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机械优化设计优化设计的数学基础

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机械优化设计-数学基础

机械优化设计-数学基础

ε高级无穷小量 有： z Δ
P0 P
= f x′ ( x0 , y0 )
Δx P0 P
′ + f y ( x0 , y 0 )
Δy P0 P
+
ε
P0 P
对上式取极限得：
∂z ′ = f x′ ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) sin α ∂α
∂z 点P0切线方向导数 ∂t
写成矩阵形式
∂f ( x0 , y0 ) ∂f ( x0 , y0 ) ⎡ Δx ⎤ f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) + [ , ]⎢ ⎥ ∂x ∂y ⎣ Δy ⎦ ⎡ ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) ⎢ 1 ∂x 2 + [ Δx , Δy ]⎢ 2 ⎢ ∂ f ( x0 , y 0 ) 2! ⎢ ∂x∂y ⎣ ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) ⎤ ⎥ Δx ∂x∂y ⎥⎡ ⎤ + ∂ 2 f ( x0 , y0 ) ⎥ ⎢ Δy ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ 2 ∂y ⎦ ⎡ Δx ⎤ 1 ⎡ Δx ⎤ 2 T = f ( x0 , y0 ) + ∇ f ( x0 , y0 ) ⎢ ⎥ + [ Δx Δy ]∇ f ( x0 , y0 ) ⎢ ⎥ + ⎣ Δy ⎦ 2 ⎣ Δy ⎦
f ( x0 + Δx , y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 ) P0 P
lim P P →0
0
存在，此极限称为函数沿 方向d的导数，记为：
∂z , α = 0, 偏导数 ∂x
∂z ( ) P0 , 或 f d′ ( x0 , y0 ) ∂d
由于
∂z π ,α= 2 ∂y

优化设计的数学基础

优化设计的数学基础
f x f x*
所以函数f(x)在 x* 处取得局部极小值，称x*为
局部极小点。 而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内 的全局极小点。 函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢？
图2-7 下凸的一元函数
一、凸集
一个点集（或区域），如果连接其中任意两点 x1 x2
的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集， 否则为非凸集。
梯度 F ( x0 ) 模：
1
F ( x0 )


n i1
( F xi
)2 x0
2
函数的梯度方向与函数等值面相垂直，也就是 和等值面上过x0的一切曲线相垂直。
由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的
最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局 部性质。
梯度两个重要性质：
在工程中大多数优化问题，可表示为不等式约束 条件的优化问题。
有必要引出非线性优化问题的重要理论，是不等式 约束的多元函数的极值的必要条件。
库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件
一、一元函数在给定区间上的极值条件
一元函数f(x)在给定区间[a,b]上的极值问题，可以 写成下列具有不等式约束条件的优化问题：
集R内任意不同两点x1 x2 ，不等式
f x2 f x1 x2 x1 T f x1
恒成立。
2f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的 函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件
Hesse矩阵在R上处处半正定。
f x0
f
x (0) 1

x1,
x20

x2
f
x10 , x20
lim
d
0

机械优化设计 优化设计的理论与数学基础

机械优化设计 优化设计的理论与数学基础
2 1
13
三、 二次型函数
机械优化设计
是指含有n个自变量的二次齐次函数
F ( X ) a11 x12 a12 x1 x2 ... a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x2 2 ... a2 n x2 xn ... a( n1)1 xn1 x1 a( n1)2 xn1 x2 ...a( n1)( n1) xn12 a( n1) n xn1 xn an1 xn x1 an 2 xn x2 ... ann xn 2
10
... ...
(4)
...
机械优化设计
2 2 2 x x x 例：求目标函数F（X） 1 2 3 2 x1 x2 2 x2 x3 3x3
的梯度和Hesse矩阵。 解：因为 F X 2 x1 2 x2
x1 F X
F X 2 x2 2 x1 2 x3 x2
机械优化设计
1.二元函数的Taylor 展开式（取到前三项）
F F (k ) ) ( x1 x1 ) ( x2 x2( k ) ) x1 x2 (1)
2 2 1 2 F 2 F F (k ) 2 (k ) (k ) [ 2 ( x1 x1 ) ( x1 x1 )( x2 x2 ) 2 ( x2 x2( k ) )2 ] Rn 2! x1 x1x2 x2
T
根据线性代数 1)对于X 0, 恒有F ( X ) 0, 则A为正定矩阵 ; 对于X 0, 恒有F ( X ) 0,则A为半正定矩阵 ; 对于X 0, 恒有F ( X ) 0,则A为负定矩阵 ; 2)若A为正定 ,则F ( X )称为正定二次型 .
16

机械优化设计优化设计的数学基础

机械优化设计优化设计的数学基础

无约束优化问题的极值条件
无约束优化问题是使目标函数取得极小值， 极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应 满足的条件。
ted with Aspos对e一.S元lEid函vea数sluf，aotr取io.N极nEo值Tn的l3y.必.5要C条lie件nt是Profile 5.2 Copyright 2004-20f11(xA0 )spo0se Pty Ltd.

1 2
x1

2
x2 102
0x1 2
2

x2
1
(x1 2)2 (x2 1)2
此函数的图像是以 x0 点为顶点的旋转抛物面。
第二章 优化设计的数学基础
四、Hesse 矩阵与正定
Hesse 矩阵的特性：是实对称矩阵。 H是正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于0; H是负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于0，
处函数变化率最大的方向和数值。
解 函数变化率最大的方向就是梯度方向，用单位向
量 p 表示，其数值就是梯度的模。计算如下：
E vf a luation only.
ted withCAosppyorfsig(exh0.)St2li0dxxf0e12 4sx0-f2o0r221xx.121N42EATxs0 p3o.s524eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2
H(x0)

x12 2 f
x1x2

2 f

2 0
0 2
E vxa2lxu1ationx22onlxy0.
ted withCAospfpy(oxr1si,gexh2.)St 2li0d120ex4s1-f2o0xr110.1NEAx2Tsp3xo.2s50 eHCP(lxite0y)nLtxxt12Pdr.oxx1f20i0le 5.2

(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计

(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
1.Fibonacci法—理想方法，不常用。
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵

机械优化设计方法

机械优化设计方法
2 1 2 2 1 2 2
2 F B 2 h2 得到m(h) y h
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
解析法：
dm 2 F d B 2 h 2 2 F B2 求导 ( ) (1 2 ) 0 dh y dh h y h 解得h* B 152 cm 76cm 2 2F 代入D表达式D* 6.43cm T y 4 FB
l
θ
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化问题的几何解释： 无约束优化问题：目标函数的极小点就是等值面的中心； 等式约束优化问题：设计变量x的设计点必须在 所表示的面或线上，为起作用约束。 不等式约束优化问题：可行点 g ( x) 0
h( x) 0
优化设计问题的数学模型的三要素：设计变量、目 标函数和约束条件。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计变量：
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数， 称为设计变量。
设计变量向量：
x [ x1x2
xn ]T
设计常量：参数中凡是可以根据设计要求事先给定的，称为设计常量 。 设计变量：需要在设计过程中优选的参数，称为设计变量。 连续设计变量：有界连续变化的量。 离散设计变量：表示为离散量。
钢管壁厚T=0.25cm，
钢管材料的弹性模量E=2.1×105Mpa， 材料密度ρ=7.8×103kg/m3，
许用压应力σy= 420MPa。
求在钢管压应力σ不超过许用压应力σy 和失稳临界应力σe的条件下， 人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
绪论

机械优化设计第二章


第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
二次n维函数用向量和矩阵的表示方法：
若f ( x)是n维函数，则可按下式化为向量及矩阵形式： f ( x) f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j bk xk c
i 1 j 1 k 1 n n n
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。 二元函数的偏导数： 一个二元函数f ( x1 , x2 )在点x0 ( x10 , x20 )处的偏导数是
f x1 f x2 f x10 x1 , x20 f x10 , x20 lim x1 0 x1 f x10 , x20 x2 f x10 , x20 lim x2 0 x2
向量d1的方向为：1 2 向量d 2的方向为：1

4
，

3
， 2

6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f T x f f 梯度： 二元函数f ( x1 , x2 )在点x0处的梯度是f ( x 0 ) 1 , f x1 x2 x0 x 2 x
d 0
偏导数与方向导数之间的数量关系：
f d lim
x0
f x10 x1 , x20 x2 f x10 , x20 d
d 0
lim lim f x1
d 0
f x10 x1 , x20 x2 f ( x10 x1 , x20 ) x2 x2 cos 1

第二章-机械优化设计


约束条件
gu ( X ) 0
hv ( X ) 0
二维问题的可行域
可行点（内点）：可行域内的点。 内点所对应的设计方案都是可行方案。 非可行点（外点）：可行域外的点。 外点所对应的设计方案都是不可行方 案，不能用。 边界设计点（极限设计点）：处于 某一不等式约束边界上（即不等式约束 条件的极值条件gj(X)=0）的设计点。 边界设计点属可行设计点，它是一 个为该项约束所允许的极限设计方案。
约束条件： g1 X 4 x1 0
g 2 X x2 0 g 3 X x3 0
x2
独立变量
x1
（等式约束条件） h X 5 x1 x 2 x3 0
二、优化设计数学模型
h X 5 x1 x2 x3 0
x3 5 x1 x 2
等值线
二维目标函数等值线
目标函数 f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
在设计空间内，目标函数值相等点的连线：
■ 对于二维优化问题，构成了等值线；
对于三维优化问题，构成了等值面； ■ 对于四维以上的优化问题，则构成了等 值超曲面。
■
等值线
二维目标函数等值线
约束条件
gu ( X ) 0
目标函数 f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
目标函数是用来评价设计方案优劣的标准，又称评价函数。它是设计
变量的函数。 目标函数可以根据工程问题的要求从不同角度来建立。如：机械零 件设计中的重量、体积、效率、可靠性、几何尺寸、承载能力；机械设 计中的运动误差、功率、应力、动力特性；产品设计中的成本、寿命等。 目标函数是一个标量函数。目标函数值的大小，是评价设计质量优 劣的标准。在优化设计中，一般取最优值为目标函数的最小值(对于某些 追求目标函数极大值的问题，可把它转化为求其负值极小的问题)。该最 优值即为最优点X*，也即为最优设计方案。

机械优化设计第二五讲讲课文档

按二阶偏导数判断凸性：设 f(x) 是定义在凸集D上具有连续二阶导数的函数，则 f(x)在D上为凸函数的充要条件是：f(x)的Hesse矩阵处处半正定。若Hesse矩阵处 处正定，则f(x)为严格凸函数。
现在十九页，总共五十二页。
目标函数是非凸函数（图 a），或可行域是非凸集（图 b）：
g( p)
现在十七页，总共五十二页。
第二章 优化设计的数学基础
现在十八页，总共五十二页。
第二章 优化设计的数学基础
凸函数的基本性质：
若f(x)是定义在凸集D上的严格凸函数，则f(x)在D上的一个极小点， 也就
是全局最小点。 凸函数的线性组合仍然为凸函数。
设x(1), x(2)为凸函数 f(x)上的两个最小点，则其连线上的任意点也都是最小点。
偶数阶主子式都大于0； H是半正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于等于0； H是半负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于等于0，并且它的
所有偶数阶主子式都大于等于0；
Hesse 矩阵的正定性： H(x*)正定， 是 x* 为全局极小值点的充分条件； H(x*)半正定, 是 x* 为局部极小值点的充分条件； H(x*)负定， 是 x* 为全局极大值点的充分条件； H(x*)半负定, 是 x* 为局部极大值点的充分条件。
凸性函数的判定（判别函数为凸函数的条件）
按梯度判断凸性：设f(x)是定义在凸集 D上具有连续一阶导数的函数，则f(x) 在D上为凸函数的充要条件是：对于任意的 x(1),x(2)∈D 都有
成立f ( 。x ( 2 ) ) f ( x ( 1 ) ) [ f ( x ( 1 ) ) T [ x ] ( 2 ) x ( 1 ) ]
2 0
0 2
x22

第2章机械优化设计


%计算函数f对x1的二阶偏导数 %计算函数f对x1x2的二阶偏导数
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实 现
例2-1 MATLAB实现，用M文件计算函数梯度和模如下：
% 例2-1梯度的计算 syms x1 x2 f=x1^2+x2^2-4*x1+4; gradf=jacobian(f) Xzuobiao1=[3,2];Xzuobiao2=[2,0]; gfk1=subs(subs(gradf,Xzuobiao1(1)),Xzuobiao1(2)) gmk1=norm(gfk1) igk1=gfk1/gmk1
偏导数对称矩阵。于是元函数的泰勒展开式与二函数的泰勒 展开式完全相同，但各符号的含义不同，其中
X x1, x2, , xn T
f
f f
x1
,
x2
,
f T
,
xn
X
X
(k)
x1
x2
x1(k) x2(k)
xn xn(k)
2 f
x12
H(X)
2 f
2 f
x2x1
2 f
1/
2 /
5
5
0.4472 0.8944
点 X (2) 2,0T 的梯度为
f
(X
(2) )
2x1
2x2
4
x1
2
0 0
x2 0
这说明 f (X ) 在点 X (2) 的梯度为0，即在该点沿 x1 和 x2 轴 的变化率都为零，这个点就是函数的极值点。
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实 现
(或 x2轴)这个特殊方向的变化率。那么函数沿其它方向的变化
率怎样表示呢？这个问题就是下面要讨论的方向导数。
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f (X ) b
(3) f (X ) X T X
f (X ) 2X
(4) Q为对称矩阵，f (X ) X TQX f (X ) 2QX
二次型
机械优化设计
二、多元函数的泰勒展开
1、一元函数
f x 在 x x0 点处的泰勒展开为：
f
x
f
x0
f
x0 x
1 2
f
x0 x2
其中 x x x0, x2 x x0 2
n i 1
f xi
x0
c os i
f (x0 )T d
f (x0 )
cos(f , d )
机械优化设计
多元函数的梯度的模：
f (x0 )
[
n
( f
2
)
]1/ 2
i1 xi x0
函数的梯度方向与函数的等值面相垂直，也 就是和等值面上过x0的一切曲线相垂直。
由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处 的最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一 种局部性质。
4 2
42 (2)2
2 51
5
5
5
新点 x1
该点函数值
2
x1
x0
e
0 1
51
5 5
1
2
5 1
5 5
5 5
f
( x1 )
3x12
4x1x2
x22
x1
26 5
2
5
机械优化设计
常用梯度公式：
注意：梯度为向量
(1) f (X ) C(常数) f (X ) 0
(2) f (X ) bT X
解：
f x1
6 x1
4x2
f x2 4x1 2x2
则函数在 x0 [0,1]T 处的最速下降方向为
P
f
(
x
0
)
f
x1 f
6x1 4x2
4x1 2x2
x10
4 2
x2 x10
x2 1
x2 1
机械优化设计
该方向上的单位向量为
e f (x0 ) f (x0 )
f lim f (x10 x1, x20 ) f x10 , x20
x1 x0
x1 0
x1
f lim f (x10 , x20 x2 ) f x10 , x20
x2 x0
x2 0
x2
d 二元函数 f (x1, x2 ) 在 x0 x10, x20 点处沿某一方向
的变化率，其定义为
梯度的模：
f (x0 )
f x1
2
f x2
2
当梯度方向和d方向重合时，方向导数值 最大，即梯度方向是函数值变化最快方向， 而梯度的模就是函数值变化率的最大值。
机械优化设计
多元函数的梯度
f
x1 f
f
(
x0
)
x2
f
f x1
xn x0
f x2
f T
xn
x0
f
d
x0
机械优化设计
梯度的两个重要性质：
① 函数在某点的梯度不为零，则必与过该点的等值面垂 直（即为过点的等值线的法线方向）； ② 梯度方向具有最大变化率方向
正梯度方向是函数值最速上升的方向， 负梯度方向是函数值最速下降的方向。
机械优化设计
例1：求二次函数 f x1, x2 x12 x22 4x1 4 在点 3,2T
海赛矩阵是由函数 f (x1, x2 ) 在点 x0 处的二阶偏
导数组成的方阵。由于函数的二次连续性，有：
2 f 2 f x2x1 x1x2
所以 G(x0 ) 矩阵为对阵方阵。
机械优化设计
3、多元函数
机械优化设计 2、二元函数
二元函数 f (x) 在 x0 (x10 , x20 )点处的泰勒展开式为：
f
x1, x2
f
(x10 , x20 )
f x1
x1
x0
f x2
x2
x0
1
2
f
2! x12
x0
x12
2
2 f x1x2
x0
x1x2
2 f x22
x22 ...
x0
其中： x1 x1 x10 , x2 x2 x20
处的梯度。
解：
f
f
(x)
x1 f
2x1
2x2
4
x2
在点 3,2T 处的梯度为：
f
( x1
)
2x1
2x2
4
2 4
机械优化设计
例2：试求二次函数 f x1, x2 3x12 4x1x2 x22在点 x0 0,1 T
处的最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长 度后新点的目标函数值。
cos2
x0
f f
x1
,
x2
x0
cos1
cos
2
f
令
f
(x0 )
x1
f
x2
x0
f
x1
, f x2
T
x0
梯度
d
cos1
c
os
2
f d
x0
f (x0 )T d
f (x0 )
cos(f , d)
机械优化设计
f d
x0
f (x0 )T d
f (x0 )
cos(f , d)
机械优化设计 上式写成矩阵形式：
f (x)
f
( x0
)
f x1
1 2
x1
2 f
x2
x12 2 f
x1x2
f x2
x0
x1 x2
2 f
x1x2
2 f
x1 x2
x22 x0
机械优化设计
2 f
令
G(
x0
)
x12 2 f
x2x1
上式可写成
2 f
x1x2
2 f
x22 x0
x
x1 x2
f
x
f x0 f
x0 T x
1 2
xT
Gx0
x
Gx0 称为函数 f x1, x2 在 x0 (x10 , x20 ) 点处的
海赛（Hessian）矩阵
参见教材例题P30
机械优化设计
2 f
G ( x0
)
x12 2 f
x2x1
2 f
x1x2
2 f
x22
f lim f (x10 x1, x20 x2 ) f x10, x20
d d 0 x0
d
方向导数
机械优化设计
f lim f (x10 x1, x20 x2 ) f x10, x20
d d 0 x0
d
=
f x1
x0
cos1
+
f x2
x0
cos2
X2
d
偏导数与 方向导数
的关系
机械优化设计
第二章 优化设计的数学基础
一、多元函数的方向导数和梯度 二、多元函数的泰勒展开 三、无约束优化问题的极值条件 四、凸集、凸函数与凸规划 五、等式约束优化问题的极值条件 六、不等式约束优化问题的极值条件
机械优化设计
一、多元函数的方向导数和梯度
1、方向导数
二元函数 f (x1, x2 )在 x0 x10, x20 点处的偏导数的定义是：
X20
θ2
X0
△d △X2 △X1
θ1
O
X10
X1
图1 二维空间中的方向
机械优化设计
n元函数在点x0处沿d方向的方向导数
f d
x0
f x1
x0
cos1 ຫໍສະໝຸດ f x2x0cos2
f x1
xn
cosn
n i 1
f xi
x0
cosi
机械优化设计
2、二元函数的梯度
f d
x0
f x1
cos 1 +
x0
f x2