a⊥b 的情况;
d.由 a·b=k,不能得到 a= k 或 b= k ,即向性质与实数运算是不一样的)
二、共线向量定理
2:在平面向量中,什么是共线向量?
若向量 a、b 是共线向量(b≠0),则 a、b 应满 足怎样的关系? (表示向量的两有向线段互相平行或重合,则 两向量互为共线向量,若 a、b(b≠0)互为共 线向量,则存在实数λ,使得 a=λb)
2:空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的 充分必要条件是存在实数λ,使得 a=λb.
2:在共线向量定理中,为什么一定 要加上“b≠0”这一条件? (若不加 b≠0,则充要性就不一定成立,例如, 如果 a≠b,b=0,则 a∥b,但λ不存在,该充要性 也就不成立了)
三、单位向量
3:在平面向量中,与 a 共线的单 位向量有几个?分别是什么? (有两个, a 和- a )
见附表
1:(1)向量的数量积是向量还是数量?
(向量的数量积是数量(数值),可以为正,可以为负,也可 以为零) (2)类比平面向量数量积的几何意义,你知道空间向量的 数量积 a·b 的几何意义吗? (a·b 的几何意义:a 与 b 的数量积,等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积,或 b 的长度|b| 与 a 在 b 方向上的投影|a|cos θ的乘积)
(3)向量的数量积满足结合律吗?为什么? (不满足结合律,任意取三个不共面的向量 a,b,c,(a·b)·c 是一个数与向量 c 做数乘,而 a·(b·c)是一个数与向量 a 做数乘,而 a,c 不在同一 个方向上,所以(a·b)·c 与 a·(b·c)不相等,即 (a·b)·c≠a·(b·c)) (4)向量的运算与实数的运算有哪些异同? (①在空间向量的数量积 中:a.a·b=b·a;b.a·(b+c)=a·b+a·c; c.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λ b);d.a2-b2=(a+b)·(a-b); e.(a+b)2=a2+2a·b+b2;
2
= 1 a+ 1 b-c. 22
(2)∵G 为△BCD 的重心,
∴ DG = 2 DM , 3
AG = AD + DG = AD + 2 DM 3
=c+ 2 ( 1 a+ 1 b-c)= 1 (a+b+c).
32 2
3
空间共线向量定理的应用
【例 2】 射线 AB、AC、AD 不共面,连接 BC、CD、 DB,分别取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、F、G、H, 试判断四边形 EFGH 的图形形状,并用向量的方 法证明. 名师导引:判断四边形 EFGH 的形状可用共线向 量定理说明 EH 与 FG 的关系,也可说明 HG 与 EF 的关系,均可作出四边形 EFGH 的形状的判断.
变式训练 1 1:如图所示,已知空间四边形 ABCD 中, 向量 AB =a, AC =b, AD =c,若 M 为 BC 中点,G 为 △BCD 的重心,试用 a、b、c 表示下列向量: (1) DM ; (2) AG . 解:(1)连接 AM. DM = AM - AD = 1 ( AB + AC )- AD
f.(a-b)2=a2-2a·b+b2 等等这些性质与实数运算是类似地. ②在空间向量数量积的运算中: a.若 a·b=a·c 且 a≠0,不能得到 b=c,即数量积等式不能 两边同除以一个向量; b.(a·b)·c≠a·(b·c),即向量的数量积不满足结合律;
c.由 a·b=0 不能得到 a=0 或 b=0,还包括 a≠0,b≠0,但
§2 空间向量的运算
栏
学习目标要求
目
导
问题情境导学 航
课堂互动探究 课堂归纳总结
1.理解共线向量定理及其意义. 2.掌握空间向量的线性运算. 3.掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法及 运算律,会用它解决立体几何中一些简单问题.
【实例】 ①如图所示,已知平面向量 a、b、c.
②如图所示,四边形 ABCD 为平行四边形. ③如图所示,已知平面向量 a 与向量 AB .
aa
3:对于任意一个非零向量 a, 把 a 叫作向量 a 的单位向量,记作 a0.a0
a 与 a 同方向.
空间向量的线性运算
【例 1】 已知空间四边形 OABC,M,N 分别是对边 OA、BC 的 中点,点 G 在 MN 上,且 MG=2GN,如图所示,设 OA =a, OB =b, OC =c,试用 a,b,c 表示向量 OG .
2
32
2
2
= 1 OA + 1 ( OC + OB - OA ) 23
= 1 OA + 1 OB + 1 OC 633
= 1 a+ 1 b+ 1 c. 6 33
用已知向量表示指定向量以及进行向
量表达式的化简时,一定要注意结合实际图形,将指定 向量放在与已知向量有关的三角形内,再根据向量的 加减法则及数乘运算将指定向量先表示出来,最终再 将各向量用已知向量表示.
④如图所示,已知平面向量 a,b,它们的夹角为∠AOB
一、空间向量的运算
1:(1)在实例①中,平面向量 a、b、c 满足怎样
的关系?它们之间遵循怎样的加法法则? (c=a+b,加法遵循三角形法则) (2)在实例②中,向量 AC 、 AB 、 AD 满足怎样的关系? ( AC = AB + AD ) (3)在上述实例③中,向量 AB 与向量 a 满足怎样的关系? ( AB =3a)
(4)平面向量的数量积 a·b 是怎样定义的? (a·b=|a||b|cos<a,b>) (5)在上述实例④中,如何求向量 a 与向量 b 的夹角∠AOB? (由 a·b=|a||b|cos<a,b>可得 cos<a,b>= a b ,然后求得
ab
夹角∠AOB) (6)平面向量的数量积满足怎样的运算律? (交换律与分配律)
名师导引:寻找 OG 所在的封闭图形⇒ 把 OG 利用加法法则分解⇒ 用 a,b,c 把各向量表示出来
⇒ 运算化简⇒ 结果
解:连接 ON. OG = OM + MG = 1 OA + 2 MN
23
= 1 OA + 2 ( ON - OM ) 23
= 1 OA + 2 ( 1 OC + 1 OB - 1 OA )
