2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第二章§2.2向量的减法 Word版含答案

【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选B ．CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B ．EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：选B ．EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B ． 3．下列式子不正确的是( ) A ．a －0＝a B ．a －b ＝－(b －a ) C.AB →＋BA →≠0D .AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C.根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 5．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A.①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 6．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →.答案：PQ →7．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ，AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析：根据题意画出图形，如图，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ； d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝B ．答案：c b 8．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________． 解析：①因为OD →＋OE →＝OM →， 所以OD →＝OM →－OE →，正确；②OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④ 9．化简：(1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →＋OC →－OB →＋CO →.解：(1)原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.(2)原式＝(OA →－OB →)＋(OC →＋CO →)＝BA →＋0＝BA →.10.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c . 解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|. 则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF →＝AC →，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －b ， 所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2，所以|a －b ＋c |＝2.[B 能力提升]1．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90° D ．△ABC 必为等腰直角三角形 解析：选C.如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.因为|m |＝|n |， 所以|AC →|＝|DB →|. 所以四边形ABCD 是矩形，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.2．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向 3.如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －B ． (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e . 4.(选做题)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝B ．求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， 所以CA ＝CB ．又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM . (1)因为CM →－CA →＝AM →， 又|AM →|＝|CM →|， 所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点， 所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →， 因为|CA →|＝|CB →|，所以|a ＋(a －b )|＝|b |.。

2.2. 2向量的减法运算及其几何意义教学目标：.•了解相反向量的概念；•掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.教学思路：•攵习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：•例：在四边形中，CB + BA-^-AD=_____________________ . 解：CB^-BA^-AD = CA + AD = CD提出课题：向量的减法. 用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与白长度相同、方向相反的向量•记作a.（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.（a） = a,任一向量与它的相反向量的和是零向量•白+ （a） = 0. 如果日、〃互为相反向量，则日=b, b =日，a + b = 0（3）向量减法的定义：向量臼加上的方相反向量，叫做臼与b的差.. 即：已b = a + （6）求两个向量差的运算叫做向量的减法.• •用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：.若b x = a,则“叫做日与力的差，记作日b•求作差向量：已知向量臼、b,求作向量臼b注意：1 AB表示自b.强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，a力二日+ （力）bA. a+b B •-a+ (-b)C. a~bD. b-a4.探究：1 ）如果从向量曰的终点指向向量力的终点作向量，那么所得向量是b a.2）若a//b f 如何作出白 b ?三、例题:解：由平行四边形法则得： AC= a + b, DB= AB-AD 二a b 变式一：当白，方满足什么条件时，时方与臼 方垂直？ （ | a\ = | b\ ）变式二：当日，"满足什么条件时，丨时引二|日 方|?（日，方互相垂直）变式三：臼+方与臼 方可能是相等向量吗？（不可能，'口 对角线方向不同）例3.如图，已知一点O 到平行四边形ABCD的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为:、匸2 试用向量d 、c 表示OD练习：1。

章末优化总结, )平面对量的概念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念．突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提．关于平面对量a ，b ，c 有下列三个命题： ①若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a·b ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出全部真命题的序号)[解析] ①由于b ⊥c ，所以b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b ；②a ∥b ，且a ≠0⇒b ＝λa ⇒1－2＝k6⇒k ＝－3；③|a|＝|b|＝|a －b|⇒a ，b ，a －b 构成等边三角形，a 与a ＋b 的夹角应为30°. 所以真命题为①②. [答案] ①②平面对量的线性运算1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．2．理解向量的有关概念[如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面对量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何意义，并能机敏应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算问题的基础．如图，在△ABC 中，AQ →＝QC →，AR →＝13AB →，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB →和AC →分别表示BQ →和CR →；(2)假如AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，求实数λ和μ的值； (3)确定点P 在边BC 上的位置．[解] (1)由AQ →＝12AC →，可得BQ →＝BA →＋AQ →＝－AB →＋12AC →，又AR →＝13AB →，所以CR →＝CA →＋AR →＝－AC →＋13AB →.(2)将BQ →＝－AB →＋12AC →，CR →＝－AC →＋13AB →，代入AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，则有AB →＋λ⎝⎛⎭⎫－AB →＋12AC →＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →， 即(1－λ)AB →＋12λAC →＝13μAB →＋(1－μ)AC →.所以⎩⎨⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎨⎧λ＝45μ＝35.(3)设BP →＝mBC →，AP →＝nAI →.由(2)，知AI →＝15AB →＋25AC →，所以BP →＝AP →－AB →＝nAI →－AB →＝n ⎝⎛⎭⎫15AB →＋25AC →－AB →＝2n 5AC →＋⎝⎛⎭⎫n 5－1AB →＝mBC →＝mAC →－mAB →，所以⎩⎨⎧－m ＝n 5－1，m ＝2n 5，解得⎩⎨⎧m ＝23，n ＝53.所以BP →＝23BC →，即BP PC＝2.即点P 是BC 上靠近点C 的三等分点．平面对量的数量积求平面对量的数量积的方法有两个：一个是依据数量积的定义，另一个是依据坐标．定义法是a·b ＝|a||b|·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角；坐标法是a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.利用数量积可以求长度，也可推断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决．(1)设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________． (2)已知两个单位向量a ，b 的夹角θ为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________．[解析] (1)由于单位向量m ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1.① 若m ⊥b ，则m·b ＝0，即2x －y ＝0.②由①②解得x 2＝15，所以|x |＝55，|x ＋2y |＝5|x |＝ 5.(2)法一：由于b·c ＝0， 所以b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0， 即t a·b ＋(1－t )b 2＝0. 又由于|a |＝|b |＝1，θ＝60°，所以12t ＋1－t ＝0，所以t ＝2.法二：由t ＋(1－t )＝1知向量a ，b ，c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，则c ＝⎝⎛⎭⎫32，－32.把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2.[答案] (1)5 (2)2平面对量的应用平面对量的应用主要体现在两个方面，一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和平行，数乘向量和相像，距离、夹角和数量积之间有着亲密联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．二是在物理中的应用，主要是解决力、位移、速度等问题．如图所示，G 为△AOB 的中线OM 的中点，过点G 作直线分别交OA ，OB 于点P ，Q ，设OPOA＝m ，OQ OB ＝n ，试推断1m ＋1n是否为定值．[解] 设OA →＝a ，OB →＝b ， 则OG →＝12OM →＝14(OA →＋OB →)＝14a ＋14b . 所以PG →＝OG →－OP →＝14a ＋14b －m a＝⎝⎛⎭⎫14－m a ＋14b . PQ →＝OQ →－OP →＝nOB →－mOA →＝n b －m a .由于PG →与PQ →共线，所以PG →＝λPQ →(λ∈R )， 即⎝⎛⎭⎫14－m a ＋14b ＝λ(n b －m a )． 所以⎩⎨⎧14－m ＝－λm ，14＝λn .消去λ得14－m ＝－m 4n ⇒14m －1＝－14n .所以1m ＋1n＝4为定值．质量m ＝2.0 kg 的木块在平行于斜面对上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿斜面角θ＝30°的光滑斜面对上滑行|s |＝2.0 m 的距离，如图所示(g 取9.8m/s 2)．(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系．[解] (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如题图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F ·s ＝|F||s |cos 0°＝20(J)．支持力对木块所做的功为W F N ＝F N ·s ＝0. 重力G 对物体所做的功为W G ＝G ·s ＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)． (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W ＝W F ＋W F N ＋W G ＝0.4(J)．(3)物体所受合外力的大小为|F 合|＝|F |－|G |sin 30°＝0.2(N)． 所以，物体所受合外力对物体所做的功为W ＝F 合·s ＝0.4(J)．所以，物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和相等．1．O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形解析：选B.由题意知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝0，如图所示，其中AB →＋AC →＝2AD →(点D 为线段BC 的中点)，所以AD ⊥BC ，即AD 是BC 的中垂线，所以AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形．故选B.2．已知e 为单位向量，|a |＝4，a 与e 的夹角为23π，则a 在e 方向上的投影为________．解析：依据定义知a 在e 方向上的投影为|a |cos 2π3＝－2.答案：－23．已知向量a ＝(6，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________． 解析：设B (x ，y )为l 上任意一点，则AB →＝(x －3，y ＋1)，又a ＋2b ＝(6，2)＋2⎝⎛⎭⎫－4，12＝(－2，3)，由题意得AB →·(a ＋2b )＝0，所以(x －3，y ＋1)·(－2，3)＝－2(x －3)＋3(y ＋1)＝0，即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝04．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝ 5. (1)求|2a －3b |的值；(2)求3a －b 与a －2b 的夹角．解：(1)由于|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2 ＝4－4a ·b ＋1＝5， 所以a ·b ＝0.由于|2a －3b |2＝4a 2＋9b 2＝4＋9＝13， 所以|2a －3b |＝13.(2)设3a －b 与a －2b 的夹角为θ，则cos θ＝（3a －b ）·（a －2b ）|3a －b |·|a －2b |＝3a 2＋2b 210·5＝552＝22，又由于θ∈[0，π]，所以θ＝π4为所求．5．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，BC 上一点F 使BF ＝13BC .(1)以a 、b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →.解：(1)由已知得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋b .HF →＝HD →＋DC →＋CF →＝12b ＋a ＋(－23b )＝a －16b .(2)由已知得a·b ＝|a||b|cos 120°＝3×4×(－12)＝－6，从而AM →·HF →＝(12a ＋b )·(a －16b )＝12|a |2＋1112a·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113., [同学用书单独成册])(时间：100分钟，分数：120分)一、选择题(本大题共有10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．共线向量的方向相同 B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选B.对A ，共线向量的方向相同或相反，错误；对B ，零向量是0，正确；对C ，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B.2．已知A 、B 、D 三点共线，存在点C ，满足CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23 B ．13C ．－13D ．－23解析：选C.由于A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA→＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14 B ．12 C ．1 D ．2解析：选B.a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.4．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心，外心B ．重心，内心C ．外心，重心D ．外心，内心解析：选C.由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得AN →＝NB →＋NC →，取BC边的中点D ，则AN →＝NB →＋NC →＝2ND →，知A 、N 、D 三点共线，且AN ＝2ND ，故点N 是△ABC 的重心．5．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角等于( )A ．θ－π2B ．π2＋θC.3π2－θ D ．θ解析：选C.设a 与b 的夹角为α，a ·b ＝cos θ·0＋sin θ·(－1)＝－sin θ，|a |＝1，|b |＝1，所以cos α＝a ·b|a ||b |＝－sin θ＝cos(3π2－θ)，由于θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α∈[0，π]， y ＝cos x 在[0，π]上是递减的，所以α＝3π2－θ，故选C.6．已知等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b －b ·c －c·a 等于( )A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析：选D.由平面对量的数量积的定义知，a·b －b·c －c·a ＝|a||b|cos(π－C )－|b||c|cos(π－A )－|c||a|cos(π－B )＝cos(π－C )－cos(π－A )－cos(π－B )＝－cos C ＋cos A ＋cos B ＝cos 60°＝12.故选D.7．已知平面对量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( ) A.π2 B ．π3 C.π6 D ．π解析：选B.由于|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3， 所以4＋4a·b ＋3＝7，a·b ＝0，所以a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，由于tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝3，所以∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.8．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.53 B ．54 C.109 D ．158解析：选A.依题意，不妨设BE →＝12EC →，BF →＝2FC →，则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →；AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.所以AE →·AF →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →)＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC →) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，故选A. 9．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝|a |＝1，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：选D.由于a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2cos 60°＝3，所以|c |＝ 3.又c·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a·b ＝－1－cos 60°＝－32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a ||c |＝－323×1＝－32，由于0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.10．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，则动点P 的轨迹所掩盖的面积为( )A.103 6 B ．53 6 C.103 D ．203解析：选A.如图，由于OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，所以动点P 的轨迹所掩盖的区域是以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAMB ，则动点P 的轨迹所掩盖的面积S ＝AB ×r ，r 为△ABC 的内切圆的半径．在△ABC 中，由向量的减法法则得BC →＝AC →－AB →，所以BC →2＝(AC →－AB →)2，即|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2－2|AC →||AB →|cos A ，由已知得72＝62＋|AB →|2－12·|AB →|×15，所以5|AB →|2－12|AB →|－65＝0，所以|AB →|＝5.所以S △ABC ＝12×6×5×sin A ＝66，又O 为△ABC 的内心，故O 到△ABC 各边的距离均为r ，此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，所以S △ABC ＝12(6＋5＋7)×r ，即12(6＋5＋7)×r ＝66， 所以r ＝263，故所求的面积S ＝AB ×r ＝5×236＝1036.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________． 解析：m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由于m a ＋4b 与a －2b 共线， 所以－1(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2. 答案：－212．如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．解析：由于AO →＝μAC →＝μ(AD →＋DC →)＝μ⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝μa ＋μ2b . 由于μ＋μ2＝1，解得μ＝23.所以AO →＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b13．已知两点A (－1，0)，B (－1，3)，O 为坐标原点，点C 在第一象限，且∠AOC ＝120°.设 OC →＝－3OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ＝________．解析：由题意，得OC →＝－3(－1，0)＋λ(－1，3)＝(3－λ，3λ)，由于∠AOC ＝120°，所以OA →·OC →|OA →||OC →|＝－12，即λ－3（3－λ）2＋3λ2＝－12，解得λ＝32.答案：3214．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：由于AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝(AB →＋13AD →)·(AD →＋1λAB →)＝1λAB →2＋1＋3λ3λAD →·AB →＋13AD →2＝4λ＋1＋3λ3λ×2×2×cos 120°＋43＝10－2λ3λ＝1.解得λ＝2.答案：215．若将向量a ＝(1，2)绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则b 的坐标是________．解析：如图，设b ＝(x ，y )， 则|b |＝|a |＝5，a·b ＝|a||b |·cos π4＝5×5×22＝522，又x 2＋y 2＝5，a·b ＝x ＋2y ，得x ＋2y ＝522，解得x ＝－22，y ＝322(舍去x ＝322，y ＝22)．故b ＝⎝⎛⎭⎫－22，322.答案：⎝⎛⎭⎫－22，322三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)由a ＝(1，2)，得|a |＝12＋22＝5，又|c |＝25，所以|c |＝2|a |. 又由于c ∥a ，所以c ＝±2a ，所以c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．(2)由于a ＋2b 与2a －b 垂直，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，将|a |＝5，|b |＝52代入，得a·b ＝－52. 所以cos θ＝a·b|a|·|b |＝－1，又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a 与b 的夹角为π.17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)．(1)求AB →，AC →及|AB →＋AC →|；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)⊥OC →，求t 的值．解： (1)由于A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)．所以AB →＝(－3，－1)，AC →＝(1，－5)，AB →＋AC →＝(－2，－6)， |AB →＋AC →|＝（－2）2＋（－6）2＝210.(2)由于(AB →－tOC →)⊥OC →，所以(AB →－tOC →)·OC →＝0， 即AB →·OC →－tOC →2＝0，由于AB →·OC →＝－3×2＋(－1)×(－1)＝－5， OC →2＝22＋(－1)2＝5，所以－5－5t ＝0，所以t ＝－1.18．(本小题满分10分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，所以OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，所以(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，所以|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，所以OP 1→·OP 2→＝－12，又cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，所以∠P 1OP 2＝120°.所以|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝（OP 2→－OP 1→）2＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 故△P 1P 2P 3是等边三角形．19．(本小题满分12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .证明：如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，E (1，2)，F (0，1)． (1)BE →＝OE →－OB →＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)， CF →＝OF →－OC →＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)，由于BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，所以BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)，由于FP →∥CF →，所以－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，所以y ＝85，即P ⎝⎛⎭⎫65，85. 所以AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2，所以|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .若OA →＝a ，OB →20．(本小题满分13分)(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并推断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系．(2)受(1)的启示，假如点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b .同理OQ →＝13a ＋23b .OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)结论：OA 1→＋OA n －1→＝OA 2→＋OA n －2→＝…＝OA →＋OB →.证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n (OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，所以OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1→＝1n a ＋n －1nb ，所以OA 1→＋OA n －1→＝a ＋b ＝OA →＋OB →. 又OA 2＝n －2n a ＋2nb ，OA n －2→＝2n a ＋n －2n b ，所以OA 2→＋OA n －2→＝a ＋b ＝OA →＋OB →，…，因此有OA 1→＋OA n －1→＝OA 2→＋OA n －2→＝…＝OA →＋OB →.。

备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是:两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减),这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点的向量.只要学生理解法则内容,那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手,尤其遇到向量的式子运算题时,一般不用画图就可迅速求解,如下面例题:例1 化简:-+-.解:原式=+-=-=0.例2 化简OA +OC +BO +CO .解:原式=(OA +BO )+(CO OC +)=(OA -OB )+0=BA .二、备用习题1.下列等式中,正确的个数是( )①a +b =b +a ②a -b =b ③0-a =-a ④-(-a )=a ⑤a +(-a )=0A.5B.4C.3D.2图72.如图7,D 、E 、F 分别是△ABC 的边、、的中点,则-等于( ) A B. C. D.3.下列式子中不能化简为的是( ) A.(+CD )+BC B.(+)+(BC +CM ) C.BM AD MB -+ D.OC -OA +CD4.已知A 、B 、C 三点不共线,O 是△ABC 内一点,若++=0,则O 是△ABC 的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心5.已知两向量a 和b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是a 的方向与b 的方向垂直.参考答案:1.C2.D3.C4.A5.证明:(1)充分性: 设=a ,=b ,使⊥,以OA 、OB 为邻边作矩形OBCA,则|a +b |=||,|a -b |=||.∵四边形OBCA为矩形,∴|OC|=||,故|a+b|=|a-b|.(2)必要性:设=a,=b,以OA、OB为邻边作平行四边形,则|a+b|=||,|a-b|=||.∵|a+b|=|a-b|,∴||=||.∴OBCA为矩形.∴a的方向与b的方向垂直.(设计者：沈献宏)。

高中数学 2.2.2向量的减法运算及其几何意义导学案新人教A版必修4学习目标1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.教学重点会用向量减法的三角形法则作两个向量的差向量.教学难点三角形不等式学习过程一、课前准备（预习教材P85—P87）复习：求作两个向量和的方法有法则和法则.二、新课导学※探索新知探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？1、相反向量：与a的向量，叫做a的相反向量，记作a .零向量的相反向量仍是 .问题2：任一向量a与其相反向量a-的和是什么？如果a、b是互为相反的向量，那么a=，b=，a b+= .1、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即，a b是互为相反的向量，那么a=，b=_________，a b=____________。

+问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b+-的作图方法.※典型例题例1、阅读并讨论P86例3和例4变式：如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( ) A. AB→＝DC→ B. AD→＋AB→＝AC→C. AB→－AD→＝BD→D. AD→＋CB→＝0例2、在△ABC中，O是重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列两式：⑴CB CE BA-+；⑵OE OA EA-+.变式：化简AB FE DC++.三、小结反思1、向量减法的含义；2、求两向量的差；3、两向量a与b的差ba-起点，终点和指向。

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、化简下列各式：①AB AC DB--；②AB BC AD DB+--.2、在平行四边形ABCD中，BC CD AD+-等于（）A．BA B．BD C．AC D．AB3、下列各式中结果为O的有（）①++AB BC CA②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD④+-+MN NQ MP QPA．①② B．①③C．①③④ D．①②③4、下列四式中可以化简为AB的是（）①+AC CBAC CB②-③+OA OB④-OB OAA．①④ B．①② C．②③ D．③④5、已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中OA a OB b OC c则EF=（）,,===A ．a b +B ．b a -C ．-c bD ．-b c课后作业1、化简：AB DA BD BC CA ++--=_______________。

【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选B ．CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B ．EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：选B ．EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B ． 3．下列式子不正确的是( ) A ．a －0＝a B ．a －b ＝－(b －a ) C.AB →＋BA →≠0D .AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C.根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 5．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A.①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 6．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →.答案：PQ →7．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ，AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析：根据题意画出图形，如图，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ； d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝B ．答案：c b 8．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________． 解析：①因为OD →＋OE →＝OM →， 所以OD →＝OM →－OE →，正确；②OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④ 9．化简：(1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →＋OC →－OB →＋CO →.解：(1)原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.(2)原式＝(OA →－OB →)＋(OC →＋CO →)＝BA →＋0＝BA →.10.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c . 解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|. 则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF →＝AC →，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －b ， 所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2，所以|a －b ＋c |＝2.[B 能力提升]1．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90° D ．△ABC 必为等腰直角三角形 解析：选C.如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.因为|m |＝|n |， 所以|AC →|＝|DB →|. 所以四边形ABCD 是矩形，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.2．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向 3.如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －B ． (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e . 4.(选做题)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝B ．求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， 所以CA ＝CB ．又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM . (1)因为CM →－CA →＝AM →， 又|AM →|＝|CM →|， 所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点， 所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →， 因为|CA →|＝|CB →|，所以|a ＋(a －b )|＝|b |.。