空间向量立体几何(绝对经典)PPT课件

2．特殊情况：点 P(x，y，z)到原点的距离公式是：OP＝|O→P|＝ ____x_2_＋__y_2＋__z_2____．
【预习自测】
1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广．
() (2)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例. ( ) 【答案】(1)√ (2)√ 【解析】(1)空间中点的坐标比平面内点的坐标，多了竖坐标，此说 法正确． (2)平面中点的坐标比空间内点的坐标，少了竖坐标，此说法正确．
2．在空间直角坐标系中，已知点 A(2，3，5)，B(3，1，4)，则 A，B
两点间的距离为
()
A．6
B． 6
C． 30
D． 42
【答案】B 【解析】|AB|＝ (3－2)2＋(1－3)2＋(4－5)2＝ 6．
3．若点 A(1，2，a)到原点的距离为 11，则 a 的值为________． 【答案】± 6 【解析】由已知得 12＋22＋a2＝ 11，所以 a2＝6，解得 a＝± 6．
|课堂互动|
题型1 空间向量的坐标运算 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，2a·(－
b)，(a＋b)·(a－b)． 解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)，2a·(－b)＝
2(2，－1，－2)·(0，1，－4)＝14，又∵a－b＝(2，－1，－2)－(0，－ 1，4)＝(2，0，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝
2．空间向量的模及夹角的坐标计算公式： (1)模：|a|＝___a_21＋__a_22_＋__a_23_，|b|＝____b_21＋__b_22_＋__b_23__；

，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
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题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
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证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？

(x,0,0)
(0,y,0)
(0,0,z)
点P的位置 xOy面内D yOz面内E zOx面内F
坐标形式
(x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
新知讲授
八个卦限及坐标的符号
Ⅲ
z
yoz 面
6
zox 面
Ⅱ
Ⅳ
xoy 面
o
Ⅵ
x
Ⅶ
Ⅷ
Ⅱ
点P所在卦限 Ⅰ
(+,+,+) (-,+,+)
坐标符号
Ⅵ
点P所在卦限 Ⅴ
(+,+,-) (-,+,-)
(3)C（-1,-3,3）；
z
C(-1,-3,3)
•
(-1,-3,0)
C1
•
(2,-2,0)
B1
Oห้องสมุดไป่ตู้
1
•
B•
(2,-2,-1)
1
x
•
1
• A(1,4,1)
y
•
A1(1,4,0)
新知讲授
特殊位置的点的坐标
5
z
•
F
C
•
1
•
O•
• A1
E
1
•
•
D
B
y
x
点P的位置
坐标形式
原点O
X轴上A
y轴上B
z轴上C
(0,0,0)
D1 B1 中点，求证： EF DA1
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16
例题讲解
例 3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1
中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱 A1B1,C1D1上，

→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.

→ → 所以BD＝(－3a,3b,0)，EA＝(0，－3b，－3c).
→ 1→ → 1→ 因为BM＝3BD＝(－a，b,0)，NA＝3EA＝(0，－b，－c)， → → → → 所以NM＝NA＋AB＋BM
＝(0，－b，－c)＋(3a,0,0)＋(－a，b,0)＝(2a,0，－c).
→ 又平面 CDE 的一个法向量是AD＝(0,3b,0)， → → 由NM· AD＝(2a,0，－c)· (0,3b,0)＝0， → → 得到NM⊥AD.
AB＝5，
∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
→ → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)，
→ → → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1，即 AC⊥BC1.
1 3 1 → → ∴MN＝(－4， 4 ，4)，AB1＝(1,0,1)，
1 1 → → ∴MN· AB1＝－4＋0＋4＝0.
→ → ∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.
要点二 利用空间向量证明平行关系
例 2 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD， 1 1 AE 上，且 BM＝3BD，AN＝3AE.求证：MN∥平面 CDE.
c2)，则l∥m⇔a∥b⇔
.
⇔ a＝kb
a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，
k∈R
(2)线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝ (a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔ ⇔ . a· u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (3)面面平行 设平面 α ， β 的法向量分别为 u ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， v ＝ (a2 ， b2 ， c2)，则α∥β⇔u∥v⇔ ⇔ u＝kv a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，

解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，

0,0), 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
n PD 0, 2 y 2 z 0, 则 即 2 x 0, n DC 0,
不妨令y=1,可得n=(0,1,1).
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因为n· =(0,1,1)· (1,0,0)=0, 所以 n ⊥ AB AB .
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立空间直角坐标系.
由题意,得A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0, 3 ),B1(1,1, 3 ), ∴ DB1 =(1,1, 3 ), AD1 =(-1,0, 3 ),






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即B1D⊥BA,B1D⊥BD. 又BA∩BD=B,BA,BD⊂平面ABD, 因此B1D⊥平面ABD. (2)由(1),知E(0,0,3),G ,1, 4 ,F(0,1,4),
a EF 则 EG = ,1,1 , =(0,1,1), 2 所以 =0+2-2=0, EF B1 D · B1 D · EG =0+2-2=0,
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第11讲
空间向量与立体几何
考情分析
栏目索引
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总纲目录
栏目索引
总纲目录
考点一 利用向量法证明平行与垂直
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考点二
考点三
利用空间向量求空间角
立体几何中的探索性问题
考点聚焦
栏目索引
考点一
利用向量法证明平行与垂直 高考导航
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α、β的法向量分别为μ




考点聚焦
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【解】 (1)A→P＝12(A→C＋A→ A′) ＝12(A→B＋A→D＋A→ A′)＝12(a＋b＋c)． (2)A→M＝12(A→C＋AD→′)
＝12(A→B＋A→D＋A→ A′＋A→D)＝12a＋b＋12c.
(3)A→N＝12(A→ C′＋AD→′) ＝12[(A→B＋A→D＋AA→′)＋(A→D＋AA→′)] ＝12(A→B＋2A→D＋2A→ A′)＝12a＋b＋c. (4)A→Q＝A→C＋C→Q＝A→C＋45(AA→′－A→C)
＝15A→B＋15A→D＋45A→ A′＝15a＋15b应该注 意相反向量的使用，求和的形式往往决定着 运算的方法．
2．共线向量、共面向量
运用共线向量定理和共面向量定理可以解决 立体几何中的平行问题和共面问题．
例2 已知下列命题：①若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；②向量 a，b，c 共面，则 它们所在直线也共面；③若 a 与 b 共线，则存在 惟一的实数 λ，使 b＝λa；④若 A，B，C 三点不
－M→B －M→C ，则 M→A 与 M→B ，M→C 共面，又 M 是三
个有向线段的公共点，则 A，B，C，M 四点共面， 且 M 为△ABC 重心，∴④是真命题．故填④.
【答案】 ④
【名师点评】 O→M＝xO→A＋yO→B＋zO→C，x＋
y＋z＝1 是 A，B，C，M 四点共面的充要条件．
基向量法
共线，O 是平面 ABC 外一点，O→M＝13O→A ＋13O→B
＋13O→C ，则点 M 一定在平面 ABC 上，且在△
ABC 内部．其中是真命题的是________．
【解析】 利用向量共线、共面定理逐一验证真假．① ②③均为假命题．④中 A，B，C，M 四点共面．等

任一点 P ,存在实数 t
使得 AP t AB
P
或AP ta
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
OP xa yb
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
3、物理的未来在何方？
新理论
新材料
新能源
核聚变
核电站
新世界，新征程
4、我们该如何学好物理？
多观察
多思考
多看教材
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ AP AB (1,2,1)(2,1,4) 0， AP AD (1,2,1)(4,2,0) 0 ，
∴ AP AB，AP AD，又 AB AD A，AP 平 面
，
∴ AB是C平D面
的法向量．
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
O a
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。

∴A→1B＝(1，0，1)，A→1D＝0，1，12 ， B→1P＝(－1，2，0). 设平面 BA1D 的一个法向量为 n1＝(a，b，c)，
n1·A→1B＝a＋c＝0， 则n1·A→1D＝b＋12c＝0，
令 c＝－1，则 n1＝1，12，－1.
∵n1·B→1P＝1×(－1)＋12×2＋(－1)×0＝0，
∴AE⊥D1F. 又 AE∩AD＝A，D1F⊄平面 ADE，
∴D1F⊥平面 ADE.
(2)∵M21，0，12 ，N21，1，1 ， ∴M→N＝0，1，12. 由(1)知，D→1F＝0，12，－1是平面 ADE 的法向
量． 又∵M→N·D→1F＝0＋12－12＝0， ∴MN⊥D1F. ∵MN⊄平面 ADE，
变式训练1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E， F分别是BB1，DC的中点． (1)求证：D1F⊥平面ADE； (2)设正方形ADD1A1的中心为M，B1C1的中点为 N，
求证：MN∥平面ADE.源自证明：(1)如图，不妨设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系 D—xyz，
第一部分 专题突破方略
专题四 立体几何
第三讲 空间向量与立体几何
主干知识整合
1．空间角的类型与范围 (1)异面直线所成的角(θ)：0<θ≤π2； (2)直线与平面所成的角(θ)：0≤θ≤π2； (3)二面角(θ)：0≤θ≤π.
2．几何法求空间角与距离的步骤 一作、二证、三计算．
3．向量法求空间角与距离的方法 (1)求空间角：设直线 l1，l2 的方向向量分别为 a， b，平面 α，β 的法向量分别为 n，m. ①异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ，则 cosθ＝||aa|·|bb||. ②直线 l1 与平面 α 所成的角为 θ，则 sinθ＝||aa|·|nn||. ③平面 α 与平面 β 所成的二面角为 θ，则|cosθ|＝ ||nn|·|mm||.