高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第2课时 等比数列的前n项和公式的性质及应用 含解析

第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。

2.5等比数列的前n 项和（二）【教学目标】1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.5等比数列的前n 项和（二）》课件“复习回顾”部分，对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理 等比数列前n 项和的性质阅读教材P 57第13行～P 58，完成下列问题．等比数列前n 项和的性质性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n －A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列．性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n (n ∈N *)，则S 偶S 奇＝q .②S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．三、合作探究问题1若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，那么数列{a n }是不是等比数列？若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？提示：当S n ＝2n －1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2n －1，n ≥2， n ∈N *是等比数列；当S n ＝2n ＋1－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n ，n ≥2， n ∈N *不是等比数列．问题2若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列吗？ 提示：设{a n }的公比为q ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n＝a 1q n ＋a 2q n ＋…＋a n q n ＝q n S n ，S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n＝a n ＋1q n ＋a n ＋2q n ＋…＋a 2n q n＝q n (S 2n －S n )，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为q n .问题3在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的？提示：在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可． 探究点1 等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列提示：B [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式，∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.∴a n ＋1a n ＝a ，∴数列{a n }是等比数列．]名师点评：(1)已知S n 通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1. (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列． 探究点2 等比数列前n 项和的性质命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．提示：方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q (1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )，S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )．∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．名师点评：处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．命题角度2 不连续n 项之和问题例3 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( ) A ．－3B ．－13C ．3D.13提示：A [∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7)∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q ＝－3.]名师点评：注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快．探究点3 错位相减法求和例4 求数列{n2n }的前n 项和． 提示：设S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， 则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， 两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝121－12n 1－12－n 2n ＋1 ＝1－12n －n 2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－n ＋22n . 名师点评：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．四、当堂检测1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193 2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( ) A.13B ．－13C.12D ．－123．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )A ．180B ．108C ．75D ．634．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________.提示：1．C 2.C 3.D 4.－1五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．2．等比数列前n 项和中用到的数学思想：(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)也与指数函数相联系． (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q 当成整体求解。

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。

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第2课时等比数列的性质[课时作业]［A组基础巩固］1．如果数列{a n｝是等比数列，那么（）A．数列{a错误!｝是等比数列B．数列｛2a n｝是等比数列C．数列{lg a n}是等比数列D．数列｛na n｝是等比数列解析：设b n＝a错误!，则错误!＝错误!＝错误!2＝q2，∴｛b n｝为等比数列；2a n＋12a n＝2a n＋1－a n≠常数；当a n〈0时，lg a n无意义；设c n＝na n,则错误!＝错误!＝错误!·q≠常数．答案:A2．已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3,a4成等比数列,则a2等于( ）A．9 B．3C．－3 D．－9解析：a1＝a2－3,a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3,a4成等比数列，a错误!＝a1a4，即 (a2＋3)2＝(a2－3)（a2＋6）,解得a2＝－9。

答案：D3．在正项等比数列｛a n｝中,a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( ）A．16 B．32C．64 D．256解析：由已知，得a1a19＝16。

§2.5 等比数列的前n 项和(一)课时目标1．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法．2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1 (q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－112．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．333．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.1724．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.1725．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．26．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510二、填空题7．若{a n}是等比数列，且前n项和为S n＝3n－1＋t，则t＝________.8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．10．如果数列{a n}的前n项和S n＝2a n－1，则此数列的通项公式a n＝________.三、解答题11．在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a3a n－2＝128，S n＝126，求n和q.12．求和：S n＝x＋2x2＋3x3＋…＋nx n (x≠0)．.能力提升13．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，S n＝54，S2n＝60，求S3n.14．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n·log2a n，求数列{b n}的前n项和T n.1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，a n，n，q，S n，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列且公比为q，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．§2.5等比数列的前n项和(二)课时目标1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q；当q ＝1时，S n ＝na 1.2．等比数列前n 项和的性质：(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)(2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .3．解决等比数列的前n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．一、选择题1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．189 答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.2．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1) 答案 D解析 注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158 答案 C解析 若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1， 则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1. 由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝(12)n －1. 所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)．5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30 答案 C解析 q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10a 1(1－q 30)1－q ＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10) ＝10×(1＋3)＝40.6．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元D.aγ(1＋γ)5万元 答案 B解析 设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5， ∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.二、填空题 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.8．在等比数列{a n }中，已知S 4＝48，S 8＝60，则S 12＝________________________________________________________________________. 答案 63解析 方法一 ∵S 8≠2S 4，∴q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q＝48 ①a 1(1－q 8)1－q ＝60 ②由②÷①得1＋q 4＝54，∴q 4＝14③将③代入①得a 11－q ＝64，∴S 12＝a 1(1－q 12)1－q ＝64(1－143)＝63.方法二 因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )， 所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n＋S 2n ，所以S 12＝(S 8－S 4)2S 4＋S 8＝(60－48)248＋60＝63.9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案 729解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝3，q ＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝36＝729(只)．10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为________． 答案 (1＋q )12－1解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，∴该厂生产总值的平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.三、解答题11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3. 故2010年最多出口12.3吨． 12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10 000＋S n >13，于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5 000(辆)，即1.5n >65732.两边取常用对数，则n ·lg 1.5>lg 65732，即n >lg 657－5lg 2lg 3－lg 2≈7.3，又n ∈N ＋，因此n ≥8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.能力提升13．有纯酒精a L(a >1)，从中取出1 L ，再用水加满，然后再取出1 L ，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.答案 ⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a 解析 用{a n }表示每次取出的纯酒精，a 1＝1，加水后浓度为a －1a ＝1－1a ，a 2＝1－1a，加水后浓度为⎝⎛⎭⎫1－1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，a 3＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2， 依次类推：a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8，a 10＝⎝⎛⎭⎫1－1a 9. ∴⎝⎛⎭⎫1－1a 8＋⎝⎛⎭⎫1－1a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a . 14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为 1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列， 1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5) ＝10(1＋5.5)2＝32.50(万元)， 而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9] ＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为 32．50－17.53≈15.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a 1与项数n 的实际含义，同时要搞清是求a n 还是求S n 的问题．。