)已知圆x2+y2=4,过点P(0,)的直线l交该圆于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB面积的最大值是( )A. B.2 C.2 D.48.(2016领航高考冲刺卷三,12,4分)已知两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,则两圆圆心的最短距离为,此时两圆的位置关系是.(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)9.(2016领航高考冲刺卷六,14,4分)已知圆M:x2+(y+1)2=4,圆N:(x-4cosθ)2+(y+1-4sinθ)2=1,其中θ∈R,过圆N上任意一点P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则与夹角的余弦值的取值范围为.10.(2015浙江测试卷,12,6分)已知过点(1,1)的直线l与圆C:x2+y2-4y+2=0相切,则圆C的半径为,直线l的方程为.11.(2015镇海中学仿真考,10,6分)已知点P(a,b)关于直线l的对称点为P'(b+1,a-1),则圆C:x2+y2-6x-2y=0关于直线l对称的圆C'的方程为;圆C与圆C'的公共弦的长度为.12.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②-=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)13.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.14.(2015浙江镇海中学测试卷三,22)已知圆C:(x-1)2+y2=5.(1)求直线l:4x-3y+1=0被圆C所截得的弦长;(2)过点P(0,3)且斜率为k的直线与圆C相交于A,B两点,若-<k<-,求的取值范围.Ａ组基础题组1.C 圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,则3-2a>0①,过点A(a,a)可作圆的两条切线,所以(a-a)2+a2>3-2a②,由①②解得a<-3或1<a<,即a的取值范围为(-∞,-3)∪.故选C.2.D 易知圆心坐标为(1,1),半径r=1,∵直线与圆相切,∴=1,解得b=2或b=12.故选D.3.B 因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1.故选B.4.A 如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又k AB·k PC=-1,且k PC==,∴k AB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.5.C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|===6.故选C.6.A 设M(x1,y1),N(x2,y2),则·=x1x2+y1y2.由消去y得(A2+B2)x2+2ACx+C2-4B2=0.所以x1x2=.同理,消去x可得y1y2=.所以·=x1x2+y1y2=.又C2=A2+B2,所以x1x2+y1y2=-2,即·=-2.故选A.7.答案x+2y-5=0解析设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方程为x2+y2=5.设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则=(x-1,y-2).由⊥(O为坐标原点),得·=0,即1×(x-1)+2×(y-2)=0,即x+2y-5=0.8.答案 22+b2=1+1=2.解析由题意知直线l9.答案解析如图,易得||=||=,又||=1,||=2,所以∠APO=30°,故∠APB=60°.所以·=||·||cos60°=××=.10.答案4;y=2x±2解析设圆心C到直线y=x+2的距离为d,则|PQ|=2,S△CPQ=d|PQ|=d≤=2(当且仅当d2=2时,取等号),由=2⇒a=4(a=0舍去).因为圆心在直线y=2x上,所以公切线方程可设为y=2x+b.由于圆心到直线y=2x+b的距离为2,所以=2,解得b=±2,故公切线方程为y=2x±2.11.答案解析设C(y≥0),则r==.要使圆面积最小,则圆半径最小,则y2=2,又y≥0,得y=,所以圆心C的坐标为(1,),半径r=.直线y=kx+2恒经过点D(0,2),当直线AB垂直于CD时,|AB|最小,而k CD=-2,故k=-=.12.答案2+或2-解析把圆的方程化为标准方程得(x-2)2+(y-2)2=18,圆心坐标为(2,2),半径r=3,根据题意画出图形,如图所示.根据题意和图形可知:圆心到直线l的距离为d==3-2=,化简得k2-4k+1=0,解得k=2±.13.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(5分)(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.(7分)·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.(12分)14.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.B组提升题组1.B 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.2.C 由题意得圆的圆心为C(2,-2),半径为2,由△ABC为等腰直角三角形可知圆心C(2,-2)到直线x+y-a=0的距离为,所以=,解得a=±2.3.C(c-d)(x-a)=(a-b) (y-c)表示经过(a,c)、(b,d)两点的直线,(x-a)(x-b)+(y-c)(y-d)=0表示以(a,c)、(b,d)两点为直径两端点的圆,则交点个数为2,故选C.4.B 若∠APB=90°,则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆,其方程为x 2+y 2=m 2.由题意知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆O:x 2+y 2=m 2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m ≤6,故m 的最大值为6.选B.5.D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.∵反射光线所在直线与圆相切,∴=1,解得k=-或k=-.故选D.6.A 由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O,圆心C 为AB 的中点,设D 为切点,要使圆C 的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD 最小,其最小值为OE(如图,过原点O 作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=.∴圆C 面积的最小值为π=π.故选A.7.B 易知直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为y=kx+,则圆心到直线l 的距离d=. 又|AB|=2=2=2, ∴S △OAB =×2×=×=×.∵k 2≥0,∴k 2+1≥1,故0<≤1,故当=时,S △OAB 取到最大值2.故选B. 8.答案 ;内含解析 将圆C1:x 2+y 2-2ax+4y+a 2-5=0化为标准方程得(x-a)2+(y+2)2=9,圆心为C 1(a,-2),半径为r 1=3,将圆C 2:x 2+y 2+2x-2ay+a 2-3=0化为标准方程得(x+1)2+(y-a)2=4,圆心为C 2(-1,a),半径为r 2=2.两圆的圆心距d===,所以当a=-时,d min =,此时<|3-2|,所以两圆内含. 9.答案解析 因为圆心N 的坐标为(4cos θ,4sin θ-1),所以圆心在定圆x 2+(y+1)2=16上.连结MA,MB,MP,设∠MPA=α,则与的夹角为2α,cos2α=1-2sin 2α,因为sin α==,又|MP|∈[3,5],所以sin 2α∈,所以cos2α∈,即与夹角的余弦值的取值范围为.10.答案 ;x-y=0解析 圆C 的标准方程为x 2+(y-2)2=2,则圆C 的半径为,圆心坐标为(0,2).点(1,1)在圆C上,则直线l 的斜率k=-=1,则直线l 的方程为y=x,即x-y=0. 11.答案 (x-2)2+(y-2)2=10;解析将圆C的方程化为标准形式为(x-3)2+(y-1)2=10,由已知结论可得圆心C(3,1)关于直线l的对称点C'为(2,2),故所求圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=10.将两圆方程相减消去平方项可得公共弦所在直线的方程为x-y-1=0,故弦长为2=.12.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2(2)①②③解析(1)设圆心C(a,b),半径为r,∵圆C与x轴相切于点T(1,0),∴a=1,r=|b|,又圆C与y轴正半轴交于两点,∴b>0,则b=r.∵|AB|=2,∴2=2,∴r=,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)设N(x,y),而A(0,-1),B(0,+1),则==,又x2+y2=1,∴==·=(+1)2,∴=+1,同理,=+1.∴=,且-=+1-=2,+=+1+=+1+-1=2,故正确结论的序号是①②③.13.答案[-1,1]解析解法一:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0<x0≤1.综上,x0的取值范围是-1≤x0≤1.解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM·sin45°≤1,∴OM≤,∴OM2≤2,∴+1≤2,∴≤1,∴-1≤x0≤1.14.解析(1)圆心C到直线l的距离d==1,所以弦长=2=4.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,AB:y=kx+3, 联立得消去y,得(k2+1)x2+(6k-2)x+5=0,由根与系数的关系知而|PA|==|x1|,同理,|PB|=|x2|,所以==.由得++2==-·.设t=3k+4,则t∈,==.因为y=t+-8在区间上单调递减,所以y∈.故∈(0,2),所以++2∈.设u=,则即解得<u<1或1<u<5.所以的取值范围是∪(1,5).。

浙江专用高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节抛物线教案含解析第八节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2 1．(2018·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－14，则其焦点坐标为________，实数a的值为________．解析：由题意得焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，抛物线C 的方程可化为x 2＝1a y ，由题意得－14a ＝－14，解得a ＝1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 1 2．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________． 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y3．(教材习题改编)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为__________；准线方程为____________． 解析：抛物线的标准方程为x 2＝14y ，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线方程为y ＝－116.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 y ＝－1161．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．一条直线答案：D2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·温州十校联考)设抛物线C ：y ＝14x 2的焦点为F ，直线l 交抛物线C 于A ，B两点，|AF |＝3，线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，则|BF |＝( )A.72 B ．5 C ．4D ．3解析：选B 抛物线C 的方程可化为x 2＝4y ，由线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，可得|AF |＋|BF |＝8，又|AF |＝3，所以|BF |＝5.2．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5，故选B.[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.[即时应用]1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知其焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3解析：选B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2. 考点二 抛物线的标准方程与几何性质题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现． 常见的命题角度有： (1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性．[题点全练]角度一：求抛物线方程1．(2019·台州重点校联考)已知直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：选B 过A ，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，则|AA 1|＋|BB 1|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 2＝8，解得p ＝4，所以此抛物线的方程是y 2＝－8x .角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选B 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 因为双曲线的离心率为2， 所以1＋b 2a 2＝2，ba ＝ 3.由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得， 2×12×23p 3×2p3＝3， 解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.[通法在握]求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．[演练冲关]1．(2019·宁波质检)已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，由中点坐标公式可知p2＋y 212p＝2×2，y 1＋0＝2×2，解得p ＝4.2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且FM ＝3FP ，则|FP |＝( )A.32B.23C.43D.34解析：选C 设直线l 的倾斜角为θ，如图所示，过点P 作PN 垂直准线于点N ，由抛物线定义知|PN |＝|PF |.∵FM ＝3FP ，∴|FM |＝3|FP |，即|PM |＝2|PN |.在Rt △MNP 中，cos ∠MPN ＝12，∵PN ∥x 轴，∴cos θ＝12，由抛物线焦半径的性质可得|PF |＝p 1＋cos θ＝21＋12＝43，即|FP |＝43. 考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·长兴中学模拟)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 1上一点，|PF |＝4，点P 到y 轴的距离等于3.(1)求抛物线C 1的标准方程；(2)设A ，B 为抛物线C 1上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y ＝x 上，P (0,2)为定点，求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意，p2＋3＝4，∴p ＝2，所以抛物线C 1的标准方程为y 2＝4x .(2)设直线AB ：x ＝ty ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋b ，y 2＝4x消元化简得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b ＞0.且y 1＋y 2＝4t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2b ＝4t 2＋2b ， 所以D (2t 2＋b,2t )，2t 2＋b ＝2t . 由Δ＞0得0＜t ＜2.所以点P 到直线AB 的距离d ＝|－2t －b |1＋t 2＝|2t 2－4t |1＋t 2， 所以|AB |＝1＋t216t 2＋16b ＝41＋t22t －t 2，所以S △ABP ＝12|AB |d ＝12×41＋t 22t －t 2|2t 2－4t |1＋t 2＝22t －t 2·|2t 2－4t |. 令m ＝2t －t 2，则m ∈(0,1]，且S △ABP ＝4m 3. 由函数单调性可知，(S △ABP )max ＝4.[由题悟法]解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时应用]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程． 解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F (1,0)． 因为线段AB 的中点在直线y ＝2上， 所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4.又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)＞0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·4m2－4×－4＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·湖州质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：选 D ∵AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，∴AB 是焦点弦，∴|AB |＝2p ，∴S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍去)，∴直线AB 的方程为x ＝2，∴以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是y 2＝－8x ，故选D.2．(2018·江山质检)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由抛物线的定义可知，4＋p2＝5，解得p ＝2.3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角为2π3.4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A ．8B ．2 3C ．4 3D ．8 3解析：选B 法一：由题意可得p ＝3，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0.不妨设点P 在x 轴上方，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|Q F |＝|Q N |，设直线P Q 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，∴θ＝π3，由抛物线焦半径的性质可知，|PF |＝p1－cos θ＝31－cosπ3＝23，|Q F |＝p1＋cos θ＝31＋cosπ3＝233，∴|MN |＝|P Q|sin θ＝(|PF |＋|Q F |)·sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12|MN |·p ＝12×4×3＝2 3.法二：由题意可得F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，直线P Q 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533，∴|P Q|＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833，∵直线P Q 的斜率为3，∴直线P Q 的倾斜角为π3.∴|MN |＝|P Q|sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12×4×3＝2 3.5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＝4yD ．y 2＝4x解析：选C 设动圆圆心M (x ，y )，则x 2＋y －12＝|y ＋1|，解得x 2＝4y .2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与抛物线C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)．若AF ＝mFB ，则m 的值为( )A. 3B.32C ．2D ．3解析：选D 直线方程为x ＝33y ＋1，代入y 2＝4x 可得y 2－433y －4＝0，则y A ＝23，y B ＝－233，所以|y A |＝3|y B |，因为AF ＝mFB ，所以m ＝3. 3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x 2＝4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为30°，则|AF ||BF |的值等于( )A ．3 B.52C ．2D.32解析：选A 由题可得，F (0,1)，设l ：y ＝33x ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x ，化简得3y 2－10y ＋3＝0，解得y 1＝3，y 2＝13.由抛物线的定义可知|AF ||BF |＝y 1＋1y 2＋1＝3＋113＋1＝3.4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8 B.192C ．10D.212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10.所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B.5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ·MF ＝( )A ．－74B.74C.94D ．－94解析：选A 设M (m ，2pm )，抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以m 2＋2pm ＝94 ①，m ＋p 2＝32 ②，由①②解得m ＝12，p ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，F (1,0)，所以OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，故OM ·MF ＝14－2＝－74.6．(2018·宁波期初)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，若点M 在抛物线上，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.解析：由题可得，p ＝2，焦点在y 轴正半轴，所以F (0,1)． 因为|MF |＝4，所以M (±23，3)．所以tan ∠MFO ＝－tan(π－∠MFO )＝－233－1＝－3，所以∠MFO ＝2π3.答案：2π37．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为________．解析：如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM ―→＝OF ―→＋FM ―→＝OF ―→＋13FP ―→＝OF ―→＋13(OP ―→－OF ―→)＝13OP ―→＋23OF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立，所以直线OM 的斜率的最大值为22. 答案：228．(2018·嵊州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.解析：设点A 在第一象限，B 在第四象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x ，得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，则y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372＝67.答案：679．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20.(2)由(1)得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0. 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 02.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋x 02，y ＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋x 204＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2.所以y 22＝1－mx 0216m4＝x 2012m2，解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 10．(2018·台州模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解：(1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则F 1F 2―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2―→·OP ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y 得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎪⎫4k2－4k ，又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，故S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝21－k1－k3k 2＝21－k21＋k ＋k2k 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k－2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k＋1， 令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)≥8，当t ＝－2，即k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，点M 是抛物线的准线与y 轴的交点，过点A (0，λp )(λ∈R)的动直线l 交抛物线于B ，C 两点．(1)求证：MB ·MC ≥0，并求等号成立时实数λ的值；(2)当λ＝2时，设分别以OB ，OC (O 为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D ，求|DO |＋|DA |的最大值．解：(1)由题意知动直线l 的斜率存在，且过点A (0，λp )， 则可设动直线l 的方程为y ＝kx ＋λp ，代入x 2＝2py (p ＞0)，消去y 并整理得x 2－2pkx －2λp 2＝0，Δ＝4p 2(k 2＋2λ)＞0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2λp 2，y 1y 2＝(kx 1＋λp )(kx 2＋λp )＝k 2x 1x 2＋λpk (x 1＋x 2)＋λ2p 2＝λ2p 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2λp ＝2pk 2＋2λp ＝2p (k 2＋λ)．因为抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p2，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，所以MB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋p 2，MC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋p 2， 所以MB ·MC ＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋p 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋p2(y 1＋y 2)＋p 24＝－2λp 2＋λ2p 2＋p2[2p (k 2＋λ)]＋p 24＝p 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ－122≥0，当且仅当k ＝0，λ＝12时等号成立．(2)由(1)知，当λ＝2时，x 1x 2＝－4p 2，y 1y 2＝4p 2， 所以OB ·OC ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以OB ⊥OC .设直线OB 的方程为y ＝mx (m ≠0)，与抛物线的方程x 2＝2py 联立可得B (2pm,2pm 2)， 所以以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pmx －2pm 2y ＝0.因为OB ⊥OC ，所以直线OC 的方程为y ＝－1mx .同理可得以OC 为直径的圆的方程为 x 2＋y 2＋2p m x －2pm 2y ＝0，即m 2x 2＋m 2y 2＋2pmx －2py ＝0，将两圆的方程相加消去m ，得x 2＋y 2－2py ＝0， 即x 2＋(y －p )2＝p 2，所以点D 的轨迹是以OA 为直径的圆， 所以|DA |2＋|DO |2＝4p 2， 由|DA |2＋|DO |22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫|DA |＋|DO |22，得|DA |＋|DO |≤22p ，当且仅当|DA |＝|DO |＝2p 时，等号成立． 故(|DA |＋|DO |)max ＝22p .2.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8.8 曲线与方程1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( ×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( ×)(5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )1．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )答案 C解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0答案 D解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是____________． 答案 椭圆或线段 解析 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6.当a ＝3时，a ＋9a＝6，此时|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，P 点的轨迹为线段F 1F 2，当a ≠3，a >0时，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|. 由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆．4．(教材改编)和点O (0,0)，A (c,0)距离的平方和为常数c 的点的轨迹方程为__________________． 答案 2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0解析 设P (x ，y )为轨迹上一点，则x 2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝c ，∴2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0. 5．(教材改编)已知⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，过M (4,0)的直线与⊙O 交于A ，B 两点，则弦AB 中点P 的轨迹方程为____________________． 答案 (x －2)2＋y 2＝4(0≤x <1) 解析根据垂径定理知：OP ⊥PM ，所以P 点轨迹是以OM 为直径的圆且在⊙O 内的部分， 以OM 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，它与⊙O 的交点为(1，±3)，结合图形可知所求轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤x <1)．题型一 定义法求轨迹方程例1 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝|MN |.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支． ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．题型二 直接法求轨迹方程命题点1 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)例2 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即a －c2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 命题点2 无明确等量关系求轨迹方程例3 (2014·广东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)由题意知c ＝5，c a ＝53， 所以a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴，可知P (±3，±2)． ②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3. 设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为－1k，故l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0. 因为直线l 1与椭圆C 相切，所以Δ＝0， 得9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 所以－36k 2＋4[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 所以(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0，所以k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的一个根，同理－1k是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的另一个根，所以k ·(－1k )＝y 20－4x 20－9，得x 20＋y 20＝13，其中x 0≠±3，所以此时点P 的轨迹方程为x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 因为P (±3，±2)满足x 20＋y 20＝13， 综上可知，点P 的轨迹方程为x 20＋y 20＝13.思维升华 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略： (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．(1)已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2， 当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆； 当λ<0时，轨迹是双曲线； 当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．(2)如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S 、T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →.①求mn 的值；②求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 解 ①∵OA →·OB →＝(m ，3m )·(n ，－3n ) ＝－2mn ＝－12，∴mn ＝14.②设P (x ，y ) (x >0)，由OP →＝OA →＋OB →，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )．∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ，又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1 (x >0)．它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．题型三 相关点法求轨迹方程例4 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )．思维升华 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程． 解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y .∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .20．利用参数法求轨迹方程典例 (15分)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程． 规范解答方法一 解 (1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .[2分]设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .[5分] (2)依题意知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .[8分] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ， ①x 1·x 2＝－100， ②因为S △OCM ∶S △OCN ＝4∶1，所以S △OCM ＝4S △OCN ， 所以|x 1|＝4|x 2|.又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，③把③代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.[14分]所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.[15分]方法二 解 (1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )， 所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .[2分]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为(i ，i 210)，因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .[5分] (2)同方法一．温馨提醒 参数法求轨迹方程的步骤：(1)选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标． (2)得出动点M 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f k ，y ＝gk(3)消去参数k ，得M 的轨迹方程． (4)由k 的范围确定x ，y 的范围.[方法与技巧] 求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程—先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数． (3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程． (4)代入法(相关点法)：当所求动点M 是随着另一动点P (称之为相关点)而运动时．如果相关点P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就是把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法． [失误与防范]1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．平面上动点P 到定点F 与定直线l 的距离相等，且点F 与直线l 的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P 的轨迹方程为x 2＝2y －1，则他的建系方式是( )答案 C解析 因为点P 的轨迹方程为x 2＝2y －1， 即所求的抛物线方程为y ＝12x 2＋12，抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.所以该同学的建系方式是C.2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．3．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝2x C ．y ＝2x －8 D ．y ＝2x ＋4答案 B解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .4．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1 (x >3) D.x 216－y 29＝1 (x >4) 答案 C解析 如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6<10＝|AB |.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0)，方程为x 29－y 216＝1 (x >3)． 5．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________． 答案 4π解析 设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |， 得x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆． 即轨迹所包围的图形的面积等于4π.7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △12F PF ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．8.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上， 则有－x22a 2＋－y22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.9．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．解 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点． 则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |， |AE |＝|AF |，∴|AB |－|AC |＝22<4＝|BC |，∴点A 的轨迹为以B ，C 的焦点的双曲线的右支(y ≠0)且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2， ∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．10.如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为(－1，14)， 故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－－222p＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2. 由N 为线段AB 的中点知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程分别为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0， 所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．动点P 在直线x ＝1上运动，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( ) A ．圆 B ．两条平行直线 C ．抛物线 D ．双曲线答案 B 解析设Q (x ，y )，P (1，y 0)， 由题意知|OP |＝|OQ |，且OP →·OQ →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1＋y 20， ①x ＋y 0y ＝0， ②将y 0＝－xy代入①得x 2＋y 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 2， 化简即y 2＝1，∴y ＝±1，表示两条平行直线，故选B.12．在平面直角坐标系中，方程|x ＋y |2a ＋|x －y |2b ＝1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是( )A ．三角形B ．正方形C ．非正方形的长方形D ．非正方形的菱形 答案 D解析 x ＋y ≥0，x －y ≥0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b y ＝1； x ＋y ≤0，x －y ≤0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b y ＝－1； x ＋y ≥0，x －y ≤0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b x ＝1； x ＋y ≤0，x －y ≥0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b x ＝－1. ∵a ，b 是不相等的两个正数．∴方程|x ＋y |2a ＋|x －y |2b＝1所代表的曲线是非正方形的菱形．13．(2015·浙江)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支答案 C解析 本题可构造如图圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选C.14．如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 2＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．15.如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2，①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.②将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1， 点A ，B 的坐标分别为(－32，1)，(32，1)， 此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3； 当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1， 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k24k 2t2＋k22－t 2－4＋k2]＝43|t |t 2＋3. 因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |，且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S 的最大值为12×2×1＝1，此时t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3)．。